EQUAO DE EULER PARA CLCULO VARIACIONAL: FUNDAMENTO PARA CONDIO
DE PRIMEIRA ORDEM
O problema bsico do clculo variacional determinar uma funo tal
que a integral seja um extremo (mximo ou mnimo), para e
fixos[footnoteRef:1]: [1: No necessrio que os limites de integrao
sejam fixos. Porm, se puderem variar, o problema de minimizar ou
maximizar a integral J incluir no s a busca de y(x), mas tambm de e
tal que J seja um extremo.]
Se considerarmos que y(x) fornece o valor mnimo para a integral
J, qualquer funo vizinha de y, por mais perto que possa ser,
fornecer um valor maior para J.Para definir a funo vizinha de y
podemos usar a seguinte definio:
Onde para , e de modo que de modo que e . Podemos esquematizar o
descrito acima no seguinte grfico:
Se, ao invs de usarmos a funo , usarmos na equao , J se torna
funo de , de modo que:
A condio de um resultado extremo que
Para qualquer funo .Para determinar o resultado da condio
expressa por , vamos fazer a diferenciao de :
Como consideramos os limites fixos, a diferenciao afeta somente
o integrando. Assim podemos passar para dentro a derivada parcial
de modo que teremos
Pois somente y e y (derivada de y em relao a x) que dependem de
. Mas temos que, de ,
e
mas
portanto
fazendo com que
Substituindo e em , temos:
Podemos integrar por partes a segunda parte do integrando
fazendo
Onde:eAssim, temos que e que
Substituindo em temos:
Com isso, e equao pode ser escrita como:
A integral tem que ser zero para qualquer que seja . Isto s
acontecer se forarmos esta condio estabelecendo:
Devemos lembrar que quando e do integrando ficam e , ou seja,
deve ser diferenciada em funo de e . Este resultado conhecido como
Equao de Euler.
