Equipe Técnica de Matemática Área de Matemática ......o dobro da largura de (I) e os três têm a mesma medida de altura. (I) (II) (III) a) É correto afirmar que os ângulos nos

Caro(a) aluno(a),

Neste Caderno, você explorará a ideia de semelhança entre figuras planas quan-do uma delas é obtida a partir de ampliação ou de redução da outra. Para isso, você terá contato com dois processos: o primeiro, que recebe o nome de “homotetia” – palavra que significa “mesma forma” –, e o segundo, que trata da representação de figuras na malha quadriculada.

O Caderno mostra como a semelhança de figuras planas é aplicada no cotidiano: uma prefeitura que pretende construir dois parques próximos ao cruzamento entre duas ruas é um exemplo aplicado de semelhança de figuras. Sabendo que os dois parques terão formatos semelhantes, você poderá calcular as medidas dos terrenos, aplicando o que aprenderá nas atividades aqui propostas.

Agora imagine algumas ruas espalhadas pelas cidades: há aquelas que cortam trechos planos e outras com percursos íngremes, que sobem e/ou descem. Pense em uma rua que você conheça e que seja bastante íngreme. Quantos graus você acha que tem a elevação dessa rua? E qual seria a rua mais íngreme do mundo? Você terá a oportunidade de avaliar o grau de elevação de uma rua e de conhecer um pouco mais a respeito das inclinações máximas para estradas de rodagem, utilizando as razões trigonométricas.

Esperamos que você participe de todas as atividades propostas por seu professor e, com isso, possa aprender cada vez mais!

Equipe Técnica de MatemáticaÁrea de Matemática

Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas – CENPSecretaria da Educação do Estado de São Paulo

Matemática - 8a série/9o ano - Volume 3

3

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 SEMELHANÇA ENTRE FIGURAS PLANAS

!?

VOCÊ APRENDEU?

Atividade 1 – Ampliação e redução: o que se altera e o que não se altera?

Problema 1

A Figura 2 foi obtida pela ampliação da Figura 1:

Figura 1

A B

C

Figura 2

A’ B’

C’

Assinale X ao lado do conjunto de medidas iguais nas duas figuras:

( ) Segmento AB e segmento A’B’.

( ) Segmento BC e segmento B’C’.

( ) Perímetro da Figura 1 e perímetro da Figura 2.

( ) Área da Figura 1 e área da Figura 2.

( ) Medida do ângulo CAB e medida do ângulo C’A’B’.


4

Problema 2

Observe a estrela de seis pontas desenhada na malha quadriculada. Desenhe, ao lado, duas ou tras estrelas de seis pontas, de modo que uma delas seja uma redução e a outra seja uma ampliação da estrela inicial, ambas de um fator 2.

B

C

D

E

F

A

Problema 3

Observe nos desenhos que o retângulo (III) tem o triplo da largura de (I), o retângulo (II) tem o dobro da largura de (I) e os três têm a mesma medida de altura.

(I) (II) (III)

a) É correto afirmar que os ângulos nos três retângulos são correspondentemente congruentes? Por quê?

b) Podemos dizer que uma dessas figuras é redução ou ampliação da outra? Por quê?


5

Problema 4

Observe o pentágono FATOS. Por meio de um processo de ampliação, desenhou-se outro pentágono: F’A’T’O’S’. Para construir o segundo pentágono, desenhamos linhas re-tas partindo de um ponto fixo que chamamos de H. Essas linhas, como mostra o desenho, passam pelos vértices do pentágono FATOS. Para desenhar o pentágono maior, foi preciso

respeitar a regra de que as razões entre os segmentos HA’ ____ HA , HF’ ____ HF ,

HT’ ____ HT

e assim por diante devem ser iguais.

A

A’

TT’

O’

FF’

SS’

O

Esse processo recebe o nome de “homotetia”, palavra que significa “mesma forma”. Veja outros dois desenhos produzidos por homotetia, com o ponto H colocado em outros lugares em rela-ção às duas figuras.

H

L

U

A

A’

L’

U’

H

E’

EB’

B

L’LA’A

Podemos usar homotetia para, por exemplo, ampliar uma figura por um fator 2, isto é, dese-nhar uma figura com medidas de lados iguais ao dobro das medidas dos lados da figura original. Fazemos assim: desenhamos a figura inicial, começamos o processo de homotetia e deixa-mos para você terminar. Sobre a figura iniciada, desenhe uma figura que seja ampliação de fator 2 do losango ABCD.

O

D

A

B

C

H


6

Atividade 2 – Razão de semelhança

Problema 1

Observe a figura que representa a ampliação do polígono ABCDE, realizada com base nas linhas convergentes a um ponto F. Suponha que F esteja 6 cm distante de B e 9 cm de B’.

F

B

E

C’

D’

A’

C

D

A

B’

E’

a) Se ÄÄÄ AB = 2 cm, quanto mede ÄÄÄÄ

A’B’ ?

b) Os polígonos ABCDE e A’B’C’D’E’ são semelhantes e a razão de semelhança é um valor k, tal que FB’ = k . FB. Qual é a razão de semelhança nesse caso?

Problema 2

Considere que o triângulo ABC, na figura original do problema anterior, seja equilátero e que ÄÄÄ

AB = 2 cm. Nesse caso:

B

AC

D

E

a) calcule a área de ABC;


7

b) calcule a área de A’B’C’;

c) quantas vezes a área de A’B’C’ é maior do que a área de ABC?

Problema 3

Desenhe, na figura, um polígono A’’B’’C’’D’’E’’ que seja semelhante a ABCDE, com razão de semelhança 2,0.

F

B

E

C

D

A

Atividade 3 – Ampliações e reduções: perímetros e áreas

Problema 1

O triângulo GIL é uma ampliação do triângulo SAM.

4 cm6 cm

27º

S

A

M

L

8 cm

65º

GI


8

Sendo assim, escreva a medida de:

a) LI

b) SÂM

c) SMA

d) LGI

e) GLI

Problema 2

Reduzindo proporcionalmente o trapézio isósceles TUBA de um fator 2,5, obtemos o quadri-látero NECO. Suponha que cada quadrícula da malha tenha lados de 1 cm e faça o que se pede.

UT

A B

a) Desenhe o quadrilátero NECO sobre o quadrilátero TUBA.

b) Qual tipo de quadrilátero é NECO?

c) Qual é a altura de TUBA? E a altura de NECO?

d) Quais são as medidas das bases de NECO?


9

e) Em relação ao perímetro de NECO, quantas vezes é maior o perímetro de TUBA?

f ) Em relação à área de NECO, quantas vezes é maior a área de TUBA?

Atividade 4 – Semelhança entre prismas representados na malha quadriculada

Problema 1

Quais dos seguintes prismas retos de base triangular, representados na malha quadriculada, são semelhantes? Em cada caso, qual é o fator de ampliação?

(3)

(4) (5)

(2)(1)(1)(1)(1)(1)

(2)(2)(2)(2)

(3)(3)(3)(3)

(4) (5)(4)(4)(4) (5)(5)(5)


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Problema 2

Desenhe na malha quadriculada:

a) um prisma de base hexagonal, ampliando-o de um fator 1,5;

b) um prisma de base hexagonal, reduzindo-o de um fator 2.

Problema 3

Observe o prisma oblíquo representado na malha quadriculada. Desenhe um prisma seme-lhante a ele, com razão de semelhança 1 __ 3 .


11

Problema 4

Represente dois cubos de volumes diferentes na malha quadriculada e responda: os cubos de-senhados são ou não semelhantes? Por quê?

Resposta:

Problema 5

Considere dois paralelepípedos retos semelhantes, na razão 1 : 4. Complete a tabela com as medidas da aresta, da área da base, da área total e do volume do maior sólido, em função de x, y, z e w.

Medida Aresta Área da base Área total Volume

Menor sólido x y z w

Maior sólido

LIÇÃO DE CASA

Atividade 5 – Semelhança entre figuras planas: contexto e aplicações

A prefeitura de uma cidade pretende construir dois parques próximos ao cruzamento entre as ruas Alfa e Beta. Observando a planta do lugar, pode-se perceber que os dois parques terão formato de trapézios semelhantes (ABCD e EFGH). Os ângulos internos de um serão, correspondentemente, de mesma medida que os ângulos internos do outro. Além disso, há uma proporcionalidade entre as medidas correspondentes dos lados das figuras. Acontece, entretanto, que apenas a medida da base


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maior de cada trapézio foi definida, sendo 180 m em um deles e 60 m no outro. As demais medidas dependerão de desapropriações a serem realizadas no local.

Rua Alfa

Rua Beta

Parque 2

Parque 1180 m

C

B

A

D

EF

G

H60 m

Problema 1

As medidas de CB e de FG são fixas e valem, respectivamente, 180 m e 60 m, enquanto as de-mais medidas podem variar, mantendo-se, todavia, a semelhança entre as duas figuras. Com base nisso, resolva:

a) Se a medida de EH for igual a 25 m, qual será a medida de DA ?

b) Se DA = 18 m, quanto medirá EH ?

c) Se EH = k, quanto medirá DA em função de k?


13

Problema 2

No final das negociações e desapropriações, chegou-se à conclusão de que as medidas de EF e HG serão, respectivamente, 15 m e 18 m. Qual será a medida de:

a) CD ? b) AB ?

Problema 3

O construtor dos parques sabe que precisará de 309 m de cerca para fechar todo o parque maior. Nessas condições, adotando os resultados calculados no problema anterior, quanto mede DA ?

Problema 4

Complete a tabela abaixo com as medidas dos lados de cada trapézio:

Trapézio ABCD BC DA AB CD

Trapézio EFGH FG EH EF GH


14


15

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2TRIÂNGULOS: UM CASO ESPECIAL DE SEMELHANÇA

!?

VOCÊ APRENDEU?

Atividade 1 – Triângulos semelhantes: reconhecimento

Problema 1

Utilize a malha quadriculada para desenhar dois pares de triângulos semelhantes. Um dos triângulos de um dos pares possui dois ângulos internos medindo 45º cada um. Um triângulo do outro par tem um lado que mede 4 unidades da malha, e o outro tem um lado que mede 6 unidades da malha.

Problema 2

Quando duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, forma-se uma série de pares de ângulos congruentes. No desenho seguinte, em que duas retas paralelas r e s são cortadas por uma transversal t, identifi que as medidas dos ângulos assinalados.

t

f

d

e

g

b

a

c58º s

r


16

Problema 3

No problema anterior, você reconheceu vários pares de ângulos congruentes. Escreva-os novamente, apresentando, em cada caso, a justifi cativa para a congruência.

Problema 4

As retas a e b são paralelas. Quais são as medidas dos ângulos internos dos triângulos BCA e DEA?

83º

32ºA

a

b

C

B

D

E


17

Atividade 2 – Triângulos semelhantes: contexto e aplicações

Problema 1

O triângulo GIL é uma ampliação proporcional do triângulo MEU. M

E U

2 cm

10 cm

5,2 cm

100o

G

I L58o

Observe as medidas assinaladas nos desenhos anteriores e responda:

a) Quais são as medidas dos ângulos internos do triângulo MEU?

b) Quais são as medidas dos ângulos internos do triângulo GIL?


18

c) Qual é a medida do lado IG do triângulo GIL?

Problema 2

Observe a representação das ruas Alfa e Beta e dos parques 1 e 2. Os terrenos dos parques têm formato de trapézio e, além disso, as bases de um parque são paralelas às do outro. São conhe-cidas as seguintes medidas:

Parque 1 BC 180 AD 30 AB 45 CD 54

Parque 2 FG 60 EH 10 EF 15 GH 18

Rua Alfa

Rua Beta

Parque 2

Parque 1

180 m

60 m

C

B A

D

EST

F

G

H

Os triângulos SAD e SBC são semelhantes, isto é, têm ângulos internos correspondentes de mesma medida e lados correspondentes cujas medidas obedecem a uma proporcionalidade. Observe-os desenhados separadamente da figura inicial. O lado AD do triângulo SAD é cor-respondente do lado BC do triângulo SBC.


19

S

C

D A

B

30 m

54 m45 m

180 m

a) Quais são os outros lados correspondentes nos dois triângulos?

b) Que proporção podemos estabelecer entre as medidas dos lados dos triângulos SAD e SBC?

c) Calcule as medidas dos lados de cada triângulo e escreva-as na tabela abaixo.

Triângulo SAD (m) SA AD SD

Triângulo SBC (m) SB BC SC


20

d) Separe os triângulos TEH e TFG da figura inicial, desenhando-os novamente. Em segui-da, calcule a medida dos lados de cada triângulo, registrando na tabela abaixo os valores corres pondentes.

Triângulo TEH (m) TE TH EH

Triângulo TFG (m) TF TG FG

LIÇÃO DE CASA

Problema 3

Usando seu transferidor, um aluno desenhou um ângulo. Em seguida, com régua e esquadro, traçou três segmentos de reta paralelos, obtendo três triângulos (OBE, OCF e ODG).

G

DCBO

E

F


21

Medindo os lados do triângulo OBE, ele encontrou: ÄÄÄ OB = 12 cm; ÄÄÄ

BE = 8 cm; ÄÄÄ OE = 10 cm.

Em seguida, mediu segmentos da linha horizontal e obteve: ÄÄÄ BC = 3 cm e ÄÄÄ

CD = 5 cm. Então, percebeu que poderia determinar as medidas de todos os demais lados dos triângulos sem necessidade de fazer qualquer medição, apenas efetuando alguns cálculos. Calcule as demais medidas dos segmentos do desenho e escreva-as na tabela seguinte.

Segmento OB OC OD BE CF DG OE OF OG

Medida (cm)

Problema 4

O perfil do telhado de uma casa tem o formato de um triângulo escaleno, isto é, um triângulo em que não há dois lados de mesma medida, conforme o desenho a seguir.

Cβ

α

B

A

18 m

24 m

15 m

Unindo o ponto mais alto do telhado (A) à base (BC), será colocada uma viga de madeira (AD), de modo que o ângulo ADB seja congruente ao ângulo BAC (α). Qual é, em metros, a medida dessa viga?

C

α

αB

D

A


22

Atividade 3 – Semelhanças: cordas, arcos e ângulos

Problema 1

Um arco AB de uma circunferência é “enxergado” sob um ângulo α cujo vértice C pertence à circunferência (Figura 1).

C

B

A

Figura 1

α

Deslocando o vértice do ângulo até outro ponto da circunferência, D, o arco AB passa a ser “en-xergado” sob um ângulo de medida igual ao anterior, isto é, de medida igual a α (Figura 2).

D

B

A

Figura 2

α

Sobrepondo as Figuras 1 e 2, obtemos uma situação em que dois triângulos semelhantes se destacam: PBC e PAD (Figuras 3 e 4).

C α

D

B

PA

Figura 3

α

PC α

D

B

A

Figura 4

α

β

β


23

a) Identifique os ângulos correspondentes nos dois triângulos e escreva uma proporção entre as medidas de seus lados.

b) Com base na proporção entre as medidas dos lados, verifique a validade da relação (PC).(PA) = (PB).(PD)

Problema 2

Observe a figura em que duas cordas AC e BD se cruzam no ponto P. De acordo com as me-didas indicadas na figura, quanto mede o segmento PA?

C

D

P

9

12

8

B

A


24

Problema 3

Um ponto P é o encontro de duas cordas de uma mesma circunferência (Figura 1). Unindo os pontos em que as cordas cruzam a circunferência podemos observar dois triângulos (Figura 2).

C C

D D

B

P

A A

Figura 1 Figura 2

P

B

a) Assinale na Figura 2 os ângulos internos dos triângulos PAD e PCB, atribuindo letras iguais a ângulos congruentes.

b) Escreva a proporção entre as medidas dos lados dos triângulos PAD e PCB.

c) Com base na proporção escrita, verifique que é válida a relação

(PA).(PB) = (PC).(PD)


25

Problema 4

De acordo com as medidas indicadas na fi gura a seguir, qual é a medida x?

x

8 4

10


26

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 RELAÇÕES MÉTRICAS NOS TRIÂNGULOS RETÂNGULOS; TEOREMA DE PITÁGORAS

VOCÊ APRENDEU?

Atividade 1 – Triângulos retângulos: métrica e semelhança

Problema 1

Traçando a altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo, são obtidos dois novos triân-gulos retângulos, semelhantes entre si, como representado na fi gura:

β

ββ

αα

α

a

h

n

m

b

α αααα ααα n

h

β ββββ βββ

α + β = 90o

a) Um dos triângulos tem lados a, n e h, enquanto o outro tem lados b, m e h. Dese-nhe separadamente os dois triângulos e escreva a proporção entre as medidas dos lados correspondentes.


27

b) Verifique que o quadrado da medida da altura traçada é igual ao produto das medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa. Em outras palavras, verifique que h2 = m.n.

Problema 2

Determine as medidas x, y e z em cada figura:

a) 4

9x

y

z

b)

6

2

x

y

z


28

Problema 3

Observe a figura com o triângulo retângulo maior I separado em dois triângulos retângulos menores – II e III – pela altura relativa à hipotenusa do triângulo maior. Os três triângulos são semelhantes, pois possuem ângulos correspondentemente congruentes.

a

n

mhh

a

b

bc

β

ββ

β

α

αα

α

I

III

II

a) Escreva a proporção entre as medidas dos lados dos triângulos I e II.

b) Verifique que o quadrado da medida do cateto é igual ao produto da medida da hipotenusa pela medida da projeção do cateto sobre ela. Em outras palavras, verifique que a2 = c.n.

c) Escreva a proporção entre as medidas dos lados dos triângulos I e III.

d) Verifique que o quadrado da medida do cateto é igual ao produto da medida da hipotenusa pela medida da projeção do cateto sobre ela. Em outras palavras, verifique que b2 = c.m.


29

Problema 4

Determine as medidas x e y em cada triângulo.

a)

9

12

xy

b)

8

4x

y

Problema 5

Considere novamente a semelhança entre os triângulos I e II, bem como entre os triângulos I e III, discutida no problema anterior.

Com base na semelhança entre esses pares de triângulos, foram obtidas as relações:

a2 = c . n

b2 = c . m

Adicionando essas duas expressões, termo a termo, e, em seguida, colocando c em evi-dência, fazemos surgir uma expressão mate-mática traduzida na linguagem cotidiana da seguinte forma:

a

n

mhh

a

b

bc

β

β

β

β

α

α

α

α

I

III

II


30

Esse é o enunciado do teorema de Pitágoras. Faça a verificação e escreva a sentença matemática do teorema de Pitágoras, que relaciona a hipotenusa (c) aos catetos (a) e (b).

LIÇÃO DE CASA

Problema 6

Um quadrilátero ABCD pode ser separado em dois triân-gulos retângulos ABD e BCD, sendo que BCD é isósceles, conforme representado na figura. AF é a altura relativa à hipotenusa de ABD e CE é a altura relativa à hipotenusa de BCD. Determine a medida de cada um dos segmentos:

a) BD c) BF e) BC g) CE

b) DF d) AF f ) BE h) FE

40 m30 m

A

D EF

C

B

Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.


31

Problema 7

Duas rodovias retilíneas cruzam-se perpendicularmente na cidade A. Em uma das rodovias, a 60 km de distância de A, encontra-se uma cidade B; na outra, a 80 km de A, encontra-se outra cidade, C. Outra rodovia, também retilínea, liga as cidades B e C.

ha

x

80 km60 km

posto policial

B

C

A

Pergunta-se:

a) Qual é a distância entre B e C?

b) Qual é a menor distância de A até a rodovia que liga B a C?

c) Um posto policial deve ser construído na rodovia que liga B a C, devendo situar-se a igual distância de B e C. Qual é a distância do posto policial até A?


32

Problema 8

Um terreno tem a forma de um triângulo retângulo de catetos 30 m e 40 m. Seu proprietário deseja construir uma casa na região retangular representada na figura a seguir, deixando livre o restante da área.

40 m30 m

Pergunta-se:

a) Qual é a área total do terreno?

b) Qual é a área da região retangular da construção?


33

VOCÊ APRENDEU?

Atividade 2 – Pitágoras: signifi cado, contextos

Problema 1

O triângulo retângulo representado na fi gura é isósceles e está ins -crito em uma circunferência de raio 4 cm. Quais são as medidas dos lados desse triângulo?

Problema 2

Um balão de propaganda fl utuava a 30 m de altura quando foi visto do solo, simultaneamente, por Maria e por João. Maria estava a 50 m do balão e João estava a 40 m dele, como represen-tado na fi gura. Qual era a distância entre João e Maria no momento em que viram o balão?

© C

onex

ão E

dito

rial


34

Problema 3

Para dar firmeza à estrutura de um por-tão retangular ABCD, de lados 2 m e 3 m, devem ser fixadas duas barras rígidas – AC e BD – ao longo das dia-gonais, conforme mostra a figura. Para isso, dispõe-se de uma barra de 6,5 m de comprimento, que será dividida em duas partes iguais. A barra será suficiente para as duas diagonais?

Problema 4

Do centro de uma sala retangular de lados 4 m e 6 m serão feitas canalizações inde-pendentes em linha reta até os quatro can-tos da sala e também até o ponto médio de cada um dos lados da sala, usando sempre o mesmo tipo de conduíte (cano plástico flexível). Quantos metros deste conduíte serão necessários?

BA

D C3 m

2 m

6 m

4 m


35

Problema 5

Nove caixas com a forma de um cubo de aresta 10 cm foram empilhadas conforme mostra a figura ao lado, em vista frontal. O ponto A é o vértice inferior esquerdo da caixa I. Calcule a distância de A até:

a) o vértice superior esquerdo da caixa VI;

b) o vértice superior direito da caixa VIII;

c) o centro da face visível da caixa IX.

LIÇÃO DE CASA

Problema 6

Uma embalagem de pizza tem a forma de um prisma hexagonal regular de 3 cm de altura, tendo o lado do hexágono da base 18 cm.

18 cm

I II

VI

III

VII

IX

IV

VIII

VA


36

a) Qual é o diâmetro da maior pizza circular que cabe na embalagem?

b) Qual é a área de papelão necessária para construir a parte de baixo da caixa, em que a pizza vem acomodada?

Problema 7

Uma caixa tem a forma de um paralelepípe-do com todas as faces retangulares. Suas di-mensões são 20 cm, 30 cm e 40 cm. Calcule o comprimento:

a) da maior das diagonais das faces;

b) da diagonal da caixa.

20 cm

30 cm

40 cm


37

VOCÊ APRENDEU?

Atividade 3 – Relações métricas em triângulos retângulos: composição e decomposição

Problema 1

Na Figura 1, você já sabe que a área de CDEB é igual à soma das áreas de CAHI e de ABFG, ou seja, que a2 = b2 + c2. Agora, você vai explorar outras relações entre as áreas componentes dessa figura. Para tanto, observe, na Figura 2, o segmento AJ e note que ele divide a hipotenusa em duas partes, m e n, e também divide o quadrado CDEB em dois retângulos.

Figura 1

H

A

G

F

B

ED

C

b2c2

a2

b ca

I

Figura 2

J

H

I

A

G

F

B

ED

C

b cb

a

aa

nKh

m

a) Calcule a área do retângulo CDJK e a área do retângulo JEBK. Mostre que a soma das duas áreas é igual a a2.

b) Calcule a área do triângulo ABC de duas maneiras, usando os catetos b e c, bem como a hipotenusa a e a altura h. Mostre que bc = ah.


38

c) Mostre, na figura, que a área do quadrado ACIH é igual à área do retângulo CDJK.

d) Mostre que a área do retângulo JEBK é igual à área do quadrado ABFG.

Problema 2

Considere um triângulo de catetos 5 cm e 12 cm.

a) Calcule a altura relativa à hipotenusa desse triângulo retângulo.

b) A altura relativa à hipotenusa divide esse triângulo em dois triângulos retângulos menores; calcule a área de cada um deles.


39

Problema 3

Um painel deve ser mantido na vertical com a ajuda de dois cabos de aço perfeitamente esticados, de 3 m e 4 m, um de cada lado, como mostra a fi gura. Os cabos estão situados em um plano vertical e a distância entre os pontos de fi xação dos dois cabos de aço no solo é de 5 m. A que altura do solo os cabos devem ser fi xados no painel?

3 m4 m h

5 m


40

VOCÊ APRENDEU?

Atividade 1 – Ângulo de elevação: contexto e estimativas

Problema 1

Em quase todas as cidades do mundo, há ruas que cortam trechos planos, mas há também ruas com percursos íngremes, subindo ou descendo. Nesses casos, de ruas com “fortes” subidas, va-mos refletir sobre a medida do ângulo de elevação. Inicialmente, veja estas figuras:

α β θ

Em sua estimativa, quantos graus medem os ângulos α, β e θ?

Problema 2

Pegue um transferidor e meça os ângulos α, β e θ apresentados na atividade anterior. Registre aqui suas respostas:

α = β = θ =

Problema 3

Pense em alguma rua que você conheça e que seja uma subida bastante íngreme. De quantos graus você avalia que seja a elevação dessa rua? Escreva aqui sua estimativa antes de ler o texto a seguir.

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS DOS ÂNGULOS AGUDOS


41

• O Departamento Nacional de Infraestrutura e Transporte (DNIT) regulamenta recomendações a respeito das inclinações máximas para estradas de rodagem, por in-termédio de uma medida que denomina inclinação. Por exemplo, em uma estrada com inclinação 0,15, ou 15%, sobe-se 15 m a cada 100 m de deslocamento horizontal.

15 m

100 m

Inclinação 0,15, ou 15%

• Para pequenas inclinações, o deslocamento horizontal é praticamente igual ao deslocamento na rampa de subida, isto é, a medida do cateto é quase igual à medida da hipotenusa. Por isso, costuma-se dizer, por exemplo, que em uma subi-da de 10% percorrem-se 10 m em cada metro de subida.

1 m

10 mInclinação 10%

• As inclinações máximas recomendadas pelo DNIT dependem do tipo de estrada, mas variam de 5%, nas estradas de maior volume de tráfego, a 9%, nas estradas com baixo volume de tráfego.

• Alguns trechos de estradas podem, excepcionalmente, atingir inclinações maiores do que as recomendadas, chegando a valores da ordem de 10%.

• Uma maneira de avaliar o grau de elevação da rua é efetuar medidas de deslocamento vertical (b), do des-locamento horizontal (a), e também, se possível, do deslocamento real sobre a rua (c).

A inclinação da rua poderá ser obtida pelo resultado da divisão entre (b) e (a), ou entre (b) e (c). Com o resultado dessas divisões, podemos recorrer a uma tabela de valores e encontrar o ângulo correspondente. Para tanto, precisamos saber que cada uma dessas divisões entre medidas de lados do triângulo retângulo recebe um nome. Por exemplo, a divisão entre (b) e (a) é a tangente do ângulo que se quer determinar. Para uma

Leitura e Análise de Texto

© C

onex

ão E

dito

rial


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inclinação de 12%, resultante da comparação entre (b) e (a) na figura, o ângulo correspon-dente é de, aproximadamente, 7º, pois a tangente de 7º é 0,122.

Voltando às inclinações das ruas, para que se tenha uma ideia, uma rua localizada na Nova Zelândia é considerada por muitos como a mais inclinada do mundo, com inclinação de 35%, cerca de 19º. Assim, não é razoável supor que existam ruas com inclinações superio-res a 20º.

VOCÊ APRENDEU?

Problema 4

Em determinada rua, um pedestre caminha 50 m e percebe que se elevou 2 m em relação ao ponto onde iniciou a caminhada. Qual é a inclinação porcentual dessa rua? E qual é a medida do ângulo de inclinação?

2 m50 m

Problema 5

O vendedor de uma loja de telhas afirma ao comprador que o tipo de telha escolhida exige que o madeiramento do telhado tenha inclinação de 30%. O que significa essa afirmação? Qual é, em grau, a inclinação desse telhado?

30 m

100 m


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Problema 6

Para avaliar o grau de inclinação de uma rua, um estudante usou um pedaço de papel, um lápis e um transferidor. Sua estratégia foi colocar o papel ao lado de um poste vertical fixado na rua e medir o ângulo entre o poste e o piso da rua (β no desenho). Se o ângulo medido pelo estudante foi de 82º, qual é o ângulo de inclinação da rua?

β

Problema 7

Em uma estrada de rodagem há um trecho retilíneo X que sobe 8 m quando o veículo que o percorre desloca-se 100 m. Nessa mesma estrada, há outro trecho retilíneo, Y, em declive, no qual um veículo desce 20 m ao percorrer 500 m. Qual é:

a) em grau, a medida do ângulo de inclinação do trecho X?


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b) em grau, a medida do ângulo de inclinação do trecho Y?

c) em metros, o deslocamento de um carro em Y enquanto ele desce 8 m?

Atividade 2 – Medindo ângulos e calculando distâncias inacessíveis

Problema 1 – Medida da altura de um objeto quando se tem acesso à base

Na representação seguinte, o ângulo α mede 23º e a distância d à base da árvore mede 12 m.

© C

onex

ão E

dito

rial

α

d

h


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a) Consulte uma tabela trigonométrica para descobrir os valores de seno, cosseno e tangente de 23º.

b) Se for necessário escolher uma única razão trigonométrica, seno, cosseno ou tangente, para calcular a medida h da árvore, qual você escolheria? Por quê?

c) Determine a medida de h.

Problema 2 – Medida de uma altura quando não se tem acesso à base

Observe a figura que representa a tentativa de medir a altura (h) de uma árvore, sem, todavia, conhecer a distância entre o vértice do ângulo de elevação e a base da árvore.

© C

onex

ão E

dito

rial

α β

d m

h


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Supondo que α = 23º, β = 34º e d = 3 m, determine a altura da árvore.

Problema 3

Para determinar a altura da montanha, um topógrafo mediu o ângulo de elevação da montanha a partir de A, obtendo 45º. Em seguida, caminhou 24 m até B e mediu novamente o ângulo de elevação, obtendo 37,5º. Com esses dados, ele conseguiu seu objetivo. Qual foi a medida da altura da montanha que o topógrafo determinou?

© C

onex

ão E

dito

rial

© C

onex

ão E

dito

rial

A B


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Problema 4

Para medir a distância x entre dois pontos inacessíveis, um topógrafo posicionou-se em A e me-diu o ângulo α, conforme representado na figura. Em seguida, andou até B e mediu m. Depois, continuou em linha reta até C, medindo n. Por fim, percorreu uma distância p até chegar a D, medindo o ângulo β.

m

α β

nA B

P

C

Q

D

x

p

Considere os dados a seguir e determine x.

m = 3 m n = 4 m p = 4 m α = 30º β = 60º


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Equipe Técnica de Matemática Área de Matemática ......o dobro da largura de (I) e os três têm a mesma medida de altura. (I) (II) (III) a) É correto afirmar que os ângulos nos