Escola Secundária Poeta Al Berto Código 403192 7520-902 ... · frações decimais; -Representação de números racionais através de dízimas finitas ou infinitas ... convertendo-a

Departamento: Matemática e Ciências Experimentais Disciplina: Matemática 8.ºAno Ano letivo 2018/2019

1

Escola Secundária Poeta Al Berto

Código 403192 – 7520-902 - Sines

Ano letivo: 2018/2019

Planificação Anual

Departamento: Matemática e Ciências Experimentais Grupo disciplinar: 500

Disciplina: Matemática

Docentes: Fátima Correia e Maria Joaquina Pacheco

Manual adotado: Matematicamente Falando 8 – Alexandra Conceição, Matilde Almeida – Areal Editores

Ensino: Básico

Ano: 8.º

1.º Período 2.º Período 3.º Período

N.º de aulas (tempos letivos) 49 48 27

Apresentação 1 0 0

Instrumentos de avaliação 4 4 2

Desenvolvimento Programático

Domínios N.º de

aulas

Domínios N.º de

aulas

Domínios N.º de

aulas

Organização e

Tratamento de Dados

(OTD8)

Álgebra (ALG8)

Números e

Operações(NO8)

Álgebra (ALG8)/

Números e

Operações(NO8)

Geometria e Medida

(GM8)

7

4

10

4

16

Geometria e Medida

(GM8)(Continuação)

Álgebra (ALG8)

20

21

Funções,

Sequências e

Sucessões (FSS8)

Álgebra (ALG8)

10

12

Atividades PAA 2 2 2

Autoavaliação 1 1 1


2

Domínio: Organização e Tratamento de Dados (OTD8) N.º de aulas: 7

N.º de

aulas Conteúdos Objetivos

Estratégias

gerais/Atividades Recursos

Instrumentos de

avaliação 1

º P

erío

do

1

2

1

3

Diagramas de extremos e

quartis

-Noção de quartil;

-Diagramas de extremos e

quartis;

-Amplitude interquartil;

-Problemas envolvendo

gráficos diversos e

diagramas de extremos e

quartis.

Representar, tratar e analisar conjuntos de dados

-Identificar, num conjunto de dados, o primeiro, segundo e terceiro quartis, quando n

é par e quando n é ímpar.

- Identificar, considerado um conjunto de dados numéricos, o «segundo quartil»

como a mediana desse conjunto e representar os primeiro, segundo e terceiro quartis

respetivamente por Q1, Q2 e Q3.

-Reconhecer, considerado um conjunto de dados numéricos, que a percentagem de

dados não inferiores (respetivamente não superiores) ao primeiro (respetivamente

terceiro) quartil é pelo menos 75%.

-Representar conjuntos de dados quantitativos em diagramas de extremos e quartis

-Identificar a «amplitude interquartil» como a diferença entre o 3.º quartil e o 1.º

quartil e designar por «medidas de dispersão» a amplitude e a amplitude interquartis

Resolver problemas

-Resolver problemas envolvendo a análise de dados representados em gráficos

diversos e em diagramas de extremos e quartis.

Fichas de trabalho,

individuais ou em

grupo.

Tutoria de pares.

Exploração do

manual adotado.

Debates/discussões.

Exploração de

Power Point.

Interpretação de

gráficos, tabelas,

esquemas, textos

matemáticos.

Meios

audiovisuais.

Internet,

Manuais

escolares e

outros

materiais

escritos.

Calculadoras.

Computadores

Software

adequado ao

assunto a

desenvolver.

Participação na

aula;

Empenho na

realização das

tarefas (Fichas

de trabalho,

TPC, etc.);

Fichas de

avaliação.

Domínio: Álgebra (ALG8) N.º de aulas: 4

N.º de


Estratégias


Instrumentos de

avaliação

1º

Per

íod

o

1

2

1

Potências de expoente

inteiro

-Potência de expoente nulo;

-Potência de expoente

negativo;

-Extensão a potências de

expoente inteiro das

propriedades conhecidas

das potências de expoente

natural.

Estender o conceito de potência a expoentes inteiros

-Identificar a potência de expoente zero e base não nula.

-Identificar a potência de expoente negativo e base não nula.

-Estender as propriedades previamente estudadas das potências de expoente natural

às potências de expoente inteiro.

Fichas de trabalho,

individuais ou em

grupo.

Tutoria de pares.

Exploração do

manual adotado.


Exploração de

Power Point.

Interpretação de

gráficos, tabelas,

esquemas, textos

matemáticos.

Meios

audiovisuais.

Internet,

Manuais

escolares e

outros

materiais

escritos.

Calculadoras.

Computadores

Software

adequado ao

assunto a

desenvolver.

Participação na

aula;

Empenho na

realização das

tarefas (Fichas

de trabalho,

TPC, etc.);

Fichas de

avaliação.


3

Domínio: Números e Operações (NO8) N.º de aulas:10

N.º de


Estratégias


Instrumentos de

avaliação 1

º P

erío

do

5

5

Dízimas finitas e infinitas

periódicas

-Caracterização das frações

irredutíveis equivalentes a

frações decimais;

-Representação de números

racionais através de dízimas

finitas ou infinitas

periódicas utilizando o

algoritmo da divisão;

período e comprimento do

período de uma dízima;

-Conversão em fração de

uma dízima infinita

periódica;

-Decomposição decimal de

números racionais

representados por dízimas

finitas, utilizando potências

de base 10 e expoente

inteiro;

-Notação científica;

aproximação, ordenação e

operações em notação

científica;

-Definição de dízima

infinita não periódica;

-Representação na reta

numérica de números

racionais dados na forma de

dízima.

Relacionar números racionais e dízimas

-Reconhecer, dada uma fração irredutível que esta é equivalente a uma fração

decimal.

-Reconhecer, dada uma fração própria irredutível tal que o denominador tem pelo

menos um fator primo diferente de 2 e de 5, que a aplicação do algoritmo da divisão

à determinação sucessiva dos algarismos de aproximação conduz, a partir de certa

ordem, à repetição indefinida de uma sequência de algarismos com um número

inferior de termos ao denominador.

-Utilizar corretamente os termos “dízima finita”, “dízima infinita periódica”

(representando números racionais nessas formas), “período de uma dízima” e

“comprimento do período”.

-Saber que o algoritmo da divisão nunca conduz a dízimas infinitas periódicas de

período igual a “9”.

-Representar uma dízima infinita periódica como fração, reconhecendo que é uma

dízima finita a diferença desse número para o respetivo produto por uma potência de

base 10 e de expoente igual ao comprimento do período da dízima e utilizar este

processo para mostrar que 0,(9)=1.

-Saber que se pode estabelecer uma correspondência um a um entre o conjunto das

dízimas finitas e infinitas periódicas com período diferente de 9 e o conjunto dos

números racionais.

-Efetuar a decomposição decimal de uma dízima finita utilizando potências de base

10 e expoente inteiro. -Representar números racionais em notação científica com

uma dada aproximação.

-Ordenar números racionais representados por dízimas finitas ou infinitas periódicas

ou em notação científica.

-Determinar a soma, diferença, produto e quociente de números racionais

representados em notação científica.

-Identificar uma dízima infinita não periódica como a representação decimal de um

número inteiro seguido de uma vírgula e de uma sucessão de algarismos que não

corresponde a uma dízima infinita periódica.

-Representar na reta numérica números racionais representados na forma de dízima

convertendo-a em fração e utilizando uma construção geométrica para decompor um

segmento de reta em n partes iguais.

Fichas de trabalho,

individuais ou em

grupo.

Tutoria de pares.

Exploração do

manual adotado.


Exploração de

Power Point.

Interpretação de

gráficos, tabelas,

esquemas, textos

matemáticos

Meios

audiovisuais.

Internet,

Manuais

escolares e

outros

materiais

escritos.

Calculadoras.

Computadores

Software

adequado ao

assunto a

desenvolver.

Participação na

aula;

Empenho na

realização das

tarefas (Fichas

de trabalho,

TPC, etc.);

Fichas de

avaliação.


4

Domínio: Álgebra (ALG8)/Números e Operações (NO8) N.º de aulas:4

N.º de


Estratégias


Instrumentos de

avaliação 1

º P

erío

do

4

Dízimas infinitas não

periódicas e números

reais

-Pontos irracionais da reta

numérica; exemplo;

-Números irracionais e

dízimas infinitas não

periódicas;

-Números reais; extensão a

R das operações conhecidas

sobre Q e respetivas

propriedades; extensão a

medidas reais das

propriedades envolvendo

proporções entre

comprimentos de

segmentos;

-Irracionalidade de √𝑛 para

n natural e distinto de um

quadrado perfeito;

-Construção da

representação de raízes

quadradas de números

naturais na reta numérica;

- Extensão a R da ordem

em Q; propriedades

transitiva e tricotómica da

relação de ordem;

ordenação de números reais

representados na forma de

dízima.

-Ordenar números reais

Completar a reta numérica

-Reconhecer que um ponto da reta numérica à distância da origem igual ao

comprimento da diagonal de um quadrado de lado 1 não pode corresponder a um

número racional e designar os pontos com esta propriedade por “pontos irracionais”.

-Reconhecer, dado um ponto A da semirreta numérica positiva que não corresponda a

uma dízima finita, que existem pontos de abcissa dada por uma dízima finita tão

próximos de A quanto se pretenda;

-Saber, dado um ponto A da semirreta numérica positiva, que a dízima associada a A

é, no caso de A não ser um ponto irracional, a representação na forma de dízima da

abcissa de A.

-Reconhecer que cada ponto irracional da semirreta numérica positiva está associado

a uma dízima infinita não periódica e interpretá-la como representação de um

número, dito “número irracional”, medida da distância entre o ponto e a origem.

-Reconhecer que o simétrico relativamente à origem de um ponto irracional A da

semirreta numérica positiva, é um ponto irracional e representá-lo pelo “número

irracional negativo”

-Designar por “conjunto de números reais” a união do conjunto dos números

racionais com o conjunto dos números irracionais e designá-lo por “R”.

-Saber que as quatro operações definidas sobre os números racionais, a potenciação

de expoente inteiro e a raiz cúbica se podem estender aos reais, assim como a raiz

quadrada a todos os reais não negativos, preservando as respetivas propriedades

algébricas, assim como as propriedades envolvendo proporções entre medidas de

segmentos.

-Reconhecer que √2 é um número irracional e saber que √𝑛 ( sendo n um número

natural) é um número irracional se n não for um quadrado perfeito.

-Construir geometricamente radicais de números naturais e representá-los na reta

numérica.

-Saber que π é um número irracional.

Ordenar números reais

-Estender aos números reais a ordem estabelecida para os números racionais

utilizando a representação na reta numérica, reconhecendo as propriedades

“transitiva” e “tricotómica” da relação de ordem.

-Ordenar dois números reais representados na forma de dízima comparando

sequencialmente os algarismos da maior para a menor ordem.

Fichas de trabalho,

individuais ou em

grupo.

Tutoria de pares.

Exploração do

manual adotado.


Exploração de

Power Point.

Interpretação de

gráficos, tabelas,

esquemas, textos

matemáticos

Meios

audiovisuais.

Internet,

Manuais

escolares e

outros

materiais

escritos.

Calculadoras.

Computadores

Software

adequado ao

assunto a

desenvolver.

Participação na

aula;

Empenho na

realização das

tarefas (Fichas

de trabalho,

TPC, etc.);

Fichas de

avaliação.


5

Domínio: Geometria e Medida (GM8) N.º de aulas: 16

N.º de


Estratégias


Instrumentos de

avaliação

1º

Per

íod

o

8

8

Teorema de Pitágoras

- Teorema de Pitágoras e o

respetivo recíproco;

- Problemas envolvendo os

teoremas de Pitágoras e de

Tales e envolvendo a

determinação de distâncias

desconhecidas por

utilização destes teoremas.

Relacionar o Teorema de Pitágoras coma semelhança de triângulos

-Demonstrar, dado um triângulo [ABC] retângulo em C, que a altura [CD] divide o

triângulo em dois triângulos a ele semelhantes.

-Reconhecer, dado um triângulo [ABC] retângulo em C e de altura [CD], que os

comprimentos 𝑎 = 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , 𝑏 = 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ , 𝑐 = 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝑥 = 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ , 𝑦 = 𝐷𝐵̅̅ ̅̅ satisfazem as

igualdades 𝑏2 = 𝑥𝑐 e 𝑎2 = 𝑦𝑐 e concluir que a soma dos quadrados das medidas

dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa e designar esta proposição

por “Teorema de Pitágoras”.

-Reconhecer que um triângulo de medida de lados 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐 tais que 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 é

rectângulo no vértice oposto ao lado de medida c e designar esta propriedade por

“recíproco do Teorema de Pitágoras”.

Resolver problemas -Resolver problemas geométricos envolvendo a utilização dos teoremas de Pitágoras

e Tales.

-Resolver problemas envolvendo a determinação de distâncias desconhecidas por

utilização dos teoremas de Pitágoras e Tales.

Fichas de trabalho,

individuais ou em

grupo.

Tutoria de pares.

Exploração do

manual adotado.


Exploração de

Power Point.

Interpretação de

gráficos, tabelas,

esquemas, textos

matemáticos

Meios

audiovisuais.

Internet,

Manuais

escolares e

outros

materiais

escritos.

Calculadoras.

Computadores

Software

adequado ao

assunto a

desenvolver.

Participação na

aula;

Empenho na

realização das

tarefas (Fichas

de trabalho,

TPC, etc.);

Fichas de

avaliação.


6

Domínio: Geometria e Medida (GM8) (continuação) N.º de aulas:21

N.º de


Estratégias


Instrumentos de

avaliação

2º

Per

íod

o

15

Vetores, translações e

isometrias

- Segmentos orientados com

a mesma direção e sentido e

com a mesma direção e

sentidos opostos;

comprimento de um

segmento orientado;

segmento orientado

reduzido a um ponto;

- Segmentos orientados

equipolentes e vetores;

-Vetores colineares e

simétricos;

-Soma de um ponto com

um vetor e translação

determinada por um vetor;

-Composta de translações e

soma de vetores; regras do

triângulo e do

paralelogramo; propriedades

algébricas da adição

algébrica de vetores;

-Translações como

isometrias; caracterização

pela preservação da direção

e sentido dos segmentos

orientados e semirretas;

- Reflexões deslizantes

como isometrias;

- Ação das isometrias sobre

as retas, as semirretas e os

ângulos e respetivas

amplitudes;

- Classificação das

isometrias do plano;

- Problemas envolvendo as

propriedades das isometrias

no plano

Construir e reconhecer as propriedades das translações no plano

-Identificar segmentos orientados como tendo “a mesma direcção” quando as

respetivas retas suportes forem paralelas ou coincidentes.

-Identificar segmentos orientados [A,B] e [C,D] como tendo “a mesma direção e

sentido” ou simplesmente “o mesmo sentido” quando as semirretas 𝐴�̇� e 𝐶�̇� tiverem

o mesmo sentido e como tenho “sentidos opostos” quando tiverem a mesma

direcção mas não o mesmo sentido.

-Identificar, dado um ponto A, o segmento de reta [AA] e o segmento orientado

[A,A] de extremos ambos iguais a A como o próprio ponto A e identificar, dada uma

qualquer unidade de comprimento, o comprimento de [AA] e a distância de A a ele

próprio como 0 unidades, e considerar que o segmento orientado [A,A] tem direção

e sentido indefinidos.

-Designar por comprimento do segmento orientado [A,B] o comprimento do

segmento de reta [AB], ou seja, a distância entre as respetivas origem e extremidade.

-Identificar segmentos orientados como “equipolentes”.

-Saber que um “vetor” fica determinado por um segmento orientado.

-Representar o vetor determinado pelo segmento orientado [A,B] por 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗. -Designar por “vetor nulo” o vetor determinado pelos segmentos orientados de

extremos iguais e representá-lo por 0⃗ . -Identificar dois vetores não nulos como “colineares” e como “simétricos

-Reconhecer, dado um ponto P e um vetor �⃗� , que existe um único ponto Q tal que

�⃗� = 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗ . -Identificar a “translação de vetor �⃗� . -Identificar, dados vetores �⃗� e 𝑣 , a “composta da translação 𝑇�⃗� com a translação

𝑇�⃗⃗� ”.

-Representar por “𝑇�⃗� °𝑇�⃗⃗� ” a composta da translação 𝑇�⃗� com a translação 𝑇�⃗⃗� .

-Reconhecer a “regra do triângulo”.

-Reconhecer que se podem adicionar dois vetores através da “regra do

paralelogramo”.

-Justificar, dado um ponto P e vetores �⃗� e 𝑣 , que (𝑃 + �⃗� ) + 𝑣 = 𝑃 + (�⃗� + 𝑣 ).

-Reconhecer as propriedades comutativa, existência de elemento neutro (vetor nulo),

existência de simétrico para cada vetor e associatividade da adição de vetores.

-Demonstrar que as translações são isometrias que preservam também a direção e o

sentido dos segmentos orientados.

-Saber que as translações são as únicas isometrias que mantêm a direção e o sentido

de qualquer segmento orientado ou semirreta.

Fichas de trabalho,

individuais ou em

grupo.

Tutoria de pares.

Exploração do

manual adotado.


Exploração de

Power Point.

Interpretação de

gráficos, tabelas,

esquemas, textos

matemáticos

Meios

audiovisuais.

Internet,

Manuais

escolares e

outros

materiais

escritos.

Calculadoras.

Computadores

Software

adequado ao

assunto a

desenvolver.

Participação na

aula;

Empenho na

realização das

tarefas (Fichas

de trabalho,

TPC, etc.);

Fichas de

avaliação.


7

Domínio: Geometria e Medida (GM8) (continuação)

N.º de

aulas

Conteúdos Objetivos Estratégias

gerais/Atividades

Recursos Instrumentos

de avaliação

2º

Per

íod

o

5

- Problemas envolvendo

figuras com simetrias de

translação, rotação, reflexão

axial e reflexão deslizante.

-Identificar uma “reflexão deslizante”.

-Saber que as imagens de retas, semirretas e ângulos por uma isometria são

respetivamente retas, semirretas e ângulos, transformando origens em origens,

vértices em vértices e lados em lados.

-Demonstrar que as isometrias preservam a amplitude dos ângulos e saber que as

únicas isometrias do plano são as translações, rotações, reflexões axiais e reflexões

deslizantes.

Resolver problemas

-Resolver problemas envolvendo as propriedades das isometrias utilizando

raciocínio dedutivo.

-Resolver problemas envolvendo figuras com simetrias de translação, rotação,

reflexão axial e reflexão deslizante.

Fichas de trabalho,

individuais ou em

grupo.

Tutoria de pares.

Exploração do

manual adotado.


Exploração de

Power Point.

Interpretação de

gráficos, tabelas,

esquemas, textos

matemáticos

Meios

audiovisuais.

Internet,

Manuais

escolares e

outros materiais

escritos.

Calculadoras.

Computadores

Software

adequado ao

assunto a

desenvolver.

Participação na

aula;

Empenho na

realização das

tarefas (Fichas

de trabalho,

TPC, etc.);

Fichas de

avaliação.


8

Domínio: Álgebra (ALG8) N.º de aulas:20

N.º de


Estratégias


Instrumentos de

avaliação 2

º P

erío

do

4

Monómios e polinómios

- Monómios; fatores

numéricos, constantes e

variáveis ou indeterminadas;

parte numérica ou

coeficiente; monómio nulo e

monómio constante; parte

literal;

- Monómios semelhantes;

forma canónica de um

monómio; igualdade de

monómios;

- Grau de um monómio;

- Soma algébrica e produto

de monómios;

- Polinómios; termos;

variáveis ou indeterminadas,

coeficientes; forma

reduzida; igualdade de

polinómios; termo

independente; polinómio

nulo;

- Grau de um polinómio;

- Soma algébrica e produto

de polinómios

Reconhecer e operar com monómios

-Identificar um monómio como uma expressão que liga por símbolos de produto

“fatores numéricos”.

-Designar por “parte numérica” ou “coeficiente” de um monómio uma expressão

representando o produto dos respetivos fatores numéricos.

-Designar por “monómio nulo” um monómio de parte numérica nula e por

“monómio constante” um monómio reduzido à parte numérica.

-Designar por “parte literal” de um monómio não constante, estando estabelecida

uma ordem para as variáveis, o produto, por essa ordem, de cada uma das variáveis

elevada à soma dos expoentes dos fatores em que essa variável intervém no

monómio dado.

-Identificar dois monómios não nulos como “semelhantes” quando têm a mesma

parte literal.

-Designar por “forma canónica” de um monómio não nulo um monómio em que se

representa em primeiro lugar a parte numérica e em seguida a parte literal.

-Identificar dois monómios como “iguais” quando admitem a mesma forma

canónica ou quando são ambos nulos.

-Reduzir monómios à forma canónica e identificar monómios iguais.

-Designar por “grau” de um monómio não nulo a soma dos expoentes da respetiva

parte literal, quando existe, e atribuir aos monómios constantes não nulos o grau 0.

-Identificar, dados monómios semelhantes não nulos, a respetiva “soma algébrica”,

como um monómio com a mesma parte literal e cujo coeficiente é igual à soma

algébrica dos coeficientes das parcelas.

-Identificar o “produto de monómios” como um monómio cuja parte numérica é

igual ao produto dos coeficientes dos fatores e a parte literal se obtém representando

cada uma das variáveis elevada à soma dos expoentes dos fatores em que essa

variável intervém nos monómios dados.

-Multiplicar monómios e adicionar algebricamente monómios semelhantes.

-Reconhecer, dada uma soma de monómios semelhantes, que substituindo as

indeterminadas por números obtém-se uma expressão numérica de valor igual à

soma dos valores das expressões numéricas que se obtêm substituindo, nas parcelas,

as indeterminadas respetivamente pelos mesmos números.

-Reconhecer, dado um produto de monómios, que substituindo as indeterminadas

por números obtém-se uma expressão numérica de igual valor ao produto dos

valores das expressões numéricas que se obtêm substituindo, nos fatores, as

indeterminadas respetivamente pelos mesmos números.

Fichas de trabalho,

individuais ou em

grupo.

Tutoria de pares.

Exploração do

manual adotado.


Exploração de

Power Point.

Interpretação de

gráficos, tabelas,

esquemas, textos

matemáticos

Meios

audiovisuais.

Internet,

Manuais

escolares e

outros materiais

escritos.

Calculadoras.

Computadores

Software

adequado ao

assunto a

desenvolver.

Participação na

aula;

Empenho na

realização das

tarefas (Fichas

de trabalho,

TPC, etc.);

Fichas de

avaliação.


9

Domínio: Álgebra (ALG8)

N.º de


Estratégias


Instrumentos de

avaliação

2º

Per

íod

o

8

- Casos notáveis da

multiplicação como

igualdades entre polinómios;

- Problemas associando

polinómios a medidas de

áreas e volumes,

interpretando

geometricamente igualdades

que os envolvam;


polinómios, casos notáveis

da multiplicação de

polinómios e fatorização.

Reconhecer e operar com polinómios

-Designar por “polinómio” um monómio ou uma expressão ligando monómios

(designados por “termos do polinómio”) através de sinais de adição, que podem ser

substituídos por sinais de subtração tomando-se, para o efeito, o simétrico da parte

numérica do monómio que se segue ao sinal.

-Designar por “variáveis do polinómio” ou “indeterminadas do polinómio” as

variáveis dos respetivos termos e por “coeficientes do polinómio” os coeficientes

dos respetivos termos.

-Designar por “forma reduzida” de um polinómio qualquer polinómio que se possa

obter do polinómio dado eliminando os termos nulos, adicionando algebricamente

os termos semelhantes e eliminando as somas nulas, e, no caso de por este processo

não se obter nenhum termo, identificar a forma reduzida como”0”.

-Designar por “polinómios iguais” os que admitem uma mesma parte reduzida, por

“termo independente de um polinómio” o termo de grau 0 de uma forma reduzida e

por “polinómio nulo” um polinómio com forma reduzida “0”.

-Designar por “grau” de um polinómio não nulo o maior dos graus dos termos de

uma forma reduzida desse polinómio

-Identificar, dados polinómios não nulos, o “polinómio soma” (respetivamente

“polinómio diferença”) como o que se obtém ligando os polinómios parcelas através

do sinal de adição (respetivamente subtração) e designar ambos por “soma

algébrica” dos polinómios dados.

-Reconhecer que se obtém uma forma reduzida da soma algébrica de dois

polinómios na forma reduzida adicionando algebricamente os coeficientes dos

termos semelhantes, eliminando os nulos e as somas nulas assim obtidas e

adicionando os termos assim obtidos, ou concluir que a soma algébrica é nula se

todos os termos forem assim eliminados.

-Identificar o “produto” de dois polinómios como o polinómio que se obtém

efetuando todos os produtos possíveis de um termo de um por um termo do outro e

adicionando os resultados obtidos.

-Reconhecer, dada uma soma (respetivamente produto) de polinómios, que

substituindo as indeterminadas por números, obtém-se uma expressão numérica de

valor igual à soma (respetivamente produto) dos valores das expressões numéricas

que se obtêm substituindo, nas parcelas (respetivamente fatores), as indeterminadas

respetivamente pelos mesmos números.

Fichas de trabalho,

individuais ou em

grupo.

Tutoria de pares.

Exploração do

manual adotado.


Exploração de

Power Point.

Interpretação de

gráficos, tabelas,

esquemas, textos

matemáticos

Meios

audiovisuais.

Internet,

Manuais

escolares e

outros materiais

escritos.

Calculadoras.

Computadores

Software

adequado ao

assunto a

desenvolver.

Participação na

aula;

Empenho na

realização das

tarefas (Fichas

de trabalho,

TPC, etc.);

Fichas de

avaliação.


10


N.º de


Estratégias


Instrumentos de

avaliação 2

º P

erío

do

9

Equações incompletas de

2.ºgrau

- Equação do 2.ºgrau;

equação incompleta;

- Lei do anulamento do

produto;

- Resolução de equações

incompletas de 2.ºgrau;

- Resolução de equações de

2.ºgrau tirando partido da lei

do anulamento do produto;


equações de 2.ºgrau.

-Reconhecer os casos notáveis da multiplicação como igualdades entre polinómios e

demonstrá-los.

-Efetuar operações entre polinómios, determinar formas reduzidas e os respetivos

graus.

Resolver problemas

-Resolver problemas que associem polinómios a medidas de áreas e volumes

interpretando geometricamente igualdades que os envolvam.

-Fatorizar polinómios colocando fatores comuns em evidência e utilizando os casos

notáveis da multiplicação de polinómios

Resolver equações do 2.ºgrau

-Reconhecer uma equação do 2.ºgrau completa.

-Reconhecer uma equação do 2.ºgrau incompleta.

-Provar que se um produto de números é nulo então um dos fatores é nulo e designar

esta propriedade por “lei do anulamento do produto”.

-Demonstrar as soluções da equação do 2.ºgrau 𝑥2 = 𝑘 .

-Aplicar a lei do anulamento do produto à resolução de equações do 2.ºgrau,

reconhecendo, em cada caso, que não existem mais do que duas soluções e

simplificando as expressões numéricas das eventuais soluções.

Resolver problemas -Resolver problemas envolvendo equações do 2.ºgrau.

Fichas de trabalho,

individuais ou em

grupo.

Tutoria de pares.

Exploração do

manual adotado.


Exploração de

Power Point.

Interpretação de

gráficos, tabelas,

esquemas, textos

matemáticos

Meios

audiovisuais.

Internet,

Manuais

escolares e

outros materiais

escritos.

Calculadoras.

Computadores

Software

adequado ao

assunto a

desenvolver.

Participação na

aula;

Empenho na

realização das

tarefas (Fichas

de trabalho,

TPC, etc.);

Fichas de

avaliação.


11

Domínio: Funções, Sequências e Sucessões (FSS8) N.º de aulas: 10

N.º de


Estratégias


Instrumentos de

avaliação 3

º P

erío

do

8

2

Gráficos de funções afins

-Equação da reta não

vertical e gráfico de função

linear ou afim;

-Declive e ordenada na

origem de uma reta não

vertical;

-Relação entre declive e

paralelismo;

-Determinação do declive

de uma reta determinada

por dois pontos com

abcissas distintas;

-Equação da reta vertical;


equações de retas.

Identificar as equações das retas no plano

-Demonstrar, utilizando o teorema de Tales, que as retas não verticais num dado

plano que passam pela origem de um referencial cartesiano nele fixado são os

gráficos das funções lineares e justificar que o coeficiente de uma função linear é

igual à ordenada do ponto do gráfico com abcissa igual a 1 e à constante de

proporcionalidade entre as ordenadas e as abcissas dos pontos da reta, designando-o

por “declive da reta” no caso em que o referencial é ortogonal e monométrico.

-Reconhecer que o gráfico da função definida pela expressão 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑏

(sendo b um número real) se obtém do gráfico da função f por translação de vetor

definido pelo segmento orientado de origem no ponto de coordenadas (0,0) e

extremidade de coordenadas (0,b).

-Reconhecer que as retas não verticais são os gráficos das funções afins.

-Reconhecer que duas retas não verticais são paralelas quando (e apenas quando) têm

o mesmo declive.

-Reconhecer o declive de uma reta.

-Reconhecer que os pontos do plano de abcissa igual a c (sendo c um dado número

real) são os pontos da reta vertical que passa pelo ponto de coordenadas (c,0) e

designar por equação dessa reta a equação “𝑥 = 𝑐”.

Resolver problemas

-Determinar a expressão algébrica de uma função afim dados dois pontos do

respetivo gráfico.

-Determinar a equação de uma reta paralela a outra dada e que passa num

determinado ponto.

-Resolver problemas envolvendo equações de retas em contextos diversos.

Fichas de trabalho,

individuais ou em

grupo.

Tutoria de pares.

Exploração do

manual adotado.


Exploração de

Power Point.

Interpretação de

gráficos, tabelas,

esquemas, textos

matemáticos

Meios

audiovisuais.

Internet,

Manuais

escolares e outros

materiais

escritos.

Calculadoras.

Computadores

Software

adequado ao

assunto a

desenvolver.

Participação na

aula;

Empenho na

realização das

tarefas (Fichas

de trabalho,

TPC, etc.);

Fichas de

avaliação.


12

Data de entrega: 12 de setembro de 2018

Domínio: Álgebra (ALG8) N.º de aulas: 12

N.º de


Estratégias


Instrumentos de

avaliação 3

º P

erío

do

4

8

Equações literais

- Equações literais;

- Resolução em ordem a

uma dada incógnita de

equações literais do 1.º e

2.ºgrau.

Sistemas de duas equações

do 1.ºgrau com duas

incógnitas

- Sistemas de duas

equações do 1.ºgrau com

duas incógnitas; forma

canónica; soluções;

sistemas equivalentes

- Interpretação geométrica

de sistemas de duas

equações do 1.ºgrau com

duas incógnitas;

-Resolução de sistemas de

duas equações do 1.ºgrau

pelo método de

substituição;


sistemas de equações do

1.ºgrau com duas

incógnitas.

Reconhecer e resolver equações literais em ordem a uma das incógnitas

-Designar por “equação literal” uma equação que se obtém igualando dois

polinómios de forma que pelo menos um dos coeficientes envolva uma ou mais

letras.

-Resolver equações literais do 1.º e 2.ºgrau em ordem a uma dada incógnita

considerando apenas essa incógnita como variável dos polinómios envolvidos e as

restantes letras como constantes.

Resolver sistemas de duas equações do 1.ºgrau a duas incógnitas

-Reconhecer quando um sistema está na forma canónica.

-Designar, fixada uma ordem para as incógnitas, o par ordenado de números (𝑥0, 𝑦0)

como “solução de um sistema com duas incógnitas” quando, ao substituir em cada

uma das equações a primeira incógnita por 𝑥0 e a segunda por 𝑦0 se obtêm duas

igualdades verdadeiras e por “sistemas equivalentes” sistemas com o mesmo

conjunto de soluções.

-Interpretar geometricamente os sistemas de duas equações do 1.ºgrau num plano

munido de um referencial cartesiano e reconhecer que um tal sistema ou não possui

soluções (“sistema impossível”), ou uma única solução (“sistema possível e

determinado”) ou as soluções são as coordenadas dos pontos da reta definida por

uma das duas equações equivalentes do sistema (“sistema possível e

indeterminado”).

-Resolver sistemas de duas equações do 1.ºgrau pelo método de substituição.

Resolver problemas -Resolver problemas utilizando sistemas de equações do 1.ºgrau com duas incógnitas

Fichas de trabalho,

individuais ou em

grupo.

Tutoria de pares.

Exploração do

manual adotado.


Exploração de

Power Point.

Interpretação de

gráficos, tabelas,

esquemas, textos

matemáticos

Meios

audiovisuais.

Internet,

Manuais

escolares e outros

materiais

escritos.

Calculadoras.

Computadores

Software

adequado ao

assunto a

desenvolver.

Participação na

aula;

Empenho na

realização das

tarefas (Fichas

de trabalho,

TPC, etc.);

Fichas de

avaliação.


1


Código 403192 – 7520-902 - Sines




Disciplina: Matemática

Docentes: Fátima Correia, Liete Monteiro e Maria Joaquina Pacheco

Manual adotado: Pi 9 – Fátima Magro, Fernanda Fidalgo, Pedro Louçano – ASA

Ensino: Básico

Ano: 9.º



Apresentação 1 0 0



Domínios N.º de

aulas

Domínios N.º de

aulas

Domínios N.º de

aulas

Organização e tratamento

de dados (OTD9)

Álgebra (ALG9) e

Funções, Sequências e

Sucessões (FSS9)

20

34

Geometria e

Medida (GM9)

Números e

Operações (NO9)

40

17

Números e

Operações (NO9)

(continuação)

Geometria e Medida

(GM9)

9

15




2

Domínio: Organização e tratamento de dados (OTD9) N.º de aulas: 20

N.º de


Estratégias


Instrumentos de

avaliação 1

º P

erío

do

5

5

Estatística e probabilidades

-Variáveis estatísticas discretas

e contínuas; classes

determinadas por intervalos

numéricos; agrupamento de

dados em classes da mesma

amplitude.

-Histogramas; propriedades.

-Problemas envolvendo a

representação de dados em

tabelas de frequência e

histogramas.

Probabilidade

Organizar e representar dados em histogramas

-Representar tratar e analisar conjuntos de dados.

- Identificar uma variável estatística quantitativa como “discreta” quando cada

classe fica determinada por um número ou um conjunto finito de números e como

“contínua” quando se associa a cada classe um intervalo.

-Reagrupar as unidades de uma população em classes com base num conjunto de

dados numéricos de modo que as classes tenham uma mesma amplitude pré-fixada

e designar este processo por “agrupar os dados em classes da mesma amplitude”.

-Identificar, considerado um conjunto de dados agrupados em classes,

“histograma” como um gráfico de barras retangulares justapostas e tais que a área

dos retângulos é diretamente proporcional à frequência absoluta (e portanto

também à frequência relativa) de cada classe.

-Resolver problemas.

Utilizar corretamente a linguagem da probabilidade

Utilizar corretamente os termos “mais provável”, “igualmente provável”, “possível”,

“impossível” e “certo” aplicados, neste contexto, a acontecimentos.

-Identificar experiências deterministas e aleatórias; universo de resultados ou

espaço amostral; casos favoráveis e casos possíveis.

- Identificar acontecimentos: certo, elementar, composto e impossível

-Designar dois acontecimentos por “incompatíveis” ou “disjuntos” quando a

respetiva interseção for vazia e por “complementares” quando forem disjuntos e a

respetiva reunião for igual ao espaço amostral.

-Descrever experiências aleatórias que possam ser repetidas mantendo um mesmo

universo de resultados e construídas de modo a que se espere, num número

significativo de repetições, que cada um dos casos possíveis ocorra

aproximadamente com a mesma frequência e designar os acontecimentos

elementares dessas experiências por “equiprováveis”.

-Utilizar a Regra de Laplace para o o cálculo da probabilidade de um

acontecimento.

Fichas de trabalho,

individuais ou em

grupo.

Tutoria de pares.

Exploração do manual

adotado.


Exploração de Power

Point.

Interpretação de

gráficos, tabelas,

esquemas, textos

matemáticos.

Meios

audiovisuais.

Internet,

Manuais escolares

e outros materiais

escritos.

Calculadoras.

Computadores

Software adequado

ao assunto a

desenvolver.

Participação na

aula.

Empenho na

realização das

tarefas (Fichas

de trabalho,

TPC, etc.).

Fichas de

avaliação.


3

Domínio: Organização e tratamento de dados (OTD9) - continuação

N.º de


Estratégias


Instrumentos de

avaliação 1

º P

erío

do

10

-Reconhecer que a probabilidade de um acontecimento, de entre os que estão

associados a uma experiência aleatória cujos casos possíveis sejam em número

finito e equiprováveis, é um número entre 0 e 1 e, nesse contexto, que é igual a 1 a

soma das probabilidades de acontecimentos complementares.

-Justificar que se forem acontecimentos disjuntos se tem P(A B) = = P(A) + P(B).

-Identificar e dar exemplos de acontecimentos possíveis, impossíveis, elementares,

compostos, complementares, incompatíveis e associados a uma dada experiência

aleatória.

-Utilizar tabelas de dupla entrada e diagramas em árvore na resolução de

problemas envolvendo a noção de probabilidade e a comparação das

probabilidades de diferentes acontecimentos compostos.

-Realizar experiências envolvendo a comparação das frequências relativas com as

respetivas probabilidades de acontecimentos em experiências repetíveis

(aleatórias), em casos em que se presume equiprobabilidade dos casos possíveis.

Fichas de trabalho,

individuais ou em

grupo.

Tutoria de pares.


adotado.



Point.

Interpretação de

gráficos, tabelas,

esquemas, textos

matemáticos.

Meios

audiovisuais.

Internet,

Manuais escolares

e outros materiais

escritos.

Calculadoras.

Computadores

Software

adequado ao

assunto a

desenvolver.

Participação na

aula.

Empenho na

realização das

tarefas (Fichas

de trabalho,

TPC, etc.).

Fichas de

avaliação.

Domínio: Álgebra (ALG9)/ Funções, Sequências e Sucessões (FSS9) N.º de aulas: 34

N.º de


Estratégias


Instrumentos de

avaliação

1º

Per

íod

o

11

Proporcionalidade inversa -Grandezas inversamente

proporcionais; critério de

proporcionalidade inversa.

-Constante de

proporcionalidade inversa.

-Problemas envolvendo

grandezas inversamente e

diretamente proporcionais.

Relacionar grandezas inversamente proporcionais

-Identificar grandezas “inversamente proporcionais”.

-Reconhecer que o produto de duas grandezas inversamente proporcionais é

constante.

-Utilizar corretamente o termo “constante de proporcionalidade inversa”

-Reconhecer que se uma grandeza é inversamente proporcional a outra então a

segunda é inversamente proporcional à primeira e as constantes de

proporcionalidade inversa são iguais.

Resolver problemas

-Resolver problemas envolvendo grandezas inversamente e diretamente

proporcionais em contextos variados.

Fichas de trabalho,

individuais ou em

grupo.

Tutoria de pares.


adotado.



Point.

Interpretação de

gráficos, tabelas,

esquemas, textos

matemáticos.

Meios

audiovisuais.

Internet,

Manuais escolares

e outros materiais

escritos.

Calculadoras.

Computadores

Software

adequado ao

assunto a

desenvolver.

Participação na

aula.

Empenho na

realização das

tarefas (Fichas

de trabalho,

TPC, etc.).

Fichas de

avaliação.


4

Domínio: Álgebra (ALG9)/ Funções, Sequências e Sucessões (FSS9)

N.º de


Estratégias


Instrumentos de

avaliação 1

º P

erío

do

9

Funções algébricas -Funções de proporcionalidade

inversa; referência à hipérbole. -Problemas envolvendo funções

de proporcionalidade inversa.

Definir funções de proporcionalidade inversa -Reconhecer, “funções de proporcionalidade inversa” e identificar a respetiva

constante de proporcionalidade

-Reconhecer o gráfico de uma função de proporcionalidade inversa e designar a

respetiva curva por “hipérbole”

Resolver problemas

-Resolver problemas envolvendo funções de proporcionalidade inversa em diversos

contextos.

Fichas de trabalho,

individuais ou em

grupo.

Tutoria de pares.


adotado.



Point.

Interpretação de

gráficos, tabelas,

esquemas, textos

matemáticos.

Meios

audiovisuais.

Internet,

Manuais escolares

e outros materiais

escritos.

Calculadoras.

Computadores

Software

adequado ao

assunto a

desenvolver.

Participação na

aula.

Empenho na

realização das

tarefas (Fichas

de trabalho,

TPC, etc.).

Fichas de

avaliação.


5


N.º de


Estratégias


Instrumentos de

avaliação 1

º P

erío

do

14

Funções algébricas

-Funções da família f(x) = ax2,

com a 0.

-Conjunto-solução da

equação de 2.º grau ax2 + bx

+ c = 0 como interseção da

parábola de equação y = ax2

com a reta de equação y = –bx – c.

Equações do 2.º grau

-Equações de 2.º grau

completas; completamento do

quadrado.

-Fórmula resolvente.

-Problemas geométricos e

algébricos envolvendo

equações de 2.º grau.

Interpretar graficamente soluções de equações do segundo grau.

-Saber, fixado um referencial cartesiano no plano, que o gráfico de uma função dada

por uma expressão da forma f(x) = ax2 é uma curva designada por “parábola de eixo

vertical e vértice na origem”.

- Reconhecer que o conjunto-solução da equação de 2.º grau ax2 + bx + c = 0

é o conjunto das abcissas dos pontos de interseção da parábola de equação y = ax2,

com a reta de equação y = –bx – c.

Completar quadrados e resolver equações do 2.º grau - Determinar, dado um polinómio do 2.º grau na variável x,

ax2 + bx + c, uma expressão equivalente da forma a(x + d)2 + e, onde d e e são números

reais e designar este procedimento por “completar o quadrado”.

- Resolver equações do 2.º grau começando por completar o quadrado e utilizando

os casos notáveis da multiplicação.

- Reconhecer uma equação do segundo grau completa na forma canónica (ax2 +

bx + c = 0)

- Identificar a expressão = b2 – 4ac por “binómio discriminante”.

- Reconhecer que uma equação do 2.º grau não tem soluções se o respetivo

discriminante é negativo, tem uma única solução se o discriminante é nulo e tem

duas soluções se o discriminante for positivo

- Saber de memória a fórmula resolvente e aplicá-la à resolução de equações

completas do 2.º grau.

Resolver problemas

- Resolver problemas geométricos e algébricos envolvendo equações do 2.º grau. a

parábola de equação y = ax2, com a reta de equação y = –bx – c.

Fichas de trabalho,

individuais ou em

grupo.

Tutoria de pares.


adotado.



Point.

Interpretação de

gráficos, tabelas,

esquemas, textos

matemáticos.

Meios

audiovisuais.

Internet,

Manuais escolares

e outros materiais

escritos.

Calculadoras.

Computadores

Software

adequado ao

assunto a

desenvolver.

Participação na

aula.

Empenho na

realização das

tarefas (Fichas

de trabalho,

TPC, etc.).

Fichas de

avaliação.


6


N.º de


Estratégias


Instrumentos de

avaliação 2

º P

erío

do

10

Axiomatização das teorias Matemáticas

Vocabulário do método axiomático

-Teorias; objetos e relações primitivas; axiomas.

-Axiomática de uma teoria; definições, teoremas e demonstrações.

-Teorias axiomatizadas como modelos da realidade.

-Condições necessárias e suficientes; hipótese e tese de um teorema; o

símbolo “⇒”.

-Lemas e corolários.

Axiomatização da Geometria

-Referência às axiomáticas para a Geometria Euclidiana; axiomáticas

equivalentes; exemplos de objetos e relações primitivas.

-Axiomática de Euclides; referência aos “Elementos” e aos axiomas e

postulados de Euclides; confronto com a noção atual de axioma.

-Lugares geométricos.

-Utilizar corretamente o

vocabulário próprio do método

axiomático

-Identificar factos essenciais da

axiomatização da Geometria

Fichas de trabalho,

individuais ou em grupo.

Tutoria de pares.


adotado.


Exploração de Power Point.

Interpretação de gráficos,

tabelas, esquemas, textos

matemáticos.

Meios

audiovisuais.

Internet,

Manuais escolares

e outros materiais

escritos.

Calculadoras.

Computadores

Software

adequado ao

assunto a

desenvolver.

Participação na

aula.

Empenho na

realização das

tarefas (Fichas

de trabalho,

TPC, etc.).

Fichas de

avaliação.


7

Domínio: Geometria e Medida (GM9)- continuação

N.º de

aulas Conteúdos Objetivos Estratégias gerais/Atividades Recursos

Instrumentos de

avaliação

2º

Per

íod

o

10

Paralelismo e perpendicularidade de retas e planos

A Geometria euclidiana e o axioma das paralelas

-5.º Postulado de Euclides e axioma euclidiano de paralelismo.

-Referência às Geometrias não--euclidianas; Geometria hiperbólica

ou de Lobachewski.

-Demonstrações de propriedades simples de posições relativas de retas

num plano, envolvendo o axioma euclidiano de paralelismo.

Paralelismo de retas e planos no espaço euclidiano

-Planos concorrentes; propriedades.

-Retas paralelas e secantes a planos; propriedades.

-Paralelismo de retas no espaço; transitividade.

-Paralelismo de planos: caracterização do paralelismo de planos através do

paralelismo de retas; transitividade; existência e unicidade do plano

paralelo a um dado plano contendo um ponto exterior a esse plano.

Perpendicularidade de retas e planos no espaço euclidiano

-Ângulo de dois semiplanos com fronteira comum.

-Semiplanos e planos perpendiculares.

-Retas perpendiculares a planos; resultados de existência e unicidade;

projeção ortogonal de um ponto num plano; reta normal a um plano e pé

da perpendicular; plano normal a uma reta.

-Paralelismo de planos e perpendicularidade entre reta e plano.

-Critério de perpendicularidade de planos.

-Plano mediador de um segmento de reta.

Problemas envolvendo posições relativas de retas e planos

-Caracterizar a Geometria

Euclidiana através do axioma das

paralelas.

-Identificar posições relativas de

retas no plano utilizando o axioma

euclidiano de paralelismo

-Identificar planos paralelos, retas

paralelas e retas paralelas a planos

no espaço euclidiano

-Identificar planos perpen-

diculares e retas perpendiculares a

planos no espaço euclidiano

Resolver problemas

Fichas de trabalho,


Tutoria de pares.


adotado.





matemáticos.

Meios

audiovisuais.

Internet,

Manuais escolares

e outros materiais

escritos.

Calculadoras.

Computadores

Software

adequado ao

assunto a

desenvolver.

Participação na

aula.

Empenho na

realização das

tarefas (Fichas

de trabalho,

TPC, etc.).

Fichas de

avaliação.


8

Domínio: Geometria e Medida (GM9) - continuação

N.º de


Estratégias


Instrumentos de

avaliação

2º

Per

íod

o

15

Medida

-Distâncias a um plano de pontos, retas paralelas e planos paralelos.

-Distância de um ponto a um plano.

-Projeção ortogonal num plano de uma reta paralela ao plano e distância

entre a reta e o plano.

-Distância entre planos paralelos.

-Altura da pirâmide, do cone e do prisma.

Volumes e áreas de superfícies de sólidos

-Volume da pirâmide, cone e esfera.

-Área da superfície de poliedros, da superfície lateral de cones retos e da

superfície esférica.

-Problemas envolvendo o cálculo de áreas e volumes de sólidos.

Lugares geométricos envolvendo pontos notáveis de triângulos

-A bissetriz de um ângulo como lugar geométrico.

-Circuncentro, incentro, ortocentro e baricentro de um triângulo;

propriedades e construção.

-Problemas envolvendo lugares geométricos no plano.

Propriedades de ângulos, cordas e arcos definidos numa

circunferência

-Arcos de circunferência; extremos de um arco; arco menor e maior.

-Cordas; arcos subtensos por uma corda; arco correspondente a uma corda;

propriedades.

-Amplitude de um arco.

-Ângulo inscrito num arco; arco capaz; arco compreendido entre os lados

de um ângulo inscrito; propriedades.

-Segmento de círculo maior e menor.

-Ângulo do segmento; ângulo ex-inscrito; propriedades.

-Ângulos de vértice no exterior ou no interior de um círculo e lados

intersetando a respetiva circunferência; propriedades.

-Definir distâncias entre pontos e

planos, retas e planos e entre

planos paralelos

-Comparar e calcular áreas e

volumes

-Resolver problemas

-Identificar lugares geométricos

-Resolver problemas

-Conhecer propriedades de

ângulos, cordas e arcos definidos

numa circunferência

- Resolver problemas

Fichas de trabalho,


Tutoria de pares.


adotado.





matemáticos.

Meios

audiovisuais.

Internet,

Manuais escolares

e outros materiais

escritos.

Calculadoras.

Computadores

Software adequado

ao assunto a

desenvolver.

Participação na

aula.

Empenho na

realização das

tarefas (Fichas

de trabalho,

TPC, etc.).

Fichas de

avaliação.


9

Domínio: Geometria e Medida (GM9) - continuação

N.º de


Estratégias


Instrumentos de

avaliação 2

º P

erío

do

5

-Demonstração das fórmulas para a soma dos ângulos internos e de 𝑛

ângulos externos com vértices distintos de um polígono convexo;

aplicações: demonstração da fórmula para a soma dos ângulos opostos de

um quadrilátero inscrito numa circunferência; construção aproximada de

um polígono regular de 𝑛 lados inscrito numa circunferência utilizando

transferidor.

-Problemas envolvendo ângulos e arcos definidos numa circunferência e

ângulos internos e externos de polígonos regulares.

-Resolver problemas envolvendo a amplitude de ângulos e arcos definidos

numa circunferência e envolvendo a amplitude de ângulos internos e

externos de polígonos regulares inscritos numa circunferência.


Fichas de trabalho,


Tutoria de pares.


adotado.





matemáticos.

Meios

audiovisuais.

Internet,

Manuais escolares

e outros materiais

escritos.

Calculadoras.

Computadores

Software adequado

ao assunto a

desenvolver.

Participação na

aula.

Empenho na

realização das

tarefas (Fichas

de trabalho,

TPC, etc.).

Fichas de

avaliação.


10

Domínio: Números e operações (NO9)

N.º de aulas: 26

N.º de

aulas

Conteúdos

Objetivos

Estratégias


Instrumentos de

avaliação

2º/

3º

Per

íodo

10

4

6

6

Relação de ordem em ℝ

Propriedades da relação de ordem

-Monotonia da adição.

-Monotonia parcial da multiplicação.

-Adição e produto de inequações membro a membro.

-Monotonia do quadrado e do cubo.

-Inequações e passagem ao inverso.

-Simplificação e ordenação de expressões numéricas reais envolvendo

frações, dízimas ou radicais, utilizando as propriedades da relação de

ordem em ℝ.

Intervalos

-Intervalos de números reais.

-Representação de intervalos de números reais na reta numérica.

-Interseção e reunião de intervalos.

Valores aproximados

-Aproximações da soma e do produto de números reais.

-Aproximações de raízes quadradas e cúbicas.

-Problemas envolvendo aproximações de medidas de grandezas em

contextos diversos.

Inequações

-Inequação definida por um par de funções; primeiro e segundo membro,

soluções e conjunto-solução.

-Inequações possíveis e impossíveis.

-Inequações equivalentes.

-Princípios de equivalência.

-Inequações de 1.ºgrau com uma incógnita.

-Simplificação de inequações de 1.º grau; determinação do conjunto-solução

na forma de um intervalo.

-Determinação dos conjuntos-solução de conjunções e disjunções de

inequações de 1.ºgrau como intervalos ou reunião de intervalos disjuntos.

-Problemas envolvendo inequações do 1.º grau.

-Reconhecer propriedades da

relação de ordem em ℝ

-Definir intervalos de números

reais

- Operar com valores aproximados

de números reais


-Resolver inequações do 1º grau e

resolver problemas.

Fichas de trabalho,


Tutoria de pares.


adotado.





matemáticos.

Meios

audiovisuais.

Internet,

Manuais escolares

e outros materiais

escritos.

Calculadoras.

Computadores

Software adequado

ao assunto a

desenvolver.

Participação na

aula.

Empenho na

realização das

tarefas (Fichas

de trabalho,

TPC, etc.).

Fichas de

avaliação.


11


N.º de


Estratégias


Instrumentos de

avaliação

3º

Per

íod

o

15

Trigonometria

-Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo.

-Fórmula fundamental da trigonometria.

-Relação entre a tangente de um ângulo agudo e o seno e cosseno do

mesmo ângulo.

-Relação entre o seno e o cosseno de ângulos complementares.

-Dedução dos valores das razões trigonométricas dos ângulos de 45o, 30o e

60o .

-Utilização de tabelas e de uma calculadora para a determinação de valores

aproximados da amplitude de um ângulo conhecida uma razão

trigonométrica desse ângulo.

-Problemas envolvendo distâncias e razões trigonométricas.

-Definir e utilizar razões

trigonométricas de ângulos

agudos.

-Resolver problemas

Fichas de trabalho,


Tutoria de pares.


adotado.





matemáticos.

Meios

audiovisuais.

Internet,

Manuais escolares

e outros materiais

escritos.

Calculadoras.

Computadores

Software adequado

ao assunto a

desenvolver.

Participação na

aula.

Empenho na

realização das

tarefas (Fichas

de trabalho,

TPC, etc.).

Fichas de

avaliação.

Data de entrega: 12 setembro de 2018

Data de aprovação em Conselho Pedagógico: 21 de outubro de 2018

Departamento: Matemática e Ciências Experimentais Disciplina: Matemática A – 11º. Ano Ano letivo 2018/2019

1


Código 403192 – 7520-902 - Sines




Disciplina: Matemática A

Docentes: Carlos Gonçalves

Manual adotado: Máximo 11 - Matemática A – Luís Guerreiro, António Pinto Silva, Mª Augusta Ferreira

Neves – Porto Editora

Ensino: Secundário

Ano: 11.º



Apresentação/Avaliação

diagnóstica

2 - -



Domínios N.º de

aulas

Domínios N.º de

aulas

Domínios N.º de

aulas

. Trigonometria e funções

trigonométricas (TRI)

. Geometria Analítica(GA)

. Sucessões (SUC)

. Funções Reais de Variável Real

(FRVR)

. Funções Reais de Variável Real

(FRVR)

. Estatística (EST)



37

28

34

33

20

8


2

Objetivos gerais

Os objetivos que traduzem os desempenhos fundamentais que os alunos deverão evidenciar ao longo do Ensino Secundário são explicitados

por verbos a que se atribuem significados específicos e que servem de base à leitura dos descritores elencados nas Metas Curriculares.

Requerem- se assim os seguintes cinco desempenhos, com o sentido que se descreve:

(1) Identificar/Designar/Referir: O aluno deve utilizar corretamente a designação referida, sabendo definir o conceito apresentado como se

indica ou de forma equivalente.

(2) Reconhecer: O aluno deve apresentar uma argumentação coerente ainda que eventualmente mais informal do que a explicação

fornecida pelo professor. Deve, no entanto, saber justificar isoladamente os diversos passos utilizados nessa explicação.

(3) Saber: O aluno deve conhecer o resultado, mas sem que lhe seja exigida qualquer justificação ou verificação concreta.

(4) Provar/Demonstrar: O aluno deve apresentar uma demonstração matemática tão rigorosa quanto possível.

(5) Justificar: O aluno deve justificar de forma simples o enunciado, evocando uma propriedade já conhecida.

No seu conjunto, e de modo integrado, estes desempenhos devem concorrer para a aquisição de conhecimentos factos, conceitos e

procedimentos, para a construção e desenvolvimento do raciocínio, matemático, para a resolução de problemas em diversos contextos,

para uma comunicação (oral e escrita) adequada e para uma visão da Matemática como um todo articulado e coerente.


3

Conhecimento de factos, de conceitos e de procedimentos - O domínio de procedimentos padronizados deverá ser objeto de particular

atenção no ensino desta disciplina. As rotinas e automatismos são essenciais à atividade matemática, uma vez que permitem libertar a

memória de trabalho, de modo que esta se possa dedicar, com maior exclusividade, a tarefas que exigem funções cognitivas superioras. Por

outro lado permitem determinar, a priori, que outra informação se poderia obter sem esforço a partir dos dados de um problema, o que

possibilita elaborar novas estratégias com vista à sua resolução. A memorização de alguns factos tem igualmente um papel fundamental na

aprendizagem da Matemática, pelo que é incorreto opô-la à compreensão: memorização e compreensão, sendo complementares,

reforçam-se mutuamente. Conhecer factos elementares e enunciados de teoremas de memória permite também poupar recursos cognitivos

que poderão ser direcionados para a execução de tarefas mais complexas. No 77.5-Advanced, relativamente ao domínio cognitivo

«knowing», considera-se que os factos e propriedades elementares constituem, em conjunto, a linguagem básica da Matemática e a própria

fundação do pensamento matemático, devendo o aluno ser capaz de os recordar de forma automática e sistemática. Relativamente aos

procedimentos, entende-se que: «Os procedimentos formam uma ponte entre os conhecimentos elementares e a utilização da Matemática

para a resolução de problemas rotineiros. Os alunos devem ser eficientes e precisos na utilização de uma variedade de procedimentos de

cálculo e outras ferramentas. Devem saber que determinados procedimentos permitem resolver categorias inteiras de problemas e não

apenas problemas avulso.»

Raciocínio matemático - O raciocínio matemático é por excelência o raciocínio hipotético--dedutivo, embora o raciocínio indutivo

desempenhe também um papel fundamental na atividade matemática, uma vez que preside à formulação de conjeturas. Os alunos devem

ser capazes de estabelecer conjeturas, em alguns casos, após a análise de um conjunto de situações particulares, nomeadamente pela

exploração das potencialidades dos recursos tecnológicos.


4

O TIMSS-Advanced, no capítulo dedicado à capacidade cognitiva «Reasoning», estabelece também que os alunos devem ser capazes de

utilizar a intuição e o raciocínio indutivo baseado em padrões e em regularidades com vista à resolução de problemas não rotineiros, frisando

que estes problemas exigem recursos cognitivos acima dos necessários à resolução de problemas rotineiros, ainda que a respetiva resolução

esteja dependente de conhecimentos e capacidades previamente adquiridas. No entanto (e tal como também se encontra

cuidadosamente explicitado no TIMSS-Advanced), os alunos deverão saber que o raciocínio indutivo não é apropriado para justificar

propriedades e, contrariamente ao raciocínio dedutivo, pode levar a conclusões erradas a partir de hipóteses verdadeiras, razão pela qual as

conjeturas formuladas mas não demonstradas têm um interesse limitado, devendo os alunos ser alertados para este facto e incentivados a

justificá-las o posteriori. Os desempenhos requeridos para o cumprimento dos descritores preveem que os alunos da disciplina de Matemática

A consigam, no final do Ensino Secundário, elaborar algumas demonstrações com segurança.

Resolução de problemas — A resolução de problemas envolve, da parte dos alunos, a leitura e interpretação de enunciados, a mobilização

de conhecimentos de factos, de conceitos e de relações, a seleção e aplicação adequada de regras e procedimentos, previamente

estudados e treinados, a revisão, sempre que necessária, da estratégia preconizada e a interpretação dos resultados finais. Este ponto é

reforçado no TIMSS-Advanced, a propósito do domínio cognitivo «Applying». Considera-se, a propósito da resolução de problemas, que os

alunos devem «aplicar conhecimentos de factos matemáticos, capacidades, procedimentos e conceitos para criar representações e resolver

problemas». Faz-se ainda notar que «embora a respetiva dificuldade possa variar, os problemas a resolver no âmbito deste domínio cognitivo

envolvem essencialmente a capacidade de selecionar e aplicar procedimentos previamente estudados». Assim, a resolução de problemas

não deve confundir-se com atividades vagas de exploração e de descoberta que, podendo constituir estratégias de motivação, não se

revelam adequadas à concretização efetiva de uma finalidade tão exigente. Nos enunciados de exercícios e problemas deve ter-se em

conta a conveniência de uma progressiva utilização das técnicas e princípios que vão sendo adquiridos, procurando-se um equilíbrio entre a

adequação das questões propostas a essa aquisição progressiva e uma ilustração, nem sempre possível, de situações inteiramente inspiradas

na vida corrente.


5

Desta maneira, pode ser conveniente, em diversas situações, propor problemas descrevendo situações que não traduzam de modo

plenamente realista aspetos da experiência quotidiana dos alunos, mas que sejam particularmente adaptados aos objetivos do ensino de

determinadas matérias.

Comunicação matemática — A capacidade de compreender os enunciados dos problemas matemáticos e de identificar as questões que

levantam pode ser desenvolvida através da sua explicitação e explicação, bem como da discussão de estratégias que conduzam à sua

resolução. Os alunos devem, pois, ser incentivados a expor as suas ideias de modo claro, conciso e coerente, a comentar as afirmações dos

seus colegas e do professor e a colocar as suas dúvidas. Sendo igualmente a redação escrita parte integrante da atividade matemática,

devem também ser incentivados a redigir convenientemente as respostas, explicando de forma adequada o raciocínio e apresentando as

suas conclusões de forma clara, escrevendo em português correto e evitando uma utilização inapropriada de símbolos matemáticos como

abreviaturas estenográficas.

História da Matemática — A História da Matemática é um tema que está contemplado explicitamente em alguns descritores das Metas. Os

professores deverão, não apenas nesses casos mas também a propósito de outros temas que para o efeito se revelem particularmente

adequados, enquadrar de um ponto de vista histórico os conteúdos abordados. Tal atividade, para além de ilustrar a forma como a

Matemática foi construída ao longo dos tempos, permite ainda, não só uma maior motivação para a aprendizagem, como, em muitos casos,

também proporciona uma melhor compreensão dos próprios conceitos. Por outro lado, a interação da Matemática com outras áreas do

conhecimento como a Astronomia, a Física, a Biologia ou a Economia constituiu um dos motores essenciais à evolução global das ciências,

incluindo a própria Matemática, pelo que o conhecimento histórico dessa interação é um fator essencial para uma compreensão mais

profunda do pensamento científico.

Em cada ano de escolaridade, os conteúdos encontram- se organizados por domínios.

A articulação entre os domínios de conteúdos e os objetivos acima referidos - que constituem o conjunto de desempenhos que os alunos devem evidenciar está materializada nas Metas Curriculares.


6

Domínio: Trigonometria e funções trigonométricas N.º de aulas: 37

N.º

de

aulas

Conteúdos

Descritores

(Metas

Curriculares)

Indicações

Metodológicas/Estratégias/Atividades


de avaliação 1

º P

erío

do

1º

7

Extensão da

Trigonometri

a a ângulos

retos

e obtusos e

esolução de

triângulos

Lei dos senos TRI11:

1.1, 1.2, 1.3, 1.7, 1.8, 9.1, 9.2

Após o estudo das razões trigonométricas dos

ângulos agudos, realizado no Ensino Básico, o

início do domínio Trigonometria e Funções

Trigonométricas é consagrado a estabelecer

uma definição para o seno e o cosseno de um

qualquer ângulo convexo, justificando-se a

escolha apresentada com a motivação de

estender a ângulos internos retos e obtusos, a

Lei dos Senos e o Teorema de Carnot, que

permitem resolver triângulos de forma simples

e sistemática. É também requerido o uso

adequado de uma calculadora científica para

obter valores aproximados dos elementos de

triângulos objeto de resolução trigonométrica.

Aborda-se em seguida o estudo dos ângulos

orientados e generalizados e respetivas medidas

de amplitude – conceitos intimamente

associados à noção de rotação – e generalizam-

se as razões trigonométricas a estes ângulos,

introduzindo-se o círculo trigonométrico. Após

a definição do radiano como unidade de medida

de amplitude, fica-se apto a definir as funções

reais de variável real seno, cosseno e tangente e

a estudar as respetivas propriedades.

Fichas de trabalho, individuais

ou em grupo.

Exploração do manual adotado.



- Quadro interativo.

- Manual escolar e outros

materiais escritos.

-Computadores com software

adequado ao assunto a

desenvolver.

-Internet.

Participação na

aula.

Empenho na

realização das

tarefas.

Caderno de

Autoavaliação:

Teste de

Autoavaliação 1

Caderno de

Avaliação:

Miniteste de

Avaliação 1

Lei dos cossenos (ou Teorema de Carnot)

TRI11: 1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 9.1, 9.2

4

Ângulos

orientados

e rotaçãoes

Ângulo orientado TRI11: 2.1, 2.2

Definição de rotação segundo ângulos orientados

TRI11: 3.1

Definição de ângulo generalizado

TRI11: 4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.6

4

Razões

trigonométri-

cas dos

ângulos

generalizados

Círculo trigonométrico TRI11: 5.1, 5.2, 5.3, 5.4, 5.5, 5.6

Seno e cosseno de um ângulo orientado e de um ângulo

generalizado ( , )n

TRI11: 5.3, 5.5, 5.6

Tangente de um ângulo orientado e de um ângulo generalizado ( , )n

TRI11: 5.4, 5.5, 5.6


7

Domínio: Trigonometria e funções trigonométricas

N.º

de

aulas

Conteúdos

Descritores

(Metas

Curriculares)

Indicações



de avaliação

1º

Per

íod

o

1º

2

Med

ida

s d

e â

ng

ulo

s

em r

ad

ian

os

Radiano TRI11:

6.1

Identificar os pré-requisitos

necessários ao desenvolvimento da

unidade e integrá-los e mobilizá-los a

partir da resolução de alguns

exercícios

Solicitar aos alunos que descrevam

procedimentos por via oral e por

escrito

Integrar a exploração de recursos

tecnológicos sempre que seja

pertinente

Integrar a avaliação como processo de

regulação, recorrendo à diversidade

de instrumentos de avaliação

Fichas de trabalho,



adotado.





materiais escritos.

-Computadores com

software adequado ao

assunto a desenvolver.

-Internet.

Participação na

aula.

Empenho na

realização das

tarefas.

Fichas de

Conceitos

Fundamentais.

Fichas de

avaliação.

Conversão de graus em radianos e inversamente

TRI11:

6.2

7

Fu

nçõ

es t

rig

on

om

étri

cas

Função seno TRI11:

7.1, 7.2, 7.3, 7.4,

7.5, 7.6, 7.10, 9.4

Função cosseno TRI11:

7.1, 7.2, 7.3, 7.4,

7.5, 7.6, 7.10, 9.4

Função tangente TRI11:

7.1, 7.2, 7.3, 7.9,

7.10, 9.4


8


N.º

de

aulas

Conteúdos

Descritores

(Metas

Curriculares)

Indicações



de avaliação 1

º P

erío

do

4

Fu

nçõ

es t

rigon

om

étri

cas Fórmula fundamental da

Trigonometria TRI11: 7.7, 9.3

Fichas de trabalho,



adotado.





materiais escritos.

-Computadores com



-Internet.

Participação na

aula.

Empenho na

realização das

tarefas.

Fichas de

Conceitos

Fundamentais.

Fichas de

avaliação.

Relações entre senos e cossenos de alguns ângulos

TRI11: 7.8, 9.3

2

Razõ

es t

rigo

nom

étri

cas

dos

ân

gu

los

gen

era

liza

do

s

Função arcsin (ou arcsen)

TRI11: 8.1

Função arccos TRI11: 8.1

Função arctan TRI11: 8.1


9


N.º

de

aulas

Conteúdos

Descritores

(Metas

Curriculares)

Indicações



de avaliação

1º

Per

íod

o

7

Eq

ua

ções

tri

go

no

mét

rica

s

Equações do tipo sin x = b TRI11: 8.3, 8.5, 9.3

Fichas de trabalho,



adotado.





materiais escritos.

-Computadores com



-Internet.

Participação na

aula.

Empenho na

realização das

tarefas.

Fichas de

Conceitos

Fundamentais.

Fichas de

avaliação.

Equações do tipo cos x = b TRI11: 8.2, 8.5, 9.3

Equações do tipo tan x = b TRI11: 8.4, 8.5, 9.3


10

Domínio: Geometria analítica N.º de aulas: 28

N.º

de

aulas

Conteúdos

Descritores

(Metas

Curriculares)

Indicações



de avaliação

1º

Per

íod

o

1º

4

Dec

liv

e e

incl

ina

ção

de

um

a r

eta

do

pla

no

Inclinação de uma reta GA11: 1.1, 1.2

No domínio Geometria Analítica,

introduz-se, no 11.º ano, a noção

geométrica de produto escalar de

vetores, deduzindo-se as suas

principais propriedades, como a

simetria, a bilinearidade ou a relação

deste conceito com a

perpendicularidade. Fixado um

referencial ortonormado, o produto

escalar estuda- -se também do ponto

de vista das coordenadas. É importante

notar que as propriedades das funções

trigonométricas abordadas no domínio

Trigonometria e Funções

Trigonométricas são fundamentais

para uma correta apresentação e

justificação de muitos destes

resultados. Ainda neste domínio,

completa-se o estudo das equações

cartesianas de planos no espaço,

iniciado no 10.º ano.

Fichas de trabalho,



adotado.





materiais escritos.

-Computadores com



-Internet.

Participação na

aula.

Empenho na

realização das

tarefas.

Fichas de

Conceitos

Fundamentais.

Fichas de

avaliação.

Relação entre o declive de

uma reta não vertical e a

tangente trigonométrica da

respetiva inclinação

GA11: 1.3


11

Domínio: Geometria analítica

N.º

de

aulas

Conteúdos

Descritores

(Metas

Curriculares)

Indicações



de avaliação 1

º P

erío

do

1º

12

Pro

du

to e

sca

lar

Produto escalar de dois

vetores GA11:

2.1, 2.2, 2.3 Identificar os pré-requisitos




exercícios



escrito

Levar os alunos a reconhecer

resultados e de forma progressiva a

justificá-los e/ou demonstrá-los



pertinente

Diversificar processos de resolução de

problemas e discuti-los



de instrumentos de avaliação.

Fichas de trabalho,



adotado.





materiais escritos.

-Computadores com



-Internet.

Participação na

aula.

Empenho na

realização das

tarefas.

Fichas de

Conceitos

Fundamentais.

Fichas de

avaliação.

Relação entre vetores

perpendiculares e o

respetivo produto escalar

GA11: 2.4, 2.5

Propriedades do produto

escalar de vetores

GA11: 2.6, 2.7, 2.8, 2.9, 4.1

Expressão do produto

escalar nas coordenadas

dos vetores em referencial

ortonormado

GA11: 2.10, 2.12, 4.1

Determinação do ângulo

formado por dois vetores GA11: 4.1

Determinação do ângulo

formado por duas retas GA11: 4.1

Relação entre declives de

retas perpendiculares GA11: 2.11

Lugares geométricos no

plano GA11: 4.2


12

Domínio: Geometria analítica

N.º

de

aulas

Conteúdos

Descritores

(Metas

Curriculares)

Indicações



de avaliação

1º

Per

íod

o

1º

14

Eq

uaçõ

es d

e p

lan

os n

o e

sp

aço

Equação de um plano

definido por um ponto e

um vetor normal

GA11:

2.11

Identificar os pré-requisitos




exercícios



escrito

Levar os alunos a reconhecer

resultados e de forma progressiva a

justificá-los e/ou demonstrá-los



pertinente

Diversificar processos de resolução de

problemas e discuti-los



de instrumentos de avaliação.

Fichas de trabalho,



adotado.





materiais escritos.

-Computadores com



-Internet.

Participação na

aula.

Empenho na

realização das

tarefas.

Fichas de

Conceitos

Fundamentais.

Fichas de

avaliação.

Planos paralelos e planos

perpendiculares GA11:

3.2, 4.3, 4.4

Equação vetorial do plano.

Equações paramétricas

GA11:

3.3, 3.4, 3.5, 3.6,

3.7, 3.8, 3.9, 4.3,

4.4

Lugares geométricos no

espaço GA11:

4.3, 4.4


13

Domínio: Sucessões N.º de aulas: 34

N.º

de

aulas

Conteúdos

Descritores

(Metas

Curriculares)

Indicações



de avaliação 2

º P

erío

do

1º

2

Majo

ran

tes e

min

ora

nte

s

de u

m c

on

jun

to n

ão

vazio

de n

úm

ero

s r

eais

Majorantes e minorantes SUC11:

1.1, 1.2, 1.3, 1.4

No domínio Sucessões, após a apresentação de

alguns aspetos gerais, é introduzido o princípio

de indução matemática, que constitui um

instrumento fundamental para o estudo de

diversas propriedades das sucessões, servindo

ainda de suporte teórico à definição de

sucessões por recorrência. São estudadas as

progressões aritméticas e geométricas bem

como o cálculo da soma de sequências dos

respetivos termos.

A noção de limite é introduzida de forma

cuidada. Uma abordagem puramente intuitiva

dos limites leva rapidamente a insuficiências

concetuais graves. É pois exigida, em situações

muito simples, a justificação da convergência de

certas sucessões recorrendo diretamente à

definição. É também desenvolvida, de forma

bastante completa, a álgebra dos limites,

incluindo uma análise das situações ditas

indeterminadas, devendo os alunos justificar

igualmente alguns destes resultados.

Fichas de trabalho,



adotado.





materiais escritos.

-Computadores com



-Internet.

Participação na

aula.

Empenho na

realização das

tarefas.

Fichas de

Conceitos

Fundamentais.

Fichas de

avaliação.

7

Gen

era

lid

ad

es a

cerc

a d

e s

ucessõ

es

Sucessões numéricas SUC11:

2.1

Sucessões monótonas SUC11:

2.2, 2.3

Sucessões limitadas SUC11:

2.4, 2.5, 2.6, 7.1


14

Domínio: Sucessões

N.º

de

aulas

Conteúdos

Descritores

(Metas

Curriculares)

Indicações



de avaliação

2º

Per

íod

o

1º

2

P

rin

cíp

io d

e

ind

uçã

o

mate

máti

ca

Sucessões definidas por

recorrência SUC11:

3.1, 3.2, 3.3

Fichas de trabalho,



adotado.





materiais escritos.

-Computadores com



-Internet.

Participação na

aula.

Empenho na

realização das

tarefas.

Fichas de

Conceitos

Fundamentais.

Fichas de

avaliação.

6

Pro

gre

ssõ

es

ari

tméti

cas e

geo

métr

icas

Progressões aritméticas

SUC11:

4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 7.2

Progressões geométricas

SUC11:

5.1, 5.2, 5.3, 7.2

17

Lim

ite d

e u

ma s

ucessão

Definição de limite de uma sucessão

SUC11:

6.1, 6.2, 6.5, 6.6, 6.7, 6.8, 6.9, 6.10

Sucessões monótonas, limitadas e convergentes

SUC11:

6.3, 6.4

Operações algébricas com sucessões

SUC11:

6.11, 6.12, 6.13,

6.14, 6.15

Operações com infinitamente grandes

SUC11:

6.16, 6.17, 6.18, 6.19, 6.20, 6.21,

6.22, 6.27, 6.28, 6.29, 6.30, 6.31,

7.3, 7.4

Inverso de um infinitésimo e inverso de um infinitamente grande

SUC11:

6.23, 6.24, 6.25, 6.26


15

Domínio: Funções reais de variável real N.º de aulas: 53

N.º

de

aulas

Conteúdos

Descritores

(Metas

Curriculares)

Indicações



de avaliação 2

º P

erío

do

1º

6

Fu

nçõ

es r

aci

on

ais

Simplificação de

expressões do tipo

P x

Q x

sendo P e Q polinómios

FRVR11:

2.6

No domínio Funções Reais de Variável Real,

do 11.º ano, utilizam-se os conceitos

introduzidos no domínio Sucessões, para, pelo

processo atribuído a Heine, ficar definida a

noção de limite de uma função, num dado

ponto ou em mais ou menos infinito. Neste

contexto, são essencialmente duas as opções

que classicamente se consideram para a

definição de limite num ponto real, consoante o

domínio em que se tomam as sucessões a

tender para , para o efeito de testar a existência

do referido limite. A opção privilegiada desde

há bastante tempo no Ensino Secundário em

Portugal tem sido a que consiste em considerar,

de entre as sequências no domínio da função,

apenas aquelas que nunca tomam o valor . Ou

seja, tem-se optado pelo que vulgarmente se

designa por “limite por valores diferentes de ”.

Neste programa optou-se pela versão

alternativa que consiste em admitir, com o

mesmo objetivo, sucessões que podem tomar o

valor ; considera-se, com efeito, que esta opção

apresenta diversas vantagens.

Fichas de trabalho,



adotado.





materiais escritos.

-Computadores com



-Internet.

Participação na

aula.

Empenho na

realização das

tarefas.

Fichas de

Conceitos

Fundamentais.

Fichas de

avaliação.

Zeros e sinal de funções

racionais FRVR11:

4.1

13

Lim

ites

seg

un

do H

ein

e d

e fu

nçõ

es r

eais

de

vari

ável

rea

l

Ponto aderente a um

conjunto. Aderência de um

conjunto

FRVR11:

1.1

Limite de uma função num

ponto

FRVR11:

1.2, 1.3, 1.4, 1.5,

1.6

Limite de uma função

quando x e

x

FRVR11:

1.7, 1.8

Propriedades operatórias

sobre limites de funções FRVR11:

1.9, 1.10, 1.11

Indeterminações FRVR11:

1.9, 4.1


16

Domínio: Funções reais de variável real

N.º

de

aulas

Conteúdos

Descritores

(Metas

Curriculares)

Indicações


Recursos Instrumentos de

avaliação

2º

Per

íod

o

1º

6

Co

nti

nu

ida

de

de

fun

ções

Função contínua num

ponto FRVR11:

2.1, 2.2, 2.3, 2.4

Em primeiro lugar por ser mais simples de

formular (e permitir também uma formulação

mais simples da noção de continuidade) e em

segundo lugar porque a própria noção de

“limite por valores diferentes” (como outras

afins como a de “limite à esquerda” e “à

direita”) passa a poder ser encarada como caso

particular da noção de limite, quando

considerada a restrição da função inicial a um

subconjunto do respetivo domínio.

A definição de limite segundo Heine – que já é

comum no Ensino Secundário – permite, de

forma bastante imediata estender ao caso de

funções reais a álgebra de limites estudada a

propósito das sucessões, bem como os teoremas

de convergência por comparação, como o

Teorema das funções enquadradas, que é uma

consequência direta, com esta abordagem, do Teorema das sucessões enquadradas e que

são estudados no 12.º ano. Apresenta-se em

seguida a noção de continuidade e, como uma

aplicação da noção de limite de uma função, o

estudo das assíntotas, em particular no caso do

gráfico de uma função racional.

Fichas de trabalho,



adotado.





materiais escritos.

-Computadores com



-Internet.

Participação na

aula.

Empenho na

realização das

tarefas.

Fichas de

Conceitos

Fundamentais.

Fichas de

avaliação.

Continuidade da soma,

diferença, produto,

quociente e potência de

expoente racional

FRVR11:

2.5

Continuidade das funções

polinomiais

FRVR11:

2.6, 2.7, 2.8, 2.9,

2.11, 4.3

Continuidade da função

composta de duas funções FRVR11:

2.10, 2.11

3º

Per

íod

o

8

Ass

ínto

tas

ao

grá

fico

de

um

a f

un

ção

Assíntotas verticais e não

verticais FRVR11:

3.1, 3.2

Funções do tipo

bf x a

x c , (a , b e

c números reais)

FRVR11:

4.4

Determinação de assíntotas

do tipo y = mx + b , com

m , b números reais

FRVR11:

3.3, 4.4, 4.5


17


N.º

de

aulas

Conteúdos

Descritores

(Metas

Curriculares)

Indicações



de avaliação 3

º P

erío

do

1º

20

Der

iva

da

s d

e fu

nçõ

es r

eais

de

va

riá

vel

rea

l

Taxa média de variação e

taxa instantânea de

variação

FRVR11:

5.1, 5.2, 5.3, 5.4,

5.5

A noção de derivada é igualmente introduzida

neste domínio, fazendo-se uma interpretação

geométrica da derivada de uma função num

dado ponto e estabelecendo-se fórmulas para a

soma, diferença, produto, quociente e composta

de funções diferenciáveis e calculando-se,

diretamente a partir da definição, a derivada de

algumas funções elementares. A ligação entre o

sinal da derivada e a monotonia de uma dada

função é aqui estabelecida invocando-se o

Teorema de Lagrange para uma das

implicações, embora apenas se exija uma

interpretação geométrica desse resultado. Em

contrapartida, pretende-se que o aluno saiba

justificar a propriedade segundo a qual se uma

função atinge um extremo num dado ponto em

que é diferenciável, então a derivada anula-se

nesse mesmo ponto, desde que pertença a um

intervalo aberto contido no domínio da função.

É também proposta especificamente a aplicação

da noção de derivada à cinemática do ponto.

Fichas de trabalho,



adotado.





materiais escritos.

-Computadores com



-Internet.

Participação na

aula.

Empenho na

realização das

tarefas.

Fichas de

Conceitos

Fundamentais.

Fichas de

avaliação.

Aplicação da noção de

derivada à cinemática do

ponto

FRVR11:

6.1, 6.2, 9.2

Função derivada FRVR11:

7.1, 7.2, 7.3

Diferenciabilidade e

continuidade FRVR11:

7.4

Funções de referência.

Regras de derivação

FRVR11:

7.5, 7.6, 7.7, 7.8,

7.9, 7.10, 7.11,

7.12, 7.13

Sinal da derivada.

Variação e extremos

FRVR11:

8.1, 8.2, 8.3, 8.4,

8.5, 9.1, 9.3


18

Domínio: Estatística N.º de aulas: 8

N.º

de

aulas

Conteúdos

Descritores

(Metas

Curriculares)

Indicações


Recursos Instrumentos de

avaliação 3

º P

erío

do

1º

4

Reta

de m

ínim

os

qu

ad

rad

os

Desvio vertical EST11:

1.1, 1.2

No domínio Estatística, estudam-se as retas de

mínimos quadrados associadas a uma sequência

de pontos do plano. As coordenadas destes

pontos podem em particular representar os

valores de uma amostra bivariada, o que

permite a aplicação deste conceito ao estudo da

correlação de duas variáveis estatísticas

definidas numa mesma população.

Fichas de trabalho,



adotado.





materiais escritos.

-Computadores com



-Internet.

Participação na

aula.

Empenho na

realização das

tarefas.

Fichas de

Conceitos

Fundamentais.

Fichas de

avaliação.

Reta de mínimos quadrados

EST11:

1.3, 2.1

4

Am

ostr

as b

ivari

ad

as e

co

efi

cie

nte

de

co

rrela

ção

Coeficiente de correlação

EST11:

1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 1.9, 2.2, 2.3

Data de entrega: 11 de setembro de 2018.

Departamento: Matemática e Ciências Experimentais Disciplina: Matemática Aplicada às Ciências Sociais – 11º. Ano Ano letivo 2018/2019

1


Código 403192 – 7520-902 - Sines




Disciplina: Matemática Aplicada às Ciências Sociais

Docente: Maria José Borges

Manual adotado: Máximo 11 - Matemática Aplicada às Ciências Sociais - Bruno Ribeiro, Luísa Faria,

Mª Augusta Ferreira Neves – Porto Editora

Ensino: Secundário

Ano: 11.º



Apresentação/Avaliação diagnóstica 1 0 0



Domínios N.º de

aulas

Domínios N.º de

aulas

Domínios N.º de

aulas

Modelos de

grafos

Modelos

populacionais

30

32

Modelos de

probabilidade

Introdução à

inferência estatística

52

17

Introdução à

inferência estatística 25




2

TEMA: MODELOS DE GRAFOS

N.º de aulas: 30

N.º de

aulas Desenvolvimento/Conteúdos

Programáticos

Indicações Metodológicas/Estratégias/Atividades Recursos Instrumentos

de avaliação 1

º P

erío

do

1º

4

10

12

4

Introdução ao estudo dos

grafos

Grafos eulerianos

Trilhos e circuitos de Euler

Problema do carteiro chinês

Eulerização de grafos

Grafos hamiltonianos

Circuitos de Hamilton

Problema do Caixeiro

Viajante (PCV)

Algoritmo da cidade mais

próxima

Algoritmo do peso das arestas

Árvores abrangentes mínimas

Descobrir resultados gerais na abordagem de uma

situação.

Para cada modelo, procurar esquemas combinatórios

(árvores) que permitam calcular pesos totais de

caminhos possíveis.

Encontrar algoritmos - decisões passo a passo para

encontrar soluções satisfatórias.

Discussão sobre a utilidade e viabilidade económica (e

não só) da procura das soluções ótimas.

Afigura-se obrigatória uma abordagem dos circuitos

hamiltonianos e um exemplo para introdução do

Problema do Caixeiro Viajante. Também é

absolutamente necessário o trabalho com "árvores" que

visa facilitar as somas de pesos atribuídos às arestas de

modo a ser possível comparar os pesos totais das várias

soluções. A procura de algoritmos próprios para obter

soluções aceitáveis é também um exercício de

importante utilidade formativa.

A atribuição de pesos às arestas deve ser acompanhada

da discussão dos seus diversos sentidos e isso deve ser

discutido com situações que envolvam a localização

dos grandes armazéns de uma cadeia de distribuição

comercial, utilizando uma frota de camiões num dado

território, localização de equipamentos sociais

(unidades de tratamento de resíduos, aterros sanitários,

etc.) introduzindo os fatores das deslocações e da

combustão no trafego, etc.

Resolução de exercícios dos exames nacionais

- Quadro de Giz ou branco com marcador.


- Manual escolar e outros materiais escritos.

-Computadores com software adequado ao


-Internet.

- Calculadoras gráficas.

Participação na

aula.

Empenho na

realização das

tarefas.

Fichas de

Conceitos

Fundamentais.

Fichas de

avaliação.


3

TEMA: MODELOS POPULACIONAIS

N.º de aulas: 32

N.º de


Programáticos


de avaliação 1

º P

erío

do

1º

4

7

7

7

7

Modelos discretos.

Modelos contínuos.

Crescimento linear

Crescimento exponencial

Crescimento logarítmico

Crescimento logístico

Familiarizar os estudantes com modelos discretos de

crescimento populacional.

Comparar o crescimento linear com o crescimento

exponencial através do estudo de progressões

aritméticas e geométricas.

Comparar os crescimentos linear, exponencial,

logarítmico e logístico.

Podem ser apresentadas situações ou problemas com

os quais os estudantes possam fazer simulações de

acordo com as condições iniciais e cenários possíveis

de evolução mundial, produzindo pareceres e propostas

para apoiar uma decisão ou escolha.

As funções exponencial, logarítmica e logística devem

ser introduzidas em situações concretas, sendo

referidas apenas as propriedades bastantes para o

respetivo trabalho algébrico.

Neste tema, o aluno tomará contacto com várias

famílias de funções. Não se pretende um estudo

detalhado e exaustivo, mas apenas uma análise de

comportamentos em contextos concretos relativos à

evolução de populações.

Os alunos devem recorrer à tecnologia, fazer diferentes

regressões analisar criticamente os modelos escolhidos

para cada caso.







-Internet.


Participação na

aula.

Empenho na

realização das

tarefas.

Fichas de

Conceitos

Fundamentais.

Fichas de

avaliação.


4

TEMA: MODELOS DE PROBABILIDADE

N.º de aulas: 52

N.º de


Programáticos


de avaliação 2

º P

erío

do

1º

5

10

6

Fenómenos aleatórios

Problemas de contagem.

Cálculo de probabilidades. Lei

de Laplace.

Modelos de probabilidade em

espaços finitos. Variáveis

quantitativas. Função massa

de probabilidade

Probabilidade condicional.

Árvore de probabilidades.

Acontecimentos

independentes.

Probabilidade total. Regra de

Bayes

Entender a diferença entre fenómeno determinístico e

fenómeno aleatório.

Calcular a probabilidade de alguns acontecimentos a

partir dos modelos construídos.

Construir modelos de probabilidade utilizando a regra

do produto.

Apreender as propriedades básicas de uma função

massa de probabilidade.

Identificar acontecimentos em espaços finitos.

Saber calcular as probabilidades de alguns

acontecimentos utilizando propriedades da

probabilidade.

Compreender a noção de probabilidade condicional

através de exemplos simples.

Ilustrar a forma de cálculo de probabilidades de

acontecimentos utilizando uma árvore de

probabilidades.

Apresentar a definição de probabilidade condicional.

Utilizar a definição de probabilidade condicional para

formalizar a noção intuitiva de acontecimentos

independentes. Apresentar a definição de

acontecimentos independentes.

A partir de informação registada numa tabela de

contingência, calcular corretamente probabilidades

condicionais.

Introduzir os estudantes nas técnicas Bayesianas







-Internet.


Participação na

aula.

Empenho na

realização das

tarefas.

Fichas de

Conceitos

Fundamentais.

Fichas de

avaliação.


5

N.º de


Programáticos


de avaliação

2º

Per

íod

o

1º

8

8

5

10

Valor médio e variância

populacional

Espaços de resultados finitos.

Modelos discretos e modelos

contínuos.

Modelo binomial

Modelo normal

Fazer a distinção entre valor médio (ou média)

populacional e média amostral e também, de modo

idêntico, para a variância e outras características já

referidas no estudo descritivo de amostras.

Alargar a noção de população como um conceito

subjacente a um modelo de probabilidade.

Apresentar de forma justificada as fórmulas de cálculo

do valor médio e da variância para modelos

quantitativos de espaço de resultados finito.

Mostrar o interesse em adotar modelos com suporte

não finito em situações onde o conjunto de resultados

possíveis não seja conhecido na sua totalidade ou seja

demasiado extenso.

Calcular probabilidades de acontecimentos a partir de

alguns modelos contínuos simples.

Salientar a importância do modelo normal referindo o

Teorema Limite Central.

Referir as principais características de um modelo

Normal

Calcular probabilidades com base nesta família de

modelos recorrendo ao uso de uma tabela da função de

distribuição de uma Normal Standard

.







-Internet.


Participação na

aula.

Empenho na

realização das

tarefas.

Fichas de

Conceitos

Fundamentais.

Fichas de

avaliação.


6

TEMA: INFERÊNCIA ESTATÍSTICA

N.º de aulas: 42

N.º de


Programáticos


de avaliação 2

.º/3

º P

erío

do

1º

4

8

10

10

10

Parâmetro e estatística

Noção de estimativa pontual.

Estimação do valor médio e de

uma proporção. Distribuição

de amostragem.

Intervalos de confiança para o

valor médio de uma variável

Intervalos de confiança para a

proporção

Interpretação do conceito de

intervalo de confiança

A compreensão das diferenças entre parâmetro e

estatística e do que é uma distribuição de amostragem,

é a base dos processos de Inferência Estatística. Os

parâmetros que se procurarão estimar são: o valor

médio e a proporção ou frequência relativa com que se

verifica uma determinada característica na População.

Sendo a noção de distribuição de amostragem a base da

maior parte das técnicas de inferência estatística, é

importante exemplificar o seu processo de construção,

podendo para começar, considerar um dos casos mais

simples que é o de estimar um valor médio.

Nesta altura deve-se também chamar a atenção e

exemplificar o papel desempenhado pela dimensão da

amostra, para a precisão dos resultados, na medida em

que diminui a variabilidade apresentada pela

distribuição de amostragem.

Uma vez trabalhado e entendido o conceito de

distribuição de amostragem, deve-se recordar-se a

importância do Teorema do Limite Central.

Finalmente introduzir-se-á o conceito de intervalo de

confiança tanto para o valor médio, como para a

proporção.

Considera-se importante que os estudantes interpretem

a amplitude do intervalo, como a maior ou menor

precisão, isto é, como a margem de erro dos resultados

obtidos quando se considera uma determinada

confiança e uma determinada dimensão para a amostra.

Deverá ser realçado o facto de a amplitude do intervalo

de confiança depender da variabilidade da estatística

utilizada.







-Internet.


Participação na

aula.

Empenho na

realização das

tarefas.

Fichas de

Conceitos

Fundamentais.

Fichas de

avaliação.



1


Código 403192 – 7520-902 - Sines




Disciplina: Matemática A

Docente: Carlos Gonçalves

Manual adotado: Novo Espaço 12 - Matemática A – Belmiro Costa, Ermelinda Rodrigues – Porto

Editora

Ensino: Secundário

Ano: 12.º



Apresentação/Avaliação

diagnóstica

2 - -



Domínios N.º de

aulas

Domínios N.º de

aulas

Domínios N.º de

aulas

.Cálculo combinatório (CC12)

.Probabilidades (PROB12)

.Funções reais de variável real

(FRVR12)

.Funções reais de variável real

(FRVR12)

.Funções exponenciais e

logarítmicas (FEL12)

.Trigonometria (TRI12)

.Trigonometria (TRI12)

. Números complexos (NC12)



18

20

25

13

40

14

12

18


2

Objetivos gerais

Os objetivos que traduzem os desempenhos fundamentais que os alunos deverão evidenciar ao longo do Ensino Secundário são explicitados por verbos a que

se atribuem significados específicos e que servem de base à leitura dos descritores elencados nas Metas Curriculares.

Requerem- se assim os seguintes cinco desempenhos, com o sentido que se descreve:

(1) Identificar/Designar/Referir: O aluno deve utilizar corretamente a designação referida, sabendo definir o conceito apresentado como se indica ou de

forma equivalente.

(2) Reconhecer: O aluno deve apresentar uma argumentação coerente ainda que eventualmente mais informal do que a explicação fornecida pelo professor.

Deve, no entanto, saber justificar isoladamente os diversos passos utilizados nessa explicação.

(3) Saber: O aluno deve conhecer o resultado, mas sem que lhe seja exigida qualquer justificação ou verificação concreta.

(4) Provar/Demonstrar: O aluno deve apresentar uma demonstração matemática tão rigorosa quanto possível.

(5) Justificar: O aluno deve justificar de forma simples o enunciado, evocando uma propriedade já conhecida.

No seu conjunto, e de modo integrado, estes desempenhos devem concorrer para a aquisição de conhecimentos factos, conceitos e procedimentos, para a

construção e desenvolvimento do raciocínio, matemático, para a resolução de problemas em diversos contextos, para uma comunicação (oral e escrita)

adequada e para uma visão da Matemática como um todo articulado e coerente.


3

Conhecimento de factos, de conceitos e de procedimentos - O domínio de procedimentos padronizados deverá ser objeto de particular atenção no ensino

desta disciplina. As rotinas e automatismos são essenciais à atividade matemática, uma vez que permitem libertar a memória de trabalho, de modo que esta se

possa dedicar, com maior exclusividade, a tarefas que exigem funções cognitivas superioras. Por outro lado permitem determinar, a priori, que outra

informação se poderia obter sem esforço a partir dos dados de um problema, o que possibilita elaborar novas estratégias com vista à sua resolução. A

memorização de alguns factos tem igualmente um papel fundamental na aprendizagem da Matemática, pelo que é incorreto opô-la à compreensão:

memorização e compreensão, sendo complementares, reforçam-se mutuamente. Conhecer factos elementares e enunciados de teoremas de memória permite

também poupar recursos cognitivos que poderão ser direcionados para a execução de tarefas mais complexas. No 77.5-Advanced, relativamente ao domínio

cognitivo «knowing», considera-se que os factos e propriedades elementares constituem, em conjunto, a linguagem básica da Matemática e a própria

fundação do pensamento matemático, devendo o aluno ser capaz de os recordar de forma automática e sistemática. Relativamente aos procedimentos,

entende-se que: «Os procedimentos formam uma ponte entre os conhecimentos elementares e a utilização da Matemática para a resolução de problemas

rotineiros. Os alunos devem ser eficientes e precisos na utilização de uma variedade de procedimentos de cálculo e outras ferramentas. Devem saber que

determinados procedimentos permitem resolver categorias inteiras de problemas e não apenas problemas avulso.»

Raciocínio matemático - O raciocínio matemático é por excelência o raciocínio hipotético--dedutivo, embora o raciocínio indutivo desempenhe também um

papel fundamental na atividade matemática, uma vez que preside à formulação de conjeturas. Os alunos devem ser capazes de estabelecer conjeturas, em

alguns casos, após a análise de um conjunto de situações particulares, nomeadamente pela exploração das potencialidades dos recursos tecnológicos.


4

O TIMSS-Advanced, no capítulo dedicado à capacidade cognitiva «Reasoning», estabelece também que os alunos devem ser capazes de utilizar a intuição e o

raciocínio indutivo baseado em padrões e em regularidades com vista à resolução de problemas não rotineiros, frisando que estes problemas exigem recursos

cognitivos acima dos necessários à resolução de problemas rotineiros, ainda que a respetiva resolução esteja dependente de conhecimentos e capacidades

previamente adquiridas. No entanto (e tal como também se encontra cuidadosamente explicitado no TIMSS-Advanced), os alunos deverão saber que o

raciocínio indutivo não é apropriado para justificar propriedades e, contrariamente ao raciocínio dedutivo, pode levar a conclusões erradas a partir de hipóteses

verdadeiras, razão pela qual as conjeturas formuladas mas não demonstradas têm um interesse limitado, devendo os alunos ser alertados para este facto e

incentivados a justificá-las o posteriori. Os desempenhos requeridos para o cumprimento dos descritores preveem que os alunos da disciplina de Matemática A

consigam, no final do Ensino Secundário, elaborar algumas demonstrações com segurança.

Resolução de problemas — A resolução de problemas envolve, da parte dos alunos, a leitura e interpretação de enunciados, a mobilização de conhecimentos

de factos, de conceitos e de relações, a seleção e aplicação adequada de regras e procedimentos, previamente estudados e treinados, a revisão, sempre que

necessária, da estratégia preconizada e a interpretação dos resultados finais. Este ponto é reforçado no TIMSS-Advanced, a propósito do domínio cognitivo

«Applying». Considera-se, a propósito da resolução de problemas, que os alunos devem «aplicar conhecimentos de factos matemáticos, capacidades,

procedimentos e conceitos para criar representações e resolver problemas». Faz-se ainda notar que «embora a respetiva dificuldade possa variar, os problemas a

resolver no âmbito deste domínio cognitivo envolvem essencialmente a capacidade de selecionar e aplicar procedimentos previamente estudados». Assim, a

resolução de problemas não deve confundir-se com atividades vagas de exploração e de descoberta que, podendo constituir estratégias de motivação, não se

revelam adequadas à concretização efetiva de uma finalidade tão exigente. Nos enunciados de exercícios e problemas deve ter-se em conta a conveniência de

uma progressiva utilização das técnicas e princípios que vão sendo adquiridos, procurando-se um equilíbrio entre a adequação das questões propostas a essa

aquisição progressiva e uma ilustração, nem sempre possível, de situações inteiramente inspiradas na vida corrente.


5

Desta maneira, pode ser conveniente, em diversas situações, propor problemas descrevendo situações que não traduzam de modo plenamente realista aspetos

da experiência quotidiana dos alunos, mas que sejam particularmente adaptados aos objetivos do ensino de determinadas matérias.

Comunicação matemática — A capacidade de compreender os enunciados dos problemas matemáticos e de identificar as questões que levantam pode ser

desenvolvida através da sua explicitação e explicação, bem como da discussão de estratégias que conduzam à sua resolução. Os alunos devem, pois, ser

incentivados a expor as suas ideias de modo claro, conciso e coerente, a comentar as afirmações dos seus colegas e do professor e a colocar as suas dúvidas.

Sendo igualmente a redação escrita parte integrante da atividade matemática, devem também ser incentivados a redigir convenientemente as respostas,

explicando de forma adequada o raciocínio e apresentando as suas conclusões de forma clara, escrevendo em português correto e evitando uma utilização

inapropriada de símbolos matemáticos como abreviaturas estenográficas.

História da Matemática — A História da Matemática é um tema que está contemplado explicitamente em alguns descritores das Metas. Os professores

deverão, não apenas nesses casos mas também a propósito de outros temas que para o efeito se revelem particularmente adequados, enquadrar de um ponto de

vista histórico os conteúdos abordados. Tal atividade, para além de ilustrar a forma como a Matemática foi construída ao longo dos tempos, permite ainda,

não só uma maior motivação para a aprendizagem, como, em muitos casos, também proporciona uma melhor compreensão dos próprios conceitos. Por outro

lado, a interação da Matemática com outras áreas do conhecimento como a Astronomia, a Física, a Biologia ou a Economia constituiu um dos motores

essenciais à evolução global das ciências, incluindo a própria Matemática, pelo que o conhecimento histórico dessa interação é um fator essencial para uma

compreensão mais profunda do pensamento científico.

Em cada ano de escolaridade, os conteúdos encontram- se organizados por domínios.

A articulação entre os domínios de conteúdos e os objetivos acima referidos - que constituem o conjunto de desempenhos que os alunos devem evidenciar está

materializada nas Metas Curriculares.


6

Domínio: Cálculo Combinatório N.º de aulas: 18

N.º

de

aulas

Conteúdos

Descritores

(Metas

Curriculares)

Indicações Metodológicas/

Estratégias/ Atividades Recursos

Instrumentos

de avaliação 1

.º P

erío

do

4

Propriedades

das operações

entre

conjuntos

Inclusão e igualdade de

conjuntos

CC12:

1.1. ; 1.2.

O Cálculo Combinatório é a área da

Matemática dedicada à realização eficiente de

contagens. Começa-se por estabelecer algumas

propriedades das operações sobre conjuntos e,

em seguida, estudam-se progressivamente

arranjos, com ou sem repetição, permutações e

combinações, o que permite, em situações

muito distintas, efetuar contagens de forma

expedita. É igualmente introduzido o binómio

de Newton e o triângulo de Pascal, deduzindo-

se algumas propriedades dos coeficientes

binomiais.

Manual escolar e outros

materiais escritos

Calculadora gráfica

Meios audiovisuais

Internet

Computador

Software adequado ao assunto a

desenvolver.

Participação na

aula

Empenho na

realização das

tarefas (Fichas de

trabalho, TPC,

etc.)

Fichas de

Conceitos

Fundamentais

Fichas de

avaliação

Propriedades comutativa e

associativa da intersecção

e da união de conjuntos

CC12:

1.3.

Propriedade da

indempotência da

intersecção e da união de

conjuntos

Propriedades distributivas

da união em relação à

intersecção e da

intersecção em relação

união

Leis de Morgan para

conjuntos

CC12:

1.4.

Propriedades do produto

cartesiano

CC12:

1.5.


7

Domínio: Cálculo Combinatório

N.º

de

aulas

Conteúdos

Descritores

(Metas

Curriculares)



Instrumentos

de avaliação

1.º

Per

íod

o

10

Introdução ao

cálculo

combinatório

Cardinal da união de

conjuntos

CC12:

2.1. ; 2.2.

- Identificar os pré-requisitos essenciais ao

desenvolvimento da unidade, nomeadamente

operações com conjuntos e propriedades (10.º

ano). Utilizar conjuntos com contexto real que

favoreça a compreensão das propriedades.

- Integrar a exploração de recursos

tecnológicos sempre que pertinente para

sistematizar, diversificar e consolidar.

- Integrar propostas de exercícios retirados de

provas de exame, promovendo uma preparação

progressiva ao longo do desenvolvimento da

unidade.

Cardinal do produto

cartesiano de conjuntos

CC12:

2.3. ; 4.1.

Arranjos com repetição

(ou completos)

CC12:

2.4. ; 2.5. ; 4.2.

Permutações. Arranjos

sem repetição (ou simples)

CC12:

2.6. ; 2.7. ; 2.8. ;

2.10. ; 4.2.

Combinações CC12:

3.4. ; 4.3.

4

Triângulo de

Pascal.

Binómio de

Newton

Introdução ao triângulo de

Pascal CC12:

3.1. ; 3.2. ; 3.3. ;

4.3. Propriedades do triângulo

de Pascal

Binómio de Newton CC12:

3.4. ; 4.3.


8

Domínio: Probabilidades N.º de aulas: 20

N.º

de

aulas

Conteúdos

Descritores

(Metas

Curriculares)



Instrumentos

de avaliação

1.º

Per

íod

o

2

Espaços de

probabilidade

Linguagem das

probabilidades

PRB 12:

1.1. ; 1.2. ; 1.3. ;

1.4. ; 1.10.

Após uma primeira abordagem mais restritiva

elaborada no 9.º ano, pretende-se agora, no

domínio Probabilidades, estudar de um modo

mais geral a noção de probabilidade,

começando por se introduzir a noção de função

de probabilidade definida no conjunto das

partes de um conjunto finito, da qual a lei dita

de Laplace – estudada no Ensino Básico – é um

caso particular, relacionado com situações de

equiprobabilidade. É igualmente abordada a

noção de probabilidade condicionada e de

independência de acontecimentos,

apresentando-se em particular o Teorema da

probabilidade total.

- Utilizar simulações que permitam uma

melhor compreensão de situações mais gerais.

- Incentivar a utilizar a linguagem verbal e a

tradução, em termos formais, para linguagem

escrita.

- Articular, de forma explícita, o cálculo

combinatório em processes de contagem.

- Recorrer a esquemas como apoio a

raciocínios.



ao longo do desenvolvimento da unidade.


materiais escritos


Meios audiovisuais

Internet

Computador


desenvolver.

Participação na

aula

Empenho na

realização das

tarefas (Fichas de

trabalho, TPC,

etc.)

Fichas de

Conceitos

Fundamentais

Fichas de

avaliação

1 Definição de Laplace PRB 12:

1.5. ; 3.1.

6 Propriedades da

probabilidade

PRB 12:

1.6. ; 1.7. ; 1.8. ;

1.9. ; 3.1. ; 3.2.

9

Probabilidade

condicionada

Definição de probabilidade

condicionada

PRB 12:

2.1. ; 2.2. ; 2.3. ;

3.3.

2

Acontecimentos

independentes. Teorema

da probabilidade total

PRB 12:

2.4. ; 2.5. ; 3.3.


9

Domínio: Funções reais de variável real N.º de aulas: 38

N.º

de

aulas

Conteúdos

Descritores

(Metas

Curriculares)



Instrumentos

de avaliação

1.º

Per

íod

o

8

Limites e

continuidade

Teorema de comparação e

de enquadramento de

sucessões

FRVR 12:

1.1. ; 1.2. ; 1.3. ;

1.4.

No domínio Funções Reais de Variável Real,

completa-se o estudo dos limites de sucessões e

de funções. Continua-se ainda o estudo das

funções contínuas e das funções diferenciáveis,

enunciando-se, em particular, o Teorema de

Weierstrass e o Teorema dos valores

intermédios (ou de Bolzano-Cauchy).

Relaciona-se também o sinal da derivada de

segunda ordem de uma função com o sentido

da concavidade do respetivo gráfico,

aproveitando-se para, no contexto da

cinemática do ponto, interpretar a derivada de

segunda ordem das funções posição como uma

aceleração. Aborda-se a questão da utilização

das calculadoras gráficas, em particular para a

obtenção de valores aproximados de soluções

de equações envolvendo funções reais de

variável real, aproveitando-se os

conhecimentos adquiridos acerca do estudo

analítico de funções para justificar a validade

de determinados procedimentos e analisar

criticamente os diversos usos que podem ser

feitos deste tipo de tecnologias neste contexto.


materiais escritos


Meios audiovisuais

Internet

Computador


desenvolver.

Participação na

aula

Empenho na

realização das

tarefas (Fichas de

trabalho, TPC,

etc.)

Fichas de

Conceitos

Fundamentais

Fichas de

avaliação

Teorema de comparação e

de enquadramento de

funções

FRVR 12:

1.5. ; 1.6. ; 3.1.

8

Teorema de

Bolzano-Cauchy e teorema

de Weierstrass

FRVR 11:

2.1. ; 2.2. ; 2.3. ;

4.5. FRVR 12:

2.1. ; 2.2. ; 3.1. ;

5.5.


10


N.º

de

aulas

Conteúdos

Descritores

(Metas

Curriculares)



Instrumentos

de avaliação

1.º

Per

íod

o

9

Derivadas de

funções reais

de variável

real e

aplicações

Segunda derivada. Sentido

da concavidade

FRVR 11:

7.11. ; 7.12. FRVR 12:

2.1. ; 4.1. ; 4.2. ;

4.3. ; 4.5. ; 4.6. ;

4.7. ; 4.8. ; 5.1. ;

5.2. ; 5.3.

- Fazer explorações com recurso à calculadora

gráfica de modo a acompanhar abordagens

analíticas da visualização de representações

gráficas.

- Diversificar o cálculo de limites e de

derivadas em diferentes contextos.

- Estabelecer conexões com conhecimentos de

anos anteriores, tomando-os como ponto de

partida.




2.º

Per

íod

o

7

6

Aplicar a primeira e a

segunda derivadas à

cinemática do ponto

FRVR 11:

6.1. ; 6.2. ; 9.2. FRVR 12:

4.9. ; 5.4.


11

Domínio: Funções exponenciais e logarítmicas N.º de aulas: 40

N.º

de

aulas

Conteúdos

Descritores

(Metas

Curriculares)



Instrumentos

de avaliação

2.º

Per

íod

o

2

Juros

compostos e o

número de

Neper

Juros compostos FEL 12:

1.1. ; 1.2. ; 1.3.

No domínio Funções Exponenciais e Funções

Logarítmicas começa-se pelo estudo do cálculo

de juros compostos, com o intuito de introduzir

o número de Neper. Estudam-se em seguida, de

forma sistemática, as propriedades da função

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥definida no conjunto dos números

racionais (onde 𝑎 > 0) argumentando-se, com

determinadas passagens ao limite, e admitindo

alguns resultados intuitivos, mas de

demonstração mais delicada, que esta função se

pode estender ao conjunto dos números reais

mantendo, no essencial, as mesmas

propriedades algébricas. Propõe-se depois o

cálculo da derivada da função exponencial,

partindo do limite lim𝑥→0𝑒𝑥−1

𝑥= 1 que é

admitido, embora se abordem algumas

propriedades de aproximação sequencial da

exponencial que podem ser utilizadas na

respetiva justificação. As funções logarítmicas

são introduzidas como funções inversas das

funções exponenciais, tomadas como bijeções

sobre os respetivos contradomínios, já que se

demonstra tratar-se de funções injetivas. Esta

abordagem permite estabelecer facilmente, a

partir das propriedades conhecidas das funções

exponenciais, as propriedades algébricas e

analíticas das funções logarítmicas.


materiais escritos


Meios audiovisuais

Internet

Computador


desenvolver.

Participação na

aula

Empenho na

realização das

tarefas (Fichas de

trabalho, TPC,

etc.)

Fichas de

Conceitos

Fundamentais

Fichas de

avaliação

O número de Neper FEL 12:

1.4. ; 6.1.

12

Funções

exponenciais

Função exponencial de

base 𝑎 > 0

FEL 12:

2.1. ; 1.2. ; 1.3. ;

1.4. ; 1.5. ; 1.6. ;

6.2. ; 6.3.

6 Derivada da função

exponencial de base 𝑒

FEL 12:

1.7. ; 1.8. ; 1.9. ;

1.10. ; 6.2. ; 6.3.


12

Domínio: Funções exponenciais e logarítmicas

N.º

de

aulas

Conteúdos

Descritores

(Metas

Curriculares)



Instrumentos

de avaliação 2

.º P

erío

do

4

Funções

logarítmicas

Função logarítmica de

base 𝑎 ∈ 𝐼𝑅+\{1}

FEL 12:

3.1. ; 3.2.

Aborda-se ainda o cálculo de alguns limites

que comparam o crescimento das funções

polinomiais, exponenciais e logarítmicas e que

os alunos devem conhecer.

De forma análoga ao caso dos osciladores

harmónicos, também o estudo de certas

equações diferenciais lineares de primeira

ordem permite justificar a utilização de funções

exponenciais na modelação de inúmeros

fenómenos, como a evolução de algumas

populações, da temperatura de determinados

sistemas ou o decaimento de uma substância

radioativa.




gráficas.

- Diversificar o cálculo de limites, fazendo

surgir os limites notáveis.

- Utilizar recursos tecnológicos (animações que

fazem parte do projeto) na exploração de

modelos exponenciais e logarítmicos, como

motivação e ponto de partida para o estudo de

funções.




Função logaritmo de

base 𝑎 , com 𝑎 > 1

FEL 12:

3.3. ; 3.4. ; 3.5.

Função logaritmo de

base 𝑎 , com 0 < 𝑎 < 1

FEL 12:

3.3. ; 3.4. ; 3.6.

6

Regras operatórias dos

logaritmos

FEL 12:

3.7. ; 3.8. ; 3.9.

Resolução de equações

com logaritmos

FEL 12:

6.2. ; 6.3.

Resolução de inequações

com logaritmos

FEL 12:

6.2. ; 6.3.

1

Derivada da função

exponencial de base 𝑎 ,

com 𝑎 > 0

FEL 12:

3.10. ; 3.12.

2 Derivada da função 𝑙𝑜𝑔𝑎 ,

com 𝑎 ∈ 𝐼𝑅+\{1}

FEL 12:

3.11. ; 6.2. ; 6.3.

3 Limites notáveis FEL 12:

4.1. ; 4.2. ; 4.3.

4 Modelos

exponenciais Modelos exponenciais

FEL 12:

5.1. ; 5.2. ; 6.4.


13

Domínio: Funções trigonométricas N.º de aulas: 26

N.º

de

aulas

Conteúdos

Descritores

(Metas

Curriculares)



Instrumentos

de avaliação 2

.º /

3.º

Per

íod

o

5 Funções

trigonométricas

Seno da soma e da

diferença de ângulos

TRI 12:

1.1. ; 1.2. ; 4.1.

O domínio Trigonometria e Funções

Trigonométricas, no 12.º ano, é dedicado ao

cálculo das derivadas das funções seno e

cosseno, após o estabelecimento de algumas

fórmulas trigonométricas. É a oportunidade

ideal para se introduzir o estudo dos

osciladores harmónicos, analisando-se uma

equação diferencial característica que rege o

respetivo comportamento e verificando-se que,

em particular, uma tal equação pode ser

deduzida da Lei de Hooke, desde que se

admita a Relação Fundamental da Dinâmica, o

que permite evidenciar o caráter de oscilador

harmónico de uma mola não submetida a

atrito.




gráficas.

- Integrar a utilização de fórmulas na resolução

de problemas.

- Utilizar recursos tecnológicos (animações

que fazem parte do projeto) na exploração de

modelos trigonométricos, como motivação e

ponto de partida para o estudo de funções.





materiais escritos


Meios audiovisuais

Internet

Computador

Software adequado ao assunto

a desenvolver.

Participação na

aula

Empenho na

realização das

tarefas (Fichas de

trabalho, TPC,

etc.)

Fichas de

Conceitos

Fundamentais

Fichas de

avaliação

Cosseno da soma e da

diferença de ângulos

TRI 12:

1.1. ; 1.2. ; 4.1.

O seno e o cosseno do

dobro de um ângulo

TRI 12:

1.3. ; 4.1.

3

Derivadas de

funções

trigonométricas

lim𝑥→0

𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑥= 1

TRI 12:

2.1.

12

Derivada da função seno TRI 12:

2.2. ; 4.2.


cosseno

TRI 12:

2.2. ; 4.2.


tangente

TRI 12:

2.3. ; 4.2.

8

Aplicações aos

osciladores

harmónicos

Famílias das funções

trigonométricas

TRI 12:

3.2. ; 4.1. ; 4.2.

Osciladores harmónicos TRI 12:

3.1. ; 3.4. ; 4.2.


14

Domínio: Números complexos N.º de aulas: 18

N.º

de

aulas

Conteúdos

Descritores

(Metas

Curriculares)



Instrumentos

de avaliação

3.º

Per

íod

o

2

Números

complexos. O

corpo dos

números

complexos

A fórmula de Cardano e a

origem histórica dos

números complexos.

Definição do corpo dos

números complexos

NC 12:

1.1. ; 1.2. ; 1.3. ;

1.4. ; 1.5. ; 1.6. ;

1.7. ; 1.8. ; 1.9. ;

1.10.

No domínio Números Complexos, apresenta-se

a motivação histórica para a introdução dos

números imaginários, relacionada com a

fórmula de Cardano para a resolução de

equações do terceiro grau. Introduz-se em

seguida o corpo dos números complexos,

tendo-se optado por efetuar uma construção

algébrica que consiste em munir o conjunto

𝐼𝑅2 da operação de adição usual e de uma

multiplicação adequada. Começa-se por

motivar estas definições, estabelecendo-se

previamente determinadas propriedades que

resultam necessariamente das características

que se pretende atribuir aos números

complexos, em particular a existência de um

número cujo quadrado é igual a −1 . Trata-se

de uma construção concreta que pretende evitar

algumas das reticências evidenciadas

geralmente pelos alunos quanto à “verdadeira

existência” dos números imaginários e que está

estreitamente relacionada com o habitual

conceito de “plano complexo”.


materiais escritos


Meios audiovisuais

Internet

Computador


desenvolver.

Participação na

aula

Empenho na

realização das

tarefas (Fichas de

trabalho, TPC,

etc.)

Fichas de

Conceitos

Fundamentais

Fichas de

avaliação

6

Operar com

números

complexos

Simétrico de um número

complexo NC 12:

3.1. ; 3.2. ; 3.3. ;

3.4. Conjugado de um número

complexo

Módulo de um número

complexo

NC 12:

3.5.

Módulo da diferença entre

dois complexos

NC 12:

3.6. ; 3.7. ; 6.4.

Inverso de um número

complexo

NC 12:

3.8.

Divisão de números

complexos

NC 12:

3.9. ; 3.10.

Potenciação NC 12:

6.1.

Resolução de equações em

𝐶

NC 12:

6.1. ; 6.2.


15

Domínio: Números complexos

N.º

de

aulas

Conteúdos

Descritores

(Metas

Curriculares)



Instrumentos

de avaliação

3.º

Per

íod

o

6

Exponencial

complexa e

forma

trigonométrica

dos números

complexos

Exponencial complexa

NC 12:

4.1. ; 4.2. ; 4.3. ;

4.4. ; 4.5. ; 4.8.

Após a análise das propriedades operatórias

dos números complexos, é estudado em

pormenor o grupo multiplicativo dos

complexos de módulo , estabelecendo- -se

assim uma base sólida para a representação dos

números complexos na forma trigonométrica e,

posteriormente, para a radiciação complexa. É

ainda estudada a representação complexa de

algumas transformações do plano, como

rotações, reflexões, translações e homotetias, e

aproveitam-se as fórmulas de De Moivre para

linearizar polinómios trigonométricos, o que

permite estabelecer rapidamente diversas

fórmulas de trigonometria e primitivar algumas

funções.

- Recorrer a exercícios que estabeleçam

conexões entre números complexos e

geometria no plano.

- Recorrer exercícios que estabeleçam

conexões entre números complexos e

trigonometria.

- Utilizar recursos tecnológicos (animações que

fazem parte do projeto) na representação de

conjuntos de pontos definidos por condições na

variável complexa.




Multiplicação de números

complexos na forma

trigonométrica e sua

interpretação geométrica

NC 12:

4.6. ; 4.7. ; 6.2.

Divisão de números

complexos

NC 12:

4.6. ; 4.7.

Fórmula de De Moivre NC 12:

4.9.

2 Radiciação

NC 12:

5.1. ; 5.2. ; 6.3. ;

6.5.

2

Conjuntos de pontos

definidos por condições

em variável complexa

NC 12:

3.6. ; 6.2. ; 6.4.


Departamento: Matemática e Ciências Experimentais Disciplina: Matemática – 2.º Ano Ano letivo 2018/2019

1


Código 403192 – 7520-902 – Sines

Ano letivo 2018/2019


Docente: Maria José Borges

Ensino: Profissional Curso: Técnico de Apoio Psicossocial Componente: Científica Disciplina: Matemática Ano: 2.º

Manual adotado: não tem

Módulo Horas Tempos

A7 – Probabilidade. Modelos de

probabilidade.

22,5 27

TOTAL 22,5 27


2

Objetivos Gerais /Competências

Módulos Objetivos

Competências

A7 – Probabilidades

Saber calcular a probabilidade de alguns acontecimentos a partir de modelos propostos;

Identificar acontecimentos em espaços finitos;

Mostrar a utilidade das árvores de probabilidades como instrumento de organização de informação

quando se está perante uma cadeia de experiências aleatórias;

Ilustrar a forma de cálculo de probabilidades de acontecimentos utilizando uma árvore de

probabilidades;

Calcular probabilidades com base na família de modelos Normal recorrendo ao uso de uma tabela da

função de distribuição de uma Normal Standard ou, em alternativa, utilizando a calculadora.

Compreensão da diferença entre fenómeno determinístico e fenómeno

aleatório;

Construção de modelos de probabilidade para situações simples em que se

admita como razoável o pressuposto de simetria ou equilíbrio;

Apreensão das propriedades básicas de uma função massa de

probabilidade;

Compreensão da noção de probabilidade condicional;

Conhecimento das propriedades da probabilidade e sua utilização no cálculo

da probabilidade de acontecimentos;

Conhecimento do modelo Normal ou Gaussiano e suas propriedades.


3

Módulo A7- Probabilidades N.º de aulas: 27(*)

N.º de


Programáticos


de avaliação 1.º

/ 2.º

/3.º

P

erío

dos

1º

2

4

4

Fenómenos aleatórios.

Argumento de Simetria e Regra de

Laplace.

Modelos de probabilidade em espaços

finitos. Variáveis quantitativas. Função

massa de probabilidade ou distribuição

de probabilidade.

Distinção entre fenómeno aleatório e não aleatório. A sensibilização dos estudantes

para este tema deverá ser desenvolvida através de exemplos de fenómenos físicos

com leis determinísticas e de exemplos de fenómenos que se podem considerar

aleatórios devido à grande complexidade das leis físicas subjacentes (movimento de

um dado ao ser lançado, movimento das partículas numa nuvem de pó, temperatura

máxima observada numa data futura,...). Os modelos de probabilidade surgirão

assim como uma boa solução para a modelação de fenómenos aleatórios.

Os modelos de probabilidade mais simples são os que descrevem os chamados

“jogos de azar”. Aqui é quase sempre possível encontrar um espaço de resultados

para cujos elementos, à partida, não se tem razão para admitir que não tenham igual

probabilidade de ocorrer. Ao construir estes modelos pretende-se, não só, que os

estudantes sejam capazes de entender o argumento de simetria que está subjacente

à atribuição de probabilidades, como que tenham uma primeira abordagem à noção

de acontecimento. É também este o bom momento para a apresentação da Regra de

Laplace como regra de cálculo de probabilidades em espaços finitos e equiprováveis

Numa fase seguinte, recorrendo à Regra do Produto, os estudantes deverão ser

também capazes de modelar experiências aleatórias um pouco mais complexas, que

envolvam o encadeamento de experiências elementares.

Este tópico deve ser finalizado com a apresentação e discussão com os estudantes

de alguns exemplos de fenómenos aleatórios para os quais não faça sentido utilizar

argumentos de simetria.

Segue-se a apresentação formal de modelo de probabilidade, no caso muito

particular em que o espaço de resultados é finito e contido no conjunto dos números

reais. A função massa de probabilidade ou distribuição de probabilidade é aqui o

elemento básico de trabalho e o estudante deverá compreender a sua utilidade e

conhecer bem as suas propriedades. Definindo acontecimento, neste caso particular,

como sendo qualquer dos subconjuntos do espaço de resultados, o professor deverá

aproveitar a oportunidade para ilustrar, através de exemplos, algumas das

propriedades da probabilidade (probabilidade da união, do complementar e da

diferença).

Material de desenho para o quadro e para o

trabalho individual.

Livros de consulta;

Fichas informativas, formativas, de trabalho

e de investigação;

Calculadoras gráficas;

Computadores;

Uma sala com software adequado para

trabalho tão regular quanto possível;

Um computador ligado a projetor de vídeo

para demonstrações e simulações;

Meios áudio visuais.

Participação na aula. Empenho na realização das tarefas. Fichas de trabalho. Fichas de avaliação.

Portfólio.


4

Módulo A7- Probabilidades (cont.)

N.º de


Programáticos


de avaliação 1

º

6

6

Probabilidade condicional. Árvore de

probabilidades. Acontecimentos

independentes.

Modelo Normal.

No tópico de probabilidade condicional, sugere-se que esta noção comece por ser

dada de forma intuitiva, recorrendo a exemplos com cadeias de acontecimentos,

onde o resultado obtido numa certa fase afete de forma conhecida a probabilidade

de ocorrência de acontecimentos decorrentes da fase seguinte (ao retirar bolas de

uma urna sucessivamente, sem reposição, a composição da urna altera-se e a

probabilidade de se retirar certo tipo de bola depende dos tipos que saíram nas

extrações anteriores). Deve-se pedir aos estudantes que calculem a probabilidade de

ocorrência de cadeias simples de acontecimentos aproveitando para lhes propor

esquemas em árvore como forma de organização da informação disponível. A partir

de informação registada numa tabela de contingência os estudantes deverão ser

capazes de calcular corretamente probabilidades condicionais. A definição de

probabilidade condicional poderá então ser apresentada começando por representar

a informação da tabela num diagrama de Venn.

No último tópico deste módulo, “Modelo Normal”, pretende-se que o estudante tome

conhecimento de um dos modelos mais importantes, tanto para a modelação de

fenómenos aleatórios como para estudos estatísticos de natureza inferencial. Este é

um modelo cujo suporte é todo o conjunto dos números reais e deverá ser

introduzido recorrendo a um enunciado simplificado do Teorema do Limite Central.

Deverão ser referidas as principais características de um modelo Normal e o

estudante deverá saber calcular probabilidades com base nesta família de modelos,

utilizando, quer uma tabela da função de distribuição de uma Normal Standard quer

a máquina de calcular.

(*) 5 aulas para Instrumentos de Avaliação/Atividades do PAA/ Autoavaliação


Departamento: Matemática e Ciências Experimentais Disciplina: Matemática– 2.ºAno Ano letivo 2018/2019

1


Código 403192 – 7520-902 – Sines



Docentes: Maria José Borges

Ensino: Profissional Curso: Técnico de Desporto Componente: Científica Disciplina: Matemática Ano: 2.º



A6 – Taxa de variação

22 27

A7 – Probabilidade

20 24

TOTAL 42 51


2


Módulos Objetivos

Competências

A6 – Taxa de

Variação

Apropriar alguns conceitos e técnicas associadas que utilize como ”ferramentas” na

resolução de problemas que envolvam variações;

Interpretar física e geometricamente os conceitos de taxa média de variação e (a um

nível ainda que intuitivo) de taxa de variação num ponto;

Utilizar simultaneamente os estudos gráfico, numérico e analítico de funções, para

conjeturar e provar resultados;

Analisar efeitos das mudanças de parâmetros nos gráficos de funções e nas respetivas

taxas de variação;

Estudar o comportamento das funções estudadas na sua relação com valores e sinais

das taxas de variação em pontos do domínio;

Construir e interpretar modelos para situações reais utilizando diversos tipos de funções

que evidenciem a diferença de comportamentos entre os diversos tipos de funções,

utilizando cálculos das taxas de variação com recurso à calculadora gráfica ou ao

computador.

A aptidão para fazer e investigar matemática recorrendo à

modelação com uso das tecnologias;

A aptidão para elaborar, analisar e descrever modelos para

fenómenos reais utilizando funções polinomiais, racionais e

trigonométricas;

A capacidade de comunicar oralmente e por escrito as situações

problemáticas e os seus resultados;

A capacidade de apresentar de forma clara, organizada e com

aspecto gráfico cuidado os trabalhos escritos, individuais ou de

grupo, quer sejam pequenos relatórios, monografias, etc.;

A capacidade de usar uma heurística para a resolução de

problemas.

A7 – Probabilidade

Saber calcular a probabilidade de alguns acontecimentos a partir de modelos

propostos;

Identificar acontecimentos em espaços finitos;

Mostrar a utilidade das árvores de probabilidades como instrumento de organização

de informação quando se está perante uma cadeia de experiências aleatórias;

Ilustrar a forma de cálculo de probabilidades de acontecimentos utilizando uma árvore

de probabilidades;

Calcular probabilidades com base na família de modelos normal, recorrendo ao uso de

uma tabela, da função de distribuição de uma Normal Standard ou, em alternativa,

utilizando a calculadora;

A compreensão da diferença entre fenómeno determinístico e

fenómeno aleatório;

A construção de modelos de probabilidade para situações

simples em que se admita como razoável o pressuposto de

simetria ou equilíbrio;

A apreensão das propriedades básicas de uma função massa de

probabilidade;

A compreensão da noção de probabilidade condicional;

A compreensão das propriedades da probabilidade e sua

utilização no cálculo da probabilidade de acontecimentos;

O conhecimento do modelo normal e suas propriedades.


3

Módulo A6 - Taxa de variação N.º de aulas:27(*)

N.º de


Programáticos


de avaliação

1º/

2.º

P

erío

do

s

1º

4

4

6

4

4

Taxa de variação Taxa de variação média: noção

e cálculo.

Interpretação geométrica e

física das taxas de variação

(média e num ponto).

Taxas de variação com funções

polinomiais, racionais e

trigonométricas simples.

Relações entre valores e sinais

das taxas de variação e

comportamentos dos gráficos

das funções (monotonia, …).

Resolução de problemas onde

seja necessário escolher o modelo

de funções mais adequado à

descrição da situação.

Os estudantes deverão chegar a compreender e explicar a razão

para uma função linear ser um bom modelo de estudo das

variações da distância em função do tempo no movimento de

um objeto que se move em linha reta com velocidade constante

e deverão saber explicar o significado dos diversos parâmetros

nos modelos desse tipo. Do mesmo modo, para um móvel que

não se desloque a velocidade constante mas com aceleração

constante (tal como a queda de um objecto sob influência da

gravidade e ignorando a resistência do ar) o estudante deve

encontrar, como modelo matemático apropriado, a função

quadrática. Os estudantes devem compreender o significado de

uma velocidade negativa.

Também problemas como "A bola no plano inclinado" e

"Lançamento de um projéctil" permitirão que os estudantes se

aproximem dos conceitos de taxa média de variação e de taxa

de variação, bem como das respetivas interpretações

geométricas. Os estudantes devem compreender o conceito de

velocidade média num dado intervalo de tempo e aproximar-se

intuitivamente do conceito de velocidade instantânea, e devem

ser capazes de relacionar esses conceitos com os respetivos

significados geométricos. A utilização da calculadora e do

computador (recorrendo a software adequado) serão excelentes

auxiliares para a aquisição destas noções.



Livros de consulta.

Fichas informativas, formativas, de trabalho e

de investigação.

Calculadoras gráficas.

Computadores.

Uma sala com software adequado para trabalho

tão regular quanto possível.


Participação na

aula.

Empenho na

realização das

tarefas.

Fichas de

trabalho.

Fichas de

avaliação.

Portfólio.



4

Módulo A7- Probabilidades N.º de aulas: 24(*)

N.º de


Programáticos


de avaliação 2

.º/3

.º

Per

íodos

1º

2

3

4

Fenómenos aleatórios.

Argumento de Simetria e Regra de

Laplace.

Modelos de probabilidade em espaços

finitos. Variáveis quantitativas. Função

massa de probabilidade ou distribuição

de probabilidade.

Distinção entre fenómeno aleatório e não aleatório. A sensibilização dos estudantes

para este tema deverá ser desenvolvida através de exemplos de fenómenos físicos

com leis determinísticas e de exemplos de fenómenos que se podem considerar

aleatórios devido à grande complexidade das leis físicas subjacentes (movimento de

um dado ao ser lançado, movimento das partículas numa nuvem de pó, temperatura

máxima observada numa data futura,...). Os modelos de probabilidade surgirão

assim como uma boa solução para a modelação de fenómenos aleatórios.

Os modelos de probabilidade mais simples são os que descrevem os chamados

“jogos de azar”. Aqui é quase sempre possível encontrar um espaço de resultados

para cujos elementos, à partida, não se tem razão para admitir que não tenham igual

probabilidade de ocorrer. Ao construir estes modelos pretende-se, não só, que os

estudantes sejam capazes de entender o argumento de simetria que está subjacente

à atribuição de probabilidades, como que tenham uma primeira abordagem à noção

de acontecimento. É também este o bom momento para a apresentação da Regra de

Laplace como regra de cálculo de probabilidades em espaços finitos e equiprováveis

Numa fase seguinte, recorrendo à Regra do Produto, os estudantes deverão ser

também capazes de modelar experiências aleatórias um pouco mais complexas, que

envolvam o encadeamento de experiências elementares.

Este tópico deve ser finalizado com a apresentação e discussão com os estudantes

de alguns exemplos de fenómenos aleatórios para os quais não faça sentido utilizar

argumentos de simetria.

Segue-se a apresentação formal de modelo de probabilidade, no caso muito

particular em que o espaço de resultados é finito e contido no conjunto dos números

reais. A função massa de probabilidade ou distribuição de probabilidade é aqui o

elemento básico de trabalho e o estudante deverá compreender a sua utilidade e

conhecer bem as suas propriedades. Definindo acontecimento, neste caso particular,

como sendo qualquer dos subconjuntos do espaço de resultados, o professor deverá

aproveitar a oportunidade para ilustrar, através de exemplos, algumas das

propriedades da probabilidade (probabilidade da união, do complementar e da

diferença).



Livros de consulta;



Calculadoras gráficas;

Computadores;

Uma sala com software adequado para

trabalho tão regular quanto possível;

Um computador ligado a projetor de vídeo

para demonstrações e simulações;


Participação na aula. Empenho na realização das tarefas. Fichas de trabalho. Fichas de avaliação.

Portfólio.


5

Módulo A7- Probabilidades (cont.)

N.º de


Programáticos


de avaliação 1

º

5

5

1. Probabilidade condicional. Árvore de

probabilidades. Acontecimentos

independentes.

2. Modelo Normal.

No tópico de probabilidade condicional, sugere-se que esta noção comece por ser

dada de forma intuitiva, recorrendo a exemplos com cadeias de acontecimentos,

onde o resultado obtido numa certa fase afete de forma conhecida a probabilidade

de ocorrência de acontecimentos decorrentes da fase seguinte (ao retirar bolas de

uma urna sucessivamente, sem reposição, a composição da urna altera-se e a

probabilidade de se retirar certo tipo de bola depende dos tipos que saíram nas

extrações anteriores). Deve-se pedir aos estudantes que calculem a probabilidade de

ocorrência de cadeias simples de acontecimentos aproveitando para lhes propor

esquemas em árvore como forma de organização da informação disponível. A partir

de informação registada numa tabela de contingência os estudantes deverão ser

capazes de calcular corretamente probabilidades condicionais. A definição de

probabilidade condicional poderá então ser apresentada começando por representar

a informação da tabela num diagrama de Venn.

No último tópico deste módulo, “Modelo Normal”, pretende-se que o estudante tome

conhecimento de um dos modelos mais importantes, tanto para a modelação de

fenómenos aleatórios como para estudos estatísticos de natureza inferencial. Este é

um modelo cujo suporte é todo o conjunto dos números reais e deverá ser

introduzido recorrendo a um enunciado simplificado do Teorema do Limite Central.

Deverão ser referidas as principais características de um modelo Normal e o

estudante deverá saber calcular probabilidades com base nesta família de modelos,

utilizando, quer uma tabela da função de distribuição de uma Normal Standard quer

a máquina de calcular.




1


Código 403192 – 7520-902 – Sines



Docente: Maria Silvina Salgado

Ensino: Profissional Curso: Técnico de Operações Turísticas Componente: Científica Disciplina: Matemática Ano: 3.º



B5- Jogos e Matemática

35,5 43

TOTAL 35,5 43


2


Módulos Objetivos

Competências

B5- Jogos e Matemática

Aprender a jogar alguns quebra-cabeças e jogos de raciocínio de diferentes tipos;

Aprender a analisar alguns jogos e situações simplificadas dos jogos estudados;

Perceber como a Matemática pode ajudar a explicar ou garantir estratégias ganhadoras para alguns

jogos

Compreensão do valor motivador de jogos de raciocínio;

Compreensão de como o envolvimento em atividades de jogos representa

um desenvolvimento das capacidades de raciocínio;

Aptidão para discutir estratégias para os jogos;

Aptidão para usar a matemática como forma de analisar e elaborar

estratégias ganhadoras para os jogos.

.


3

Módulo B5- Jogos e Matemática N.º de aulas: (*)

N.º de


Programáticos Indicações Metodológicas/Estratégias/Atividades Recursos

Instrumentos de

avaliação 1.º

/ 2.º

/3.º

P

erío

dos

1º

22

8

8

1. Experiência de cada um dos seguintes

tipos de jogos de raciocínio:

quebra-cabeças;

Truques de cartas;

Jogos com números;

Jogos geométricos

Jogos de tabuleiro para um só

jogador;

Jogos de tabuleiro para dois

jogadores.

2. Análise de alguns jogos.

3. A Matemática por detrás de alguns dos

jogos estudados.

Escolha de tipos de jogos diversificados, pouco complexos e que envolvam uma

análise matemática não muito elaborada. É, contudo interessante que os estudantes

saibam que a análise de jogos é uma área que pode ser feita a um nível de muita

sofisticação, sendo interessante que os estudantes conheçam alguma história ligada

aos jogos. Se houver oportunidade, seria vantajosa uma visita às exposições

“Pedras que jogam” e “Jogos do mundo”. Poderão ser referidos outros episódios

históricos, como os relacionados com o matemático John Nash que ganhou o prémio

Nobel por resultados da Teoria dos Jogos (e os outros galardoados com o prémio

pela aplicação dessa teoria à Economia) e que foi também um dos inventores do

jogo do Hex.

Alguns dos jogos propostos poderão ser combinados de modo a produzir outros: por

exemplo, Martin Gardner (no livro “Rodas, vida e outras diversões matemáticas”)

refere como se podem fazer truques de magia com o jogo do galo. A magia

impressiona sempre o auditório quando se trata de adivinhar números: porque não

adivinhar a data do aniversário? (ver problema 93 de “Mais actividades matemáticas”

de Brian Bolt).

Será organizado um torneio com os estudantes, para discutir as regras de

organização de um torneio, referindo por exemplo o sistema suíço, que permite

realizar em poucas jornadas um torneio com muitos participantes, fugindo ao método

mais propenso ao acaso que é o da eliminação (e levando os estudantes a discutir

as vantagens dos diferentes métodos); podem também ser discutidos diferentes

métodos de desempate.

Muitos dos jogos existem na Internet, podendo os estudantes ser incentivados a usar

esses recursos como forma de estimular o seu raciocínio, testagem de estratégias,

etc. É aliás possível jogar em permanência torneios a nível internacional nalgumas

páginas de jogos (como a do Yahoo); o jogo aí chamado “Dots” é o jogo “pontos e

quadrados”.

Uma estratégia possível para ajudar os estudantes a abordar os jogos é a proposta

por Miguel de Guzmán, que se aproxima muito da heurística de Polya para a

resolução de problemas:

a) Antes de fazer tentarei entender;

b) Elaborarei uma estratégia;

c) Observarei se a minha estratégia me leva ao final;

d) Tirarei “sumo” do jogo.


trabalho individual (lápis de cor, canetas de

cor, régua, etc.);

Caderno quadriculado e papel milimétrico;



Livros de consulta;

jogos didácticos

Calculadoras

Um computador ligado a projetor de vídeo e

à internet para demonstrações e

simulações;

Computadores com ligação à internet para

efetuar pesquisas;

Meios áudio visuais;

Grelha de registo da

participação oral e

empenho na

realização das tarefas

propostas, na aula,

através da observação

direta.

Fichas de trabalho.

Fichas de investigação

Fichas de avaliação.

Portfólio

(*) 5 Aulas para Instrumentos de Avaliação/Atividades do PAA/ Autoavaliação


4

Módulo B5- Jogos e Matemática (cont.)

N.º de


Programáticos Indicações Metodológicas/Estratégias/Atividades Recursos

Instrumentos

de avaliação

1º

Na análise de alguns jogos serão focados os seguintes aspectos:

Análise de algumas situações simplificadas dos jogos, determinando se conduz à

vitória ou derrota;

Análise de algumas situações ganhadoras e justificação de que são ganhadoras; ~

Prova de que um dos jogadores tem vantagem ou de que existe uma estratégia

ganhadora - exemplo: jogo do Hex.

Quanto à matemática por detrás de alguns dos jogos estudados deverão ser

tomadas em conta as seguintes justificações:

Justificações numéricas - exemplos possíveis: numeração binária para o jogo do

NIM; justificação dos truques de cartas; números primos no Trinca-espinhas.

Justificações algébricas - exemplos possíveis: jogo do 15; a rã saltadora.


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Escola Secundária Poeta Al Berto Código 403192 7520-902 ... · frações decimais; -Representação de números racionais através de dízimas finitas ou infinitas ... convertendo-a