Estabilidade e Realimentação Fundamentos de Controlo DEEC/ISTIsabel Lourtie Sistemas de Controlo: Realimentação Objectivos gerais Estabilidade de entrada

Estabilidade e RealimentaçãoFundamentos de Controlo

DEEC/ISTIsabel Lourtie

Sistemas de Controlo: Realimentação

Objectivos gerais

Estabilidade de entrada limitada /saída limitadaCritério de Routh-Hurwitz

RealimentaçãoRejeição de perturbaçoesSensibilidade à variação de parâmetrosErro em regime permanente



Sistemas de Controlo

• Bom seguimento do sinal de referência• Boa rejeição dos efeitos das perturbações• Rapidez de resposta

• Estabilidade• Pequena sensibilidade à variação de parâmetros• Robustez de estabilidade

Objectivos Gerais:



Estabilidade

O sistema é estável (de entrada limitada/saída limitada) sse a toda a entrada limitada corresponder uma saída limitada

SLIT causal estável:

nº polos nº zeros

Todos os polos têm parte real negativa (SPCE)

tr ty sH

Um sistema estável permanece em repouso a menos que lhe seja aplicada uma entrada ou perturbação exterior, e regressa à situação de repouso após terminada a perturbação.



regime transitórioresposta estacionária

KsH

1sK

Estabilidade Exemplo: resposta ao escalão unitário

K1

1s

sR sY

tueK

KK

KtysK

sY tK1

1

111

1sK



tueK

KK

Kty tK1

1

11

Estabilidade tutr 1

KsK 1

2K

3

2

s

sH

tuety t1

3

32

32

Regime transitório tende para zero

Sistema estável

Polo em (SPCE) 3s

Regime transitório tende para infinito

2K

1

2

s

sH

tuety t122

Sistema instável

Polo em (SPCD) 1s



Estabilidade tr tytyty transest sH

Todos os polos de no SPCE

sH Regime transitório tende para zero Estabilidade

Existe pelo menos 1 polo de no SPCD

sHRegime transitório tende para infinito Instabilidade

Regime transitório é um sinal limitado

Estabilidade marginal ou crítica

Todos os polos sobre o eixo são simples

Instabilidade

Pelo menos um dos polos sobre o eixo é múltiplo

Regime transitório é um sinal ilimitado

Polos de no SPCE e sobre o eixo imaginário

sH



Critério de Routh-Hurwitz

Estabelece a localização das raízes de um polinómio relativamente ao eixo imaginário

011

1 asasasas nn

nn

Teste de Hurwitz

Para que tenha todas as suas raizes no SPCE é necessário (mas não suficiente) que:

1. ; 2. , os coeficientes tenham todos o mesmo sinal.

s

0,,1,0 iani ni ,1,0 ia

Se 1 ou 2 não se verificar, então tem raízes no SPCD ou sobre o eixo imaginário Se 1 e 2 se verificarem, então nada se pode concluir sobre a localização das raízes de

s s



Critério de Routh

Critério de Routh-Hurwitz 011

1 asasasas nn

nn

Teste de Hurwitz

Para que tenha todas as suas raizes no SPCE é necessário (mas não suficiente) que:

1. ;

2. , os coeficientes tenham todos o mesmo sinal.

s0,,1,0 iani

ni ,1,0 ia

Têm pelo menos uma raíz no SPCD ou sobre o eixo imaginário

Exemplos

154323 23456 sssssss – não satisfaz a condição 2

5273 245 sssss – não satisfaz a condição 1

10835 234 sssss– satisfaz ambas as condições – nada se pode concluir



2ª linha: 12 inni a

1ª linha: 22 inni a

77

66

55

44

33

22

11

nn

nn

nn

nn

nn

nn

nn

nn sasasasasasasasas


0

1

3

2

14

13

12

11

14321

ss

ssss

n

n

nnnnn

nnnnn

1º passo:

Matriz de Routh



Critério de Routh-Hurwitz Matriz de Routh

2º passo:

01

0

11

1

33

32

31

3

24

23

22

21

2

14

13

12

11

14321

ss

ssss

nnnn

nnnnn

nnnnn

nnnnn

20

det11

11

1

21

21

11

nj

jni

jn

jni

jn

jnjn

i

coluna pivot

Critério de Routh:O número de raízes no SPCD é igual ao número de trocas de sinal nos coeficientes na coluna pivot.

Se o teste de Hurwitz for verificado e não houver trocas de sinal na coluna pivot, então as raízes situam-se todas no SPCE



Critério de Routh-Hurwitz Exemplo I

8126 23 ssss O teste de Hurwitz é verificado.

nada a concluir

83

3286

121

0

1

2

3

s

sss

86

121det61

332

03

3286

det

3321

8

Não há trocas de sinal nos coeficientes da coluna pivot

todas as raízes no SPCE



dividir por 2

83

3286

121

0

1

2

3

s

sss

Critério de Routh-Hurwitz Exemplo I

8126 23 ssss Propriedade:Os coeficientes de uma linha da matriz de Routh podem ser multiplicados ou divididos por uma constante positiva sem alterar os sinais da coluna pivot

83

3243

121

0

1

2

3

s

sss

43

121det31

332

4

0

332

43det

3321



Critério de Routh-Hurwitz Exemplo II

104735 2345 ssssss O teste de Hurwitz é verificado.

nada a concluir

Duas trocas de sinal nos coeficientes da coluna pivot

duas raízes no SPCD

103

58

1043

258

1075431

0

1

2

3

4

5

s

s

s

sss

As restantes três raízes situam-se no SPCE



Critério de Routh-Hurwitz Casos singulares(zero na coluna pivot)

1011422 2345 ssssss

??

??60

10421121

0

1

2

3

4

5

ssssss

Um zero na coluna pivot

10124

106

101246

10421121

0

21

2

3

4

5

s

s

s

sss

10124

106

10124

2

Determinar a estrutura da matriz quando 0

106

1060

10421121

0

1

2

3

4

5

ssssss

O teste de Hurwitz é verificado.

nada a concluir



106

1060

10421121

0

1

2

3

4

5

ssssss

Critério de Routh-Hurwitz Casos singulares

4533 2345 ssssss

Se os elementos da coluna pivot situados imediatamente antes e depois do zero têm o mesmo sinal, então existe um par de raízes imaginárias puras. Se os sinais forem opostos, então existe uma raíz no SPCD.

existe uma raíz no SPCD

existe mais uma raíz no SPCD

tem 2 raízes no SPCD e 3 raízes no SPCE s



Casos singulares(linha de zeros)


4455 2345 ssssss

??

??00

451451

0

1

2

3

4

5

ssssss

Linha de zeros

Indica a existência de raízes simétricas em relação ao eixo imaginário

O teste de Hurwitz é verificado.

nada a concluir



Casos singulares(linha de zeros)


4455 2345 ssssss

??

??00

451451

0

1

2

3

4

5

ssssss

Linha de zeros

1º passo: construir o polinómio auxiliar

a partir dos coeficientes da linha anterior à linha de zeros

45 24 sssQ

2º passo: a linha de zeros é substituída pelos coeficientes de

sssQdsd 104 3

45

18

425

104451451

0

1

2

3

4

5

s

s

s

sss

dQ(s)/ds



45

18

425

104451451

0

1

2

3

4

5

s

s

s

sss

dQ(s)/ds

Critério de Routh-Hurwitz Casos singulares(linha de zeros)

4455 2345 ssssss

Se, a partir da linha de zeros, não houver trocas de sinal na coluna pivot, então existem raízes sobre o eixo imaginário. Caso contrário, o número de trocas de sinal indica o número de raízes no SPCD.

Como não existem trocas de sinal na coluna pivot, conclui-se que a linha de zeros corresponde a raízes sobre o eixo imaginário.

Como é de grau 4, existem 2 pares de raízes sobre o eixo imaginário. Como é de grau 5, existe ainda 1 raiz no SPCE.

sQ s

45 24 sssQ

As raízes de são também raízes de . sQ s

jsjssssssQ

214045 2224



K 4641

23 sss

sR sY

Critério de Routh-Hurwitz Exemplo

KsssKsH

464 23

Para que valores de é o sistema estável?

K

Matriz de Routh:

Ks

KsKs

s

44

2044

61

0

1

2

3

04

2004

KK

Sistema estável:

204 K



O efeito de sobre é tanto menor quanto maior for o ganho

sW sYK

Não é possível atenuar o efeito de sobre sW sY

Rejeição de perturbações perturbações na cadeia de acção

cadeia aberta

K sG

sW

sY sR

00

sRsWsYsYsY

sWsGsRsKGsY

cadeia fechada

K sG

sW

sY sR

sWsKG

sGsRsKG

sKGsY

11



Rejeição de perturbações exemplo

K

11s

sW

sY sR

5K 10K

100K30Ksaída sem perturbação

perturbação

saída com perturbação



Rejeição de perturbações perturbações na cadeia de acção + ruído nos sensores

0

000

00

sWsR

sNsR

sNsW sYsYsYsY

sNsKG

sKGsWsKG

sGsRsKG

sKGsY

111

K sG

sW

sY sR

sN ruído nos

sensores

• Impossivel, sem qualquer outra restrição, obter simultaneamente um bom seguimento da referência e uma boa rejeição do ruído • Na prática, a ocupação espectral dos sinais de referência e de ruído é normalmente diferente



Sensibilidade à variação de parâmetros

sHsKG

sKGsM

1

Sensibilidade de M(s) relativamente a G(s):MG

dGdM

GdG

MdM

S MG

sHsKGsMsG

sHsKGsHsGKsHsKGKS M

G

1

11

12

2

Quanto maior KGH, menor a sensibilidade da função de transferência em cadeia fechada a variações de parâmetros no sistema, G(s), a controlar (cadeia de acção).

K sG

sR sY

sH

sHsKG

sHsKGsMsH

sHsKGsGKS M

H

11 2

22

Quanto maior KGH, maior a sensibilidade da função de transferência em cadeia fechada a variações de parâmetros na cadeia de rectroacção.



Erro em regime estacionário

sG

sR sY sE

Erro em regime estacionário:

teet

lim

Sinal de erro: tytrte

sEsGsRsYsRsE

sRsG

sE

1

1

Nn

Nm

pspspsszszszsKsG

21

21

Sistema (em cadeia fechada com retroacção unitária) de tipo N – sistema cuja função de transferência em cadeia aberta tem N polos na origem.

TVF:

ssRsG

ssEess 1

1limlim00




s

sR 1

tutr 1

t

ttutr 1

t

t

tuttr 12

21

sina

is d

e te

ste

escalão

rampa

parábola

2

1s

sR

3

1s

sR

- erro estático de posiçãope

- erro estático de velocidadeve

- erro estático de aceleraçãoae




Erro estático de posição

1;0;lim

21

21

0 NNK

pspspsszszszsKK p

NnN

m

sp

ssRsG

es 1

1lim0

s

sR 1 sGsG

es

sp

00 lim1

11

1lim

pK (coeficiente de erro estático de posição)

superiorou 1 tipode sistema;0

0 tipode sistema;1

1

pp Ke




Erro estático de velocidade

2;1;00;0

lim21

121

0 NNKN

pspspsszszszsKK v

NnN

m

sv

ssRsG

es 1

1lim0

2

1s

sR ssGssGe

ssv

00 lim

11

1lim

vK (coeficiente de erro estático de velocidade)


1 tipode sistema;10 tipode sistema;

vv K

e




Erro estático de aceleração

3;2;01,0;0

lim21

221

0 NNK

N

pspspsszszszsKK a

NnN

m

sa

ssRsG

es 1

1lim0

3

1s

sR sGsssGe

ssa 2

0

20 lim1

11lim

aK (coeficiente de erro estático de aceleração)


2 tipode sistema;11ou 0 tipode sistema;

aa K

e




r(t)y(t)

r(t)y(t)

r(t)y(t)

r(t)y(t)

r(t)y(t)

r(t)y(t)

r(t)y(t)

r(t)y(t)

r(t)y(t)

ttt

ttt

ttt

10

50

s

sG 10

1502

ssssG 10

50

ss

sG

Tipo 0 Tipo1 Tipo 2

61

51

51

sG

sR sY sE

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