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MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO QUADRÁTICA – PARTE 2
EIXO DE SIMETRIA ..............................................................................2
COEFICIENTES a, b E c NO GRÁFICO...........................................2
SINAL DA FUNÇÃO QUADRÁTICA ...................................................4
INEQUAÇÕES DO 2º GRAU ...............................................................9
INEQUAÇÕES PRODUTO E QUOCIENTE ................................... 14
SISTEMA DE INEQUAÇÕES DO 2º GRAU ................................... 18
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA ...................................................... 25
No final das séries de exercícios podem
aparecer sugestões de atividades complementares. Estas sugestões referem-se a exercícios do livro “Matemática” de Manoel Paiva
fornecido pelo FNDE e adotado pelo IFMG – Campus Ouro Preto durante o triênio 2015-2017.
Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1.
CASSIO VIDIGAL 2 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
Terminamos a apostila anterior construindo de gráficos da função do 2º
grau. Vamos começar esta apostila tratando de mais alguns elementos
importantes acerca destes gráficos.
EIXO DE SIMETRIA
“O gráfico da função quadrática
admite um eixo de simetria perpendicular ao eixo horizontal e que
passa pelo vértice da parábola”. A afirmação acima está presente no livro “Fundamentos da Matemática
Elementar” e vamos demonstrá-la abaixo.
Os pontos de uma reta vertical que passa pelo vértice de uma parábola
obedecem à equação a2
bx pois
todos os pontos têm abscissa a
b
2 .
Para provarmos que a parábola
tem um eixo de simetria, na reta
a2
bx devemos mostrar que se o
ponto
1y,k
a2
bA pertence ao
gráfico, então o ponto
1y,k
a2
bB
também pertence.
Vamos considerar a função
cbxaxxf 2 na sua forma
2
2
a4a2
bxaxf
e também que o ponto
1y,k
a2
bA
pertence a f(x), assim,
ka2
bf
a4a2
bk
a2
ba
a4ka
a4ka
a4a2
bk
a2
bayk
a2
bf
a4a2
bxaxf
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
logo, podemos ver que o ponto
1y,k
a2
bB também pertence ao
gráfico.
Esta conclusão nos permite construir apenas um ramo da parábola (à esquerda ou direita do vértice) e
simetrizar este ramo em relação ao eixo de simetria para construir o outro ramo.
COEFICIENTES a, b E c NO GRÁFICO
Os parâmetros a, b e c de uma função quadrática apresentada sob a forma f(x) = ax2 + bx + c nos dão
informações interessantes e importantes sobre a natureza do gráfico. Vamos ver
nos acasos a seguir:
MATEMÁTICA I 3 FUNÇÃO QUADRÁTICA – PARTE 2
1. Parâmetro c
O coeficiente c indica o ponto onde a
parábola cruza o eixo vertical.
A parábola cruzo o eixo das ordenadas no ponto (0, c).
2. Parâmetro b
Este coeficiente indica se a parábola
cruza o eixo das ordenadas com seu ramo crescente ou decrescente. Veja
cada um dos casos nos exemplos abaixo.
1º caso: b > 0
Quando b > 0, a parábola cruza o eixo
vertical com seu ramo crescente.
2º caso: b < 0
Quando b < 0, a parábola cruza o eixo vertical com seu ramo decrescente.
3º caso: b = 0 Quando b = 0, a parábola cruza o eixo
vertical no vértice, onde a função não é crescente nem decrescente.
3. Parâmetro a
O parâmetro a é responsável pela
concavidade e abertura da parábola. Como já vimos na página 13 da apostila
6, se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima e se a < 0, a concavidade estará voltada para
baixo.
Porém, mais do que isso, este parâmetro determina a parábola. Quanto maior o valor absoluto de a, menor será
sua abertura ou, em outras palavras, mais “fechada” ela será independente da
direção da concavidade. Veja nos exemplos a seguir:
CASSIO VIDIGAL 4 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
Estas informações são úteis, entre outras coisas, para verificar se
construção do gráfico está correta.
SINAL DA FUNÇÃO QUADRÁTICA
Como já vimos em funções do primeiro grau, estudar o sinal de uma
função é determinar para quais valores de x a função assume valores positivos,
negativos ou mesmo zero. Dada uma função quadrática do
tipo f(x) = ax2 + bx + c, sabemos que f(x) pode apresentar duas, uma ou nenhuma raiz e o sinal do coeficiente a determina
a concavidade da parábola.
Para estudar o sinal de uma função do 2º grau, fazer um esboço do
gráfico baseado nas raízes, caso existam, e no sinal do coeficiente a.
Veja, nos exemplos, alguns casos.
MATEMÁTICA I 5 FUNÇÃO QUADRÁTICA – PARTE 2
Ex.: Vamos estudar o sinal das seguintes funções:
a) f(x) = x2 – x – 6
b) f(x) = –2x2 + 3x + 2
c) f(x) = x2 – 2x + 1
d) f(x) = –2x2 + 8x - 8
e) f(x) = x2 – 2x + 2
f) f(x) = –x2 + x – 1
Resolução: a) f(x) = x2 – x – 6
As raízes são x1 = -2 e x2 = 3 e a = 1 > 0, assim a parábola corta o eixo OX em dois pontos e possui
concavidade para cima. O esboço a seguir mostra isto e apresenta os sinais
em cada intervalo.
Logo, podemos afirmar que:
3x2para0xf
3xou2xpara0xf
3xou2xpara0xf
b) f(x) = –2x2 + 3x + 2
x1 = -1/2 , x2 = 2 e a = -2 < 0
2x2
1para0xf
2xou2
1xpara0xf
2xou2
1xpara0xf
c) f(x) = x2 – 2x + 1 x1 = x2 = 1 e a = 1 > 0
1xpara0xf
1xpara0xf
d) f(x) = –2x2 + 8x - 8
x1 = x2 = 2 e a = 1 > 0
2xpara0xf
2xpara0xf
CASSIO VIDIGAL 6 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
e) f(x) = x2 – 2x + 2 a = 1 > 0 e f(x) não possui raízes.
Logo, xpara0xf
f) f(x) = –x2 + x – 1 a = -1 < 0 e f(x) não possui raízes.
Assim, xpara0xf
______________________________
Faça agora alguns exercícios envolvendo estudo de sinais e
inequações.
1) Faça o estudo do sinal das seguintes
funções:
a) 1x5x6xf 2
MATEMÁTICA I 7 FUNÇÃO QUADRÁTICA – PARTE 2
b) 3x2xxf 2
c) 4x4xxf 2
d) 2xxxf
e) 9xxf 2
CASSIO VIDIGAL 8 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
f) 1x34x2xf
g) 2x1x2xf
h) 1xx2xf 2
i) 1x1xxf
MATEMÁTICA I 9 FUNÇÃO QUADRÁTICA – PARTE 2
j) 2x3xf
2) Determine os valores de c para os
quais temos x,0cx4x2
______________________
ATIVIDADES COMPLEMENTARES
Pág. 182 – Exercícios R.6 e R.7
Pág 184 – Exercícios 15 e 16 ______________________
INEQUAÇÕES DO 2º GRAU
Sendo f(x) = ax2 + bx + c com a,
b e c reais e a 0, chamamos de
INEQUAÇÃO DO 2º GRAU às
sentenças do tipo f(x) > 0 ou f(x) 0 ou
f(x) < 0 ou ainda f(x) 0.
Resolver uma inequação significa determinar os valores reais de x que
satisfazem a condição pedida e isto é feito analisando-se o sinal da função.
Veja no exemplo a seguir.
Ex. 1. Qual a solução da inequação 2x2 – 5x + 2 >0.
Resolução:
Em princípio devemos determinar as raízes da função e a seguir esboçar o gráfico.
As raízes são 2x1 e 2
1x2 e
a = 2 > 0.
Observando o esboço do gráfico, podemos notar que a função é positiva
para 2
1x ou 2x assim:
2xou2
1x|xS
CASSIO VIDIGAL 10 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
Ex.2:
Resolver a inequação x2 – 6x – 7 0.
As raízes são x1 = -1 e x2 = 7 e a > 0.
7x1|xS
Ex.3: Quais valores de x satisfazem a inequação x2 – 6x + 9 > 0?
Raízes: x1 = x2 = 3 e a > 0
3x|xS
3) Determine o conjunto solução de
cada uma das inequações a seguir:
a) 010x9x2
b) 0xx6 2
c) 4x2
MATEMÁTICA I 11 FUNÇÃO QUADRÁTICA – PARTE 2
d) x1236x2
e) 1xx2
f) 8
1x12x2
2
x2
g) 2mm21mm 22
CASSIO VIDIGAL 12 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
h) 1tt2t
i) 16x44xx
j) 6
1k
3
1k
2
k 2
k) 2a42x 22
MATEMÁTICA I 13 FUNÇÃO QUADRÁTICA – PARTE 2
4) Num laboratório, uma substância sofre um processo de mudança de
temperatura. Sabe-se que após t segundos após o inicio do experimento,
a temperatura C, em graus Celsius, é dada por C(t) = t2 – 12t + 35.
a) Qual a temperatura inicial da substância?
b) Qual a temperatura mínima que a
substância atinge?
c) Em que instante isto ocorre?
d) Durante quanto tempo a temperatura
fica negativa?
CASSIO VIDIGAL 14 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
e) Em que intervalo de tempo a temperatura ficou abaixo de 24ºC?
______________________
ATIVIDADES COMPLEMENTARES
Pág. 184– Exercícios 17 a 19
______________________
INEQUAÇÕES PRODUTO E QUOCIENTE
Resolver uma inequação produto e/ou quociente do segundo grau é
semelhante ao que fazemos com aquelas que envolvem apenas funções
do primeiro grau. Veja o exemplo.
Ex.: Resolver a inequação
(x2 + 2x – 3)(4x – 1) > 0
Resolução: Devemos estudar o sinal de cada uma
das funções.
f(x) = x2 + 2x – 3
g(x) = 4x – 1
1xou4
1x3|xS
___________________________
Como não há novidades em relação ao que já vimos em inequações
produto/quociente do primeiro grau, podemos passar direto aos exercícios.
MATEMÁTICA I 15 FUNÇÃO QUADRÁTICA – PARTE 2
5) Resolva as inequações:
a) 01xx24x5x 22
b) 01x5xx2
c) 02x3xx 2
d) 0x110x3x3x2 22
CASSIO VIDIGAL 16 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
e) 01xx2
1x3x42
2
f) 05x6x
x42
2
6) Resolva as duas inequações a seguir:
a) 2x
1x
1x
x
b) 21x
1
1x
122
MATEMÁTICA I 17 FUNÇÃO QUADRÁTICA – PARTE 2
7) Seja 1x2
1x2xf
2
. Determine os
valores de x em cada caso:
a) para que se tenha f(x) = 1
b) para que se tenha f(x) > 1
8) Dado 1x2x31xx2xf 22
calcule os valores de x em cada caso:
a) para que se tenha f(x) = 0
b) para que se tenha f(x) > 0
CASSIO VIDIGAL 18 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
SISTEMA DE INEQUAÇÕES DO 2º GRAU
Resolver um sistema de
inequações do 2º grau ou um sistema de inequações simultâneas do 2º grau é
semelhante àquele envolvendo apenas inequações do primeiro grau.
Devemos lembrar que a solução
de um sistema é a INTERSECÇÃO das soluções de cada uma das inequações que o formam.
Ex.: Resolver o sistema
1xx2
2xx
2
2
.
Resolução: Devemos resolver cada inequação separadamente e, em seguida, fazer a
intersecção entre as soluções.
2xe1x
02xx
2xx
21
2
2
1xe
2
1x
01xx2
1xx2
21
2
2
]2;1[]2
1;1[S
9) Resolva os sistemas:
a)
3x2x2x2x
1x21x2
22
2
MATEMÁTICA I 19 FUNÇÃO QUADRÁTICA – PARTE 2
b)
9x8x
9x
x8x
2
2
2
10) Indique o conjunto solução de cada um dos três sistemas de inequações
simultâneas a seguir:
a) 4x5xx4 222
CASSIO VIDIGAL 20 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
b) 2
x1x5
2
xx
2
1 2
c) 3xx22x3x1x2x3 222
MATEMÁTICA I 21 FUNÇÃO QUADRÁTICA – PARTE 2
11) Sejam 52xxf 2 e
1x3xg 2 . Determine x tal que:
a) 2 < f(x) < 5
b) f(x) g(x)
12) Calcule m de modo que
1mxmxxf 2 tenha raízes reais e o
gráfico seja uma parábola voltada para
cima.
CASSIO VIDIGAL 22 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
13) Construir o gráfico da função:
3xou3xpara14x
3x3para4xxf
2
2
14) Construir o gráfico da função:
1xpara1x
1x2para3 - x 2 + x²
-2xpara7x2
xf
MATEMÁTICA I 23 FUNÇÃO QUADRÁTICA – PARTE 2
RESPOSTAS
1)
a)
2
1x
3
1para0xf
2
1xou
3
1xpara0xf
2
1xou
3
1xpara0xf
b)
1xou3xpara0xf
1xou3xpara0xf
1x3para0xf
c)
2xpara0xf
2xpara0xf
d)
1xou0xpara0xf
1xou0xpara0xf
1x0para0xf
e)
3x3para0xf
3xou3xpara0xf
3xou3xpara0xf
f)
3
1x2para0xf
3
1xou2xpara0xf
3
1xou2xpara0xf
g)
2xou1xpara0xf
2xou1xpara0xf
2x1para0xf
h) xpara0xf
i)
xpara0xf
j)
2xpara0xf
3xpara0xf
2)
c > 4
3) a)
2
419xou
2
419x|xS
b) 6x0|xS
c) 2xou2x|xS
d) 6x|xS
e)
2
51x
2
51|xS
f)
2
1S
g) 1m|mS
h) S = Ø
i) 4S
j)
2
1kou
3
1k|kS
k) S = Ø
4) a) 35ºC
b) -1ºC
c) t = 6 s
CASSIO VIDIGAL 24 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
d) durante 2 segundos
e) 1 < t < 11
5) a)
4xou2
1x|xS 185
b)
5
1x0ou1x|xS
c) 0x1ou2x|xS
d)
}5x2
3ou1x1
ou2x|x{S
e)
}1xou1x4
1
ou2
1x|x{S
f)
}3xou1x2ou
5x|x{S
6) a) 2x1|xS
b) 1xou0xou1x|xS
7) a) x = 0 ou x = 1
b) 1x2
2ou0x
2
2
8) a) 1xou3
1xou
2
1x
b) 2
1xou
3
1x1ou1x
9) a) 1x0|xS
b) 9xou3x|xS
10) a) 4xou1x|xS
b) S = Ø
c)
1x2
1|xS
11) a) -2 < x <0 b) x -1 ou x ≥ 2
12) m ≥ 4 13)
14)
MATEMÁTICA I 25 FUNÇÃO QUADRÁTICA – PARTE 2
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA
MACHADO, Antônio dos
Santos; Matemática, Temas e Metas.
São Paulo, Atual, 1988.
IEZZI, Gelson e outros;
Fundamentos da Matemática Elementar,
Volume 1. São Paulo, Atual, 5ª edição,
1977.
RUBIÓ, Angel Pandés;
Matemática e suas tecnologias; Volume
1. São Paulo, IBEP, 2005.
PAIVA, Manoel; Matemática;
Volume 1. São Paulo, Moderna, 1995.
Links para as vídeos-aulas sugeridas
Pág. 04
http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/
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Pág. 06
http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/
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