1

LISTA DE EXERCÍCIOS 3

1) Seja X uma variável aleatória contínua, com função densidade de probabilidade por:

f ( x )=ax

f ( x )=a

f ( x )=−ax+3a

f (x)=0

0≤ x≤1.

1≤x ≤2.

2≤x ≤3.

paraquaisquer outros valoresde x

a) Determine a constante a.b) Determine a função de distribuição e esboce o seu gráfico.c) Se X1 , X2 e X3 forem três observações independentes de X, qual será a

probabilidade de, exatamente, um desses números ser maior do que 1,5?

RESOLUÇÃO:

a)

∫−∞

∞

0dx+∫0

1

axdx+∫1

2

adx+∫2

3

−ax+3a+∫3

∞

0dx calcular cada integral

∫−∞

∞

0dx 0

∫0

1

axdx [a x2

2 ]¿01[a 122 −a02

2 ][ a2−0] a2∫1

2

adx [a x1 ]¿12[a 211 −a11

1 ] [2a−a ] a

∫2

3

−ax+3a[−ax2

2+3ax ]¿23[(−a

32

2+3a3)−(−a

22

2+3a2)]

[(−a92+3a3)−(−a

42+3 a2)]−9a2 +9a+2a−6a−9a

2+5a

−9a+10a2

a2

∫3

∞

0 dx0

1=a2+a+ a

21=a+2a+a

21=4a

21=2aa=1

2

b)

P (X<b )=∫−∞

b

f ( x )dx

Quando o intervalo for 0 ≤ x ≤ 1

2

∫−∞

b

axdx [ 12× x2

2 ] [ x24 ]¿0b[ b24 −02

4 ] b24Quando o intervalo for 1 ≤ x ≤ 2

∫−∞

b

adx=∫0

112xdx+∫

1

b12dx [ x24 ]¿01+[ 122 ]¿1b[( 14−0)+( b2−12 )]

14+ b2−12−14+ b2

Quando o intervalo for 2 ≤ x ≤ 3

∫−∞

b

adx=∫0

1

0dx+∫1

212dx+∫

2

b−12

x+ 32

∫0

112xdx [ x2 ]¿01[( x2

2×2−0

2

2 )] x24∫1

212dx [ 12 ]¿12[( 222×2−122 )] [( 24−12 )] 2−24 1

2x

∫2

3−12

x+ 32dx [(−x2

2+ 32 )]¿2b[(−b2

2+32 )−(−222 + 3

2 )][(−b2

2+32 )−12 ]−12× x2

2+ 32x

Logo :x2

4+ 12x+(−12 ×

x2

2+ 32x) 14 +(12 ×2−112 )+[(−b2

4+ 3b2 )−(−1+3 )]

14+ 12+[−b2

4+ 3b2

−2] 1+2−84−b2

4+ 3b2

−b2

4+ 3b2

−54

Gráfico

c) P [ (X1>1,5 )∪ ( X2<1,5 )∪ (X3<1,5 ) ] Intervalo=1≤b≤2

[1−(−14 +1,52 )]×(−14 + 1,5

2 )×(−14 +1,52 )[1−24 ]× 24 × 24 12× 12× 12

18

3

2) Seja X uma variável aleatória contínua, com função densidade de probabilidade dada por: f ( x )=6x (1−x )0≤x ≤1.

a) Verifique que a expressão acima é uma função densidade de probabilidade e esboce seu gráfico.

b) Obtenha a função de distribuição de X e esboce o seu gráfico.c) Calcule

P(X≤12∨13<X< 2

3)

RESOLUÇÃO:

a)

∫0

1

6 x (1−x )dx∫0

1

6 x−6x2dx∫0

16 x2

2−6 x

3

3dx [3 x2−2x3 ] ¿01

(3×12−2×13 )−(3×02−2×03 ) (3−2 )−01

Portanto é uma função densidade.

b)

∫0

b

¿¿ (Função Densidade)

c)

P(x ≤1/2∨13<x< 2

3)

P (x≤1/2∨13≤ x≤

23)

P( 13 ≤x ≤ 23 )P( 13≤ x≤

12)

P( 13 ≤ x≤23 )

P (x≤ 12 )−P(x ≤ 13 )P (x≤ 23 )−P(x ≤ 13 )

F( 12 )−F( 13 )F ( 23 )−F( 13 )

ConsiderandoF (b )=3b2−2b3

F( 12 )−F( 13 )F ( 23 )−F( 13 )

[3×( 12 )2

−2( 12 )3]−[3×( 13 )

2

−2( 13 )3]

[3×( 23 )2

−2( 23 )3]−[3×( 13 )

2

−2( 13 )3]

4

[3× 14−2 18 ]−[3× 19−2 127 ]

[3× 49−2 827 ]−[3× 19−2 127 ]

[ 34−28 ]−[ 39− 227 ]

[ 129 −1627 ]−[ 39− 2

27 ][ 6−28 ]−[ 9−227 ]

[ 36−1627 ]−[ 9−227 ][ 48 ]−[ 727 ][ 2027 ]−[ 727 ]

[ 48 ]−[ 727 ]1327

0,5−0,25920,4814

0,24080,4814

0,5002ou50.02%

3) Suponha que a duração da vida (em horas) de uma certa válcula seja uma variável aleatória contínua X, com função densidade de probabilidade dada por

f ( x )=100 / x2 , para x>100 e zero para outros valor de x.

a) Qual será a probabilidade de que uma válvula dure menos de 200 horas, se soubermos que ela está funcionando após 150 horas de serviço?

b) Se três dessas válvulas forem instaladas em um conjunto, qual será a probabilidade de que exatamente uma delas tenha de ser distribuída após 150 horas de serviço?

c) Qual será o número máximo de válvulas que poderá ser colocado em um conjunto, de modo que exista uma probabilidade de 0,5 de que após 150 horas de serviço todas elas ainda estejam funcionando?

RESOLUÇÃO:

a)

f ( x )=100x2

para x>100

f ( x )=0 para x<100

P ( x<200|x>150 ) P ( x<200∩ X>150 )P ( x>150 )

P (150<x<200 )1−P ( x<150 )

P ( x<200 )−P(x<150)1−P ( x<150 )

calcular cada probabilidade separadamente

P ( x<200 )=∫100

200100x2

dx∫100

200

100×x−2dx Sabendo que :a−n= 1an

(100× x−1

−1 )¿100200(100× 200−1−1 )−(100× 100−1−1 )

(100×−( 1200 ))−(100× 1100 )−100200−100100−

12+1

5

−1+22

12

P ( x<200 )=12

P ( x<150 )=∫100

150100x2

dx∫100

150

100×x−2dx (100× x−2 )¿100150

[(100× 1150 )−(100× 1

100 )] 100150−100100 23−1 2−33 13

P ( x<150 )=13

P ( x<200 )−P(x<150)1−P ( x<150 )

12−13

1−13

3−263−13

1623

16×3214ou0,25ou25%

b)

f ( x )=100x2

para x>100

f ( x )=0 para x<100

Dados :3válvulas ,1 substituída após150h1≥1502≤150

[1−P (x1≥150 ) ]× P ( x2≤150 )× P (x2≤150 )[1−13 ]× 13 × 13 23× 19 227c)

P ( x>150 )n=0,5 [1−P ( x>150 )❑]n=0,5( 23 )n

=0,5

n× ln23=ln 0,5n× ln 0,66=ln 0,5n× (−0,4054 )=−0,6931

n=−0,69310,4054

n=1.71(valor arredondado para cima)

4) Uma variável aleatória X pode tomar quatro valores, com probabilidade:1+3x4

;1−x4

;1+2x4

;1−4 x4

Para quais valores de x se tem uma função de probabilidade?

RESOLUÇÃO:

6

Para1+3 x4

P (X=X1 ) :0< 1+3x4

<1Tenhoque isolar x

1 º¿Multiplico 4 4×0<4× 1+3x4

<4×10<1+3 x<4

2 º¿ Subtraio10−1<1+3 x−1<4−1−1<3 x<3

3 º ¿Divido por3−13< 3 x3

< 33−13<X1<1

------------------------

Para1−x4

P ( X=X 2 ):0<1−x4

<1Tenhoque isolar x

1 º¿Multiplico 4 4×0<4× 1−x4

<4×10<1−x<4

2 º¿ Subtraio10−1<1−x−1<4−1−1←x<3

3 º ¿Multiplico por−1−1× (−1 )←x × (−1 )<3× (−1 )1>x>−3⇒

4 ª ¿Organizo−3<X2<1

------------------------

Para1+2 x4

P (X=X3 ) :0< 1+2x4

<1Tenho que isolar x

1 º¿Multiplico 4 4×0<4× 1+2x4

<4×10<1+2x<4

2 º¿ Subtraio10−1<1+2 x−1<4−1−1<2 x<3

3 º ¿Divido por2−12< 2x2

<32−12<X3<

32

------------------------

Para1−x4

P ( X=X❑) :0< 1−4 x4

<1Tenho que isolar x

1 º¿Multiplico 4 4×0<4× 1−4 x4

<4×10<1−4 x<4

2 º¿ Subtraio10−1<1−4 x−1<4−1−1←4 x<3

3 º ¿Divido por 4−14← 4 x4

< 34⇒−1

4← x< 3

4

4 º¿Multiplico por−1− 14× (−1 )← x× (−1 )< 3

4× (−1 ) 1

4> x>−3

4⇒

7

5 ª ¿Organizo−34<X 4<

14

------------------------

1+3x4

+1−x4

+ 1+2x4

+ 1−4 x4

=1⇒1+3 X1❑

❑+1−X2+1+2 X3+1−4 X44

=1⇒

4+3 X1−X2+2 X3−4 X4=4⇒3 X1−X 2+2 X 3−4 X4=0

------------------------

A=X1 ; X2; X3; X4∈R∨−13

<X1<1 ;−3<X2<1 ;−12<X3<

32;−34<X4<

14

3 X1−X2+2 X3−4 X4=0

5) Os valores abaixo representam a distribuição de probabilidade de D, a procura diária por um certo produto:

d: 1 2 3 4 5P(D=d): 0,1 0,1 0,3 0,3 0,2

Calcule E(D) e V(D).

RESOLUÇÃO:

E ( x )=∑i=1

n

X iP(X=X i)

E (D )=∑i=1

5

d iP (D=d i )⇒ 1×0,1+2×0,1+3×0,3+4×0,3+5×0,2⇒

0,1+0,2+0,9+1,2+1⇒3,4

E (D )=3,4

------------------------

V (X )=[∑i=1

n

X i2 P ( X=X i )]−[∑

i=1

n

X i P ( X=X i )]2

=V (X )=E (X i2 )−[E ( x ) ]2⇒

V (D )=E (D2 )−[E (D ) ]2⇒Calcular separadamente

E (D2 )=∑i=1

5

d iP (D=d i )⇒ 12×0,1+22∗0,1+32∗0,3+42∗0,3+52∗0,2⇒

0,1+0,4+2,7+4,8+5⇒13

E (D2 )=13

8

------------------------

V (D )=E (D2 )−[E (D ) ]2⇒13−(3,4 )2⇒13−11,56⇒1,44

V (D )=1,44