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FACULDADE ESTÁCIO DE CURITIBA
CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
LEI DE GAUSS - APLICACAO
CURITIBA
2012
FABIANO PRUDÊNCIO DE OLIVEIRAADILSON FRANCO DA SILVA
0
LEI DE GAUSS – APLICACAO EM CABO COAXIAL
O presente trabalho tem como requisito
complementar a Segunda Avaliacao do
Segundo Semestre de 2012, sob a
orientação do:
Prof. Wilson J. Silva
CURITIBA
2012
1
SUMÁRIO
1- INTRODUÇÃO........................................................................................................................................... 3
2- CARGA E LEI DE COULOMB...................................................................................................................3
3- DISTRIBUIÇÃO DE CARGAS EM MATERIAIS........................................................................................4
4- VETOR INTENSIDADE DE CAMPO ELÉTRICO......................................................................................5
5- VETOR DENSIDADE DE FLUXO ELÉTRICO E MATERIAIS DIELÉTRICOS..........................................6
6- LEI DE GAUSS PARA O CAMPO ELÉTRICO..........................................................................................9
7- A PINTURA ELETROSTÁTICA...............................................................................................................10
8- TINTA EPÓXI........................................................................................................................................... 11
9- CAMPOS DE APLICAÇÃO E EXEMPLOS.............................................................................................11
10- LEITO FLUIDIZADO ELETROSTÁTICO...............................................................................................11
11- METODOLOGIA.................................................................................................................................... 12
12- CASO PROPOSTO............................................................................................................................... 14
13- CONCLUSÃO........................................................................................................................................ 16
2
1- INTRODUÇÃO
Mudar.....................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
.....................................................
2- ENUNCIADO DA LEI DE GAUSS
Mudar.....................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
.....................................................
3- APLICACAO ESPECIFICA
Analisaremos a partir de agora uma aplicação um pouco mais complexa, que
vem a ser a aplicação da lei de Gauss para um cabo coaxial de comprimento infinito
(considerando que de fato não e infinito, mas frente a longa distancia que comumente
temos em aplicações praticas, como por exemplo em antenas de sinais de áudio e
vídeo, podemos considerar assim para efeitos pratico), com um condutor de raio a
envolvida por uma fina camada condutora de raio a. Um cabo coaxial real
4- VETOR INTENSIDADE DE CAMPO ELÉTRICO
As cargas diferenciais (dq) que representam a parte íntima de carga de um
material interagem umas com as outras estabelecendo um campo de força. Esse
conceito nos leva a uma das grandezas eletromagnéticas fundamentais chamadas
Intensidade de Campo Elétrico (E), cujo valor é dado pela equação abaixo:
3
Equação 02
Onde:
E = Intensidade de Campo Elétrico [V/m]
F = Força de atração ou repulsão [N/m]
q = Carga de teste positiva [C]
Considerando a interação de uma carga Q com uma carga q, teremos Q1 = Q e Q2 =
q, dessa forma a intensidade de campo elétrico para uma carga pontual Q é dado por:
Equação 03
Onde:
E = Intensidade de Campo Elétrico [V/m]
Q = Carga envolvida [C]
€O = Permissividade do meio circundante (No caso do vácuo, _0 = 8,8542 x 10^12
F/m)
R = Distância entre as cargas [m]
ar = Vetor unitário que representa o sentido da força radial.
5- VETOR DENSIDADE DE FLUXO ELÉTRICO E MATERIAIS DIELÉTRICOS
Os materiais dielétricos apresentam como característica intrínseca uma baixa
condutividade elétrica que quando sobre influência de um campo elétrico ou por uma
aplicação de tensão produz um momento de dipolo dentro de sua estrutura, gerado
através do alinhamento (ordenação) das cargas.
4
Esse momento de dipolo pode ser expresso como a grandeza vetorial P, cujo
valor é obtido pela expressão abaixo dado pelo produto da carga pela separação
entre elas:
P=Q.L Cm
Equação 04
Onde:
p= Momento de dipolo [Cm]
Q= Carga envolvida [C]
L= Comprimento [m]
Nem todos os dipolos se alinham completamente com o campo, de forma que
o alinhamento resultante é dado pelo vetor polarização.
Sendo assim são criadas cargas superficiais no dielétrico de maneira ordenada
e de sentido oposto ao campo que o dielétrico foi submetido.
A razão entre as cargas livres armazenadas no dielétrico pela tensão aplicada
é chamada de capacitor.
Capacitância é dada por uma relação entre carga do material e a tensão
aplicada a ela.
C= Q/V F
Equação 05
Onde:
C= Capacitância [F]
Q= Carga [C]
V= Tensão [V]
5
Existem duas grandezas relacionadas ao capacitor. O campo elétrico aplicado
E, e o vetor polarização P.
Figura 3 – O efeito da inserção de um dielétrico entre as placas de um
capacitor de placas planas e paralelas. (a) O campo elétrico com o dielétrico
removido. (b) O campo elétrico com o dielétrico inserido, ilustrando o vetor
polarização P; as cargas de polarização na superfície do dielétrico; e o aumento das
cargas livres nas placas do capacitor.
Fonte: PAUL (2006).
Então podemos descrever a segunda das nossas grandezas fundamentais do
eletromagnetismo o vetor densidade de fluxo elétrico onde é denotado como D.
D= Cc. E +p Cm^2
Equação 06
Onde:
6
p= Vetor polarização [C/m2]
E= Vetor campo elétrico [V/m]
€o= Constante permissividade do material [F/m]
A intensidade do vetor polarização depende do campo elétrico aplicado
gerando a seguinte fórmula:
D= €.F Cm^2
Equação 07
Onde:
D = Vetor intensidade de fluxo [C/m2]
€= Permissividade do material dada por €0 permissividade do vácuo X €r
permissividade do material em questão. Os materiais em questão são ditos como
materiais simples. Onde D e E são paralelos. [F/m]
E = Vetor intensidade de campo [V/m]
6- LEI DE GAUSS PARA O CAMPO ELÉTRICO
A lei de Gauss parte do princípio que todas as linhas de campo do material
devem estar perpendiculares a superfície do material envolvido. Sendo considerada
uma superfície totalmente regular contendo alguma carga.
Através da superfície gaussiana imaginada por Gauss contornando o material
calcula-se a carga envolvida.
Equação 08
Onde:
D= Vetor densidade de fluxo [C/m2]
Q= Carga envolvida [V/m]
7
ds/ ou volume dv=diferencial de área [m2], ou volume [m3]
Pode-se dizer que a lei de Gauss encontra o vetor densidade de fluxo dentro
da superfície gaussiana sendo valores fora da mesma ou dentro do material igual a
zero.
Figura 4 – (a) Usando a simetria para concluir que o vetor intensidade de
campo elétrico deve estar radialmente dirigido para fora da linha de cargas. (b)
Envolvendo a linha de cargas com uma superfície gaussiana apropriada (um cilindro)
para determinação do vetor intensidade de campo elétrico utilizando a lei de Gauss.
Fonte: PAUL (2006).
Figura 5 – Determinação do campo elétrico em torno de um cilindro de cargas.
8
Fonte: PAUL (2006).
7- A PINTURA ELETROSTÁTICA
O princípio da pintura eletrostática consiste em aplicar cargas elétricas na tinta
e na superfície que se deseja aplicar a tinta criando-se uma diferença de potencial
(ddp) na ordem de 100.000 volts, o que provoca a atração da tinta pela superfície. A
atração eletrostática concede à pintura diferenciais de qualidade tais como:
uniformidade na película formada, homogeneidade em termos de espessura, cor e
nas propriedades. A tinta deverá ser adequada para o método, no que diz respeito ao
parâmetro resistividade elétrica, que é de fundamental importância para o processo
eletrostático. Resistividades elevadas não permitem a adição de carga eletrostática,
ao passo que resistividades baixas provocam centelhamento. As tintas utilizadas na
pintura eletrostática podem ser líquidas ou em pó. Nesse estudo especificamente será
abordada a pintura em pó de epóxi. Após a aplicação os produtos em pó são curados
por ação térmica e a ausência de solvente dará origem a películas de baixíssima
porosidade.
fonte: site manutençãoesuprimentos.com.br
8- TINTA EPÓXI
Tinta em pó termo convertível baseada em resinas epoxídicas curadas em sua
maioria com endurecedores amínicos. Os revestimentos em pó apresentam
excelentes propriedades anticorrosivas. A aderência e as resistências químicas e
mecânicas são notáveis.
9
fonte: site www.bomnegocio.com
9- CAMPOS DE APLICAÇÃO E EXEMPLOS
Dentre os mais variados campos de aplicação citam-se:
- Transportes: Amortecedores, bicicletas, extintores, etc.
-Eletrodomésticos móveis e acessórios: Condicionadores de ar, fogões, máquinas de
costura, etc.
- Construção civil: painéis, batentes, estruturas, etc.
- Elétrico: Computadores, motores, luminárias, etc.
10- LEITO FLUIDIZADO ELETROSTÁTICO
É o processo eletrostático utilizado na aplicação de tintas em pó termo convertíveis. A
inovação desse processo constituiu-se da instalação de eletrodos na placa porosa
(vide Figura - 6), os quais são conectados a uma fonte de alta tensão.
O pó em contato com os eletrodos é carregado eletrostaticamente e atraído
pelo objeto que receberá a pintura, o qual se encontra suspenso no leito fluidizado e
devidamente aterrado. A grande vantagem desse processo está no fato de possibilitar
a pintura em formas geométricas mais complexas e também no melhor controle da
camada depositada, o que resultará numa uniformidade superior de revestimento. No
processo de Leito Fluidizado Eletrostático o objeto da pintura deve ser colocado em
uma estufa apropriada, para a adequada cura da tinta, haja vista que o objeto não é
aquecido antes de ser imerso no leito.
10
Figura 6 – Leito Fluidizado Eletrostático
Fonte: www.cetecindustrial.com.br/files/conceitos
11- METODOLOGIA
Sabendo-se que a permissividade do vácuo (€0) é igual a 8,854.10-12 e
desconsiderando a permissividade (€r) de um dos meios em relação ao vácuo que no
caso é o ar, considerando apenas a (€r) do outro meio que é o epóxi com €r igual a
4,5 e admitindo que o caso proposto comporta-se como um capacitor de placas
paralelas, a capacitância que é o produto da permissividade do meio pela área das
placas paralelas e inversamente proporcional a distância de separação das placas,
será calculada conforme equação abaixo:
Equação 09
Em que:
Equação 10
Onde:
C= Capacitância [F]
€= Permissividade do meio [F/m]
A= Área da placa [m2]
d= Distância de separação entre as placas [m]
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Através do valor de capacitância obtido, é possível calcular a carga (Q) em
questão através da equação 05.
Com essas informações calcula-se o vetor densidade de fluxo elétrico através
da Lei de Gauss (Equação 8), que manipulada para esse caso resulta em:
Para a dedução acima foi utilizada uma superfície retangular e considerada
somente os seus lados frontal e anterior onde o campo elétrico é perpendicular a
superfície, desconsiderando as outras superfícies que estão paralelas ao campo,
como mostra figura - 7.
Figura 7 – Determinação do campo elétrico de uma distribuição superficial
plana de carga, usando a lei de Gauss, pela escolha de uma superfície Gaussiana
apropriada (uma caixa retangular se estendendo de ambos os lados).
Fonte: PAUL (2006).
Considerando os dados obtidos até esse momento, determina-se o vetor
intensidade de campo elétrico (E) através da equação 11:
Equação 1112
Onde:
E = Intensidade de Campo Elétrico [V/m]
€= Permissividade do meio circundante [F/m]
y = Vetor unitário que representa o sentido da força radial Carga na superfície da
chapa [C/m2]
12- CASO PROPOSTO
Dado um objeto a ser pintado (placa metálica com uma área de 1 m2 e
espessura desprezível) em um processo de pintura eletrostática por leito fluidizado
eletrostático, utilizando tinta em pó epóxi, com distância entre a placa a ser pintada e
a placa porosa (com uma área de 2 m2 e espessura desprezível) igual a 0,5 m,
calcular o valor do vetor densidade de fluxo elétrico (D) e o valor do vetor intensidade
de campo elétrico (E) no objeto a ser pintado.
Considerar que foi injetada uma diferença de potencial de 100 kV nos
eletrodos.
Cálculo da Permissividade do meio circundante (equação 10):
€0 = 8,854.10-12 F/m ; €r = 4,5
Cálculo da Capacitância (equação 09):
Cálculo da carga total (equação 05):
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Cálculo do vetor densidade de fluxo elétrico (equação 08):
Cálculo do vetor intensidade de campo elétrico (equação 11):
13-CONCLUSÃO
O resultado obtido mostra que a utilização de dielétricos amplia o fluxo elétrico
sendo utilizado o mesmo para as mais diversas funções que no caso abordado foi a
deposição de tinta epóxi sobre a superfície de uma placa metálica. O valor de campo
elétrico obtido revela a intensidade da força resultante para mover as partículas de
tinta epóxi em direção à placa metálica.
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