Ensino de matemática com materiais didáticos alternativos

PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DA MATEMÁTICA

ENSINO DE MATEMÁTICA COM MATERIAIS DIDÁTICOS ALTERNATIVOS

DOCENTE:

JOSÉ HELDER DE MESQUITA FILHO

FFoorrttaalleezzaa--CCeeaarráá 22000088

ACCESSU EDUCAÇÃO SUPERIOR FACULDADE ATENEU

COORDENADOR GERAL: PROF. JOSÉ WILLIAM FORTE

COORDENADORAS PEDAGÓGICAS: PROF.ª LUCIDALVA BACELAR/PROF.ª SOLANGE MESQUITA

CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO

DISCIPLINA:

ENSINO DE MATEMÁTICA COM MATERIAIS DIDÁTICOS ALTERNATIVOS

DOCENTE:

JOSÉ HELDER DE MESQUITA FILHO

FFoorrttaalleezzaa--CCeeaarráá 22000088

Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - [email protected]

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Sumário

A. Objetivo do módulo ........................................................................................... 7

B. Ementa do módulo ............................................................................................. 7

C. Carga horária ...................................................................................................... 7

1. LABORATÓRIO DE ENSINO DE MATEMÁTICA E MATERIAIS DIDÁTICOS MANIPULÁVEIS ................................................................................... 8

1.1. Introdução .......................................................................................................... 8

1.2. O Laboratório de Ensino de Matemática (LEM) ............................................... 9

1.2.1. Algumas concepções de LEM ........................................................................ 9

1.2.2. A construção do LEM .................................................................................. 10

1.2.3. Objeções ao uso do LEM ............................................................................. 12

1.3. Material didático (MD) .................................................................................... 16

1.3.1. MD manipulável ........................................................................................... 16

1.3.2. MD e o processo de ensino-aprendizagem ................................................... 18

1.3.3. O professor e o uso do MD .......................................................................... 19

1.3.4. Potencialidades do MD ................................................................................ 21

1.3.5. Obstáculos ao uso do MD ............................................................................ 25

1.4. Para auxiliar a reflexão sobre MD e LEM ....................................................... 25

1.5. Referências bibliográficas do texto .................................................................. 26

2. DESENVOLVIMENTO E USO DE MATERIAIS DIDÁTICOS NO ENSINO DE MATEMÁTICA ..................................................................................... 27

Referências bibliográficas do texto ............................................................................ 36

3. OFICINA DE GEOMETRIA COM CANUDOS ........................................... 37

3.1. Construindo um Dodecaedro com Canudos .................................................... 38

3.2. Lista de materiais ............................................................................................. 39

3.3. Atividade 1: Construção de um tetraedro regular ............................................ 40

3.4. Atividade 2: Construção de um octaedro regular ............................................ 41

3.5. Atividade 3: Construção de um icosaedro regular ........................................... 42

3.6. Atividade 4: Construção de um cubo e de suas diagonais ............................... 42

4. APROXIMAÇÃO TEÓRICA À REALIDADE DO JOGO .......................... 44

4.1. Introdução ........................................................................................................ 44

4.2. Sobre a etimologia do termo jogo .................................................................... 45

4.3. Sobre o conceito de jogo .................................................................................. 49


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4.4. Sobre a definição do jogo ................................................................................ 51

4.5. Origem do jogo ................................................................................................ 55

4.6. Características do jogo ..................................................................................... 57

4.7. Conclusões ....................................................................................................... 58

5. JOGOS DIDÁTICOS: SEU USO E IMPORTÂNCIA NA APRENDIZAGEM ....................................................................................................... 60

5.1. Introdução ........................................................................................................ 60

5.2. Motivação ........................................................................................................ 60

5.3. O Jogo Didático ............................................................................................... 61

6. COMO MINISTRAR CONTEÚDOS COM UM JOGO DE PALAVRAS . 64

6.1. Introdução ........................................................................................................ 64

6.2. Como ministrar conteúdos com o autódromo? ................................................ 65

6.3. Como ministrar conteúdos com o jogo do telefone? ....................................... 67

6.4. Como ministrar conteúdos com o cochicho? ................................................... 68

6.5. Como ministrar conteúdos com o arquipélago? .............................................. 69

6.6. Como ministrar conteúdos com o hiper-arquipélago? ..................................... 70

6.7. Como ministrar conteúdos com o torneio? ...................................................... 71

6.8. Como transformar pontos ganhos pelas equipes em notas? ............................ 72


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A. Objetivo do módulo

O módulo se insere em uma perspectiva teórica que propõe discutir a metodologia do ensino da matemática, diante das novas necessidades de mudanças no paradigma de ensinar e aprender, no contexto social e tecnológico. Também, como forma de incitar questionamentos e ampliar as possibilidades de refle-xão e ação dos professores sobre as próprias vivências de sala de aula.

B. Ementa do módulo

1. O papel do professor de Matemática na formação do pensamento científico. 2. A influência da concepção desse papel na prática pedagógica. 3. Análise de temas do ensino da matemática, como: dificuldades básicas, materiais

didáticos convencionais, materiais didáticos alternativos, etc. 4. Aplicar materiais didáticos manipuláveis e alternativos através da utilização de

experimentos em aulas teóricas e práticas. 5. Despertar o interesse pela matemática experimental como método de ensino. 6. Possibilitar aos alunos docentes contato com novas abordagens do conteúdo ma-

temático e ampliar o repertório de estratégias do professor.

C. Carga horária

12 horas-aula


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1. LABORATÓRIO DE ENSINO DE MATEMÁTICA E MATERIAIS DIDÁTICOS MANIPULÁVEIS1

Sérgio Lorenzato2

1.1. Introdução Muitos foram os educadores famosos que, nos últimos séculos, ressaltaram a

importância do apoio visual ou do visual-tátil como facilitador para a aprendizagem. Assim, por exemplo, por volta de 1650, Comenius escreveu que o ensino deveria dar-se do concreto ao abstrato, justificando que o conhecimento começa pelos sentidos e que só se aprende fazendo. Locke, em 1680, dizia da necessidade da experiência sensível para alcançar o conhecimento. Cerca de cem anos depois, Rousseau recomendou a experiência direta sobre os objetos, visando à aprendizagem. Pestalozzi e Froebel, por volta de 1800, também reconheceram que o ensino deveria começar pelo concreto; na mesma época, Herbart defendeu que a aprendizagem começa pelo campo sensorial. Pelos idos de 1900, Dewey confirmava o pensamento de Comenius, ressaltando a importância da experiência direta como fator básico para construção do conhecimento, e Poincaré recomendava o uso de imagens vivas para clarear verdades matemáticas. Mais recentemente, Montessori legou-nos inúmeros exemplos de materiais didáticos e atividades de ensino que valorizam a aprendizagem através dos sentidos, especialmente do tátil, enquanto Piaget deixou claro que o conhecimento se dá pela ação refletida sobre o objeto; Vygotsky, na Rússia, e Bruner, nos Estados Unidos, concordaram que as experiências no mundo real constituem o caminho para a criança construir seu raciocínio. Enfim, cada educador, a seu modo, reconheceu que a ação do indivíduo sobre o objeto é básica para a aprendizagem. Em termos de sala de aula, durante a ação pedagógica, esse reconhecimento evidencia o fundamental papel que o material didático pode desempenhar na aprendizagem.

Nessa lista de pensadores e educadores podem constar, por justiça, nomes como o de Claparède (defensor da inclusão de brincadeiras e jogos na escola) e o de Freinet (que recomendava o uso de cantinhos temáticos na sala de aula), que valorizavam a ativida-de como fator básico para a aprendizagem.

Essa lista de nomes de expoentes da educação que reconheceram a eficácia do material didático na aprendizagem poderia ser muito maior, mesmo se restrita ao ensino da matemática, se lembrarmos das contribuições de Willy Servais, Caleb Gattegno, Emma Castelnuovo, Pedro Puig Adam, Tamas Varga, Georges Cuisenaire, Jean-Louis Nicolet, Luigi Campedelli e Zoltan P. Dienes, entre muitos outros. No Brasil, Júlio César de Mello e Souza3 - isto é, Malba Tahan - e Manoel Jairo Bezerra4, entre outros, muito contribuíram para a divulgação do uso de material didático como apoio às aulas

1 In O Laboratório de Ensino de Matemática na Formação de Professores. Sérgio Lorenzato (org.) – Campinas, SP: Autores Associados, 2006. (Coleção Formação de Professores). p. 3. 2 É licenciado em matemática pela UNESP (Rio Claro), mestre em educação pela UnB (Brasília), doutor em educação pela UNICAMP (Campinas) e pós-doutor em educação matemática pela Université Laval (Canadá). Docente da Faculdade de Educação da UNICAMP. 3 J ú l io César de Mello e Souza (1957), Técnicas e procedimentos didáticos no ensino da matemática, Rio de Janeiro, Aurora. 4 Manoel Jairo Bezerra (1962), O material didático no ensino da matemática, Rio de Janeiro, Diretoria do Ensino Secundário/ Campanha de Aperfeiçoamento e Difusão do Ensino Secundário/ MEC.


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de matemática. Seria injusto faltar o registro a um excepcional matemático que percebeu a influência do ver e do fazer na aprendizagem: Arquimedes. Ele evidenciou isso quando escreveu a Eratóstenes, mais ou menos no ano 250 a.C, dizendo: “é meu dever comunicar-te particularidades de certo método que poderás utilizar para descobrir, mediante a mecânica, determinadas verdades matemáticas [...] as quais eu pude demonstrar, depois, pela Geometria” (apud NICOLET, 1967). Desse modo, Arquimedes revelou o modo pelo qual fazia descobertas matemáticas e confirmou a importância das imagens e dos objetos no processo de construção de novos saberes. Nessa mesma linha de pensamento está um antigo provérbio chinês, que diz: “se ouço, esqueço; se vejo, lembro; se faço, compreendo”, o que é confirmado plenamente pela experiência de todos, especialmente daqueles que estão em sala de aula. Enfim, não faltam argumentos favoráveis para que as escolas possuam objetos e imagens a serem utilizados nas aulas, como facilitadores da aprendizagem. Justamente por isso, decorre uma inescapável necessidade de as escolas possuírem laboratórios de ensino dotados de materiais didáticos de diferentes tipos.

1.2. O Laboratório de Ensino de Matemática (LEM) Nossa sociedade pressupõe e, até mesmo, exige que muitos profissionais tenham

seus locais apropriados para desempenharem o trabalho. É assim para o dentista, cozinheiro, médico-cirurgião, veterinário, cabeleireiro, porteiro, ator, entre muitos outros. E por que local apropriado para trabalhar? Porque o bom desempenho de iodo profissional depende também dos ambientes e dos instrumentos disponíveis. Em muitas profissões, a prática difere pouco do planejamento; não é o caso do magistério, devido à criatividade dos alunos, que torna o LEM simplesmente indispensável à escola. Assim como nossas casas se compõem de partes essenciais, cada uma com uma função específica, nossas escolas também devem ter seus componentes, e um deles deve ser o Laboratório de Ensino de Matemática (LEM).

No entanto, alguém poderia lembrar-se de que foi, e ainda é possível, ensinar assuntos abstratos para alunos sentados em carteiras enfileiradas e com o professor dispondo apenas do quadro-negro. Afinal, muitos de nós aprendemos (e ensinamos?) a fazer contas desse modo. Porém, para aqueles que possuem uma visão atualizada de educação matemática, o laboratório de ensino é uma grata alternativa metodológica porque, mais do que nunca, o ensino da matemática se apresenta com necessidades especiais e o LEM pode e deve prover a escola para atender essas necessidades.

1.2.1. Algumas concepções de LEM Mas o que é um LEM? Existem diferentes concepções de LEM. Inicialmente ele

poderia ser um local para guardar materiais essenciais, tornando-os acessíveis para as aulas; neste caso, é um depósito/arquivo de instrumentos, tais como: livros, materiais manipuláveis, transparências, filmes, entre outros, inclusive matérias-primas e instrumentos para confeccionar materiais didáticos. Ampliando essa concepção de LEM, ele é um local da escola reservado preferencialmente não só para aulas regulares de matemática, mas também para tirar dúvidas de alunos; para os professores de matemática planejarem suas atividades, sejam elas aulas, exposições, olimpíadas, avaliações, entre outras, discutirem seus projetos, tendências e inovações; um local para criação e desenvolvimento de atividades experimentais, inclusive de produção de materiais instru-cionais que possam facilitar o aprimoramento da prática pedagógica. Facilitando a realização de experimentos e a prática do ensino-aprendizagem da


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matemática, o LEM deve ser o centro da vida matemática da escola; mais que um depósito de materiais, sala de aula, biblioteca ou museu de matemática, o LEM é o lugar da escola onde os professores estão empenhados em tornar a matemática mais com-preensível aos alunos.

O LEM pode ser um espaço especialmente dedicado à criação de situações pedagógicas desafiadoras e para auxiliar no equacionamento de situações previstas pelo professor em seu planejamento mas imprevistas na prática, devido aos questionamentos dos alunos durante as aulas. Nesse caso, o professor pode precisar de diferentes materiais com fácil acesso. Enfim, o LEM, nessa concepção, é uma sala-ambiente para estruturar, organizar, planejar e fazer acontecer o pensar matemático, é um espaço para facilitar, tanto ao aluno como ao professor, questionar, conjecturar, procurar, experimentar, analisar e concluir, enfim, aprender e principalmente aprender a aprender.

Para muitos professores, todas as salas de aula e todas as suas aulas devem ser um laboratório onde se dão as aprendizagens da matemática. Essa é uma utopia que enfraquece a concepção possível e realizável do LEM, porque ela pode induzir professores a não tentarem construir o LEM num certo local da escola em que traba-lham, seja este numa sala, num canto ou num armário.

O LEM, mesmo em condições desfavoráveis, pode tornar o trabalho altamente gratificante para o professor e a aprendizagem compreensiva e agradável para o aluno, se o professor possuir conhecimento, crença e engenhosidade. Conhecimento porque, tendo em vista que ninguém ensina o que não sabe, é preciso conhecer matemática mas também metodologia de ensino e psicologia, enfim, possuir uma boa formação matemática e pedagógica; crença porque, como tudo na vida, é preciso acreditar naquilo que se deseja fazer, transformar ou construir; e engenhosidade porque, muito frequen-temente, é exigida do professor uma boa dose de criatividade, não só para conceber, planejar, montar e implementar o seu LEM, como também para orientar seus alunos e transformá-los em estudantes e, de preferência, em aprendizes também.

Assim, por exemplo, diante dos poliedros de Platão, convém que surjam questionamentos pelos alunos ou pelo professor, tais como: Por que assim são denominados? Quem foi Platão? Quais foram suas contribuições para a matemática? Por que os poliedros de Platão são somente cinco, isto é, quais são suas características? Quais são os outros tipos de poliedros? Onde os poliedros estão presentes?

Uma lista de indagações, tal como essa, poderia ser afixada no LEM para que o professor e os alunos se ponham à procura das respostas ao longo dos dias seguintes para, então, darem retorno de suas descobertas. Note que aprender a procurar, e mesmo a encontrar respostas, é mais importante para a formação do indivíduo do que as respostas às indagações. Note, também, que, mesmo dispondo de um LEM, o professor pode simplesmente mostrar aos alunos os cinco poliedros, dando o nome e a definição de cada um. Assim, temos dois modos diferentes de utilizar um mesmo LEM... e provavelmente dois professores com concepções bem diferentes de educação e de LEM.

1.2.2. A construção do LEM É difícil para o professor construir sozinho o LEM e, mais ainda, mantê-lo.

Convém que o LEM seja consequência de uma aspiração grupai, de uma conquista de professores, administradores e de alunos. Essa participação de diferentes segmentos da escola pode garantir ao LEM uma diferenciada constituição, por meio das possíveis e


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indispensáveis contribuições dos professores de história, geografia, educação artística, educação física, português, ciências, entre outros.

A contribuição dos alunos para a construção da LEM é muito Importante para o processo educacional deles, pois é fazendo que se aprende. Orientados pelo professor responsável pelo LEM, os alunos, distribuídos em grupos, podem solicitar, dos professores das áreas mencionadas, exemplos de interseção dessas áreas com a ma-temática. Certamente, a coleta será quantitativamente maior do que esperavam, principalmente se contarem com o apoio bibliográfico ou computacional; em seguida, será necessário preparar o material para apresentação do que foi coletado. Assim, o LEM irá constituindo-se de acordo com as condições locais e até mesmo tornará pos-sível uma exposição escolar dos trabalhos produzidos pelos alunos. Mas, para que tudo aconteça, é preciso que a escola possua professores que acreditem no LEM, que reconheçam a necessidade de a escola possuir seu LEM, que se empenhem na construção dele e que considerem as possibilidades da escola.

A respeito da construção do LEM, é também fundamental considerar a quem ele se destina; se o LEM se destina para crianças de educação infantil, os materiais devem estar fortemente centrados para apoiar o desenvolvimento delas no que se refere aos processos mentais básicos - correspondência, comparação, classificação, se-qiienciação, seriação, inclusão e conservação -, os quais são essenciais para a formação do conceito de número; além desses materiais, o LEM deve possuir aqueles que poderão favorecer a percepção espacial (formas, tamanhos, posições, por exemplo) e a noção de distância, para a construção do conceito de medida.

Se o LEM se destina às quatro primeiras séries do ensino fundamental, o apelo ao tátil e visual ainda deve manter-se forte, mas os materiais devem visar mais diretamente à ampliação de conceitos, à descoberta de propriedades, à percepção da necessidade do emprego de termos ou símbolos, à compreensão de algoritmos, enfim, aos objetivos matemáticos.

Essa característica deve continuar presente no LEM para as séries seguintes do ensino fundamental, mas agora também devem

compor o LEM aqueles materiais que desafiam o raciocínio lógico-dedutivo (paradoxos, ilusões de ótica) nos campos aritmético, geométrico, algébrico, trigonométrico, estatístico.

Ao LEM do ensino médio, podem ser acrescidos artigos de jornais ou revistas, problemas de aplicação da matemática, questões de vestibulares, desafios ao raciocínio topológico ou combinatório, entre outros. E também várias questões ou situações-problema referentes a temas já abordados no ensino fundamental, mas que agora demandam uma análise e interpretação mais aprofundadas por parte dos alunos.

E o que dizer do LEM para os cursos de formação de professores? Que ele é, simplesmente, mais que necessário para as instituições de ensino que oferecem tais cursos. É inconcebível que, em suas aulas, os professores desses cursos realcem a necessidade da autoconstrução do saber, a importância dos métodos ativos de apren-dizagem, o significado dos sentidos para a aprendizagem, o respeito às diferenças individuais, mas, na prática de ensino e no estágio supervisionado, os seus alunos não disponham de instrumentos para a realização da prática pedagógica. Se lembrarmos que mais importante do que ter acesso aos materiais é saber utilizá-los corretamente, então não há argumento que justifique a ausência do LEM nas instituições responsáveis pela


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formação de professores, pois é nelas que os professores devem aprender a utilizar os materiais de ensino; é inconcebível um bom curso de formação de professores de mate-mática sem LEM. Afinal, o material deve estar, sempre que necessário, presente no estudo didatico-metodológico de cada assunto do programa de metodologia ou didática do ensino da matemática, pois conteúdo e seu ensino devem ser planejados e ensinados de modo simultâneo e integrado.

Existem diversos tipos de LEM, em razão dos seus diferentes objetivos e concepções. Apesar dessa diversificação, a lista seguinte de sugestões de materiais didáticos, instrumentos ou equipamentos pode ser a base para a constituição de muitos LEM, cada um adaptado ao contexto em que estiver inserido.

De modo geral, o LEM pode constituir-se de coleções de: • Livros didáticos; • Livros paradidáticos; • Livros sobre temas matemáticos; • Artigos de jornais e revistas; • Problemas interessantes; • Questões de vestibulares; • Registros de episódios da história da matemática; • Ilusões de ótica, falácias, sofismas e paradoxos; • Jogos; • Quebra-cabeças; • Figuras; • Sólidos; • Modelos estáticos ou dinâmicos; • Quadros murais ou pôsteres; • Materiais didáticos industrializados; • Materiais didáticos produzidos pelos alunos e professores; • Instrumentos de medida; • Transparências, fitas, filmes, softwares; • Calculadoras; • Computadores; • Materiais e instrumentos necessários à produção de materiais didáticos.

A construção de um LEM não é objetivo para ser atingido a curto prazo; uma vez construído, ele demanda constante complementação, a qual, por sua vez, exige que o professor se mantenha atualizado.

1.2.3. Objeções ao uso do LEM Na prática escolar, é facilmente constatável que muitos professores não

conhecem o LEM, outros o rejeitam sem ter experimentado, e alguns o empregam mal. Apesar de o LEM ser uma excelente alternativa metodológica, ele possui

limitações didáticas, sofre prejulgamentos, e algumas crendices o perseguem. Vejamos algumas questões referentes a esses assuntos:

1. O LEM é caro, exige materiais que a escola não dá ao professor e raríssimas escolas possuem um LEM.

Lecionar numa escola que não possui LEM é uma ótima oportunidade para construí-lo com a participação dos alunos, utilizando sucatas locais. Assim, o custo é diminuto e todos, alunos e professor, conhecem a aplicabilidade dos materiais produzidos; dessa


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forma, evita-se um fato comum nas escolas que recebem os materiais: muitos não são utilizados por desconhecimento de suas aplicações. Afinal, mais importante do que receber pronto ou comprar o LEM é o processo de construção dele.

2. O LEM exige do professor uma boa formação. É nossa obrigação estar bem preparados para propiciar a aprendizagem da matemática àqueles que nos são confiados. Além disso, qual é o método de ensino que não exige do professor uma boa formação matemática e didático-pedagógica? Na verdade, com professor despreparado, nenhum método produz aprendizagem significativa.

3. O LEM possibilita o “uso pelo uso”. Sim, como todo instrumento ou meio. Daí a importância dos saberes do professor, indispensáveis para a utilização tia quadra e dos equipamentos de esportes, da biblioteca, dos computadores, entre outros. O LEM possibilita o “uso pelo uso” dele como também o seu mau uso. Tudo dependerá do professor. Aqui cabe uma analogia: dize-me como usas o LEM e eu saberei que tipo de professor és.

4. O LEM não pode ser aplicado a todos os assuntos do programa. Realmente o LEM não é uma panaceia para o ensino, não é um caminho para todos os momentos da prática pedagógica, mas seguramente pode disponibilizar uma diversifi-cação de meios e uma excelente prontidão ao uso deles como nenhuma outra alternativa oferece.

5. O LEM não pode ser usado em classes numerosas. Em educação, a quantidade e a qualidade geralmente se desenvolvem inversamente. Por isso, em turmas de até trinta alunos, é possível distribuí-los em subgrupos, todos estu-dando um mesmo tema, utilizando-se de materiais idênticos, e com o professor dando atendimento a cada subgrupo. Para turmas maiores, infelizmente o “fazer” é substituído pelo “ver”, e o material individual manipulável é, inevitavelmente, substituído pelo material de observação coleti-va, pois a manipulação é realizada pelo professor, caben-do aos alunos apenas a observação.

6. O LEM exige do professor mais tempo para ensinar. Antes de considerar o tempo dispendido para que os alunos aprendam, é preciso considerar a qualidade da aprendizagem, questionando: com o LEM o rendimento dos alunos melhora? Os alunos preferem aulas com ou sem o LEM? Por quê? Apesar de as respostas a essas questões de penderem do perfil profissional do professor, dos interes-ses dos alunos e dos objetivos da escola, é provável que o uso do LEM desperte nos alunos indagações não previstas pelo professor e, nesse sentido, se eles forem atendidos, o ensino demandará mais tempo que o previsto. Em contrapartida, muitas vezes, o uso do LEM, por facilitar a aprendizagem, faz o professor ganhar tempo.

7. É mais difícil lecionar utilizando o LEM. Essa frase insinua uma limitação do LEM. Se a dificuldade aqui se refere ao aumento de movimentação e de motivação dos alunos e de troca de informações entre eles, causadas pelo LEM, podemos dizer que o LEM exige do professor uma conduta diferente da exigida pela aula tradicional; se a dificuldade for referente ao fato de que os alunos, influenciados pelo LEM, passam a fazer perguntas difíceis ou fora do planejamento da aula, então, realmente, usar o LEM pode ser mais difícil para parte dos professores. Em ambos os casos, não se trata de limitação própria ao LEM, mas sim de situações em que os alunos efetivamente trabalham mais do que quando apenas assistem à explanação do


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professor. Em outras palavras, o LEM pode ocasionar nos alunos uma mudança de comportamento.

8. O LEM pode induzir o aluno a aceitar como verdadeiras as propriedades matemáticas que lhes foram propiciadas pelo material manipulável ou gráfico.

Dependendo do nível de desenvolvimento dos alunos, é altamente desejável que essa afirmação seja verdadeira, pois, até o aparecimento do raciocínio lógico-dedutivo por volta dos 13 ou 14 anos de idade, a aquisição do conhecimento apóia-se fortemente no verbal (audição), no gráfico (visão) e na manipulação (tato). Confiando plenamente naquilo que vêem, pois praticam o “é verdade porque vi”, “vale porque tem a mesma medida”, “se vale para dois ou ires casos então valerá para todos”, confundem constatação de natureza perceptual com demonstração, e não sentem a necessidade de provas lógico-dedutivas porque tomam a percepção visual como prova. Quando os jovens adquirem o poder de dedução lógica, é importante mostrar-lhes sofismas, falácias e paradoxos matemáticos com o objetivo de eles perceberem que conclusões baseadas apenas na intuição ou naquilo que se vê podem contrapor-se ao que o raciocínio lógico-dedutivo aponta como verdadeiro. Raciocínio dedutivo será fundamental para todos os estudos posteriores: ele vai logicamente permitir-nos, de agora em diante, separar aquilo que parece ser verdadeiro daquilo que essencialmente é verdadeiro.

Mas onde encontrar uma coleção de sofismas, falácias e paradoxos? No LEM. Seguem-se alguns exemplos:

a) Se 2 - 2 = 3 - 3, então 2 (1 - 1) = 3 (1 - 1) e cancelando o fator (1 - 1) comum aos dois termos, resulta 2 = 3. Qual seria a causa desse desfecho absurdo?

b) Veja as figuras 1 e 2. Monte um quadrado de 8cm por 8cm. Divida-o em dois trapézios e dois triângulos, conforme mostra a figura 1, cuja área é 64cm2. Agora, com as mesmas quatro partes obtidas do quadrado, monte um retângulo, conforme mostra a figura 2, cuja área é 65cm2. Assim, você acabou de descobrir que 64 = 65.

c) Veja a figura 3. A medida da semicircunferência de raio igual a 1 é n ou 2? Sa-bendo que o comprimento da circunferência é dado por C = 2nr, temos que o comprimento da semicircunferência da figura é 7ir e, se o raio vale 1, então o comprimento pedido mede 7r. Simples, não é? No entanto, observemos as figuras 4 e 5, em cuja construção cada curva gera duas outras menores e o diâmetro de cada curva maior é igual ao dobro do da menor. Continuando indefinidamente este processo (figura 6), a curva limite se constituirá de círculos infinitamente peque-


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nos, quando então ela se confundirá com o segmeto AE, cuja medida é 2, porque vale o dobro do raio que mede 1. Afinal, o arco mede n ou 2?

d) Observe a figura 7, em que estão representadas duas rodas A e B, de tamanhos diferentes e firmemente unidas entre si; elas rolam ao mesmo tempo sobre dois trilhos C e D co-locados em níveis diferentes. As rodas partem da posição 1 e rolam até a posi-ção 2, conforme mostra a figura 8, sem deslizarem, percorrendo uma distância igual ao comprimento da roda maior. Nessas condições, quando a roda maior completar uma volta a menor também completará uma volta porque uma está fixa na outra, percorrendo, assim, a mesma distância que vai do ponto 1 ao 2. Mas como explicar que as medidas das circunferências são iguais se as rodas são de diferentes tamanhos?

e) Veja a figura 9. As retas r e 5 são paralelas? Elas se parecem paralelas?

Se, por um lado, é importante o professor propor situações que realcem o perigo de se acreditar em conclusões baseadas apenas no que foi percebido pelos sentidos, por outro lado, não menos desastroso será conduzir os alunos à total descrença em tudo que a observação e a intuição nos revelam


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ou sugerem. Estas são um bom começo para investigar e para aprender. 1.3. Material didático (MD)

Material didático (MD) é qualquer instrumento útil ao processo de ensino-aprendizagem. Portanto, MD pode ser um giz, uma calculadora, um filme, um livro, um quebra-cabeça, um jogo, uma embalagem, uma transparência, entre outros.

Apesar dessa enorme gama de possibilidades, todos os MD constituem apenas um dos inúmeros fatores que interferem no rendimento escolar do aluno. Os MD podem desempenhar várias funções, conforme o objetivo a que se prestam, e, por isso, o professor deve perguntar-se para que ele deseja utilizar o MD: para apresentar um assunto, para motivar os alunos, para auxiliar a memorização de resultados, para facilitar a redescoberta pelos alunos? São as respostas a essas perguntas que facilitarão a escolha do MD mais conveniente à aula.

Por melhor que seja, o MD nunca ultrapassa a categoria de meio auxiliar de ensino, de alternativa metodológica à disposição do professor e do aluno, e, como tal, o MD não é garantia de um bom ensino, nem de uma aprendizagem significativa e não substitui o professor.

Devido à impossibilidade de abordar a utilização didática dos distintos tipos de MD que podem compor um LEM, aqui vamos referir-nos apenas ao MD manipulável concreto.

1.3.1. MD manipulável Existem vários tipos de MD. Alguns não possibilitam modificações em suas

formas; é o caso dos sólidos geométricos construídos em madeira ou cartolina, por exemplo, que, por serem estáticos, permitem só a observação. Outros já permitem uma maior participação do aluno: é o caso do ábaco, do material montessoriano (cuisenaire ou dourado), dos jogos de tabuleiro.

Existem, ainda, aqueles dinâmicos, que, permitindo transformações por continui-dade, facilitam ao aluno a realização de redescobertas, a percepção de propriedades e a construção de uma efetiva aprendizagem. É o caso da estrela (ver figura 10) construída

com 18 palitos ou cotonetes iguais e unidos por borrachas (pedaços de garrote simples nos pontos ímpares e transpassados nos pontos pares); ela pode ser dobrada de várias maneiras e, assim, pode facilitar o estudo de simetria, rotação, reflexão, triângulo,


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hexágono, tetraedro, hexaedro, isomeria ótica, entre outros assuntos. Seguem algumas das formas possíveis:

a) Ponha os vértices ímpares no centro da estrela (figura 11) b) Coloque 1 e 7 no centro da estrela (figura 12) c) Superponha 1 ao 7 (figura 13) d) Coloque 1, 5, 7 e 11 no centro da estrela (figura 14)

Utilizando-se de questões tais como as seguintes, será possível estimular os alunos para operações além das simplesmente manipulativas: • Que figura plana pode ser construída colocando-se o 4 junto ao 10? • Quantas diferentes figuras planas podem ser construídas? • Qual delas tem o maior perímetro? E a maior área? • Qual é a relação entre a área da figura estrelada inicial e da figura hexagonal em a? • É possível formar um tetraedro (espacial)? • Qual é a área total do hexaedro? • Qual é a diferença entre a representação de uma figura e a sua imagem mental?

Convém termos sempre em mente que a realização em si de atividades manipulativas ou visuais não garante a aprendizagem. Para que esta efetivamente aconteça, faz-se necessária também a atividade mental, por parte do aluno. E o MD pode ser um excelen-te catalisador para o aluno construir seu saber matemático. Neste tipo de saber, os lados não possuem largura nem espessura, só compri-mento. Largura e espessura são necessárias à representação, seja por imagem, seja por material concreto.

Um outro exemplo de MD é aquele que se refere ao Teorema de Pitágoras: ele compõe-se de um triângulo retângulo com quadrados construídos sobre os respectivos lados do triângulo. Este material estático pode transformar-se em dinâmico, interessante, desafiador e inspirador, se for construído em acrílico: são duas placas idênticas (no formato do estático), coladas uma sobre a outra, de modo que elas possam reter algum material moldável, como óleo, Agua ou areia. Fazendo um furo de A a B e de C a D, como mostra a figura seguinte, quando o MD for mudado da posição 1 (figura 15) para a posição 2 (figura 16), o líquido (ou areia) interno se transferirá dos dois


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quadrados menores para o quadrado maior, sugerindo a existência de uma equivalência entre os quadrados. Qual será o tipo de MD que os alunos irão preferir: o estático ou o dinâmico?

1.3.2. MD e o processo de ensino-aprendizagem A utilização do MD está sempre intimamente relacionada com um processo de

ensino que possui uma característica aparentemente paradoxal. Vejamos por quê. É muito difícil, ou provavelmente impossível, para qualquer ser humano

caracterizar espelho, telefone, bicicleta ou escada rolante sem ter visto, tocado ou utilizado esses objetos. Para as pessoas que já conceituaram esses objetos, quando ouvem o nome do objeto, flui em suas mentes a ideia correspondente ao objeto, sem precisarem dos apoios iniciais que tiveram dos atributos tamanho, cor, movimento, forma e peso. Os conceitos evoluem com o processo de abstração; a abstração ocorre pela separação mental das propriedades inerentes a objetos (DAVIDOV, 1982, p. 332). Esse processo começa com o apoio dos nossos sentidos e, assim, ele é aparentemente paradoxal porque, pan se chegar no abstrato, é preciso partir do concreto. O abstrato, segundo Kopnin (1978, p. 54), é o “isolamento de alguma propriedade sensorialmente acessível do objeto”. Faz-se necessário partir do concreto. O concreto pode ter duas interpretações: uma delas refere-se ao palpável, manipulável, e outra, mais ampla, inclui também as imagens gráficas; ainda sobre o concreto, às vezes, o real tem sido confundido com o concreto. Essa trajetória é semelhante à que se deve fazer para conseguir o rigor matemático: para consegui-lo, com seus vocábulos, expressões, símbolos e raciocínios, é preciso começar pelo conhecimento dos alunos, que é um ponto distante e oposto ao rigor matemático, porque é empírico e baseado no concreto.

O avião retrata bem essa característica aparentemente contraditória do processo educacional: ele é feito para voar, mas, para voar, precisa partir do chão. Tal característica poderia ser considerada de somenos importância se não conduzisse alguns profissionais à falsa conclusão de que o uso do MD retarda o desenvolvimento intelectual do aluno. Não seria a ausência do MD a causa de possíveis retardamentos?


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Uma das pesquisas5 que comprovaram a eficiência do ensino com MD foi realizada em Brasília, com cerca de 180 crianças cursando a 5” série, com idades variando entre 11 e 12 anos e com semelhantes condições de conhecimento matemático, conforme resultado de pré-teste. Essas crianças pertenciam a distintas escolas e a diferentes níveis socioeconômicos, e 70% delas consideravam a matemática uma disciplina difícil para aprender; em cada escola, um mesmo professor lecionou para duas turmas, numa utilizando MD, na outra, não. Os resultados revelam que o grupo que foi ensinado com MD reagiu de for-ma muito mais positiva, tanto diante de questões fáceis como de mé-dias e de difíceis, do que o grupo que foi ensinado sem MD.

1.3.3. O professor e o uso do MD A atuação do professor é determinante para o sucesso ou fracasso escolar. Para

que os alunos aprendam significativamente, não basta que o professor disponha de um LEM. Tão importante quanto a escola possuir um LEM é o professor saber utilizar corretamente os MDs, pois estes, como outros instrumentos, tais como o pincel, o re-vólver, a enxada, a bola, o automóvel, o bisturi, o quadro-negro, o batom, o sino, exigem conhecimentos específicos de quem os utiliza.

Assim, o professor de matemática, ao planejar sua aula, precisa perguntar-se: será conveniente, ou até mesmo necessário, facilitar a aprendizagem com algum material didático? Com qual? Em outras palavras, o professor está respondendo as questões: “Por que material didático?”, “Qual é o material?” e “Quando utilizá-lo?”. Em seguida, é preciso perguntar-se: “Como este material deverá ser utilizado?”. Esta última questão é fundamental, embora não suficiente, para que possa ocorrer uma aprendizagem significativa.

Tomemos, por exemplo, a representação de um triângulo qualquer, feita em cartolina ou em madeira: com ele, o professor pode mostrar aos alunos, justapondo os três “vértices”, que a “soma dos três ângulos dá 180 graus”. Note que essa atitude do professor, que se resume em apenas apresentar um resultado aos alunos, é um mero reforço à memorização do enunciado matemático que pode ser encontrado nos livros didáticos. No entanto, as consequências do uso do material podem ser mais abrangentes e positivas, se cada aluno desenhar um triângulo qualquer (equilátero, isósceles, escaleno ou retângulo, grande ou pequeno, e em diferentes posições), recortar e dobrar sua figura e mostrar aos colegas suas observações, descobertas ou conclusões. Algumas destas podem ser: • Quando juntados os três ângulos, dá meio círculo; • Dá sempre 180 graus, em qualquer tipo de triângulo; • Mas tem que dobrar os lados ao meio, se não, não junta os três ângulos; • O ponto onde se juntam os três ângulos depende das medidas dos ângulos; • O ponto onde se juntam os três ângulos varia de triângulo para triângulo; • O ponto onde se juntam os três ângulos é o pé da altura do triângulo; • Todo triângulo pode ser transformado em dois retângulos; • A área do triângulo é o dobro da área de cada retângulo; • O perímetro do triângulo é maior do que o de cada retângulo.

5 Sérgio Lorenzato (1976), Subsídios metodológicos para o ensino da matemática:cáculo de áreas das figuras planas, Tese (Doutorado) - FE-UNICAMP, Campinas.


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A diferença entre as duas maneiras distintas de utilização de MD aqui apresentadas ressalta que a eficiência do MD depende mais do professor do que do próprio MD, e ainda mostra a importância que a utilização correta do MD tem no desenvolvimento cognitivo e afetivo do aluno.

O modo de utilizar cada MD depende fortemente da concepção do professor a respeito da matemática e da arte de ensinar. Um pro-fessor que concebe a matemática como um conjunto de proposições dedutíveis, auxiliadas por definições, cujos resultados são regras ou fórmulas que servem para resolver exercícios em exames, avaliações, roncursos, seguramente poderia, utilizando-se apenas do quadro-negro, mostrar ou provar aos alunos que a soma dos três ângulos dá ISO graus e, em seguida, dar alguns exercícios para auxiliar a memorização dessa propriedade. Para muitos de nós, a matemática foi ensinada assim e, por isso, não conseguimos admirar a beleza e harmonia dela, nem ver nela um essencial instrumento para cotidianamente lei colocado a nosso serviço. Para o aluno, mais importante que co-nhecer essas verdades matemáticas, é obter a alegria da descoberta, a percepção da sua competência, a melhoria da auto-imagem, a certeza de que vale a pena procurar soluções e fazer constatações, a satisfa-çlo do sucesso, e compreender que a matemática, longe de ser um bicho-papão, é um campo de saber onde ele, aluno, pode navegar.

Com referência à manipulação propriamente dita do MD pelos alunos, convém lembrar que, num primeiro momento, o MD pode gerar alguma estranheza ou dificuldade e propiciar noções superficiais, ideias incompletas e percepções vagas ou erróneas; por isso, quando o MD for novidade aos alunos, a eles deve ser dado um tem-po para que realizem uma livre exploração. Todas as pessoas passam por essa primeira etapa em que, através da observação, conhecem o superficial do MD, tal como suas partes e cores, tipos de peças e possibilidade de dobra ou decomposição. São esses banais conhecimentos que possibilitarão, com ou sem o auxílio do professor, a procura e a descoberta de novos conhecimentos. Para ilustrar, tomemos o MD representado pela figura 17, feito em papelão, onde os pontos A a B são fixos e Pé móvel; os três pontos A, B, P são unidos por um fio; para representar vários triângulos, o P deve deslocar-se pelo corte no papelão, entre C e D. Os triângulos são diferentes quanto às formas, mas todos têm a mesma medida de base. E o que acontece com as medidas das alturas, se AB for paralelo a CD? O que se pode dizer das áreas desses diferentes triângulos? E de seus perímetros?


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Diante desse MD, é provável que os alunos se deparem inicialmente observando e testando o possível movimento do fio e percebendo o paralelismo entre AB e CD. Feito isso, as questões anteriores se tornarão fáceis aos alunos, se souberem os conceitos de perímetro e de área. Aqui, é importante que seja realizada entre os alunos a verbalização dos pensamentos, isto é, a comunicação das ideias, raciocínios, ações e conclusões deles. Será nesse momento que o professor poderá avaliar como e o que os alunos aprenderam; além disso, a socialização das estratégias, processos, erros e conclu-sões, entre os alunos, não é menos importante para a formação deles. Após a verbalização, é recomendável que cada aluno tente registrar em seu caderno, conforme suas possibilidades, as novas conquistas decorrentes das atividades, concretas e abstraías, por eles realizadas.

1.3.4. Potencialidades do MD Todo MD tem um poder de influência variável sobre os alunos, porque esse

poder depende do estado de cada aluno e, também, elo modo como o MD é empregado pelo professor. Assim, por exemplo, para um mesmo MD, há uma diferença pedagógica entre a aula em que o professor apresenta oralmente o assunto, ilustrando-o com um MD, e a aula em que os alunos manuseiam esse MD. O MD é o mesmo, mas os resultados do segundo tipo de aula serão mais benéficos à formação dos alunos porque, de posse do MD, as observações e reflexões deles serão mais profícuas, uma vez que poderão, em ritmos próprios, realizar suas descobertas e, mais facilmente, memorizar os resultados obtidos durante suas atividades.

Existem também diferenças de potencialidade entre o MD manipulável e sua representação gráfica, porque, apesar de todas as contribuições da perspectiva, ela não retrata as reais dimensões e posições dos lados e faces dos objetos, uma vez que ela camufla o perpendicularismo e o paralelismo laterais, como mostra a figura 18.

Talvez a melhor das potencialidades do MD seja revelada no momento de construção do MD pelos próprios alunos, pois é durante esta que surgem imprevistos e desafios, os quais conduzem os alunos a fazer conjecturas e a descobrir caminhos e soluções.

Vejamos, então, algumas potencialidades mais específicas dos MD. Raios X Analise o seguinte diálogo, frequente em nossas salas de aula, até mesmo em

cursos de aperfeiçoamento para experientes professores de ensino fundamental. Aos alunos é dado um MD (figura 19) formado por quatro palitos de mesmo

comprimento, representando um losango, flexível nos pontos 1, 2, 3 e 4. Professor - Procurem transformar esta figura em outras e digam o que observaram. Alunos - “Um segmento”; “um triângulo”; “outros losangos”; “quando o ângulo 1 aumenta, o ângulo 2 diminui”; “os ângulos opostos são iguais”, “outros paralelogramos”, “um quadrado”.


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Professor - A sequência de movimentos que transformou losango em quadrado destruiu alguma característica (propriedade) dos losangos? Alunos - Não, os lados continuaram iguais. Professor - Então, o quadrado é losango? Alunos - Não, losango é losango, quadrado é quadrado.

Note que: a) Esta última resposta indica que esses alunos estão no primeiro nível da proposta de Van Hiele6. b) Nesse exemplo, o MD possibilitou ao professor constatar conceitos que precisam ser revistos ou ampliados. c) O MD foi para o professor o mesmo que o aparelho de raios X é para o médico ou dentista.

Complicador Se o MD pode ser para o aluno um facilitador, para o professor, às vezes, ele

pode ser um complicador. Em outras palavras, é muito mais fácil dar aula sem MD, mas também é mais difícil aprender sem o MD. O uso do MD planejado para atingir um determinado objetivo, frequentemente, possibilita ao aluno a realização de observações, constatações, descobertas e até mesmo o levantamen-to de hipóteses e a elaboração e testagem de estratégias que, às vezes, não estavam previstas no planejamento nem eram do conhecimento do professor. No entanto, é preciso reconhecer que essa dificuldade vem no intuito de melhorar a qualidade do processo de rnsino-aprendizagem. Um exemplo disso (figura 20) é o que pode acontecer quando se dá ao aluno um triângulo (dobrável pelos pontos médios dos lados), esperando que ele redescubra que “a soma dos três ângulos é 180 graus” (figura 21), como foi sugerido em 3.3:

Quando se pergunta aos alunos o que eles observaram na transformação anterior, frequentemente dizem que “o triângulo se transformou em dois retângulos”, o que é uma verdade geralmente inesperada por alguns professores e que não consta nos livros didáticos; ou, então, os alunos dizem que “no triângulo sempre cabem seis triângulos”, referindo-se à propriedade “todo triângulo pode ser decomposto em seis triângulos menores congruentes dois a dois”. Outra observação dos alunos que pode surpreender alguns professores é a de que a área do retângulo (figura 21) é a metade da área do triângulo inicial (figura 20). Tal constatação é válida, mas, também, é contraditória para 6 Van Hiele propõe que o desenvolvimento do pensamento geométrico pode se dar em cinco níveis.


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quem se lembrar das fórmulas para cálculo da área de retângulo e de triângulo. Como se explica essa contradição?

Só para crianças A experiência tem mostrado que o MD facilita a aprendizagem, qualquer que

seja o assunto, curso ou idade, o que conflita com a crendice de que MD só deve ser utilizado com crianças. Justificando essa crendice, alguns dizem que, como a abstração é essencial para a aprendizagem da matemática, quanto mais o MD concreto for utilizado, mais retardado será o processo de abstração, de matematização do aluno.

Aqueles que assim pensam provavelmente ainda não fizeram a seguinte experiência: escolha pessoas adultas que não estudaram geometria espacial e diga a elas que “todo prisma triangular pode ser decomposto em três pirâmides”. Se elas não compreenderem a mensagem, e certamente não a compreenderão, apresente o desenho da figura em questão; mesmo assim, diante da imagem, a maioria das pessoas não compreenderá o que está sendo dito e mostrado. No entanto, se a todas elas for dado um modelo tridimensional para manusear, imediatamente indicarão ter compreendido o significado da frase. Então, por que utilizar MD só com crianças?

Na verdade, o importante é verificar se o assunto é novidade para os alunos, e não a idade deles.

Regulador O MD pode ser um eficiente regulador do ritmo de ensino para.i aula, uma vez

que ele possibilita ao aluno aprender em seu próprio ritmo e não no pretendido pelo professor. Por isso, o emprego de MD pode “atrasar o programa”, e essa é uma das críticas mais frequentes ao seu uso. Na verdade, a utilização de MD pode inicialmente tornar o ensino mais lento, mas em seguida, devido à compreensão adquirida pelo aluno, o ritmo aumentará e o tempo gasto no início será, de longe, recompensado em quantidade e principalmente em qualidade. Em outras palavras, é uma questão de opção: valorizar mais o ensino ou a aprendizagem, dar o programa ou aprender com compreensão, lembrando que, se não há aprendizagem, não podemos considerar que houve ensino, e mais: o professor pode acelerar o ritmo das atividades dos alunos apresentando questões que os auxiliem em suas reflexões, fazendo acontecer a chamada descoberta dirigida. Portanto, é possível interferir no ritmo dos alunos.

Modificador Pelo exemplo do prisma que foi decomposto em três pirâmides pode-se verificar

que a utilização do MD favorece a alteração de ordem de abordagem do conteúdo programático, pois a dupla MD e imaginação infantil quase sempre abre um leque de possibilidades, muitas delas imprevistas. Se de um lado o processo se torna rico, por outro se torna mais difícil para ser conduzido dentro de uma visão fechada, diretiva e predeterminada. É importante registrar que o MD nunca favorece o adiamento do assunto; ao contrário, ele quase sem-pre propicia a antecipação da abordagem. Outro exemplo que ilus-n.i liem isso é o seguinte: diante do triângulo cujos ângulos se juntam

para mostrar que a soma é 180 graus (assunto de 7a e 8a séries), crianças de 1a série disseram que “as três pontas dá meia roda”. Longe de observar erro de português ou falta de rigor na linguagem matemática, é preciso exaltar que intuitivamente as crianças em fase escolar inicial já conseguem detectar a verdade matemática e expressá-la em sua linguagem. E isso é uma façanha, porque eles ainda não construíram os conceitos de triângulo, ângulo, grau, adição, círculo e medida. Será que isso significa que é preciso


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abrir mão do rigor para se conseguir o rigor? Será que isso indica que a dosagem seriada deve merecer uma atenção maior do que a escola tem dado? Ou será isso uma indicação de que o MD permite antecipar a abordagem de conteúdos programáticos no currículo escolar?

Outro tipo de alteração que quase sempre o uso de MD ocasiona se refere ao nível de atividade dos alunos em sala de aula, pois, em decorrência da motivação que ele gera nos alunos, estes falam e movimentam-se mais que de costume, o que para muitas pessoas pode significar bagunça.

Dosagem seriada A prática pedagógica tem confirmado a necessidade e a conveniência da adoção

do currículo em espiral, tão recomendado por ilustres educadores; nele, ao longo das séries, os mesmos assuntos são retomados e, a cada vez, os conhecimentos são ampliados e aprofundados. Por exemplo, se pretendermos que alunos de 5a série cal-culem áreas de figuras planas sem usar fórmulas (por equivalência de áreas), o processo pode começar na educação infantil através da montagem/desmontagem de figuras quaisquer; em seguida, na la/4a séries, devem vir jogos livres com figuras de diferentes formas e cores, explorando a equivalência de suas áreas (por transformação) para, então, finalmente na 5a série, serem calculadas as áreas por meio de medidas.

Um mesmo MD pode ser utilizado para um assunto, porém, em diferentes níveis de conhecimento. É o caso do MD sobre o chamado Teorema de Pitágoras, apresentado no item 3.1: num primeiro momento, o objetivo era facilitar a percepção da existência de uma equivalência entre “os quadrados”; mais tarde, com o apoio de con-tagcm ou medida, os conhecimentos avançam para a constatação numérica (área), a condicional (triângulo retângulo), depois para a demonstração (prova) e finalmente para ampliações do tipo: o teorema vale para outras formas ou somente para quadrados? A palavra “quadrado” no enunciado refere-se à forma ou à área de figura? Em quais condições o teorema vale para três dimensões (volume)? Quais aplicações práticas são previsíveis?

Computador Uma outra crítica contra o uso de MD se baseia no argumento de que, com a

chegada do computador, o MD se tornou obsoleto e desnecessário. Primeiramente, é preciso lembrar que infelizmente o computador não chegou à grande maioria das escolas brasileiras; e isso é mais sério do que parece, porque muitas escolas que já se equiparam com computadores não sabem bem o que fazer com eles. tudo indica que comprar o equipamento e conseguir o espaço físi-CO para ele é o mais fácil: o mais difícil é conseguir software (programa) adequado e principalmente professor preparado para elaborar, desenvolver e avaliar um processo de ensinar e aprender dilcrente dos que tivemos até hoje. Em segundo lugar, o MD manipulável tem-se mostrado um eficiente recurso para muitos alunos que, não compreendendo a mensagem (visual) da tela do computador, recorrem ao MD (manipulável) e então prosseguem sem dificul-dades com o computador. Assim sendo, para muitos alunos, o MD desempenha a função de um pré-requisito para que se dê a aprendiam através do computador.

Funciona sempre? Apesar de o MD geralmente despertar o interesse de quem aprende, ele pode não

apresentar o sucesso esperado pelo professor. Como já vimos no item 3, para que se dê uma significativa aprendizagem, faz-se necessário que haja uma atividade mental, e não somente a manipulativa, por parte do aluno. Ao professor cabe acreditar no MD como


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um auxiliar do processo de ensino-aprendizagem, pois como muitas coisas na vida, ele só produz bons resultados para quem nele acredita. E mais: o MD necessita ser corretamente empregado, isto é, é preciso conhecer o porquê, o como e o quando colocá-lo em cena. Caso contrário, o MD pode ser ineficaz ou até prejudicial à aprendizagem.

Efeitos colaterais Se for verdadeiro que “ninguém ama o que não conhece”, então fica explicado

porque tantos alunos não gostam da matemática, pois, se a eles não foi dado conhecer a matemática, como podem vir a admirá-la? No entanto, com o auxílio de MD, o professor pode, se empregá-lo corretamente, conseguir uma aprendizagem com com-preensão, que tenha significado para o aluno, diminuindo, assim, o risco de serem criadas ou reforçadas falsas crenças referentes à matemática, como a de ser ela uma disciplina “só para poucos privilegiados”, “pronta”, “muito difícil”, e outras semelhantes. Outra consequência provável se refere ao ambiente predominante durante as aulas de matemática, onde o temor, a ansiedade ou a indiferença serão substituídos pela satisfação, pela alegria ou pelo prazer. Mas, talvez, o mais importante efeito será o aumento da autoconfiança e a melhoria da auto-imagem do aluno.

1.3.5. Obstáculos ao uso do MD De modo geral, pode-se dizer que os obstáculos ao uso do MD são de ordem

extrínseca a ele, pois é fácil constatar que a própria política educacional emanada pelos governos federal, estaduais ou municipais geralmente não preconiza ou orienta os educadores ao uso do MD; que raras são as escolas de ensino fundamental ou médio que possuem seu LEM; que poucas são as instituições responsáveis pela formação de professores que ensinam seus alunos a usarem MD. Em decorrência, muitos professores não sentem falta de MD em suas práticas pedagógicas, ou não dispõem de MD, ou não acreditam nas influências positivas do uso do MD na aprendizagem, ou não sabem utilizar corretamente o MD. A esses todos se somam aqueles que, por diferentes motivos, resistem às mudanças didáticas e, pior ainda, aqueles que opinam contra o uso do MD sem o conhecerem ou sem o terem experimentado7.

Enfim, as causas da ausência do MD nas salas de aulas não são devidas a ele propriamente.

1.4. Para auxiliar a reflexão sobre MD e LEM • O que é um LEM? • Quais são os fatores a serem considerados no planejamento de um LEM? • Por que escolas de formação de professores devem possuir seus LEMs? • O que você pode fazer para que sua escola venha a ter um LEM? • Como o MD pode influir no processo ensino-aprendizagem? • Quando o uso do MD é recomendável? Justifique. • Quais aspectos educacionais devem ser considerados ao planejar e ao empregar MD: o cognitivo, o afetivo, o histórico, o pedagógico ou o epistemológico? • Por quais maneiras se pode dar a má aplicação do MD? • Como construir MD de boa qualidade e de baixo custo? • O uso de MD facilita ou dificulta o magistério? Justifique.

7 Sérgio Lorenzatto, trabalho apresentado no Seminário sobre Prática do Ensino, UNESP, Rio Claro, em 1989; e apresentado no III Encontro Nacional de Educação Matemática, UFRN, em 1990.


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• A ausência de MD torna deficiente o ensino? Justifique. • Quais dificuldades os professores enfrentam para produzir, adquirir ou utilizar MD? • Quais são as características de um bom MD? • Por que os alunos preferem aulas com MD? • Quais são os argumentos favoráveis ao uso de MD no ensino? • Quais são os seus argumentos para não usar MD em suas aulas? • Dê exemplo de caso em que o uso de MD provocou a reflexão dos alunos. • Comente: O uso do MD garante uma aprendizagem com compreensão. • Comente: O MD só deve ser usado com crianças. • Comente: A aritmética e a álgebra escolares podem tornar-se mais fáceis aos alunos se ilustradas com o apoio das formas, pois é a geometria que, por possibilitar as representações visuais, intermedeia as sensações iniciais do mundo físico com as abstrações exigidas pelo processo de formação dos conceitos matemáticos. • Comente: As características dos MD devem ser distintas de acordo com os níveis escolares ou com as faixas etárias a que se destinam. • Comente: As secretarias de educação deveriam implantar LEM em suas escolas.

1.5. Referências bibliográficas do texto CASTELNUOVO, E. (1973). Didáctica de la matemática moderna. Tradução de Felipe Roblelo Vasquez. México (DF), Trillas. DAVIDOV, V.V. (1982). Tipos de generalización en la ensenanza. 2. reimpresión. Ciudad de La Habana, Editorial Pueblo y Educación. FIORENTINI, D. & MIORIM, M.A. (1993). “Uma reflexão sobre o uso de materiais concretos e jogos no ensino da matemática”. Boletim SBEM, São Paulo, ano 4, n. 7. KOPNIN, P.V. (1978). A dialética como lógica e teoria do conhecimento. Rio de Janeiro, Civilização Brasileira, vol. 123 (Coleção Perspectivas do Homem). LOVELL, K. (1988). O desenvolvimento dos conceitos matemáticos e científicos na criança. Tradução de Auriphebo B. Simões. Porto Alegre, Artmed. MANSUTTI, M. A. (1993). “Concepção e produção de materiais institucionais em educação matemática”. Revista de Educação Matemática - SBEM, São Paulo, ano 1, n. l, pp. 17-29. NICOLET, J.L. (1967). “Intuición matemática y dibujos animados”. In: COMISION

INTERNACIONAL PARA EL ESTÚDIO Y MEJORA DE LA ENSENANZA DE LAS MATEMATICAS. El material para la ensenanza de las matemáticas. Tradução de Gonzalo Medina. Madrid, Aguilar, pp. 55-73. POLYA, G. (1978). A arte de resolver problemas. Tradução de Heitor Lisboa de Araújo. Rio de Janeiro, Interciência. RÊGO, R.G. & RÊGO, R.M. (2000). Matematicativa. João Pessoa, Ed. UFPb. STRATHERN, P. (1998). Arquimedes e a alavanca em 90 minutos. Tradução de Maria Helena Geordane. Rio de Janeiro, Zahar. THE MATHEMATICAL ASSOCIATION (1968). Mathematics Laboratories in Schools. London, G. Bell e Sons.


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2. DESENVOLVIMENTO E USO DE MATERIAIS DI-DÁTICOS NO ENSINO DE MATEMÁTICA8

Rômulo Marinho do Rego9e Rogéria Gaudêncio do Rego10 A filosofia e política do Laboratório de Estudos e Pesquisa da Aprendizagem

Científica (LEPAC), vinculado ao Departamento de Matemática do Centro de Ciên-cias Exatas e da Natureza da Universidade Federal da Paraíba (CCEN/UFPb), vêm sendo elaboradas e discutidas desde a sua fundação, em 1991. Baseiam-se na crença de que a construção do saber matemático é acessível a todos e que a superação dos baixos índices de desempenho de nossos alunos requer também conhecimentos exter-nos à matemática; compromissos políticos na direção de mudanças, envolvendo a es-cola, a comunidade, administradores escolares; a luta por melhores condições de tra-balho e por uma formação inicial e continuada de qualidade. Ao lado da pesquisa, visando o desenvolvimento de materiais didáticos adequados à realidade das nossas escolas e de sua divulgação por meio de livros, as ações da equipe do LEPAC estavam inicialmente direcionadas para a formação de especialistas, lançando as condições de superar as limitações dos cursos de pós-graduação de caráter tecnicista, passando posteriormente a abranger a assessoria em projetos de implantação de clubes e labora-tórios de matemática; na montagem de módulos e projetos de feiras de ciências na área de matemática; oficinas, palestras e cursos para alunos e professores de matemá-tica, além da realização de uma exposição anual intitulada "Matemática e imagina-ção", nos moldes da exposição francesa "Horizontes matemáticos".

As diversas linhas de desenvolvimento de conhecimentos matemáticos a-pontadas como mais apropriadas dentro da perspectiva de mudanças - entre as quais: resolução de problemas, jogos e quebra-cabeças, história da matemática - estão inte-gradas às diversas ações da equipe do LEPAC, que já executou mais de vinte projetos institucionais (SPEC/PADCT/CAPES, PROGRAD, PROLICEN, PROBEX)11

e realizou cursos e exposições em instituições de ensino fundamental, médio e superior em es-tados do Norte e Nordeste, baseados em um acervo material constantemente renova-do e ampliado, fruto de pesquisas realizadas na área de ensino de matemática, com-posto de kits didáticos, jogos e quebra-cabeças, coleção de elementos da natureza, ricos de conexões com a matemática, entre outros recursos.

As novas demandas sociais educativas apontam para a necessidade de um en-sino voltado para a promoção do desenvolvimento da autonomia intelectual, criati-vidade e capacidade de ação, reflexão e crítica pelo aluno. Para tanto, faz-se neces- 8 In O Laboratório de Ensino de Matemática na Formação de Professores. Sérgio Lorenzato (org.) – Campinas, SP: Autores Associados, 2006. (Coleção Formação de Professores). p. 39. 9 Bacharel e mestre em matemática e doutor em educação matemática. E professor do Departamento de Matemá-tica e Estatística da Universidade Estadual da Paraíba (UEPb) e atua na Pós-Graduação em Educação do Centro de Educação da Universidade Federal da Paraíba (UFPb). 10 Bacharel em matemática, mestre em filosofia e doutora em educação matemática. É professora do Departa-mento de Matemática da UFPb e atua na Pós-Graduação em Educação do Centro de Educação da mesma universidade. 11 Significado das siglas: SPEC - Subprograma Educação para a Ciência; PADCT -Programa de Apoio ao Desen-volvimento Científico e Tecnológico; CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior; PRO-

GRAD - Programa de Apoio aos Cursos de Graduação - UFPb; PROLICEN - Programa de Licenciatura - UFPb; PROBEX - Programa Institucional de Bolsas de Extensão - UFPb


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sário a introdução da aprendizagem de novos conteúdos de conhecimentos e de me-todologias que, baseadas na concepção de que o aluno deve ser o centro do processo de ensino-aprendizagem, reconheça, identifique e considere seus conhecimentos pré-vios como ponto de partida e o prepare para realizar-se como cidadão em uma socie-dade submetida a constantes mudanças.

O Laboratório de Ensino de Matemática (LEM) em uma escola constitui um importante espaço de experimentação para o aluno e, em especial, para o professor, que tem a oportunidade de avaliar na prática, sem as pressões do espaço formal tradi-cional da sala de aula, novos materiais e metodologias, resultados de pesquisas dis-ponibilizados na literatura (ver sugestões em Rego & Rego, 2004), ampliando sua formação de modo crítico, ou seja, quando associado à formação docente, oportuniza a realização de atividades em que professores da educação básica e alunos de cursos de licenciatura possam refletir e elaborar sua avaliação pessoal do sistema de ensino adotado em nossas escolas e construir modelos viáveis de superação de seus aspectos negativos.

Quando instalados em instituições de ensino superior, os laboratórios de en-sino, além de incentivar a melhoria da formação inicial e continuada de educadores de matemática, promovendo a integração das ações de ensino, pesquisa e extensão, possibilitam: i. Estreitar as relações entre a instituição e a comunidade, atuando como parceira na solução dos problemas educacionais que esta apresenta, buscando a melhoria do ensi-no e constituindo um espaço de divulgação e de implantação de uma cultura de base científica; ii. Estimular a prática da pesquisa em sala de aula, baseada em uma sólida forma-ção teórica e prática; e iii. Firmar projetos de parceria com os sistemas locais de ensino, visando à instalação de clubes e laboratórios de matemática, além de oficinas e cursos de formação conti-nuada para seus professores.

Uma das linhas de investigação e ação em um LEM compreende a elaboração, adaptação e uso de materiais didáticos de matemática, considerando-se os objetivos educacionais a serem atingidos, sua potencialidade para auxiliar a aprendizagem de conhecimentos de naturezas diversas (informações, conceitos, habilidades ou atitu-des), seu alcance e suas limitações e a sua adequação à competência dos alunos, le-vando-se em conta conhecimentos prévios, faixa etária, entre outros elementos. Se concebermos uma aula de matemática como um espaço em que os alunos vão expe-rimentar, descobrir significados e processos para essas experiências ou atividades de aprendizagem, como afirmam Grossnickle e Brueckner (1965, p. 87), materiais adequados são necessários.

Manoel Jairo Bezerra destacou, na obra O material didático no ensino da matemática, suas principais funções (1962, pp. 10-13):

i. Auxiliar o professor a tornar o ensino da matemática mais atraente e acessível; ii. Acabar com o medo da matemática que, criado por alguns professores e alimentado

pelos pais e pelos que não gostam de matemática, está aumentando cada vez mais a dificuldade do ensino dessa matéria e

iii. Interessar maior número de alunos no estudo dessa ciência. Uma vez trabalhado e avaliado em sala de aula um recurso didático pode ser,

caso indicado, reestruturado, compreendendo-se que a aprendizagem não reside em


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sua estrutura física ou na simples ação sobre ele, mas resulta do aprofundamento de reflexões sobre essa ação.

Acreditava-se, há até relativamente pouco tempo, que os alunos aprendiam de igual maneira, acumulando informações e regras. Sabemos, entretanto, que cada alu-no tem um modo próprio de pensar e que este varia em cada fase de sua vida, es-tando seu pensamento em constante processo de mudança. A aprendizagem pela compreensão é um processo pessoal e único que acontece no interior do indivíduo, embora relacionado a fatores externos, exigindo do raciocínio o que quase sempre é deixado apenas como tarefa para a memória. As interações do indivíduo com o mun-do possibilitam-lhe relacionar fatos, estruturar idéias e organizar informações, inter-nalizando-os.

Por meio de experiências pessoais bem-sucedidas, o aluno desenvolve o gos-to pela descoberta, a coragem para enfrentar desafios e para vencê-los, desenvolven-do conhecimentos na direção de uma ação autônoma. Porém, como afirmava Igná-tiev, ainda no ano de 1911, "a independência mental, a reflexão e a criatividade não podem ser metidas em nenhuma cabeça", sendo seguros apenas os resultados dos casos em que a introdução no campo da matemática ocorrer de forma prazerosa, "ba-seando-se em objetos e exemplos do ambiente cotidiano, selecionados com a criativi-dade e interesse correspondentes" (IGNÁTIEV, 1986). Nessa concepção de aprendi-zagem, o material concreto tem fundamental importância, pois, a partir de sua utiliza-ção adequada, os alunos ampliam sua concepção sobre o que é, como e para que a-prender matemática, vencendo os mitos e preconceitos negativos, favorecendo a a-prendizagem pela formação de idéias e modelos.

Assim, as atividades realizadas em um LEM estão voltadas para o desenvol-vimento de conhecimentos matemáticos e a formação geral do aluno, auxiliando-o a: i. Ampliar sua linguagem e promover a comunicação de idéias matemáticas; ii. Adquirir estratégias de resolução de problemas e de planejamento de ações; iii. Desenvolver sua capacidade de fazer estimativas e cálculos mentais; iv. Iniciar-se nos métodos de investigação científica e na notação matemática; v. Estimular sua concentração, perseverança, raciocínio e criatividade; vi. Promover a troca de idéias através de atividades em grupo; vii. Estimular sua compreensão de regras, sua percepção espacial, discriminação visual e a formação de conceitos.

Em razão das características socioeconômicas da nossa população, um dos grandes desafios enfrentados pelos pesquisadores que atuam à frente de LEMs com-preende a socialização dos resultados de seus trabalhos. Nossa experiência pessoal aponta para a possibilidade de produção e de massificação de materiais de baixo cus-to e grande potencial didático, dentro de padrões de segurança que não coloquem em risco o seu usuário, com um acabamento que torne as atividades a serem realizadas agradáveis aos sentidos, contribuindo para formação do senso estético e direcionan-do a atenção e a percepção para os aspectos cognitivos a serem trabalhados.

Para exemplificar a potencialidade de recursos simples na promoção de ativi-dades didáticas em um LEM, apresentamos algumas sugestões, aqui descritas de mo-do sucinto, cujos objetivos e uso em sala de aula poderão ser encontrados com deta-lhes nos textos já publicados (REGO & REGO, 1999a, 1999b, 2004; REGO, RE-GO & GAUDENCIO JR., 2003) ou em vias de publicação pela equipe do LEPAC. É


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importante lembrar que os roteiros de sugestão de uso de qualquer recurso instrumen-tal devem ser vistos como possíveis caminhos que poderão ou deverão ser reestrutu-rados de acordo com as especificidades dos alunos e dos conhecimentos a serem de-senvolvidos, e não como receituários, seguidos fielmente sem a promoção de refle-xões.

A primeira atividade, intitulada estudo de quadriláteros (RÊGO & REGO, 1999a), demanda apenas papel (ofício, de revistas, jornal etc.), cola e tesoura. Suge-rimos que seja desenvolvida no estudo de quadriláteros, sendo indicada para alunos de todas as séries da educação básica. O que deverá variar, em cada caso, são as exi-gências formais envolvidas, no que trata da análise das propriedades das figuras ob-tidas e na nomenclatura apresentada, com menos ou mais rigor, dependendo do nível da turma e dos objetivos a serem alcançados. O procedimento a ser adotado inicia-se com o corte de algumas tiras de papel com aproximadamente 30 cm de comprimento e 4cm de largura. Depois de recortadas, colar as tiras formando cada uma um anel comum, como indicado na figura 1.

Iniciar a discussão questionando aos alunos o que acontece quando cortamos um desses anéis ao meio, ao longo da linha pontilhada, como indicado na figura l (o pontilhado não precisa ser feito, na ilustra-ção serve apenas para indicar onde deverá ser realiza-do o corte). Depois de feitas as previsões, cortar o anel e conferir o resultado.

Em seguida, colar dois anéis iguais ao pri-meiro, com mesmo diâmetro e largura, um perpendi-cular ao outro, como indicado na figura 2, estimando o que acontece quando cortarmos ao meio os dois anéis colados, como feito no anel da questão inicial. Verificar o resultado obtido confrontando-o com as hipóteses levantadas.

Vale notar que, quando o primeiro anel é cor-tado, o conjunto fica semelhante a uma algema (uma tira com duas argolas, uma em cada extremidade). Em seguida, cortar a tira ao meio, pois esta cor-responde a uma das argolas que estavam inicialmen-te coladas. Os alunos poderão em seguida investigar: i. Que modificações devem ser feitas (no tamanho dos anéis ou na forma de colá-los) para que o resultado seja um losango (não quadrado)? ii. Que modificações devem ser feitas (no tamanho dos anéis ou na forma de colá-los) para que o resultado seja um retângulo (não quadrado)? iii. Como devem ser os anéis, e como colá-los, para que o resultado seja um paralelo-gramo (não quadrado)?

Outras investigações podem ser feitas: i. Colar três anéis de mesmo tamanho, cada um perpendicular ao seguinte e cortar os três ao meio, tentando estimar e verificando o resultado;


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ii. Colar três anéis de tamanhos diferentes, dispostos entre si como no caso anterior, ou três iguais colados inclinados um em relação ao outro, estimando e verificando os resultados, entre outras.

Solicitar aos alunos que façam um pequeno relatório ou tabela, descrevendo a dimensão dos anéis (se todos são de mesmo tamanho ou não); a quantidade de anéis utilizada em cada caso; como estavam colados uns em relação aos outros (se perpen-diculares, inclinados etc.) e os resultados obtidos. Dependendo do nível da turma, os alunos podem analisar e explorar os elementos das figuras obtidas, suas definições e interseções entre estas como, por exemplo, concluindo que todo quadrado é um re-tângulo, embora o contrário não aconteça. Essa atividade enseja oportunidade de abordar de maneira intuitiva questões relativas aos quantificadores universais e exis-tenciais e de suas negações; levar o aluno a diferenciar o que é uma definição e um conceito, bem como o desenvolvimento de atitudes como ver a matemática como um conhecimento social, em permanente processo de construção. Após cada ativi-dade, além do registro e da busca de associação do conhecimento desenvolvido den-tro da linguagem, abre-se um espaço para discutir as habilidades que estão sendo desenvolvidas com a realização e reflexão sobre ela.

Ainda em geometria, sugerimos para a confecção de esqueletos de poliedros, que poderão ser explorados posteriormente no estudo de propriedades de sólidos, planos de simetria, Teorema de Euler, dentre outros, o uso de grampos pequenos de cabelo (de metal, comuns) e canudos de refrigerante. O processo de confecção dos poliedros é bastante simples e as vantagens do material são muitas: baixo custo, faci-lidade de uso, rapidez do processo e possibilidade de reaproveitamento do material. O número de canudos utilizados em um poliedro será igual a seu número de arestas e o número de grampos será igual à soma do número de arestas que convergem para ca-da vértice do sólido. Acompanhe o seguinte exemplo, com a construção do esqueleto de um tetraedro (pirâmide de base triangular) regular, para o qual iremos precisar de seis canudos e doze grampos de cabelo. Inicialmente prender cada grupo de três grampos entre si, formando quatro sistemas de articulação, como indicado na ilustra-ção do centro na figura 3.

Depois de prontas as articulações, inserir a parte ondulada dos grampos no in-terior dos canudos (ilustração da direita na figura 3), correspondendo a cada con-junto de três grampos um vértice do tetraedro. Este poderá ser posteriormente desmontado e grampos e canudos serem utilizados na construção de outros poliedros, modificando-se a quantidade de canudos e/ou a quantidade de grampos em cada sistema de articulações, de acordo com a necessidade.

Nesse caso, como em qualquer caso de construção de esqueletos de poliedros, a rigidez da figura dependerá da forma de suas faces: se apenas


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triangulares a figura será rígida, caso contrário ficará flexível. Os grampos de cabelo poderão ainda ser substituídos por clipes de papel de tamanho adequado, isto é, com largura igual ao diâmetro interno do canudo, onde eles serão inseridos após serem agrupados entre si, de modo semelhante aos grampos.

Em cursos de formação inicial ou continuada, uma experiência interessante consiste em dividir a turma em grupos, cada um deles produzindo esqueletos de poliedros utilizando um material específico (canudos de refrigerante e grampos de cabelo, clipes de papel, barbante, fita adesiva, arame ou outros, e conexões feitas com borracha de soro e canudos de churrasco ou pirulito. Ver foto 1), conversando, depois, sobre as vantagens e desvantagens de cada um dos materiais empregados, referentes a custo, disponibilidade local dos insumos, tempo de elaboração, riscos de acidentes no processo, durabilidade, resistência, direcionamento para os objetivos cognitivos programados e resultados estéticos.

Dentre os diversos materiais didáticos que "evoluíram" no LEPAC

destacamos o Geoespaço, aqui exemplificando o processo de constante aperfeiçoamento de nosso acervo, visando criar ou adaptar kits existentes à realidade das escolas, considerando, como já afirmamos, objetivos, potencialidade e limitações, custo, durabilidade, resistência, segurança e apresentação. Baseado em um material sugerido para a construção e o estudo de prismas e pirâmides em uma publicação de uma mostra de materiais concretos para o ensino de matemática, realizada em Madrid em 1958 (ADAM, 1958), desenvolvemos um modelo de fácil confecção e uso.


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Simplificamos o modelo apresentado utilizando uma base de madeira, quatro cantoneiras que dão sustentação a uma placa quadrada de acrílico transparente de 4 mm. Nos dois planos (base de madeira e placa de acrílico) são traçadas malhas quadriculadas semelhantes, com quadrados de 3 cm de lado, em cujos vértices são fixados pequenos ganchos de cobre, utilizados pela indústria de mobiliário (e facilmente encontrados em casas de ferragens). Os esqueletos dos sólidos são construídos com ligas de borracha, presas entre os ganchos dos dois planos, delimitados por ligas que formam polígonos nas duas malhas quadriculadas (ver exemplo na foto 2).

Um simples deslocamento de um dos polígonos e das borrachas correspondentes possibilita a rápida transformação de um prisma reto em um prisma oblíquo de mesma base, tendo-se a visualização das vistas do poliedro facilitada pela transparência do acrílico, assim como a identificação e compreensão dos elementos que caracterizam um determinado tipo de sólido. O modelo pode ser desmontável, facilitando o seu transporte e armazenamento.

Os dois últimos recursos apresentados, além da grande versatilidade, possibilitam trabalhar com geometria espacial em sala de aula com modelos tridimensionais, evitando-se recorrer apenas a figuras planas (no quadro ou livro) com representações de sólidos para tal. O desenvolvimento de habilidades específicas, como a percepção espacial, a visualização de cortes e planos de simetria, relações entre volumes, entre outras, requer a realização de atividades voltadas para esses fins, preferencialmente iniciando-se com mate-riais presentes no cotidiano do aluno, a exemplo de uma eoleção de embalagens diversas, e


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posteriormente ampliando-se o estudo dos sólidos geométricos por meio das figuras obtidas com os canudos ou no Geoespaço, na direção da representação destes no plano. Os recursos apresentados nas fotos seguintes, descritos de modo sucinto, indicam a possibilidade de concretização de ideias criativas para um LEM, facilmente reprodutíveis, sem demandar custos financeiros de grande monta.

O material da foto 3 é utilizado para substituir os blocos lógicos, nas diversas atividades possíveis de serem realizadas com esse material, sendo socialmente mais significativo e rico em termos de propriedades gerais, o que amplia consideravelmente as categorias para classificação em subconjuntos, entre outras vantagens.

Na foto 4, temos dois jogos para as séries iniciais, um compreendendo uma trilha com círculos concêntricos feita com uma base descartável para bolo e outro uma mancala12 com copos de iogurte.

Na foto 5, temos um jogo de pares, feito com potes para filmes fotográficos, com materiais semelhantes em seu interior (dois potes cheios até a metade com areia, dois outros com arroz, dois com clipes de papel, etc.) que, depois de misturados, devem ser separados pelos alunos em pares, identificados pela semelhança do som que produzem. Estimulam, além do trabalho com a idéia de par e a classificação de elementos sonoros, a concentração e a prática da auto-avaliação, uma vez que o próprio aluno pode, abrindo as tampas, conferir se suas respostas estão

12 Mancala é um jogo de tabuleiro de origem africana, com mais de quatro mil anos, e que apresenta inúmeras variantes. As regras podem ser encontradas na internet ou em livros sobre jogos.


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corretas. As roletas, confeccionadas em EVA e tampas de potes de mostarda ou ketchup, ou com tampas plásticas circulares, substituem com eficiência os dados comuns, podendo ser numeradas de acordo com as necessidades específicas de uma atividade. O terceiro e último material da foto é produzido em EVA e restos de espirais de encadernação, compreendendo um quebra-cabeça com peças articuladas que, quando dobrado, pode gerar figuras de diversas formas, que podem ser classificadas pelos alunos de acordo com o número de lados, concavidade ou convexidade, ângulos internos, número de diagonais, entre outros.

Na foto 6 um bingo feito com garrafas PET de diferentes tamanhos transforma-se em um atraente material para a prática do cálculo mental em sala de aula. O ábaco aberto, com base em EVA, pinos em lápis marcadores para quadro-branco e argolas de bases fixadoras de tampas de garrafas PET (de refrigerante ou água mineral) pode ser usado na representação e leitura de números na base

dez, destacando-se as características de nosso sistema de numeração, a exemplo do valor posicional.

É importante frisar que a utilização de todo e qualquer recurso didático exige cuidados básicos por parte do professor, entre os quais destacamos: i. Dar tempo para que os alunos conheçam o material (inicialmente é importante

que os alunos o explorem livremente); ii. Incentivar a comunicação e troca de ideias, além de discutir com a turma os

diferentes processos, resultados e estratégias envolvidos; iii. Mediar, sempre que necessário, o desenvolvimento das ati-vidades por meio de

perguntas ou da indicação de materiais de apoio, solicitando o registro individual ou coleti-vo das ações realizadas, conclusões e dúvidas;

iv. Realizar uma escolha responsável e criteriosa do material; v. Planejar com antecedência as atividades, procurando conhecer bem os recursos a

serem utilizados, para que possam ser explorados de forma eficiente, usando o bom senso para adequá-los às necessidades da turma, estando aberto a sugestões e modificações ao longo do processo, e

vi. Sempre que possível, estimular a participação do aluno e de outros professores na confecção do material.

Alguns princípios a serem promovidos em sala de aula, defendidos por Irene Albuquerque (1951), dentre os quais, possibilitar variadas experiências de ensino relativas a um mesmo conceito matemático; atribuir significado para a aprendizagem; criar situações para que o aluno redescubra padrões, regras e relações e "criar um ambiente agradável em torno do ensino de matemática, promovendo o sucesso e evitando o fracasso", são facilitados no espaço de um LEM.


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Tais princípios, desenvolvidos em todos os níveis de ensino, deverão estar teoricamente bem fundamentados, baseados em um profundo conhecimento dos conteúdos matemáticos, dos resultados de pesquisas, da elaboração, estudo e confecção de recursos didáti-cos e na execução de projetos envolvendo escolas da região, o que possibilita uma permanente avaliação qualitativa do trabalho realizado.

Finalizamos defendendo a importância de um LEM em escolas de educação básica e em instituições superiores envolvidas em cursos de formação de professores, considerando em especial o grande distanciamento entre a teoria e a prática, hoje ainda predominante nas salas de aula em todos os níveis de ensino; a baixa conexão entre os conteúdos de matemática e destes com as aplicações práticas do dia-a-dia e a necessidade de promoção do desenvolvimento da criatividade, da agilidade e da capacidade de organização do pensamento e comunicação de nossos alunos.

Referências bibliográficas do texto ADAM, P. Puig (1958). El material didático matemático actual. Madrid, Espanha, Inspeccion Central de Ensenanza Media. ALBUQUERQUE, Irene de (1951). Metodologia da matemática. Rio de Janeiro, Conquista. BEZERRA, Manoel Jairo (1962a). Recreações e material didático de matemática. Rio de Janeiro. ________ . (1962b). O material didático no ensino de matemática. Rio de Janeiro, MEC/Caderno CEDES. GROSSNICKLE, F.E. &BftUECKNER,Leo J. (1965). O ensino da aritmética pela compreensão. Rio de Janeiro, Fundo de Cultura. IGNÁTIEV, E.I. (1986). En el reino dei ingenio. Moscou, Mir. REGO, Rogéria G. & REGO, Rômulo M. (2004). Matematicativa. 3. ed. João Pessoa, EdUFPb. ________ (1999a). Matematicativa II. João Pessoa, EdUFPb. _________ . (1999b). Figuras mágicas. João Pessoa, EdUFPb. REGO, Rogéria G.; REGO, Rômulo M. & GAUDENCIO JR., Severino (2003). A geometria do origami. João Pessoa, EdUFPb.

Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos AlternativosProf. Helder Filho

3. OFICINA DE

ou através de livros didáticos. Quando se trata de figuras planas esse método não representa grande dificudade pmesmo não se pode dizer quando se deseja ensinar os elementos da geometria espacial. Portanto, neste material, sugiro a utilização de canudos de refrigerante na montagem de estruturas geométricas, como a mostrada na

figura ao lado.

são as arestas e os vértices dos sólidos.A estrutura mais simples para se montar é a

do tetraedro (poliedro de quatro farestas e 4 vértices. Na figura ao lado notacada aresta do tetraedro corresponde a um canudo. Portanto, para montá-lo será necessário dispor de 6 canudos de refrigerante.

tro pode parecer algo complcado a princípio, mas essa tarefa ficará mais fácil depois de algmas tentativas.

base (alicerce), que é um triângulo. Se o tetraedro é triângulo deverá ser equilátero. A constrsandodos.

Depois de passar o barbante pelos canudos pasa-se novamente pelo primeiro canudo da jeito não será preciso dar um nó, ai

Concluída esta etapa temos a estrutura como mostrada na figura ao lado. Assim já podemos levantar o tetraedro, que também é uma pirâmide de base triagular.

Pegamos a ponta do barbante que acabamos de passar pelo canudo da base e passamos por dois ou

Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos AlternativosProf. Helder Filho - [email protected]

OFICINA DE GEOMETRIA COM CANUDOS

A geometria é, freqüentemente, ensinada no quadro negro ou através de livros didáticos. Quando se trata de figuras planas esse método não representa grande dificul-dade para o aprendizado da criança. Mas o mesmo não se pode dizer quando se deseja

sinar os elementos da geometria espacial. Portanto, neste material, sugiro a utilização de canudos de refrigerante na montagem de estruturas geométricas, como a mostrada na

Pode-se ensinar geometria espacial por itermédio da montagem de sólidos, em que a criança recorta um desenho numa folha de cartolina e, atrvés de dobraduras e colagem, monta um sólido gemétrico. Porém, a atividade que é proposta aqui, lém de possibilitar que a criança construa e"brinque" com a geometria espacial, tovisualização de alguns elementos que com cartolina são menos notados. Estes elementos

são as arestas e os vértices dos sólidos. a mais simples para se montar é a

do tetraedro (poliedro de quatro faces) que possui 6 arestas e 4 vértices. Na figura ao lado nota-se que

edro corresponde a um canudo. lo será necessário dispor de 6

Ligar um canudo ao ou-tro pode parecer algo compli-cado a princípio, mas essa tarefa ficará mais fácil depois de algmas tentativas.

Para começar a construção da estrutura devebase (alicerce), que é um triângulo. Se o tetraedro é triângulo deverá ser equilátero. A construção da base começa pasando-se o barbante por três canu-

Depois de passar o barbante pelos canudos pas-se novamente pelo primeiro canudo da fileira. Desse

jeito não será preciso dar um nó, ainda. Concluída esta etapa temos a estrutura como

mostrada na figura ao lado. Assim já podemos levantar tetraedro, que também é uma pirâmide de base trian-

Pegamos a ponta do barbante que acabamos de passar pelo canudo da base e passamos por dois outros canudos.

Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos

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GEOMETRIA COM CANUDOS

A geometria é, freqüentemente, ensinada no quadro negro ou através de livros didáticos. Quando se trata de figuras planas

se ensinar geometria espacial por in-tagem de sólidos, em que a criança

recorta um desenho numa folha de cartolina e, atra-vés de dobraduras e colagem, monta um sólido geo-métrico. Porém, a atividade que é proposta aqui, a-

e possibilitar que a criança construa estruturas e "brinque" com a geometria espacial, torna possível a visualização de alguns elementos que na atividade

nos notados. Estes elementos

cado a princípio, mas essa tarefa ficará mais fácil depois de algu-

Para começar a construção da estrutura deve-se iniciar pela base (alicerce), que é um triângulo. Se o tetraedro é regular então o

ção da base começa pas-


Em seguida passamos o barbante por mais um canudo da base. A ponta sairá na outra extremidade e poderemos passá

Assim como fizemos para fechar o triângulo da base, faremos para fechar o ttraedro. Ou seja, passaremos na figura. Para que a estrutura fique bem firme é interessante passar o barbante duas vezes pelo mesmo canudo.

Com isso as extremidades adjacentes dos canudos ficarão conectadas. Em vez de usar barbante para unir os canudos podelar.

Outro poliedro que pode ser montado é o cubo (hexaedro). Ele tem 6 faces e 12 arestas, necessitando, assim, de 12 canudos. Porém a estrutura não ficará estável, ou seja, ela não fica de pé facilmente. Sendo preciso fazer várias conexões entre os vértices opostos.

Já a pirâmide de base quadrada fica de pé, mas se manuseada ela pode deformarse. Para construí-la serão necessários 8 canudos.

3.1. Construindo um Dodecaedro com CanudosUm dodecaedro é um poliedro regular de 12 faces, e cada face é um pentágono

de lado l. Como cada pentágono possui 5 vértices, teríamos 5·12 = 60 vértices. Mas pdemos perceber que três pentágonos compartilham o memo vértice, resultando em 60/3 = 20 vértices ao

O mesmo procedimento é utilizado para as arestas: temos 5 arestas em cada pentágono, o que resultaria em 5·12 = 60 arestas no dodecaedro. Contudo, notamos que dois pentágonos são ligados pela mesma aresta. Assim tremos 60/2 = 30 arestas neste sólid

Há muitas maneiras de se construir um dodecaedro. Porém um jeito que achei mais interessante é através da


Em seguida passamos o barbante por mais um canudo da base. A ponta sairá na outra extremidade e poderemos passá-la pelo último canudo.

Assim como fizemos para fechar o triângulo da base, faremos para fechar o ttraedro. Ou seja, passaremos mais uma vez o barbante por dentro do canudo mostrado na figura. Para que a estrutura fique bem firme é interessante passar o barbante duas

Com isso as extremidades adjacentes dos canudos ficarão conectadas. Em vez de para unir os canudos pode-se usar bolinhas de isopor ou massa de mod

Outro poliedro que pode ser montado é o cubo (hexaedro). Ele tem 6 faces e 12 arestas, necessitando, assim, de 12 canudos. Porém a estrutura não ficará estável, ou

a de pé facilmente. Sendo preciso fazer várias conexões entre os vértices

Já a pirâmide de base quadrada fica de pé, mas se manuseada ela pode deformarla serão necessários 8 canudos.

Construindo um Dodecaedro com Canudos ecaedro é um poliedro regular de 12 faces, e cada face é um pentágono

. Como cada pentágono possui 5 vértices, teríamos 5·12 = 60 vértices. Mas pdemos perceber que três pentágonos compartilham o mes-

60/3 = 20 vértices ao todo. O mesmo procedimento é utilizado para as arestas:

temos 5 arestas em cada pentágono, o que resultaria em 5·12 = 60 arestas no dodecaedro. Contudo, notamos que dois pentágonos são ligados pela mesma aresta. Assim te-remos 60/2 = 30 arestas neste sólido.

Há muitas maneiras de se construir um dodecaedro. Porém um jeito que achei mais interessante é através da


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Em seguida passamos o barbante por mais um canudo da base. A ponta sairá na

Assim como fizemos para fechar o triângulo da base, faremos para fechar o te-mais uma vez o barbante por dentro do canudo mostrado

na figura. Para que a estrutura fique bem firme é interessante passar o barbante duas

Com isso as extremidades adjacentes dos canudos ficarão conectadas. Em vez de se usar bolinhas de isopor ou massa de mode-

Outro poliedro que pode ser montado é o cubo (hexaedro). Ele tem 6 faces e 12 arestas, necessitando, assim, de 12 canudos. Porém a estrutura não ficará estável, ou

a de pé facilmente. Sendo preciso fazer várias conexões entre os vértices

Já a pirâmide de base quadrada fica de pé, mas se manuseada ela pode deformar-

ecaedro é um poliedro regular de 12 faces, e cada face é um pentágono . Como cada pentágono possui 5 vértices, teríamos 5·12 = 60 vértices. Mas po-


estrutura montada com canudos de refrigerante. De início se nota que cada aresta coresponderá a um canudo, ou seja, 30 canudos. Todavia, dusa para unir estes canudos, a estrutura não ficará estável e o seu dodecaedro poderá virar um "tortaedro".Eu usei barbante passando pelos canudos para construir a estrutura. Mas, para a estrutra ficar firme, precisei ligar todos os véna figura.

Para essa brincadeira precisei de mais 20 canudos! Um para cada vértice. Ao tdo será necessário usar 50 canudos e muito barbante. Contudo, os canudos têm comprmentos diferentes. Veja a figura:

A construção começa pela base, que é um pentágono, e depois levantamos a prâmide. Mas não é uma pirâmide qualquer, pois o dodecaedro deverá ter no fim do prcesso 12 pentágonos iguais, e para que isso ocorra esta pirâmide deverá ter uma altura específica.

Através das características do pentágono podemos encontrar a apótema

tância b do centro ao vértice do pentágono.

Depois de alguma álgebra é possível concluir que a altura

Lembre-se que l é o lado do pentágono, e também o com

que formam as arestas. Por fim, utilizando Pitágoras, encontramos o comprimento dos canudos que ligarão os vértices como sendo de 1,4·dodecaedro de arestas medindo 20 cm, então os canudos internos d= 28 cm.

3.2. Lista de materiais30 canudos de comprimento

para a estrutura interna; no mínimo um barbante de comprimento 116·a duas passadas em cada canudo; e muita paci

Em seguida são apresentados alguns poliedros que podem ser construídos com canudos:


estrutura montada com canudos de refrigerante. De início se nota que cada aresta coresponderá a um canudo, ou seja, 30 canudos. Todavia, dependendo do método que se usa para unir estes canudos, a estrutura não ficará estável e o seu dodecaedro poderá virar um "tortaedro".Eu usei barbante passando pelos canudos para construir a estrutura. Mas, para a estrutra ficar firme, precisei ligar todos os vértices ao centro do dodecaedro, como mostrado

Para essa brincadeira precisei de mais 20 canudos! Um para cada vértice. Ao tdo será necessário usar 50 canudos e muito barbante. Contudo, os canudos têm comprmentos diferentes. Veja a figura:

nstrução começa pela base, que é um pentágono, e depois levantamos a prâmide. Mas não é uma pirâmide qualquer, pois o dodecaedro deverá ter no fim do prcesso 12 pentágonos iguais, e para que isso ocorra esta pirâmide deverá ter uma altura

avés das características do pentágono podemos encontrar a apótema

do centro ao vértice do pentágono.

Depois de alguma álgebra é possível concluir que a altura h da pirâmide vale:

é o lado do pentágono, e também o comprimento dos canudos que formam as arestas. Por fim, utilizando Pitágoras, encontramos o comprimento dos canudos que ligarão os vértices como sendo de 1,4·l, ou seja, se você for construir um dodecaedro de arestas medindo 20 cm, então os canudos internos deverão medir 1,4·20

Lista de materiais 30 canudos de comprimento l para as arestas; 20 canudos de comprimento 1,4·

para a estrutura interna; no mínimo um barbante de comprimento 116·l, que corresponde a duas passadas em cada canudo; e muita paciência.

Em seguida são apresentados alguns poliedros que podem ser construídos com


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estrutura montada com canudos de refrigerante. De início se nota que cada aresta cor-o do método que se

usa para unir estes canudos, a estrutura não ficará estável e o seu dodecaedro poderá virar um "tortaedro". Eu usei barbante passando pelos canudos para construir a estrutura. Mas, para a estrutu-

rtices ao centro do dodecaedro, como mostrado

Para essa brincadeira precisei de mais 20 canudos! Um para cada vértice. Ao to-do será necessário usar 50 canudos e muito barbante. Contudo, os canudos têm compri-

nstrução começa pela base, que é um pentágono, e depois levantamos a pi-râmide. Mas não é uma pirâmide qualquer, pois o dodecaedro deverá ter no fim do pro-cesso 12 pentágonos iguais, e para que isso ocorra esta pirâmide deverá ter uma altura

avés das características do pentágono podemos encontrar a apótema a e a dis-

da pirâmide vale:

primento dos canudos que formam as arestas. Por fim, utilizando Pitágoras, encontramos o comprimento dos

, ou seja, se você for construir um everão medir 1,4·20

para as arestas; 20 canudos de comprimento 1,4·l, , que corresponde

Em seguida são apresentados alguns poliedros que podem ser construídos com


Pirâmide de base quadrada

5 faces, 5 vértices, 8 arestas e 8 canudos.

Decaedro


Para finalizar, a título de curiosidade, o teorema de Euler sobre poliedros pode ser uma brincadeira interessante. Segundo este teorema, se pegarmos um poliedro de remos a seguinte relação: FMas, será que funciona mesmo? Vamos ver: Tetraedro: F = 4, V = 4, A = 6:Pirâmide de base quadrada: Cubo: F = 6, V = 8, A = 12: Octaedro: F = 8, V = 6, A = 12: Decaedro: F = 10, V = 7, A Dodecaedro: F = 12, V = 20, Icosaedro: F = 20, V = 12, A

3.3. Atividade 1: Construção de um tetraedro regularMaterial a ser utilizado: Ø Um metro de linha nº 10;


Pirâmide de base quadrada

Pirâmide de base penta-gonal

Octaedro

5 faces, 5 vértices, 8 arestas e 6 faces, 6 vértices, 10 ares-tas e 10 canudos.


Dodecaedro

Icosaedro

10 faces, 7 vértices, 15 arestas 12 faces, 20 vértices, 30 arestas e 50 canudos (30

das arestas e 20 dos vérti-ces).

20 faces, 12 vértices, 30 arestas e 30 canudos

Para finalizar, a título de curiosidade, o teorema de Euler sobre poliedros pode ser uma

Segundo este teorema, se pegarmos um poliedro de F faces, V vértices e F + V – A = 2.

funciona mesmo? Vamos ver: = 6: F+V-A = 4+4-6 = 2;

Pirâmide de base quadrada: F = 5, V = 5, A = 8: F+V-A = 5+5-8 = 2; = 12: F+V-A = 6+8-12 = 2;

= 12: F+V-A = 8+6-12 = 2; = 15: F+V-A = 10+7-15 = 2;

= 20, A = 30: F+V-A = 12+20-30 = 2; A = 30: F+V-A = 20+12-30 = 2.

Atividade 1: Construção de um tetraedro regular

º 10;


40

Octaedro

es, 6 vértices, 12 arestas e 12 canudos.

Icosaedro


Para finalizar, a título de curiosidade, o teorema de Euler sobre poliedros pode ser uma

vértices e A arestas, te-

Atividade 1: Construção de um tetraedro regular


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Ø Seis pedaços de canudo de mesma cor e comprimento (sugiro 8 centímetros). Tome o fio de linha, passe-o através de três pedaços de canudo, construindo um triângulo e o feche por meio do um nó. Agora, passe o restante da linha por mais dois pedaços de canudo, juntando-os e formando mais um triângulo com um dos lados do primeiro triângulo. Finalmente, passe a linha por um dos lados desse triângulo e pelo pedaço que ainda resta, fechando a estrutura com um nó. Essa estrutura representa as arestas de um tetraedro regular e as etapas intermediárias de sua construção estão representadas abaixo:

Nas construções das estruturas é importante observar que, para se dar firmeza aos vértices de uma estrutura, é necessário reforçá-los passando o fio de linha mais de uma vez por cada pedaço de canudo, ligando-o aos outros dois. Observe a figura abaixo:

3.4. Atividade 2: Construção de um octaedro regular

Material a ser utilizado: Ø Dois metros de linha nº 10; Ø Doze pedaços de canudo de mesma cor e comprimento (novamente sugiro a medida de 8 centímetros). Com pedaços de canudos e o fio de linha, construa quatro triângulos e os uma, dois a dois, conforme o esquema apresentado abaixo:


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3.5. Atividade 3: Construção de um icosaedro regular Material a ser utilizado: Ø Três metros de linha nº 10; Ø Trinta pedaços de canudo de mesma cor e comprimento (sugiro a medida de 7 centí-metros). Construa quatro triângulos seguindo o esquema abaixo e os una obtendo uma pirâmide regular de base pentagonal, como a desenhada na figura b (abaixo). Repita essa construção, obtendo mais uma pirâmide. Una cada uma das pirâmides através dos vértices das bases, por meio de pedaços de canudos, de tal forma que em cada vértice se encontrem cinco canudos.

3.6. Atividade 4: Construção de um cubo e de suas diagonais

Material a ser utilizado: Ø Dois metros de linha nº 10; Ø Doze pedaços de canudo de mesma cor medindo 8 centímetros cada; Ø Seis pedaços de canudo de mesma cor (cor diferente dos canudos mencionados aci-ma) medindo 11,3 centímetros. Com os doze pedaços de canudo da mesma cor construa um cubo de 8 cm de aresta. Para isso, passe o fio através de quatro canudos e passe a linha novamente por dentro do primeiro canudo, construindo um quadrado. Considerando um dos lados desse quadrado e passando a linha por mais três canudos, construa mais um quadrado. Observe que ainda faltam dois canudos para completar as arestas do cubo. Prenda-os de maneira a completá-lo. Se você não conseguir realizar essa tarefa, observe o esquema abaixo:


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Se você observou que a estrutura construída não tem rigidez própria, pois os seus lados não ficam por si só perpendiculares à superfície da mesa, então é necessário tornar essa estrutura rígida. Nesse processo, notamos que se construirmos triângulos nas faces dessa estrutura ou no seu interior, ela se enrijecerá. Dando continuidade a esse raciocínio, sugiro a seguinte tarefa: com os seis pedaços de canudo de cor diferente (11,3 centímetros), construa uma diagonal em cada face, de moda que em cada vértice que determina a diagonal cheguem mais duas diagonais. Que estrutura você construiu? Observe a figura abaixo:


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4. APROXIMAÇÃO TEÓRICA À REALIDADE DO JOGO13

Jesus Paredes Ortiz14

4.1. Introdução O jogo está intimamente ligado à espécie humana. A atividade lúdica é tão

antiga quanto a humanidade. O ser humano sempre jogou, em todas as circunstâncias e em todas as culturas. Desde a infância, joga às vezes mais, às vezes menos e, através do jogo, aprendeu normas de comportamento que o ajudaram a se tornar adulto; portanto, aprendeu a viver. Atrevo-me a afirmar que a identidade de um povo está fielmente ligada ao desenvolvimento do jogo, que, por sua vez, é gerador de cultura.

O jogo é um fenômeno antropológico que se deve considerar no estudo do ser humano. É uma constante em todas as civilizações, esteve sempre unido à cultura dos povos, à sua história, ao mágico, ao sagrado, ao amor, à arte, à língua, à literatura, aos costumes, à guerra. O jogo serviu de vínculo entre povos, é um facilitador da comunicação entre os seres humanos.

Entretanto, ele não era bem-visto pela pedagogia tradicional; a educação e o jogo não eram considerados bons aliados. Apesar disso, as crianças aprendem jogando, já que fazem da própria vida um jogo constante. Felizmente, a posição da pedagogia atual converteu "o princípio do jogo ao trabalho" (Marin, 1982) em máxima da didática infantil. O jogo deve ser utilizado como meio formativo na infância e na adolescência. A atividade lúdica é um elemento metodológico ideal para dotar as crianças de uma formação integral.

Alguns teóricos (Huizinga, 1938; Gruppe, 1976; Cagigal, 1979; Moor, 1981; Blanchard e Cheska, 1986) classificam-no como elemento antropológico fundamental na educação. Sob este ponto de vista, o jogo potencializa a identidade do grupo social. Contribui para fomentar a coesão e a solidariedade do grupo e, portanto, favorece os sentimentos de comunidade. Aparece como mecanismo de identificação do indivíduo e do grupo. "Jogar não é estudar nem trabalhar, mas, jogando, a criança aprende a conhecer e a compreender o mundo social que a cerca" (Ortega, 1990).

Dessa forma, a criança aprende valores humanos e éticos destinados à formação integral de sua personalidade e ao desenvolvimento motor e intelectual. O jogo, portanto, é um caminho para a solução defendida por Einstein (1981): "A supervalorização do intelectual em nossa educação, dirigida à eficácia e à praticidade, prejudicou os valores éticos".

O ensino deve favorecer uma participação mais ativa por parte da criança no processo educativo. Deve-se estimular as atividades lúdicas como meio pedagógico que, junto com outras atividades, como as artísticas e musicais, ajudam a enriquecer a personalidade criadora, necessária para enfrentar os desafios na vida. Para qualquer aprendizagem, tão importante como adquirir, é sentir os conhecimentos. "O verdadeiro valor do jogo reside na quantidade de oportunidades que oferece para que a educação possa ser levada a cabo" (Gruppe, 1976). A esse respeito, Giles Ferry (citado por Bandet

13 Aprendizagem através dos jogos. Organizado por Juan Antonio Moreno Murcia; traduzido por Valério Campos. Porto Alegre: Artmed, 2005. (páginas 9 a 28) 14 Universidade Católica San Antonio de Murcia


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e Abbadie, 1975) acrescenta que, na escola do futuro, não se tratará de adquirir conheci-mentos, mas de aprender a transformar-se, a mudar.

As características do jogo fazem com que ele mesmo seja um veículo de aprendizagem e comunicação ideal para o desenvolvimento da personalidade e da inteligência emocional da criança. Divertir-se enquanto aprende e envolver-se com a aprendizagem fazem com que a criança cresça, mude e participe ativamente do processo educativo. A importância e a necessidade do jogo como meio educativo foi além do reconhecimento e se converteu em um direito inalienável das crianças: "A criança desfrutará plenamente do jogo e das diversões, que deverão estar orientados para finalidades perseguidas pela educação; a sociedade e as autoridades públicas se esforçarão para promover o cumprimento desse direito" (Declaração Universal dos Direitos da Criança, art. 7º).

O jogo deve cumprir duas funções na escola como conteúdo e como finalidade: a educação através do jogo e para o jogo. A aprendizagem, necessária para alcançar o desenvolvimento completo, está continuamente presente, tanto na escola quanto na própria vida. E necessário aprender em todas as etapas da vida para formar de maneira harmónica a personalidade da criança e com ela desenvolver e manter um fio vital de expressão e de entendimento com o mundo que a cerca. Aprender jogando é o primário, o mais simples e natural na criança, já que é o menos traumático. O jogo é a primeira expressão da criança, a mais pura e espontânea, logo, a mais natural. Atendendo a essas duas funções que o jogo deve cumprir, primeiro na vida escolar e depois em sua vida profissional, a criança deve ser protagonista de sua educação (Imeroni, 1980) e jogar por jogar é a primeira disciplina a ser cursada (Feslikenian, 1974).

O jogo é um elemento transmissor e dinamizador de costumes e condutas sociais. Pode ser um elemento essencial para preparar de maneira integral os jovens para a vida. "Seria ideal que o objetivo máximo da educação fosse a felicidade e, então, o jogo teria um papel predominante" (Delgado, 1991). Este objetivo aponta para a busca do equilíbrio vital, a realização pessoal e social. Rojas (1998) vai ainda mais longe e faz uma afirmação tão categórica quanto bela: "A meta do homem na vida é ser feliz".

4.2. Sobre a etimologia do termo jogo Fazendo referência à importância do verdadeiro significado dos termos e sua

aplicação à cultura, encontramos um estudo de Dehoux (1965) que inclui a seguinte citação de Flaubert: "As causas principais dos nossos erros provêm, quase todas, do mau uso das palavras".

Buytendijk (1935) oferece-nos uma análise etimológica da palavra "jogo", tentando deduzir os sinais característicos dos processos a que se refere. Nos fala do "movimento de vaivém" (hind und her bewegung), da espontaneidade, da alegria e do lazer. Diz que a criança distingue muito bem o que é jogo e o que não merece sê-lo.

A palavra jogo aparece como uma simples atividade humana. Aceitou-se com a naturalidade de um simples ato, como comer ou dormir. A complexidade do termo é determinada pela preocupação de explicar melhor a natureza humana. Assim, essa palavra está em constante movimento e crescimento, e faz parte de nossa maneira de viver e de pensar; jogo é sinônimo de conduta humana.

A seguir, mostraremos brevemente a etimologia das palavras que significam jogo em distintas sociedades.


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A raiz do vocábulo jogo aparece em indoeuropeu como *aig-, que significa duvidar, oscilar e mover-se.

O sânscrito possui diferentes raízes para se referir ao conceito de jogo. O termo mais usado é kridati, que descreve o jogo das crianças, dos adultos e dos animais. Serve também para se referir ao agitar do vento e às ondas, podendo se referir, inclusive, a saltos ou à dança em geral. Com significado parecido, há a raiz nrt, que se refere a todo o campo da dança e à representação dramática. Divyati refere-se ao jogo de dardos, por um lado, e, por outro, ao brincar em geral, ao aprontar, ao burlar, ao zombar, mesmo que seu primeiro significado seja jogar fora, relacionando-se também com o termo irra-diar. Na raiz las, de que procede vilasa, juntam-se os significados de irradiar, aparecer repentinamente, soar de novo, vaivém, jogar e estar ocupado ou fazer algo. A raiz lila aparece em lilayati, que significa oscilar, balanço. Assim se expressou o aéreo, o ligeiro, o alegre, o livre e o transcendental do jogo. Além disso, "lila" também é o aparente, a imitação própria do jogo. O ponto semântico comum em todas essas palavras que expressam o conceito jogo parece ser um movimento rápido. Presente também aparece em sânscrito como kliada, com o significado de jogo, alegria.

Em hebraico, aparece, no Antigo Testamento, a forma sahaq. Refere-se ao jogo, mesmo que seu significado primário seja rir, brincar e também dançar e jogar. Em antigo índio, temos a forma éjati e também íngati, que significa algo que se move.

Em chinês, sabemos de palavras mais importantes para se referir à função lúdica: wan, relativo ao jogo infantil; tscheng, para se referir a qualquer jogo competitivo, e sai, competição em que se obtém prémio ou então campeonato, torneio.

Em japonês, utiliza-se o substantivo asobi para se referir a jogo e o verbo asobu, que significa jogar, diversão, distração, excursão, recreação, jogar dardos. As coisas são apresentadas como se as classes superiores sempre se expressassem jogando. Nos idiomas semíticos, o jogo é marcado pela raiz la'ab, que significa jogar; expressão similar é la'at, que é brincar, zombar, rir.

Em árabe, la'iba é jogar em geral, zombar. Também é interessante comprovar o significado de "jogar um instrumento musical", que tem em comum o árabe la’iba com alguns idiomas modernos, os germânicos e o francês em representação dos românicos. O francês é o único idioma românico que utiliza essa forma, o que poderia indicar alguma influência germânica. Em castelhano, com o sentido de tocar, conserva-se em algumas canções tradicionais.

Em hebreu-aramaico, la'ab significa zombar e rir. No gótico, laikan significa jogar e saltar.

Em grego clássico, a palavra mais usada é "παιδια", a qual se refere a jogo, especialmente ao infantil. É da mesma etimologia, mas se diferencia no acento, da palavra "παιδια/παιδεια", cujo significado é infância e educação das crianças. Também se utiliza o termo "παιγνια", que significa jogo, diversão e, com a mesma etimologia, aparece "παιγνιωδησ", não apenas limitada ao jogo infantil, mas também ligada a bom humor e diversão, algo como "criancices". Ainda há:

"παιζω", jogar e "παιγµα e παιγνιον", com referência a todas as formas de jogo e de brinquedos. "αθυρω e αδυρµα" referem-se à ação de jogar, de brincadeira e de diversão. "αγων" é o jogo de competição e luta, mas também se refere aos grandes jogos (é impossível separar a competição no mundo grego do trinômio jogo, festa e ato sagrado). O grego possui uma expressão para o jogo infantil com o sufixo "inda", que


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significa jogar. Por exemplo, as crianças gregas jogam com a bola "σφαιριδα"; com a corda, "ελκυστινδα"; jogo de lançamento, "στρεπτινδα"; brincam de ser rei, "βασιλινδα".

No antigo alemão, utilizava-se o substantivo leich, com referência a jogo, dança e exercícios corporais. No antigo anglo-saxão, lâc e lâcan, jogo, saltar, mover-se, sacrifício, oferenda, presente em geral, um favor e até generosidade. No velho nórdico, leikr, leika, jogo, dança e exercícios físicos.

No holandês antigo, havia três formas de se referir a jogo com os seguintes significados: huweleec, huweleic (contrair matrimonio); feestelijk (festa); vechtelic (combate). No velho frisão: fyuchtleek. A partir do século XII, em antigo eslavo, russo antigo e atual urpá (igrá).

Em antigo escandinavo, eiken (atrevido, selvagem). Em antigo eslavo, russo antigo e atual UGPÁ (igrá). Em ucraniano: RRA (grá); em servo-croata: URRA (igrá). Em bielo-russo: IRRÁ (igrá); em búlgaro: URRA (igrá). Em esloveno: IGRA (igra); em tcheco: HRA (hra). Em eslovaco: HRA (hra); em polonês: GRA (grã). Em húngaro: JÁTEK (játek); em norueguês: spill; em sueco, spel, spelet. Em romeno e catalão: joc; em português e galego: jogo; em basco: jolas, joko. Em italiano: giuoco; em alemão: spilan, movimento rápido e suave como o do

pêndulo, que produz grande prazer; em neerlandês, spel. Em inglês play (jogo, diversão, jogada, brincar, tocar um instrumento); do ponto

de vista semântico, tal expressão origina-se do velho inglês plega, plegan, que significa jogo e jogar. Também significa movimento rápido e tocar um instrumento. Este plegan corresponde exatamente ao plegan do velho alto-alemão e ao plega do alto frisão, de que procedem o alemão pflegen e o holandês plegen (em latim vulgar, plegium). Em inglês, também se utiliza game (jogo, esporte, diversão, passatempo, desafio).

Afirma Corominas (1984) que o vocábulo jogo procede etimologicamente do latim iocus -i (brincadeira, gozação, ligeireza, passatempo, diversão); ioci, jogos, diversões, passatempo. Segundo Huizinga (1952), iocus -i, iocari não designa o verdadeiro sentido do jogo ou o jogo autêntico. Trapero (1971) afirma que jocus significa chiste, brincadeira, diversão. Na Idade Média, essa palavra era usada para se referir ao significado de burla. Têm relação direta com essa palavra: ioculator, jongleur, juglar, significando bardo, cantor, músico e malabarista; corresponde a spielman, homem que joga, músico. Vimos que as línguas germânicas utilizam o verbo jogar para se referir também a tocar algum instrumento musical. No castelhano medieval, aparece yogar com vários sentidos, entre os quais tocar instrumentos.

Para o estudo etimológico, deve-se considerar também ludus -i, vocábulo latino que abarca o campo do jogo, diversão. Ludo, lusi, lusum é o ato de jogar, é o gosto pela dificuldade gratuita, alegria. De onde deriva-se lusus -us, jogo, diversão; e também provém ludicrus, de ludicer -era, -crum, divertido, entretenimento, ou ludicrum -i, jogo público, espetáculo, dando lugar a lúdicro e não-lúdicot mesmo que aceito em castelhano.

Segundo Huizinga, ludus, ludere abarca o jogo infantil, o recreio, a competição, a representação litúrgica e teatral e os jogos de azar. A expressão lares ludentes significa dançar. A base etimológica de ludere seguramente se encontra no que não é


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sério, no simulacro e na trapaça, mais do que no campo do "mover rápido". O próprio autor destaca que o termo que abarca o conceito de |ogo e jogar desaparece, não deixando marca nas línguas românicas.

Segundo o dicionário etimológico do latim (Ernout-Meillet), do vocábulo ludus -i não há apenas palavras indo-européias conhecidas para essa noção; pode se tratar de um termo criado com a instituição, sem dúvida religiosa, que designava, possivelmente de origem etrusca.

Seguir historicamente a evolução fonética da palavra jogo é um trabalho difícil, mas que não impede detectar que todas as línguas românicas ampliaram seus vocábulos iocus, iocari, quando utilizados no campo do jogo e de jogar, permanecendo em um nível menos avançado os termos ludus, ludere. Em castelhano, juego e jugar; em catalão, joc e jogar; em francês, jeu ejouer; em italiano, giuoco e giocare; em português, jogo e jogar; em romeno, joc e juca. Segundo Huizinga, o desaparecimento do termo ludus pode ser devido tanto a causas fonéticas quanto semânticas. Ao mesmo tempo, ao se referir aos termos jogo e jogar, manifesta que a abstração do fenómeno jogo teve lugar em algu-tnas culturas de modo secundário, enquanto a própria função de jogar teve caráter primário.

Em alguns idiomas, designa-se o jogo com apenas um vocábulo; em outros, usa-se mais de um termo. Por exemplo, em inglês usa-se play para se referir ao jogo como atividade pouco codificada, espontânea e, por vezes, turbulenta, e game quando se alude ao seguimento de uma prática lúdica que se caracteriza por regras estritas.

Corominas (1984) assegura que as primeiras documentações da palavra jogo, com relação às origens idiomáticas, aparecem no Mio Cid e em Gonzalo de Berceo. No Dicionário da Real Academia Espanhola de 1837, aparece juego (ludus), entretenimento, diversão ejugar (ludere), entreter-se, divertir-se com algum jogo, brincar. No Dicionário da Real Academia Espanhola atual, temos juego (iocus), ação e efeito de jogar, passatempo e diversão; exercício recreativo submetido a regras, em que se ganha ou perde; ação deflagrada espontaneamente pela mera satisfação que representa; jugar (iocari), fazer algo com o único propósito de se entreter ou divertir, participar de um jogo.

Os vocábulos juego e jugar têm muitas acepções e interpretações. A palavra juego é empregada com o significado de entretenimento ou diversão e jugar, que significa brincar, se divertir, também pode ser utilizada em sentido figurado, como falta de responsabilidade, fazer algo de modo arriscado, como se depreende da expressão "brincar com fogo"; outras vezes, há conotações eróticas, como no alemão spielen, que significa brincar, formando com ela a palavra spielkin, para se referir aos filhos ilegítimos frutos da brincadeira; como em castelhano, el juego del amor, em outras ocasiões, a relação é com a arte, tanto em inglês quanto em francês: to play the piano, jouer du piano; também se pode empregar com o sentido de se aproveitar ou zombar de alguém, "brincar com uma pessoa", ou como obra de honestidade, "jogar limpo"; ocupar certa posição, "desempenhar um papel imprescindível"; ser um herói, "jogar-se à vida"; para investidores, "jogar na bolsa"; para descrever um ato fácil ou inocente, "brincadeira de crianças"; ajuste de contas, "pôr em jogo"; azucrinação, "era hrincadeirinha"; comportar-se de forma desleal, "jogar"; aventura ou risco, "jogar com a sorte"; drama semilitúrgico, "jogo de Adão"; obras dramáticas e novelas, "jogos de emoções"; lugares para o jogo de bola no México e na Guatemala, "Jogo de bola"; juramento do "Jogo de


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bola", promessa solene feita pelos deputados franceses do Terceiro Estado (23-6-1789); competição poética, "jogos florais".

Houve má familiarização com o termo jogo. Como vimos, foi associado a todo ato de falta de seriedade ou feito de forma leviana; à ideia de luta; também há conotações de tipo erótico, em países germânicos; e, em muitas ocasiões, relaciona-se ao meio artístico e estético.

Como pudemos comprovar, emprega-se o vocábulo tanto no sentido figurado como no direto ou fundamental, o que nos interessa.

Para Petrovski (citado por Elkonin), o significado de "jogo" apresenta algumas diferenças entre povos distintos. Para os gregos antigos, o jogo significava as ações próprias das crianças e expressava principalmente o que entre nós, hoje, se denomina "criancices". Entre os hebreus, a palavra jogo era empregada com relação a risadas e brincadeiras. Entre os romanos, ludus -i significava alegria. Em sânscrito, kliada, jogo, alegria. Entre os germânicos, a antiga palavra spilan definia um movimento rápido e suave como o do pêndulo que produzia um grande prazer. Posteriormente, a palavra juego (jogo, play, joc, game, spiel, jeu, gioco, urpa, giuoco, jolas, joko, etc.) começou a significar em todas as línguas um grande grupo de ações que não requerem trabalho árduo e proporcionam alegria, satisfação, diversão e que ocupam tanto a vida central da criança como o tempo de ócio e recreio do adulto, do jogo mais infantil à mais trágica das encenações no teatro ou à mais divertida comédia circense; ou da mais inocente criança à mais séria aposta na bolsa de valores com a finalidade de ganhar dinheiro.

Segundo diferentes estudiosos do tema, é difícil saber em que momento aparecem e qual o significado dessas locuções e suas conotações, mas o certo é que elas existem e em diferentes idiomas.

4.3. Sobre o conceito de jogo A palavra jugar (do latim iocari) significa fazer algo com espírito de alegria e

com a intenção de se divertir ou de se entreter. A palavra jogo provém etimologicamente do vocábulo latino iocus, que significa brincadeira, graça, diversão, frivolidade, rapidez, passatempo. Para seu estudo, deve-se considerar também o significado do vocábulo ludus -i: o ato de jogar, o prazer da dificuldade gratuita. Esse vocábulo latino dá mais um sentido ao jogo: ludus-ludere, ludus-us e ludicrus (ou cer -era, crum)". O aspecto lúdico do jogo (do latim de ludicrus) é essa atividade secundária relativa ao jogo, que se cultiva unicamente pelo prazer.

É quase impossível compreender os traços de uma pesquisa para o significado etimológico, já que aparece a transposição de significados na história da transnominação. Por outro lado, as crianças adquirem a palavra jogo dos adultos. Para Elkonin (1980), a brincadeira não é um conceito científico no sentido estrito.

O ser humano pratica atividades ao longo de sua vida, denominadas lúdicas, que lhe servem de distração, recreação, educação, entretenimento, relaxamento de outras atividades consideradas mais sérias, como, por exemplo, o trabalho. Mas quando se estuda a brincadeira no mundo infantil, observamos tanta seriedade como no trabalho mais responsável do adulto. Há contrastes: seriedade e alegria; divertimento e responsabilidade acompanhada de alegria, prazer, paixão ou amor. A esse respeito, Delgado e Del Campo (1993) nos explicam a brincadeira como necessidade na vida, recordando uma citação de Sófocles: "Quem se esquece de brincar que se afaste do meu caminho, porque, para o homem, é perigoso".


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Tal necessidade psicobiológica nasce com a criança e acompanha o ser humano ao longo da vida, mesmo que com diferentes objetivos, até a mais avançada idade, como o binômio seriedade-regozijo. A brincadeira envolve toda a vida da criança, é um meio de aprendizagem espontâneo e exercita hábitos intelectuais, físicos, sociais e/ou morais. Isto também pode seguir vivo no estado adulto, como a outra face do trabalho. A brincadeira nasce espontânea e cresce junto com a criança durante os diferentes estados evolutivos até chegar, como ela e com ela, ao estado adulto e à velhice, superando a idade biológica mesmo que com conteúdo diferente e cumprindo distintos objetivos na vida.

O sábio sabe que brinca e saboreia jogar, seriamente, qualquer jogo. Assim, pode brincar consigo mesmo. A brincadeira, o humor, o sorriso, a ternura brotam com a compaixão do quebra-cabeças da vida (Delgado e Del Campo, 1993).

Assim, todos os jogos fazem jogo. Traduz-se como espírito, estado emocional do ser humano e se mostra através do ato motor em movimento, em sua energia, traduzindo-se em matéria. O jogo é parte do caráter do ser humano em sua formação, em sua personalidade, na configuração da inteligência, na própria vida. O adulto também aprende, se realiza, se desafoga, necessita de distração, precisa de humor, e nem por isso deixa de ser séria a realização pessoal do humano adulto. O ser humano necessita permanentemente de entusiasmo, da seriedade e da alegria. Tudo isso pode ser proporcionado pelas vivências do jogo: um enriquecimento integral, em suas distintas formas.

O jogo transcorre no mundo da fantasia, uma realidade mais ou menos mágica e, por conseguinte, mais ou menos relacionada com a vida cotidiana.

Brincar, divertir-se e aprender são modos verbais inerentes ao ser humano, indispensáveis na vida de qualquer grupo sociocultural. A simplicidade da ação de jogar é absolutamente universal, plural, heterogénea, flexível e tão ambivalente quanto necessária.

Contudo, sua gratuidade foi classificada como prova de que é pouco importante, complementar, não-séria, improdutiva, muitas vezes associada à perda de tempo, em outras, ao vício ou ao pecado, e sempre visto como algo insignificante.

Apesar dessa observação pessimista, brincar está presente na necessidade de motricidade que enriquece a evolução do feto no ventre e vai acompanhar a vida de cada um de nós até a velhice.

Mesmo que nem sempre se queira reconhecer, é uma constante de nossas vidas, não apenas na etapa infantil, mas na maioria das iniciativas racionais que tomamos diariamente. O jogo é uma constante vital na evolução, no amadurecimento e na aprendizagem do ser humano. Acompanha o crescimento biológico, psicoemocional e espiritual do homem. Cumpre a missão de nutrir, formar e alimentar o crescimento integral da pessoa.

Graças à racionalidade, o verbo jogar, ao se modelar sob parâmetros voluntários ou obrigatórios, ao ser acompanhado de regras ou normas, torna-se jogo, realidade lógica, cenário impulsionador de ordem, de tomada de responsabilidade individual ou coletiva, de entretenimento e seriedade nos atos. O jogo não carece de seriedade; além disso, com ele aprendemos a aproveitar, na idade adulta, o ócio, o entretenimento e a alegria. O jogo entre crianças é muito sério. Tente mudar uma regra ou improvisar para ver o que acontece. Por acaso carece de seriedade e concentração o ato de lutar, a luta


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para obter uma bola e mantê-la, diante de tantos adversários, sem infringir alguma regra?

Jogando com a incerteza do resultado final, mesmo lutando para vencer, torna-se parte dessa realidade intersubjetiva.

O jogo de condição ambivalente (qualitativo, quantitativo, passado, presente, ganhar, perder, certo e incerto) resiste a uma definição categórica. Sua significação é polissêmica, pois implica um amplo leque de significados e sua leitura é múltipla. O conceito de jogo é tão versátil e elástico que escapa a uma localização conceituai definitiva. Nesse sentido, qualquer tentativa, por mais erudita que seja, somente será capaz de captar uma parte da verdade do jogo, não global ou total.

A capacidade lúdica desenvolve-se articulando as estruturas psicológicas globais (cognitivas, afetivas e emocionais) mediante as experiências sociais da criança (Ortega, 1980).

Alguns autores afirmam que toda atividade é jogo desde os primeiros meses da existência humana, excetuando a nutrição ou as emoções observadas, como medo ou raiva. Piaget (1946), contudo, não situa a aparição ou a formação do jogo até o 2a estágio do período sensório-motor (respostas circu-lares primárias, até o segundo ou terceiro mês). Nesse período, podemos ob-servar <|ue a criança reproduz determinadas condutas somente pelo prazer que isso lhe dá, como seus sons guturais, as brincadeiras com as mãos em seu Campo visual, pegar e largar objetos. Assim, a brincadeira é a "assimilação do real ao eu", ou seja, quando a criança pratica repetindo um fato para encaixá-lo e consolidá-lo, fazendo dele uma conduta conhecida.

O jogo se formará a partir de ações que a criança não domina com suficiente destreza, não compreende ou, devido ao amadurecimento de certos órgãos ou funções evolutivas, utilizará e praticará para incorporá-las e dominá-las em seu eu de forma a continuar crescendo plena e harmoniosamente.

Por outro lado, Bajo e Betrán (1998) afirmam que o jogo infantil tende a reproduzir em pequena escala as predileções dos adultos. Acrescentam que, por meio da brincadeira, a criança projeta um relativo distanciamento do mundo dos adultos, atua como se o seu mundo fosse o deles, mas também como se esse mundo criado por ela fosse real.

4.4. Sobre a definição do jogo A Real Academia da Língua Espanhola diz do jogo: "ação de jogar, passatempo

ou diversão". Vimos que, independentemente do idioma que falem, todas as crianças usam a

palavra jogo atribuindo-lhe um significado simples e claro: simplesmente definem-na jogando. 'íJogo ou jogar expressa algo claro, fácil, evidente. Nenhum sábio foi capaz de defini-lo, porque essa palavra refere-se a uma condição ou realidade primordial da vida. O jogo é algo vital para o ser humano: o "homo ludens" passa quase metade da vida em vigília" (Cagigal, 1981).

Segundo Kollarits (citado por Elkonin, 1980), a definição de "jogo" não é possível, sequer uma delimitação exata na vasta esfera de atividade do homem e dos animais e toda busca dessas definições deve ser classificada de jogo científico.

O antropólogo Bateson (1958) explica a confusão diante da tentativa de definição do jogo por seu caráter paradoxal. E sua complexidade responde à sua


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especificidade e indefinição. O jogo constitui um desafio, vivendo-se como real e com mais intensidade que o trabalho sério e responsável, algo que é uma ficção.

Poderia se assegurar de que qualquer definição não é mais que uma aproximação parcial do fenómeno lúdico e, às vezes, resultado ou conclusão da teoria que a contempla. A seguir, algumas definições: - "(...) uma atividade que os seres vivos superiores realizam sem um fim aparentemente

utilitário, como meio de eliminar seu excesso de energia" (Spencer, 1855). - "(...) o jogo é uma atividade estética. O excesso de energia é apenas uma condição

para a existência do prazer estético que o jogo proporcio na". "Fique claro que o homem somente joga quando é plenamente tal e somente é um homem completo quando joga. O jogo não é uma fuga da vida; constitui parte integrante desta e permite a todos entender melhor e a compreender nossas vidas" (Schiller, 1935).

- "(...) o jogo é uma atividade geradora de prazer que não se realiza com finalidade exterior a ela, mas por si mesma" (Russel, 1980).

- "A atividade lúdica contribui para a paidéia - a educação - e proporciona as forças e as virtudes que permitem fazer a si mesmo na sociedade (...) O jogo prepara para a entrada na vida e o surgimento da personalidade" (Chateâu, 1958).

- "Tanto o animal como o homem jogam com imagens: a imagem é a expressão do caráter que o sujeito projeta sobre a realidade; é essencialmente ficção, combinação espontânea e símbolo" (Buytendijk, 1935).

- "A brincadeira é filha do trabalho. Não há forma de brincadeira que não tenha como modelo alguma ocupação séria que lhe precede no tempo" (Wundt, 1887).

- "(...) o jogo é uma ação livre, executada e sentida como estando fora da vida cotidiana, mas que, apesar de tudo, pode absorver por completo o jogador, sem que haja nela qualquer interesse material, nem se obtenha proveito algum; que se executa dentro de um determinado tempo e de um determinado espaço; que se desenvolve em uma ordem submetida a regras e que dá origem a associações propensas a cercar-se de mistério ou a se disfarçar para se destacar do mundo habitual".

- (...) "o jogo é uma ação ou atividade voluntária, realizada dentro de certos limites fixados no tempo e no lugar, seguindo uma regra livremente consentida, mas completamente imperiosa, com um fim em si mesma, acompanhada de um sentido de tensão e de desfrute e da consciência de ser diferente da vida cotidiana" (Huizinga, 1938).

- "(...) o jogo é uma forma privilegiada de expressão infantil" (Gulton, 1968). - "(...) é uma atividade livre que tem seu fim em si mesma" (Stern, 1977). - "No jogo, pode entrar a exigência e a liberação de quantidades muito mais

consideráveis de energia do que as que exigiria uma tarefa obrigatória" (Wallon, 1980).

- "O jogo é a manifestação de uma livre espontaneidade e a expansão de uma atividade em expansão" (Karl Groos, 1901).

- "O jogo situa-se na intersecção do mundo exterior com o mundo interior" (Winnicott, 1979).

- "O que define o jogo é que se joga sem razão e que não deve haver motivo para jogar; fazê-lo já é razão suficiente. Nele está o prazer da ação livre, sem rédeas, com a direção que o jogador quer lhe dar, que se parece com a arte, o impulso criador" (Lin Yutang, 1988).


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- Um passo do fantasma ao símbolo. Jogar é negar e superar o fantasma arcaico" (Freud, 1923).

- "A brincadeira infantil é meio de expressão, instrumento de conhecimento, fator de socialização, reguladora e compensadora da afetividade, um instrumento efetivo de desenvolvimento das estruturas do movimento; em uma palavra, meio essencial de organização, desenvolvimento e afirmação da personalidade" (Zapata, 1988).

- "(...) a função própria do jogo é o jogo mesmo. Este exercita atitudes que são as mesmas que servem para o estudo e para as atividades sérias do adulto. A atividade lúdica caracteriza-se pela improdutividade". (Cillois, 1958).

- "O jogo é a arte ou a técnica que o homem possui para suspender virtualmente sua escravidão dentro da realidade, para fugir, levar-se para o mundo irreal. (...) é um esforço que, não sendo provocado pelo utilitarismo que inspira o esforço imposto por uma circunstância do trabalho, repousa em si mesmo sem esse desassossego, que infiltra no trabalho a necessidade de conseguir um fim a todo custo" (Ortega e Gasset, 1971).

- "O jogo é mais agradável e mais puramente jogo quanto maior é a naturalidade, a ausência de esforço exagerado e habilidade com que se realiza" (Russel, 1967).

- "O jogo é um diálogo experimental com o meio ambiente" (Eibl-Eibesfeldt (1967). - "O jogo é recreação (...) porque continuamente cria a sociedade em que se realiza"

(Stone e Orlick, 1982). - "Brincar é o que se faz quando se está livre para fazer o que se quer" (Gulich, 1970). - "O mundo lúdico origina-se nos primeiros jogos de perda e recuperação, encontro e

separação" (Aberastury, 1988). - "O jogo tem duplo significado. De um lado, refere-se a uma forma de se comportar e

sentir e, de outro, a uma série de atividades concretas claramente delimitadas" (Martinez Criado, 1988). "O jogo é uma atividade que o homem desenvolve, sem dúvida, como fator de equilíbrio psicológico em sua vida, tanto no nível individual, no sentido de equilibrar as situações de preocupação, tristeza e dor, quanto no nível social, para estabelecer um meio de relação otimista e positiva com os outros homens (...) o jogo é algo muito importante em nossa vida: ajuda-nos a dar uma via de realização à nossa imaginação, oferece-nos um meio de relação social, exerce sobre nós um grau de encanto e absorção de que carecem outras atividades da vida cotidia-na que é psicologicamente liberador e nos proporciona a oportunidade de comparar nossa capacidade com a dos outros" (Castellote, 1996).

- "O jogo é intrinsecamente essencial para a criatividade (...) Uma pessoa que não sabe brincar está privada, ao mesmo tempo, da alegria de fazer e criar e seguramente está mutilada em sua capacidade de se sentir viva" (Rosemary Gordon, citada por Trigo, 1994).

- "O jogo leva a experimentar uma sensação de fluir que nos transporta a um entorno em que abstraímos a realidade e outras situações cotidianas, para passar a expressar-se como somos, com toda a personalidade, nossas carências e virtudes" (Ciskszentmihalyi, 1997).

- "O jogo é uma atividade multidimensional, que se ajusta sempre às necessidades do ser humano com relação à incerteza, à diversão, ao exercício ou à atividade coletiva" (Lagardera, 1996).

- "O jogo é uma das manifestações mais enriquecedoras do tempo livre, na busca do


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desenvolvimento, da autonomia e do desfrute da pessoa" (Lavega, 1997). Do ponto de vista fisiológico, pode-se entender o jogo como atividade que os

seres vivos superiores realizam sem um fim aparentemente utilitário e com o objetivo de eliminar o excedente de energia. Como comportamento vital, poderiam existir atividades necessárias e vitais e atividades desinteressadas, dentro das quais o jogo (definição do poeta Schiller modificada pelo filósofo Spencer).

Um conceito de jogo que possa ser aplicado transculturalmente é essencial para a antropologia da motricidade humana e o esporte. Segundo Blanchard e Cheska (1986), "o jogo é um fenómeno não apenas universal dos seres humanos como é comum a outros animais. A maioria das espécies animais executa, de vez em quando, alguma forma de brincadeira, sobretudo durante a infância". Numerosos etólogos estudaram o jogo social dos animais, mas, de fato, são poucas as definições satisfatórias de tais atividades.

Bekoff (citado por Blanchard e Cheska) propõe o seguinte conceito etológico: "O jogo é o comportamento que se observa nas interações sociais que comportam uma diminuição da distância social entre os protagonistas, na ausência de toda pesquisa social ou de comportamentos agonísticos ou passivos/submissos por parte dos membros de uma díade (tríade, ete), mesmo que tais ações possam ocorrer como atos derivados durante o jogo".

Huizinga (1938) afirma que o desenvolvimento da civilização deve-se a mecanismos lúdicos e também, sobretudo, ao trabalho, com um denominador comum: o desejo de melhorar a qualidade de vida. Começa sua obra dizendo que o jogo é como "uma atividade livre mantida conscientemente fora da vida cotidiana, porque carece de seriedade, mas, ao mesmo tempo, absorve, intensa e profundamente, quem a exerce. Uma atividade desprovida de todo interesse material, que não traz qualquer proveito e que se desenvolve ordenadamente dentro de seus próprios limites de tempo e espaço, de acordo com regras preestabelecidas e que promove a criação de agrupamentos sociais que tendem a atuar secretamente e a se distinguir do resto da sociedade por seus disfarces e por outros meios".

Realmente, Huizinga considera o jogo uma forma de cultura mais do que um componente formal da cultura. Deveria, portanto, ser auto-suficiente e dispor de seu próprio significado e justificativa. O jogo permite que se exteriorizem outras facetas da cultura (ritual, direito, saúde, política, amor, etc).

O jogo é criança, adolescente, homem, velho, percorre as etapas evolutivas, nasce, viaja, acompanha o ser humano e morre com ele. Nasce, desenvolve-se e morre com o sentimento ou o campo das emoções do ser humano. Há uma necessidade escondida de crescer, amadurecer e ser junto ao jogo espontâneo, como diferentes etapas evolutivas. O jogo não morre com o final da infância ou da adolescência, mas deve crescer e evoluir em suas formas junto ao homem para ajudá-lo em suas diferentes etapas.

Faz-se necessário o jogo em seus diferentes contextos para a busca antropológica da verdadeira natureza do homem. O sociólogo Norbeck (1971) define o jogo da seguinte maneira: "Seu comportamento fundamenta-se em um estímulo ou em uma propensão biologicamente herdados, que se distinguem por uma combinação de traços: é voluntário, até certo ponto descartável, diferenciado temporalmente de outros comportamentos por sua qualidade transcendental ou fictícia".


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Puigmire-Stoy (1966) define o jogo como a participação ativa em ativida-des físicas ou mentais prazerosas para obter satisfação emocional.

Segundo os antropólogos Blancjard e Cheska, "(...) o jogo é uma forma de comportamento que inclui tanto dimensões biológicas como culturais, que se define não por eliminação dos demais comportamentos, mas por uma variedade de traços. É agradável, intencional, singular em seus parâmetros temporais, qualitativamente fictício e deve sua realização à irrealidade".

Comprovamos que, por meio do jogo, o ser humano se introduz na cultura e, como veículo de comunicação, amplia sua capacidade de imaginação e de representação simbólica da realidade. Realmente, poderíamos dizer que, com o jogo, é intensificada a vida cultural do homem, ela se enriquece. O jogo nasce espontâneo, sem outro fim que a necessidade e a alegria de jogar. Por que o ser humano quer modificar isso ao longo de suas diferentes etapas evolutivas? Com elas, o jogo deve evoluir, crescer e acompanhar durante toda a vida o ser humano e a sua cultura.

Pelo jogo se conhece o espírito. Poderia ser a expressão mais pura e simples do comportamento humano integral, expressão da criatividade do homem como resultado das emoções, dos sentidos e do pensamento, plasmada na obra da vida, na obra do jogo. Pensar, querer e fazer: tudo pode ser. O jogo faz cultura, a cultura faz vida: o jogo é vida e a vida, cultura.

O mundo mágico do jogo torna possível todo tipo de realizações, diz Martinez Criado (1998). As atividades realizadas no contexto do jogo são produto da ilusão. No jogo, podemos conseguir tudo o que desejamos.

Corredor (1998) afirma que qualquer atividade acompanhada de alegria e/ou riso consciente também é uma forma de jogo. Em seu desenvolvimento, busca com o homem um significado que cumpra necessidades biológicas, emocionais ou espirituais, além de fazer parte da realização da capacidade cognitiva de observação, recordações, simbolismo e ação.

Trata-se de uma atividade praticada em todas as épocas e culturas, sempre presente na vida do homem. Através dos jogos, experimentamos a realidade das coisas, nos aproximamos da comunicação com o mundo que nos rodeia, conectamos nosso micromundo ao macromundo onde vivemos.

O jogo não é material, é espiritual e se materializa ao ser criado, ao se fazer com sua alegria ou amor, ao se expressar através de emoções. Atrevo-me a afirmar que o jogo nos serve de cordão umbilical ou união com a nossa natureza mais íntima, significa a raiz da vida do ser humano e a própria vida. O ser humano necessita da realidade do jogo para recuperar seu comportamento natural, seu equilíbrio vital.

4.5. Origem do jogo O jogo é parte fundamental do desenvolvimento harmónico infantil e de

importância tal que o conhecimento dos interesses lúdicos, sua evolução, seu amadurecimento e sua observação sistemática são imprescindíveis para a vida.

O jogo em sua formação não necessita de aprendizagem, surge esponta-neamente, é algo instintivo que responde às necessidades da dinâmica infantil. Por que as crianças brincam ou que causas as levam a brincar? A própria criança poderia responder simplesmente porque sim, porque gosto, para brincar.


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Mas o jogo aparece, atrevo-me a dizer, como resposta possivelmente psicobiológica à vida. Diferentes autores apontam uma série de razões pelas quais se joga: - Forma de descanso para o organismo e o espírito (Schiller, 1935). - Forma de se liberar da energia excedente por falta de outras atividades mais sérias

em que investi-la (Spencer, 1897). - Forma de recapitulação de filogênese; reprodução da evolução de atividades de

gerações passadas (Hall, 1904). - Forma de se preparar para a vida adulta. Seria um exercício preparatório das

atividades que serão enfrentadas no futuro (assim como osfilhotes dos animais) (Gross, 1901).

- Forma catáltica para reduzir as tensões, defender-se das frustrações, fugir da realidade ou reproduzir as situações de prazer (Freud, 1920; Klein, 1955; Erikson, 1959; Adeler, 1960).

- Forma de aprender, interceptar e conservar os novos hábitos adquiridos (Piaget, 1946; Secadas, 1977).

- Forma de aprendizagem e crescimento harmónico. Autoformação (Château, 1958; Froébel, citado por Mune, 1980; Delcroy e Monchamp, 1986).

- Forma de fixação de hábitos adquiridos e de garantir as novas habilidades (Bhuler, 1931; Case, 1989).

- Forma de passar do fantasma ao símbolo: brincar é negar e superar o fantasma arcaico (Freud, 1923).

- Forma de atividade livre, com fim em si mesma (Stern, 1977). - Forma privilegiada de expressão infantil (Gutton, 1982; Linaza, 1991). - Forma de atividade lúdica funcional (Buhler, 1924). - Forma de terapia e liberdade de criar (Winnicott, 1979; Berne, 1996). - Forma motivante como princípio motor do jogo (Château, 1958). - Forma de elaboração (Klein, 1955). - Forma de organização, desenvolvimento e afirmação da personalidade (Zapata, 1986;

Aquino, 1988). - Forma de cenário pedagógico natural (Ortega e cols., 1988). - Forma de intervenção educativa baseada no conhecimento do desenvolvimento da

criança e na busca de metodologia adaptada ao pensamento das crianças e sua forma espontânea de construir conhecimentos (Canal e Porlán, 1987; Garcia e cols., 1987; Garcia, 1992).

- Forma de construção de conhecimentos sociais e psicológicos da criança (Flavell e Ross, 1981).

- Forma original da risada e do prazer (Delgado, 1991; Csikzentmilhalyi, 1997). - Forma de atividade voluntária com fim em si mesma, acompanhada de uma sensação

de tensão e de júbilo e da consciência de ser diferente da vida real (Huizinga, 1938). - Forma de improdutividade (Caillois, 1958). - Forma de evasão da realidade: não se busca um resultado utilitário. O jogo está

relacionado com a capacidade criadora do homem e traduz a necessidade da criança de atuar sobre o mundo (Rubinstein, 1946).

- Forma de transformação da realidade segundo as necessidades do eu (Piaget, 1986). - Forma de prolongamento de traços da espécie posteriores ao amadurecimento


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humano (Bruner, 1972). - Forma de atividade que somente cabe definir a partir do próprio organismo imerso

nela (Piaget, 1946; Vygotsky, 1982; Csikzentmilhalyi, 1997). - Forma de assegurar a transmissão de valores promovidos por diferentes culturas

(Sutton-Smith, 1966; Robert, 1980). - Forma ecológica, física e cultural (Pellegrini, 1955; Bronfenbrenner, 1979). - Forma de incorporação da criança a uma instituição educativa (Linaza, 1991). - Forma de criatividade (Marin Ibánez, 1986; Trigo, 1989; Caneque, 1991). - Forma de resposta emocional e intelectual às experiências sensoriais (Brierley e

Goleman, 1990). À medida que a criança cresce, seu organismo responde de diferentes formas e

utiliza distintas atividades lúdicas, ou seja, a brincadeira evolui com o desenvolvimento integral, intelectual, afetivo e físico da criança e se adapta aos períodos críticos de seu desenvolvimento (aos seus conflitos pessoais e sociais). O jogo cresce com a criança até a idade adulta, permanecendo até a velhice.

4.6. Características do jogo Ao estudá-lo, podemos vislumbrar uma série de características. De acordo com

autores como Huizinga, Caillois, Groos, Cagigal, Bandet, Sarazanas, Russel, Piaget, Brunner, Moyles, González, Ortega e Caneque, entre outros, temos algumas das mais representativas: - O jogo é uma atividade desinteressada e autotélica. - O jogo deve ser limpo. A finalidade do jogo deve ser ele mesmo. - O jogo deve ser espontâneo, impulso inato que não requer especialização nem

aprendizagem prévia, mesmo que a prática sucessiva leve a isso. - O jogo é uma atividade livre. É um acontecer voluntário, ninguém é obrigado a

jogar. Joga-se pelo prazer de jogar, não se trata de uma atividade utilitária. - O jogo é improvisado, deriva-se da palavra paidia. - O jogo é separado. Sempre se localiza em limitações espaciais e imperativos

temporais estabelecidos de antemão. - O jogo é incerto. Sendo uma atividade criativa, espontânea, original, cujo resultado

final flutua constantemente, e cativa a todos. - O jogo é gratuito ou improdutivo. É uma manifestação que tem um fim em si mesma,

é desinteressada. Não cria bens nem riqueza ou qualquer elemento novo de espécie alguma e, salvo deslocamento de propriedade no seio do círculo de jogadores, acaba em situação idêntica à do começo. Tal característica é muito importante na brincadeira infantil, por não possibilitar qualquer fracasso.

- O jogo é fictício. É um mundo à parte, é como uma história contada com ações, distante do cotidiano, é uma contínua mensagem simbólica. O jogo possui uma auréola mágica.

- O jogo é um comportamento de caráter simbólico e de desenvolvimento social. - O jogo é uma forma natural de troca de ideias e experiências. - O jogo é convencional e regulamentado. Todo jogo coletivo é um acordo social,

estabelecido pelos jogadores, que determinam suas regras, ordens e limitações. - O jogo deve ser prazeroso. Essa talvez seja uma de suas características centrais,

mesmo que isoladamente não o defina, pois apresenta características. Prazer do tipo sensorial, físico e prazer moral ou psíquico, superação de algum tipo de obstáculo.


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- O jogo permite à criança relacionar-se com a realidade. - O jogo é uma atitude, é parte da vida. A criança brinca sempre, não importa onde e

nem com quem, brinca de diferentes maneiras conforme o meio em que se encontre. O que se entende como jogo ou brincadeira abarca uma infinidade de ações e

atividades. Tudo o que vivemos pode tomar parte na brincadeira. O mundo mágico do jogo torna possível todo tipo de conexões ou interações para atingir diversas realizações. Os atos do jogo são produto da ilusão, da vontade, da.ilegria, do otimismo. No jogo, podemos conseguir tudo o que desejamos. O benefício dessa prática preenche o desejo de realização e nos proporciona prazer ou satisfação.

O jogo é incompatível com circunstâncias vitais da doença. É, portanto, uma característica da saúde. É realizado em situações de bem-estar e sem pe-rlgo à vista. Somente quando a criança conhece o ambiente brinca, porque sente-se confortável, espontânea, desinibida e natural. O jogo tem um efeito estimulante, relaxante, restaurador. Nenhuma criança se cansa de brincar. Responde à necessidade de motricidade, de estar ou ser ativo, se mover, explorar, imitar e à necessidade de enriquecimento por meio do movimento. O mundo real e o mundo criado pelo jogo se movem em um mesmo plano, já que constantemente estão trocando informações, estão intercalados, porque a passagem de um ao outro é constante e contínua. Por isso, mesmo que não seja o Único, parece-me, contudo, o mais importante veículo para o desenvolvimento evolutivo e a adaptação ao meio vital.

4.7. Conclusões Talvez este título não seja o adequado, por isso vou apenas mencionar ideias que

podem servir de proposta para encontrar uma definição do tema. Já que a aprendizagem é infinita, deixemos a porta aberta para continuar aprendendo com quem sente o desejo de explorar esse maravilhoso e mágico mundo do jogo: - O jogo é como uma vela que ilumina o comportamento do ser humano: é o resultado

da busca das melhores coisas escondidas no mais íntimo do ser. - O comportamento lúdico é universal, pertence a todas as pessoas. É um símbolo de

humanidade, sem preconceitos, bandeira da paz e laço de união entre os povos. - O jogo é respeitoso, solidário. Tão somente procura a recompensa de um gesto ou de

um sorriso como conteúdo mínimo de comunicação. Não necessita passaporte nem entende de idioma, bandeira ou moeda, porque não tem fronteiras.

- O jogo não tem fronteiras porque não as conhece e se propaga rapidamente como o fogo, superando montanhas, desertos e bosques; viaja tão puro como a água através de rios e oceanos; voa como as nuvens pelo ar e se hospeda como a terra em todos os povos e países.

- O jogo é como uma bandeira com todas as cores, como uma moeda comum, como um idioma internacional. Faz com que se entendam crianças, adultos e velhos de maneira imediata, sem nenhum outro vínculo de comunicação, porque nasce da bondade humana.

- O jogo reflete em cada momento a forma com que a criança atua, compreende e se relaciona com o mundo.

- O comportamento lúdico nasce com a criança e cresce com o interesse e a curiosidade por explorar o seu corpo e o mundo que a cerca. Essa curiosidade cresce saciando-se de conhecimentos e oportunidades de aprendizagem. Há na criança uma forte necessidade de se expressar e de comunicar-se.


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- Com o jogo, coloca-se em conexão o nosso micromundo (pessoa) com o macro mundo (sociedade) em que vivemos; nesse sentido, nos preparamos para a vida ensaiando papéis que desenvolveremos posteriormente na sociedade, quando adultos.

- Mediante o jogo, a criança aprende normas de comportamento para crescer e aprender a viver na sociedade de forma integral. O jogo fomenta a capacidade para a elaboração de normas da infância à vida adulta. A criança cresce aprendendo hábitos de convivência necessários para viver em sociedade. O jogo proporciona ao ser humano um interesse pelo conhecimento, uma atitude ativa, positiva e crítica, que lhe permite se integrar de maneira gradual na família, na escola e na vida.

- Os jogos evoluem com a criança e ajudam a formar a estrutura de sua personalidade, desenvolvendo os aspectos motor, Intelectual, criativo, emocional, social e cultural.

- O jogo serve-nos de ligação com a natureza. As crianças e os adultos necessitam da realidade do jogo para conservar ou recuperar seu comportamento natural: seu equilíbrio vital.

- O modo natural de aprender é através do jogo, porque as crianças praticam continuamente e de forma simples os comportamentos e as tarefas necessárias para se converterem em adultos.

- Com o jogo, as crianças expressam-se de forma natural, pois escolhem uma solução adequada às suas necessidades e possibilidades, uma solução saudável. Já que o jogo promove habilidades sociais (talentos maravilhosos), ajuda a canalizar, reduzir ou processar condutas agressivas (base para a segurança do indivíduo e do ambiente), aumenta a auto-estima (vive-se em um ambiente harmónico), fomenta as relações sociais frutíferas (aprender as limitações, relacionar-se bem com os outros e fazer amigos), promove a participação e a atividade (com a base da criatividade, colaboração e cooperação: todas as crianças querem brincar), gera valores humanos positivos para a vida e, por fim, melhora a saúde física e emocional.

- Alguns teóricos afirmam que a brincadeira é o trabalho da criança; se poderia afirmar que é uma realidade, instrumento que lhe ajuda a entender a vida e a sua própria vida. Assim, dada sua importância vital (por seu caráter multidisciplinar, pelos valores que origina e pelos efeitos que produz), podemos considerar a brincadeira como um modo mágico de entender o trabalho.

- A magia da brincadeira se converteria, por um lado, em um elemento ideal para reconciliar, na escola, a mente e o coração da criança e, por outro lado, em um modo de expressão com que se atua, explora, comunica, pesquisa, vive-se em meio a um processo de aprendizagem global, participativo e significativo: processo que se amplia ao longo da vida.

- A brincadeira proporciona situações que estimulam o senso de humor como estado de espírito. Uma atitude necessária para encarar a vida diária, que nos ajuda a encará-la com o otimismo necessário para manter um estado emocional estável e que possa nos proporcionar uma sensação de bem-estar.

- Desenvolver a inteligência emocional, fomentar a curiosidade, estimular o senso de humor, bem como o estado de espírito, além de alcançar a felicidade são objetivos prioritários da educação para evitar o fracasso escolar. Nesse caso, a ferramenta-chave para a aprendizagem é o jogo.


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5. JOGOS DIDÁTICOS: SEU USO E IMPORTÂNCIA NA APRENDIZAGEM15

5.1. Introdução Inúmeros são os fatores que interferem na aprendizagem. Fatores que podería-

mos classificar de pessoais, ou seja, aqueles inerentes à própria pessoa, à sua psique, ou psicológico, ou ego, ou personalidade, ou espiritual, ou seja, lá que nome queiramos dar. Fatores físicos que tanto podem ser do tipo alimentação, estado geral de saúde co-mo também iluminação e adequação do espaço físico. Fatores sociais como as oportuni-dades de interações como as outras que podem ser do mesmo nível ou de nível diferente e que promovem e desenvolvem o espírito de cooperação. Fatores culturais, e econômi-cos... Poderíamos tecer várias considerações sobre cada um desses fatores e a forma como influenciam o ser humano em seu processo de aprendizagem. Não vamos entre-tanto nos ater a isso. Renomados estudiosos, psicólogos e filósofos já o fizeram e com amplo domínio desse campo do conhecimento. Poderíamos particularizar focalizando o processo ensino aprendizagem na nossa área – Matemática. Também não o faremos. Entendemos que ao se falar em um se fala em outro.

5.2. Motivação De todos os fatores que apresentamos ou possamos apresentar queremos abordar

um ponto que em nossa opinião é o mais essencial e imprescindível no desenrolar do processo aprendizagem – a motivação.

Muitos de nós professores de matemática nos deparamos, no desenvolvimento de nossa atividade didática, com um impasse: nossos alunos não têm interesse naquilo que pretendemos lhes ensinar, ou, em outras palavras – naquilo que achamos que eles deveriam aprender.

Consideremos a aprendizagem como uma mudança estável e intencional de comportamento e para que isso ocorra, muitas vezes é preciso repetir várias vezes, sob diversos aspectos e com experiências variadas uma determinada ação para que ela seja aprendida. Sabemos que certos condicionamentos externos, processos mecânicos podem levar a repetir uma ação tornando-a automática. Nossa pergunta é: basta isso para que haja aprendizagem? Essa modificação interna, profunda do ser humano com mudanças nas operações mentais e atitudes não necessitam de algo mais do que um estímulo ex-terno? Não será necessário uma força, um motivo inerente a própria pessoa. Julgamos que sim. O processo de aprendizagem é desencadeado por um motivo que pode ser a necessidade, a utilidade, a agradabilidade. Geralmente o que vai acontecer: procura-se o agradável e por ele chegamos ao útil ou necessário. O que é a motivação? Nada mais do que a predisposição interna que impulsiona a busca de um objetivo.

Muitas vezes o aluno não se interessa por determinada situação de aprendizagem exatamente porque não vê motivos para realizar aquela atividade. Faz-se necessário então que o professor crie uma situação em que surja o interesse, faz-se necessário de-sencadear o processo através de um impulso externo – a incentivação.

As legítimas motivações para a aprendizagem são raras, considerando que se tra-ta de “trabalhar”, “estudar”. Cabe ao professor através de uma variedade de recursos, métodos, procedimentos de criar uma situação favorável. São muitas essas condições

15 Texto retirado da II Reunião da SBM - Profª M.Emília Tavares/UFPEL


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favoráveis e não são apenas materiais, mas especialmente pessoais, sociais e psicológi-cas. A criança e o jovem e porque não dizer também o adulto – precisa sentir naquilo que fez uma auto-realização, digamos assim – um prazer pessoal e isso fará com que se sinta livre e responsável por sua realização.

Acreditamos que o professor de Matemática deve estar preocupado em alcançar um despertar a motivação em seus alunos, sabendo que é ela a força impulsionadora de toda a aprendizagem. Não temos “receita” para esse despertar do querer aprender. So-mos de opinião que essa receita não exista. Mas ainda achamos que acima de tudo o professor é um dos fatores mais preponderantes nesse processo motivador – sua perso-nalidade, o “amor” que ele sente pelos seus alunos e por eles é percebido, o entusiasmo que tem, e demonstra, pela Matemática. Mas isso não é tudo, sabemos. “A Matemática tem significado diferente para pessoas diferentes.” O despertar desse gosto pela Mate-mática depende em grande parte do professor, mas também é resultante dos recursos que ele emprega no ensino. É ele que a partir do conhecimento da sua turma de alunos vai promover no momento exato, o estímulo adequado. Isso é fundamental: que tenha-mos sempre presente que o “dar certo” para um grupo de alunos num dado momento não significa uma “fórmula de dar certo” em qualquer momento, com qualquer grupo de alunos e qualquer professor.

Essa incentivação visando orientar o interesse do aluno pela Matemática como objetivo de estudo e trabalho tem formas variadas – já o dissemos – de ser obtida, como por exemplo: • Pela correlação com o real; • Pela importância de valores históricos; • Pela aplicação às demais ciências; • Pelos livros e revistas de divulgação da Matemática; • Pela utilização de meios audio-visuais; • Pela construção de modelos, aparelhagens, gráficos, murais; • Pelas atividades recreativas; • Pelos clubes de matemática; • Pelas atividades lúdicas; • Pela seleção adequada de problemas.

Queremos nessa oportunidade, dentre esses vários aspectos focalizar um em es-pecial:

5.3. O Jogo Didático Porque o fazemos? Não é porque o consideremos a mais eficiente forma de des-

pertar a motivação – já expusemos nossas idéias sobre o que é “mais eficiente”. Não é também porque essa atividade apenas possa ser utilizada como elemento propulsor da força motivadora. O fazemos, isso sim, - porque a atividade lúdica é intrínseca ao pró-prio ser humano. Basta se ter observado – em grande escala o fenômeno que acontece nos jogos olímpicos, mobilizando de crianças a velhos, independente de qualquer tipo de sectarismo, ou – em menor escala – o que acontece a volta de uma “pelada de rua” ou de um “volei familiar”- porque é uma atividade ainda pouco utilizada em sala de aula e que ainda não conseguiu impor o seu espaço como elemento propulsor no processo ensino-aprendizagem – porque é uma atividade que ainda não ganhou a confiança de muitos professores, especialmente dos que trabalham com 2º grau e alegam ou que “os


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alunos não gostam (só que nunca vivenciaram!) pois são grandes para brincar” ou que não “dá tempo”, ou que se sentem constrangidos de fazer joguinhos.

Por tudo isso, destacamos o jogo didático, e porque durante o tempo em que tra-balhamos com “Prática de Ensino de Matemática” tivemos a oportunidade de com os nossos estagiários elaborar e aplicar vários tipos de jogos didáticos e ouvir, com satisfa-ção, após o vivenciar da experiência e muitas vezes, só então a resistências vencidas – comentários do tipo “como eles gostaram!”, “vou ter que fazer outro”, “bah!, foi o con-teúdo que eles mais gostaram e se saíram melhor”, “não pensei que eles iam se entusi-asmar e trabalhar tão bem!”

A seguir vamos analisar o jogo didático quanto as finalidades, tipos e objetivos. a) Alguns dos objetivos do jogo didático na sala de aula:

• Incutir no aluno o espírito de disciplina através do cumprimento e/ou elaboração das regras do jogo;

• Combater certos complexos, pelo próprio entusiasmo com que os participantes se congregam;

• Educar a atenção; • Cultivar o espírito de solidariedade; • Desenvolver a lealdade – mesmo que inicialmente isso se faça por “fiscalização”; • Educar para competir; • Reavivar a simpatia pelo professor e pela disciplina.

b) Escolha e/ou criação do jogo: A escolha ou elaboração do jogo a ser aplicado deve merecer a maior atenção do

professor a fim de que se verifique a adequação entre o jogo e a turma para o qual é destinado. Em outras palavras é a aplicação desse ou daquele jogo não é inteiramente arbitrário. Um jogo realizado com êxito numa turma pode redundar em verdadeiro fra-casso quando aplicado noutra turma, noutra época. Cabe ao professor portanto escolher com cuidado o jogo mais adequado à maturidade da turma, número de alunos, tamanho da sala, grau de sociabilidade, material e tempo disponível.

c) Classificação quanto ao material: De acordo com o material empregado o jogo pode ser considerado:

- Simples – aquele em que o professor só utiliza material de uso em sala de aula; - Com material improvisado – aquele em que o professor distribui entre os participan-

tes, material por ele preparado previamente. - Com material permanente – aquele em que o professor utiliza o material já fabricado

especialmente para a finalidade, como dominó, jogos de armar. Não somos rígidos quanto a esse tipo de classificação, na verdade nem nos preo-

cupamos com ela em demasia. d) Planejamento e execução do Jogo

Como qualquer outra atividade didática o jogo didático a ser praticado em aula deve ser cuidadosamente planejado.

Nesse planejamento deve o professor atender ao seguinte: • A finalidade específica do jogo; • Se o jogo será simples ou vai exigir material; • Se o jogo será com competição ou sem competição; • Se o jogo será individual, de grupo ou coletivo;


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• O tempo a ser empregado no jogo; • Como será feito a motivação; • Como será apresentado o jogo; • A designação que será dada no jogo.

Antes de iniciar o jogo deverá o professor explicar, em termos bem claros, as re-gras que devem presidir a atividade lúdica.

Tratando-se do jogo com competição é indispensável que o professor esclareça a turma: 1) Sobre o número de partidas; 2) Sobre a contagem de pontos.

Nos jogos escritos, o maior cuidado do professor é evitar e suprimir a fraude. Não havendo esse cuidado o jogo deixará de ter função educativa.

Quando o professor surpreender um aluno em atitude irregular deverá adverti-lo com serenidade, mas com bastante energia.

e) Avaliação: Após a aplicação de um jogo didático o professor deve fazer uma avaliação, ana-

lisando se as finalidades foram alcançadas, assinalando se as finalidades foram alcança-das, assinalando os pontos que podem ser aperfeiçoados ou que devem ser mudados. Enfim o professor tem um jogo testado – o que não significa que deva ser aplicado “ce-gamente” em nova oportunidade, mas sim que é possível de novas aplicações desde que em condições equivalentes e/ou com adaptações convenientes.

Lembramo-nos de que “o jogo deve ser uma forma de levar o aluno a querer tu-do o que faz e não a fazer tudo o que quer”.

f) Sugestão de roteiro do jogo didático I – DADOS DE IDENTIFICAÇÃO Nome do Jogo: Curso: Disciplina: Série: Nº de alunos: Duração: Aplicador (a): II – OBJETIVOS III – CONTEÚDOS IV – MATERIAL UTILIZADO V – DESENVOLVIMENTO VI – AVALIAÇÃO VII – OBSERVAÇÕES


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6. COMO MINISTRAR CONTEÚDOS COM UM JOGO DE PALAVRAS16

6.1. Introdução Existe a possibilidade de se ministrar um tema de História ou Geografia, Mate-

mática ou Ciências, Língua Inglesa ou Portuguesa sem ficar à frente da classe expondo e, dessa forma, impondo a monotonia e o cansaço?

Pode esse tema, posteriormente avaliado, garantir igual ou maior compreensão e lucidez por parte dos alunos, que se ministrado através de aula expositiva? É possível na regência dessa aula, conquistar a certeza de que sua apresentação não suscitará indisci-plina, desinteresse e apatia? Pode esse tema garantir ao professor menos dispêndio de energia que o imposto por aula tradicional?

A resposta a essa pergunta é afirmativa e, ainda de quebra, a ela outras conquis-tas positivas se agregará. Será possível com esse trabalho alcançar não apenas as disci-plinas acima relacionadas como outra qualquer, poderá esse trabalho, devidamente a-daptado, ser executado em qualquer série ou nível de escolaridade e, bem mais que ape-nas uma compreensão literal do que se expõe, será possível trabalhar-se simultaneamen-te o texto e contexto, desenvolvendo do raciocínio lógico e levando os alunos a uma aprendizagem significativa e exploração de habilidades operatórias mais amplas que as provocadas por simples explanação.

No desempenho desse trabalho o professor poderá estar se aproximando dos so-nhos de Piaget, ao levar o aluno não a conquistar um conhecimento interiorizando-o de fora para dentro, mas construindo-o interiormente em um processo de assimilação, tor-nando o apreendido compatível com as estruturas mentais do apreendente e, dessa for-ma, específico para cada um. E tudo isso apenas com a coragem em se substituir uma tradicional exposição por um envolvente e motivador Jogo de Palavras.

Mas, como fazê-lo? Em primeiro lugar garantindo que os alunos tenham “alguma idéia” sobre o

tema, conquistada através de uma leitura ou de outro processo de informação. Em segundo lugar, organizando os alunos em duplas, trios ou quartetos e, dessa

forma, fazendo-os falar e, por falar estimular as estruturas mentais do pensar; por último organizando, com critério e acuidade, uma, duas ou três sentenças sobre o assunto es-colhido.

Após a seleção dessas questões, extremamente pertinentes e significativas em re-lação a essência e objetivos do texto, fragmentá-las separando cada uma das palavras e escrevendo cada palavra em um pequeno quadrado de papel. Mais fácil é quadricular-se uma folha antes, escrever as palavras em cada dos quadrados e somente depois cortá-la.

Esse emaranhado de palavras, amontoadas ao acaso e unidas fora de ordem compõe o recurso material do “jogo de palavras”.

Com tantas cópias desse material, quantas duplas, trios ou grupos se contam em classe, basta entregá-la aos alunos destacando que sua tarefa, à imagem de quem monta quebra-cabeças, será tentar ordenar as frases, emprestando-lhe sentido lógico. Algo, por exemplo, similar que afirmar “É construção coisa não que de, mas fora processo o inte-

16 http://www.celsoantunes.com.br/pt/projetos.php


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rativo de um conhecimento vem do interior” e que ordenado expressaria “O conheci-mento não é uma coisa que vem de fora, mas processo interativo de construção interi-or”.

Ao se envolverem no desafio que essa atividade abriga, os alunos encontrariam motivação por ver substituída sua postura passiva de ouvinte por ação solidária de joga-dor; motivados, não se desviariam da tarefa e, portanto, estariam interessados e discipli-nados, o professor economizaria energia, pois estaria substituindo tradicional discurso, por ajuda interativa e, essa aula, levaria o aluno a falar, trocar idéias, buscar esquemas de solução e por essas vias pensar, usando habilidades que envolveriam análise e sínte-se, comparação e classificação, dedução e contextualização. Ao invés de se colocarem de forma passiva diante de um texto, estariam exercitando esquemas de assimilação em atividade pura diante do objeto da aprendizagem, simbolizado pelo texto fragmentado, ao qual buscariam uma estrutura lógica. Nessa atividade o professor transformou texto em contexto, colocou em ação mecanismos de uso dos hemisférios cerebrais direito e esquerdo e, levando a seus alunos jogo desafiador e atraente, através do mesmo ensinou que o novo conhecimento não se sobrepõe aos conhecimentos anteriores, mas a eles se compõe modificando-o.

6.2. Como ministrar conteúdos com o autódromo? O Autódromo é um jogo operatório dos mais interessantes, mas deve ser aplica-

do uma vez ou outra, alternando-o com outros jogos operatórios e aulas expositivas di-versas.

Embora cause motivação, interesse, envolvimento e participação dos alunos, a freqüência de uso constante acaba desgastando-o Para essa interessante atividade, os alunos necessitam estar agrupados em equipes e cada equipe deve abrigar um mínimo de quatro e, um máximo de sete componentes.

Cada equipe deve ter um nome escolhido livremente pelos alunos. Com as equi-pes constituídas o professor explica o(s) tema(s) ou conteúdos que serão cobrados du-rante o Autódromo.

Com a classe dividida em equipes e os componentes de cada equipe sentados próximos uns aos outros, o professor organiza uma listagem de questões sobre o assunto trabalhado. Essas questões devem estar agrupadas duas a duas, como no exemplo abai-xo, e como cada questão pode ser verdadeira (V) ou falsa (F) as duas juntas permitem quatro respostas possíveis:

VV – As duas questões são verdadeiras VF – A primeira questão é verdadeira e a segunda falsa FF – As duas questões são falsas FV – A primeira questão é falsa e a segunda verdadeira. Exemplo Questão 1 – A soma de quatro mais sete é onze / Extraindo-se seis de onze o re-

sultado é quatro. Como é fácil perceber, a resposta correta a essa questão é VF, pois a primeira (4

+ 7 = 11) é verdadeira, mas a segunda é falsa (Extraindo-se seis de onze o resultado é cinco e não quatro).

Com dez a quinze questões duplas como demonstrado no exemplo e naturalmen-te dentro do assunto marcado para a atividade, o professor possui o material necessário ao Autódromo. Solicita, a seguir, que cada grupo prepare em meia folha de papel, com


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giz colorido, quatro papeletas diferentes, onde aparecem com letras graúdas as alternati-vas possíveis de respostas (VV – VF – FF – FV).

Organiza a lousa para o Autódromo e, portanto, escreve o nome das equipes um abaixo do outro como demonstra o exemplo e ao alto, na vertical, a sucessão de pontos que o desempenho das equipes possibilitará alcançar. A lousa, portanto, ficaria assim:

Equipes 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 Verde

Amarela Azul

Vermelha Branca Laranja

Roxo Com a “pista” do Autódromo desenhada na lousa, cada grupo com suas quatro

papeletas e o professor com a relação das questões, estão prontos os recursos essenciais a aplicação do Autódromo. Antes de iniciá-lo, entretanto, o professor passará em cada equipe iniciando pela que mais alunos tiver e atribuirá aleatoriamente a cada um deles uma letra do alfabeto. Assim um aluno será o “A” ou outro “B” e assim por diante.

Procederá da mesma forma nas demais equipes e caso uma delas tenha menos alunos um mesmo ficará com duas letras. Por exemplo: A equipe Verde possui seis alu-nos e dessa forma um aluno será o “A”, o outro o “B” até o último que será o “F”. Diri-gindo-se a equipe Amarela e percebendo que na mesma existem apenas quatro alunos, um deles será o “A” e “F”, o outro “B” e “E”, o terceiro “C” e o quarto “D”. Agindo dessa forma cada equipe contará com representantes para todas as letras atribuídas.

É, então, hora de começar o Autódromo. O professor lê a primeira questão dupla, concede as equipe um espaço de tempo

de dez a quinze segundos para optarem por uma das quatro respostas possíveis e após esse tempo, dá um sinal avisando que o prazo terminou. Chama a seguir uma letra, por exemplo, a letra “C” e os alunos de todas as equipes que tiverem essa letra deverão ficar imediatamente de pé, com uma das quatro papeletas escolhidas voltadas contra o peito.

A seguir o professor chama cada uma das equipes e o aluno exibe a papeleta com a qual acredita ser a resposta correta. O professor anota essa resposta na lousa, sem anunciá-la como “certa” ou como “errada” e após a manifestação do último grupo, a-nuncia a resposta correta. Em seguida, marco no espaço da lousa os grupos que acerta-ram e passam a fazer juz a cem pontos. Vamos supor que apenas as equipe AMARELA e BRANCA acertaram. A lousa ficará assim:

Equipes 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 Verde

Amarela X Azul

Vermelha Branca X Laranja

Roxo


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Registrado o desempenho das equipes, faz-se a segunda questão e assim sucessi-vamente até o final da aula.

O sucesso do Autódromo depende sempre da qualidade das questões organiza-das. Uma relação de questões apenas memorativa em nada contribui para a aprendiza-gem dos alunos, mas o professor que prepara questões intrigantes e desafiadoras, obterá empenho, interesse e sobretudo aprendizagem.

6.3. Como ministrar conteúdos com o jogo do telefone? O Jogo do telefone é outro Jogo Operatório dos mais interessantes e que possui a

propriedade de despertar envolvimento, interesse, criatividade e plena participação dos alunos. Tal como o Jogo de Palavras ou o Autódromo, deve ser desenvolvido uma vez ou outra, evitando o desgaste inevitável de uma repetitividade constante. A atividade, tal como os jogos operatórios anteriores, necessita que os alunos estejam organizados em diferentes equipes.

Para a realização dessa atividade é necessário que o professor prepare um diálo-go telefônico imaginário entre duas pessoas, abordando o assunto escolhido para a ati-vidade. Veja o exemplo.

Ricardo: – Oi Juliana. Você poderia dizer o que vai cair na prova de História amanhã?

Juliana: – Pois não, Ricardo. A professora vai organizar questões sobre os pri-meiros cinqüenta anos da História do Brasil. Portanto você deve estudar desde as Gran-des Navegações dos Séculos XV e XVI e passar pelo Descobrimento do Brasil e a orga-nização das Capitânias Hereditárias...

Ricardo: – Puxa! É bastante matéria e creio que estou um pouco perdido em re-lação às Grandes Navegações. O que esse tema, que não aconteceu no Brasil, tem a ver com as Capitanias Hereditárias...

Como destaca o exemplo acima, o diálogo prossegue com cada um dos persona-gens apresentando umas oito a dez falas até encerrar-se a “conversa”.

Com o diálogo telefônico bem organizado, basta preparar-se uma cópia para ca-da equipe, tomando, entretanto o cuidado de apresentar a fala de apenas um dos perso-nagens (Juliana ou Ricardo) cabendo aos alunos, organizados em grupos, construírem a fala do outro personagem, baseando nos elementos que dispõe.

A tarefa dos grupos não é a de adivinhar o texto originalmente preparado pelo professor, mas tomando por base as colocações de um dos personagens criar uma estru-tura de seqüência do diálogo. E evidente que a resposta de um grupo jamais será idênti-ca a de outro, mas podem revelar qualidade se no trabalho existir coerência e envolvi-mento lógico.

O Jogo do Telefone exige de cada equipe pleno domínio do conteúdo marcado para a atividade e extrema criatividade e, após a realização do Jogo uma ou duas vezes, o professor poderá ir progressivamente apresentando outros com dificuldades crescen-tes, exigindo assim estudo, empenho, criatividade. Com o tempo, personagens históricos ou não humanos podem compor a dupla do diálogo e, dessa forma, criar-se diálogos telefônicos imaginários entre, por exemplo, Cabral e Pero Vaz de Caminha, entre uma Monocotiledônea e uma Dicotiledônea, entre uma Rocha Sedimentar e uma Rocha Me-tamórfica e inúmeros outros.


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6.4. Como ministrar conteúdos com o cochicho? O cochicho é um jogo operatório vibrante que envolve e emociona os alunos, e

se presta ao desenvolvimento de qualquer conteúdo curricular para qualquer série ou ciclo de estudos. Vale-se da organização dos alunos em grupos ou equipes de quatro a sete componentes e para seu desenvolvimento é essencial que o professor trabalhe um tema do qual os alunos tenham algum conhecimento. Embora realizado pelos alunos organizados em grupo permite identificar o desempenho individual de cada aluno.

Para que exista esse conhecimento prévio sobre o tema, o professor pode solici-tar uma leitura, pesquisa bibliográfica ou apresentar uma síntese, enriquecida por per-guntas diversas que os alunos devem buscar responder. Com o tema ou conteúdo escolar definido e os alunos organizados em grupos marca-se a aula em que se aplicará o Co-chicho. Iniciada a atividade, solicita-se que cada aluno disponha de uma tira de papel com aproximadamente vinte centímetros de altura e quatro de largura. Essa tira de pa-pel, deverá ser dividida em outras duas, a primeira formando um pequeno quadrado de quatro por quatro centímetros onde cada aluno deverá anotar seu nome e no verso o nome da equipe a que pertence. Com a tira de papel restante, se anotará ao alto o nome do grupo.

Um aluno de cada grupo deverá recolher o pedaço de papel em que consta o no-me de cada participante, trazer à mesa do professor, amontoá-los deixando separado de outros montes com nomes de alunos de outras equipes. O professor irá retirando um por um os papéis sobre sua mesa e anunciando a formação de duplas entre aluno de uma equipe contra aluno de outro até esgotar-se o último papel. Caso a quantidade de alunos em sala seja um número impar, os três últimos formarão um trio. Após esse sorteio to-dos os alunos já saberão com quem deverão jogar, isto é o nome do colega de outra e-quipe com a qual irão se defrontar. Nessa oportunidade, o professor sinaliza para que cada aluno sente-se em qualquer lugar da classe, desde que ao lado do colega de outra equipe que forma a dupla – ou eventualmente – o trio sorteado. O aluno deverá levar consigo uma caneta e a tira de papel com o nome do grupo que preparou logo no início da aula, como explicado acima.

Com os alunos organizados, o professor inicia o Cochicho formulando questões relativas ao tema estudado. Essas questões necessitam ser “fechadas” isto é, verdadei-ro/falso ou de múltiplas alternativas ou ainda apresentarem resposta que sejam expres-sas por poucas palavras. Ao organizar essas questões o professor deve evitar as de natu-reza essencialmente memorativas e que, portanto, não explorem a reflexão, análise, de-dução e conclusão. Por exemplo: evitar questões do tipo “Nome da capital do Estado do Pará”, preferindo outras como “nome de uma cidade, situada na Região Norte, capital de um Estado que se destaca por importante atividade mineral, agroindústria e pecuária e que no passado se identificava como grande produtor de castanha e borracha”.

Dispondo de uma lista de questões reflexivas e envolventes sobre o tema marca-do pelo Cochicho, o professor apresenta a primeira questão e oferece aos alunos um tempo para refletirem e anotar sua resposta. Após esses lapsos de tempo, solicita que cada aluno apresente sua resposta ao parceiro e, em seguida, anuncia a resposta correta. Após esse anúncio em cada dupla de alunos assiste três posições possíveis: zero a zero (os dois erraram), um a zero (um dos dois acertou e o outro não) e um a um (os dois acertaram).


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O Cochicho prossegue com a formulação de outra e depois mais outra questão, até o limite de tempo possível. Cerca de dez minutos antes de encerrar a aula, o profes-sor afere a contagem final; isto é, quantos pontos – acertos – foi realizado pelo conjunto de alunos de cada equipe. Caso a quantidade de alunos por equipe não seja uniforme, deve extrair a média de acertos de cada equipe, dividindo-se o total de respostas corretas pelos alunos que participaram do Cochicho.

Ao final da aula, registra o quadro com a classificação das equipes, destacando as que mais pontos fizeram. O uso ou não dos pontos conquistados no Cochicho como atributo de uma média do aluno é possível caso o professor assim pretenda e será expli-cado em outro capítulo deste trabalho.

Parece importante destacar que o sucesso de um Cochicho depende menos da forma com é a atividade organizada pelo professor e bem mais da qualidade reflexiva das questões organizadas. Estas devem visar sempre uma aprendizagem efetivamente significativa, explorando diversas habilidades operatórias.

6.5. Como ministrar conteúdos com o arquipélago? O Arquipélago é outro jogo operatório muito interessante a atraente e se organi-

zado com questões reflexivas, ajuda a construção do conhecimento e domínio de conte-údos. Ainda que se preste para inúmeras outras formas de utilização seu uso principal visa a análise, interpretação e assimilação de um texto de qualquer disciplina em qual-quer nível de escolaridade. O nome “Arquipélago” deriva do fato dos alunos na maior parte do tempo sentarem-se juntos, organizados em equipes, tal como “ilhas” de um conjunto.

O desenvolvimento do Arquipélago organiza-se através de quatro etapas. Previ-amente os alunos deverão ser informados sobre o texto que deverão analisar, sendo de-sejável leituras e discussões prévias sobre o mesmo. Com os alunos reunidos o profes-sor dá início ao Arquipélago solicitando que individualmente façam uma atenta leitura sobre o texto, levantando o braço no caso de dúvidas. Enquanto essa leitura é feita, o professor percorre os diferentes grupos, ajudando os alunos no esclarecimento de suas dificuldades.

Concluída essa releitura prévia, tem início a primeira etapa do Arquipélago: Primeira etapa. O professor escolhe um aluno de cada grupo que deverá sentar em outro grupo

que não o seu, levando um pedaço de papel e uma caneta. Com os alunos acomodados, solicita que anotem no papel o nome de seu grupo e a seguir propõe quatro a seis ques-tões sobre o texto, possibilitando “respostas fechadas”, como VV, VF, FF ou FV ou ainda outras. Após anotar as respostas os alunos que representam seu grupo devem re-tornar ao mesmo, deixando na equipe que os recebeu o papel com suas respostas. O professor aguarda esse retorno e anuncia as respostas certas que deverá ser corrigida pelo grupo que acolheu esse aluno visitante. São atribuídos pontos (50, 100 ou 150 para cada resposta certa) sendo facultado ao professor “descontar ou não pontos” pelas res-postas erradas. A equipe que acolheu o aluno, após a correção, informa o resultado que deve ser registrado pelo professor na lousa ou em seu diário de classe.

Segunda etapa. O professor autoriza nova e breve consulta sobre o texto e após a mesma formu-

la uma questão geral que cada grupo deverá responder por escrito. Informa o valor dessa questão (por exemplo, 400 pontos) e os mesmos serão divididos entre as equipes que


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acertaram. Assim, se duas equipes acertaram a resposta apresentada, cada uma delas acrescentará 200 pontos ao saldo acumulado pela participação do aluno representante na primeira etapa. Com esse resultado o “placar” vai se alterando e as equipe vão ou não acumulando mais pontos.

Terceira etapa. A terceira etapa é semelhante à primeira, mas desta vez cabe a equipe o direito

de escolha de seu representante. Este se dirige a outra equipe, levando papel e caneta, para responder as questões formuladas pelo professor. Após essa etapa ainda uma vez o “placar” vai sendo progressivamente alterado, destacando a(s) equipe(s) que revela(m) maior capacidade de compreensão do texto.

Quarta etapa. A derradeira etapa do Arquipélago é similar à segunda ou então se caracteriza

pela abertura para que uma equipe formule uma questão a outra, de maneira que todas possam dispor da mesma possibilidade de respostas. Assim a equipe Verde, por exem-plo, formula uma questão à Amarela, a equipe Amarela à equipe Azul e assim por dian-te.

Concluída a quarta etapa encerra-se o Arquipélago com o devido registro dos pontos acumulados pelas equipes. Nas primeiras oportunidades em que essa estratégia é aplicada é essencial que o texto seja bastante simples assim como as perguntas formula-das pelo professor com respeito a sua interpretação, mas a sucessão de atividades permi-te que progressivamente seja aumentada a complexidade do texto e das questões desafi-adoras propostas. Alternando participações individuais (na primeira e na terceira etapa) com decisões consensuais (na segunda e a na quarta etapa) a atividade é extremamente dinâmica e envolvente, altamente motivadora e permite significativo exercício de a-prendizagem significativa, através de análises e interpretações de texto.

6.6. Como ministrar conteúdos com o hiper-arquipélago? O Hiper-Arquipélago é um jogo operatório extremamente simples e seu nome

deriva da estratégia anteriormente exposta, pois constitui em ocupar durante todo o tempo de uma aula, de uma única etapa do Arquipélago. Como foi explicada no “Arqui-pélago”, a primeira etapa caracteriza-se pela participação de um único aluno que, repre-sentando sua equipe, respondia questões formuladas pelo professor. Pois bem, o Hiper-Arquipélago, tal como na primeira etapa do Arquipélago ou na última etapa do Painel Integrado é constituído pelo envolvimento dos alunos, todos eles, respondendo indivi-dualmente as questões formuladas pelo professor e ao fazê-lo, representar sua equipe.

Nesse sentido, o Hiper-Arquipélago assemelha-se a uma prova tradicional, com cada aluno e sua carteira, respondendo individualmente e por escrito as questões formu-ladas pelo seu professor. Ocorre, entretanto, que em uma prova convencional o aluno responde as questões em seu nome pessoal e os acertos que conquista representam pon-tuação própria, enquanto que no Hiper-Arquipélago os alunos, individualmente, res-pondem para sua equipe e desta for, os pontos que auferem são computados globalmen-te para o grupo.

Procure conceber o Hiper-Arquipélago, imaginando a seguinte situação. Carteiras enfileiradas, uma atrás das outras, como arrumadas para uma prova

convencional. Em cada carteira um aluno com uma tira de papel que leva ao alto não seu nome, mas o nome de seu grupo. A frente da classe, o professor com uma listagem de questões significativas que propõe respostas simples (por exemplo: A, B, C, D, E


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como em um teste de múltipla escolha, VVV, VVF, VFF. FFF, FVV, FVF, VFV, FFV. Ou ainda questões que proponham o resultado de uma operação matemática, uma fór-mula ou mesmo um conceito apresentado de forma sintética) e que formulará aos alu-nos.

Apresentadas as questões, um aluno de cada equipe recolhe as de seu grupo, traz à frente e o professor passa as questões de um grupo para outro responder, de tal forma que todos os alunos recebam a folha com as respostas, sem possibilidade de identificar o colega que respondeu uma vez que essa folha traz apenas nome dos grupos. Nessa opor-tunidade o professor solicita aos alunos que verifiquem se existem questões rasuradas, nesse caso autenticando-as com uma rubrica, para evitar que a rasura possa ser provoca-da pelo aluno que corrige e que demonstre interesse em prejudicar a equipe concorrente.

Concluída essa providência, apresenta as respostas corretas para a devida corre-ção.

Após essas respostas, solicita aos alunos de uma equipe – que estão corrigindo questões de outras equipes – que fiquem de pé e informem quantos acertos existem nas folhas corrigidas. Soma esses acertos e registra na lousa, chamando a seguir outra equi-pe até que obtenha a pontuação de todas as equipes.

Como é provável que existam equipes com mais ou com menos alunos é sempre importante calcular-se a média dos acertos e, dessa forma, se a equipe Amarela, por exemplo, totalizou 42 acertos como seis representantes, sua média será sete (uma vez que 42 dividido por seis, corresponde a média sete), igual a da equipe Azul que obteve 35 acertos, com cinco representantes.

Estabelecida a posição dos grupos e o empenho dos alunos está concluído o Hi-per-Arquipélago. É importante destacar que atividades que individualizam a participa-ção dos alunos ocasionam inevitáveis ressentimentos dos que obtendo maior número de acertos, descobrem que a pontuação da equipe ficou reduzida pelo insucesso de alguns. É por esse motivo que todo trabalho em grupo necessita que o educador faça um pacien-te e persistente trabalho com os alunos, mostrando a importância de uma ação solidária e a necessidade de aceitar-se em uma coletividade a desigualdade na produção que, a-tingindo este hoje pode alcançar outro amanhã. É interessante mostrar aos alunos que em uma equipe esportiva, por exemplo, “nem todos são craques”, mas que a solidarie-dade se constrói com uma construção laboriosa e recíproca, com alguns alunos mais capazes, ajudando outros em seu preparo para trabalhar esta ou aquela atividade.

Como acima se disse um trabalho dessa natureza não prepara os alunos apenas para as contingências de se aceitar o outro em atividades escolares, mas até mesmo para a vida social, para o mundo do trabalho cooperativo que, por certo necessitarão vivenci-ar. É por essa razão que esse trabalho não pode ser refletido como “um ou outro eventu-al conselho”, mas como uma proposta de educação solidária que deve ser assumida pela maior parte dos professores, mesmo pelos que eventualmente optem por não trabalhar com grupos.

6.7. Como ministrar conteúdos com o torneio? O Torneio é uma atividade pedagógica que simula um campeonato esportivo on-

de todas as equipes se enfrentam, responde questões significativas, preparadas pelo pro-fessor, sobre um tema específico. Esse tema pode ou não ter sido antes explicado e em caso positivo o Torneio seria uma oportunidade de se proceder a revisão do conteúdo efetivamente apreendido. Em outra circunstância, o professor pode marcar um conteúdo


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a ser estudado, indicar diferentes fontes de pesquisa, propor o desafio de algumas per-guntas sobre esse tema e sugerir que os alunos se preparem, estudando individualmente e reunindo-se em grupos para avaliarem-se. Optando-se por essa forma, o professor antes da realização do Torneio deve abrir um espaço para o devido esclarecimento de dúvidas e somente após a certeza de terem sido todas efetivamente superadas é que deve dar início a atividade.

Para que o Torneio se concretize é essencial a existência de uma “tabela” como a que abaixo sugerimos, supondo a existência de seis equipes em uma classe. Após a di-vulgação da tabela, o professor informa, se assim julgar válido, a pontuação que cada equipe receberá por seu desempenho (Por exemplo: 1º colocado = 700 pontos; 2º colo-cado = 600 pontos; 3º colocado = 500 pontos e assim por diante).

Com essas providências tomadas, tem inicio o torneio com o professor formu-lando quatro, cinco, seis ou mais questões fechadas sobre o assunto marcado e dando um tempo para que as equipes apresentem suas respostas. Cabe ao professor estabelecer se a construção das mesmas será ou não realizadas com consultas e a forma como serão apresentadas. Esgotado o tempo previsto, solicita a um membro de cada equipe que tra-ga à frente as anotações das respostas, confere-as e apresenta o resultado.

Da mesma maneira como em um campeonato esportivo, pode atribuir três pon-tos para a equipe que venceu seu adversário e um ponto em caso de empate ou ainda considerar como pontuação da equipe o total de acertos. (Por exemplo: Na primeira ro-dada a equipe Verde acertou 5 das sete questões e portanto venceu a equipe Azul que acertou 3 das sete questões – 5 a 3 – e nesse caso a equipe Verde conquistou três pontos por sua vitória e a equipe Azul nenhum ou, caso o professor prefira, a Equipe Verde conquistou cinco pontos e a equipe Azul conquistou 3). Anotados os resultados da pri-meira rodada, inicia-se a segunda e assim por diante até a rodada final, com a classifica-ção definitiva.

Modelo de uma tabela para o Torneio 1ª Rodada 2ª Rodada 3ª Rodada

Verde � Amarela Azul � Branca

Vermelha � Laranja

Verde � Laranja Azul � Vermelha Amarela � Branca

Verde � Azul Amarela � Laranja Branca � Vermelha

4ª Rodada 5ª Rodada Verde � Branca

Amarela � Vermelha Laranja � Azul

Azul � Amarela

Branca � Laranja Vermelha � Verde

6.8. Como transformar pontos ganhos pelas equipes em notas? A primeira e mais importante questão, a se formular sobre o título deste capítulo

é sem dúvida, por que transformar pontos ganhos pelas equipes em notas? Não existe a possibilidade de uma resposta única.

Essa questão constitui decisão específica do professor. Caso pretenda desenvol-ver jogos operatórios sem lhes atribuir valor que se transformem em notas, está agindo de forma tão correta quanto outro colega que opta por fazer dos jogos operatórios uma forma de se obter notas mais elevadas. A avaliação da aprendizagem escolar não pode se implantar por novas rígidas, uma vez que deverá ser sempre meio para se aferir a


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efetiva aprendizagem. A nota vale apenas como uma referência para que o aluno saiba seu desempenho, jamais um critério para selecionar bons ou maus alunos.

O verdadeiro compromisso do professor é com a aprendizagem significativa e a nota que atribui apenas um elemento que expressa essa aprendizagem. Portanto a trans-formação de pontos ganhos pelas equipes em notas constitui decisão do professor que poderá dispensá-la se acredita que os alunos estão aprendendo o que ensina de forma significativa.

Caso, entretanto, julgue que o desempenho dos alunos nos Jogos Operatórios de-senvolvidos resultou de um esforço construtivo e deseje expressar a diferença entre os que mais e que menos se esforçaram, apresentamos uma proposta de transformação de pontos em notas que poderá ou não ser adotada pelo professor. Alguns, por exemplo, combinam com a classe que o primeiro lugar em seu desempenho nos diferentes jogos pode valer um ou dois pontos na avaliação final e, dessa forma, atribui pontos sem, en-tretanto, estabelecer uma relação direta entre cada atividade e o desempenho revelado. Também está agindo de maneira correta quem assim procede.

Outra forma de avaliação consiste em se somar os pontos obtidos pelos grupos nos diferentes jogos propostos, tal como o de equipes que disputam um campeonato, chegando a uma classificação. Por exemplo: Durante um bimestre, o professor trabalhou com a classe ministrando aulas expositivas diversas e ainda aplicou, por exemplo, um Arquipélago, um Autódromo e um Cochicho. Totalizou os pontos e o resultado final do bimestre foi:

Equipes Arquipélago Autódromo Cochicho Total Verde 500 400 500 1.400

Amarela 600 500 600 1.700 Azul 300 400 400 1.100

Vermelha 400 400 400 1.200 Branca 600 600 600 1.500 Laranja 600 300 600 1.800

No exemplo destacado acima, a equipe que mais pontos somou no bimestre foi a equipe Branca (1.800) e, nessa circunstância merece receber a mais alta nota (que pode ser 10,0). Considerando que 1.800 pontos equivalem a 10,0, uma regra de três simples nos revela que cada 180 pontos conquistados por qualquer equipe deve equivaler a 1,0. (Um)

Portanto: Equipe Pontuação Nota Verde 1.400 7,7 (pois 1.400 � 180 � 7,7)

Amarela 1.700 9,4 Azul 1.100 6,1

Vermelha 1.200 6,6 Laranja 1.500 8,3 Branca 1.800 10,0

Considerando esse exemplo, cada aluno de cada equipe, se tivesse participado de todos os Jogos Operatórios teriam direito a nota recebida pela equipe. Fica a critério de o professor descontar ou não do aluno que não tenha participado de um ou de outro jogo, os pontos auferidos pela equipe durante sua aplicação. Por exemplo: A equipe


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Laranja conquistou 600 pontos no Cochicho e caso um de seus integrantes tenha faltado sem justificativa quando da aplicação do mesmo, estaria perdendo 3,3 pontos (pois 600 � 180 = 3,3) e, dessa forma, recebendo 5,0 por sua atuação em Jogos Operatórios e não 8,3 pontos como os recebidos por seus colegas que participaram de todas as atividades).

Os pontos ganhos pelos alunos nos Jogos Operatórios poderiam compor uma de suas notas e esta teria o peso correspondente, atribuído pelo professor. Seria assim possível o professor atribuir, por exemplo, peso sete para as provas individuais e peso três para a participação dos alunos em Jogos Operatórios.

Torna-se importante destacar que a idéia proposta por este capítulo serve apenas como uma sugestão e que, dessa forma, deverá ser submetida a apreciação, análise do professor envolvido, da Coordenação e Direção da Escola e, se possível, do conheci-mento de toda equipe discente e docente.

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