Equações diferenciais ordinárias de segunda ordem

Forma geral de uma equação linear

)()(')('' xryxgyxfy Qualquer equação de segunda ordem que não possa ser escrita assim é dita não-linear

0)1('''

sen4''22

yxxyyx

xeyy x

0''

0'''

xyy

yyy

Não-linear

Equações Homogêneas

0)(')('' yxgyxfyNeste caso r(x) = 0

Teorema:

a) se y1 e uma solução então ky1 também é uma solução

b) Se y1 e y2 são soluções então y1 + y2 também é solução

O teorema é conhecido como princípio de superposição ou de linearidade

Só é válido para equações lineares-homogêneas

Equações de segunda ordem, Homogêneas com coeficientes constates

0''' byayy

Vamos supor a e b reais

Lembrando que para a solução é:

Neste caso temos que:

0' kyyxey

x

x

ey

ey

2''

'

0)( 2 xeba

Equação característica

0)( 2 ba

Substituindo na equação diferencial temos:

Portanto:

baaebaa 4

2

14

2

1 22

21

Obtendo os valores

A solução do Sistema Homogêneo

x

x

ey

ey

2

1

2

1

Dado que a e b na equação característica são reais temos os seguintes casos possíveis:

a) 1 e 2 são reais e distintas

b) 1 e 2 são complexas conjugadas

c) 1 e 2 são reais e iguais

Solução Geral

Teorema: a solução y(x) = c1y1(x)+c2y2(x) constitui uma solução geral em um intervalo I do eixo dos x se, e só se, as funções y1 e y2 constituírem um sistema fundamental de soluções

y1 e y2 constituem um sistema fundamental se, e só se, se quociente y1/y2 não for uma constante em I, mas depender de x

Exemplo: as funções

são soluções do sistema:

xx eyeey 221

02''' yyy

Dado que y1/y2 não é constante constituem um sistema fundamental e a solução geral do sistema será

xx ececycycy 2212211

Raízes complexas na equação característica

Dado o polinômio característico:

0)( 2 baNa forma geral temos que

1 = p + iq

2 = p – iq

e as soluções são complexas

xiqpxiqp eyey )(2

)(1 ,

Aplicando as Fórmulas de Euler

sencos,sencos ieie ii

) )qxiqxeeeey

qxiqxeeeeypxiqxpxxiqp

pxiqxpxxiqp

sencos

sencos)(

2

)(1

qxeyyi

qxeyy

px

px

sen)(2

1

cos)(2

1

21

21

Os lados direitos das equações são linearmente independentes em qualquer intervalo

Desta maneira, formam um sistemas fundamental

A solução geral é então:

)sencos()( qxBqxAexy px

Raiz Dupla na Equação Característica

No caso de 1 = 2 temos o chamado caso crítico

1 = 2 são reais, teste caso a2 - 4b = 0

b = a2/4

Neste caso = -a/2

E obtemos uma única solução: y1=e x

baaebaa 4

2

14

2

1 22

21

Encontrando y2y2(x) = u(x)y1(x)

Onde y1=e x

Para o caso de raiz dupla a equação diferencial tem a forma

04

1''' 2 yaayy

Substituindo y2 nesta equação temos:

0'')'2(')4

1'''( 1111

211 yuayyuyaayyu

0''

0'' 1

u

e

yuPortanto u = x

E temos y2=xe x1

2/1 2

2'2 ayea

y ax

A solução no caso de raiz dupla

Teorema: No caso de raiz dupla a solução do sistema é da forma:

2:

)( 21

acom

exccy x

O problema da Unicidade da Solução

O problema de valor inicial para uma equação diferencial de segunda ordem consiste da equação e de duas condições iniciais, uma para y(x) e outra para y’(x)

210 )0(')(

0)(')(''

KyeKxy

tendo

yxgyxfy

Equação de Cauchy

0'''2 byaxyyx

Pode ser resolvida usando manipulações algébricas

y = xm

0)1( 122 mmm bxaxmxxmmx

0)1( 122 mmm bxaxmxxmmx

Dividindo a equação por xm (não nulo para x 0) temos:

) 0/)1( 122 mmmm xbxaxmxxmmx

) 0)1( bammm

) 012 bmam

Manipulando Algebricamente

Se as raízes m1 e m2 são diferentes de zero então as funções:

1)(1mxxy 2)(2

mxxy

constituem um sistema fundamental de soluções na equação de Cauchy

Isto é válido para qualquer valor de x para os quais estas funções são reais e finitas

A solução geral correspondente é:

2121)( mm xcxcxy

Exemplo

02

3'

2

3''2 yxyyx

02

3

2

52 mm

As raízes são m1 = -1/2 e m2 = 3

O sistema fundamental será: 321 ,

1xy

xy

32

1 xcx

cy Solução:

Equação auxiliar

Equações Lineares não Homogêneas

)()(')('' xryxgyxfy

A solução tem a forma: )()()( xyxyxy ph

Isto constitui um dos teoremas fundamentais das equações diferenciais!!!

A solução Particular

Métodos dos coeficientes a Determinar

qxk

qxk

ke

nkxpx

n

sen

cos

,...)1,0(

px

nn

nn

Ce

KxkxKxK 011

1 ...

qxMqxK sencos

F_mola

F_amortecedor

+m

F_aplicada

Tomando uma convenção podemos estabelecer sinais para as forças:

para acima

=

positivo

O Caminho para obter um Modelo Dinâmico

F_mola

F_amortecedor

+m

F_aplicada

Agora podemos aplicar a 2a lei de Newton:

O Caminho para obter um Modelo Dinâmico

maF

F_aplicada - f_mola - f_amortecedor = ma

F_mola

F_amortecedor

+m

F_aplicada

O Caminho para obter um Modelo Dinâmico

•Neste caso, obtemos a equação:

maF

F_aplicada - f_mola - f_amortecedor = ma

•Na equação podemos identificar facilmente os elementos:

F_mola = kx

k = constante da mola

x = deslocamento

F_amortecedor = cv

c = constante do amortecedor

v = velocidade

O Caminho para obter um Modelo Dinâmico

F_aplicada - kx - cv = ma

•Podemos obter, então:

O Caminho para obter um Modelo Dinâmico

•Podemos assumir as convenções:

aceleração = a =

velocidade = v =

Força_aplicada = F

2

2

dt

xd

dt

xd

x

x

O Caminho para obter um Modelo Dinâmico

F_aplicada - kx - cv = ma

xmxckxF

•Desta maneira, o nosso modelo fica:

Na verdade o nosso modelo está representado por uma equação ordinária de segundo grau

Fkxxcxm

O Caminho para obter um Modelo Dinâmico

xmxckxF Fazendo manipulações algébricas temos:

•Este modelo pode ser melhor trabalhado usando Transformada de LAPLACE

•Queremos levar o nosso modelo para o Domínio de LAPLACE

Fkxxcxm

Fxkcsms ˆˆ)( 2

O Caminho para obter um Modelo Dinâmico

•Aplicando a transformada de LAPLACE temos:

kcsmsF

x

2

1ˆˆ

O Conceito de Função de Transferência

•Desta maneira podemos obter a expressão:

•Esta equação representa um relação entre entrada e saída do sistema

•Esta forma é denominada de Função de Transferência