E.E.M. Vereador Oscar Manoel da Conceição Unidade 1

E.E.M. Vereador Oscar Manoel da Conceição Unidade 1: Revisão EF – Matemática - 1ª série Ano letivo 2019 (1º trimestre)- Prof. Marcos Martins

E.E.M. Vereador Oscar Manoel da Conceição Matemática EM: 1ª série – Unidade 1 2

SUMÁRIO

APRESENTAÇÃO............................................................................................................................................... 03

AS QUATRO OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS COM NÚMEROS DECIMAIS - Módulo I (M1).............................. 04

NÚMEROS RELATIVOS - Módulo II (M2)......................................................................................................... 06

FRAÇÕES ORDINÁRIAS - Módulo III (M3)........................................................................................................ 09

POTÊNCIAS - Módulo IV (M4).......................................................................................................................... 13

RADICAIS – Módulo V (M5)............................................................................................................................. 17

OPERAÇÕES ALGÉBRICAS - Módulo VI (M6)................................................................................................... 20

EQUAÇÕES DO 1º GRAU - Módulo VII (M7).................................................................................................... 23

EQUAÇÕES DO 2º GRAU - Módulo VIII (M8)................................................................................................... 28

EQUAÇÕES IRRACIONAIS - Módulo IX (M9).................................................................................................... 32

INEQUAÇÕES DO 1º GRAU - Módulo X (M10)................................................................................................. 34

RESPOSTAS (GABARITO) DOS EXERCÍCIOS....................................................................................................... 36

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS........................................................................................................................ 38


APRESENTAÇÃO

Olá, caro estudante! Bem vindo ao Ensino Médio!

Estamos iniciando a disciplina de Matemática onde, primeiramente, vamos revisar alguns conteúdos e conceitos

estudados no Ensino Fundamental, para que possamos, posteriormente, aplicar no Ensino Médio.

Você acha possível que alguém consiga resolver mesmo as mais simples equações sem conhecer as quatro

operações básicas (+, –, x e ÷ )?

Na Matemática, principalmente, os pré-requisitos são essenciais. É impossível construirmos o “prédio da

Matemática” sem as pedras fundamentais ou sem uma estrutura sólida.

O mau desempenho na disciplina de matemática, escancarado em todos os níveis da educação, tem raízes no

início da vida escolar. Isso ocorre devido a algumas peculiaridades dessa ciência: uma das principais é que se trata de

uma área cumulativa de conhecimento, isto é, o aluno precisa aprender bem um conteúdo prévio para compreender o

posterior.

Neste contexto, a Matemática se destaca das outras disciplinas porque é sequencial, por exemplo, não se

aprende a multiplicar se não aprendeu a somar. Isso significa que uma etapa que não foi bem aprendida compromete o

aprendizado daí por diante.

Além disso, é necessário entender a teoria envolvida desde os seis anos de idade (ao iniciar sua primeira etapa

escolar). Imagine que você observa o crescimento de uma planta que se desenvolve quando é molhada, mesmo sem

que você entenda as reações químicas envolvidas. Mas, com a matemática, tem de entender o sistema decimal para

saber que, depois do 19, vem o 20, etc.

O problema é que a largada do aprendizado numérico no Brasil é deficiente — o que cria um efeito nocivo ao

longo de toda a Educação Básica.

Para tornar a revisão mais agradável, os assuntos a serem revistos foram divididos em 10 (dez) módulos, todos

eles com muitos exemplos resolvidos e discutidos. Esses conteúdos vão auxiliar você durante a aprendizagem,

principalmente nas disciplinas: Matemática, Física e Química.

Caso você sinta dificuldades em algum assunto, o primeiro passo é avaliar se o conceito foi bem compreendido.

Se mesmo assim as dificuldades persistirem, é necessário verificar em quais pré-requisitos estão as suas falhas. Para

isso, não se acanhe e peça a ajuda do seu professor.

Ainda, no seu dia-a-dia, procure sempre se lembrar do seguinte:

Faça uma simples analogia: “A sua boa saúde pode ser mantida se você fizer uma única refeição por semana?

Ou seja, se comer em um só dia o que você come em 7 (sete) dias?” Reflita!

Espero que você tenha sucesso nesta nova etapa do seu processo educacional. Bons estudos!

Professor Marcos Martins.

Estudar por pouco tempo, todos os dias, sem se cansar, assim, a sua assimilação e a sua fixação serão bem

mais eficazes;

Deixar que os assuntos se acumulem e estudar somente na véspera das avaliações é a forma mais errada e

ineficaz de se estudar – isto porque exige tempo demais num único dia, estourando o seu potencial de

estudos e ultrapassando o seu tempo de concentração.


MÓDULO I (M1) AS QUATRO OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS (COM NÚMEROS DECIMAIS)

1) Adição: Exemplos:

2) Subtração: Exemplos:

3) Multiplicação: Exemplos:

4) Divisão:

M1

As parcelas são dispostas de modo que se tenha vírgula sobre vírgula.

1) 4,32 + 2,3 +1,429 = 8,049

4,32

2,3 parcelas

1,429

8,049 soma ou total

2) 2,03 + 42 +20,123 = 64,153

2,03

42

20,123

64,153

Os termos da subtração são chamados minuendo e subtraendo. Quando necessário acrescentamos “zeros” à parte decimal do minuendo.

1) 47,57 – 5,23 = 42,34

47,57 Minuendo

5,23 Subtraendo

42,34 Resto ou Diferença

2) 41,9 – 33,47 = 8,43

41,9

33,47

08,43

0

O produto terá tantas casas decimais quantas resultarem da soma das casas dos fatores.

1) 7,32 x 12,5 = 91,5

7,32fatores

12,5

3660

1464

732

91,500 produto

2) 7,234 x 2,2 = 15,9148

7,234

2,2

14468

14468

15,9148

Quando necessário, acrescentamos “zeros” à parte decimal do dividendo ou do divisor, para que se igualem as casas decimais.

Os componentes da divisão são: dividendo (D), divisor (d), quociente (Q) e resto (R). Uma divisão é exata quando o resto for nulo.


Exemplos:

5) Casos particulares da multiplicação e divisão:

EXERCÍCIOS (Resolva no seu caderno)

Efetuar: 1) 2,31 + 4,08 + 3,2 2) 4,03 + 200 + 51,2 3) 32,4 – 21,3 4) 48 – 33,45 5) 2,1 x 3,2 6) 48,2 x 0,031

3,21 x 2,003 8) 8,4708 : 3,62 9) 682,29 : 0,513 10) 2.803,5 : 4.450

11) (ACAFE) Calcule 0,2 0,3

3,2 2,0

.

Calcular, aproximadamente, o resultado de:

12) 0,041 x 21,32 x 401,05 13) 0,0281 : 0,432 14) 2,31 4,82

5,1

15)

0,021 4,32

0,285

HORA DE EXERCITAR!

Dúvidas fazem parte da aprendizagem…

1) 843 : 5 = ?

Dividendo D

843 5 Divisor d

34 168 Quociente Q

43

3 Resto R

Verificação: D = d x Q + R 843 = 5 x 168 + 3

2) 43,47 : 3,5 = ?

4347 350

0847 12,42

1470

0700

0

3) 0,4084 : 0,2 = ?

4084 2000

008400 2,042

04000

0

4) 8 : 25 = ?

80 25

50 0,32

0

a) 1

c) 1

b) 0 0

d) 1

e) 0 0

n n

n n

n

n n

n

A operação 𝑛 ÷ 0 não tem sentido. A divisão por zero é impossível.

M1


MÓDULO II (M2) NÚMEROS RELATIVOS

1) Conjunto dos números relativos:

2) Valor absoluto ou módulo:

Por exemplo: | -9 | = 9 (o módulo de – 9 é igual a 9)

| 7 | = 7; |0,2| = 0,2; | 0 | =0.

3) Soma algébrica:

Exemplos:

a) 2 + 4 = 6 b) – 2 – 4 = – 6 c) 5 – 3 = 2 d) – 5 + 3 = – 2

e) 2 + 3 – 1 – 2 = 5 – 3 = 2 f) – 1 – 3 + 2 – 4 + 21 – 5 – 32 = 23 – 45 = – 22

4) Multiplicação e divisão:

Isto é:

Exemplos:

a) 12 x 3 = 36 b) (–12) x (– 3) = 36 c) 2 x (– 2) = – 4 d) (– 2) x 3 = –6

e) 4 : 2 = 2 f) 20 : (–5) = – 4 g) (– 20) : (–5) = 4 h) (– 20) : 5 = –4

i) (–3)(–9)(– 1) = –27 j) (– 1) x 2 x (–3) = 6

É o conjunto dos números positivos, negativos e o zero, que não tem sinal.

OBS.: Quando operamos com vários números relativos, somam-se os positivos entre si e os negativos entre si, inicialmente.

Suprimindo o sinal de um número relativo, obtemos um número aritmético, que se denomina valor absoluto ou módulo desse número relativo, sendo

representado pelo símbolo | |.

sinais iguais

Somam-se os valores absolutos e dá-se o sinal comum.

sinais diferentes

Subtraem-se os valores absolutos e dá-se o sinal do maior.

sinais iguais

Resposta positiva ( + )

sinais diferentes

Resposta negativa ( – )

( + ) x ( + ) = ( + ) ( – ) x ( – ) = ( + ) ( + ) x ( – ) = ( – ) ( – ) x ( + ) = ( – )

( + ) : ( + ) = ( + ) ( – ) : ( – ) = ( + ) ( + ) : ( – ) = ( – ) ( – ) : ( + ) = ( – )

M2


5) Expressões numéricas:

Exemplos:

a) 2 + [2 – (3 + 2) – 1] = 2 + [2 – 5 – 1] = 2 + [2 – 6] = 2 + [– 4] = 2 – 4 = –2

b) 2 + {3 – [1+(2 – 5 + 4)] + 8} = 2 + {3 –[1 +1]+ 8} = 2 + {3 – 2 + 8} = 2 + { 11 – 2} =

= 2 + 9 = 11

c) {2 – [3 x 4 : 2 – 2(3 – 1)]} + 1 = {2 – [12 : 2 – 2 x 2]} + 1 = {2 – [6 – 4]} + 1 =

= {2 – 2} + 1 = 0 + 1 = 1

d) 10 – {2 – [4(– 3)(– 1) – 3(– 2)]2} = 10 – {2 – [12 + 6]2} = 10 – {2 – 18 x 2} =

= 10 – {2 – 36} = 10 – {– 34} = 10 + 34 = 44

6) Decomposição de um número em um produto de fatores primos:

Exemplos:

a) 30 2

15 3

5 5

1

30 2 3 5

b) 21 3

7 7

1

21 3 7

c) 210 2

105 3

35 5

7 7

1

210 2 3 5 7

7) Mínimo múltiplo comum (m.m.c.):

Para resolver expressões numéricas realizamos primeiro as operações de multiplicação e divisão, na ordem em que estas estiverem indicadas, e depois

adições e subtrações.

A decomposição de um número em um produto de fatores primos é feita por meio do dispositivo prático que será mostrado nos exemplos a seguir.

OBS.: Número primo é aquele divisível somente por ele mesmo e pelo número 1.

OBS.: Em expressões onde apareçam sinais de reunião: ( ), parênteses, [ ], colchetes e { }, chaves, efetuam-se as operações eliminando-se, na ordem: parênteses, colchetes e chaves, isto é, dos sinais interiores para os exteriores.

OBS.: Quando à frente do sinal da reunião eliminado estiver o sinal negativo ( – ), trocam-se todos os sinais dos termos internos, pois estão todos sendo multiplicados por (– 1).

O mínimo múltiplo comum a vários números é o menor número divisível por todos eles.

M2


Para o cálculo do m.m.c. utiliza-se o algoritmo do exemplo a seguir: a) Calcular o m.m.c. entre 12, 16 e 45.

12, 16, 45 2

6, 8, 45 2

3, 4, 45 2

3, 2, 45 2

3, 1, 45 3

1, 1, 15 3

1, 1, 5 5

1, 1, 1 720

Resposta: O m.m.c. entre 12, 16 e 45 é 720.

b) m.m.c. (4, 3) =12

c) m.m.c. (3, 5, 8) = 120

d) m.m.c. (8, 4) = 8

e) m.m.c. (60, 15, 20, 12) = 60


Efetuar:

16) 2 + 3 – 1 = 17) – 2 – 5 + 8 = 18) – 1 – 3 – 8 + 2 – 5 = 19) 2(– 3) =

20) (– 2)(– 5) = 21) (– 10)(– 1) = 22) (– 1)(–1)(– 2) = 23) 4 : (– 2) =

24) (–8) : 2 = 25) (–20) : (–5) = 26) (– 4)(–1) : (– 2) =

27) (– 1 + 3 – 5)(2 – 7) = 28) (2 + 3 X 4 – 2 x 5 – 3) : (– 1) =

29) 2{2 – 2[2 – 4(3 x 2 : 3) + 2]} + 1 = 30) 8 – {–20[(– 3 + 3) : (–58)] + 2(–5)} =

31) (– 2).3.(– 1).(– 2) + (– 8) : [(– 4).(– 5 + 5)] =

32) {5 – [(– 8) : (– 2).3 – 8] + [(– 10).(– 2) : (– 5)].(– 2)} + 1 =

33) 0,5 x 0,4 : 0,2 = 34) 0,6 : 0,03 x 0,05 =

35) Calcular o m.m.c. entre:

a) 36 e 60 b) 18, 20 e 30 c) 12, 18 e 32

HORA DE EXERCITAR!

VERIFIQUE!

M2


MÓDULO III (M3) FRAÇÕES ORDINÁRIAS

1) Definições:

Exemplos:

A fração que tem termos iguais representa a unidade.

Exemplos:

a) 10 3

17 7 , pois b)

28 35

5 5 , pois

28 5

3 5

c) 11 2

33 3 d)

4 9 1 5 41

5 5 5

e)

1 72

3 3 f)

1 51

4 4

2) Propriedade:

Exemplos:

a) 1 1 2 2

2 2 2 4

b)

3 3 5 15

4 4 5 20

c) 20 20 10 2

30 30 10 3

d)

4 4 4 1

8 8 4 2

Fração é um quociente indicado onde o dividendo é o numerador e o divisor é o denominador.

Multiplicando ou dividindo os termos de uma fração por um número diferente de zero obtém-se uma fração equivalente à inicial.

(numerador)3

(denominador)4

5

8

4

41

81

8

A fração é própria quando o numerador é menor que o denominador:

2

2 3 120, , , etc.

5 210

A fração é imprópria quando o numerador é maior que o denominador, sendo possível representa-la por um número misto e reciprocamente.

10 7

3 1

M3


3) Soma algébrica de frações:

Exemplos:

a) 1 1 3 2 5

2 3 6 6 6 b)

2

2

1 5 2 3 5 4 4 2

2 6 3 6 6 6 6 3

c) 4

4

1 3 4 1 9 16 24 16 4 12 1

12 4 3 12 12 12 12 12 3 3

d) 1 1 7 5 28 15 48 5

2 1 4 43 4 3 4 12 12 12 12

4) Multiplicação de frações:

Exemplos:

a) 1 3 1 3 3

2 5 2 5 10

b)

1 1 1

4 2 8

c) 1 2 2

3 5 15

d) 1 2 3

34 7 14

e) 4

4

3 1 11 16 11 4 44 42 3 8

4 5 4 5 1 5 5 5

5) Divisão de frações:

Exemplos:

a) 1 1 1 3 1 3 3

2 3 2 1 2 1 2

b)

2

2

1 1 1 2 1 1 1

4 2 4 1 2 1 2

c) 2 1 2 2 4 1

13 2 3 1 3 3

d) 1 1 1 1

32 2 3 6

e) 2 3 15 1

5 5 73 2 2 2

f) 1 1 13 9 13 4 52 25

4 2 13 4 3 4 3 9 27 27

g) 2

2

1 1 1 1 4 1 2 2

2 3 4 6 1 3 1 3

h) 2

2

1 2 1 31

3 2 3 1 32 2 2 2 31 2 1 1 2 1 1 1 1

12 2 2 2

OBS.: O menor denominador comum é o m.m.c. dos denominadores.

Multiplica-se a fração dividendo pelo inverso da fração divisora.

Reduzem-se ao menor denominador comum e somam-se algebricamente os numeradores.

Multiplicam-se os numeradores entre si e os denominadores entre si.

M3


i)

1 31

3 1 3 4 3 72 21 1 1 17 1 72 2 2 2 4 4 4 4

2 2 2 2 2 2 4 2 8


36) Transforme em número misto:

a) 3

2 b)

12

5 c)

100

3

37) Transformar em fração ordinária:

a) 1

15

b) 3

24

c) 1

1010

38) Simplificar as frações:

a) 2

4 b)

9

27 c)

12

48

39) Comparar as frações (sugestão: reduzi-las ao mesmo denominador e comparar os numeradores).

OBS.: a b lê-se “a é menor do que b”.

a b lê-se “a é maior do que b”.

a) 1 2

,2 3

b) 2 5

,3 6

c) 4 3

,7 8

40) 1 1

5 10 41)

2 4

3 5 42)

1 1 1

2 3 6 43)

2 12 3 5

3 2

44) 1 2

3 5 45)

3 1 2

7 3 5 46)

1 2

6 5

47) 1 1

2 15 3

48) 1 1

3 2 49)

2 1

3 5

50) 1 2 1

2 3 4 51)

2 12 1

5 5

52) 1 2 1

3 4 2

53)

11

3

3

54)

11

212

1

2

55)

1 1 5 23 1 1 1

8 4 7 55 3 1 1

2 1 2 38 4 4 3

56) (FUVEST) 1 1

10 6

57) (FGV) O resultado de

7 9 4

9 8 52 3

7 28

é:

a) 10

77 b)

70

11 c)

55

27 d)

10703

1080 e)

6811

990

HORA DE EXERCITAR!

M3


58) (FGV) O resultado de 2 4 9 3 7 5

13 5 4 4 8 3

é:

a) 45

153

b) 5

9288

c) 0 d) 1 e) 2400

3233

59) A fração equivalente a 13

16, de denominador 48 é:

a) 29

48 b)

29

48 c)

39

48 d)

39

48 e) n.d.a.

60) (UFSC) Dado 2 5

16

2

xy zA

x

, o valor do inverso de A para 1,25x ; 0,4y e 0,1z é:

61) (PUC-SP) O valor de

10,3

2

8

é:

a) 0,1 b) 0,2 c) 0,5

8 d)

1,3

16 e)

3

16

62) (SANTA CASA) A expressão

11

1 11

11

11 1

é igual a:

a) 5

2 b)

9

10 c)

8

9 d)

2

5 e)

1

3

63) (ACAFE) O valor da expressão 1 1 4

3 10 3

é:

a) 1

5 b)

14

15 c)

4

21 d)

1

9 e)

7

30

64) O valor da expressão

1 1 1

92 3 4 12 3 17

3 4

é:

a) 2 b) 1 c) 0,5 d) 0,4 e) 1

3

65) Calcular o valor da expressão: 2 9 4 5 4 12

33 4 7 2 3 21

.

M3


MÓDULO IV (M4) POTÊNCIAS

1) Definições:

Potência de grau n de um número A é o produto de n fatores iguais a A.

Assim:

3 32 2 2 2 2 8

4 4

1 1 1 1 1 1 1

2) Casos Particulares: a) A potência de expoente 1 (1º grau) é igual à base:

1 1; 2 2A A .

b) Toda potência de 1 é igual a 1:

3 101 1; 1 1 .

c) Toda potência de 0 (zero) é igual a 0 (zero):

3 100 0; 0 0 .

d) Toda potência de expoente par é positiva:

4 4 2 22 16; 2 16; 3 9; 3 9 .

e) Toda potência de expoente ímpar tem o sinal da base:

3 3 5 5 333 27; 3 27; 2 32; 2 32; 4 64; 4 64 .

3) Multiplicação de potências de mesma base:

Realmente: 3 2 3 2 5

2 vezes3 vezes

5 vezes

2 2 2 2 2 2 2 2 2

Exemplos:

f) 2 7 95 5 5 b) 2 3 5 102 2 2 2

4) Divisão de potências de mesma base:

Realmente: 6

6 4

4

5 5 5 55 5

5

5 5 5

6 vezes

5 5 5 5

6 4 2

4 vezes

5 5

Exemplos:

a) 7 3 43 3 3 b) 8 72 2 2

Mantém-se a base comum e somam-se os expoentes.

M4

vezes

é a base da potência

éoexpoenteda potência,quedetermina oseu grau

n

n

AA A A A A

n

RESUMO:

PAR

PAR

ÍMPAR

ÍMPAR

Mantém-se a base comum e diminuem-se os expoentes.


5) Multiplicação de potências de mesmo grau (semelhantes):

Realmente: 2 22 2

2 vezes 2 vezes2 vezes

2 7 2 2 7 7 2 7 2 7 2 7 14

Exemplos:

a) 3 3 33 5 15 b) 22 2 2 23 5 7 3 5 7 105

6) Divisão de potências de mesmo grau (semelhantes):

Realmente:

2 vezes

222 2

2

2 vezes2 vezes

2 2 2 2 2 22 7

7 7 7 7 7 7

Exemplos:

a) 3 3 38 2 4 b) 2 2 212 6 2

7) Potenciação de potência:

Realmente: 2 2

3 3 3 3 3 6 3 3 2 6

2 vezes

2 2 2 2 2 ou 2 2 2

Exemplos:

a) 2

5 103 3 b) 2

3 65 5 c) 2

3 62 2

d) 3

3 vezes

2 2 2 2 82 2 2

Obs.: No exemplo (d), tem-se potência de ordem superior, isto é, potência cujo expoente é outra potência.

33

2 2×3 6 2 2 2 2 8

Potência de ordem superiorPotenciaçãodepotência

2 =2 =2 2 2 2

8) Expoente nulo:

Realmente: 4 4 4 4 0

0

4 41 0

1

a a a aa a

a a

Exemplos:

a) 02 1 b) 0

5 1

Obs.: A expressão 00 é considerada como uma indeterminação em Matemática.

Toda potência de base diferente de zero e expoente zero é igual à unidade.

Multiplicam-se as bases e conserva-se o expoente comum.

Dividem-se as bases e conserva-se o expoente comum.

Eleva-se a base ao produto dos expoentes.

M4


9) Expoente negativo:

Realmente:

3 3

7

2 2

2

3244

4

43

3 7 4

7

1

122 222

2 22

Analogamente, 4

4

12

2 .

Portanto, para se transferir uma potência de um termo para o outro de uma fração, basta trocar o sinal do

expoente da potência.

2 3

3 2

3 2 3 2

1 1 2 42 ; 3 ;

2 3 4 2

Exemplos:

a) 2

2

15

5

b) 1 13

3

c) 4 2

2 4

3 5

5 3

Exemplos:

a) 3 3 3x y x y b) 2 2 2 2a b c a b c c) 5 2 3a a a

d) 7

5

2

55

5 e) 5 5 510 2 5 f) 2 3 6m m m

g) 8 4 2m m m h)

2 2

2

a a

b b

i)

32 3 6 9 3a b c a b c

j)

23 2 6 4

2

2 3 2 3

5 5

k)

53 152 2 l)

25 10a a

m) 25 25a a n) 2

2 2

1 22 5 2

5 5

o) 3

2 6 3

6 3

12 5 2 5

2 5

p)

2 22 2

2 2

2 2 3 3

3 3 2 2

q) 4

4

1a

a r)

1 1

1

a a b

b b a

Qualquer número diferente de zero, elevado à expoente negativo é igual a uma fração cujo numerador é a unidade e cujo denominador é a mesma base da potência elevada ao mesmo expoente com o sinal positivo.

RESUMO

① m n p m n pa a a a ②m

m n

n

aa

a

③ mm m ma b c a b c ④

mm

m

a a

b b

⑤ n

m m na a ⑥ 0 1 0a a

⑦ 1

0m

ma a

a

M4


10) Potências de 10 (dez):

Exemplos:

a) 210 100 b) 710 10000000 c) 2200 2 100 2 10 d) 34000 4 10

e) 5300000 3 10 f) 42 10 20000 g) 83 10 300000000

11) Números decimais:

Realmente: 4 4 3

4

25

25 250,0025 25 10 2,5 10 10 2,5 10

10000 10

Exemplos:

a) 30,001 10 b) 30,002 2 10 c) 50,00008 8 10

d) 70,0000027 27 10 e) 31,255 1255 10 f) 32 10 0,002

g) 528 10 0,00028 h) 40,0004 0,000002 4 10 2

2000

610

2

4 6 3 13

34 10 4 10

10


Calcular:

66) 31 67) 40 68) 3

2 69) 3

4 70) 4

2

71) 4

4 72) 3 52 2 73) 2 53 3 3 74) 5 43 3 75) 4 2 53 3 3

76) 4 42 5 77) 5 53 5 78) 3 315 3 79) 6 64 2

80) 2

33 81) 5

32 82) 233 83)

22

33

84) 3

2 3 85) 4

23 5 2

86)

55

3

87)

3

4

2

3

88)

22 3

3

2

5

89)

022 3 90) 24 91) 12 3

92) 4

2

3 93)

43 22 5

94) Exprimir, utilizando potências de 10:

a) 20000 b) 4800000 c) 0,01 d) 0,000045

95) Efetuar, utilizando potências de 10:

a) 2000 48000

80

b)

28 0,000032

0,00002

HORA DE EXERCITAR!

Efetuam-se as potências de 10 escrevendo à direita da unidade tantos zeros quantas forem às unidades do expoente.

Todo número decimal equivale a um produto do qual um fator é o número escrito como inteiro, e outro é uma potência de dez com expoente negativo, com tantas unidades no expoente quantas são as ordens decimais.

M4


MÓDULO V (M5) RADICAIS

1) Definições:

Denomina-se raiz de índice n (ou raiz n-ésima) de A, ao número ou expressão que, elevado à potência n,

reproduz A. Representa-se a raiz pelo símbolo .

Assim,

33

44

2

8 2 porque 2 8

81 3 porque 3 81

16 4 porque 4 16

2) Propriedades: É possível retirar um fator do radical, bastando que se divida o expoente do radicando pelo índice do radical Exemplos:

a) 8 8 4 24 3 3 3 b) 8 4 24 43 5 2 3 5 2 c) 4 4 411 8 3 2 32 2 2 2 2

d) 2 2180 2 3 5 2 3 5 e) 212 2 3 2 3

Reciprocamente, para introduzir um fator no radical, multiplica-se o expoente do fator pelo índice do radical. Assim:

f) 3 333 2 3 2 g) 32 632 5 2 5

3) Adição e subtração de radicais semelhantes:

Exemplos:

a) 3 2 5 2 10 2 3 5 10 2 2 2

b) 3 3 3 3 3 33 2 6 2 5 2 2 3 6 5 1 2 3 2

c) 3 2 5 2 2 4 28 18 32 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2

2 3 4 2 2

4) Multiplicação (divisão) de radicais de mesmo índice:

Exemplos:

a) 2 3 2 3 6 b) 6 6

322

c) 3 5 2 3 5 2 30 d)

4 4 4

44 4

5 3 15 15

22 2

Radicais de mesmo índice e mesmo radicando são semelhantes. Na adição e subtração de radicais semelhantes, operam-se os coeficientes e conserva-se o radical.

M5

:índiceda raiz

:radicando

:radical

n

n

A A

Multiplicam-se (dividem-se) os radicandos e dá-se ao produto (quociente) o índice comum.


5) Potenciação de radicais: Exemplos:

a) 3

344 3 3 b) 2 2

5 52 2 4 252 3 2 3 2 3

6) Radiciação de radicais:

Exemplos:

a) 2 2 43 3 3 b) 3 3 2 62 2 2 c) 3 4 243 3

7) Expoente fracionário:

Exemplos:

a)

p

q pqa a b) 1

2a a c) 2

3 232 2 d) 1 4

3 34 433 32 3 2 3 2 3

Obs.: É possível o cálculo de radicais tratando-os como potências.

Exemplos:

a) 2 2 33 8 9 17

3 4 12 12 122 3 17 12 5 53 3 44 12 122 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

b)

33 5 2 18 3 88 8 8 4

5 1 48 58 4

5 5 1 15 5 5

55 55

c) 3 1 3 1 3 2 1

44 2 4 2 4 42 2 2 2 2 2

d)

21 2

5 25 53 3 3

8) Racionalização de denominadores: Exemplos:

a)

2

1 2 2 2

22 2 2 2

b)

2

1 3 3 3 3

2 3 62 3 2 3 3 2 3

(1º Caso) O denominador é um radical do 2º grau. Neste caso, multiplica-se pelo próprio radical o numerador e o denominador da fração.

Eleva-se o radicando à potência indicada e conserva-se o índice.

Multiplicam-se os índices e conserva-se o radicando.

Uma potência com expoente fracionário pode ser convertida numa raiz, cujo radicando é a base, o índice é o denominador do expoente, sendo o numerador o expoente do radicando.

RESUMO

n n n nA B C A B C

p

n pn A A

n m n mA A p

q pqA A

M5


c)

2

2 2 3 2 3 6

33 3 3 3

d)

2

2 2 2 2 6 2 12 2

5 6 5 6 6 5 6

12

5 63

12

15

Obs.: A expressão conjugada de a +b é a - b . Na racionalização aparecerá no denominador um produto do tipo:

2 2.a b a b a b

Assim,

2 2

2 25 3 5 3 5 3 25 9 16

a b a b a b

Exemplos:

a)

2 2

1 5 21 5 2 5 2 5 2

5 2 35 2 5 2 5 2 5 2

b)

2 2

3 7 3 3 7 3 3 7 33 37 3

7 3 47 3 7 3 7 3 7 3

c)

2

2

5 2 3 5 2 3 5 2 355 2 3

4 32 3 2 3 2 3 2 3


96) Efetuar:

a) 5 2 5 10 5 b) 32 3 2 8 c) 4 4 43 3 3 243 d) 43 3 3 729

97) Efetuar:

a) 3 6 b) 3 32 4 c) 4

4

8

2

98) Efetuar:

a)

63 2 b)

23 22 3 c) 3 3 3 d) 3 2 e) 3 2 2 f)

3 3 32 2 2

99) Dar a resposta sob forma de radical, das expressões seguintes:

b) 3

42 b) 1

22

c)

11 222

d) 1

62 3

100) Racionalizar o denominador das frações seguintes:

b) 1

5 b)

3

7 c)

3

2 2 d)

2

5 2 e)

5

4 11

HORA DE EXERCITAR!

(2º Caso) O denominador é uma soma ou diferença de dois termos em que um deles, ou ambos, são radicais do 2º grau. Neste caso, multiplica-se o numerador e o denominador pela expressão conjugada do denominador.

M5


MÓDULO VI (M6) OPERAÇÕES ALGÉBRICAS

1) Expressões algébricas

São indicações de operações envolvendo letras ou letras e números. Exemplos:

a) 5𝑎𝑥 − 4𝑏 b) 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 c) 7𝑎2𝑏 Obs.: No exemplo ( c ), onde não aparece indicação de soma ou diferença, temos um monômio em que 7 é o

coeficiente numérico e 𝑎2𝑏 é a parte literal.

2) Operações com expressões algébricas I. Soma algébrica

Somente é possível somar ou subtrair termos semelhantes (monômios que possuem a mesma parte literal). Para somar ou subtrair termos semelhantes (reduzir termos semelhantes) repete-se a parte literal e opera-se com os coeficientes. Exemplos: a) 3𝑥2𝑦 − 4𝑥𝑦2 + 7𝑥𝑦2 + 5𝑥2𝑦 = 3 + 5 𝑥2𝑦 + −4 + 7 𝑥𝑦2 = 8𝑥2𝑦 + 3𝑥𝑦2 b) 4𝑥2 − 5𝑎2𝑥 − 2𝑥2 + 𝑎 − 𝑎2𝑥 = 4𝑥2 − 5𝑎2𝑥 − 2𝑥2 − 𝑎 + 𝑎2𝑥 = 4 − 2 𝑥2 + −5 + 1 𝑎2𝑥 − 𝑎

= 2𝑥2 − 4𝑎2𝑥 − 𝑎

II. Multiplicação Multiplica-se cada termo do primeiro fator por todos os termos do segundo fator e reduzem-se os termos semelhantes.

Exemplos: a) 3𝑎2𝑦 2𝑎𝑦 = 6𝑎3𝑦2 b) 2𝑎 3𝑥 − 5𝑦 + 𝑧 = 6𝑎𝑥 − 10𝑎𝑦 + 2𝑎𝑧 c) 𝑥 + 𝑦 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑥𝑦 + 𝑦2 + 𝑦𝑧 = 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧

III. Divisão [1º Caso] Divisão de monômios: Divide-se o coeficiente numérico do dividendo pelo coeficiente do divisor, e a

parte literal do dividendo pela do divisor, observando-se as regras para divisão de potências de mesma base.

[2º Caso] Divisão de polinômio por monômio: Divide-se cada termo do dividendo pelo monômio divisor. Exemplos: a) 42𝑎3𝑏𝑥4 ÷ 7𝑎𝑥2 = 6𝑎2𝑏𝑥2 b) 6𝑎2𝑏 − 8𝑎𝑏2 ÷ 2𝑎𝑏 = 6𝑎2𝑏 ÷ 2𝑎𝑏 + −8𝑎𝑏2 ÷ 2𝑎𝑏 = 3𝑎 − 4𝑏

3) Produtos Notáveis Há certos produtos de polinômios, que, por sua importância, devem ser conhecidos desde logo. Vejamos alguns deles: i. Quadrado da soma de dois termos:

M6

𝑎 + 𝑏 2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2


Exemplos:

a) 2 + 𝑥 2 = 22 + 2 ∙ 2 ∙ 𝑥 + 𝑥2 = 4 + 4𝑥 + 𝑥2 b) 2𝑥 + 𝑦 2 = 2𝑥 2 + 2 ∙ 2𝑥 ∙ 𝑦 + 𝑦2 = 4𝑥2 + 4𝑥𝑦 + 𝑦2

ii. Quadrado da diferença de dois termos:

Exemplos: a) 𝑥 − 3 2 = 𝑥2 − 2 ∙ 𝑥 ∙ 3 + 32 = 𝑥2 − 6𝑥 + 9 b) 𝑥2 − 𝑦 2 = 𝑥2 2 − 2 ∙ 𝑥2 ∙ 𝑦 + 𝑦2 = 𝑥4 − 2𝑥2𝑦 + 𝑦2

iii. Produto da soma de dois termos por sua diferença:

Exemplos: a) 2 + 𝑥 2 − 𝑥 = 22 − 𝑥2 = 4 − 𝑥2 b) 𝑎𝑥 − 𝑦 𝑎𝑥 + 𝑦 = 𝑎𝑥 2 − 𝑦2 = 𝑎2𝑥2 − 𝑦2

c) 1 − 3 1 + 3 = 12 − 3 2

= 1 − 3 = −2

4) Fatoração Fatorar um polinômio é escrevê-lo sob a forma de um produto indicado. Fator comum dos termos de um polinômio é o monômio cujo coeficiente numérico é o máximo divisor comum (m.d.c.) dos coeficientes dos termos do polinômio e cuja parte literal é formada pelas letras comuns com os menores expoentes. Apresentando um fator comum, o polinômio pode ser escrito como o produto de dois fatores: o 1º é o fator comum e o 2º é obtido dividindo-se o polinômio original pelo fator comum.

Exemplos: a) Fatorando o polinômio 4𝑎𝑥2 + 8𝑎2𝑥3 + 2𝑎3𝑥 tem-se:

O fator comum é: 2𝑎𝑥 Assim,

4𝑎𝑥2 + 8𝑎2𝑥3 + 2𝑎3𝑥 = 2𝑎𝑥 4𝑎𝑥2

2𝑎𝑥+

8𝑎2𝑥3

2𝑎𝑥+

2𝑎3𝑥

2𝑎𝑥 = 2𝑎𝑥 2𝑥 + 4𝑎𝑥2 + 𝑎2

b) Fatorar 5𝑥2𝑦 + 𝑥4𝑦3 + 2𝑥2. O fator comum é: 𝑥2 Assim,

5𝑥2𝑦 + 𝑥4𝑦3 + 2𝑥2 = 𝑥2 5𝑥2𝑦

𝑥2 +𝑥4𝑦3

𝑥2 +2𝑥2

𝑥2 = 𝑥2 5𝑦 + 𝑥2𝑦3 + 2

“O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo.”

M6

“O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo.”

𝑎 − 𝑏 2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2

“O produto da soma de dois termos por sua diferença é igual ao quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo.”

𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏 = 𝑎2 − 𝑏2



101) Efetuar:

a) 3𝑎2 − 7𝑎𝑏 + 4𝑏2 − 5𝑎2 + 3𝑞𝑏 − 4𝑏2

b) 3𝑥𝑦2 − 7𝑥2𝑦 + 3𝑦3 − 2𝑦3 − 8𝑥2𝑦 + 3𝑥𝑦2

c) 7𝑥𝑦2 −8𝑥2𝑦 𝑥𝑦

d) 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝑎 − 𝑏

e) 𝑥3 − 3𝑥2𝑦 + 𝑥 𝑥2 − 𝑦

f) 6𝑥6 − 4𝑥5 + 2𝑥4 − 2𝑥2 ÷ 2𝑥

g) 2𝑎2𝑏𝑐 + 3𝑎3𝑏3𝑐2 − 𝑎𝑏𝑐 ÷ 𝑎𝑏𝑐

102) Efetuar:

a) 𝑥 + 2 2 + 3𝑥 − 3 2

b) 3𝑥𝑦 + 8𝑎2 2

c) 5𝑎𝑏 + 3𝑐 5𝑎𝑏 − 3𝑐

103) Fatorar:

a) 15𝑎2 − 10𝑎𝑏

b) 3𝑎2𝑥 − 6𝑏2𝑥 + 12𝑥

104) (IFPR) O quadrado de 2 − 3 é:

a) 1 b) 4 c) 4 − 2 3 d) 7 − 4 3 e) 4 − 3 3

105) (UMC) A expressão equivalente ao radical 𝑎3 + 8𝑎2 + 16𝑎, sendo 𝑎 um número real positivo, é:

a) 𝑎 + 4 𝑎 b) 4 + 𝑎 𝑎 c) 𝑎 + 4 𝑎 d) 𝑎 + 2 𝑎 e) 𝑎 + 2 𝑎

HORA DE EXERCITAR!

M6


MÓDULO VII (M7) EQUAÇÕES DO 1º GRAU

1) Equação Equação é uma igualdade que só se verifica para determinados valores atribuídos às letras (que se denominam incógnitas). Exemplos:

b) 𝑥 − 2 = 5 só é verdadeira para 𝑥 = 7

1º membro 2º membro

c) 3𝑥2 = 27 só é verdadeira para 𝑥 = +3 ou 𝑥 = −3 d) 3𝑥 + 𝑦 = 7 só é verdadeira para alguns valores de 𝑥 e 𝑦, como 𝑥 = 2 e 𝑦 = 1 ou 𝑥 = 1 e 𝑦 = 4, etc.

Os valores atribuídos às incógnitas que tornam verdadeiras as igualdades denominam-se raízes da

equação.

Se a equação contiver apenas uma incógnita e se o maior expoente dessa incógnita for 1 então a equação

é dita equação do 1º grau a uma incógnita.

2) Resolução de uma equação do 1º grau a uma incógnita Resolver uma equação é determinar sua raiz. No caso de uma equação do 1º grau a uma incógnita, consegue-se resolvê-la isolando-se a incógnita no 1º membro, transferindo-se para o 2º membro os termos que não contenham a incógnita efetuando-se a operação inversa (as operações inversas são: adição e subtração; multiplicação e divisão; potenciação e radiciação).

Exemplos:

c) 𝑥 + 2 = 7 b) 𝑥 − 3 = 0 c) 2𝑥 = 8 d) 𝑥

3= 5

𝑥 = 7 − 2 𝑥 = 0 + 3 𝑥 =8

2 𝑥 = 3 × 5

𝒙 = 𝟓 𝒙 = 𝟑 𝒙 = 𝟒 𝒙 = 𝟏𝟓

Se o coeficiente da incógnita for negativo, convém, em primeiro lugar, multiplicar ambos os membros por −1, isto é, trocar os sinais de todos os termos da equação.

e) −2𝑥 = −8 × −1

2𝑥 = 8

𝑥 =8

2 ∴ 𝒙 = 𝟒

Se a equação envolver simultaneamente denominadores e adição ou subtração, o primeiro passo será eliminar os denominadores, o que se faz mediante a aplicação da seguinte regra: Os passos seguintes são descritos no exemplo a seguir:

f) 3𝑥−2

2−

3𝑥+1

3=

4𝑥−6

5

M7

Calcula-se o m.m.c. dos denominadores; divide-se o m.m.c. encontrado por cada um dos denominadores e multiplicam-se os resultados pelos respectivos numeradores.


i. Eliminam-se os denominadores, se houver: m.m.c. 2; 3; 5 = 30. Logo: 15 3𝑥 − 2 − 10 3𝑥 + 1 = 6 4𝑥 − 6

ii. Eliminam-se os parênteses, efetuando as multiplicações indicadas:

45𝑥 − 30 − 30𝑥 − 10 = 24𝑥 − 36

iii. Transpõem-se os termos que contém a incógnita para o 1º membro, e os termos independentes (os que não contêm a incógnita) para o 2º membro:

45𝑥 − 30𝑥 − 24𝑥 = −36 + 30 + 10

iv. Reduzem-se os termos semelhantes em cada membro:

−9𝑥 = +4

v. Se o coeficiente da incógnita resultou negativo, trocam-se os sinais dos dois membros (multiplicam-se os dois membros por −1):

9𝑥 = −4

vi. Dividem-se ambos os membros pelo coeficiente da incógnita (o coeficiente da incógnita passa para o 2º membro como divisor). Tem-se a raiz ou solução da equação:

𝑥 = −4

9

VERIFICAÇÃO: Substitui-se a raiz encontrada em cada um dos membros da equação dada. Os valores numéricos

devem ser iguais.

g) 2 𝑥−1

5−

2𝑥+3

3=

5

6 → o m.m.c. é: 30. Então:

12 𝑥 − 1 − 10 2𝑥 + 3 = 5 × 5 → eliminando os parênteses:

12𝑥 − 12 − 20𝑥 − 30 = 25 → reduzindo os termos semelhantes:

−8𝑥 − 42 = 25 → isolando 𝑥:

−8𝑥 = 25 + 42

−8𝑥 = 67 → multiplicando por −1 , ambos os membros:

8𝑥 = −67

𝑥 = −67

8

3) Sistemas de equações do 1º grau com duas incógnitas

I. Equação a duas incógnitas Uma equação a duas incógnitas admite infinitas soluções. Por exemplo, a equação 2𝑥 − 𝑦 = 4 é verificada para um número ilimitado de pares de valores de 𝑥 𝑥 = 4; 𝑦 = 4 , 𝑥 = 2;𝑦 = 0 , 𝑥 = −1; 𝑦 = −6 , etc.

II. Sistema de duas equações a duas incógnitas Resolver um sistema de duas equações a duas incógnitas é determinar os valores de 𝑥 e 𝑦 que satisfaçam simultaneamente às duas equações. Por exemplo, o sistema:

5𝑥 + 𝑦 = 16

2𝑥 − 3𝑦 = 3 tem solução para

𝑥 = 3𝑦 = 1

pois apenas estes valores satisfazem simultaneamente

às duas igualdades. (VERIFIQUE!) Estudaremos aqui 3 (três) métodos de solução para um sistema de duas equações a duas incógnitas; são eles:

M7


A. Substituição

1º. Seja o sistema:

2𝑥 + 3𝑦 = 85𝑥 − 2𝑦 = 1

2º. Isola-se uma das incógnitas em uma das equações; por exemplo, o valor de 𝑥 na equação 1:

2𝑥 + 3𝑦 = 8 2𝑥 = 8 − 3𝑦

𝑥 =8−3𝑦

2 → equação 3

3º. Substitui-se 𝒙 da equação 2 pelo seu valor (equação 3):

5 8−3𝑦

2 − 2𝑦 = 1 → equação 4

4º. Resolve-se a equação 4 determinando-se o valor de 𝑦:

5 8 − 3𝑦 − 2 × 2𝑦 = 2 × 1 40 − 15𝑦 − 4𝑦 = 2 −19𝑦 = 2 − 40 −19𝑦 = −38 × −1

19𝑦 = 38

𝑦 =38

19 ∴ 𝒚 = 𝟐

5º. O valor obtido para 𝑦 é levado à equação 3 (em que 𝑥 já está isolado) e determina-se 𝑥:

𝑥 =8−3 2

2

𝑥 =8−6

2

𝑥 =2

2 ∴ 𝒙 = 𝟏

6º. A solução do sistema é: 𝒙 = 𝟏 e 𝒚 = 𝟐

B. Comparação


7𝑥 + 3𝑦 = 33

5𝑥 − 2𝑦 = 7

2º. Isola-se a mesma incógnita nas duas equações:

𝑥 =33−3𝑦

7

𝑥 =7+2𝑦

5

3º. Igualam-se os segundos membros pois os primeiros são iguais (a 𝑥):

33−3𝑦

7=

7+2𝑦

5

4º. Resolve-se a equação e determina-se 𝑦:

5 33 − 3𝑦 = 7 7 + 2𝑦 165 − 15𝑦 = 49 + 14𝑦 −15𝑦 − 14𝑦 = 49 − 165 −29𝑦 = −116 × −1 29𝑦 = 116

𝑦 =116

29 ∴ 𝒚 = 𝟒

5º. O valor de 𝑦 é levado a qualquer das equações em que 𝑥 está isolado e determina-se 𝑥:

𝑥 =33−3𝑦

7=

33−3 4

7

𝑥 =33−12

7=

21

7 ∴ 𝒙 = 𝟑

6º. A solução do sistema é: 𝒙 = 𝟑 e 𝒚 = 𝟒

C. Adição Este método consiste em somar, membro a membro, as duas equações com o objetivo de, nesta operação, eliminar uma das incógnitas e só é vantajoso no caso de os coeficientes de umas das incógnitas serem simétricos.

Exemplos:

d) 𝑥 + 𝑦 = 4𝑥 − 𝑦 = 0

M7

→ equação 1 → equação 2

→ equação 1 → equação 2


Somando, membro a membro, vem: 2𝑥 = 4 ∴ 𝒙 = 𝟐 Substituindo o valor de 𝑥 na equação 1, vem:

2 + 𝑦 = 4 ∴ 𝒚 = 𝟐 A solução do sistema é: 𝒙 = 𝟐 e 𝒚 = 𝟐.

e) 3𝑥 + 2𝑦 = 75𝑥 − 𝑦 = 3

Primeiramente, observe:

3𝑥 + 2𝑦 = 75𝑥 − 𝑦 = 3

⇒ 3𝑥 + 2𝑦 = 710𝑥 − 2𝑦 = 6

Somando, membro a membro, vem:

13𝑥 = 13 ∴ 𝒙 = 𝟏 Substituindo o valor de 𝑥 na 1ª equação, vem:

3 1 + 2𝑦 = 7 ⇒ 3 + 2𝑦 = 7 ⇒ 2𝑦 = 4 ∴ 𝒚 = 𝟐

A solução do sistema é: 𝒙 = 𝟏 e 𝒚 = 𝟐.


4𝑥 + 6𝑦 = 97𝑥 − 9𝑦 = 6

2º. Multiplica-se as duas equações pelo quociente da divisão do m.m.c. dos coeficientes da incógnita que se quer eliminar, pelos coeficientes dessas incógnitas nas equações dadas:

Para eliminar 𝑦, o m.m.c. entre 6 e 9 é 18. A 1ª equação será multiplicada por 18 ÷ 6 = 3.

A 2ª equação será multiplicada por 18 ÷ 9 = 2.

Assim, vem:

12𝑥 + 18𝑦 = 2714𝑥 − 18𝑦 = 12

3º. Somando membro a membro elimina-se 𝑦. Isola-se 𝑥 e obtém-se o seu valor:

26𝑥 = 39

𝑥 =39

26=

3

2 ∴ 𝒙 =

𝟑

𝟐

4º. Leva-se o valor obtido de 𝑥 a uma das equações iniciais e determina-se 𝑦:

4𝑥 + 6𝑦 = 9

𝑦 =9−4𝑥

6=

9−4 3

2

6=

9−6

6=

3

6 ∴ 𝒚 =

𝟏

𝟐

5º. A solução do sistema é: 𝒙 =

𝟑

𝟐 e 𝒚 =

𝟏

𝟐


106) Resolver as seguintes equações:

a) 4𝑥 = 8 b) −5𝑥 = 10 c) 7 + 𝑥 = 8

d) 3 − 2𝑥 = −7 e) 16 + 4𝑥 − 4 = 𝑥 + 12 f) 8 + 7𝑥 − 13 = 𝑥 − 27 − 5𝑥

g) 2𝑥

3=

3

4 h)

1

4=

3𝑥

10 i) 9𝑥 + 2 − 4𝑥 + 5 = 4𝑥 + 3

j) 3 2 − 𝑥 − 5 7 − 2𝑥 = 10 − 4𝑥 + 5

k) 𝑥−2

3−

12−𝑥

2=

5𝑥−36

4− 1

l) 5𝑥+3

8−

3−4𝑥

3+

𝑥

2=

31

2−

9−5𝑥

6

HORA DE EXERCITAR!

× 2

c)

M7


107) Resolver os seguintes sistemas de equações:

d) 𝑥 + 𝑦 = 123𝑥 + 𝑦 = 24

b) 5𝑥 + 6𝑦 = 19

7𝑥 + 2𝑦 = 1 c)

𝑥 + 5𝑦 = 123𝑥 − 4𝑦 = −2

d)

𝑥

4+

𝑦

5= 2

2𝑥+1

3−

𝑦−3

2= 2

108) (UCP) A raiz da equação 1

2 𝑥 − 1 −

1

3 𝑥 − 2 +

1

4 𝑥 − 3 =

2

3 é:

a) 5 b) 7

8 c)

2

3 d) 3 e) −

2

3

109) (PUC-SP) Considere o problema:

“A idade do pai é o dobro da idade do filho. Há 10 anos atrás, a idade do pai era o triplo da idade do filho.

Qual é a idade do pai e do filho?”

O sistema de equações que “traduz” esse problema é:

a) 𝑦 = 3𝑥

2𝑥 + 𝑦 = 30

b) 𝑦 = 2𝑥

3𝑥 = 𝑦 + 20

c) 𝑦 = 3𝑥

𝑦 = 2𝑥 + 20

d) 𝑦 = 2𝑥

3𝑥 − 2𝑦 = 15

e) 𝑦 =

𝑥

2

𝑥 − 3𝑦 + 30 = 0

110) (UFSC) A soma das idades de um pai e seu filho é 38 anos. Daqui a 7 anos o pai terá o triplo da idade do filho. A

idade do pai é: ...

M7


MÓDULO VIII (M8) EQUAÇÕES DO 2º GRAU

1) Classificação Uma equação do tipo: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, é denominada equação completa do segundo grau. Na equação, 𝑎, 𝑏 e 𝑐, são números reais. A equação do 2º grau é dita incompleta quando:

a) 𝑐 = 0, a equação fica: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 0; b) 𝑏 = 0, a equação fica: 𝑎𝑥2 + 𝑐 = 0; c) 𝑏 = 𝑐 = 0, a equação fica: 𝑎𝑥2 = 0.

É evidente que 𝑎 não pode ser nulo, pois aí não teríamos mais uma equação do 2º grau.

2) Resolução de uma equação do 2º grau O número de raízes de uma equação é sempre igual ao grau da equação. Assim, uma equação do 2º grau deve necessariamente ter 2 (duas) raízes. Considerando a equação genérica 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 a fórmula que permite a determinação de suas raízes é: A quantidade 𝑏2 − 4𝑎𝑐 que aparece sob o radical é denominada discriminante e simbolizada pela letra grega ∆ (delta):

A análise do discriminante fornecerá informações importantes sobre as raízes da equação como será apresentado na sequência. Considerando o discriminante, a fórmula resolutiva pode ser escrita:

Exemplos: d) Resolver a equação 𝑥2 − 8𝑥 + 15 = 0.

Comparando com a equação genérica 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, temos:

𝑎 = 1

𝑏 = −8 𝑐 = 15

⇒ ∆ = 𝑏2−4𝑎𝑐 ∆ = −8 2−4∙1∙15=64−60=4

Substituindo na fórmula resolutiva:

𝑥 =−𝑏 ± ∆

2𝑎=

− −8 ± 4

2 ∙ 1=

8 ± 2

2

Considerando o sinal ( + ) teremos uma das raízes:

𝑥1 =8 + 2

2=

10

2= 5

Considerando o sinal ( – ) teremos a outra raiz:

𝑥2 =8 − 2

2=

6

2= 3

M8

𝑥 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎 Fórmula de Bháskara

∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐

𝑥 =−𝑏 ± ∆

2𝑎


e) Resolver a equação: 𝑥2 − 8𝑥 + 16 = 0 .

𝑎 = 1

𝑏 = −8 𝑐 = 16

⇒ ∆ = 𝑏2−4𝑎𝑐 ∆ = −8 2−4∙1∙16=64−64=0

Substituindo na fórmula:

𝑥 =−𝑏 ± ∆

2𝑎=

− −8 ± 0

2 ∙ 1=

8

2= 4

Neste caso obtivemos apenas um valor para 𝑥. Como uma equação do 2º grau DEVE TER DUAS RAÍZES e apenas o valor 4 satisfaz a igualdade, as duas raízes devem ser iguais a 4. Assim:

𝒙𝟏 = 𝟒 e 𝒙𝟐 = 𝟒

f) Resolver a equação: 𝑥2 + 𝑥 + 2 = 0 .

𝑎 = 1 𝑏 = 1 𝑐 = 2

⇒ ∆ = 𝑏2−4𝑎𝑐 ∆ = 1 2−4∙1∙2=1−8=−7

Substituindo na fórmula:

𝑥 =−𝑏 ± ∆

2𝑎=

−1 ± −7

2 ∙ 1

Como o discriminante é negativo e não satisfaz raiz quadrada de um número negativo no campo dos números reais, as duas raízes dessa equação serão IMAGINÁRIAS (você verá quando estudar Números Complexos na 3ª série – EM).

3) Relação entre o discriminante e as raízes

Considerando os três exemplos anteriores observamos que:

i. No exemplo “a” o discriminante foi um valor positivo ( 4 ) e obteve-se duas raízes reais e diferentes (5 e 3).

ii. No exemplo “b” o discriminante foi nulo ( 0 ) e obteve-se duas raízes reais e iguais (4 e 4). iii. No exemplo “c” o discriminante foi negativo ( – 7 ) e obteve-se duas raízes imaginárias (raízes que

não pertencem ao conjunto dos números reais).

Então, os tipos de raízes de uma equação do 2º grau podem ser previstos pelo discriminante. Quando:

Exemplo: g) Prever as raízes da equação −𝑥2 + 7𝑥 − 12 = 0 e depois determiná-las.

OBSERVAÇÃO: Quando 𝑎 é negativo é conveniente multiplicar ambos os membros da equação por – 1.

Assim, a equação fica: 𝑥2 − 7𝑥 + 12 = 0.

𝑎 = 1

𝑏 = −7 𝑐 = 12

⇒ ∆ = 𝑏2−4𝑎𝑐 ∆ = −7 2−4∙1∙12=49−48=1

M8

∆ > 0 tem-se duas raízes reais e diferentes ∆ = 𝟎 tem-se duas raízes reais e iguais ∆ < 0 tem-se duas raízes imaginárias (não reais)


Como ∆= 1 > 0 ⇒ As duas raízes são reais e diferentes. Resolvendo:

𝑥 =−𝑏 ± ∆

2𝑎=

− −7 ± 1

2 ∙ 1=

7 ± 1

2

Assim:

𝑥1 =7+1

2=

8

2= 4 e 𝑥2 =

7−1

2=

6

2= 3

Resposta: 𝑥1 = 4 e 𝑥2 = 3.

4) Soluções particulares para as equações incompletas do 2º grau

I. Equações do tipo: 𝒂𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟎 Isola-se 𝑥 no 1º membro utilizando as operações inversas. Exemplo: Resolver a equação 2𝑥2 − 32 = 0.

2𝑥2 − 32 = 0 2𝑥2 = 32

𝑥2 =32

2

𝑥2 = 16

𝑥 = ± 16 = ±4 ∴ 𝑥1 = −4 e 𝑥2 = 4.

Observação: Nas equações incompletas em que 𝑏 = 0 as raízes são sempre simétricas.

II. Equações do tipo: 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 = 𝟎 Fatora-se 𝑥: 𝑥 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0. Temos agora o produto de dois fatores 𝑥 e 𝑎𝑥 + 𝑏 que devem ser igual a zero. Isto acontecerá se 𝑥 for igual a zero ou 𝑎𝑥 + 𝑏 for igual a zero. Como em qualquer das hipóteses a igualdade será verificada podemos admitir as duas. Ou seja: 𝑥 = 0 ou 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0. Um valor para 𝑥 já está determinado: 𝑥1 = 0.

O outro valor obtém-se da equação 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 ⇒ 𝑥2 = −𝑏

𝑎.

Observação: Nas equações incompletas em que 𝑐 = 0 uma das raízes sempre é nula. Exemplo: Resolver a equação 3𝑥2 − 5𝑥 = 0. Fatorando 𝑥: 𝑥 3𝑥 − 5 = 0. Assim:

𝑥1 = 0 e 3𝑥 − 5 = 0 ⇒ 𝑥2 =5

3.

III. Equações do tipo: 𝒂𝒙𝟐 = 𝟎 Neste caso as raízes são sempre iguais a zero. Exemplo: Resolver a equação 3𝑥2 = 0.

𝑥1 = 0 e 𝑥2 = 0.

M8


5) Relações entre coeficientes e raízes

Se, em particular, tivermos na equação do 2º grau 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, 𝑎 = 1, a mesma ficará 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0. Pode-se demonstrar que as raízes da equação, neste caso, serão tais que: Essas relações permitirão a solução da equação com relativa simplicidade pois, para determinar as raízes basta procurar dois números que multiplicados resultam 𝑐 e somados resultam 𝑏 com o sinal trocado. Exemplos:

1) Determinar “mentalmente” as raízes da equação 𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0. Resolução: As raízes serão dois números que multiplicados resultam 6 𝑐 e somados resultam 5 −𝑏 . Tais números são 2 e 3. (VERIFIQUE!)

2) Determinar “mentalmente” as raízes da equação 𝑥2 + 𝑥 − 20 = 0. Resposta:

𝑥1 = −5𝑥2 = 4

, pois −5 ∙ 4 = −20 = 𝑐 e −5 + 4 = −1 = −𝑏.


111) Determinar as raízes das seguintes equações:

h) 𝑥2 − 7𝑥 + 6 = 0 b) 𝑥2 + 3𝑥 − 28 = 0 c) 3𝑥2 − 5𝑥 + 2 = 0

e) 16𝑥2 + 16𝑥 + 3 = 0 e) 4𝑥2 − 16 = 0 f) 2𝑥2 − 18 = 0

h) 3𝑥2 = 5𝑥 h) 2𝑥2 + 8𝑥 = 0 i) 2𝑥 − 3 2 = 4𝑥 − 3 2

112) Prever a natureza das raízes das equações:

e) 2𝑥2 − 3𝑥 + 1 = 0 b) 𝑥2 + 𝑥 + 3 = 0 c) 2𝑥2 − 4𝑥 + 2 = 0

113) Determinar mentalmente as raízes das equações:

b) 𝑥2 − 6𝑥 + 5 = 0 b) 𝑥2 + 2𝑥 − 15 = 0 c) 𝑥2 − 4𝑥 − 12 = 0

d) 𝑥2 − 10𝑥 + 21 = 0 e) 𝑥2 + 5𝑥 − 50 = 0

114) Resolver as seguintes equações:

f) 𝑎𝑥2 = 𝑏 b) 𝑥 𝑥 − 1 = 𝑥 2𝑥 − 1 − 18

115) (MACKENZIE) A equação 𝑎𝑥2 + 𝑥 + 1 = 0 tem duas soluções reais e distintas se e somente se:

a) 𝑎 >1

4

b) 0 ≤ 𝑎 ≤1

4

c) 𝑎 ≥ −1

4 e 𝑎 ≠ 0

d) 𝑎 < −1

4 e 𝑎 ≠ 0

e) 𝑎 é um número real não nulo

Lembrete: se as raízes são reais e distintas então ∆> 0.

HORA DE EXERCITAR!

M8

𝑥1 + 𝑥2 = −𝑏 𝑥1 ∙ 𝑥2 = 𝑐


MÓDULO IX (M9) EQUAÇÕES IRRACIONAIS

1) Definição Uma equação é denominada irracional quando apresenta incógnita sob radical ou incógnita com expoente fracionário.

2) Resolução Durante o processo de solução de uma equação irracional com índice do radical igual a 2 é necessário elevar ao quadrado ambos os membros da equação e esta operação pode provocar o aparecimento de “raízes estranhas”, isto é, valores que realmente não verificam a equação original. Este fato obriga que toda raiz obtida deve ser verificada na equação original e verificando a igualdade. Exemplos:

1) Determinar as raízes da equação 𝑥 − 5 − 4 = 0. Solução:

Isola-se o radical em um dos membros: 𝑥 − 5 = 4

Elevam-se ambos os membros ao quadrado, para eliminar a raiz: 𝑥 − 5 2

= 4 2

Assim, vem: 𝑥 − 5 = 16

Determina-se 𝑥 e verifica-se na equação original: 𝑥 = 16 + 5 ⇒ 𝒙 = 𝟐𝟏.

Como foi verificada a igualdade, a raiz 𝑥 = 21 é considerada.

2) Determinar as raízes da equação 𝑥 + 4 − 2 = 𝑥. Solução:

Isolando o radical no 1º membro: 𝑥 + 4 = 𝑥 + 2

Elevando-se ambos os membros ao quadrado: 𝑥 + 4 2

= 𝑥 + 2 2

Assim, vem:

𝑥 + 4 2

= 𝑥 + 2 2

𝑥 + 4 = 𝑥2 + 4𝑥 + 4 𝑥2 + 3𝑥 = 0 As raízes da equação do 2º grau são:

𝑥 𝑥 + 3 = 0 𝒙𝟏 = 𝟎

𝑥 + 3 = 0 ⇒ 𝒙𝟐 = −𝟑

Verificando as raízes na equação do irracional:

M9

Verificação:

𝑥 − 5 − 4 = 0 ⇒ 21 − 5 − 4 = 0 ⇒ 16 − 4 = 0 ⇒ 4 − 4 = 0 ⇒ 𝟎 = 𝟎

Verdadeira! (VERIFICADA)


Observe que apenas 𝑥 = 0 verifica a igualdade, assim a raiz da equação original é 0.


Resolver as seguintes equações irracionais:

116) 𝑥 − 4 = 0

117) 𝑥 + 2 = 0

118) 𝑥 + 1 − 2 = 0

119) 𝑥 − 2 𝑥 = 15

120) 2𝑥 + 7 = 4 − 2 − 𝑥

121) 𝑥 + 1 + 𝑥 − 4 = 2𝑥 + 9

122) (FCC) Seja o número real 𝒌 a solução da equação 𝑥 + 2 − 𝑥 − 2 = 1. Nestas condições, 𝒌𝟐 é um número

compreendido entre:

a) 2 e 8

b) 8 e 14

c) 26 e 32

d) 20 e 26

e) 14 e 20

123) (FCC) A equação 𝑥 − 9 − 𝑥2 = 3 admite:

g) apenas uma raiz negativa.

h) apenas uma raiz positiva.

i) duas raízes de sinais contrários.

j) duas raízes positivas.

k) duas raízes negativas.

M9 Para 𝑥1 = 0:

𝑥 + 4 − 2 = 𝑥

0 + 4 − 2 = 0

4 − 2 = 0 2 − 2 = 0 𝟎 = 𝟎 (VERIFICADA!)

Para 𝑥2 = −3:

𝑥 + 4 − 2 = 𝑥

−3 + 4 − 2 = −3

1 − 2 = −3 1 − 2 = −3 −𝟏 ≠ −𝟑 (NÃO VERIFICADA!)

HORA DE EXERCITAR!


MÓDULO X (M10) INEQUAÇÕES DO 1º GRAU

1) Símbolos de desigualdades São símbolos que permitem uma comparação entre duas grandezas. Exemplos: 3) 7 > 5 (7 é maior do que 5). 4) 3 < 6 (3 é menor do que 6). 5) 𝑥 ≤ 1 (𝑥 é menor ou igual a 1). 6) 𝑦 ≥ 4 (𝑦 é maior ou igual a 4). 7) 1 < 𝑥 ≤ 4 (𝑥 é maior do que 1 e menor ou igual a 4).

2) Inequação do 1º grau Inequação do 1º grau é uma desigualdade condicionada em que a incógnita é de 1º grau..

Exemplo: 2𝑥 > 4 A veracidade da desigualdade está condicionada ao valor de 𝑥. Observa-se que o 1º membro será maior do

que o 2º membro quando se atribui a 𝑥 qualquer valor maior do que 2. Isto é:

𝑥 > 2

𝑥 > 2 indica um conjunto de valores denominado solução da inequação. Para determinar-se o conjunto-solução de uma inequação do 1º grau isola-se 𝑥 no 1º membro de forma análoga à solução de uma equação do 1º grau, e sempre que se multiplicar ou dividir a inequação por um número negativo, inverte-se o sinal da desigualdade.

Exemplos: a) 4 − 𝑥 ≤ 2

−𝑥 ≤ 2 − 4 −𝑥 ≤ −2 [Multiplicando-se ambos os termos por −1] 𝒙 ≥ 𝟐

b) 2𝑥 + 1 ≥ 1 2𝑥 ≥ 1 − 1 2𝑥 ≥ 0 𝒙 ≥ 𝟎

c) 𝑥

2− 𝑥 ≥ 1

𝑥 − 2𝑥 ≥ 2 −𝑥 ≥ 2 [Multiplicando-se ambos os termos por −1] 𝒙 ≤ −𝟐

M10

𝒂 > 𝒃 (𝑎 é maior do que 𝑏)

𝒂 < 𝒃 (𝑎 é menor do que 𝑏)

𝒂 ≥ 𝒃 (𝑎 é maior ou igual a 𝑏)

𝒂 ≤ 𝒃 (𝑎 é menor ou igual a 𝑏)


d) 𝑥+1

3 < 2𝑥 −

𝑥

4 [m.m.c. = 12]

4 𝑥 + 1 < 24𝑥 − 3𝑥 4𝑥 + 4 < 24𝑥 − 3𝑥 4𝑥 − 24𝑥 + 3𝑥 < −4

−17𝑥 < −4 [Multiplicando-se ambos os termos por −1] 17𝑥 > 4

𝒙 > 𝟒

𝟏𝟕


Resolver as seguintes inequações:

124) 2𝑥 + 1 ≤ −1 125) −3𝑥 ≤ 𝑥 + 2 126) 𝑥 > 5𝑥 − 16 127) 2 𝑥 + 1 + 3𝑥 > 5 − 7𝑥

128) 2

5𝑥 −

1

2 ≥

4𝑥

5− 1

129) 7𝑥

3− 7 ≤ 𝑥 +

2

3

130) 3𝑥

4− 9 <

2𝑥

7+ 4

131) (CESGRANRIO) Se 𝑥 − 𝑦 > 𝑥 e 𝑥 + y < 𝑦, então:

a) 𝑦 < 𝑥 b) 𝑥 < 𝑦 c) 𝑥 < 𝑦 < 0 d) 𝑥 < 0 e 𝑦 < 0 e) 𝑥 < 0 e 𝑦 > 0

132) (PUC-SP) Se −2 ≤ 𝑥 ≤ 6 e 3 ≤ 𝑦 ≤ 9, então 𝒙 − 𝒚 está entre:

a) −2 e 9 b) −5 e 3 c) −5 e −3 d) −3 e 11 e) −11 e 3

M10

HORA DE EXERCITAR!


RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS

1) 9,59 2) 255,23 3) 11,1 4) 14,55

5) 6,72 6) 1,4942 7) 6,42963 8) 2,34

9) 1330 10) 0,63 11) 0,05 12) 350,56

13) 0,065 14) 2,18 15) 0,318 16) + 4

17) +1 18) –15 19) –6 20) +10

21) +10 22) –2 23) –2 24) –4

25) +4 26) –2 27) +15 28) –1

29) 21 30) 18 31) impossível 32) 10

33) 1 34) 1 35) a) 180 35) b) 180

35) c) 288 36) a) 11

2 36) b) 2

2

5 36) c) 33

1

3

37) a) 6

5 37) b)

11

4 37) c) −

101

10 38) a)

1

2

38) b) 1

3 38) c)

1

4 39) a)

1

2<

2

3 39) b)

2

3<

5

6

39) c) 4

7>

3

8 40)

3

10 41) −

2

15 42)

1

3

43) 11

6 44)

2

15 45)

2

35 46)

1

15

47) −214

15 48)

2

3 49) −3

1

3 50)

3

16

51) 2 52) 12

3 53)

4

9 54) 3

1

2

55) 14

9 56) −

1

15 57) e 58) a

59) c 60) 14 61) a 62) b

63) a 64) c 65) 66 66) 1

67) 0 68) –8 69) –64 70) +16

71) +256 72) 28 73) 38 74) 3

75) 37 76) 104 77) 155 78) 53

79) −26 80) 36 81) 215 82) 39

83) 312 84) 23 × 33 85) 38 × 54 × 24 86) 55

35

87) 23 × 3−12 88) 24×36

56 89) 1 90) 1

16

91) 2

3 92) 2 × 34 93) 212 × 58 94) a) 2 × 104

94) b) 48 × 105 94) c) 10−2 94) d) 45 × 10−6 95) a) 12 × 105

95) b) 448 × 10−1 96) a) 9 5 96) b) 5 2 96) c) 34

96) d) 3 97) a) 3 2 97) b)2 97) c) 2

98) a) 4 98) b)3 123

98) c) 39

98) d) 26

98) e) 2 98) f) 21327 99) a) 234

99) b) 2

2

99) c) 24

99) d) 612

100) a) 5

5 100) b)

3 7

7


100) c) 6

4

100) d) 2 5 + 2

100) e) 4 + 11 101) a) −2𝑎 𝑎 + 2𝑏

101) b) 𝑦 𝑦2 + 𝑥2 101) c) −56𝑥4𝑦4 101) d) 𝑎2 − 𝑏2 + 𝑎𝑐 − 𝑏𝑐

101) e) 𝑥5 − 3𝑥4𝑦 − 𝑥3𝑦 + 𝑥3 + 3𝑥2𝑦2 − 𝑥𝑦 101) f) 3𝑥5 − 2𝑥4 + 𝑥3 − 𝑥

101) g) 2𝑎 + 3𝑎2𝑏2𝑐 − 1 102) a) 10𝑥2 − 14𝑥 + 13

102) b) 9𝑥2𝑦2 + 48𝑥𝑦𝑎2 + 64𝑎4 102) c) 25𝑎2𝑏2 − 9𝑐2 103) a) 5𝑎 3𝑎 − 2𝑏

103) b) 3𝑥 𝑎2 − 2𝑏2 + 4 104) d 105) c

106) a) 2 106) b) –2 106) c) 1 106) d) 5

106) e) 0 106) f) –2 106) g) 9

8 106) h)

5

6

106) i) 6 106) j) 4 106) k) 8 106) l) 9

107) a) 𝑥 = 6,𝑦 = 6 107) b) 𝑥 = −1, 𝑦 = 4 107) c) 𝑥 = 2,𝑦 = 2 107) d) 𝑥 = 4, 𝑦 = 5

108) d 109) b 110) 32 111) a) 6, 1

111) b) –7, 4 111) c) 2

3, 1 111) d) −

1

4,−

3

4 111) e) ±2

111) f) ±3 111) g) 0,5

3 111) h) 0, –4 111) i) 0, 1

112) a) reais e diferentes 112) b) imaginárias 112) c) reais e iguais 113) a) 5, 1

113) b) –5, 3 113) c) 6, –2 113) d) 7, 3 113) e) –10, 5

114) a) ± 𝑏

𝑎 114) b) ±3 2 115) d 116) 16

117) impossível 118) 3 119) 25 120) 1,−7

9

121) 8 122) e 123) b 124) 𝑥 ≤ −1

125) 𝑥 ≥ −1

2 126) 𝑥 < 4 127) 𝑥 >

1

4 128) 𝑥 ≤

5

4

129) 𝑥 ≤ 23

4 130) 𝑥 < 28 131) d 132) e

“Tenha em mente que tudo que você

aprende na escola é trabalho de muitas

gerações (...) Receba essa herança,

honre-a, acrescente a ela e, um dia,

fielmente, deposite-a nas mãos de seus

filhos.” (Albert Einstein)


REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

1. Andrini, Álvaro; Vasconcelos, Maria José. PRATICANDO MATEMÁTICA. Editora do Brasil – 3ª edição - 2012.

2. Giovanni Jr., José Ruy; Castrucci, Benedicto. A CONQUISTA DA MATEMÁTICA. FTD – 2015.

3. Bianchini, Edwaldo Roque. MATEMÁTICA. Moderna - 7ª Edição 2011

4. Iezzi, Gelson. MATEMÁTICA E REALIDADE. Atual - 8ª Edição 2013.

5. Imenes, Luiz Márcio Pereira; Lellis, Marcelo Cestari Terra. MATEMÁTICA. Moderna - 2ª Edição 2012.


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