ELETROMAGNETISMO I CAPÍTULOV Prof. Dr. Cláudio S. Sartori · dos elétrons e a velocidade a qual muda a configuração do campo elétrico no fio. Esta velocidade é próxima a da

ELETROMAGNETISMO I – Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULOV Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 1

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Corrente e Densidade de corrente elétrica.

Começamos agora a estudar o movimento de cargas elétricas. Exemplo de corrente elétrica: as pequenas correntes nervosas que regulam nossas atividades musculares, correntes nas casas, como a que passa pelo bulbo de uma lâmpada, em um tubo evacuado de TV, fluem elétrons. Partículas carregadas de ambos os sinais fluem nos gases ionizados de lâmpadas fluorescentes, nas baterias de rádios transistores e nas baterias de automóveis. Correntes elétricas atravessam as baterias de calculadoras e em chips de aparelhos elétricos (Microcomputadores, forno de microondas, etc.). Em escalas globais, partículas carregadas são presas nos cinturões de radiação de Van Allen existentes na atmosfera entre os pólos norte e sul. Em termos do sistema planetário, enormes correntes de prótons, elétrons e íons voam na direção oposta do Sol, conhecido como vento solar. Em escala galáctica, raios cósmicos, que são prótons altamente energéticos, fluem através da Via-Láctea. Como a corrente consiste num movimento de cargas, nem todo movimento de carga constitui uma corrente elétrica. Referimos a uma corrente elétrica passando através de uma superfície, quando cargas fluem através dessa superfície. Exemplifiquemos dois exemplos: 1) Os elétrons de condução de um fio de cobre isolado estão em movimento randômico a uma velocidade da ordem de 106 m

s . Se passarmos um hipotético plano através do fio, os elétrons de condução passam através dele em ambas as direções, a razão de alguns bilhões por segundo. Então não há um transporte de carga e conseqüentemente não há corrente. Porém se conectar as extremidades do fio em uma bateria, o movimento das cargas se dará em uma direção, havendo assim corrente elétrica. 2) O fluxo de água através de uma mangueira de jardim representam a direção do fluxo das cargas positivas, (os prótons na molécula de água) a razão de alguns milhões de Coulomb por segundo. Não há transporte de cargas, pois há um movimento paralelo de cargas elétricas negativas (elétrons na molécula de água) de exata quantidade na mesma direção.

Definição de Corrente Elétrica: Imagine um fio condutor isolado, em forma de curva, como ilustrado abaixo. Não há campo elétrico aplicado ao fio, conseqüentemente não há força elétrica atuando nos elétrons de condução. Se inserimos uma bateria, conectada às extremidades do fio, estabelecemos um campo elétrico no interior do fio, exercendo força sobre os elétrons de condução, estabelecendo assim uma corrente elétrica.

Figura 1 – Sentido convencional da corrente elétrica num circuito elétrico. O sentido real é o oposto, o do movimento dos elétrons.

i qt

i dqdt= =

∆∆

;

Sobre condições de regime estacionário, a corrente elétrica é a mesma em um fio condutor, analisando diferentes seções transversais do fio. Isto garante que a carga é conservada. A unidade do SI para corrente elétrica é o Coulomb por segundo ou Ampére (A):

1 11A Cs=

A direção da corrente elétrica: Na figura acima demos a direção da corrente elétrica como sendo o movimento de cargas positivas, repelidas pelo terminal positivo da bateria elétrica e atraídas pelo seu terminal negativo. Este é o sentido convencional histórico; o sentido real é o do movimento das partículas negativas (elétrons), que é contrário ao sentido convencional.

Densidade de corrente elétrica – J

Na teoria de campos, estamos interessados

em eventos que ocorrem em um ponto e não em uma região extensa. Então, devemos conceituar a densidade de corrente J , medida em ampéres por metro quadrado (A/m2).

O incremento de corrente ∆I que atravessa uma superfície incremental ∆S, normal à densidade de corrente é:

SJI N∆=∆

SJI ∆⋅=∆I

∫∫ ⋅=S

SdJ

A densidade de corrente pode ser comparada à velocidade de uma densidade de carga volumétrica:

txS

tV

tQI v

v

∆∆

∆=∆∆

=∆∆

= ρρ

xv Sv∆=I ρ Como vx representa a componente da

velocidade v, teremos:


2

xvx vJ ρ= Generalizando, teremos:

vJ vρ= Observe que a carga em movimento constitui a

corrente, que também chamamos de J como densidade de corrente de convecção.

Figura 2 – Ilustração do movimento dos portadores de carga positivo (sentido convencional (a)) e sentido real (b). Observe que J e E possuem o mesmo sentido.

Assim, algumas vezes estamos interessados na

corrente i de um determinado condutor. Outras vezes necessitamos determinar o movimento localizado de cargas em algum ponto do condutor. Uma carga positiva movimenta-se na direção do campo elétrico em um dado ponto do condutor, originando um fluxo. Para descrever esse fluxo, introduzimos o conceito de densidade de corrente J, um vetor que possui o mesmo sentido do campo elétrico.

+ - +

i

v d

E

J

v d

Vemos que as cargas positivas possuem velocidade na direção do campo elétrico e as cargas negativas no sentido oposto. Se possuirmos uma corrente elétrica distribuída uniformemente sobre a seção transversal de um fio condutor, a densidade de corrente J é uma constante para todos os pontos deste fio condutor e vale:

J iA=

Aqui, A é a área da seção reta do condutor. A unidade SI da densidade de corrente J é o ampére por

metro quadrado: Am2 . Para qualquer superfície, a

densidade de corrente se relaciona com a corrente através da equação:

i J dA= ∫ .

Aqui o elemento de área dA é perpendicular ao elemento de superfície de área dA. Cálculo da velocidade: Os elétrons de condução em um condutor de cobre possuem um movimento randômico com velocidade da ordem de 106 m

s . A direção do fluxo ou a velocidade da correnteza (drift speed) dos elétrons de condução é muito menor. A velocidade de correnteza da corrente em um fio de casa, por exemplo, é caracterizada por uma velocidade da ordem de 10 3− m

s . Estimaremos a velocidade de correnteza de um fio com cargas móveis. Na figura anterior denotamos esta velocidade por vd. Assumimos por convenção que o movimento das cargas é o movimento das cargas (portadores) positivas. O número de portadores em um comprimento L de um fio é n A L, onde n é o número de portadores por unidade de volume e A área da seção transversal do fio. A carga é dada por:

q nAL e= ( ) ∆ Esta carga passa pelo volume V em um intervalo de tempo dado por:

∆ =t Lvd

Substituindo na definição de corrente elétrica, teremos:

i = = = nAevqt

nALedL

∆∆ vd

Resolvendo para vd e usando a definição de densidade de corrente J teremos:

vdi

nAeJ

ne= = Estendendo para a forma vetorial, teremos:

J ne vd= ( ) O produto ne possui unidade no SI de coulomb por metro cúbico C . Observe que os vetores J e v possuem a mesma direção.

m3

Exemplo - O fim de um fio de alumínio com diâmetro de 2,5 mm está conectado a um fio de cobre cujo diâmetro é de 1,8 mm. O fio formado carrega uma corrente estacionária de 1,3 A. Qual a densidade de corrente em cada fio? Para isso calculemos a área da seção transversal dos fios de alumínio e cobre e apliquemos a definição da densidade de corrente:


3

A dAl = = =− m−14

2 14

3 2 6 22 5 10 4 91 10π π( , . ) , .

J Ali

AA

mA

cmAl= = = =−

1 34 9110

56 22 6 10 26,

, ., . 2

A dCu = = =− m−14

2 14

3 2 6 21 8 10 2 54 10π π( , . ) , .

JCui

AA

mA

cmCu= = = =−

1 32 54 10

56 2 25 1 10 51,

, ., .

Exemplo No exemplo anterior, qual a velocidade de correnteza dos elétrons de condução no fio de cobre? O número de elétrons por unidade de volume n é o mesmo que o número de átomo por unidade de volume e é encontrado por: n

N Matomos matomos mol

massa mmassa molA

= ⇒ =ρ ( //

//

3)

3. Aqui, ρ é

a densidade do cobre e NA o número de avogadro. M é a massa molar do cobre.

n NM

mol eletronsm

Akg

mkg

mol= = =

−

−

ρ ( , . )( , . ).

, .6 0210 9 010

641028

23 1 33

3 38 4710

vd

inAe

Jne

ms

cmh= = = = =−

−51108 4710 1610

55

28 19 3 8 10 14, .( , . )( , . )

, .

Você pode perguntar: "Os elétrons se movem tão vagarosamente, como a luz se acende logo que imediatamente que acionamos o interruptor?". Esta confusão é de não distinguirmos a velocidade da correnteza dos elétrons e a velocidade a qual muda a configuração do campo elétrico no fio. Esta velocidade é próxima a da luz. Similarmente, quando você abre a torneira em uma mangueira de jardim, se esta contiver água, imediatamente sairá água na outra extremidade, devido à pressão, porém a velocidade da correnteza é pequena.

Continuidade de corrente

É importante relacionar o conceito de corrente com a conservação da carga e a equação da continuidade. O princípio da conservação da carga informa que as cargas não podem ser criadas nem destruídas, embora quantidades iguais de cargas positivas e negativas possam ser simultaneamente criadas (por separação), perdidas ou destruídas (pela recombinação).

A equação da continuidade segue este princípio quando consideramos qualquer região limitada por uma superfície fechada. A corrente através dessa superfície fechada é:

∫∫ ⋅=S

SdJI

Este fluxo para fora das cargas positivas e negativas pode ser equilibrado pela diminuição das cargas positivas (ou talvez, um aumento das cargas negativas) dentro da superfície fechada. Se a carga dentro da

superfície fechada é representada por Qi, então a taxa de decaimento é dQi/dt e o princípio da conservação de cargas requer que:

dtdQSdJ i

S

−=⋅= ∫∫I

f

O sinal negativo indica que a corrente está fluindo para ora. Aplicando o Teorema de Gauss:

dVJSdJVS∫∫∫∫∫ ⋅∇=⋅

Como:

dVt

dVtt

Q

v

v

vv

i ∫∫∫∫∫∫ ∂∂

=∂∂

=∂∂ ρρ

Comparando as relações, teremos:

dVt

dVJV

v

V∫∫∫∫∫∫ ∂

∂−=⋅∇

ρ

Então:

tJ v

∂∂

−=⋅∇ρ

Recordando a interpretação física da divergência, esta equação indica que a corrente, ou variação de carga com o tempo, que diverge de um pequeno volume por unidade de volume, é igual à taxa de diminuição de carga por unidade de volume em cada ponto.

Condutores

Os físicos hoje descrevem o comportamento

dos elétrons ao redor do núcleo atômico positivo em termos da energia total do elétron em relação ao nível zero de referência para um elétron a uma distância infinita do núcleo. A energia total é dada pela soma das energias cinética e potencial, e como energia deve ser dada ao elétron para que este se afaste do núcleo, a energia de cada elétron no átomo é uma quantidade negativa. Embora este modelo possua algumas limitações, é conveniente associarmos estes valores de energia com as órbitas ao redor do núcleo; as energias mais negativas correspondem às órbitas de menor raio. De acordo com a teoria quântica, somente certos níveis discretos de energia, ou estados de energia, são permitidos em um dado átomo, e um elétron deve, portanto, absorver ou emitir quantidades discretas de energia, ou quanta, ao passar de um nível a outro. Um átomo normal na temperatura de zero absoluto possui um elétron ocupando cada um dos níveis de energia mais baixos, começando a partir do núcleo e continuando até que o suprimento de elétrons se esgote.

Em um sólido cristalino, como um metal ou um diamante, os átomos estão dispostos muito mais próximos, muito mais elétrons estão presentes e


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muito mais níveis de energia permissíveis estão disponíveis por causa das forças de interação entre os átomos. Verificamos que os níveis de energia que podem ser atribuídos aos elétrons são agrupados em largas faixas, ou bandas, cada banda composta de inúmeros níveis discretos extremamente próximos.

Na temperatura de zero absoluto, o sólido normal também

ontudo, o elétron com o maior nível de energia

ia quando somente

Figura 3 – Ilustração das bandas de energia em três diferentes ateriais a

Considerando um condutor, os elétrons livres e move

FNo espaço livre, o elétron aceleraria e

continua possui cada nível ocupado, começando com o menor e continuando até que todos os elétrons estejam situados. Os elétrons com os maiores (menos negativos) níveis de energia, os elétrons de valência, estão situados na banda de valência. Se forem permitidos maiores níveis de energia na banda de valência, ou se a banda de valência se une suavemente com a banda de condução, então uma energia cinética adicional pode ser dada aos elétrons de valência por um campo externo, resultando em um fluxo de elétrons. O sólido é chamado um condutor metálico. A banda de valência preenchida e a banda de condução não preenchida para um condutor a O K estão esboçadas na figura 3 (a).

Se, cocupar o nível do topo da banda de valência e

existir uma banda proibida (gap) entre a banda de valência e a banda de condução, então o elétron não pode receber energia adicional em pequenas quantidades e o material é um isolante. Esta estrutura de bandas está indicada na figura 3 (b). Note que, se uma quantidade de energia relativamente grande puder ser transferida para o elétron, ele pode ser suficientemente excitado para saltar a banda proibida até a próxima banda onde a condução pode facilmente ocorrer. Aqui o isolante é rompido.

Ocorre uma condição intermediár uma pequena região proibida separa as duas

bandas, como ilustrado na figura 3 (c). Pequenas quantidades de energia na forma de calor, luz ou um campo elétrico podem aumentar a energia dos elétrons do topo da banda preenchida e fornecer a base para condução. Estes materiais são isolantes que dispõem de muitas propriedades dos condutores e são chamados semicondutores. m oK. (a) O condutor não possui banda proibida entre as bandas de valência e de condução. (b) O isolante possui uma grande banda proibida. (c) o semicondutor possui uma pequena banda proibida.

s m pela atuação de um campo elétrico E, Assim, um elétron de carga –e experimentará uma força dada por:

Ee−=

mente aumentaria sua velocidade (e energia); no material cristalino, o progresso do elétron é impedido pelas colisões contínuas com a rede de estruturas cristalinas termicamente excitadas e uma velocidade média constante é logo atingida. Esta velocidade v, é denominada velocidade de deriva (do inglês, drift) e é linearmente relacionada com a intensidade de campo elétrico pela mobilidade do elétron em um dado material. Designamos mobilidade pelo símbolo m, tal que:

Eedv µ−= onde me é a mobilidade de um elétron e positiva por

velocidade de deri

er a relação

definição. Note que a velocidade do elétron está em uma direção oposta à direção de E. A equação anterior também mostra que a mobilidade é medida em unidades de metros quadrados por segundo por volt; os valores típicos são 0,0012 para o alumínio, 0,0032 para o cobre e 0,0056 para a prata.

Para estes bons condutores, uma va de poucas polegadas por segundo é

suficiente para produzir um aumento de temperatura apreciável e pode causar o derretimento do fio se o calor não for rapidamente removido por condução térmica ou radiação.

Podemos obtEJ eeµρ−=

nde re é a densidade de carga do elétron livre, um

para um condutor me

ovalor negativo. A densidade de carga total rv, é zero, pois quantidades iguais de cargas positivas e negativas estão presentes no material neutro. O valor negativo de re, e o sinal de menos levam a uma densidade de corrente J que está na mesma direção da intensidade de campo elétrico E.

Contudo, a relação entre J e Etálico é também especificada pela condutividade

s (sigma), onde s é medido em siemens por metro (S/m).

EJ σ= Um siemens (l S) é a unidade básica de

condutância no SI e é definido como um ampére por volt. Antigamente, a unidade de condutância era chamada mho e simbolizada por um Ω invertido. Assim como o siemens reverencia os irmãos


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Siemens&, a unidade inversa de resistência, que chamamos de ohm (l Ohm é um volt por ampere), reverencia Georg Simon Ohm, o físico alemão que primeiro descreveu a relação tensão-corrente implícita. Chamamos esta equação deforma pontual da lei de Ohm; em breve veremos uma forma mais comum da lei de Ohm.

Primeiramente, contudo, é interessante observar a condutividade de diversos condutores metálicos; os valores típicos (em siemens por metro) são 3,82.107 para o alumínio, 5,80.107 para o cobre e 6,17 107 para a prata. Dados de outros condutores podem ser encontrados no Apêndice C. Ao observarmos valores como estes, é apenas natural considerarmos que estamos sendo apresentados a valores constantes; isto é essencialmente verdade. Os condutores metálicos obedecem à lei de Ohm muito fielmente, e esta é uma relação linear; a condutividade é constante sobre largas faixas de densidade de corrente e intensidade de campo elétrico. A lei de Ohm e os condutores metálicos são também descritos como isotrópicos, ou tendo as mesmas propriedades em todas as direções. Um material não isotrópico é chamado anisotrópico. Mencionaremos tal material dentro de poucas páginas. Entretanto, a condutividade é uma função da temperatura. A resistividade, que é o inverso da condutividade:

σρ 1

Re =esistividad

varia quase linearmente com a temperatura na região da temperatura ambiente, e para o alumínio, o cobre e a prata ela aumenta cerca de 0,4 por cento para um aumento de l K na temperatura. Para diversos metais, a resistividade cai abruptamente a zero na temperatura de poucos Kelvin; esta propriedade é denominada supercondutividade. O cobre e a prata não são supercondutores, embora o alumínio o seja (para temperaturas abaixo de 1,14 K).

Se agora combinarmos (7) e (8), a condutividade podem ser expressa em termos da densidade de carga e da mobilidade do elétron por:

eeµρσ −= Pela definição de mobilidade, é agora interessante

notar que uma temperatura mais elevada implica uma maior vibração da rede cristalina, maior impedimento de progresso dos elétrons para uma dada intensidade do campo elétrico, menor velocidade de deriva, menor mobilidade, menor condutividade, maior resistividade. Supondo uniformidade no campo, podemos escrever:

& Este é o nome de família de dois irmãos alemães, KarI Wilhelm e Wemer von Siemens, famosos inventores do século XIX. Kari se tomou cidadão britânico e foi nomeado cavaleiro, tomando-se Sir William Siemens.

Figura 4 – Uniformidade de E e J num condutor.

ba

a

b

a

bab lEldEldEV ⋅−=⋅−=⋅−= ∫ ∫

abab lE ⋅=VV

I

Elab =

JSSdJS

=⋅= ∫∫

Como

l

VSIE

SIJ abσσ =⇒==

I

VSl ab=σ

Chamamos de resistência R:

SlRσ

=

SlR Rρ=

Propriedades dos condutores e

Condições de Fronteira

Mais uma vez, devemos temporariamente nos afastar das condições estáticas assumidas e variar o tempo por alguns microssegundos para vermos o que acontece quando uma distribuição de cargas é repentinamente desbalanceada dentro de um material condutor. Suponhamos, para efeito de argumento, que repentinamente apareça um número de elétrons no interior de um condutor. Os campos elétricos estabelecidos por estes elétrons não são anulados por quaisquer cargas positivas, e os elétrons, portanto, começam a acelerar para longe um do outro. Isto


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continua até que os elétrons atinjam a superfície do condutor ou até que um número igual de elétrons seja injetado na superfície.

Aqui o progresso dos elétrons para fora é interrompido, já que o material que envolve o condutor é um isolante que não possui uma banda de condução conveniente. Nenhuma carga pode permanecer dentro do condutor. Se isto acontecesse, o campo elétrico resultante forçaria as cargas para a superfície.

Assim, o resultado final dentro do condutor é uma densidade de carga zero e uma densidade superficial de carga que permanece na superfície externa. Esta é uma das duas características de um bom condutor.

As outras características, estabelecidas para condições estáticas nas qual nenhuma corrente deve fluir, seguem a partir da lei de Ohm: a intensidade de campo elétrico dentro do condutor é igual a zero. Fisicamente, vemos que se um campo elétrico estivesse presente os elétrons de condução se deslocariam e produziria uma corrente, acarretando, assim, uma condição não-estática.

Resumindo para a eletrostática, nenhuma carga e nenhum campo elétrico podem existir em qualquer ponto dentro de um material condutor. Entretanto, a carga pode aparecer na superfície como uma densidade superficial de carga. Nossa próxima investigação diz respeito aos campos externos ao condutor.

Desejamos relacionar estes campos externos à carga na superfície do condutor. Este problema é um problema simples e podemos tratar de sua solução primeiro com um pouco de matemática.

Se a intensidade do campo elétrico externo for decomposta em duas componentes, uma tangencial e outra normal à superfície do condutor, a componente tangencial é zero. Se não fosse, uma força tangencial seria aplicada aos elementos de carga da superfície, resultando no seu deslocamento e em condições não-estáticas. Como são consideradas condições estáticas, a intensidade de campo elétrico e a densidade de fluxo elétrico tangenciais são zero. A lei de Gauss responde nossas perguntas que dizem respeito à componente normal. O fluxo elétrico que deixa um pequeno incremento de superfície deve ser igual à carga contida nesta superfície incremental. O fluxo não pode penetrar no condutor, pois o campo total ali é zero. Ele deve deixar a superfície normalmente. Quantitativamente, podemos dizer que a densidade de fluxo elétrico em coulombs por metro quadrado que deixa a superfície normalmente é igual à densidade superficial de carga em coulombs por metro quadrado, ou:

DN = rS. Se utilizarmos alguns dos resultados

anteriormente obtidos para fazermos uma análise mais cuidadosa (e incidentalmente introduzindo um método geral que será usado mais tarde), podemos estabelecer a fronteira condutor-espaço livre mostrando as componentes tangencial e normal de D e E no lado do espaço livre da

fronteira. Ambos os campos são zero no condutor. O campo tangencial pode ser determinado aplicando-se:

∫ =⋅ 0ldE sobre o pequeno caminho fechado

abcda. A integral deve ser dividida em quatro partes. Desenvolvendo, chegamos as condições de

Fronteira: ∗ Componentes tangenciais:

0== tt ED ∗ Componentes Normais:

SNN ED ρε == 0 Resumindo os princípios que aplicamos aos condutores em campos eletrostáticos: 1. A intensidade do campo elétrico estático dentro de um condutor é zero. 2. A intensidade do campo elétrico estático na superfície de um condutor é, em qualquer ponto, normal à superfície. 3. A superfície de um condutor é uma superfície eqüipotencial. Figura 5 – Um condutor, onde o campo elétrico é nulo em seu interior,e normal em cada ponto de sua superfície.


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Materiais dielétricos

Embora tenhamos mencionado materiais isolantes e dielétricos, ainda não fornecemos quaisquer relações quantitativas nas quais eles estão envolvidos. Contudo, em breve veremos que um dielétrico em um campo elétrico pode ser visto como um arranjo de dipolos elétricos microscópicos no espaço livre que são compostos por cargas positivas e negativas cujos centros não são coincidentes.

Estas não são cargas livres e não contribuem para o processo de condução. Ao contrário, elas são ligadas por forças atômicas e moleculares e podem apenas mudar ligeiramente de posição em resposta aos campos externos. Elas são chamadas cargas ligadas, em contraste com as cargas livres que determinam condutividade. As cargas ligadas podem ser tratadas como quaisquer outras fontes de campo eletrostático. Se não desejarmos, portanto, não precisamos introduzir a constante dielétrica como um novo parâmetro ou lidar com permissividades diferentes da permissividade do espaço livre; entretanto, a alternativa seria considerar cada carga dentro de um pedaço de material dielétrico. Este é um preço muito alto a ser pago por usar nossas equações anteriores sem modificá-las, e devemos, portanto, despender algum tempo estudando a respeito de dielétricos de maneira qualitativa, introduzindo a polarização P, a permissividade e e a permissividade relativa eR e desenvolvendo algumas relações quantitativas envolvendo estas novas quantidades.

A característica comum de todos os dielétricos, sejam eles sólidos, líquidos ou gasosos, em forma cristalina ou não, é sua capacidade de armazenar energia elétrica. Este armazenamento faz-se por um deslocamento das posições relativas das cargas ligadas positivas e negativas internas contra as forças normais atômicas e moleculares.

Este deslocamento contra a força restauradora é análogo ao levantamento de um peso ou à compressão de uma mola e representa a energia potencial. A fonte de energia é o campo externo, e o movimento das cargas deslocadas resulta talvez em uma corrente transitória através da bateria que está produzindo o campo.

O mecanismo atual de deslocamento das cargas difere em diversos materiais dielétricos. Algumas moléculas, denominadas moléculas polares, têm um deslocamento permanente entre os centros de gravidade das cargas positivas e negativas, e cada par de cargas age com um dipolo. Normalmente, os dipolos estão orientados de maneira aleatória no interior do material e a ação do campo externo alinha estas moléculas, até certo ponto, na mesma direção. Um campo suficientemente forte pode até produzir um deslocamento adicional entre as cargas positivas e negativas.

Uma molécula apolar não possui arranjos de dipolo mesmo depois que o campo é aplicado. As cargas positivas e negativas deslocam-se em direções opostas contra sua

atração mútua e produzem um dipolo alinhado com o campo elétrico.

Figura 6 – Moléculas com um momento de dipolo permanente,

mostrando sua orientação randômica na ausência de campo elétrico externo (a) e orientando-se na presença deste em (b).

Figura 7 – Em um átomo, os centros da densidade de carga

positiva e negativa coincidem (a). Porém na presença de um campo elétrico externo, não (b). Assim há a presença de um momento de dipolo induzido.

Figura 8 – Em (a), num dielétrico, os círculos representam átomos neutros. Em (b), na presença de um campo elétrico externo E0. A orientação dos dipolos causam um campo interno no material dielétrico E’ que no seu interior dará um campo resultante E , soma dos vetores E0 e E’ (c).

Figura 9 – Orientação das moléculas polares (7.1) e apolares (7,2). (7.1) (7.2)


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Definimos como momento de dipolo o valor: dQp =

Aqui, Q é a carga positiva das duas cargas ligadas compondo o dipolo e d o vetor da carga negativa para a carga positiva. A unidade é o Coulomb vezes o metro (C.m). Definimos a polarização P como sendo o momento de dipolo por unidade de volume:

∑∆

=→∆ ∆

=vn

iiv

pv

P10

1lim

A unidades da polarização P é o coulomb por metro quadrado (C/m2).

Sendo QT a carga total envolvida por uma superfície S, como sendo a soma das cargas ligadas (Qb) e cargas livres Q:

QT = Qb + Q Onde:

∫∫ ⋅−=S

b SdPQ ; dVQV

bb ∫∫∫= ρ

e

∫∫ ⋅=S

T SdEQ 0ε ; dVQV

TT ∫∫∫= ρ

Como ( ) SdPEQQQ

SbT ⋅+=−= ∫∫ 0ε

Onde dVQV

v∫∫∫= ρ

Definimos o vetor D, agora, quando um material polarizável está presente, como:

PED += 0ε Com o auxílio do teorema da divergência, teremos:

bP ρ−=⋅∇

TE ρε −=⋅∇ 0

vD ρ=⋅∇ Figura 10 – Cargas ligadas em um dielétrico, devido à polarização deste em um campo elétrico.

Tabela I – Permissividade relativa e constante dielétrica para alguns materiais.

Material eR e’’/e’

água (deionizada) 1 0 água (destilada ) 80 0,04 Água (do mar) 4

Âmbar 2,7 0,002 Álcool etílico 25 0,1

Ar 1,0005 Baquelita 4,74 0,022 Borracha 2,5 – 3 0,002

NaCl 5,9 0,0001 CO2 1,001 TiO2 100 0,0015

Esteatite 5,8 0,003 Ferrita (NiZn) 12,4 0,00025

Gelo 4,2 0,05 Ge 16

Madeira (Seca) 1,5 – 4 0,01 Mica 5,4 0,0006

Náylon 3,5 0,02 Neopreno 6,6 0,011

Neve 3,3 0,5 Óxido de Alumínio 8,8 0,0006

Papel 3 0,008 Piranol 4,4 0,0005

Plexiglas 3,45 0,03 Poliestireno 2,56 0,00005 Polietileno 2,26 0,0002

Polipropileno 2,25 0,0003 Porcelana 6 0,014 Quartzo 3,8 0,00075

SiO2 3,8 0,00075 Si 11,8

Styrofoam 1,03 0,0001 Teflon 2,1 0,0003 Terra 2,8 0,05 TiBa 1200 0,013 Vidro 4-7 0,002 Pyrex 4 0,0006

Tabela II – Condutividade para uma série de

condutores metálicos.

Material s (S/m) Material s (S/m)

Ag 6,17.107 Grafite 7.104

Cu 5,80.107 Si 2300 Au 4,10.107 Ferrita 100 Al 3,82.107 H2O (mar) 5 W 1,82.107 Calcário 10-2

Zi 1,67.107 Argila 5.10-3

Latão 1,5.107 H2O 10-3

Ni 1,45.107 H2O(dest.) 10-4

Fe 1,03.107 Terra (areia) 10-5

Bronze 1.107 Granito 10-6

Solda 0,7.107 Mármore 10-8

Aço carbono 0,6.107 Baquelita 10-9

Prata Germânica 0,3.107 Porcelana 10-10

Mn 0,227.107 Diamante 2.10-13

Constantan 0,226.107 Poliestireno 10-16

Ge 0,22.107 Quartzo 10-17

Aço sem estanho 0,11.107 Nicromo 0,1.107


9

Em materiais isotrópicos, os vetores E e P são sempre paralelos, independentemente da orientação do campo. Já em materiais anisotrópicos, como cristais simples, a natureza periódica dos materiais cristalinos fazem com que os momentos de dipolo estejam mais facilmente ligados ao longo do eixo do cristal e não necessariamente na direção do campo aplicado. Em materiais ferroelétricos, a relação entre E e P não é linear e apresenta efeitos de histerese; isto é, a polarização produzida por uma dada intensidade do campo elétrico depende do passado da amostra. São exemplos deste tipo de dielétrico o titanato de bário, usado em capacitores de cerâmica e o sal de Rochelle. A relação linear entre E e P é dada por:

EP e 0εχ= Aqui, ce é uma grandeza adimensional denominada susceptibilidade elétrica do material. Como: PED += 0ε , teremos:

( ) ED e 01 εχ += Definimos outra grandeza adimensional, a permissividade relativa ou constante dielétrica do material como:

eR = ce +1 Assim:

ED R 0εε= Sendo e a permissividade:

e = eR e0Teremos:

ED ε=

Condições de Fronteira para materiais dielétricos perfeitos:

Observe a

Figura 11 – Ilustração da fronteira ente dois meios com constantes dielétricas e1 e2.

Meio dielétrico 1 q1

DN2 ∆S C e1 Et2 Et2 DN2

Meio dielétrico 2 q2

e2

• Relações entre as componentes tangenciais dos meios (1) e (2):

⇔=⋅ 0ldE∫C

21 tt E=E

2

1

2

1

εε

=t

tDD

• Relações entre as componentes normais dos meios (1) e (2):

⇔=⋅ 0SdD∫∫S

SNN DD ρ=−21

Como nenhuma carga livre está disponível no interior de dielétricos perfeitos, somente cargas ligadas:

21 NN D=D

• Relações entre os ângulos q1 e q2: Pode-se mostrar que:

21 2211 coscos NN DDDD === θθ

2

1

22

11

2

1

εε

θθ

==senDsenD

t

t

DD

221112 θεθε senDsenD = Dividindo as duas relações:

2

1

2

1

εε

θθ

=tgtg

As magnitudes dos campos são dadas por:

12

2

1

21

212 cos θ

εεθ senDD ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

12

2

2

11

212 cos θ

εεθ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= senEE


10

André Marie AMPÉRE Ampére, famoso físico francês, nasceu a 22 de

janeiro de 1775 e morreu a 10 de junho de 1836. Tornou-se célebre, particularmente pelo contribuiu que deu para a descoberta de Öersted (unidade de intensidade do campo magnético), sobre o eletromagnetismo. Generalizando esta descoberta reconheceu, em1820, que sem a intervenção de magneto dois fios percorridos pela eletricidade atuam um sobre o outro, e indicou, em 1822, o emprego da pilha para transmissão dos despachos, descobrindo assim, o princípio da telegrafia elétrica.

Os trabalhos desenvolvidos no campo da matemática também lhe granjearam grande reputação. Exemplo 1 – Dado o vetor densidade de corrente:

( )222 ˆcos4ˆ10 mAaazJ φρ φρρ −= : (a) Determine a densidade de corrente em P(r = 3, f = 300, z = 2);

(b) Determine a corrente total que flui para fora da faixa circular r = 3, 0 < f < 2π, 2 < z < 2,8.

(a) ( )2022 ˆ30cos34ˆ2310 mAaaJ φρ ⋅−⋅⋅=

( 2ˆ9ˆ180 mAaaJ φρ −= )

(b) ∫∫ ⋅=S

SdJI

( )∫∫ ⋅−=S

adzdaazI ρφρ φρφρρ ˆˆcos4ˆ10 22

AzdzdzI 2,325722

310108.2

2

23

8.2

2

2

0

3 =⋅== ∫ ∫ πφρπ

Exemplo 2 – Uma densidade de corrente é dada em coorde adas cilíndricas por: n ( 25,16 ˆ10 mAazJ z−= ) na região 0 § r § 20

µm; para r ¥ 20 µm, ( )20 mAJ = . (a) Determine a corrente total que atravessa a

superfície z = 0,1 m na direção az.

∫∫ ⋅=S

SdJI

zS

z addazI ˆˆ10 5,16 φρρ⋅−= ∫∫

∫∫−=π

φρρ2

0

20

0

5,1610 ddzI

mAI 7,3922

1,01020

0

25,16 −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−= πρ

µ

(b) Se a velocidade da carga é 2.106 m/s em z = 0,1 m, determine rv nesse ponto.

J ρ= vv

26

5,16

81,15102

1,010 mkCvJ

v −=⋅⋅−

==ρ

(c) Se a densidade volumétrica de carga em z

= 0,15 m é 2000 C/m3, determine a velocidade da carga ness ponto. e

vJ vρ=

sm

v

Jv 047.292000

15,010 5,16

=−⋅−

==ρ

Exemplo 3 – Determine a magnitude da

densidade de corrente de uma amostra de prata para a qual s = 6,17.107 S/m e µe = 0,0056m2/V se:

(a) a velocidade de deriva é 1,5µm/s. vJ vρ=

107

10102,10056,0

1017,6⋅=

⋅−=−=⇒−=

eeee µ

σρµρσ

2610 52,16105,110102,1 mkAJ =⋅⋅= − (b) A intensidade do campo elétrico é

1mV/m.

27,61101017,6 37mkAJEJ =⋅⋅=⇒= −σ

(c) a amostra é um cubo de 2,5 mm de lado

tendo uma tensão de 0,4 mV entre as faces opostas.

287,9105,2104,01017,6 3

37

mMA

lVJ =

⋅⋅

⋅== −

−

σ

(d) A amostra é um cubo de 2,5 mm de lado

conduzindo uma corrente total de 0,5 A.

( ) 280105,25,0

23 mkA

SIJ =

⋅==

−

Exemplo 4 – Um condutor de cobre de 0,6 in de diâmetro e comprimento 1200 ft. Suponha que ele conduz uma corrente total de 50 A. (a) Determine a resistência total do condutor.

( )Ω=

⋅⋅⋅

== 03,00254,06,0108,5

3048,012002

47 πσS

lR

(b) Que densidade de corrente existe nele?

25

4 1074,210824,1

50mA

SIJ ⋅=

⋅== −


11

(c) Qual a diferença de tensão entre os terminais do condutor?

VlJVlVJ 729,1

108,51074,23048,01200

7

5

=⋅

⋅⋅⋅==⇒=

σσ

(d) Quanta potência é dissipada no fio? 2RIP =

Exemplo 5 – Dado o campo Potencial no espaço livre:

( )VyxsensenhV 55100= E um ponto P(0,1; 0,2; 0,3), determine em P: (a) V.

)2,0.5()1,0.5(100)3,0;2,0;1,0( sensenhV = ( )VV 84,43)3,0;2,0;1,0( =

(b) E. VE ∇−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

−= yx ayVa

xVE ˆˆ

( )yx ayxsenhayxsenE ˆ5cos55ˆ55cosh5100 +−=

( yx ayxsenhayxsenE ˆ5cos5ˆ55cosh500 +−= ) ( )yx aaE ˆ2815,0ˆ948,0500 +−=

yx aaE ˆ8,140ˆ474 −−= (c) |E|,

( ) ( ) mVE 4958,140474 22 =−+−=

(d) |rs|, se é sabido que P pertence à superfície do

condutor. 2

0 38.4 mnCEDNS === ερ Exemplo 5 – Um plano perfeitamente condutor está localizado no espaço livre em x = 4 e uma linha de cargas uniforme de 40 nC/m está situada ao longo da linha x = 6, y = 3. Seja V = 0 no plano condutor. Em P(7, -1, 5), determine: (a) V. (b) E.

5 rL = -40nC/m z -1 3 y rL = 40nC/m 2 (2, 3, z) x = 4 (V =0) 6 7 (6, 3, z) x P(x, y, z) Cálculo do campo:

PPEEEP 21 +=

10

11

ˆ2 ρπερ ρa

E LP=

( )( ) ( )

( )( ) ( ) yx a

yx

yayx

xa ˆ36

3ˆ36

6ˆ22

2

221−+−

−+

−+−

−=ρ

( ) ( )221 36 −+−= yxρ

( )( ) ( )

( )( ) ( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+−−

+−+−

−= yx

L ayx

yayx

xE ˆ36

3ˆ36

62 22

2

220

1 περ

• Potencial:

ldEVP

xxP

⋅−=− ∫=4

111V

V

ldEVP

xxP

⋅−=− ∫=4

111

( ) ( )( ) )5,1,7(

),,4(22

01 36ln

20

−−+−−=− zy

L yxP πε

V ρ


12

( )( )[ ]2

01 34ln17ln

2−+−−= yV L

P περ

( )( ) ( )

( )( ) ( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−+−−−

+−−+−

−=− yx

L aaE ˆ3167

31ˆ3167

672

)5,1,7( 22

2

220

1 περ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=− yx

L aaE ˆ1716ˆ

171

2)5,1,7(

01 πε

ρ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=− yx aanE ˆ

1716ˆ

171

240)5,1,7(

01 πε

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=− yx aaE ˆ

1716ˆ

171720)5,1,7(1

20

22

ˆ2 ρπερ ρa

E LP=

( )( ) ( )

( )( ) ( ) yx a

yx

yayx

xa ˆ32

3ˆ32

2ˆ22

2

222−+−

−+

−+−

−=ρ

( ) ( )222 32 −+−= yxρ

( )( ) ( )

( )( ) ( )

2

2 2 2 2 20

2 3ˆ ˆ

2 2 3 2 3L

x y

x yE a a

x y x yρπε

⎛ ⎞− −= +⎜ ⎟

⎜ ⎟− + − − + −⎝ ⎠

• Potencial:

ldEVVP

xxP

⋅−=− ∫=4

222

( ) ( )( )5,1,7(

),,4(22

022 32ln

2−

−+−−

−=− zyL yxVV

xP πε)ρ

( )( )[ ]2

02 34ln41ln

20 −+−=− yV L

P περ

( )( )[ 2

02 34ln41ln

2−+−= yV L

P πε]ρ

( )( )[ ]2

02 34ln41ln

2−+−= yV L

P περ

PPVVVP 21 +=

( )( )[ ]+−+−−= 2

0

34ln17ln2

yV LP πε

ρ

( )( )[ ]2

0

34ln41ln2

−+− yL

περ

[ ]17ln41ln2 0

−=περL

PV

1741ln

2 0περL

PV =

1741ln720=PV

V

VP 85,633=

( )( ) ( )[ ]

( )( ) ( )[ ] ⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−−+−

−−+

−−+−

−=− yx

L aaE ˆ3127

31ˆ3127

272

)5,1,7( 2322

2

23220

2 περ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−=− yx

L aaE ˆ4116ˆ

411

2)5,1,7(

02 πε

ρ

E ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−=− yx aan ˆ

4116ˆ

411

240)5,1,7(

02 πε

E ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=− yx aa ˆ

4116ˆ

411720)5,1,7(2

PPEEP 21E +=

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += yxP aaE ˆ

1716ˆ

171720 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +− yx aa ˆ

4116ˆ

411720

yxP aaE ˆ4116

1716720ˆ

411

171720 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

E ( )CN

yxP aa ˆ67,396ˆ79,24 +=

Exemplo 6 – Usando os valores para as mobilidades do elétron (0,12) e da lacuna (0,025) para o silício a 300K, e assumindo que as densidades de carga dos elétrons e das lacunas são 0,0029 C/m3 e -0,0029 C/m3, respectivamente, determine: (a) A componente da condutividade devida às lacunas.

mShhhh51025,7025,00029,0 −⋅−=⋅−=⇒= σµρσ

(b) A componente da condutividade devida aos elétrons.

mSeeee41048,312,00029,0 −⋅−=⋅−=⇒−= σµρσ

(c) a condutividade.

mSeh445 10205,41048,31025,7 −−− ⋅−=⋅−⋅−=+= σσσ

Exemplo 7 – Uma lâmina de um material dielétrico tem uma constante dielétrica relativa de 3,8 e contém uma densidade de fluxo elétrico uniforme de 8 nC/m2. Se o material é sem perdas, determine:

(a) E;


13

8,31085,88

120 ⋅⋅

===⇒= −

nDDEEDRεεε

ε

mVE 88,237= (b) P;

PED += 0ε

EDP 0ε−=

EP e 0εχ=

11 −=⇒+= ReeR εχχε

EP R 0)1( εε −=

EP R 0)1( εε −=

( ) 2381085,818,3 12−⋅−=P

289,5mnCP =

(c) o número médio de dipolos por metro cúbico se o momento de dipolo médio é de 10-29C.m.

i

N

ii p

Vp

VP

∆=

∆≅ ∑

=

111

291089,511−=

∆⇒

∆≅

nVVp

P

i

3201089,51 −⋅=∆

mV

Exemplo 7– Considere a região z < 0 composta

por um material dielétrico uniforme para o qual eR = 3,2, enquanto que a região z > 0 é caracterizada por eR = 2,0. Seja:

( 21 ˆ70ˆ50ˆ30 mnCaaaD zyx ++−= ) e determine:

(a) DN1; Como a componente normal no plano z = 0 é a z, teremos: ( )270

1mnCDN =

(b) Dt1; Como as componentes tangenciais no plano z = 0 são as x e y, teremos: ( )2ˆ50ˆ30

1mnCaaD yxt +−=

(c) D t1;

( ) ( )22 50301

+−=tD

( )23,581

mnCDt =

(d) D1;

( ) ( ) 2221 705030 ++−=D

( )21 1,91 mnCD =

(e) q1;

11

1

DD

arcsen t=θ

1,913,58

1 arcsen=θ

θ

P

01 8,39=

(f) P1.

101 1Ee εχ=

111−= Re εχ ; ε

εε

P

11=R

( ) 101 11

ER εε −=

11

11111 DEEDε

ε =⇔=

( ) 11

01 1

1DRP

εεε −=

111

11

DR

RPε

ε −=

11 2,312,3 DP −

=

11 6875,0 DP =

( )21 ˆ1,48ˆ4,34ˆ6,20 mnCaaa zyx ++−=P

Exemplo 8– Continue o exercício anterior, determinando: (a) DN2;

21 NN DD = ( )2ˆ702

mnCaD zN =⇒ (b) Dt2;

2

1

2

1

εε

=t

t

DD

12

1

2tt DD

εε

=

1

1

2

2 tR

Rt DD

εε

=

1

1

2

2 tR

Rt DD

εε

=


14

( )yxt aaD ˆ50ˆ302,3

22

+−=

( )2ˆ25,31ˆ75,182

mnCaaD yxt +−= (c) D2;

222 Nt DDD +=

( )22 ˆ70ˆ25,31ˆ75,18 mnCaaaD zyx ++−= (d) P2;

222

21

DPR

R

εε −

=

22 212 DP −

=

( )22 ˆ35ˆ63,15ˆ38,9 mnCaaaP zyx ++−=

(e) q2.

22

2arccosDDN=θ

91,7870arccos2 =θ

02 5,27=θ

Componentes Eletrônicos: Podemos classificar os componentes eletrônicos como: 1. Componentes Passivos. 2. Componentes Ativos. 1. Componentes Eletrônicos Passivos. Subdividem-se em: 1.1 – Lineares: Capacitores, Resistores e Indutores 1.2 – Não Lineares: Diodos. 2. Componentes Ativos. A tensão de saída depende da de entrada e de parâmetros internos do componente. Citamos os transistores e as válvulas.

Capacitores: Podemos armazenar energia potencial de diversas formas: comprimindo um gás, em uma mola comprimida, etc. Podemos também armazenar energia potencial elétrica em um campo elétrico, e um capacitor é um dispositivo para tal fim. O capacitor é uma bateria portátil, operando com uma determinada energia, que leva um grande tempo para acumular energia, porém descarrega rapidamente. Capacitores são muito utilizados em eletrônica e microeletrônica, atuando como armazenadores de energia potencial. Eles são elementos vitais em circuitos (transmissores e receptores de aparelhos de rádio e TV). (a) (b)

Figura 10 – (a) Capacitores. (b) Definição de capacitor.


15

• Capacitância: Capacitores são encontrados em muitas formas e tamanhos diferentes. Os mais comuns são os capacitores de placas paralelas, consistidos de duas placas paralelas condutoras de área A separadas por uma distância d. O símbolo utilizado para o capacitor ⎯||⎯ é baseado na estrutura do capacitor de placas paralelas e é usado para capacitores de quaisquer simetrias. Na região entre as placas do capacitor, é preenchido por um dielétrico, um material isolante como o óleo ou plástico. Quando não há o preenchimento de material entre as placas, a permissividade dielétrica é a mesma do vácuo:

ε ε= = −0

128 85 10, . ( )SI Em 1837 Michael Faraday descobriu que quando um capacitor é preenchido por um dielétrico, sua capacitância aumenta por um fator k, chamado constante dielétrica. Quando um capacitor é carregado, suas placas possuem sinais +Q e -Q, respectivamente. Referimos então a um capacitor de carga elétrica Q. Devido as placas serem condutoras, elas são superfícies equipotenciais: Todos pontos sobre a placa estão em um mesmo potencial. Há uma diferença de potencial elétrico entre as duas placas. Simbolizamos esta diferença por V. A carga Q e a diferença de potencial V em um capacitor são proporcionais, onde a constante de proporcionalidade é chamada de capacitância eletrostática C:

Q C V= . A unidade SI da capacitância é o faraday (F) :

1 farad = 1 F = 1 coulomb por volt = 1 C/ V Para se carregar um capacitor, precisamos conectá-lo com uma bateria, conforme mostra o esquema abaixo: Figura 11 – 11.1 - (a) Capacitor plano e efeitos de borda (b).

11.2 - (a) Capacitor plano e ligado a uma bateria. Diagrama representativo do circuito (b). O capacitor permanece descarregado até conectá-lo com a bateria B ligando a chave S, o que completa o circuito. Com o passar do tempo as placas do capacitor terão uma carga +Q e -Q, e estarão a uma diferença de potencial V. Uma vez que esta diferença de potencial é estabelecida entre as placas do capacitor, a corrente cessa e o capacitor estará completamente carregado.

• Cálculos de capacitância: a) Capacitor de placas paralelas: Figura 12 – Capacitor de Placas Paralelas (a) e linhas de força do campo elétrico (b).

A diferença de potencial entre as placas é: ∫ =⋅= LEldEV .

CQV

E dA Q EAQ= = ⇒ =∫; . ε ε0 0

C Ad= ε0

Se preenchido com um dielétrico de permissividade e:

dAC ε=

dA

R 0C εε=


16

b) Capacitor cilíndrico: Figura 13 – Capacitor cilíndrico.

0ρερ aSrE =

a

brras

abrV ln0ε

ρ=

)ln(02arbr

LC πε=

Preenchido com dielétrico de permissividade e: :

)ln(2

arbr

LC πε=

c) Capacitor Esférico: Figura 14 – Capacitor esférico

20

2

rrE aS

ερ

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

ab

abasab rr

rrrV0

2

ερ

ab

barr

rrC −= 04πε

Com dielétrico de permissividade e:

ab

barr

rrC −= πε4

• Associação de capacitores: Podemos ter em um circuito associação de capacitores distinta, em algumas vezes pode substituir os

capacitores por um capacitor equivalente que é um capacitor que possui a mesma capacitância que o circuito equivalente.

1) Capacitores em paralelo: Nesse esquema vemos um conjunto de capacitores associados em paralelo a uma bateria. Figura 15 – Associação de capacitores em paralelo.

C

C

C

1

2

3

V

V

V

1

Q2

Q3

- +

Q

V

V

Ceq

+Q -Q

Os terminais da bateria são ligados diretamente às placas dos três capacitores. Como a bateria mantém a diferença de potencial V entre os terminais, ela aplica a mesma diferença de potencial entre os terminais dos capacitores.Vemos que:

Q C V Q C V Q C V Q Q Q Q1 1 2 2 3 3 1 2 3= = = ⇒ = + +; ;

C C C C C C CeqQV eq eq j

j

n= ⇒ = + + ⇔ =

=∑1 2 3

1

Ou seja, em uma associação de capacitores em paralelo, a capacitância equivalente é a soma das capacitâncias. A carga total é a soma das cargas e a ddp se mantém constante. 2) Capacitores em série. A figura abaixo mostra 3 capacitores conectados em série a uma bateria: Figura 16 – Associação de capacitores em série.

-Q +Q -Q +Q -Q +Q

V V V1 2 3

V

C1 C2 C3

- +

Ceq

-Q +Q

V

V

Observamos que:V V V V V V VQ

CQC

QC1 2 3 1 2 3= = = ⇒ = + +; ;

1 2 3

( )∑=

−=⇔++=n

jjCCCCC C

eqeq1

111111321


17

Veja que, a carga total é a mesma em cada capacitor e a ddp no capacitor equivalente é a soma de cada ddp em cada capacitor de uma associação em série. • Energia Armazenada em um campo elétrico. Imagine um capacitor descarregado e que devemos transferir elétrons de uma placa à outra. O campo elétrico na região entre as placas tende a se opor à esta transferência. Devemos realizar trabalho para que possamos acumular carga no capacitor. Este trabalho para carregar um capacitor está na forma de energia potencial elétrica U no campo entre as placas. O trabalho requerido para deixar o capacitor carregado a uma carga Q é dado por:

dW VdQ dQ W dW qdQ WQC C

QC

Q

= = = = ⇒ =∫∫; 12

0

2

Pode-se encontrar as seguintes relações para a energia potencial armazenada entre as placas de um capacitor:

U CQ VC= =2

212

2 Também podemos encontrar a densidade de energia u entre as placas do capacitor, dada pela razão da energia armazenada e o volume:

u UAd

CVAd= =

2

2 Lembrando que para um capacitor de placas paralelas, C A

d= ε0 e o campo E é dado por: E=V/d, teremos:

u = 12 0

2ε E (Densidade de Energia)

Exemplo 9 - Um capacitor C1 de capacitância 3,55 mF é carregado com uma ddp de V0=6,3 V usando uma bateria de 6,3 V. A bateria é removida e o capacitor é conectado a um capacitor C2 descarregado de capacitância C2 = 8,95 mF como mostra a figura abaixo. Quando a chave S é fechada, a carga de C1 flui para C2 até que ambos os capacitores estejam a mesma diferença de potencial V. Qual será esta ddp?

C1

Q0

C2

S

A carga original q0 é agora parte dos 2 capacitores: Mas q=CV. Então: Q Q Q0 1= + 2 C V C V C V V V VC

C C1 0 1 2 03 55

3 55 8 951

1 26 3 1 79= + ⇒ = = =+ +, ,

, , ,µµ µ

Exemplo 10 - No exemplo anterior, qual será a energia potencial do sistema de 2 capacitores antes e depois da chave S fechar ? Inicialmente o capacitor C1está carregado e possui uma energia potencial. Sua ddp é V0= 6,3 V. A energia potencial inicial é: U CV J Ji = = = =− −1

2 1 02 1

26 2 53 5510 6 3 7 0410 704( , . )( , ) , . , µ

Depois da chave S fechar, os capacitores terão a mesma ddp: V=1,79 V. A energia potencial final será de: U C V C V Jf = + = + = =− J− −1

2 12 1

2 22 1

26 2 6 2 53 55 10 1 79 8 95 10 1 79 2 10 20( , . . , , . . , ) . µ

Observe que Ui > Uf , cerca de 72 %. Isto não é uma violação ao princípio da consevação da energia. A energia perdida aparece da forma de energia térmica perdida pelos fios que fazem a conexão dos capacitores. Lembramos que quando um capacitor está preenchido com um dielétrico, sua capacitância aumenta de um fator k, denominado constante dielétrica do material introduzido. Pode-se escrever:

C C= κ 0 Onde C0 é a capacitância medida quando o dispositivo (capacitor) não está preenchido por nenhum dielétrico. A tabela a seguir ilustra valores da constante dielétrica para alguns materiais:

Tabela III – Constante dielétrica relativa de alguns materiais.

Material Constante dielétrica k = eR

Ar (1 atm ) 1,00054 Papel 3,5

Óleo transformado 4,5 Porcelana 6,5

Silício 12 Água (20 C) 80,4

Germânio 16 Para o vácuo, k=1,0

Exemplo 11 – Determine a permissividade relativa do material dielétrico presente em um capacitor de placas paralelas se: (a) S = 0,12 m2, d = 80 µm, V0 = 12 V e o capacitor contêm 1µJ de energia. d

AC ε=


18

2

6

20

20

121022

2

−⋅==⇔=

VWCCVW E

E

pFC 88,13888=

A

dCdAC RR

00 ε

εεε =⇔=

046,112,01085,8103888,11080

12

86

=⋅⋅⋅⋅

= −

−−

Rε

(b) A densidade de energia armazenada é de 100 J/m2, V0 = 200 V, d = 45 µm.

dA

VWCCVW E

E ε==⇔= 20

20 2

2

mFE

AVdW 7

2

6

20

1025,2200

100104522 −−

⋅=⋅⋅

==ε

7,254231085,81025,2

12

7

0

=⋅⋅

== −

−

εεεR

(c) E = 200kV/m, rS = 20µC/m2 e

d = 100 µm

mFss

EE 10

3

6

1010200

1020 −−

=⋅⋅

==⇒=ρε

ερ

29,111085,8

1012

10

0

=⋅

== −

−

εεεR

Exemplo 12 – Determine a capacitância de: (a) um cabo coaxial de 1 ft de comprimento de 35 B/U, que possui um condutor interno de 0,1045 in de diâmetro, um dielétrico de polietileno ( eR = 2,26) e um condutor externo de 0,680 de diâmetro interno.

)ln(2a

bLC πε=

)ln(02a

bL

RC επε=

)1045,068,0ln(30,0121085,826,22 −⋅⋅= πC

pFC 13,20= (b) uma esfera condutora de raio 2,5 mm coberta

com uma camada de polietileno de 2mm de espessura, envolvida por uma esfera condutora de 4,5 mm de raio.

ab

barr

rrC −= πε4

ab

barr

rrRC −= 04 επε

325,425,412 101085,826,24 −−⋅− ⋅⋅⋅= πC

pF9,0=C (c) duas placas retangulares condutoras, 1 cm por 4 cm, de espessura desprezível, entre as quais há três camadas de dielétricos de 1cm por 4 cm cada, de 0,1 mm de espessura, tendo constantes dielétricas de 1,5, 2,5 e 6.

321

111CCC

++=1C

233121

321

CCCCCCCCCC++

=

dAC 0

233121

321 εεεεεεε

εεε++

=

3

2212

101,0104101085,8

5,2665,15,25,165,25,1

−

−−−

⋅⋅⋅⋅

⋅+⋅+⋅⋅⋅

=C

111054,38108,0 −⋅⋅=CC

pF7,28=

Exemplo 13 – Um cilindro condutor com 1

cm de raio e no potencial de 20V é paralelo a um plano condutor que tem potencial zero. O plano está 5 cm distante do eixo do cilindro. Se os condutores estão mergulhados em um dielétrico perfeito para o qual eR = 4,5, determine: (a) a capacitância por unidade de comprimento entre o cilindro e o plano.

(b) rSmax no cilindro.


19

• Resistência Elétrica: Se aplicarmos a mesma diferença de potencial em extremidades de um pedaço de cobre e em vidro, verificamos diferentes correntes. Essa característica do condutor é denominada de resistência elétrica. Determinamos a resistência elétrica de um condutor entre dois pontos aplicando uma diferença de potencial V entre esses pontos e medimos a corrente i resultante. A resistência R é dada por:

R VI=

A unidade SI de resistência elétrica é dada pelo Volt por Ampére, denominada Ohm (Ω).

1 11Ω = V

A . Um condutor cuja função em um circuito é fornecer certa resistência à passagem de corrente é denominado de resistor. Representamos um resistor em um diagrama pelo símbolo . Definimos a resistividade ρ de um condutor como a razão entre o campo elétrico aplicado ao condutor e a densidade de corrente J:

ρ = EJ

A unidade de resistividade no SI é o volt por metro (V/m) e também o Ohm vezes metro (Ω.m). Propriedades físicas de alguns materiais variam com a temperatura, e a resistividade também se comporta dessa maneira. Para o cobre e alguns metais em geral, a resistividade possui o seguinte comportamento com a temperatura:

ρ ρ ρ α− = −0 0 0( )T T Aqui, T0 é uma temperatura de referência, em geral é escolhida T0= 293K, α é o chamado coeficiente de resistividade. A tabela abaixo ilustra alguns valores de resistividade a temperatura ambiente (20 C) para alguns materiais.

Tabela IV – Resistividade de alguns materiais.

Material Resistividade ρR(Ω.m).

Coeficiente de

resistividade α( K−1)

Metais Típicos Cobre 1 69 10 8, . − 4 3 10 3, . −

Alumínio 2 75 10 8, . − 4 4 10 3, . − Tungstênio 5 25 10 8, . − 4 5 10 3, . −

Ferro 9 68 10 8, . − 6 5 10 3, . − Platina 10 6 10 8, . − 3 9 10 3, . −

Semicondutores típicos

Silício puro 2 5 103, . − −70 10 3. Silício tipo p 8 7 10 4, . − Silício tipo n 2 8 10 3, . −

Isolantes Típicos

Vidro 10 1010 14− Quartzo ≈ 1016

Podemos escre a relação: ver também

E J= ρ. para um material dito isotrópico, ou seja, que não varia suas propriedades elétricas com as diversas direções. Se nós conhecemos a resistividade de uma substância, podemos encontrar sua resistência. Seja A área da seção reta de um condutor e L seu comprimento. Podemos encontrar as seguintes relações entre o campo elétrico e a densidade de corrente neste condutor:

E JVL

iA

EJ

VLiA

= = ⇒ = =; ρ

Lembrando que V/I é a resistência do material, teremos:

R LA= ρ

Vemos que a resistência em um condutor é inversamente proporcional à sua área de seção reta e diretamente proporcional à resistividade e ao seu comprimento. • A Lei de Ohm: Dissemos que um resistor é um condutor com uma específica resistência. Isto significa que ele tem a mesma resistência se a magnitude e direção (polaridade) de uma diferença de potencial aplicada


20

forem mudadas. Alguns resistores dependem dessa diferença de potencial aplicada. Quando um resistor não depende da ddp aplicada em seus terminais e o comportamento gráfico de V em função da corrente for uma reta, como mostra a figura abaixo, dizemos que ele obedece à Lei de Ohm V=RI.

Observe que quanto maior a inclinação da reta, tanto maior a resistência elétrica, pois R= tg α. Figura 17 –Comportamento Ôhmico (a) e resistência em um condutor (b). Um dispositivo condutor obedece à Lei de Ohm quando sua resistência é independente da magnitude e polaridade do potencial elétrico aplicado. Um material condutor obedece à Lei de Ohm quando sua resistividade é independente da magnitude e direção do campo elétrico aplicado. O modelo utilizado para analisar o processo de condução nos materiais condutores é o modelo do elétron livre, no qual elétrons de condução são livres para se mover no volume do material condutor. Assume-se que durante esse movimento, os elétrons não se colidem com os outros elétrons, mas só entre os átomos do metal condutor.Os elétrons, de acordo com a física clássica, possuem uma distribuição Maxwelliana de velocidades, como as moléculas em um gás. Nessa distribuição, a velocidade média do elétrons é proporcional à raiz quadrada da temperatura absoluta . O movimento dos elétrons é regido pelas leis da física clássica, e não pelas leis da física quântica, cujo modelo é o mais adequado atualmente.

Quando aplicamos um campo elétrico em um metal, os elétrons modificam seu movimento randômico e iniciam um movimento ordenado na direção oposta à do campo elétrico aplicado, com uma velocidade de correnteza vd . O movimento dos elétrons é uma combinação entre as colisões com os átomos no metal e à aceleração devido ao campo elétrico E. Quando consideramos os elétrons livres, a única contribuição para a velocidade de correnteza é devido ao campo elétrico aplicado no metal. Chamando de m a massa do elétron colocado em um campo elétrico E, de acordo com a segunda lei de Newton, ele terá aceleração dada por: a=F/m=eE/m . Chamando o tempo entre duas colisões sucessivas de τ o elétron possuirá uma velocidade de correnteza dada por:

v a eEm= =τdτ

Combinando com a equação para a densidade de corrente, teremos:

( )v EdJne

eEm

me n= = ⇒ =τ

τ2 J

Comparando com E=ρJ, teremos: ρ

τ= m

e n2

Observe que a resistividade em um metal não depende do campo elétrico aplicado, obedecendo à Lei de Ohm. Exemplo 14 - Determine o tempo t entre as colisões de um elétron e os átomos de cobre em um fio de cobre. Temos que: τ = m

e n

ρ2

Tomando o valor de ρ da tabela teremos:

τ = =−

− − − −−9 110

8 47 10 1 610 1 69 101431

28 3 19 2 8 2 5 10, .( , . )( , . ) ( , . . )

, .kgm C m

sΩ

Exemplo 15 - Determine o caminho livre médio l do elétron entre duas colisões. Sabemos que : λ τ= = =−v sd m nms( , . )( , . )1 6 10 2 5 10 406 14


Energia e Potência em circuitos elétricos: Na figura abaixo ilustramos um dispositivo qualquer (resistor, capacitor, etc.) conectado a uma bateria que mantém uma ddp V em seus terminais, causando um maior potencial no terminal a e um menor no terminal b.

Figura 18 –Circuito envolvendo resistor. Mantida a ddp nos terminais da bateria, haverá um fluxo de corrente i no circuito e entre os terminais a e b. Uma quantidade de carga dq se moverá de a para b, sob uma ddp V. A energia potencial decresce de uma quantidade: (de a para b V diminui):

dU dq V iVdt= =. Como definimos potência por:

P dUdt=

Então: P V i= .

O princípio da conservação da energia nos diz que o decréscimo de energia potencial é acompanhado pela transferência de energia em alguma outra forma. Essa é a potência associada a essa transferência. Podemos ainda encontrar as seguintes relações:

P R i VR= =. 2 2

Em um resistor, a passagem dos elétrons se dá a velocidade de correnteza constante, mantendo sua energia cinética média constante, aparecendo uma perda de energia potencial elétrica como energia térmica. Em escala microscópica há uma transferência de energia devido a colisões entre os elétrons e os átomos que formam a estrutura do resistor, aumentando sua temperatura. A energia mecânica transferida na forma de energia térmica é dita dissipada. • Associação de Resistores: Podemos associar resistores de duas maneiras: em série e em paralelo. Em cada associação, podemos encontrar a resistência equivalente da associação, como ilustramos na figura abaixo: a) Associação em paralelo: Nesse tipo de associação, a ddp em cada resistor se mantém constante, pois todo está conectado no mesmo fio. As correntes somadas darão a corrente total i e a resistência equivalente Req encontramos através de:

1 1 1 1 1 1

11 2 3R R R R R Rj

n

eq eq j= + + ⇔ =

=∑

V R i R i R i= = =1 1 2 2 3 3 i i i i= + +1 2 3 (Lei dos nós).

V

i

i

i 1

2

3

i

R

R

R

1

2

3

V

R eq

b) Associação em série: Nesta associação, a corrente que atravessa cada resistor é a mesma, e a ddp em cada resistor, quando somadas, dá a ddp total V sobre a resistencia equivalente Req.

V V V V= + +1 2 3

R R R R R Req eq jj

n= + + ⇔ =

=∑1 2 3

1

R R R1 2 3

V V V1 2 3

i

Req

V

i

V Em ambos os casos temos: V i Req= . Potenciômetros: As resistências variáveis são denominadas de potenciômetros ou reostatos. A seguir ilustramos alguns tipos encontrados: Figura 19 –Potenciômetros.

21


cap des

• Processo de carga: Coloca-se as chaves nas posições (1) e (3): a) Uma vez ligada a chave, então teremos:

22

Carga e descarga no Capacitor:

No circuito da figura: Podemos utilizar para carregar ou descarregar o

acitor, conforme as posições das chaves (1) e (2).

Figura 20 – Circuito utilizado para experimento de carga e carga num capacitor.

dtdE

dtdQ

CdtdIRE

CQ

=+⇒=+1RI

01);( =+⇒==dtdQ

RCdtdIcteE

dtdQI⇒

dtRCI

dI 1−=⇒

RCt

II

tdt

RC

I

IIdI

−=⇒−= ∫∫ 0ln

0

1

0

⇒

RCt

eIt−

= 0)(I (Equação da Corrente)

A tensão no resistor no processo de carga será dada por:

RCt

RR EetVtRIt−

=⇔= )()()(V Equação da carga:

∫∫−

=

−=⇒=

tRC

tQ

Q

RCt

RE

dteREdQe

00dtdQ

tt

RCt

eREtQ 0)( =

−=⇒

Q(t) = EC (1- e-t/RC) A tensão no capacitor, no processo

de carga, será dada por:

)1()()( RCt

CC eEtVC

tQ −−=⇔=V

• Na descarga: Dedução da corrente:

Colocam-se as chaves nas posições (2) e (4). Teremos:

dtdIR

dtdQ

CRI

CQUU RC −=⇒−=⇒=+

10

∫∫ −=⇒−=⇒−=tI

I

dtRCI

dIdtRCI

dIdtdIRI

C0

111

0

Então: RCteIItRCI

I /0

0

1ln −=⇒−=


23

Equação da carga:

∫∫ −=⇒=⇒=t

RCtQ

Q

dteIdQdttIdQdtdQI

0

/0

0

)( ;

REIeRCIQtQ RCt −=⇒−−=− −

0/

00 )1()(

RCt

ECetQ−

=)( (Equação da carga no capacitor)

Observe que a tensão no Capacitor é dada por:

RCt

CC EetVC

tQtV−

=⇒= )()()(

A tensão no resistor será dada por:

RCt

RR EetVtRItV−

=⇒= )()()( No gráfico a seguir indicamos a curva de carga e

descarga. Note o comportamento assintótico quando t→∞. A

(a) Corrente na carga e descarga do capacitor. (b) Tensão na resistência e no Capacitor durante o processo de

carga. Figura 21- Carga e descarga num capacitor. Em laboratório, foram utilizados um capacitor de capacitância

C = 47µF e um resistor de resistência 238 k Ω. O valor de tempo ao qual a carga cai a 1/e de seu valor inicial Q0 é denominado constante de tempo τ (τ = RC = 11.19s).

• Efeitos da Corrente Elétrica: A passagem de corrente elétrica através de condutores acarreta diferentes efeitos, dependendo da natureza do condutor e da intensidade de corrente. É comum dizer-se que a corrente elétrica tem quatro efeitos principais: fisiológico, térmico (ou Joule), químico e magnético. O efeito fisiológico corresponde à passagem de corrente elétrica por organismos vivos. A corrente elétrica age diretamente no sistema nervoso, provocando contrações musculares; quando isto ocorre, dizemos que houve um choque elétrico. O pior caso de choque é aquele que se origina quando uma corrente elétrica entra pela mão de uma pessoa e sai pela outra. Nesse caso, atravessando o tórax de ponta a ponta ela tem grande chance de afetar o coração e a respiração. O valor mínimo de intensidade de corrente que se pode perceber pela sensação de cócegas ou formigamento leve é 1mA. Entretanto, com uma corrente de intensidade 10 mA, a pessoa já perde o controle dos músculos, sendo difícil abrir a mão e livrar-se do contato. O valor mortal está compreendido entre 10 mA até 3 A, aproximadamente. Nestes valores, a corrente, atravessando o tórax, atinge o coração com intensidade suficiente para modificar seu ritmo. Modificando o ritmo o coração para de bombear sangue através do corpo e a morte pode ocorrer em frações de minutos. Se a intensidade for ainda mais alta, a corrente pode paralisar completamente o coração. Este se contrai o mais possível e mantém-se assim enquanto passar a corrente. Interrompida a corrente, geralmente o coração relaxo e pode começar a bater novamente, como se nada tivesse acontecido. Todavia, paralisando o coração, paralisa-se também a corrente sanguínea, e uma pequena interrupção dessa circulação pode provocar danos cerebrais irreversíveis. Os efeitos térmicos, conhecidos como efeito Joule, é causado pelo choque de elétrons livres contra os átomos dos condutores. Ao receberem energia, os átomos vibram mais intensamente. Quanto maior for a vibração dos átomos, maior será a temperatura do condutor. Nestas condições observa-se, externamente, o aquecimento do condutor. Esse efeito é muito aplicado nos aquecedores em geral, como o secador de cabelos. O efeito químico corresponde a certas reações químicas que ocorrem quando a corrente elétrica atravessa as soluções eletrolíticas. É muito aplicado, por exemplo, no recobrimento de metais, (niquelação, cromação, prateação, etc.). O efeito magnético é aquele que origina um campo magnético na região em torno da corrente. A constatação de um campo magnético, em


determinada região, é feita pelo desvio da agulha magnética (ímã), de um aparelho denominada bússola. Em 1820, um fato importante conectou os fenômenos magnéticos e elétricos. Hans Christian Oersted (1777-1851), físico dinamarquês, realizou experiências sobre a ação da corrente elétrica sobre uma agulha magnética: a primeira observação do efeito magnético da corrente elétrica. Os fenômenos magnéticos não constituem, portanto, fenômenos isolados; eles têm relação íntima com os fenômenos elétricos.

psffbppMME MpeGe

uf Epd UUcmclro

1809 ao se tornar um tutor privado em Neuchâtel. Durante dois anos ele levou a cabo seus deveres como um tutor enquanto seguiu o conselho de Langsdorf e continuou o estudo privado em matemática. Então em abril de 1811 ele voltou para a Universidade de Erlangen.

Por seus estudos privados recebeu um doutorado de Erlangen em 25 de outubro de 1811 e imediatamente uniu o pessoal como um conferencista de matemática. O governo Bávaro lhe ofereceu um posto como professor de matemáticas e físicas em Bamberg e ocupou lá o posto em janeiro de 1813.

24

Georg Simon Ohm veio de uma família

rotestante. Seu pai, Johann Wolfgang Ohm, era um erralheiro enquanto sua mãe, Maria Elizabeth Beck, era a ilha de um alfaiate. Embora seus pais não tinham sido ormalmente educados, o pai de Ohm era um homem astante notável que tinha se educado para um nível alto e ode dar aos filhos uma educação excelente pelos seus róprios ensinos. Das sete crianças nascidas a Johann e aria Ohm sobreviveram só três, Georg Simon, o irmão artin que tornou-se um matemático famoso, e a monja

lizabeth Barbara. Quando eles eram as crianças, Georg Simon e

artin foram ensinados pelo pai que os trouxe para um adrão alto em matemática, físicas, química e filosofia. Isto stava em contraste totalmente à educação escolar deles. eorg Simon entrou em Ginásio de Erlangen aos onze anos

lá recebeu pouco de treinamento científico. A realização notável de Johann Wolfgang Ohm,

m homem completamente autodidáta, pode dar para seus ilhos uma educação matemática e científica. Em 1805 Ohm entrou na Universidade de rlangen. Ohm foi (ou mais com precisão, foi enviado) ara a Suíça onde, ele levou um posto como um professor e matemática em uma escola em Gottstadt em 1806.

Karl Christian von Langsdorf deixou a niversidade de Erlangen em cedo 1809 levar um posto na niversidade de Heidelberg e Ohm teria gostado de ter ido

om ele para Heidelberg reiniciar seus estudos atemáticos. Porém, Langsdorf aconselhou Ohm para

ontinuar os estudos de matemática, aconselhando Ohm a er os trabalhos de Euler, Laplace e Lacroix. Bastante elutantemente Ohm levou o conselho dele mas ele deixou posto de ensino dele em Gottstadt Nydau em março de

Esta não era a carreira próspera enfrentada por Ohm e ele decidiu que ele teria que mostrar que ele era preço muito mais que um professor em uma escola pobre. Trabalhou em um livro elementar no ensino de geometria enquanto permanecia desesperadamente infeliz em seu trabalho. O governo Bávaro o enviou então para uma escola em Bamberg para ajudar com o ensino de matemática. Em 11 de setembro de 1817 Ohm recebeu uma oferta do posto de professor de matemáticas e físicas no Ginásio Jesuítico de Cologne. Esta era uma escola melhor que qualquer aquele Ohm tinha ensinado previamente e teve um laboratório de física equipado. Como ele tinha feito tanto para da vida dele, Ohm continuou os estudos privados lendo os textos dos matemáticos franceses Lagrange, Legendre, Laplace, Biot e Poisson. Ele passou a ler os trabalhos de Fourier e Fresnel começou o próprio trabalho experimental dele no laboratório de físicas escolar depois que ele tivesse aprendido a descoberta de Oersted do eletromagnetismo em 1820. No princípio as experiências foram administradas para o próprio benefício educacional.

Depois de um tempo, mudou a atitude para o trabalho experimental e começou a trabalhar sistematicamente para a publicação dos seus resultados. De fato ele já tinha se convencido da verdade do que nós chamamos hoje " isto é a lei " de Ohm a relação que a corrente pela maioria dos materiais é diretamente proporcional à diferença potencial aplicou pelo material.

Em dois documentos importantes em 1826, Ohm deu uma descrição matemática de condução em modelo de circuitos no estudo de Fourier de condução de calor. Estes documentos continuam a dedução de Ohm de resultados de evidência experimental e, particularmente pelo segundo, ele pôde propor leis que foram um modo longo para explicar resultados de outros que trabalham em eletricidade. O segundo papel é certamente o primeiro passo em uma teoria inclusiva que Ohm pôde ceder o livro famoso publicado no ano seguinte.

ELETROMAGNETISMO I – Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULOV Prof. Dr. Cláudio

S. Sartori 25

O que é agora conhecido como a lei de Ohm aparece no livro famoso Kette, bearbeitet de mathematisch (1827) em qual ele deu a teoria completa de eletricidade. O livro começa com o fundo matemático necessário para uma compreensão do resto do trabalho. Embora o trabalho de Ohm influenciou a teoria fortemente, foi recebido com pouco entusiasmo. Ohm está sentindo estava ferido, ele decidiu permanecer em Berlim e, em 1828 de março, ele formalmente resignado a posição dele em Cologne. Trabalhou temporariamente como matemático em escolas de Berlim.

Em 1845 ele se tornou um sócio da Academia Bávara. Eletricidade não era o único tópico no qual Ohm empreendeu pesquisa, e não o único tópico no qual ele terminou em controvérsia. Em 1843 ele declarou o princípio fundamental de acústica fisiológica, teve a ver com o modo em qual ouve tons de combinação. Porém totalmente não foram justificadas as suposições que ele fez na derivação matemática dele e isto resultou em uma disputa amarga com o físico August Seebeck. Ele teve sucesso desacreditando a hipótese de Ohm e Ohm teve que reconhecer o erro dele. Veja [10] para detalhes da disputa entre Ohm e Seebeck. Em 1849 Ohm levou um posto em Munich como curador do gabinete físico da Academia Bávara e começou a dissertar na Universidade de Munich. Só em 1852, dois anos antes da morte dele, fez Ohm alcance a ambição vitalícia dele de ser designada à cadeira de físicas na Universidade de Munich. Adaptado de Artigo por: J J O'Connor e E F Robertson

emGide inveletra17

Luigi Galvani (1737-1798) O anatomista italiano e médico Luigi

Galvani foi o primeiro a investigar o fenômeno do que veio ser chamado "bioelectrogenesis" experimentalmente. Em uma série de experiências iniciadas por volta de 1780, Galvani trabalhou na Universidade de Bolonha e achou que a corrente elétrica gerada por uma garrafa de Leyden ou um gerador de eletricidade estático giratório causaria a contração dos músculos na perna de uma rã e muitos outros animais, ou aplicando a carga elétrica para o músculo ou para o nervo. As experiências notáveis de Galvani ajudaram estabelecer a base para o estudo biológico de neurofisiologia e neurologia. A troca de paradigma estava completa: nervos não eram tubos de água ou canais, como Descartes e os contemporâneos dele haviam pensado, mas condutores elétricos.

Informação dentro do sistema nervoso é levada por eletricidade gerada diretamente pelo tecido orgânico. Como o resultado das demonstrações experimentais de Luigi Galvani e seus seguidores, foi desvelada a natureza elétrica da função nervo-músculo. Porém, uma prova direta só poderia ser feita quando os cientistas poderiam medir ou descobrir as correntes elétricas naturais geradas nas celas nervosas e musculares. Galvani não teve a tecnologia para medir estas correntes, porque elas eram muito pequenas. Luigi Galvani foi designado em Anatomia na

Conte Alessandro Volta nasceu em Como, Itália, uma família nobre. O físico italiano Alessandro useppe Antônio Anastasio Volta era o inventor da pilha

voltaic, a primeira bateria elétrica. Em 1775 ele entou o electrophorus, um dispositivo que, uma vez tricamente carregado por tido sido esfregado, poderia nsferir carga elétrica para outros objetos. Entre 1776 e 78, descobriu Volta o gás de metano isolado.

Universidade em 1762. A habilidade dele como um cirurgião o ganhou a Cadeira de Obstetrícias logo no Instituto de Ciências das quais ele era se tornar o presidente em 1772. As investigações na estrutura orgânicas animal o estabeleceram como um dos fundadores de eletro-tecnologia moderno ao término do décimo oitavo século, ao lado de seus contemporâneos dele Henry Cavendish, Benjamim Franklin e Alessandro Volta. Ele foi o primeiro a descobrir a ação fisiológica da eletricidade. As experiências subseqüentes fazendo os músculos expostos e nervos de um contrato de rã quando conectou a um condutor bimetálico, demonstrou a existência de forças bioelétricas em tecido animal. Isto deu lugar a uma discordância entre Galvani e Volta em cima da explicação do fenômeno sobre o qual cada era em parte certa. O trabalho não obstante instrumental em Volta principal gerou a
invenção da primeira bateria ea Cadeira durante 33 anos, 1797 seguindo a ocupação
25

létrica. Galvani segurou mas foi despedido em

do país pelo exército


26

napoleônico. Sendo um homem de integridade, ele recusou levar o juramento de submissão requerido pelo invasor. Ele morreu o ano seguinte.

Galvanização é o nome derivado de Luigi Galvani, e era uma vez usado como o nome para a administração de choques elétricos, originada da indução de Galvani do estremeção nas pernas de rã cortada, pela geração acidental de eletricidade. Agora sensação arcaica é a origem do significado de galvanizou quando descrevia alguém que se mexe sob ação súbita, abrupta. Em 20 de março de 1800, ocorreu uma das maiores inovações nas experiências de eletricidade. Uma discordância profissional, em cima dos resultados de uma experiência entre Luigi Galvani e Alessandro Volta. Volta foi conduzido a provar que quando certos metais e substâncias químicas entram em contato entre si podem produzir uma corrente elétrica. Arranjou vários pares de discos de prata e de zinco separados por papel empapado em água de sal e uma corrente elétrica foram produzida. Volta tinha produzido a primeira bateria.

• Aparelhos de medições: Amperímetros, Ohmímetros e Voltímetros.

São aparelhos para medir corrente,

resistência elétrica e diferença de potencial, respectivamente.

Amperímetro:

Para medir corrente elétrica que passa por um resistor (R2 na figura abaixo), liga-se o amperímetro (entre os pontos a e b da figura abaixo) em série com o resistor. A resistência interna do amperímetro deve ser pequena, para que não altere a grandeza da medida. Um amperímetro ideal tem resistência interna nula.

Voltímetro:

Para medir a diferença de potencial em um

resistor (R1, na figura abaixo), usa-se um voltímetro ligado em paralelo com o resistor, entre os pontos c e d indicados na figura. Um voltímetro ideal deve possuir resistência infinita para que não perturbe a medida no circuito.

Figura 22 – Circuito utilizando voltímetro e

amperímetro (a) e aparelhos (b). (a) (b) Alguns multímetros analógicos e digitais:


27

1. Galvanômetro: O galvanômetro é o componente principal de um

voltímetro ou amperímetro. Esse instrumento possui sensibilidade a pequenas correntes que o atravessam.

Um galvanômetro típico de um laboratório de ensino possui uma bobina móvel em torno de um eixo, no campo magnético de um ímã permanente. Quando a bobina é atravessada pela corrente, o campo magnético exerce sobre ela um torque que provoca sua rotação. Como há um ponteiro acoplado à bobina indicando sua rotação sobre uma escala,. A figura abaixo ilustra a estrutura interna de um galvanômetro.

Figura 23 – Esquema de um galvanômetro. Dependendo o que queremos medir, podemos

utilizar o galvanômetro como um amperímetro ou voltímetro.

Para utilizarmos o galvanômetro como um amperímetro, devemos ligá-lo em paralelo com uma resistência de pequeno valor, denominada shunt (Rs) , onde a maior parte da corrente passa por essa derivação.

Figura 24 – Circuito que utiliza um galvanômetro. i G rg ig is Rs Assim:

gs

sg

sg

sgggss i

RRr

iiRrRr

iriR ⋅+

=⇒⋅+

⋅=⋅=⋅ g

s

g iRr

i ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= 1

Para utilizarmos o galvanômetro como um voltímetro, devemos ligá-lo em paralelo com uma resistência de grande valor, denominada de resistência multiplicadora (Rm).

Figura 25 – Circuito que utiliza um galvanômetro e resistência multiplicadora..

G rg ig Rm Vg Vm

( ) ggmmg irRVV ⋅+=+Assim: U = Pode-se usar um galvanômetro em série com

uma bateria e um resistor Rs para termos um ohmímetro simples:

Figura 26 – Circuito que utiliza um galvanômetro e

resistência shunt. ε Rs a G rg ig b Quando a e b estão em curto, Rs é

determinada de modo que a corrente que passa pelo galvanômetro proporciona uma deflexão no ponteiro que cobre a escala completa. Deflexão nula indica uma resistência infinita entre os terminais. Quando os terminais estiverem ligados por uma resistência desconhecida R, a corrente que passa pelo galvanômetro depende dessa resistência e pode ser ajustada de modo a dar a leitura direta de R.

Deve-se tomar cuidado pois não podemos medir a resistência de um amperímetro sensível usando um ohmímetro, pois este proporciona uma corrente que passa por uma resistência desconhecida.

Ponte de Wheatstone:

Na figura, ajusta-se o valor da resistência Rs

de maneira que os potenciais nos pontos a e b sejam os mesmos. Assim, não há diferença de potencial entre os pontos a e b. Portanto, pode-se determinar uma resistência desconhecida Rx por:

Figura 27 – Circuito que utiliza uma montagem de

ponte de Wheatstone.

sxsx RRRRRRRR ⋅=⇒⋅=⋅

1

212

Osciloscópios:


28

Osciloscópios são instrumentos de medidas de

tensão pela aplicação das diferenças de potencial em suas entradas verticais ou horizontais. A tensão é proporcional ao deslocamento na tela do osciloscópio. O princípio de funcionamento consiste na interação de um feixe de elétrons com campo elétrico no interior de um tubo de raios catódicos. Uma grade (3) é colocada a um potencial superior do potencial do filamento (Ug > Uf). Assim há a extração de elétrons do filamento (1). A figura abaixo ilustra a estrutura interna de um osciloscópio.

Figura 28 – Esquema interno de um osciloscópio. Componentes: (1) Filamento. (2) Cilindro de Venelt: Controle do número

de elétrons incidentes pelo ajuste da polaridade. (3) Grade. (4) Ajuste. (5) Placa horizontal. (6) Placa vertical. (7) Brilho. (8) Focalização. (9) Ajuste do potenciômetro. (10) Ajuste do potenciômetro. (11) Sistema de varredura. (12) Amplificação e Atenuação horizontal. (13) Amplificação e atenuação vertical. (14) Entrada horizontal. (15) Entrada Vertical.

Diodos

Exemplo de um resistor não Ôhmico é um diodo semicondutor de junção pn, que consiste de dois materiais semicondutores, tipo p e tipo n, como descrevemos na seção anterior.

Esse material possui as seguintes características, onde representamos os átomos receptores, imóveis no lado p por : e as lacunas ou buracos por . Já os átomos doadores, tipo n, com facilidade em doar elétrons, representamos por ⊕ e os elétrons próximos por .

Figura 29 – Junção p-n.

e- TIPO P Potencial - + da Junção TIPO N b JUNÇÂO PN doadores ionizados + 0 (1)

- Receptores ionizados

DISTRIBUIÇÃO DE LACUNAS E ELÉTRONS LIVRES + Lacuunas

0 elétrons (2) ρ (densidade de carga)

carga líquida (1)+(2)

+ - x

ερ

ερ

=⋅∇⇔=⋅∫∫ ESdES

E (Campo Elétrico) x

VEdxE ∇−=⇔= ∫ ερ

V ( Potencial) x

∫ ⋅−= ldEV


29

Quando forma-se a junção, os elétrons livres na região tipo N se difundem através da junção e preenchem as lacunas próximas à junção, na região P. As lacunas difundem-se através da junção desde a região P até a região N e capturam elétrons livres próximo à junção na região N.

Quando um elétron abandona o átomo doador na região N e se move dentro da região P, os átomos possuem menos elétrons que os necessários à neutralização da carga positiva de um núcleo e se carrega (ioniza-se). Tem uma carga positiva extra igual à carga negativa do elétron que perdeu.

Similarmente quando uma lacuna abandona o átomo receptor na região P, o átomo toma uma carga negativa, porque a lacuna foi preenchida com um elétron, e o átomo possui um elétron a mais que o necessário para neutralizar a carga do seu núcleo.

Esses átomos carregados, ou íons são fixos na rede cristalina não podem se mover. Então se forma uma região de carga fixa em ambos os lados da junção. Sobre o lado N da junção existe uma região de íons carregados negativamente e sobre o lado p da junção há uma camada de íons com cargas negativas. Observe que (na figura anterior) aparece uma barreira de íons negativos no lado p da junção Essa barreira negativa repele os elétrons na vizinhança da junção e evita a infiltração de maior número de elétrons do lado n até o lado p do cristal. Similarmente, no lado N há a formação de íons positivos e evita a difusão de lacunas adicionais através da junção, do material P ao material N.

As duas zonas de átomos ionizados formam uma barreira para qualquer outra difusão através da junção, pois as cargas na junção forçam os portadores majoritários a afastar-se dela. Esta barreira é conhecida como zona de depleção ou zona de barreira, ou potencial de barreira.

A carga dos átomos de impureza é distribuída na junção PN como ilustramos na figura anterior, curva (1). Na região P, os receptores ionizados têm carga negativa e na região N, os átomos doadores ionizados têm carga positiva. Na junção PN a carga é zero. Porém, na região P há lacunas que contém carga positiva e na região N há elétrons que contém carga negativa. Essa distribuição é mostrada na curva (2). O potencial da junção atua nas lacunas, separando-as da mesma, na região P, e aos elétrons, afastando-os da junção na região N, de modo que as cargas na região P e N se separam. Então a inclinação da curva (2) é mais gradual que a da curva (1). A carga na junção é zero, porém o aumento de cada lado é mais suave que na curva (1). Penetrando mais na região P as cargas tornam-se positivas devido às lacunas e penetrando no interior do lado N co cristal as cargas tornam-se negativas devido aos elétrons.

A carga sobre o cristal na região P é igual à diferença entre a carga dos átomos receptores ionizados e a carga das lacunas. A carga no cristal na região N é igual a diferença entre a carga dos átomos doadores ionizados e

elétrons. Essas cargas se anulam, exceto na região circunvizinha à junção, Indicamos na figura correspondente à carga líquida ((1)+(2)).

Na área próxima à da junção, há carga negativa na região P e carga positiva na região N. Como estabelecemos anteriormente, estas atuam como uma barreira para evitar a posterior difusão de lacunas da região P à região N e a difusão de elétrons da região N à região P. Este potencial de barreira constitui uma diferença de potencial através da junção e é da ordem de poucos décimos de volts e é denominado de potencial aparente e é representado por uma pequena bateria como ilustra a figura, com o terminal negativo conectado ao material P e o terminal positivo conectado ao material N. Tal potencial de barreira é semelhante à placa cátodo de um diodo de vácuo. Se a placa torna-se positiva em relação ao cátodo aquecido o diodo conduzirá corrente. Se aplaca é negativa em relação ao cátodo o diodo bloqueiará a circulação da corrente.

Assim, quando conectamos um diodo retificador a uma bateria, a corrente para uma polaridade da bateria é muito pequena, enquanto que para outra, a corrente é grande, conforme indicamos no comportamento da corrente em função da ddp a seguir.

Figura 30 – Corrente em um diodo. A equação da corrente é dada, no caso mais

geral, por:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 10

kTqV

eII

Onde: k: Constante de Boltzmann.

KJk 231038,1 −⋅= ou K

eVk 51062,8 −⋅= T: Temperatura Absoluta (em Kelvin).


30

-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

200

400

600

8

Abaixo ilustramos para T1 = 100K (Vermelho), T2 = 300K (Azul), e T3 = 500K (Verde).

Figura 31 – Corrente em um diodo para diferentes

temperaturas.

00

1000

I€€€€€€€€I0

Variação da corrente nAAI ↔→ µ0 Lembrando que pode-se controlar o número de

elétrons livres n ou de buracos p, inserindo-se átomos dopantes na rede cristalina do material semicondutor, como mostramos anteriormente:

Dopantes

Tipo Átomos Função Doadores

n Com 5 elétrons na última camada: P,As, Sb

Aumenta n e reduz p

Aceitadores p

Com 3 elétrons na última camada: B,Ga, In

Aumenta p e reduz n

Na região próxima à da junção pn, há a difusão de

elétrons para o lado p e buracos para o lado n, originando uma região de carga espacial.

O lado n acumula carga líquida positiva e o lado p acumula carga líquida negativa, produzindo um campo elétrico através da junção pn, balanceando o efeito da difusão e impedindo que mais elétrons ou buracos atravessem a junção.

A região de carga espacial da qual os elétrons escapam depende da profundidade de penetração do campo no semicondutor e é chamada camada de depleção.

a) Polarização Reversa na junção: (Reverse Bias) b) Polarização direta na junção: (Foward Bias)

a) Polarização reversa na junção: (Back-bias)

Há extração de elétrons do lado n e buracos do lado p, fazendo com que a região de carga espacial alargue-se e a corrente circulante seja nula.

b+ e-

p n

- V + b) Polarização direta na junção:

Nesse caso, os elétrons são extraídos do lado p, aumentando a concentração de buraco e se difundem através da junção se recombinando com elétrons do lado n. O Campo aplicado favorece a condução pela junção.


31

e- b+ p n

+ V -

Uma importante aplicação desta propriedade do

um diodo é em circuitos retificadores, onde se obtém a partir de um sinal alternado (AC) que tem média nula, um sinal de corrente contínua (DC).

Retificador de meia onda: ilustrado abaixo:

Retificador de onda completa:

A tensão de saída no osciloscópio será a indicada acima:


32

Podemos utilizar também uma ponte de diodos para retificar o sinal:

No semi-ciclo positivo os diodos D2 e D4

conduzem e D1 e D3 cortam. No semi-ciclo negativo os diodos D2 e D4 cortam e D1 e D3 conduzem. (Observação: D1 , D2 (acima) e D3 D4 (abaixo) no sentido horário).

A tensão medida no osciloscópio fornecerá:

Retificador com filtro: Quando o diodo conduz, o capacitor se

carrega até V0 e quando o diodo corta o sinal o capacitor se descarregará com uma constante de tempo: τ = R.C, mantendo a corrente fluindo na carga até que o diodo conduza novamente. V ∆V V0

t A carga perdida será dada por:

TIq L ⋅=∆ No capacitor, a variação de voltagem é dada

por:

CTI

CqV L ⋅=

∆=∆ (Para meia onda).

CTIV L

⋅⋅

=∆2

(Para onda completa).

Como R

VI DCL = , substituindo na equação

acima:


33

ττT

VVTV

CRTVV

DC

DCDC =∆

⇒⋅

=⋅⋅

=∆ A

ondulação de saída é denominada de “ripple” e é dada por:

τT

VVrDC

=∆

= (Meia onda).

τ2T

VVrDC

=∆

= (Onda completa).

Como para )2cos(0 ftVV π= e f = 60Hz teremos T = 1/f ≅ 0.0166s

Se utilizarmos C = 1µ F e R = 100 k Ω teremos: 165 101010 −− =⋅=⋅= CRτ

%67,16166.0100166.0

1 ====⇒ −τTr

LED – Light Emission diode

O diodo emissor de luz opera pelo princípio da

junção pn descrita anteriormente. A figura abaixo ilustra um circuito que utiliza um LED.

Quando o elétron na base da banda de condução

cai para um buraco no topo da banda de valência em um semicondutor, uma energia Eg, denominada gap característica do semicondutor, é liberada. Esta energia pode ser transformada em vibração na rede do material semicondutor (comum em semicondutores de silício) ou liberada na forma de radiação eletromagnética, na região do visível, o que acontece em materiais semicondutores de Arseneto de Gálio e fósforo.

A energia Eg se relaciona com o comprimento de onda λ da radiação liberada pela equação:

gEhc

fc==λ

Em um LED típico, que consiste de uma junção pn de As-Ga-P possui Eg=1,9 eV. O comprimento de onda da luz emitida será:

nmeV

JsEhc

eVJ

sm

g

650106,19,1

100,31061.619

834

=⋅⋅

⋅⋅== −

−

λ

Esse comprimento de onda corresponde à cor vermelha, maioria dos LEDs comerciais.

Outra aplicação do LED consiste em conectar o final da junção pn em um cristal devidamente polido, em um determinado plano de junção que atua como um Laser Esse dispositivo é denominado de diodo laser. A figura abaixo ilustra esse componente, desenvolvido na AT&T Bell Laboratories.

O Efeito Piezelétrico: Em alguns cristais, como as moléculas

polares (quartzo, topázio), uma tensão mecânica aplicada a eles provoca a polarização das moléculas. O efeito denomina-se efeito piezelétrico. A polarização do cristal sob tensão provoca uma diferença de potencial entre suas faces que pode ser aproveitada para gerar corrente elétrica. Os cristais piezelétricos são utilizados em transdutores como microfones, captadores fonográficos e dispositivos detetores de vibrações, que convertem deformações mecânicas em sinais elétricos. O efeito piezelétrico invertido: uma tensão aplicada em certos materiais provoca deformação mecânica, é utilizado em fones de ouvido, microscópios de varredura e em muitos outros dispositivos.

Como a freqüência natural de vibração do quartzo está compreendida na região das radiofreqüências, e sua curva de ressonância é muito aguda, o cristal de quartzo é muito utilizado para estabilizar osciladores de radiofreqüência e controlar relógios muito exatos.

O efeito piezoelétrico foi descoberto por Pierre e Jacques Curie em 1880 e consiste na variação das dimensões físicas de certos materiais sujeitos a campos elétricos.


34

O contrário também ocorre, ou seja, a aplicação de pressões. Por exemplo, pressões acústicas que causam variações nas dimensões de materiais piezoelétricos provocam o aparecimento de campos elétricos neles. Um outro método de gerar movimentos ultra-sônicos é pela passagem de eletricidade sobre metais especiais, criando vibrações e produzindo calor intenso durante o uso. Este efeito é chamado de magnetoestritivo

O efeito piezoelétrico poderá ser utilizado em atuadores

(converte eletricidade em energia mecânica) e em transdutores (converte energia mecânica em energia elétrica). Isto permite a construção de chaves e controles, indicadores diretos de voltagens e uma série de outros sensores. A conversão direta de eletricidade em energia mecânica pode ser utilizada para a criação de "músculos metálicos" que darão movimento a pequenos robôs ou mesmo a próteses humanas. Mas as aplicações possíveis do material passam ainda por válvulas microscópicas, ótica adptativa e materiais inteligentes capazes de alterar seu formato conforme a necessidade. O efeito de transdução pode ser utilizado, por exemplo, em sensores que disparam o "air-bag" dos automóveis.

Transístores

Transistores são elementos de circuito de três

terminais, onde se aplica um sinal de baixa potência entre dois desses para controlar outro sinal de alta potência entre os outros dois terminais. A figura abaixo mostra a corrente que passa pelos terminais DS controlada pelo potencial em G.

John Bardeen e Walter Houser Brattain receberam

o prêmio Nobel de Física em 1950 pela descoberta do efeito transístor. A figura abaixo ilustra o primeiro construído.

Há vários tipos de transistores de acordo com sua construção e características para cada aplicação existente.

Classificamos como: • Transistor de junção bipolar: (BJJ) São construídos com semicondutores Ge ou Si,

da forma npn ou pnp.

Transistor pnp

emissor base coletor ie icp p e c i b b n

Transistor npn

ie icn n e c i b b p Com o aparecimento da difusão de

portadores nas junções, produzem-se barreiras de potencial entre emissor e base e base e coletor.

• Transistor de efeito de campo:

(MOSFET) (Metal-Oxide-Semiconductor Field-Effect Transistor)

O dispositivo é controlado por um campo elétrico, diferentemente do modelo anterior que é controlado pela difusão de portadores. Observe que a fonte S e a base G são aterradas e o potencial VD é aplicado no terminal de dreno D. A magnitude do ganho da corrente é controlada pelo potencial VGs.


35

Circuitos Integrados:

Um circuito integrado (o microchip) é um aparelhinho com um circuito eletrônico completo, funcionando com transistores, resistências e suas interconexões, fabricado em uma peça de material semicondutor, como o silício, germânio ou arseneto de gálio, folheados em wafers de 8 ou 12 camadas. Alguns circuitos integrados são usados como memória (as RAMs, ROMs, EPROMs); outros são utilizados como processadores - realizando funções lógicas e matemáticas em um computador.

Alguns CIs, transistores, diodos e LED (Light emission diode).

Código de cores em resistências:


36

Exercícios: 1) Um eletrômetro é um aparelho que é usado para medir carga estática. Um a carga desconhecida é colocada nas placas de um capacitor e a diferença de potencial é medida. Qual o mínimo de carga que pode ser medida por um eletrômetro de capacitância 50 pF e voltagem 0,15 V ? 2) Dois objetos metálicos, de cargas +70pC e -70pC estão sobre uma diferença de potencial de +20V. a) Qual a capacitância do sistema? b) Qual a ddp se as cargas forem de +200 pC e -200pC sem a capacitância mudar? 3) O capacitor da figura têm capacitância de 25 mF e está inicialmente descarregado. A bateria o mantém a uma ddp de 120 V. Depois da chave se fechar por um grande tempo, qual a carga no capacitor?

C

V

+ -

S

4) Um capacitor de placas paralelas circulares possui 8,2 cm de raio e separação 1,3 mm. a) Calcule sua capacitância. b) Qual a carga que aparece nas placas quando uma ddp de 120 V é aplicada no capacitor? 5) Dispomos de duas placas de metal de 1 de área e fabricamos com elas um capacitor plano de 1,00 F. Qual deve ser a separação entre as placas?

2m

6) As placas do catodo de um tubo de diodo a vácuo sào da forma de dois cilíndros concêntricos com o catodo sendo o cilindro central. O diâmetro do catodo é de 1,6 mm e o cilindro externo possui diâmetro de 18 mm. Ambos possuem o comprimento de 2,4cm. Calcule a capacitância do diodo. 7) Uma gota esférica de mercúrio de raio R tem capacitância dada por C R= 4 0πε Se duas destas gotas combinam para formar uma terceira gota maior, qual a capacitância da terceira gota?

8) Suponha que as duas superfícies esféricas de um capacitor esférico possua uma o dobro da área da outra. Encontrar sua capacitância. 9) Quantos capacitores de 1,00 mF devem ser conectados em paralelo para armazenar uma carga de 1,00 C com uma ddp de 110 V sob os capacitores?

10) Na figura, encontre a capacitância equivalente da associação. Assuma que C1=10,0 µF, C2= 5,0µF e C3= 4,0µF

1)

C 1 C2

C3

V

Se a ddp V for de 120 V, qual a carga em cada capacitor ? 11) Cada um dos capacitores na figura abaixo possuem uma capacitância de 25,0 µF. Uma diferença de potencial de 4200 V é aplicada quando a chave é conectada. Quantos coulombs de carga atravessam o medidor A?

C C C

A

S

4200 V

12) Quanto de energia é armazenada em 1 metro cúbico de ar devido a um campo elétrico de intensidade 150 V/m ? 13) Que capacitância é necessária para armazenar uma energia de 10 kW-h a uma ddp de 1000V? 14) Dois capacitores de 2 µF e 4µ F de capacitância são conectados em paralelo sob uma ddp de 300 V. Calcule a energia total armazenada nos capacitores. 15) Um capacitor de placas paralelas possui capacitância de 7,4 pF quando há ar em seu interior. Preenchido por um dielétrico, sua capacitância vai para 7,4 mF. Encontre o valor da constante dielétrica. 16) Uma corrente de 5 A existe em um resistor de 10 Ω por 10 min. a) Qual a carga elétrica nesse intervalo de tempo ?


37

b) Quantos elétrons passam pela seção transversal desse resistor nesse intervalo de tempo? c) Encontre a ddp. 17) A corrente elétrica típica em um terminal de vídeo é de 200 µA. Quantos elétrons atravessam a cada segundo? 18) A cinta de um gerador de Van de Graaff possui 50 cm de largura e velocidade de 30 m/s. A cinta carrega carga para a esfera a uma razão correspondente a 100 µA. Encontre a densidade superficial de carga na cinta. 19) Uma corrente é estabelecida em um tubo de descarga de gás quando uma suficiente e alta voltagem são aplicadas através dos dois eletrodos do tubo. O gás ioniza-se e elétrons se movem para o terminal positivo enquanto os íons positivos vão em direção ao terminal negativo. Qual a magnitude e direção da corrente em um tubo de descarga de hidrogênio no qual há 3 1 elétrons e

prótons se movendo em uma seção de área transversal do tubo ?

1018, .1 1 1018, .

20) Uma junção pn é formada quando dois diferentes materiais semicondutores na forma de cilindros idênticos de raio 0,165 mm são conectados. Cerca de

elétrons por segundo atravessam a junção do lado n para o lado p, enquanto 2 2 buracos (um buraco atua como se fosse uma partícula de carga +e) atravessam do lado p para o lado n.

3 5 1015, .5 1015, .

n p Qual a corrente total e a densidade de corrente? 21) Um resistor possui área de seção transversal igual a 56 . Qual a resistência se este resistor for um fio de 10 km de comprimento? A resistividade deste fio é

.

0 2, cm

3 00 10 7, . .− Ω m 22) Um fio condutor possui diâmetro de 1 mm, 2 m de comprimento e resistência elétrica de 50 mW. Encontre sua resistividade. 23) Um fio de uma liga níquel-cromo-ferro, possui comprimento 1 m e área de seção transversal de 1 . Se uma corrente de 4 A o atravessa quando submetido a uma diferença de potencial de 2V, encontre a condutividade σ do fio. (Obs.: σ=1/ρ).

0 2, mm

24) Quando aplicamos uma ddp de 115 V em um fio de raio 0,3 mm e comprimento 10 m, a densidade de

corrente é de J = 1 4 1, . Am

032 . Encontre a

resistividade do fio. 25) Um bloco retangular de área de seção transversal 3 5 possui comprimento de 15,8 cm e resistência 935 Ω O material pelo qual o bloco é constituído possui

0 2, cm

5 3 (elétrons de

condução). Uma diferença de potencial de 35,8 V é aplicada entre seus terminais.

3 10223, . eletrons

m

a) Qual a corrente sobre o bloco? b) Se a densidade de corrente é uniforme, qual seu valor? c) Qual a velocidade de escoamento (correnteza) dos elétrons de condução? d) Qual o campo elétrico no bloco? 26) Um estudante possui um rádio de 9,0 V e 7,0 W. Ligado das 9:00 PM às 2:00 AM, quanta carga atravessou-o? 27) Um certo tubo de raio X opera a uma corrente de 7,0 mA e uma ddp de 80 kV. Qual a potência dissipada, em watts? 28) Energia térmica é produzida por um resistor a uma razão de 100 W quando uma corrente de 3,00 A o atravessa. Qual sua resistência ? 29) Um resistor desconhecido é conectado aos terminais de uma bateria de 3,00 V. A potência dissipada pelo resistor é 0,540 W. Quando o resistor é conectado entre os terminais de uma bateria de 1,5 V , qual a potência dissipada por ele? 30) Encontre a resistência equivalente entre os pontos A e B nos casos abaixo. a)

100 50

180

90

A B

b)

A B50 150


38

c)

200 80

40

80

A B

120 d)

300 80

40

80

A B

120

160

6

e)

300 80

40

80

A B

120

160

6

300

31) No circuito abaixo determine: a) A corrente que atravessa os resistores. b) A ddp em cada resistor: A)

150 50

120 V

B)

50 40

220 V

+3q -2q

+5q -2q

Pd

d d

dd

d

21) Se a Terra possui uma densidade de carga superficial de 1,0 elétrons por metro quadrado, (assumindo aproximação) qual seria o potencial elétrico da Terra? E o campo elétrico da Terra na sua superfície? 22) Os elétrons tendem a se mover em regiões de alto ou baixo potencial?


39

Exercícios – Hayt -6 ª Edição.

1. Dada a densidade de corrente: ( ) 2ˆ2cosˆ210 224

mkA

yy

xy axeaxesenJ −− +−= :

(a) Determine a corrente total que cruza o plano y = 1 na direção na região 0 < x < 1, 0 < z < 2 ya

(b) Determine a corrente total que deixa a região 0 < x, y < 1, 2 < z < 3 através da integração de

sobre uma superfície do cubo. SdJ ⋅ (c) do emprego do teorema da divergência.

Solução: A corrente será: ∫∫ ⋅=

S

SdJI

Teremos:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<<<<===

=

20;10;1ˆˆzxyadSadSSd

dxdzdS

yn

( ) dxdzaaxeaxesenI yyy

xy ˆ10ˆ2cosˆ210 3

1

0

2

0

224∫ ∫ −− +−=

dxdzxeI ∫ ∫−−=1

0

2

0

27 2cos10

∫∫−−=2

0

1

0

27 2cos10 dzdxxeI

[ ]201

0

27

2210 zxseneI ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−−= −

22

210 27 seneI −=

210 27 seneI −= MAI 23.1=

(b) Corrente total

Região: 0 < x, y < 1, 2 < z < 3

∫∫ ⋅=S

SdJI

Teremos, explicitando a superfície fechada S do cubo como as 6 faces :

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=<<==

=

3;1,0ˆˆ:1

zyxadSadSSd

dxdydSS zn

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=<<−==

=

2;1,0)ˆ(ˆ:2

zyxadSadSSd

dxdydSS zn

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=<<<<−==

=

0;32;10)ˆ(ˆ:3

xzyadSadSSd

dydzdSS yn

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=<<<<==

=

1;32;10ˆˆ:4

xzyadSadSSd

dydzdSS yn

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=<<<<−==

=

0;32;10)ˆ(ˆ:5

yzxadSadSSd

dxdzdSS xn

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=<<<<==

=

1;32;10ˆˆ:6

yzxadSadSSd

dxdzdSS xn

∫∫ ⋅=S

SdJI

∫∫∫∫ ⋅+⋅=21

21SS

SdJSdJI

∫∫∫∫∫∫ ⋅+⋅+⋅+⋅6543

6543SSS

SdJSdJSdJSdJ∫∫S

+= ∫∫ − dydzxeS

y

3

27 2cos10I

dxdzxesendydzxeS

y

S

y ∫∫∫∫ −− +−54

2727 2102cos10

dxdzxesen

S

y∫∫ −−+6

27 210

Desenvolvendo, chega-se a I = 0. (c) Teorema da divergência:

tQdVJSdJI

VS ∂∂

−=⋅∇=⋅= ∫∫∫∫∫

dVtt

Q

V

v∫∫∫ ∂∂

−=∂∂ ρ

−

Comparando, chegamos a:

tJ v

∂∂

−=⋅∇ρ

zJ

yJ

xJ

J zyx

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=⋅∇


40

( ) ( )zy

xex

xesenJyy

∂∂

+∂

−∂+

∂−∂

=⋅∇−− 02cos10210 2727

yy xexeJ 2727 2cos2102cos210 −− −⋅−+−=⋅∇

J

0=⋅∇ J 2. Seja a densidade de corrente:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= 2

2 ˆ2ˆcos2mAasenaJ φρ φρφρ

Dentro da região 2,1 < r < 2,5 0 < f < 0,1 rad; 6 < z < 6,1. Determine a corrente total I cruzando a superfície: (a) r = 2,2; 0 < f 0,1; 6 < z < 6,1 na direção ar. (b) f = 0,05; 2,2 < r < 2,5; 6 < z < 6,1 na direção af. (c) Calcule em P(r = 2,4; f = 0,08; z = 6,05). J⋅∇

3. Seja: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+= 22

ˆ4

400mAa

rsenJ r

θ

(a) Determine a corrente total que flui através da porção da superfície esférica r = 0,8 limitada por θ = 0,1π; θ = 0,3π, 0 < f < 2π.

(b) Determine o valor médio de J sobre a área definida.

Solução:

Região:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=≤≤≤≤==

=

8.0;20;3.01.0ˆˆ:

2

radSadSSdddsenrdS

S rn

πφπθπ

φθθ

∫∫ ⋅=S

SdJI

∫∫ ⋅+

=S

rr addsenrar

senI ˆ)(ˆ4

400 22 φθθθ

∫∫+=

ππ

π

φθθ2

0

3.0

1.0

22

2

4400 ddsenr

rI

∫∫−

+=

ππ

π

φθθ 2

0

3.0

1.02

2

22cos1

4400 ddr

rI

[ ] πφφ

πθ

πθ

φθθ 20

3.0

1.02

2

42

24400 =

=

=

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

+=

senr

rI

( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

−−⋅

−+

⋅=

41.02

21.0

43.02

23.0

48.08.04002

2

2 πππππ sensenI

AI 423.77= (b) Valor médio de J sobre a área definida.

rm aAI ˆ=

∫∫=S

raddsenr ˆ2 φθθA

A

A

∫∫=ππ

π

φθθ2

0

3.0

1.0

2 ddsenr

πππ φθ 2

03.01.0

2 cosr−=

[ ] [ ]( ) πππ 21.0cos3.0cos8.0 2 −−=AA

4602.1=

J rm a4602.1

423.77=

J rm a00.53= 4. O catodo de um tubo de vácuo plano está

em z = 0. Seja E = -4,0.106 az V/m para z > 0. Um elétron (e = 1,062.10-19 C, m = 9,11.10-31kg) é emitido do catodo com velocidade inicial zero em t = 0.

(a) Determine v(t). (b) Determine z(t), a localização do elétron como

função do tempo. (c) Determine v (z). (d) Suponha que elétrons são emitidos

continuamente como raios de luz com 0,25 mm de raio e uma corrente total de 60 µA. Determine J(z) e rv(z).

5. Seja:

J ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−= 22

ˆ01.0

20ˆ25mAaa zρρ ρ e

(a) determine a corrente total que atravessa o plano z = 0,2 na direção a- para r < 0,4.

(b) Calcule tv

∂∂ρ

.

(c) Determine a corrente total que deixa a superfície fechada definida por r = 0,01, r = 0,4, z = 0 e z = 0,2. (d) Mostre que o teorema da divergência é satisfeito para J e a superfície escolhida. Solução:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−= 22

ˆ01.0

20ˆ25mAaaJ zρρ ρ


41

Observando a figura: zaddSd ˆφρρ= Assim: ∫∫ ⋅=

S

SdJI

zz addaaI ˆˆ01.0

20ˆ254.0

0

2

02∫ ∫ ⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−= ρφρρρ

π

ρ

∫∫ +−=

4.0

02

2

0 01.020 ρ

ρρφ

π

ddI

( ) 4.00

220 01.0ln

2120 =

=== +−=

ρρ

πφφ ρφI

( ) ( ) ( )[ ]01.00ln01.04.0ln21220 22 +−+−= πI

( )[ ]01.0ln17.0ln20 −−= πI 17ln20π−=I AI 02.178−=

(b) Jtv ⋅∇−=

∂∂ρ

( )z

JJJJ z

∂∂

+∂

∂+

∂

∂=⋅∇

φρρρ

ρφρ 11

ρρ25

=J ;01.0

202 +−

=ρzJ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

∂∂

+∂∂

+∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

=⋅∇01.0

20)0(125

12ρφρρ

ρρ

ρ zJ

( ) 001251++

∂∂

=⋅∇ρρρ

J

0=⋅∇ J . Portanto: 0=∂∂

tvρ

(c) Corrente total que deixa a superfície fechada definida por r = 0,01, r = 0,4, z = 0 e z = 0,2.

As superfícies estão indicadas nas figuras a seguir:

ρφρ adzdSd ˆ1 = ρφρ adzdSd ˆ2 −= S2 S1

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=≤≤≤≤==

=

01.0;20;2.00ˆˆ: 1

1

1

ρπφ

φρ

ρ

zadSadSSd

dzddS

nS

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=≤≤≤≤−==

=

4.0;20;2.00ˆˆ: 2

2

2

ρπφ

φρ

ρ

zadSadSSd

dzddSS n

zaddSd ˆ3 φρρ= d zaddS ˆ4 φρρ−=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=≤≤≤≤==

=

2.0;20;4.001.0ˆˆ: 3

3

3

zadSadSSd

dddSS zn

πφρ

φρρ


42

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=≤≤≤≤−==

=

0;20;4.001.0ˆˆ: 4

4

4

zadSadSSd

dzddSS zn

πφρ

ρρ

∫∫∫∫ ⋅+⋅=21

21SS

SdJSdJI

∫∫∫∫ ⋅+⋅43

43SS

SdJSdJ

φρρ

π

dzdI ∫ ∫=2

0

2.0

0

25 φρρ

π

dzd∫ ∫−

+2

0

2.0

0

25

φρρ

ρπ

dd∫ ∫ +−

+2

0

2.0

02 01.0

20+ φρ

ρρπ

dd∫ ∫ +−−2

0

2.0

02 01.0

)20(

Logo, I = 0 (d) T orema da divergência é satisfeito para J pois e

0=⋅∇ J e I=0; portanto:

00 =⋅∇=⋅== ∫∫∫∫∫ dVJSdJIVS

6. Seja e = e0 e V = 90z4/3 na região z = 0. (a) Obtenha expressões para E, D e rv, como

funções de z. (b) Se a velocidade da densidade de carga é dada

por vx = 5.106z2/3 m/s, determine Jz em z = 0 e em z = 0,l m.

7. Considerando que não há transformação de massa para energia ou vice-versa, é possível escrever uma equação de continuidade de massa,

(a) Se usarmos a equação da continuidade de carga como nosso modelo, que quantidades correspondem a J e rv?

(b) Dado um cubo de l cm de lado, dados experimentais mostram que as taxas pelas qual a massa está deixando cada uma das seis faces são 10,25, -9,85, 1,75, -2,00, -4,05 e 4,45 mg/s. Se considerarmos que o cubo é um elemento de volume incremental, determine um valor aproximado para a taxa de variação da densidade em seu centro.

Solução: (a) Equação da continuidade:

tQdVJSdJI

VS ∂∂

−=⋅∇=⋅= ∫∫∫∫∫

dVtt

Q

V

v∫∫∫ ∂∂

−=∂∂

−ρ

J :Densidade de fluxo de massa: kg/(m2s)

rv :Densidade de massa: kg/m3

(b)

46.405.4275.185.925.10 +−−+−=⋅∫∫S

SdJ

smg55.0

smgVt

dVt

v

V

v 55.0=∂∂

≅∂∂

−∫∫∫ρρ

Vsg

tv

31055.0 −⋅=

∂∂ρ

( )32

3

10

1055.0

m

sgtv

−

−⋅=

∂∂ρ

smg

tv

3550=∂∂ρ

8. A equação da continuidade da massa

relaciona a divergência da variação do fluxo de massa (massa por segundo por metro quadrado) ao negativo da densidade (massa por metro cúbico). Após estabelecer um sistema de coordenadas cartesianas dentro de uma estrela, o Capitão Kirk e sua intrépida tripulação fizeram medidas nas faces de um cubo centrado na origem com 40 km de lado, paralelos aos eixos coordenados. Eles encontraram a variação do fluxo de massa do material para fora das seis faces como sendo -1112, 1183,201, -196, 1989 e -1920 kg/km2-s.

(a) Estime a divergência da variação do fluxo de massa na origem,

(b) Estime a variação da carga da densidade na origem.

9. (a) Usando os dados tabulados no Apêndice C, calcule o diâmetro necessário para um fio de nicromo de 2 m de comprimento que dissipa uma potência média de 450 W quando 120 Vrms em 60 Hz é aplicado a ele.

(b) Calcule a densidade de corrente rms no fio. Solução: (a) Usando: m

SNi

7101.0 ⋅=σ


43

4

22

DlR

AlRRIP

πσσ

=⇔=⇔=

22

22 44VlPD

Dl

PV

Al

PVR

πσσπσ=⇒=⇔==

mmmlPV

D 282.01082.2104502

12022 4

6 =⋅=⋅⋅

== −

ππσ

(b) Densidade de corrente rms no fio.

22

4

4DVP

DV

PVAP

AIJ

ππ====

( )241082.21204504

−⋅

⋅=

πJ

271000.6

mAJ ⋅=

10. Um fio de aço tem 2 mm de raio e condutividade de 6 106 S/m. O fio de aço possui cobertura de alumínio (s = 3,8 X IO7 S/m) de 2 mm de espessura. Seja de 80 A de a corrente total conduzida por este condutor híbrido. Determine:

(a) Jaço; (b) JAl; (c) Eaço(d) EAl; (e) a tensão entre as extremidades do condutor, se

ele tem l milha de comprimento.

11. Duas superfícies cilíndricas perfeitamente condutoras estão localizadas r=3 e r=5 cm. A corrente total que passa radialmente para fora pelo meio entre os cilindros é 3 A dc.

(a) Determine a tensão e a resistência entre os cilindros e E na região entre os cilindros, se um material condutor com s = 0,05 S/m está presente em 3 < r < 5 cm.

(b) Mostre que a integração da potência dissipada por unidade de volume sobre o volume fornece a potência total dissipada.

Solução: J

∫∫ ⋅=1

1S

SdJI ⇒ φρπ

ρ dzdJL

∫ ∫=2

0 0

3

ρπ

πρ ρρ1

2323L

JLJ =⇒=

ρπρa

Lˆ

23

= ⇒ JEσ1

= J

( )mV

aL ρπσ

ρˆ2

3=E

Diferença de potencial: U ∫ ⋅−=−f

iif ldEU

( )∫=

=

++⋅−=−cm

cmzif adzadad

La

UU5

3

ˆˆˆ2

ˆ3ρ

ρφρ

ρ φρρπσρ

∫=

=

−=−cm

cmif

dL

UU5

323 ρ

ρ ρρ

πσ

Como s = 0.05S/m

[ ] 53ln549.9 =

=−=− ρρρ

LU ifU

( )3ln5ln549.9−−=−

LU ifU

35ln549.9

LU if −=−U

( )VL

U if878.4

−=−U

Resistência: LI

UR3878.4

==


44

( )Ω=L

R 625.1

(b) Potência

)(625.143625.1 22 WLL

RIP ===

12. As superfícies esféricas r = 3 e r = 5 cm são condutores perfeitos e a corrente total que passa radialmente para fora pelo meio entre as superfícies é 3 A dc.

(a) Determine a tensão e a resistência entre as esferas e E na região entre elas, se um material condutor com s = 0,05 S/m está presente em 3 < r < 5 cm.

(b) Repita, se s = 0,0005/r para 3 < r < 5 cm. (c) Mostre que a integração da potência dissipada

por unidade de volume do item b sobre o volume fornece a potência total dissipada.

13. Um tubo cilíndrico oco com seção transversa retangular possui dimensões externas de 0,5 in por l in e uma espessura de 0,05 in. Suponha que o material é o latão, para o qual s =1.5 107 S/m. Uma corrente de 200 A está fluindo pelo tubo.

(a) Que queda de tensão está presente sobre o comprimento de l m do tubo?

(b) Determine a queda de tensão se o interior do tubo é preenchido com um material condutor para o qual s= l ,5105 S/m. Solução: Visualizando o tubo cilíndrico oco com seção retangular: 1 in e =0.05in 0.5 in Área da seção onde passa a corrente: mM AAA −= )05.021)(05.025.0()15.0( ⋅−⋅−−⋅=A

214.0 inA =

( )221054.214.0 −⋅=A 2410903224.0 mA −⋅=

Queda de tensão:

IAlRIUσ

==

Ω⋅=⋅⋅⋅

== −−

447 103890.7

10903224.0105.11

AlRσ

20010903224.0105.1

147 −⋅⋅⋅

== RIU

V147.0=U

A

(b) Queda de tensão se o interior do tubo é

preenchido com um material condutor de: s= l ,5105 S/m.

236.0)05.021)(05.025.0( ini =⋅−⋅−=

( ) 2422 103225.21054.236.0 mi−− ⋅=⋅⋅=A

Ω=⋅⋅⋅

== − 02870.0103225.2105.1

145A

lRi σ Teremos uma associação em paralelo. Portanto:

RR

RRR

i

ip +=

Ω⋅=⋅+⋅⋅

= −−

−4

4

4

1020354.7103890.702870.0103890.702870.0

pR

VIRU p 144.02001020354.7 4 =⋅== −

14. Determine a magnitude da intensidade de

campo elétrico em um condutor se: (a) a densidade de corrente é 5 MA/m2, a

mobilidade do elétron é 3 10-3 m2/Vs e a densidade volumétrica de carga é rv=-2,4 1010 C/m3.

(b) J =3 MA/m2 e a resistividade é 3.10-8 Ω-m.

15. Seja V = 10(r + l )z2 cosf V no espaço livre, (a) Considere a superfície equipotencial V = 20

definindo uma superfície condutora. Determine a equação da superfície condutora,

(b) Determine r e E no ponto da superfície condutora onde f = 0,2π e z = 1,5.

(c) Determine |rs| naquele ponto. Solução:

(a) V z( ) 220 10 1 cos 20ρ φ= ⇔ + =

( ) 21 coszρ φ 2+ =


45

(b) 1ˆ ˆ ˆzV V VE V a a a

zρ φρ ρ φ∂ ∂ ∂

= −∇ = − − −∂ ∂ ∂

( )

( )

( )

2

2

2

10 1 cosˆ

10 1 cos1 ˆ

10 1 cosˆz

zE V

za

za

z

aρ

φ

ρ φ

ρ

ρ φ

ρ φ

ρ φ

⎡ ⎤∂ +⎣ ⎦= −∇ = −∂

⎡ ⎤∂ +⎣ ⎦−∂

⎡ ⎤∂ +⎣ ⎦−∂

( ) ( )2 21ˆ ˆ10 cos 10 1 20 1 cos ˆzE z a z sen a zρ φ aφ ρ φ ρρ

= − + + − +

( ) ( )

φ

( )2 21 cos 2 1 1,5 cos 0, 2 2zρ φ ρ π+ = ⇔ + =

( )2

2 1 0,09871,5 cos 0, 2

mρ ρπ

= − ⇔ =

0,0987mρ =

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

2

ˆ10 1,5 cos 0,2

1 ˆ10 0,0987 1 1,5 0,20,0987

ˆ20 0,0987 1 1,5cos 0,2 z

E a

sen a

a

ρ

φ

π

π

π

= − +

+ −

+

ˆ ˆ18,20 147,219 26,666 ˆzE a aρ φ= − + − a

(c) 0s N PD D Eρ ε= = = P

0s PEρ ε=

( ) ( ) ( )2 2128,854 10 18,20 147,219 26,66sρ−= ⋅ − + + − 2

91,334 10sρ−= ⋅

21,334 nCs m

ρ = ⋅

16. Um campo potencial no espaço livre é dado por V =

(80 cos qsenf)/r3 V. O ponto P(r =2, q =π/3, f= π/2) pertence à superfície condutora,

(a) Escreva a equação da superfície condutora, (b) Determine uma normal unitária dirigida para fora da

superfície, considerando que a origem está dentro da superfície,

(c) Determine E em P.

17. Dado o campo potencial Vx

xzV4

1002 +

= no

espaço livre: (a) determine D na superfície z = 0. (b) Mostre que a superfície z = 0 é uma superfície

equipotencial.

(c) Admita que a superfície z = 0 é um condutor e determine a carga total na porção do condutor definida por 0 < x < 2, -3 < y < 0.

Solução: (a) D

Como: VD ∇−= 0ε

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

−= zyx azVa

yVa

xV ˆˆˆ0εD

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+∂∂

+++∂

∂−= zyx a

xxz

zaa

xxz

xD ˆ

4100ˆ0ˆ

4100

220ε

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++

+

−+−= zx a

xxa

x

xxzxzD ˆ4

100ˆ4

2100)4(100222

2

0ε

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++

+

−+⋅−== zx a

xxa

xxxxzD ˆ

4100ˆ

402100)4(01000 222

2

0ε

( ) zax

xzD ˆ

4100

0 20

+−==

ε

(b) Superfície z = 0 é uma superfície

equipotencial. Se z = 0 ï V = 0 = cte. (c) Admita que a superfície z = 0 é um condutor e

a carga total na porção do condutor definida por: 0 < x < 2, -3 < y < 0.

dVQv

v∫∫∫= ρ

Dv ⋅∇=ρ

zD

yD

xD zyx

v ∂∂

+∂

∂+

∂∂

=ρ

( )22

2

04

100400+

−−=

xzxzDx ε

4100

20 +−=

xxDz ε

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

−−

∂∂

= 22

2

04

100400x

zxzxv ερ


46

( )( )42

22

04

422)100400(200+

+⋅−−−−=

xxxzxzxz

v ερ

( )( )42

32

04

164)100400(200

+

+−−−−=

x

xxzxzxzv ερ

1 .Vamos considerar o campo 8

mVazxyaxyzazyE zyx ˆ9ˆ6ˆ3 22332 ++= no espaço livre e também que o ponto P(2, l, 0) pertence a uma superfície condutora.

(a) Determine rv, adjacente à superfície em P. (a) Determine rS, em P (c) Mostre que V = -3xy2z3 V. (d) Determine VPQ dado Q(l, l, l). 19. Seja V = 20 x2yz – 10z2 V no espaço livre. (a) Determine as equações das superfícies

eqüipotenciais nas quais V = 0 e 60 V, (b) Suponha que estas são superfícies condutoras e

determine a densidade superficial de carga no ponto da superfície V =• 60 V onde x = 2 e y = 1. É sabido que 0 < V < 60 V é a região que contém o campo.

(c) Dê um vetor unitário no ponto que seja normal à superfície condutora e dirigida para fora da superfície V = 0V. Solução: (a) Equações das superfícies eqüipotenciais nas quais:

V = 0V yxzzyzx 222 201020 =⇒=−

V =60 V,

z

zyxzyzx 62601020 222 =−⇒=−

(b) Densidade superficial de carga no ponto da superfície V =• 60 V onde x = 2 e y = 1.

A densidade superficial de carga é dada por:

Ns D=ρ

VD ∇−= 0ε

( ) ( )

( ) ⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−∂∂

+

−∂∂

+−∂∂

−=

z

yx

azyzxz

azyzxy

azyzxxD

ˆ1020

ˆ1020ˆ1020

22

2222

0ε

( )zyx azyxazxaxyzD ˆ2020(ˆ20ˆ40 22

0 −++−= ε

Como: z

zyxzyzx 62601020 222 =−⇒=−

Para o ponto P(2,1,z):

0686122 22 =+−⇔=−⋅⋅ zzz

z

⎩⎨⎧

≅−=≅+=

⇒±

=8377.0104162.7104

2408

2

1

zzz

0 2 2

ˆ40 2 1 0.8377(2,1,0.8377)

ˆ ˆ20 2 0.8377 (20 2 1 20 0.8377x

y z

aD

a aε

⋅ ⋅ ⋅ +⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅⎝ ⎠

( )zyx aaaD ˆ246.63ˆ016.67ˆ016.67)8377.0,1,2( 0 ++−= ε

2220 246.63016.67016.67)8377.0,1,2( ++= εD

9400.113)8377.0,1,2( 0ε=D

2008.1)8377.0,1,2( mnCD =

Ns D=ρ

2008.1mnC

s =ρ

(c) Vetor unitário no ponto que seja normal à superfície condutora e dirigida para fora da superfície V = 0V.

VVn

∇∇−

=ˆ

20. Um plano condutor está situado em z = 0 no espaço livre e uma carga pontual de 20 nC está presente em Q (2, 4, 6).

(a) Se V =0 em z = 0 determine r em P(5, 3, l).

(b) Determine E em P. (c) Determine rS em A(5, 3, 0). 21. Considere a superfície y = 0 um condutor

perfeito no espaço livre. Duas linhas de cargas uniformes infinitas de 30 nC/m cada estão localizadas em .x = 0, y = 1 e x = 0 e y = 2.

(a) Seja V = 0 no plano y = 0 e determine V em P( l, 2, 0).

(b) Determine E em P.


47

ESolução:

(a,b) V = 0 em y = 0 e V e E em P( l, 2, 0). Método das imagens: (imagens dos fios (1) e (2)) Fios (3) (4) (1) (2) rs=-30nC/m rs=+30nC/m z (0,-2,0) (0, -1, 0) (0, 1, 0) (0, 2, 0) -2 -1 0 1 2 y V=0V P(x, y,0) P(1,2,0) y=0 x

Cálculo do Campo elétrico de um fio:

ρπερ ρa

E Lˆ

2 0

=

• Fio (1):

yx ayaxa ˆ)1(ˆˆ −+=ρ

22 )1( −+= yxρ

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

−+

−+= yx

L ayx

yayxxE ˆ

11ˆ

12 22220

1 περ

• Fio (2):

yx ayaxa ˆ)2(ˆˆ −+=ρ

22 )2( −+= yxρ

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

−+

−+= yx

L ayx

yayxxE ˆ

22ˆ

22 22220

2 περ

• Fio (3): (imagem do fio (2))

yx ayaxa ˆ)2(ˆˆ ++=ρ

22 )2( ++= yxρ

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

++

++−

= yxL a

yxya

yxxE ˆ

22ˆ

22 22220

3 περ

• Fio (4): (imagem do fio (1))

yx ayaxa ˆ)1(ˆˆ ++=ρ

22 )1( ++= yxρ

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

++

++−

= yxL a

yxya

yxx ˆ

11ˆ

12 22220

4 περ

Calculando no ponto P(1, 2, 0) os campos, teremos:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += yx

L aa ˆ21ˆ

21

2 01 πε

ρE

( )yxL aa ˆ0ˆ1

2 02 +=

πεE ρ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−= yx

L aa ˆ174ˆ

171

2 03 πε

ρE

E ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−= yx

L aa ˆ103ˆ

101

2 04 πε

ρ

4321 EEEEPRE +++=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+= yx

LR aaE

Pˆ

103

1740

21ˆ

101

1711

21

2 0περ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+

= yxL

R aaEP

ˆ340

10280170ˆ340

34203401702 0περ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= yx

LR aaE

Pˆ

34012ˆ

340456

2 0περ

E ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅⋅= yxR aan

Pˆ

34012ˆ

340456109302 9

E ( )mV

yxR aaP

ˆ05.19ˆ23.724 −= Potencial:

∫′ ′−

′′=

L

L

rrLdrr

04)()(

πεV ρ

Ou

∫ ⋅−=−f

i

P

Pif ldEVV

Fio (1):

∫ ⋅−=−f

i

P

Pif ldEVV 111


48

( )( )

( ) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−+−

+−+

−=− ∫ ∫f

i

f

i

P

P

P

P

Lif yx

dyyyx

xdxVV 22220 1

11211 πε

ρ

( ) ( )( ) f

i

P

P

Lif yxyxVV 22

2122

21

0

1ln1ln211

−++−+−=−περ

( )( ) f

i

P

P

Lif yxVV 22

0

1ln211

−+−=−περ

Fazendo o mesmo tipo de cálculo para os fios (2), (3) e (4) teremos:

Fio (2):

∫ ⋅−=−f

i

P

Pif ldEVV 222

( )( ) f

i

P

P

Lif yxVV 22

0

2ln222

−+−=−περ

Fio (3):

∫ ⋅−=−f

i

P

Pif ldEVV 333

( )( ) f

i

P

P

Lif yxVV 22

0

2ln233

++=−περ

Fio (4):

∫ ⋅−=−f

i

P

Pif ldEVV 444

( )( ) f

i

P

P

Lif yxVV 22

0

1ln244

++=−περ

( )( ) f

i

P

P

Lf yxV 22

0

1ln2

0 −+−=−περ

( )( ) f

i

P

P

L yx 22

0

2ln2

−+−περ

( )( ) f

i

P

P

L yx 22

0

2ln2

+++περ

( )( ) f

i

P

P

L yx 22

0

1ln2

+++περ

Como Pf(1, 2, 0) e Pi(x, 0, 0):

( 10ln17ln1ln2ln2

00

−−+−=−πε

)ρLfV

( )1ln4ln4ln1ln2

2222

0

+−+−+++−− xxxxL

περ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=170

2ln2 0περL

fV

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅⋅−=170

2ln109302 9nVf

kVVf 399,2= 22. Considere o plano x = 0 um condutor

perfeito no espaço livre. Situe uma carga pontual de 4 nC em P1(7, l, 2) e uma carga pontual de -3nC em P2(4, 2, l).

(a) Determine E em P(5, 0, 0). (b) Determinei |rS| em B(0, 0, 0). 23. Um dipolo com p = 0.1 az µCm está

localizado em A(l, 0, 0) no espaço livre e o plano.x = 0 é um condutor perfeito.

(a) Determine V em P(2, 0, l). (b) Determine a equação da superfície

equipotencial de 200 V em coordenadas cartesianas. Solução: z imagem A´(-1, 0, 0) y 2 A(1,0,0) x = 0 x Potencial de um dipolo:

rrrrp

rrVd ′−

′−⋅

′−= 2

041

πε

(a) Potencial em P(2,0,1)

xar ˆ=′

zx aar ˆˆ2 +=

zx aarr ˆˆ +=′−

2=′− rr

( )2

ˆˆˆ1.024

1

0

zxzd

aaaV +⋅= µ

πε

µπε

1.0224

1

0

=dV

Potencial da imagem do dipolo:

zap ˆ1.0 µ−=

rrrrp

rrVi ′−

′−⋅

′−= 2

041

πε

xar ˆ−=′


49

zx aar ˆˆ2 +=

zx aarr ˆˆ3 +=′−

10=′− rr

( ) ( )10

ˆˆ3ˆ1.0104

1

0

zxzi

aaaV +⋅−= µ

πε

101.0

10410

µπε−

=iV

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=+=

10101

221

41.0

0πεµ

id VVV =

VV 73.289= (b) Equipotenciais:

zyx azayaxr ˆˆˆ ++=

• Para o dipolo: xar ˆ=′

zyx azayaxrr ˆˆˆ)1( ++−=′−

222)1( zyxrr ++−=′−

rrrrp

rrVd ′−

′−⋅

′−= 2

041

πε

zap ˆ1.0 µ=

( ) 232220 )1(4

1.0zyx

zVd++−

=πεµ

• Para a imagem do dipolo: xar ˆ−=′

zyx azayaxrr ˆˆˆ)1( +++=′−

222)1( zyxrr +++=′−

rrrrp

rrVi ′−

′−⋅

′−= 2

041

πε

zap ˆ1.0 µ−=

( ) 232220 )1(4

1.0zyx

zVd+++

−=

πεµ

200=+ id VV

( ) ( ) 200)1(

1)1(

14

1.02322223222

0

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+++−

++− zyxzyxz

πεµ

( ) ( ) 222.0)1()1( 2322223222

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+++−

++− zyxz

zyxz

24.• As mobilidades para o silício puro em uma certa temperatura são µe = 0,14 m2Vs e ml =0,035 m2Vs. A concentração de elétrons e lacunas é 2,2.1016m-3. Determine a condutividade e a resistividade para esta amostra de silício.

25. As concentrações de elétrons e lacunas

aumentam com .a temperatura. Para o silício puro. expressões adequadas são

C/mTeh eT /70005.16200 −=−= ρρ 3. A

dependência funcional das mobilidades com a temperatura é dada por VsmTh

27,25103,2 −⋅=µ

e VsmTe25,25101,2 −⋅=µ Determine s em:

(a) 0°C. (b) 40°C. (c) 80°C. Solução:

eehh ρµρµσ −= TT eTTeTT /70005.15,25/70005.17,25 6200101,26200103,2 −−−− ⋅+⋅=σ

( )12,1/70005 1,23,2106200 −−− +⋅= TTe Tσ (a) 0°C. KTT 273273 =⇒+= θ

( )12,1273/70005 2731,22733,2106200 −−− ⋅+⋅⋅= eσ

mS51073,4 −⋅=σ

(b) 40°C. KTT 31340273 =⇒+= ( )12,1313/70005 3131,23133,2106200 −−− ⋅+⋅⋅= eσ

mS3100859,1 −⋅=σ

(c) 80°C. KTT 35380273 =⇒+=

( )12,1353/70005 3531,23533,2106200 −−− ⋅+⋅⋅= eσ

mS2102,1 −⋅=σ

26. Uma pequena impureza doadora, como o

arsênio.é adicionada ao silício puro de forma que a concentração dos elétrons é 2.1017 elétrons condutores por metro cúbico, enquanto o número de lacunas por metro cúbico é somente 1,1.1015. Se me =0,15 m2/Vs para esta amostra e ml = 0.045 m2/Vs. determine a condutividade e a resistividade.

27. O hidrogênio contém 5,5.1025 átomos/m3 numa certa temperatura e pressão. Quando um campo elétrico de 4 kV/m e aplicado, cada dipolo formado pelos elétrons e pelo núcleo positivo possui um comprimento efetivo de 7,1 10-19 m. Determine:

(a) P. (b) eR.


50

Solução: (a) P.

pv

nPpv

Pvn

iiv ∆

=⇔∆

= ∑∆

=→∆ 10

1lim

191925 101,7106,1105,5 −− ⋅⋅⋅⋅=⇔∆

= Pedv

nP2212 248,610248,6 mpCPmCP =⇔⋅= −

(b) eR. EP e 0εχ= 11 −=⇔+= ReeR εχχε

( )E

PEP RR0

0 11ε

εεε +=⇔−=

00076,11041085,8

1025,61 312

12

=⇔⋅⋅

⋅+= −

−

RR εε

28. Em certa região onde a permissividade relativa é

2,4, ( )2ˆ5ˆ4ˆ2 mnCaaaD zyx +−= Determine: (a) E. (b) P. (c) |“V|. 29. Um condutor coaxial tem raios a = 0,8mm e b = 3

mm e um dielétrico de poliestireno para o qual eR = 2,56.

Se 2ˆ2 mnCaP ρρ= no dielétrico determine:

(a) D e E como funções de r. (b) Vab e ce. (c) Se há 4.1019 moléculas por metro cúbico no

dielétrico, determine p(r).

Solução: (a) D e E como funções de r.

( ) PER 01

1εε −

=

( ) ρρaE ˆ2

1085,8156,21

12−⋅−=

( )2ˆ86,144mCaE ρρ

=

ED ε=

ED Rεε0=

( )2ˆ28,3mnCaD ρρ

=

(b) Vab e ce.

∫ ⋅−=−=a

bbaab ldEVVV

ρρ

dVa

bab ∫−=

86,144

ab

baa

babV ln86,144ln86,144ln86,144 =−=−= =

=

ρ

ρρ

VVab 46,191ln86,144 8,0

3 == (c) Se há 4.1019 moléculas por metro cúbico no

dielétrico, determine p(r).

Pvn

Pnvpp

vnP

∆=

∆=⇔

∆=

1

ρρapP

vnp ˆ102

10411 9

19

−⋅⋅

=⇒∆

=

( )Cmap ρρˆ105 29−⋅

=

30. Dado o campo potencial V = 200 – 50x +20y V em um material dielétrico para o qual eR = 2,1, determine:

(a) E. (b) D. (c) P. (d) rv. (e) rb. (f) rT. 31. A superfície x= 0 separa dois dielétricos

perfeitos. Para x > 0 seja eR = eR1 = 3 enquanto eR2 = 5, onde x < 0. Se ( )mVaaa zyx ˆ30ˆ60ˆ80 −−E = , determine:

(a) EN1. (b) Et1. (c) E1. (d) E1. (e) o ângulo q1 entre E e a normal a superfície. (f) DN2. (g) Dt2. (h) D2. (i) P2. (j) o ângulo q2 entre E2 e a normal à superfície. Solução: (a) E 1N .

( )mVaE xN ˆ801=


51

( )mVaE xN ˆ801=

(b) Et1. ( )mVaaE zyt ˆ30ˆ60

1−−=

(c) Et1.

( ) ( ) ( )mVEt 08,673060 221

=−+−=

(d) E1.

( ) ( ) ( )mVE 4,104306080 2221 =−+−+=

(e) o ângulo q1 entre E e a normal a superfície.

11

1arccosE

EN=θ

01 40

4,10480arccos ==θ

(f) DN2.

11112 01 NRNNN EEDD εεε ===

801085,83 1201 1112

−⋅⋅=== NRNN EED εεε( )22

12,2mnC

ND =

(g) Dt2.

2

1

2

1

2

1

R

R

t

t

DD

εε

εε

==

1

1

2

2 tR

Rt DD

εε

=

11111 01 tRttt EDED εεε =⇔=

12211

1

2

2 00 tRttRR

Rt EDED εεεε

εε

=⇒=

08,671085,85 120 122

⋅⋅⋅== −tRt ED εε

( )2297,2

mnC

tD =

(h) D2.

222 Nt DDD +=

11111 01 tRttt EDED εεε =⇒=

11

1

2

21

1

2

2 0 tRR

Rtt

R

Rt EDDD εε

εε

εε

=⇔=

122 0 tRt ED εε=

( )zyt aaD ˆ30ˆ601085,85 122

−−⋅⋅= −

( )22ˆ3275,1ˆ655,2

mnC

zyt aaD −−=

( )212ˆ12,2

mnC

xNN aDD ==

222 Nt DDD +=

( )2ˆ3275,1ˆ655,2ˆ12,22 mnC

zyx aaaD −−=

(i P) 2. ( ) 202 1

2EP R εε −=

( )2

202 1

2 εεε DP R −=

( )0

202

2

21

εεεε

RR

DP −=

( )22

2

21

DPR

R

εε −

=

( ) )ˆ33,1ˆ66,2ˆ12,2(5

152 zyx aaaP −−

−=

( )2ˆ06,1ˆ13,2ˆ69,12 mnC

zyx aaaP −−=

(j) o ângulo q2 entre E2 e a normal à superfície.

22

2arccosEEN=θ

22

2arccosDDN=θ

( )265,3)3275,1()655,2(12,2 2222 m

nCD =−+−+=

0

2 6,5465,312,2arccos ==θ

32. Na Figura 5.18 seja

( )21 ˆ5ˆ4ˆ3 mnCaaaD zyx +−= e determine:

(a) D2; (b) DN2. (c) D . t2(d) A densidade de energia em cada região. (e) o ângulo que D2 faz com az. (f) D2/D1. (g) P2/P1.


52

33. Dois dielétricos perfeitos têm permissividades relativas eR1 = 2 e eR2 = 8. A interface planar entre eles e a superfície x – y+ 2z = 5. A origem esta situada na região l. Se ( )mVaaaE zyx ˆ50ˆ200ˆ1001 −+= determine 2E . Solução: Vetor normal ao plano: 52 =+− zyx

zyx aaan ˆ6

2ˆ6

1ˆ6

1ˆ +−=

n q E Ângulo entre o vetor n e E1:

nEnEˆˆ

cos1

1

⋅⋅

=θ

6

2006

25061200

61100ˆ1 −=−

−+=⋅ nE

mVE 128,229)50(200100 222

1 =−++=

3563,0128,2296

200

cos −=−

=θ087,110)3563,0arccos( =−=θ

• Cálculo do vetor Campo elétrico normal no meio 1:

nEEn ˆcos11θ=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−= zyxn aaaE ˆ

62ˆ

61ˆ

6187,110cos128,229 0

1

zyxn aaaE ˆ648,66ˆ324,33ˆ324.331

−+−=

• Cálculo do vetor Campo elétrico tangencial no meio 1:

111 tn EEE +=

11 1 nt EEE −=

( )zyxzyxt aaaaaa ˆ648,66ˆ324,33ˆ324.33ˆ50ˆ200ˆ1001

−+−−−+=E

zyxt aaa ˆ648,16ˆ676,166ˆ324,1331

++=E

• Campo En2:

12212

121 nnnn EEEE

εεε =⇔=ε

1

2

1

2 nR

Rn EE

εε

=

( )zyxn aaaE ˆ648,66ˆ324,33ˆ324.3382

2−+−=

E ( )mV

zyxn aaa ˆ662,16ˆ331,8ˆ331,82

−+−=

• Campo Et2: Da condição de contorno:

21 tt EE = ( )m

Vzyxt aaa ˆ648,16ˆ676,166ˆ324,133

2++=E

• Campo E2:

222 tn EEE +=

E +−+−= zyx aaa ˆ662,16ˆ331,8ˆ331,82

zyx aaa ˆ648,16ˆ676,166ˆ324,133 ++

E ( )mV

yx aa ˆ175ˆ99,1242 +=

34. Considere as superfícies esféricas; r = 4 cm e r = 9 cm separadas por duas cascas dielétricas. eR1 = 2 para 4 ¸r < 6 cm e eR2 = 5. 2 para 6 < r < 9 cm. Se ( mVa

r)rˆ21 =E 2000 determine:

(a) E2. (b) A energia eletrostática total armazenada em cada região. 35. Considere as duas superfícies cilíndricas r =

4 cm e r = 9 envolvendo duas cunhas de dielétricos perfeitos eR1 = 2 para 0 < f < π/2 e eR2 = 5 para π/2 < f < 2π. Se ( mVaE ρρ

ˆ )1 =2000

, determine:

(a) E2; (b) a energia eletrostática total armazenada em l

m de comprimento cm cada região.


53

Solução: (a) E2; Superfícies cilíndricas: r = 4 cm e r = 9 Cunhas de dielétricos: eR1 = 2 para 0 < f < π/2 e eR2 = 5 para π/2 < f < 2π.

( )mVaE ρρˆ2000

1 =

• Campo Et2:

21 tt EE =

ρρaE ˆ2000

2=

(b) 1121

1VQWE =

SdEQs

⋅= ∫∫ 111 ε

ρρ φρρ

εεπ

adzdaQ R ˆˆ20001

0 001

2

1⋅= ∫ ∫

∫∫=2

1

0

1

001 2000

π

φεε ddzQ R

πεε101 1000 RQ =

49ln200020009

4

4

911 ==⋅−= ∫∫ ρ

ρdldEV

49ln20001000

11 021

1121 πεε RE VQW ==

49ln106

0 11πεε REW =

49ln2101085,8 612

1π−⋅=EW

JWE510509,4

1

−⋅=

JEW µ09,451=

2221

2VQWE =

SdEQs

⋅= ∫∫ 222 ε

ρρ

π

φρρ

εεπ

adzdaQ R ˆˆ20001

0

2

02

2

2⋅= ∫ ∫

∫∫=π

π

φεε21

002

2

22000 ddzQ R

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

222000

202ππεε RQ

232000

202πεε RQ =

49ln200020009

4

4

922 ==⋅−= ∫∫ ρ

ρdldEV

49ln2000

232000

22 021

2221 πεε RE VQW ==

49ln3106

0 22πεε REW =

49ln35101085,8 612

2π−⋅=EW

JWE410381955,3

2

−⋅=

JEW µ1955,3382=

36. Considere .S = 120 cm2, d= 4 mm e eR = 12

para um capacitor de placas paralelas. (a) Calcule a capacitância. (b) Após ter-se conectado uma bateria de 40 V

ao capacitor, determine E. R. Q e a energia eletrostática total armazenada.


54

(c) A fonte é agora retirada e o dielétrico cuidadosamente removido de entre as placas. Calcule novamente E. D. Q e a energia.

(d) Qual é a tensão entre as placas? 37. Capacitores tendem a ser mais caros à medida que

sua capacitância e tensão máxima Vmax aumentam. A tensão Vmax é limitada pela intensidade do campo no qual o dielétrico se rompe, EBD* Qual destes dielétricos irá possuir o maior produto CVmax para áreas de placas iguais:

(a) ar: eR = 1, EBD= 3 MV/m; (b) titanato de bário: eR = 1200, EBD= 3 MV/m; (c) dióxido de silício: eR = 3.78, EBD= 16 MV/m; (d) polietileno: eR = 2,26, EBD= 4.7 MV/m. Solução:

∫∫ ⋅=s

SdEQ ε

(a) ar: eR = 1, EBD= 3 MV/m; SESQ R

6120 1031085,81 ⋅⋅⋅== −εε

SQ 510655,2 −⋅= ;dS

dSC R 0εεε =⋅=

ESVdSCV RR 00 εεεε ==

SCV 612 1031085,81 ⋅⋅⋅= −

SCV 510655,2 −⋅= (b) titanato de bário: eR = 1200, EBD= 3 MV/m;

ESCV R 0εε=

SCV 612 1031085,81200 ⋅⋅⋅= − SCV 03186,0=

(c) dióxido de silício: eR = 3.78, EBD= 16 MV/m; ESCV R 0εε=

SCV 612 10161085,878,3 ⋅⋅⋅= −

SCV 410352,5 −⋅= (d) polietileno: eR = 2,26, EBD= 4.7 MV/m.

ESCV R 0εε=

SCV 612 107,41085,826,2 ⋅⋅⋅= −

SCV 5104,9 −⋅= Logo, o maior CV é do titanato de bário. 38. Um cilindro circular dielétrico usado entre as

placas de um capacitor tem espessura de 0,2 mm e raio de l,4 cm. As propriedades são eR == 400 e s = 10-5 S/m.

(a) Calcule C. (b) Determine o fator de qualidade Q(Q =ωRC) do

capacitor em 10 kHz.

(c) Se a máxima intensidade de campo permitida no dielétrico é 2 MV/m, qual ó a máxima tensão permissível sobre o capacitor?

(d) Que energia é armazenada quando esta tensão é aplicada?

39. Um capacitor de placas paralelas é

preenchido com um dielétrico não-uniforme caracterizado por eR = 2 + 2.106x2, onde x é a distancia a uma das placas. Se .S = 0,02 m2 e d = l mm. determine C.

Solução:

0VQC = ñ

∫

∫∫+

−

⋅−

⋅=

ldE

SdEC s

ε

zS aE ˆερ

= ñ zadxdySd ˆ=

mmmdm 32 10102,0 −==⇔=S

∫

∫ ∫

−= 0

1 0

1

0

02,0

0 00

dx

dydzC

R

s

R

sR

εερεερεε

∫−

⋅+−

= 310

026

0 )1022(dx

x

SCs

s

ερ

ρ

∫−

+

= 310

026

0

)101(1

2

dxx

SC εï

4000

02.01085,82 12

π⋅⋅⋅

=−

C

pC726,450=C Observação:

( )21

2 2 , se 0

1 , se 0

2 2 , se 0

ax barctg C

dx Cax bx c a x x

ax barctgh C

⎧ +⎡ ⎤ + ∆ <⎪ ⎢ ⎥−∆ −∆⎣ ⎦⎪⎪⎪= − + ∆ =⎨+ + −⎪⎪ − +⎡ ⎤⎪ + ∆ >⎢ ⎥∆ ∆⎪ ⎣ ⎦⎩

∫

Onde:


55

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−+

=

∆±−=

−=∆

zzarctghz

abx

acb

11ln

212

4

0

2

Fig. 5.19 Problema 40.

40. (a) A largura de região que contem eR1 na Fig. 5.19 é 1,2. Determine eR1 se eR2 = 2.5 e a capacitância total é 60 nF.

(b) Determine a largura de cada região (contendo eR1 e eR2) se Ctotal = 80 nF. E eR2= 3eR1 e C1 = 2C2.

41. Seja eR1 = 2.5 para 0 < y < l mm e eR2 = 4 para l < y < 3 mm e eR3 para 3 < y < 5 mm. Superfícies condutoras estão presentes em y = 0 e y = 5 mm. Calcule a capacitância por metro quadrado da área superficial se:

(a) eR3 é ar; (b) eR3 = eR1; (c) eR3 = eR2; (d) eR3 é prata. Solução:

dAC

dAC Rεεε 0=⇒=

Para a associação em série, teremos:

321

1111CCCC

++=

Ad

Ad

Ad

C RRR 321 0

3

0

2

0

11εεεεεε

++=

321

3210

RRR

dddC

Aεεε

ε++=

321

213132 3210

RRR

RRRRRR dddC

Aεεε

εεεεεεε ++=

213132

321

321

0

RRRRRR

RRR

dddA

Cεεεεεε

εεεε++

=

213132

321

321

0

RRRRRR

RRR

dddAC

εεεεεεεεεε++

=

(a) eR3 é ar;

45,210215,21021410145,21085,8

333

12

⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅⋅

= −−−

−

AC

( )205,3mnF=

AC

(b) eR3 = eR1;

213132

321

321

0

RRRRRR

RRR

dddAC


=

( )221,5mnF=

AC

(c) eR3 = eR2;

213132

321

321

0

RRRRRR

RRR

dddAC


=

( )232,6mnF=

AC

(d) eR3 é prata.

213132

321

321

0

RRRRRR

RRR

dddAC


=

( )283,9mnF=

AC

42. Duas superfícies condutoras cilíndricas estão

localizadas em r = 0.8 cm e 3.6 em. A região 0.8 < r < a contém um dielétrico para o qual eR = 4, enquanto que eR = 2 para a < r < 3.6 cm.

(a) Determine a de forma que a tensão sobre cada camada dielétrica seja a mesma.

(b) Determine a capacitância total por metro.

43. Dois cilindros condutores coaxiais de raios 2 cm e 4 cm têm l m de comprimento. A região entre os cilindros contém uma camada dielétrica de r = c até r = d com eR = 4. Determine a capacitância se:

(a) c = 2 cm, d= 3 cm; (b) d = 4cm e o volume do dielétrico é o mesmo

que o do item (a).


56

Solução:

Capacitor cilíndrico.

Preenchido com dielétrico de permissividade e: :

)ln(1 2crdr

LC πε=

)ln(02 2drbr

LC πε=

Teremos em (a) dois cilindros concêntricos em série:

21

21

CCCCC+

=

)ln(01 2crdr

LRC επε=

)ln(112

1231085,842 −⋅⋅= πC

( )pFC 56,5481 =

)ln(02 2drbr

LC πε=

)ln(112

2341085,82 −⋅⋅= πC

( )pFC 29,1932 =

21

21

CCCCC+

=

( )pFC29,19356,54829,19356,548

+⋅

=

( )pFC 93,142= (b) d = 4cm e o volume do dielétrico é o mesmo que o

do item (a). Volume do dielétrico em (a): ( )LrrV cd

22 −= π

( )123 22 −= πV π5=V Novo volume: ( )LrrV cd

22′′ −=′ π

( )14 22crV ′−=′ π

( ) ππ 516 2 =−=′ ′crV

516516 22 −=⇒=− ′′ cc rr

cmrc 11=′

)ln(1 2crdr

LC′

= πε

)ln(112

11141085,842 −⋅⋅= πC

( )pFC 2,11871 =

)ln(02 2arcr

LC ′= πε

)ln(112

22111085,82 −⋅⋅= πC

( )pFC 94,1092 =

21

21

CCCCC+

=

( )pFC94,1092,118794,1092,1187

+⋅

=

( )pF62,100=C

44. Dois condutores cilíndricos estão situados em r = 3 e 12 mm: ambos se estendem de z =0 até z = l m. Dielétricos perfeitos ocupam a região interna:

eR =1 para 3 < r < 6 mm e eR =4 para 6 < r < 9 mm e eR =8 para 9 < r < 12 mm. (a) Calcule C. (b) Se a tensão entre os cilindros é 100 V. esboce

|Er| versus r.

45. Duas conchas esféricas condutoras têm raios a = 3 cm e b = 6 cm. O interior é um dielétrico perfeito para o qual eR = 8.

(a) Determine C, (b) Uma porção do dielétrico é agora removida

de forma que eR = l para 0 < f<π/2 e eR = 8 para π/2 < f<2π. Novamente determine C.

Solução: (a) Cálculo de C: a = 3 cm e b = 6 cm

Capacitor esférico

20

2

rraS

ερ

=E


57

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

ab

abasab rr

rrrV0

2

ερ

ab

barr

rrC −= 04πε

Com dielétrico de permissividade e:

ab

barr

rrC −= πε4

ab

barr

rrRC −= 04 επε

22

22

103106106103121085,884 −−

−−

⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅= πC

pFC 38,53= (b) Uma porção do dielétrico em: eR = l para 0 < f<π/2 eR = 8 para π/2 < f<2π. C:

∫

∫∫+

−

⋅−

⋅=

ldE

SdEC s

1

11

1

ε

rrA

s

addsenrar

QSdE ˆˆ14

2

0 02

1111

2

θφθπε

εεπ

π

⋅=⋅ ∫ ∫∫∫

θθφπεεε

ππ

dsendQSdE A

s∫ ∫∫∫ =⋅0 01

111

2

4

∫∫∫∫ =⋅2

0011 4

π

φθθπ

επ

ddsenQSdE A

s

2

2411

ππ

ε A

s

QSdE =⋅∫∫

411A

s

QSdE =⋅∫∫ε

drrQldE A

r

r

b

a

21

1 41

∫∫ −=⋅−+

− πε

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⋅− ∫

+

− ba

baA

rrrrQldE

11 4πε

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

ba

abA

A

rrrrQ

Q

C

1

1

4

4

πε

π

ab

ba

rrrrC−

= 11 πε

ab

baR rr

rr−

= 01 1επεC

22

2212

1 1031061061031085,81 −−

−−−

⋅−⋅⋅⋅

⋅⋅⋅= πC

C

pF668,11 =

∫

∫∫+

−

⋅−

⋅=

ldE

SdEs

2

22

2

εC

rrA

s

addsenrar

QSdE ˆˆ14

2

0

2

2

22

222 θφθπε

εεπ π

π

⋅=⋅ ∫ ∫∫∫

θθφπεε π π

π

dsendQSdE A

s∫ ∫∫∫ =⋅0

2

2

222

24

ε

∫∫∫∫ =⋅ππ

π

φθθπ

2

022

24

ddsenQSdE A

s

ε

2

32422

ππ

ε A

s

QSdE =⋅∫∫

43

22A

s

QSdE =⋅∫∫ε

drrQldE A

r

r

b

a

22

2 41

∫∫ −=⋅−+

− πε

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⋅∫

+

− ba

baA

rrrrQldE

22 4πε

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

ba

abA

A

rrrrQ

Q

C

2

2

4

43

πε

π

ab

ba

rrrr−

= 22 3πεC

ab

baR rr

rr−

= 02 23 επεC

22

2212

2 1031061061031085,883 −−

−−−

⋅−⋅⋅⋅

⋅⋅⋅= πC

C

pF036,402 =


58

Como as regiões (1) e (2) estão no mesmo potencial, ocorre associação em paralelo dos capacitores. Logo, a capacitância equivalente será:

pFpFCCCeq 036,40668,121 +=+=

pFCeq 7,41=

46. Tendo a Fig. 5.17 como referência, seja b = 6 m, h = 15 m e o potencial do condutor 250 V. Considere e = e0 Determine valores para K1, rl, a e C.

Solução:

mbha 75,13615 2222 =−=−=

237,13157,1315

11

11

1 =−+

=−+

=⇔−+

=ahahK

KKah

nCKV

L 86,823ln

2501085,84ln4 12

1

0 =⋅⋅

==−ππερ

pFV

LC L 350

==ρ

47. Uma função potencial no espaço livre é dada por:

( )( ) 22

22

55ln1020

xyxyV

+−++

+−= V. Descreva:

(a) a superfície equipotencial de 0 V. (b) a superfície equipotencial de 10 V.

Solução:

(a) a superfície equipotencial de 0 V.

( )( )

055ln1020 22

22

=+−++

+−=xyxyV

( )( )

2055ln10 22

22

=+−++

xyxy

( )( )

255ln 22

22

=+−++

xyxy

( )( )

222

22

55 e

xyxy

=+−++

( ) ( )[ ]22222 55 xyexy +−=++

( ) ( ) 222222 55 xeyexy +−=++

( ) ( ) ( 22222 551 yyeex +−−=− )

(b) a superfície equipotencial de 10 V.

( )( )

1055ln1020 22

22

=+−++

+−=xyxyV

( )( )

3055ln10 22

22

=+−++

xyxy

( )( )

355ln 22

22

=+−++

xyxy

( )( )

322

22

55 e

xyxy

=+−++

48. Um condutor de 2 cm de diâmetro está suspenso no ar com seu eixo a 5 cm de um plano condutor. Considere o potencial do cilindro como sendo 100 V e que o do plano é 0 V. Determine a densidade superficial de carga:

(a) no cilindro no ponto mais próximo do plano; (b) no plano no ponto mais próximo do cilindro.

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ELETROMAGNETISMO I CAPÍTULOV Prof. Dr. Cláudio S. Sartori · dos elétrons e a velocidade a qual muda a configuração do campo elétrico no fio. Esta velocidade é próxima a da