Estatística Quântica e o Gás de Férmi - ifsc.usp.brstrontium/Teaching/Material2017-2 SFI5814... · Estatística Quântica e o Gás de Férmi Aluno: AndréHernandesAlvesMalavazi

Estatística Quântica e o Gás de Férmi

Aluno: André Hernandes Alves Malavazi

Instituto de Física de São Carlos - IFSCDepartamento de Física e Ciência dos Materiais (FCM)

Universidade de São Paulo

23 de Novembro, 2017

Aluno: André Hernandes Alves Malavazi, (Instituto de Física de São Carlos - IFSCDepartamento de Física e Ciência dos Materiais (FCM) Universidade de São Paulo )Física Atômica e Molecular SFI5814-7/2 1 / 24

Outline

1 IntroduçãoContextualização

2 Estatística QuânticaEstatística de Fermi-DiracEstatística de Bose-Einstein

3 O Gás de FermiAspectos GeraisGás ideal de Fermi em T = 0KGás ideal de Fermi em T TF


Contextualização


λT ∝ T−1/2

T > T

Partículas Idênticas =⇒ Postulado de Simetrização

Bósons - Est. de BE

Férmions - Est. de FD

Indep. de Interações!

Estatística Quântica


Estatística Quântica

Consideremos várias partículas não interagentes em um volume V (L3)com condições periódicas de contorno:

Autoestados : |ix , iy , iz〉= |i〉 Autoenergias : εi = π2h2

2mL2

(i2x + i2y + i2z

)Definimos ni como o número de partículas no estado i com momentopi

Configuração do sistema ⇐⇒ conjunto ni

Descrição estatística ⇐⇒ Ensemble Grande-Canônico (〈H〉 e 〈N〉 fixos)

Função de partição grande-canônica

Zµ (T ,V ) = tre−β [H−µN]

= ∑ni

e−β ∑i (εi−µ)ni = ∏i

∑ni

e−β (εi−µ)ni


H = ∑i εi ni

N = ∑i ni

Estatística de Fermi-Dirac

Para férmions:

Função de Partição:

Zµ (T ,V ) = ∏i

∑ni

e−β(εi−µ)ni = ∏i

[1+ e−β(εi−µ)

]

Função de Partição - Caso Geral:

ZFDµ (T ,V ) = ∏

i

[1+ e−β(εi−µ)

]gFérmions de spin-s =⇒ degenerescência g = (2s +1)


Princípio de Exclusão =⇒ ni = 0, 1

Estatística de Fermi-Dirac

Para férmions:


Zµ (T ,V ) = ∏i

∑ni


[1+ e−β(εi−µ)

]

Função de Partição - Caso Geral:

ZFDµ (T ,V ) = ∏

i

[1+ e−β(εi−µ)

]gFérmions de spin-s =⇒ degenerescência g = (2s +1)


Princípio de Exclusão =⇒ ni = 0, 1

Função de partição =⇒ Grandezas Termodinâmicas

Potencial Grande-Canônico:

ΩFD(T ,V ,µ) =−kBTln(ZFDµ (T ,V )) =− g

βln(∏

i

[1+ e−β (εi−µ)

])

Número total médio de partículas:

〈N〉=−(

∂ Ω

∂ µ

)T ,V

= ∑i

g

eβ (εi−µ) +1= ∑

i

gz

eβεi + z= ∑

i

〈ni 〉

Dist. de FD - número de ocupação médio do estado i : 〈ni 〉= gz

eβεi +z

fugacidade: zNote que µ não possui restrição alguma!


ΩFD(T ,V ,µ) =− gβ

∑i ln(1+ e−β(εi−µ)

)

〈N〉= ∑i 〈ni 〉




βln(∏

i

[1+ e−β (εi−µ)

])


〈N〉=−(

∂ Ω

∂ µ

)T ,V

= ∑i

g

eβ (εi−µ) +1= ∑

i

gz

eβεi + z= ∑

i

〈ni 〉


eβεi +z





)

〈N〉= ∑i 〈ni 〉




βln(∏

i

[1+ e−β (εi−µ)

])


〈N〉=−(

∂ Ω

∂ µ

)T ,V

= ∑i

g

eβ (εi−µ) +1= ∑

i

gz

eβεi + z= ∑

i

〈ni 〉


eβεi +z





)

〈N〉= ∑i 〈ni 〉

Estatística de Bose-Einstein

Para bósons:


ZBEµ (T ,V ) = ∏

i

∞

∑ni=0


11− e−β(εi−µ)


ΩBE (T ,V ,µ) =−kBTln(ZBEµ (T ,V )) =−kBTln

(∏i

11− e−β (εi−µ)

)


0≤ ni ≤ ∞

ΩBE (T ,V ,µ) = 1β

∑i ln(1− e−β(εi−µ)

)

Estatística de Bose-Einstein

Para bósons:


ZBEµ (T ,V ) = ∏

i

∞

∑ni=0


11− e−β(εi−µ)


ΩBE (T ,V ,µ) =−kBTln(ZBEµ (T ,V )) =−kBTln

(∏i

11− e−β (εi−µ)

)


0≤ ni ≤ ∞

ΩBE (T ,V ,µ) = 1β

∑i ln(1− e−β(εi−µ)

)


〈N〉=−(

∂ Ω

∂ µ

)T ,V

= ∑i

1eβ (εi−µ)−1

= ∑i

z

eβεi − z= ∑

i

〈ni 〉

Dist. de BE - número de ocupação médio do estado i : 〈ni 〉= zeβεi−z

fugacidade: z

Note que 〈ni 〉 ≥ 0 =⇒ eβεi ≥ z

Valor mínimo de εi = ε0 =⇒ min(eβεi

)= 1 =⇒ z ≤ 1

0≤ z ≤ 1 =⇒ µ ≤ 0


〈N〉= ∑i 〈ni 〉


〈N〉=−(

∂ Ω

∂ µ

)T ,V

= ∑i

1eβ (εi−µ)−1

= ∑i

z

eβεi − z= ∑

i

〈ni 〉

Dist. de BE - número de ocupação médio do estado i : 〈ni 〉= zeβεi−z

fugacidade: z

Note que 〈ni 〉 ≥ 0 =⇒ eβεi ≥ z

Valor mínimo de εi = ε0 =⇒ min(eβεi

)= 1 =⇒ z ≤ 1

0≤ z ≤ 1 =⇒ µ ≤ 0


〈N〉= ∑i 〈ni 〉

µ ≤ 0 =⇒ é “facil” adicionar novas particulas no gás [1];

limite µ → 0− (z → 1) está intimamente ligado a existência doCondensado de Bose-Einstein [3];

〈n0〉=z

1− z=⇒

〈n0〉 → ∞

z → 1

µ → 0− transição de fase!

〈n0〉→ ∞ ocupação macroscópica do estado fundamental!


Condensado de Bose-Einstein

µ ≤ 0 =⇒ é “facil” adicionar novas particulas no gás [1];

limite µ → 0− (z → 1) está intimamente ligado a existência doCondensado de Bose-Einstein [3];

〈n0〉=z

1− z=⇒

〈n0〉 → ∞

z → 1

µ → 0− transição de fase!

〈n0〉→ ∞ ocupação macroscópica do estado fundamental!


Condensado de Bose-Einstein

O Gás de Fermi


Aspectos Gerais

Descrição termodinâmica de um gás ideal quântico composto porférmions indistinguíveis;

Aplicações importantes em física do estado sólido e astrofísica:

Estudo das propriedades térmicas de metais: gás de elétrons livres;

Estabilidade de algumas estrelas.

Conexão com a termodinâmica clássica: limite termodinâmico(V → ∞) + Grande potencial Ω(T ,V ,µ);

∑i ∼∫di = V

(2π)3∫d3k

(εi = h²k2

2m

);


Aspectos Gerais - Expressões Relevantes

Ω(T ,V ,µ) =−gV

β

∫∞

0D(ε)ln

[1+ e−β (ε−µ)

]dε =−2

3U =−PV

f (ε) =[eβ (ε−µ) +1

]−1Distribuição de Fermi-Dirac

D(ε) = 14π²

(2mh2

)3/2ε

1/2 = Cε1/2 Densidade de Estados


〈H〉= U = ∑i εi 〈ni 〉 =⇒ U = gV∫

∞

0 εD(ε)f (ε)dε

〈N〉= ∑i 〈ni 〉 =⇒ 〈N〉= gV∫

∞

0 D(ε)f (ε)dε

U = 32PV

Aspectos Gerais - Expressões Relevantes

Ω(T ,V ,µ) =−gV

β

∫∞

0D(ε)ln

[1+ e−β (ε−µ)

]dε =−2

3U =−PV

f (ε) =[eβ (ε−µ) +1

]−1Distribuição de Fermi-Dirac

D(ε) = 14π²

(2mh2

)3/2ε

1/2 = Cε1/2 Densidade de Estados


〈H〉= U = ∑i εi 〈ni 〉 =⇒ U = gV∫

∞

0 εD(ε)f (ε)dε

〈N〉= ∑i 〈ni 〉 =⇒ 〈N〉= gV∫

∞

0 D(ε)f (ε)dε

U = 32PV

Aspectos Gerais - Distribuição de FD:

ε

f (ε)

εF = µ(T = 0)

1 T = 0 K

T > 0

Figura: Distribuição de Fermi-Dirac f (ε) em função da energia ε para T = 0K e T > 0.

T = 0KTodos os estados com ε ≤ εF são inteiramente ocupados

T > 0Partículas mais energéticas podem transitar para estados com ε > εF

devido a presença de flutuações térmicas


Aspectos Gerais - Distribuição de FD:

ε

f (ε)

εF = µ(T = 0)

1 T = 0 K

T > 0

Figura: Distribuição de Fermi-Dirac f (ε) em função da energia ε para T = 0K e T > 0.

T = 0KTodos os estados com ε ≤ εF são inteiramente ocupados

T > 0Partículas mais energéticas podem transitar para estados com ε > εF

devido a presença de flutuações térmicas


Gás ideal de Fermi em T = 0K



T = 0K (β → ∞) o gás se encontra no estado fundamental e édenominado como completamente degenerado [3];

Cada partícula ocupa o estado disponível até energia de fermi εF

(energia da partícula mais energética);

µ(T = 0) = εF

limβ→∞

f (ε) = limβ→∞

1eβ(ε−µ) +1

= Θ(µ− ε)

∴ f (ε) =

1, ε ≤ µ

0, ε > µ


ε

f (ε)

εF = µ(T = 0)

1 T = 0 K


εF =

(6π2

gn

)2/3h2

2mpF =

(6π2

gn

)1/3

h

pF =√

2mεF n =(〈N〉/V

)

Importante: Mesmo em T = 0K

U 6= 0

P 6= 0 Gás ideal Clássico e de Bósons P → 0 para T → 0


〈N〉= 23gVCε

3/2F

U = 25VgD(εF )ε2F

P = 23UV = 2

5nεF P =(6π2

g n5/2)2/3

h2

5m


εF =

(6π2

gn

)2/3h2

2mpF =

(6π2

gn

)1/3

h

pF =√

2mεF n =(〈N〉/V

)


U 6= 0



〈N〉= 23gVCε

3/2F

U = 25VgD(εF )ε2F

P = 23UV = 2

5nεF P =(6π2

g n5/2)2/3

h2

5m


εF =

(6π2

gn

)2/3h2

2mpF =

(6π2

gn

)1/3

h

pF =√

2mεF n =(〈N〉/V

)


U 6= 0



〈N〉= 23gVCε

3/2F

U = 25VgD(εF )ε2F

P = 23UV = 2

5nεF P =(6π2

g n5/2)2/3

h2

5m


εF =

(6π2

gn

)2/3h2

2mpF =

(6π2

gn

)1/3

h

pF =√

2mεF n =(〈N〉/V

)


U 6= 0



〈N〉= 23gVCε

3/2F

U = 25VgD(εF )ε2F

P = 23UV = 2

5nεF P =(6π2

g n5/2)2/3

h2

5m


Temperatura de Fermi - TF

εF é utilizado como parâmetro de energia para Sist. Quânticos;

TF = εF/kB

T TF : Limite clássico (distância média das partículas > λTermico);

T TF : Necessário descrição quântica do sistema.

Ex.: Elétrons de condução do Cu -

Gás ideal de elétrons

TF ' 8.104K Temperatura Ambiente!



Temperatura de Fermi - TF

εF é utilizado como parâmetro de energia para Sist. Quânticos;

TF = εF/kB

T TF : Limite clássico (distância média das partículas > λTermico);

T TF : Necessário descrição quântica do sistema.

Ex.: Elétrons de condução do Cu -

Gás ideal de elétrons

TF ' 8.104K Temperatura Ambiente!


Gás ideal de Fermi em T TF



Expansão de Sommerfeld

U = gV∫

∞

0εD(ε)f (ε)dε 〈N〉= gV

∫∞

0D(ε)f (ε)dε

Note que devemos resolver integrais do tipo: S =∫

∞

0 φ(ε)f (ε)dε, φ(ε) = Aεn

S =∫

∞

0φ(ε)f (ε)dε =

=0︷︸︸︷ψ(ε)f (ε)|∞0 −

∫∞

0ψ(ε)f

′(ε)dε

ψ(ε) =∫

ε

0 φ(ε ′)dε ′.

S =−∫

∞

0ψ(ε)f

′(ε)dε =−

∫∞

0f′(ε)

[∞

∑i

(ε−µ)i

i!

(d iψ

dε i

)ε=µ

]dε

Si =−∫

∞

0f′(ε)(ε−µ)idε =

1β i

∫∞

−β µ

exx i

(ex +1)2dx

Si =1β i

∫∞

−∞

exx i

(ex +1)2dx +O(e−βεF )


ε

f (ε)

εF = µ(T = 0)

1

T > 0



∴ S =∫

µ

0φ(ε)dε +

π2

6β²

(dφ

dε

)ε=µ

+ ...

Forma assintótica

Limite de T → 0 (β → ∞) X


Simpar = 0 S0 = 1 e S2 = π2

3β2

U = gVC[25µ

5/2 + π2

4β2µ1/2 + ...

]〈N〉= gVC

[23µ

3/2 + π2

12β2µ−1/2 + ...

]32〈N〉gVC = µ

3/2[1+ π2

8β2µ−2 + ...]

= ε3/2F µ = εF

[1− π2

12β2ε2F

+ ...]

µ = εF 〈N〉= 23D(εF )εF U = 2

5gVD(εF )ε2F



∴ S =∫

µ

0φ(ε)dε +

π2

6β²

(dφ

dε

)ε=µ

+ ...

Forma assintótica



Simpar = 0 S0 = 1 e S2 = π2

3β2

U = gVC[25µ

5/2 + π2

4β2µ1/2 + ...

]〈N〉= gVC

[23µ

3/2 + π2

12β2µ−1/2 + ...

]32〈N〉gVC = µ

3/2[1+ π2

8β2µ−2 + ...]

= ε3/2F µ = εF

[1− π2

12β2ε2F

+ ...]

µ = εF 〈N〉= 23D(εF )εF U = 2

5gVD(εF )ε2F



∴ S =∫

µ

0φ(ε)dε +

π2

6β²

(dφ

dε

)ε=µ

+ ...

Forma assintótica



Simpar = 0 S0 = 1 e S2 = π2

3β2

U = gVC[25µ

5/2 + π2

4β2µ1/2 + ...

]〈N〉= gVC

[23µ

3/2 + π2

12β2µ−1/2 + ...

]32〈N〉gVC = µ

3/2[1+ π2

8β2µ−2 + ...]

= ε3/2F µ = εF

[1− π2

12β2ε2F

+ ...]

µ = εF 〈N〉= 23D(εF )εF U = 2

5gVD(εF )ε2F

Utilizando a expressão de µ, obtemos

Calor específico a volume constante - CV

Depende linearmente de T para temperaturas baixas, e CV → 0 paraT = 0K ;Resultado concorda com experimentos em metais a baixas temperaturas.Mas:

Leva em conta somente a contribuição dos elétrons de condução(interação Coulombiana entre os elétrons e com fônons da redecontribuem também);

Modo aproximado: CV /〈N〉= cV = γT + δT 3


U = 35〈N〉εF

[1+ 5π2(kBT )2

12ε2F

+ ...]

CV =(

∂U∂T

)V ,〈N〉

= 〈N〉π2kB2

TTF

+ ...

Obrigado


Referências

L. E. Reichl (2004).A Modern Course in Statistical Physics2nd Edition, Wiley-VCH.

M. Le Bellac, F. Mortessagne, G. G. Batrouni (2006).Equilibrium and Non-Equilibrium Statistical ThermodynamicsCambridge University Press

S. R. A. Salinas (2013).Introdução à Física Estatística.Segunda Edição, Editora da Universidade de São Paulo.


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