ESTUDANDO Introdução à teoria dos conjuntos e …...Rerouão roibia Art o io eal e ei e e evereiro e 998. ESTUDANDO Introdução à teoria dos conjuntos e conjuntos numéricos Para

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

ESTUDANDO Introdução à teoria dos conjuntos e conjuntos numéricos

Para o vestibulaR6

7 A partir dos dados do enunciado temos:242 2 96 5 146 eram não brasileiros242 2 64 5 178 eram mulheres242 2 47 5 195 eram não fumantesa) Se 36 eram brasileiros fumantes e 20 eram homens

brasileiros fumantes, então 36 2 20 5 16 eram mu-lheres brasileiras fumantes. Se 96 eram brasileiros e 51 eram homens brasileiros, então 96 2 51 5 45 eram mulheres brasileiras, e se 16 eram mulheres brasileiras fumantes, então 45 2 16 5 29 eram mulheres brasi-leiras não fumantes.

b) Se 25 eram homens fumantes e 20 eram homens bra-sileiros fumantes, então 25 2 20 5 5 eram homens fumantes não brasileiros.

c) Se 47 eram fumantes e se 36 eram fumantes bra-sileiros, então 47 2 36 5 11 eram fumantes não brasileiros, e se 5 eram homens fumantes não bra-sileiros, então 11 2 5 5 6 eram mulheres fumantes não brasileiras. Se 64 eram homens e 51 eram ho-mens brasileiros, então 64 2 51 5 13 eram homens não brasileiros, e se 146 eram não brasileiros, então 146 2 13 5 133 eram mulheres não brasileiras. Se 133 eram mulheres não brasileiras e 6 eram mulheres fumantes não brasileiras, então 133 2 6 5 127 eram mulheres não brasileiras não fumantes.

8

4 cSomando os homens e as mulheres, temos 2.000 pessoas; entre elas, 2.000 2 500 5 1.500 tinham o antígeno A ou o B. Se 1.080 pessoas tinham o antígeno A e 900 o antígeno B, então 1.980 2 1.500 5 480 pessoas tinham os antígenos A e B. Como o resultado da pesquisa é pro-porcional ao número de homens (H) e mulheres (M):

1.200 _____ 800

5 H __ M

] 3 __ 2

5 H __ M

] H 5 3 __ 2

M

Mas H 1 M 5 480; logo:

3 __ 2

M 1 M 5 480 } M 5 192

1 cComo D - (A ) C), então somente o diagrama da alter-nativa c pode representar tal situação.

2

5

Observe o diagrama:

Portanto:n((A 0 B) ) C) 5 2 1 4 1 6 5 12

A

14

15

3

24

5

6

B

C

a) (18 1 12)

________ 60

5 0,5 5 50% b) 9 ___ 60

5 0,15 5 15%

Natação

1821 12 9

Não praticam futebol ou natação.

Futebol

95 1 x 1 25 5 150Portanto, 30 pessoas utili-zaram os produtos B e C.

9525

B C

x

3 cObserve o diagrama a seguir:

n(A 0 B 0 C) 5 5 (8 2 x 2 z 2 t) 1 (4 2 x 2 y 2 t) 1 (7 2 y 2 z 2 t) 11(x 1 y 1 z 1 t) 5 19 2 x 2 y 2 z 2 2t 5 16 ]] x 1 y 5 3 2 z 2 2t} n((A ) B) 0 (B ) C)) 5 x 1 y 5 3 2 z 2 2tComo x, y, z e t são números naturais, o maior valor que (A ) B) 0 (B ) C) 5 x 1 y pode assumir é 3.

A

4 – x – y – t

8 – x – z – t

7 – y – z – t B

C

zt

y

x

A ) B 1 A ) C 5 90 2 28 2 8 5 54A ) B 1 B ) C 5 84 2 26 2 8 5 50A ) C 1 B ) C 5 86 2 24 2 8 5 54

A ) B 5 54 2 A ) C (I)A ) B 5 50 2 B ) C (II)A ) C 1 B ) C 5 54 (III)

De (I) e (II), tem-se:54 2 A ) C 5 50 2 B ) C} B ) C 5 A ) C 2 4 (IV)Substituindo (IV) em (III), tem-se:A ) C 1 A ) C 2 4 5 54 ] 2(A ) C) 5 58} A ) C 5 29Substituindo (IV) em (III), tem-se:B ) C 5 A ) C 2 4 ] B ) C 5 29 2 4 5 25A ) C 5 54 2 A ) C ] A ) B 5 54 2 29 5 25 Portanto, tem-se o diagrama a seguir:

a) 28 1 26 1 24 5 78b) 25 1 29 1 25 1 8 5 87c) 28 1 25 1 29 1 26 1 25 1 24 1 8 5 165

A28

26

25

24

2925

8

B

C

Revisão em 22 volumes – Matemática – Gabarito

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.9 c

Telespectadores que gostaram das novelas A, B e C:100Telespectadores que gostaram apenas das novelas A e B:350 2 100 5 250Telespectadores que gostaram apenas das novelas A e C:400 2 100 5 300Telespectadores que gostaram apenas das novelas B e C:300 2 100 5 200Telespectadores que gostaram apenas da novela A:1.450 2 (250 + 300 + 100) 5 800Telespectadores que gostaram apenas da novela B:1.150 2 (250 + 200 + 100) 5 600Telespectadores que gostaram apenas da novela C:900 2 (300 + 200 + 100) 5 300Total de telespectadores que gostaram de alguma novela:100 + 250 + 300 + 200 + 800 + 600 + 300 5 2.550Total de telespectadores que não gostaram de nenhuma novela:3.000 2 2.550 5 450

Pede-se apenas o percentual de homens na turma. Isso permite considerar um total de 100 alunos. Sendo x o número de homens, 100 2 x será o número de mulheres. Como 30% dos homens somados a 10% das mulheres resultam em 18% do total:0,3x 1 0,1 ? (100 2 x) 5 0,18 ? (100) ] 0,3x 1 10 2 2 0,1x = 18 ] 0,2x 5 18 2 10 5 8 ] x 5 8 : 0,2 5 40Ou seja, a porcentagem de homens é 40%.

(x 1 3)4 (x2 1 5)(3 2 x)6

> 0 para qualquer x 3.

Portanto, o sinal da expressão depende exclusivamente de (x 2 3)3.Como x 3: (x 2 3)3 , 0 ] x 2 3 , 0 ] x , 3Então, x está no intervalo ]−∞, 3[.

Sendo x o número de funcionários e y o número de cestas, tem-se:I. 10x 5 y 2 36II. 12x 5 y 1 10Isolando y em I e substituindo em II:y 5 10x 1 36 ] 12x 5 10x 1 36 1 10 ]] 12x 2 10x 5 36 1 10 ] 2x 5 46 ] x 5 23

O menor número da forma x __ y ocorrerá quando x for o mí-

nimo e y for o máximo, isto é, quando x __ y 5 2 __ 8

5 1 __ 4

.

O maior número da forma x __ y ocorrerá quando x for o má-

ximo e y for o mínimo, isto é, quando x __ y 5 15 ___ 3

5 5. Logo,

os números da forma x __ y pertencem ao intervalo E 1 __ 4 , 5 R . Mas E 1 __ 4 , 5 R - E 1 __ 9 , 5 R e a única alternativa que está de acordo é a d.

15

10 d

13 d

14 d

11 d

12 b

a) Pode-se associar a soma dos primeiros números ím-pares ao número que representa a área do quadra-do cujo lado é igual à posição do último número da soma. Assim, a soma dos 8 primeiros ímpares é nu-mericamente igual à área do quadrado de lado 8 e, portanto, igual a 64.

b) Sn 5 n2 5 3.600 ] n 5 dlllll 3.600 ] n 5 60 Observe que o corredor n tem 2n 2 1 bolas (n na res-

pectiva coluna e n 2 1 na linha respectiva). Portanto: 2n 2 1 5 2 3 60 2 1 5 119

Soma dos 12 dígitos:7 1 8 1 9 1 0 1 1 1 0 1 X 1 5 1 1 1 2 1 4 1 0 5 37 1 XSoma dos números de ordem par:8 1 0 1 0 1 5 1 2 1 0 5 15Logo, o dobro será igual a 30.Portanto: N 5 37 1 X 1 30 5 67 1 XComo d 5 6 % 0, então 67 1 X não é múltiplo de 10, 67 1 X será dividido por 10 e deixará resto 4, pois d 5 10 2 4 5 6; logo, N 5 74 5 67 1 X, ou seja, X 5 7.

a) 71 2 (7 1 1) 5 63 30 2 (3 1 0) 5 27 Como 63 e 27 são múltiplos de 9, a afirmação é verda-

deira para os números 71 e 30.b) z 5 xy 2 (x 1 y) 5 10x 1 y 2 x 2 y 5 9x Como x é um número inteiro, então 9x é múltiplo de 9.

0,2222... 1 0,2333... 5 0,4555...

x 5 0,4555...10x 5 4,555... ] 100x 2 10x 5 45,555... 2 4,555...100x 5 45,555...

} x 5 41 ___ 90

Na tabela, há alguns exemplos numéricos, com n e p irra-cionais; logo, resta avaliar apenas o item V.

Mas se n e p são irracionais, seus inversos também serão;

portanto, são também reais e pode-se dizer que 1 __ n e 1 __ p

são números complexos com parte imaginária nula; po-

de-se então escrever 1 __ n 5 1 __ n 1 0i e

1 __ p 5 1 __ p 1 0i. Assim:

1 __ n 1 1 __ p 5

1 __ n 1 0i 1 1 __ p 1 0i 5

1 __ n 1 1 __ p 1 0i

n p 1 __ n 1 __ p

1 __ n 1 1 __ p

1 _______ 1 1 dll 2

1 _____ 2 dll 2

1 1 dll 2 2 dll 2 1

2 _______ 1 1 dll 2

2 _____ 2 dll 2

1 1 dll 2

_______ 2

2 dll 2

_____ 2

1 __ 2

1 ___ dll 2

1 ___ dll 2

dll 2 dll 2 2 dll 2

1 ___ dll 2

1 _____ 2 dll 2

dll 2 2 dll 2 0

16

17

18

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

19

20 c

21 b

27 a

28 d

30 d

26

Observe o conjunto dos quadrados perfeitos:0² 5 0, 1² = 1, 2² = 4, 3² = 9, 4² = 16, 5² = 25, 6² 5 5 36, 7² 5 49, 8² 5 64, 9² 5 81, 10² 5 100.Nota-se que o algarismo das unidades será sempre 0, 1, 4, 5, 6 ou 9. Logo, a única opção válida é 552.049. De fato, esse número corresponde a 743².

Como os relógios A e B não registram os segundos, as seguintes situações são possíveis:Situação I: A 2 11h51min59s e B 2 11h53min00sSituação II: A – 11h51min00s e B – 11h53min59s No caso da situação I, a defasagem é de 61 segundos e, no caso da situação II, 179 segundos. Portanto, nenhum deles está correto.

(12,34)2 5 (12 1 0,34)2 5 5 144 1 2 3 12 3 0,34 1 0,342 . 144 1 1 __

2 3 12 5 150

Agora:(12,34)3 . 150 3 12,34 . 150 3 12 5 1.800Portanto, 12,34 é maior que 3 dllll 1.800.

Se José recebeu R$ 2,45, então Geraldo recebeu R$ 5,25 2 R$ 2,45 5 R$ 2,80.Se Luiz deu R$ 5,25 por 5 broas de milho, então cada broa custou R$ 1,05.José deu 2 broas de milho e Geraldo 3, pois todos deve-riam ficar com 5 broas.Logo, por justiça, José deveria receber 2 3 R$ 1,05 5 5 R$ 2,10, e Geraldo deveria receber 3 3 R$ 1,05 5 R$ 3,15.Portanto, Geraldo deveria receber R$ 0,35 a mais.

172 5 289 e 182 5 324, logo, 17 , dllll 299 , 18 } E @ dllll 299 # 5 17log5 127 5 k ] 5

k 5 127 . 53 5 125 ] 53 , 5k , 54

} E(log5 127) 5 E(k) 5 321 , sen 233w , 0 } E(sen 233w) 5 21

0 , 7 __ 8

, 1 } E @ 7 __ 8 # 5 01 , dll 2 , 2 } E @ dll 2 # 5 1

y 5 4 3 17 1 2 3 3 2 (21)

__________________ 0 1 1

5 68 1 6 1 1 __________ 1

} y 7 75

I. Verdadeira, pois os elementos do conjunto B 2 b são racionais não inteiros.

II. Verdadeira, pois 6 2 9 5 3 é um número inteiro. III. Falsa, pois 5 é um número real e inteiro. IV. Falsa, pois dll 9 5 3 é um número real e racional. V. Verdadeira, pois a raiz cúbica de um número negativo

é um número real.

22 d

23 V

29 a

25 b

24

As condições de existência de log são: I. 6 2 x . 0 ] x , 6 II. x 2 3 . 0 ] x . 3III. x 2 3 1 ] x 4Então, 3 , x , 6 e x 4.

30 [ 56

2 4

10][ 1,2 2 0,5

5 2 3, 7] 2 √13 5

5 30 [ 25 2 1230

][ 0,71,3

] 2 √13 5

5 13 [7

13 ] 2 √13 5 7 2 √13 ]

] 7 2 4 < 7 2 √13 < 7 2 3 ] 3 < 7 2 √13 < 4

O número de crianças vacinadas foi: 98 2 12 5 86.O número de vacinas dadas foi: 60 1 32 5 92.Logo, a quantidade de crianças que tomaram as duas vacinas pode ser encontrada fazendo-se 92 2 86 5 6.As crianças que não tomaram exatamente duas vacinas, ou seja, tomaram uma ou nenhuma, totalizam:98 2 6 5 92.

[ √22

] (20,25)22 2 [ 66√3

]√3 1 1 5

5 [ √22

] (220,5) 2 (612√3)√3 1 1

5

5 [ √22

] [√ 12 ] 2 6(12√3)(√3 1 1) 55

12

2 6123 5 12

2 622 5 12

2 1

36 5

5 18 2 1

36 5

1736

I. Verdadeira, pois 0 , b , c. II. Falsa, pois a , 0 e OaO . ObO. III. Verdadeira, pois b , 1 e multiplicando a expressão por c,

obtém-se bc , c. IV. Falsa, pois a , 0 e c . 0; logo: ac , 0 e, portanto, ac , b.

5 1 1 _________ 2 1 1 _____

11 1 __ 3

5 5 1 1 ___

11 ___ 4

5 5 1 4 ___

11 5 59 ___

11

Portanto, a 1 b 5 59 1 11 5 70.

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

1 c

2 c

3 d

4 e

5 d

6 a

ESTUDANDO Introdução à teoria dos conjuntos e conjuntos numéricos

Para o eNeM

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

ESTUDANDO Funções: conceitos básicos

Para o vestibular

3

] a 5 2 5 __ 4

e b 5 1 __ 2

a) x 5 7 __ 4

9 [22, 2] e, nesse intervalo, o gráfico de f(x) é um

f(x) 5 ax 1 b ] 3 5 a(22) 1 b22 5 a2 1 b

} f(x) 5 2 5 __ 4

x 1 1 __ 2

f @ 7 __ 4 # 5 2 5 __ 4 3 @ 7 __ 4 # 1 1 __ 2 5 2 35 ___ 16 1 1 __ 2 5 2 27 ___ 16 b) f (31) 5 f (23 1 8) 5 f (23) 5 f (15 1 8) 5 f (15) ] ] f (15) 5 f (7 1 8) 5 f (7) ] f (7) 5 f (21 1 8) 5 f (21) } f (31) 5 f (21) x 5 21 9[22, 2]; então, (21, f(21)) é um ponto no

trecho de f definida nesse intervalo e dada no item a; logo:

c)

f(31) 5 f(21) 5 2 5 __ 4

3 (21) 1 1 __ 2

5 7 __ 4

segmento de reta com extremos nos pontos (22, 3) e (2, 22); logo:

1 c

2 aComo função, a imagem da parcela 2b ? x 1 c é ]0, 1`[; então, a imagem de f(x) 5 a 1 2b ? 0 1 c é ]a, 1`[. Mas, de acordo com o enunciado, ]a, 1`[ 5 ]21, 1`[ ; portanto, a 5 21.Substituindo os dados na função, tem-se:

f(0) 5 21 1 2b ? 0 1 c

f(1) 5 21 1 2b ? 1 1 c{ Æ

21 1 2c 5 234

Æ 2c 5 14

Æ c 5 22

21 1 2b 1 c 5 0 Æ 2b 2 2 5 1 Æ b 5 2{Æ

a ? b ? c 5 (21) ? 2 ? (22) 5 4

De acordo com o enunciado e o gráfico, 7% dos 1.500 alunos praticam apenas vôlei.Calculando esse valor: 1.500 3 0,07 5 105O valor de x 5 105 pertence ao intervalo [2100, 200] ∩ [100, 300].

As funções que fornecem aproximadamente a média de concentração de CO2 na atmosfera em ppm e a média de variação do nível do mar, em cm, em função do número de anos x a partir de 1960 são, respectivamente:

y 5 f(x) 5 x 1 320 e g(x) 5 1 __ 5

x. Substituindo x 5 y 2 320

em g(x) 5 1 __ 5

x, obtém-se a expressão da função h, que for-

nece a média de variação do nível do mar, em cm, em

função da concentração de CO2 h(y) 5 y 2 320 ____

5 .

} h(400) 5 16 cm.

Com base no gráfico, conclui-se que a função g(x) 5 b 3 2kx sofreu translação de uma unidade para cima; logo, a 5 1. Além disso, tem-se:f(0) 5 3 ] 3 5 1 1 b ] b 5 2f(21) 5 5 ] 5 5 1 1 2 3 22k ] 4 5 2 3 22k ]] 22 5 21 2 k ] 2 5 1 2 k ] k 5 21Logo: f(x) 5 1 1 2 3 22x 5 1 1 21 2 x.Cálculo da função inversa f 21 (x):x 5 1 1 2 12 f

21 ] x 2 1 5 2 12 f 21 ]

log(x 2 1) 5 log 2 12 f 21 ] log(x 2 1) 5 (1 2 f 21) log2 ]

]1 2 f 21 5

log(x 2 1) _________

log2

} f 21(x) 5 1 2 log(x 2 1)

_________ log2

5 1 2 log2(x 2 1)

4

5

6 A função f é racional, de modo que: f(x) 5 g(x)

____ h(x)

, com

h(x) % 0; logo, desde que h % g, quando g 5 0, as raízes de f coincidem com as de g(x):

g(x) 5 4x2 2 6x 5 2x(2x 2 3) 5 0 } x 5 0 ou x 5 3 __ 2

Raízes de h(x): h(x) 5 2x2 2 3x 2 28 5 0 ]] S 5 (23)2 2 4 3 (21) 3 (228) 5 9 2 112 5 2103 , 0Logo, h(x) não possui raízes reais, e sua imagem é estri-tamente negativa.

Portanto: S 5 { x 9 Vox , 0 ou x . 3 __ 2 } .

x

0

g(x) = 4x2 – 6x

h(x) = –x2 – 3x – 28x

x+ + + + 0 – – – – – – + + +

– – – – – – – – – – – – – – – – –

– – – – + + + + + + – – – – – 4x2 – 6x

–x2 – 3x – 28f(x) =

32

32


Figura B

x

4

3

2

1

−1

−2

−3

−4

6 7 8 9 10 11 12 13 14

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.7

Sejam os pontos A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) vértices do triângulo em questão. Pelo gráfico, supondo que AB seja paralelo ao eixo x, temos: xB 5 0 e yB 5 f(xB) 5 2

2 3 0 5 1;yA 5 yB 5 1 e yA 5 g(xA) 5 1 ] log2(xA 1 1) 5 1 ] ] xA 5 1; xC 5 xA 5 1 e yC 5 f(xC) 5 2

2 3 1 5 4Assim, os vértices são: A(1, 1), B(0, 1) e C(1, 4); AB 5 xA 2 xB 5 1, AC 5 yC 2 yA 5 3. Portanto, a área do △ABC é:

AB 3 AC _______ 2

5 1 3 3 ____ 2

5 3 __ 2

Nesse problema, vamos supor que f e g sejam funções de V em V.a) O gráfico de f(x) 5 o4 2 x2O é obtido refletindo-se,

em relação ao eixo x, a parte do gráfico de y 5 4 2 x2, que corresponde aos valores negativos que a função assume.

O gráfico de g(x) 5 (x 1 7)

2 é a reta que passa por @ 0, 7 __ 2 #

e (1, 4). Com isso, conseguimos construir ambos os gráficos.

b) O4 2 x2O < x 1 7 _____ 2

] 2 x 1 7 _____ 2

< 4 2 x2 < x 1 7 _____ 2

]

2x 2 7 < 8 2 2x2

8 2 2x2 < x 1 72x2 2 x 2 15 < 02x2 1 x 2 1 > 0

]

2 5 __ 2

< x < 3

x < 21 ou x > 1 __ 2

Fazendo a intersecção desses intervalos, obtém-se:

2 5 __ 2

< x < 2 1 ou 1 __ 2

< x < 3.

} S 5 E 2 5 __ 2 , 2 1 R 0 E 1 __ 2 , 3 R

]]

]

8 c

13 d

9

10

11

12

a) x2 1 5x 1 6 < 2x 1 16 ] x2 1 3x 210 < 0 x2 1 3x 2 10 5 0 ] x 5 25 ou x 5 2 O coeficiente do termo quadrático é igual a 1 . 0;

logo, a concavidade da parábola que representa a função correspondente está voltada para cima, e o in-tervalo que contém os valores negativos dessa função está entre as raízes da equação resolvida.

} S 5 {x 9 Vo25 < x < 2}

b) x2 1 bx 1 c < 2x 1 3 ] x2 1 (b 2 2)x 1 c 2 3 < 0 x2 1 (b 2 2)x 1 c 2 3 5 0 ] x 5 4 ou x 5 7

2(b 2 2)

________ 1

5 4 1 7 5 11

c 2 3 _____ 1

5 4 3 7 5 28] 2b 1 2 5 11

c 2 3 5 28

} b 5 29 e c 5 31

As abscissas dos pontos P e Q são soluções da equação:f(x) 5 g(x) ] x3 1 x2 1 2x 2 1 5 x3 1 3x 1 1 ]

Æ x2 2 x 2 2 5 0 ] x 5 21 ou x 5 2Logo: P 5 (21, f(21)) e Q 5 (2, f(2)) e, pelo gráfico:f(x) > g(x) ] x < 21 ou x > 2} S 5{x 9 Vox < 21 ou x > 2}

b)

a) Se x 5 1, temos: 2p(1) 2 p(2 21) 5 2p(1) 2 p(1) 5 22 } p(1) 5 22

2p(21) 2 p(2 2(21)) 5 2p(21) 2 p(3) 5 42p(3) 2 p(2 2 3) 5 2p(3) 2 p(21) 5 16

Æ p(3) 5 12 e p(21) 5 8 } p(21) 1 p(3) 5 8 1 12 5 20

]

g(x) 5 a(x 2 (23))2(x 2 5) 5 a(x 13)2(x 2 5), em que a % 0; então:g(f(x)) 5 a((x2 2 6x 1 5) 1 3)2 ((x2 2 6x 1 5)25) ] Æ a(x2 2 6x 1 8)2(x2 2 6x) 5 0 ]

} S 5 {0, 2, 4, 6}

(x2 2 6x 1 8)2 5 0 ] x 5 2 ou x 5 4(x2 2 6x) 5 0 ] x 5 0 ou x 5 6

Æ

Para x 5 3, tem-se:(3 1 1) ? f (3) 1 f (1 2 3) 5 33 1 32 2 3 1 2 ÆÆ 4 ? f (3) 1 f (2) 5 27 1 9 2 3 1 2 Æ Æ 4 ? f (3) 1 f (2) 5 35Para x 5 21, tem-se:(21 1 1) ? f(21) 1 f(1 2 (21)) 5 (21)3 1 (21)2 2 2 (21) 1 2 Æ 0 ? f(21) 1 f(2) 5 21 1 1 1 1 1 2 Æ Æ f(2) 5 3Assim: 4 ? f(3) 1 3 5 35 Æ 4 ? f(3) 5 32 Æ f(3) 5 8

1 2

4

f(x)

g(x)

y

x

72

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

De acordo com o enunciado:f W g 5 g W f Æ f (g(x)) 5 g(f (x)) Æ 3(ax 1 b) 1 5 5 5 a(3x 1 5) 1 b Æ 3ax 1 3b 1 5 5 3ax 1 5a 1 b ÆÆ 2b 5 5a 2 5 Æ 2b 5 5(a 2 1)

18 a

19 b

20 b

A função f não é bijetora; portanto, não possui uma inversa. A segunda afirmativa equivale à definição de função inversa.

Essa trajetória não configura uma função h(d), pois não passa no teste da vertical. Isso invalida as afirmações I e III. Independentemente de ser uma função ou não, a trajetória apresenta periodicidade, o que é umaevidência de regularidade. Isso invalida a afirmação II.A escolha de escala para os eixos coordenados segue condições de conveniência e convenção; portanto, não constitui restrição para a configuração de função.Isso invalida a afirmação IV. Finalmente, considerando o movimento do inseto decomposto em vertical e horizontal, haverá apenas um valor de altura e um de deslocamento horizontal, ambos relacionados a cada instante de tempo. Isso é necessário e suficiente para afirmar que existe uma função para cada componente do movimento em que o tempo é a variável independente.

16

17

(g W f )(x) 5 g(f(x)) 5 Ox2 2 3O ]

x2 2 3 5 2 ] x2 5 5 ] x 5 ! dll 5 2x2 1 3 5 2 ] x2 5 1 ] x 5 !1

} S 5 { ! dll 5 ; !1 } A equação tem quatro soluções, conforme representado no gráfi-co ao lado.

x2 2 3 5 0, se x < 2 dll 3 ou x > dll 3 2x2 1 3 5 0, se 2 dll 3 < x < dll 3

3

2

1

0

−1−2 −1 0 1 2

f(g(x))y

x

]

se, x 2 2 . 0, ou seja, x . 2, isto é, Df 5 {x 9 V O x . 2}. Como x 9 V e g(x) 5 O3 2 2xO 1 1, tem-se g(x) > 1,

pois, para todo real x, O3 2 2xO > 0. Nota-se que, para todo real y > 1, existe x 9 V, tal que y 5 O3 2 2xO 1 1.

Portanto, o conjunto imagem de g é Ig 5 {y 9 V O y > 1}.

Df g 5 {x 9 V O x , 1

ou x . 2}

a) Como x 9 V, tem-se x 2 2 _______ dlllll x 2 2

9 V se, e somente

b) Tem-se f(g(x)) 5 g(x) 2 2

_________ dlllllll g(x) 2 2

, com g(x) . 2.

Com x 9 V, tem-se g(x) . 2 se, e somente se: O3 2 2xO 1 1 . 2 ] O3 2 2xO . 1 ]

3 2 2x . 1, se x , 13 2 2x , 21, se x . 2

]]

14

15 f(2x) 5 O1 2 xO e f @ 2 3 x __ 2 # 5 f(x) } f(x) 5 e1 2 x __ 2

u

f(x) 5 2 ] 2 2 x _____

2 5 2

2 2 x _____ 2

5 22

S 5 {22, 6 }

a) g(3) 5 f(3 2 1) 1 1 5 f(2) 1 1 5 f @ 1 __ 2 3 4 # 1 1 5 5 1 __

2 3 f(4) 1 1 5 1 __

2 3 2 1 15 2

b) Substituindo a por 4, tem-se: f(4x) 5 4f(x) 5 xf(4) 5 x 3 2 } f(x) 5 x __

2

c) g(x) 5 8 ] f(x 2 1) 1 1 5 8 ]

Æ x 2 1 _____ 2

5 7 } x 5 15

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.ESTUDANDO Funções: conceitos básicos

Para o eNeM

Pode ser que uma ou nenhuma das pessoas do conjuntode trabalhadores seja funcionário da empresa.Nesses casos, a condição para o domínio não érespeitada e, portanto, não configura uma função.

O limite de uma cúbica para os valores da variávelindependente tendendo ao infinito cresce tambémao infinito, e isso conflita com o trecho da funçãoem que ela é constante.

Sobre o número de gatos, pode-se afirmar que nãodiminuiu em momento algum, pois nenhum gatomorreu, e somaram-se outros abandonados. Portanto, em qualquer momento analisado o número de gatosé maior do que nos momentos anteriores.

1 c

2 c

3 b

4 d

5 e

Espera-se que exista uma correspondência um a um entre o conjunto de pessoas e um conjunto de números para determinado documento. Além disso, sabe-se que o padrão de constituição da íris humana não se repete em duas pessoas, assim como o padrão de digitais e das ondas de voz. Essa propriedade permite que um número ou uma característica biológica identifique uma única pessoa, e que uma pessoa seja identificada por um único número ou característica biológica. Trata-se do mecanismo de funções bijetoras e funções inversas.

Considerando que os círculos pretos representam as regras de ortografia de uma língua e os círculos azuis,as palavras que pertencem ao mesmo código de regrasgramaticais, a alternativa e é a única que representaa relação descrita no enunciado, pois mostra que umaregra se aplica à maioria das palavras de um conjunto,mas não a todas.

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

ESTUDANDO Função afim

Para o vestibular

1 Q 5 a 3 D 1 Q08,25 5 a 3 3,6 1 Q07,25 5 a 3 2,8 1 Q0

] a 5 1,25 e Q0 5 3,75

} Q 5 1,25D 1 3,75a) Q0 5 R$ 3,75.b) Se o taxista fez 10 corridas, ele recebeu 10 vezes o va-

lor inicial Q0: 10 3 3,75 5 37,5 75 2 37,5 5 1,25D ] D 5 30 km

f(x) 5 ax 1 b780 5 a100 1 b480 5 a(250) 1 b

] a 5 2 e b 5 580

} f(x) 5 2x 1 580a) Falso. f(2100) 5 2 3 (2100) 1 580 5 380.b) Falso. f(0) 5 580.c) Verdadeiro. f(120) 5 2 3 120 1 580 5 820.

80.000 5 a 10.000 1 b120.000 5 a 20.000 1 b

] a 5 4 e b 5 40.000

Gastando R$ 10.000,00 mensais com propaganda, têm-se R$ 80.000,00 de receita; gastando 2 3 10.000 5 20.000, têm-se 80.000 1 50% de 80.000 5 120.000.y 5 ax 1 b

} y 5 4x 1 40.000a) Logo, se x 5 30.000, então y 5 4 3 30.000 1 40.000 ] ] y 5 160.000.b) y 5 4x 1 40.000.

2.700 5 q 500 1 b3.800 5 q 1.000 1 b

] q 5 11 ___ 5

5 2,2 e b 5 1.600

b) Do item a tem-se que C(x) 5 2,2x 1 1.600. Se x 5 800, então:

y 5 2,2 · 800 1 1.600 ] y 5 R$ 3.360,00.

a) y 5 qx 1 b

a) 35 5 5(F 2 32)

________ 9

] F 2 32 5 63 ] F 5 95 wF

b) F 5 2C e C 5 5(2C 2 32)

__________ 9

] 9C 5 10C 2 5 3 32 ]

] C 5 160 wC

Seja d a distância procurada. Então:19 5 4,60 1 0,96 3 d ] 0,96d 5 14,4 ] d 5 15 km.

A comissão porcentual é representada pelo coeficiente angular da reta que passa nos pontos (6.000, 1.000) e (12.000, 1.600); logo:

a 5 Sy

___ Sx

5 1.600 2 1.000 _____________ 12.000 2 6.000

5 600 _____ 6.000

5 0,1

Portanto, a proposição é falsa, pois a comissão do vende-dor não é de 20%, mas de 10%.

Sejam A(x) 5 1,4 ? x 1 3,8 e B(x) 5 2,4 ? x as funções que representam os valores cobrados em função da distância pelas empresas A e B, respectivamente. Igualando as expressões, tem-se:1,4 ? x 1 3,8 5 2,4 ? x Æ x 5 3,8Como ambas são funções crescentes, em corridas inferiores a 3.800 m a empresa B é mais vantajosa.

Seja x o preço pago pelo primeiro eletrodoméstico; então, o segundo custou 3.500 2 x.0,9x 1 0,92 ? (3.500 2 x) 5 3.170 Æ 0,9x 1 0,92 ? 3.500 2

2 0,92x 5 3.170 Æ 0,02x 5 50 Æ x 5 500,02

5 2.500

2 c

6 d

7 b

10 e

8 c

3

4

5

9

11 F V

F

F

V

P 5 aC 1 b ou y 5 ax 1 b

a 5 Sy

___ Sx

5 48 2 40 _______ 60 2 20

5 8 ___ 40

5 1 __ 5

e 40 5 1 __ 5

3 20 1 b ]

] b 5 36 } P 5 1 __ 5

C 1 36

Para C 5 100 wC, tem-se:

P 5 1 __ 5

3 100 1 36 ] P 5 56 wP

Sejam C o custo mensal de fabricação das peças, R a re-ceita mensal da venda das peças e L o lucro mensal das vendas das peças (L 5 R 2 C ):

Falso, pois a receita é R(x) 5 10x.Verdadeiro.Falso, pois L(500) 5 4 3 500 2 800 5 1.200,00.Falso, pois: L(x) 5 2.500 ] 2.500 5 4x 2 800 ]] x 5 825 unidades.Verdadeiro, pois:L(x) 5 0 ] 4x 2 800 5 0 ] x 5 800 ____

4 ]

] x 5 200 unidades.

C(x) 5 800 1 6xR(x) 5 10xL 5 R 2 C ] L(x) 5 10x 2 (800 1 6x) ]] L(x) 5 4x 2 800


Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.12 a

14 b

16 d

17 c

Seja x o valor da parcela em n pagamentos: x ? n 5 valor da geladeiraPara pagamentos em 3 parcelas, tem-se:x ? n 5 (x 1 60) ? (n 2 3) Æ xn 5 xn 2 3x 1 60n 2 180 ÆÆ 3x 5 60n 2 180 Æ x 5 20n 2 60Em 5, tem-se:x ? n 5 (x 1125) ? (n 2 5) Æ xn 5 xn 2 5x 1 1 125n 2 625 Æ 5x 5 125n 2 625 Æ x 5 25n 2 125Portanto:

x 5 20n 2 60x 5 25n 2 125

Æ 20n 2 60 5 25n 2 125 Æ{

Æ 5n 5 65 Æ n 5 13

No período considerado, o grupo I está representado por uma função estritamente crescente; o grupo II, por uma estritamente decrescente.

13 e

18 c

15

b) Se o gráfico de g é paralelo ao de f, tem-se: ag 5 af ] g(x) 5 22x 1 b Se g passa pelo ponto (23, 1), tem-se: 1 5 22 3 (23) 1 b ] b 5 25 ] g(x) 5 22x 2 5

c) Se o gráfico de g é perpendicular ao de h, tem-se:

ag 5 2 1 __ ah

] 22 5 2 1 __ ah ] ah 5

1 __ 2

] h(x) 5 1 __ 2

x 1 b

Se h passa pelo ponto (3, 8), tem-se:

8 5 1 __ 2

3 3 1 b ] b 5 13 ___ 2

] h(x) 5 1 __ 2

x 1 13 ___ 2

a) f(x) 5 22x 1 4 b 5 4 (coeficiente linear) ] corte no eixo y no ponto (0, 4) 0 5 22x 1 4 ] 22x 5 24 ] ] x 5 2 ] corte no eixo x no ponto (2, 0)

y

x

4

321–1–2 0

3

2

1

6 5 ma 1 b3 5 m2 1 b

] m 5 3 _____ a 2 2

e b 5 3a 2 12 _______ a 2 2

A reta passa pelos pontos A(2, 3) e B(a, 6), com a % 2; logo:y 5 mx 1 b

} y 5 @ 3 _____ a 2 2 # x 1 3a 2 12 _______ a 2 2 O ponto de intersecção da reta AB com o eixo x é o pon-to (x0, 0); então:

0 5 @ 3 _____ a 2 2 # x0 1 3a 2 12 _______ a 2 2 ] 0 5 3x0 1 3a 2 12 ]] x0 5

12 2 3a _______ 3

] x0 5 4 2 a

Nas condições do enunciado, os pontos (1, 70) e (3, 65) pertencem ao gráfico representado pelo grupo II.Substituindo na função y 5 ax 1 b:

Æ 2a 5 25 Æ a 5 2 52

e b 5 1452

70 5 a ? 1 1 b65 5 a ? 3 1 b

Portanto, y 5 2 52

x 1 1452

.

e) Falso, pois yA (500) 5 R$ 255,00yB (500) 5 R$ 250,00

, ou seja, é mais van-

tajoso alugar um carro na empresa B.

O gráfico do valor da locação da empresa A passa pelos pontos (0, 30) e (300, 165); logo:y 5 ax 1 b

a 5 165 2 30 ________ 300 2 0

5 135 ____ 300

5 9 ___ 20

5 0,45 e b 5 30 (corte no

a 5 250 2 50 ________ 500 2 0

5 200 ____ 500

5 2 __ 5

5 0,4 e b 5 50 (corte no eixo y)

} yA 5 0,45x 1 30O gráfico do valor da locação da empresa B passa pelos pontos (0, 50) e (500, 250); logo:y 5 ax 1 b

eixo y)

} yB 5 0,4x 1 50

a) Falso, pois a empresa A cobra 0,45 centavos por quilô-metro rodado mais uma taxa fixa de 30 reais.

b) Falso, pois a empresa B cobra uma taxa fixa de 50 reais.

c) Verdadeiro, pois yA (400) 5 R$ 210,00yB (400) 5 R$ 210,00

.

d) Falso, pois yA (300) 5 R$ 165,00yB (300) 5 R$ 170,00

, ou seja, é mais van-

tajoso alugar um carro na empresa A.

O gráfico do tipo y 5 ax 1 b passa nos pontos (22, 0) e (0, 1); logo:

a 5 Sy

___ Sx

5 1 2 0 ________ 0 2 (22)

5 12

e b 5 1 (corte no eixo y)

} a 1 b 5 12

1 1 5 32

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

a) Por n dias são cobrados 90n pela empresa A e 210 1 80n pela B. A empresa A será preferível se, e somente se, 90n , 210 1 80n, ou seja, se n , 21.

b) Seja x o valor fixo cobrado pela locadora B. Assim, a empresa B será preferível se, e somente se, 90n . x 1 80n, isto é, se x , 10n.

Logo, para que B seja preferível para n . 27, deve-se ter que, para todo n > 28, x , 10n, ou seja, x deve ser menor que R$ 280,00.

De acordo com o enunciado:

Preço de custo: R$ 600150 caixas

5 R$ 4/caixa

Lucro mínimo: Lm 5 R$ 150

150 caixas 5 R$ 1/caixa

Lucro máximo: LM 5 R$ 300

150 caixas 5 R$ 2/caixa

Preço de venda: V 5 C 1 L

1 , L , 2 Æ C 1 1 , C 1 L , C 1 2 ÆÆ 4 1 1 , V , 4 1 2 Æ 5 , V , 6

A afirmação I é falsa, pois o gráfico representa uma função estritamente decrescente.

A afirmação II é verdadeira, pois a raiz da função é igual a 1 e para valores de x maiores, f (x) , 0.

A afirmação III é falsa, pois f (2) 5 2 12

(2 2 1) 5

5 212

22.

Como cada função tem uma única lei de formação associada, a alternativa IV está correta, pois o gráfico de f passa pelos pontos (1, 0) e (−1, 1). Substituindo na função considerada pela alternativa, tem-se:

f (1) 5 2 12

(1 2 1) 5 0 e f (21) 5 2 12

(21 2 1) 5 1

20

21 d

22 e

19 a) P(0) 5 2 ? 1 1 8 ? 0 5 2No instante inicial o ponto P está a 2 m da origem.

b) P [ 32

] 5 2[1 2 32

] 1 8 ? 32

5 21 1 12 5 11

A função P(t) é estritamente crescente; então, 2 < P(t) < 11

para todo t 50, 32

6.

Agora, P [ 32

] 2 P(0) 5 11 2 2 5 9.

Assim, o segmento tem 9 m de comprimento.

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

1 c

2 a

3 b

4 a

5 e

ESTUDANDO Função afim

Para o eNeM

A lei de formação, conforme descrita no enunciado, é um caso de função linear. Isso descarta as alternativas d e e. Em uma função linear, as grandezas variam proporcionalmente. Isso descarta a alternativa b.O cálculo da densidade do material em questão é suficiente para escolher a alternativa correta.

d 5 mv 5

805 5 16 g/cm

3 Æ m 5 16v

O gráfico que tem coeficiente angular igual a 16 é o daalternativa c.

Se o início foi em 1990, então t 5 0 e tem-se:

PA (0) 5 5,2 1 0 5 5,2PB (0) 5 4,8 1 2 ? 0 5 4,8

Lembrando que as populações estão contadas em milhares de habitantes, tem-se que PA 5 5.200 e que PB 5 4.800. Portanto, o total de habitantes das duas cidades é de 10.000.

Estacionando por 5 horas em A, paga-se:4,00 1 4 ⋅ 3,00 5 16,00; e em B paga-se:8,00 1 4 ⋅ 2,00 5 16,00. Portanto, os valores são osmesmos.

A afirmação I é verdadeira.

1a parcela: R$ 350

2 5 R$ 175

2a parcela: R$ 175,00 ⋅ (1 1 0,04) 5 R$ 182,00A afirmação II também é correta.R$ 182,00 2 R$ 175,00 5 R$ 7,00A afirmação III é falsa.R$ 175,00 1 R$ 182,00 5 R$ 357,00

As afirmativas corretas são: 1, 3 e 5; portanto, a soma é 9.A afirmação 1 é verdadeira, pois o volume consideradono gráfico considera a vazão das duas torneiras.A afirmação 2 é falsa e a 3 é verdadeira, pois:V(t) 5 2.000 1 (10 − 2)t ⇒ 20.000 5 2.000 1 8t ⇒

ä t 5 18.0008

5 2.250

2.250 min : 60 5 37,5 h 30 h < 37,5 h < 40 h A afirmação 4 é falsa, pois a torneira que enche o tanque tem vazão maior do que a torneira que o escoa. Além disso, o cálculo acima mostra o tempo necessário para encher o tanque.A afirmação 5 é verdadeira, pois o gráfico descreve que a variação do volume é constante em relação ao tempo.

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

ESTUDANDO Função quadrática

Para o vestibular

A parábola tem vértice (22, 3) e passa pelo ponto (0, 5). Tem-se:y 5 a(x 2 xV)

2 1 yV ] 5 5 a[0 2 (22)]2 1 3 5 4a 1 3

] y 5 0,5x2 1 2x 1 5 ] a 5 0,5; b 5 2; c 5 5

} a 5 1 __ 2

y 5 1 __ 2

[x 2 (22)]2 1 3 5 1 __ 2

(x 1 2)2 1 3 5 x2 1 4x 1 10 ___________

2 Æ

a) 2x 1 2y 5 10 ] x 1 y 5 5 ] y 5 5 2 x Aretângulo 5 xy } A(x) 5 2x

2 1 5x

b) Amáx. para x 5 xV } xV 5 2 5 _______

2 3 (21) ] xV 5 2,5 cm

s(0) 5 0 ] c 5 0s(1) 5 32 ] a 1 b 5 32 (I)s(2) 5 128 ] 4a 1 2b 5 128 (II)Resolvendo o sistema formado pelas equações I e II,obtêm-se a 5 32 e b 5 0. Logo, s(t) 5 32t2. Assim:s(2,5) 5 32 ? (2,5)2 5 32 ? 6,25 5 200

xV 5 2(21)

______ 2 3 1 __

2 } xV 5 1 cm

Asombreada 5 x2 1

(14 1 x)(12 2 x) ______________

2 5 x2 1

(2x2 2 2x 1 168) _______________

2 5

5 x2 2 2x 1 168 ____________

2 5 1 __

2 x2 2 x 1 84

f (g(x)) 5 f ((x2 1 5x 1 3)) 5 2(x2 1 5x 1 3) 2 9 Æ Æ f (g(x)) 5 2x2 1 10x 2 3f (g(x)) 5 g(x) Æ 2x2 1 10x 2 3 5 x2 1 5x 1 3 Æ Æ x2 1 5x 2 6 5 0A soma dos valores absolutos das raízes x 5 26 e x 5 1 é 7.

x2 2 3x 1 2 5 2x 2 3x2 2 3x 1 2 5 2(2x 2 3)

|x2 2 3x 1 2| 5 |2x 2 3| Æ

• x2 2 3x 1 2 5 2x 2 3 Æ x2 2 5x 1 5 5 0• x2 2 3x 1 2 5 22x 1 3 Æ x2 2 x 2 1 5 0O produto das raízes de uma quadrática é dado por c

a.

Æ x1 ? x2 ? x3 ? x4 5 5 ? (21) 5 25x1 ? x2 5

ca 5

51

5 5

x3 ? x4 5 ca 5

211

5 21

O produto das raízes é igual a 5 ? (21) 5 25.

De acordo com o gráfico, a função tem uma raiz dupla. Assim:D 5 m2 2 4 ? (8 2 m) 5 0, ou seja, m 5 4 ou m 5 28.Para m 5 4, tem-se y 5 x2 1 4x 1 4 Æ

Æ x 5

24 √02 ? 1

5 242 5 22 5 k.

Para m 5 28, tem-se y 5 x2 2 8x 1 16 Æ

Æ x 5

2(28) √02 ? 1

5 82

5 4 5 k.

Mas k , 0. Então, m 5 4.p 5 02 1 m ? 0 1 (8 2 4) 5 4Portanto, k 1 p 5 22 1 4 5 2.

A função (x 1 2)2 é resultado de um deslocamento horizontal para a esquerda de x2. O ramo esquerdo da primeira cruza o ramo direito da segunda em um único ponto.A função x2 1 2 não toca x2, pois é resultado de um deslocamento vertical de x2, e ambas têm a mesma concavidade. Ela também não toca a função nula. Isso descarta as alternativas b e d.O gráfico de x 1 2 é resultado de um deslocamento horizontal para a esquerda da função identidade e, por isso, tem dois pontos de cruzamento com x2. Isso descarta a alternativa c.O gráfico de x 2 2 é resultado de um deslocamento horizontal para a direita da função identidade e, por isso, não tem pontos de cruzamento com (x 1 2)2. Isso descarta a alternativa e.

22x 2 1, se x > 01 2 22x, se x , 0

y 5 |22x 2 1| 5

São dois ramos de exponenciais. Gráfico número 3.

x2 2 3x 1 2, se x < 1 ou x > 22x2 1 3x 2 2, se 1 , x , 2

y 5 |x2 23x 1 2| 5

São dois ramos de parábolas. Gráfico número 4.

2 2 (x 1 1) 5 1 2 x, se x > 212 2 (2x 2 1) 5 3 1 x, se x , 21

y 5 2 2 |x 1 1| 5

São dois ramos de funções afins. Gráfico número 1.

√x, se x > 0√2x, se x , 0

y 5 √|x| 5

São dois ramos de funções inversas da quadrática x2. Gráfico número 2.

1 d 7 b

8 a

9 a

10 d

3 d

4 d

5 a

h(x) 5 [f W g](x) ? [g W f](x) 5

x2 1 14

1 14

Æ[x2 2 1

2]

2 [ 12

]1 1[5 55 5[2 2

?

Æ h [ 12

] 5 55 55 51 14

14

1

2 14

1 14

14

12

2

2

?[ [ 2 14

[22 2 14

] ? 4 5 155

5

55 55 512

14

1 12

?[ [2 14

[ [

6 a

2


Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.11

12

14

15

13

16

17

a) f(x) 5 800 1 40x 2 20x 2 x2 5 2x2 1 20x 1 800 Como a , 0, f tem valor máximo (que ocorre para xV):

xV 5 2 20 _______

2 3 (21) 5 10 } 10 lugares

b) ymáx. 5 yV 5 2(xV)2 1 20xV 1 800 5 2(10)2 1 20 3 10 1 800 ymáx. 5 900 Portanto, o faturamento máximo é de R$ 900,00.

a) Área da figura C: f(x) 5 (50 2 x)x ] f(x) 5 50x 2 x2. Se os perímetros são iguais, as áreas das figuras A,

B e C são descritas da mesma forma, ou seja, se x é uma das dimensões do retângulo A, sua área também pode ser expressa da forma 50x 2 x2. Assim:

50x 2 x2 5 400 ] x2 2 50x 1 400 5 0 } x 5 10 cm ou x 5 40 cmb) Como em f(x) 5 50x 2 x2 tem-se a . 0, a área da figu-

ra C é máxima (Amáx.) para ymáx. 5 yV. Daí:

ymáx. 5 2 S

___ 4a

5 2 502 2 4 3 (21) 3 0

_______________ 4 3 (21)

} Amáx. 5 625 cm2

t y

Hora do dia (h) Temperatura (wC)

8 20

18 20

tV yV 5 ymáx. 5 30

tV 5 8 1 18 ______

2 5 13 } vértice: (13, 30)

y 5 a(t 2 tV)2 1 yV ] 20 5 a(8 2 13)

2 1 30 ] a 5 2 2 __ 5

} y 5 2 2 __ 5

(t 2 13)2 1 30 ] y(t) 5 22t2 1 52t 2 188

________________ 5

b) y(t) 5 26,4 ] t 2 226t 1 160 5 0 ]

] t 5 10 h ou t 5 16 h

a)

2x 1 y 1 y 2 6 5 34 ] 2x 1 2y 5 40 ] y 5 20 2 xAcercado 5 x 3 y ] A(x) 5 20x 2 x

2 } Amáx. para x 5 xV

xV 5 2b

___ 2a

5 2 20 _______ 2 3 (21)

5 10

y 5 20 2 x 5 20 2 10 5 10Portanto, as dimensões do cercado são x 5 10 m e y 5 10 m.

y – 6

y

6

x xMuro

a) Representando esse triân-gulo retângulo no plano cartesiano de modo que os catetos fiquem sobre os ei-xos X e Y, as extremidades da hipotenusa são os pon-tos (20, 0) e (0, 30), que de-terminam a reta de equação Y 5 aX 1 b. Daí, tem-se:

a 1 2b 5 120 ] a 5 120 2 2bAterreno 5 ab 5 120b 2 2b

2

A maior área é o valor máximo de y 5 120b 2 2b2.

Amáx. 5 yV 5 2 S

___ 4a

5 2 1202 2 4 3 (22) 3 0

_______________ 4 3 (22)

} Amáx. 5 1.800 m2

} b < 24 dll 3 ou b > 4 dll 3 b) Nota-se que xA e xB são as raízes da função f. Daí:

AABC 5 (xB 2 xA)(0 2 yC) ______________

2 5 6 ]

122yc

5 xB 2 xA

Mas yC 5 f(0) 5 26. Daí: 12 ___ 6

5 xB 2 xA ] xB 5 2 1 xA.

Além disso: xA 3 xB 5 c __ a 5

26 ___

22 ] xA 3 xB 5 3

Substituindo xB por (2 1 xA) em xA 3 xB 5 3, tem-se:xA 3 (2 1 xA) 5 3 ] (xA)

2 1 2xA 2 3 5 0 } xA 5 1 ou xA 5 23 (não convém, pois xA . 0)Assim: xB 5 2 1 xA 5 2 1 1 ] xB 5 3

Nota-se que xV 5 xB 1 xA ______

2 e xV 5

2b ___

2a . Daí:

xB 1 xA ______

2 5

2b ___

2a ] 2 5

2b _______

2 3 (22) ] b 5 8

a) Quando S > 0, a função tem pelo menos um zero. Daí: S 5 b2 2 4 3 (22) 3 (26) > 0 ] b2 2 48 > 0

y = 0

b

y > 0 y > 0

–4 3 4 3

a

b Terreno

30 m

0 20 m

(0, 30)

(20, 0)

(y, x)

Y

y

x

X

0 = a 3 20 1 b e 30 = a 3 0 1 b ] b 5 30 e a 5 21,5 } Y 5 21,5X 1 30 Para o ponto (y, x), tem-se:

x 5 2 3 __ 2

y 1 30 ] y 5 2(30 2 x)

_________ 3

ou y 5 20 2 2 __ 3

x

Logo, x 5 15 m e y 5 10 m.

b) Acasa 5 x 3 y ] A(x) 5 20x 2 2 __ 3

x2 } Amáx. para x 5 xV

xV 5 2 20 ________

2 3 @2 2 __ 3 # 5 15 e y 5 20 2 2 __

3 x 5 20 2 2 __

3 3 15 5 10.

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

a) Pelo gráfico, conclui-se que o número de peças que torna o lucro nulo (zeros da função) é 100 ou 500.

b) Pelo gráfico, os intervalos são 0 , x , 100 ou x . 500.c) A parábola tem vértice (300, 800) e passa pelo ponto

(0, 21.000); logo: L 5 a(x 2 xV)

2 1 LV ]

] 21.000 5 a(0 2 300)3 1 800 ]

] a 5 21.800

_______ 90.000

5 2 1 ___ 50

} L 5 2(x 2 300)2

___________ 50

1 800

Para L 5 350, tem-se:

350 5 2x2 1 600x 2 50.000

__________________ 50

]

] 2x2 1 600x 2 67.500 5 0

Resolvendo a equação, tem-se x 5 150 ou x 5 450; portanto, devem ser vendidas 150 peças ou 450 peças.

b) A população inicial é 100 (para t 5 0). Daí, f(t) 5 100: 210t 2 1 20t 1 100 5 100 ] ] 210t 2 1 20t 5 0 } t 5 0 ou t 5 2 Logo, a população de insetos será igual à inicial quan-

do t 5 2, ou seja, ao final da 2a semana. c) População exterminada ] f(t) 5 0 } 210t 2 1 20t 1 100 5 0 ] t 2 2 2t 2 10 5 0 S 5 4 2 4 3 1 3 (210) 5 44 ] dll S 5 dlll 44 5 2 dlll 11

t 5 2(22) ! 2 dlll 11

_____________ 2 3 1

5 2 ! 2 dlll 11

_________ 2

5 1! dlll 11

} t 7 4,31 ou t 5 1 2 dlll 11 (não convém). Logo, a popu-lação seria exterminada entre a 4a e a 5a semana.

19

22 a

23 c

20 a

21

(x 2 2)2 , 2x 2 1 ] x2 2 4x 1 4 2 2x 1 1 , 0} x2 2 6x 1 5 , 0

} 1 , x , 5

x+ 1 – 5 +

a) xV 5 2 b ___

2a 5 2 m __

2 e yV 5 2

S ___

4a 5 8 2 m

2

______ 4

Coordenadas do vértice: @ 2m ____ 2 , 8 2m2

______ 4

# b) Como a 5 1 . 0, a concavidade da parábola é para

cima. Daí, Im(f) 5 {y 9 Voy > yV}. Logo:

{y 9 Voy > 1} - Im(f) [ yV < 1 [ 8 2 m2

_______ 4

< 1 [

[ 4 2 m2 < 0 ] m < 22 ou m > 2

c) Como a . 0 e Im(f) 5 {y 9 Voy > 1}, tem-se yV 5 1.

yV 5 8 2 m2 _______

2 ] 4 2 m2 5 0 ] m 5 22 ou m 5 2

Se f é crescente para x > 0, então xV < 0. Assim:

xV 5 2 m __ 2

< 0 ] m > 0 } m 5 2

d) Para m 5 2, f(x) 5 y 5 x2 1 2x 1 2 > 2. Daí:

y 5 (x 1 1)2 1 1 ] ! dlllll y 2 1 5 x 1 1

Como x > 0, tem-se x 5 dlllll y 2 1 2 1.

y está na imagem de f se existe x 22 e a quadrática em x, x2 1 p 5 (x 1 2)y Æ x2 2 yx 1 (p 2 2y) 5 0 admite solução real. Para tanto, é necessário e suficiente que y2 2 4(p 2 2y) > 0 Æ y2 1 8y − 4p > 0. Essa desigualdade quadrática em y tem solução para todo y real se, e somente se, 64 1 16p < 0 ou p < 24.

De acordo com o gráfico:– a parábola tem sua concavidade voltada para baixo

(a , 0);– intercepta o eixo x em 2 pontos distintos (D 5 b2 2

2 4ac . 0).

18 a) A população cresce até y 5 yV, com y 5 f(t).

yV 5 2 202 2 4 3 (210) 3 100

__________________ 4 3 (210)

5 24.400

_______ 240

5 110

tV 5 2 b ___

2a 5 2

220 ________

2 3 (210) 5 1

A partir do esboço do gráfico abaixo, pode-se con-cluir que a população de insetos cresce durante uma semana.

110100

01

f(t)

t

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

1 d 3 c

4 a

2 b

ESTUDANDO Função quadrática

Para o eNeM

Chamando de x a largura do canil, o comprimento será 1 1 10 2 x 5 11 2 x.Dessa forma, a área A será dada por: A(x) 5 (11 2 x) ? x 5 −x² 1 11x.Isso define uma função do 2-o grau, e seu gráfico tem concavidade voltada para baixo. Assim, o valor de x que

fornece área máxima é o xv 5 2b

2a 5 2

112 ? (21)

5

5 5,5. Se x 5 5,5 m, 112 x, que é o comprimento, será também 5,5 m. Logo, se Pedro construir um canil com essas dimensões (5,5 m 3 5,5 m), ele terá a maior área para seu canil.

Professor: A atividade pode ser resolvida por um método mais prático e sem o uso de equações do 2-o grau. Sabe-se que, fixado um perímetro, o quadrilátero com maior área é um quadrado.10 m de alambrado mais 1 m de portão fornecem 11 m para a construção do cercado.11 : 2 5 5,5

I. Falsa. A partir de 2.500 unidades, a empresa passa a ter prejuízo.

II. Falsa. A empresa tem lucro mantendo a produção entre 500 e 2.500 unidades.

III. Verdadeira. 1.500 é coordenada do vértice da parábola.

IV. Verdadeira. No intervalo [1.500, 2.000], a função é estritamente decrescente. Então, 1.500 , , 1.800 , 2.000 Æ f(2.000) 5 7.500 , f(1.800) , , 10.000 5 f(1.500).

V. Verdadeira. De acordo com o gráfico, f(1.000) 5 5 f(2.000).

Se o preço do carro continuar a seguir esse modelo quadrático, então, por simetria, como o preço decresceu por 30 anos (de 1970 até 2000), levará mais 30 anos (2030) para voltar ao valor inicial.

35 andares de 3 m equivalem a 105 m.Substituindo na fórmula: 105 5 4,9 ? t² Æ t² 5 105 : 4,9 Æ t² 7 21,43.Assim, t 5 √21,43. Portanto, t está entre 4 e 5 segundos.

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

ESTUDANDO Função exponencial e função logarítmica

Para o VESTIBULAR

Se L é o lucro em reais e t, o tempo em anos, tem-se:L(t) 5 109 1,2t

L(t) . 1012 ] 109 1,2t . 1012 ] 1,2t . 1.000 ]] ln (1,2t ) . ln 1.000 ] t ln 1,2 . ln 1.000 ]] t 0,182 . 6,907 ] t . 37,95Portanto: t 5 38 anos.

a) log 200 5 log 103

___ 5

] log 200 5 3 log 10 2 log 5 ]

] log 200 5 3 2 0,7 ] log 200 5 2,3 De m 2 M 5 5(21 1 log d), com d 5 200 e m 5 8,5,

tem-se: 8,5 2 M 5 5(21 1 2,3) Partindo dessa igualdade, resulta M 5 2;b) Da condição d > 100, tem-se log d > 2. Nessas condi-

ções, tem-se: 21 1 log d > 1 ] ] 5(21 1 log d) > 5 Como m 2 M 5 5(21 1 log d), tem-se m 2 M > 5, ou seja, m > M 1 5.

m

M

5

0–5

A população após n anos pode ser dada por:

] n(2 log 10 2 5 log 2 2 log 3) 5 log 2 ] ] n(2 1 2 5 0,30 2 0,48) 5 0,30 ]

P(n) 5 P(0) @ 1 1 1 ___ 24 # n

.

Partindo de P(n) 5 2 P(0), tem-se:

P(0) @ 1 1 1 ___ 24 # n

5 2 P(0) ] @ 25 ___ 24 # n

5 2 ]

] @ 100 _____ 24 4 # n

5 2 ] @ 102 _____ 25 3 # n

5 2 ] log @ 102 _____ 25 3 # n

5 log 2 ]

] n 0,02 5 0,30 ] n 5 0,30

____ 0,02

] n 515

C(5.600) 5 C0 __ 2

] C0 __ 2

5 C0 10k 5.600 ]

Substituindo (I) em (II), temos: kt 5 5 5.600k ] t 5 28.000 anos

] 1 __ 2

5 10k 3 5.600 ] log @ 1 __ 2 # 5 5.600k (I)C(t) 5

C0 ___ 32

] C0 ___ 32

5 C0 10k t ] 1 ___

32 5 10k t ]

] kt 5 log @ 1 ___ 32 # ] kt 5 log @ 1 __ 2 # 5 ] kt 5 5 log @ 1 __ 2 # (II)


1 5

6

2

3

4

a) Como a população tem taxa de crescimento de 1% ao ano, e t anos após 1o de agosto de 2000 ela será de 2 3 170 5 340 milhões, então, adotando as aproxi-mações dadas:

170(1 1 0,01)t 5 340 ] (1,01)t 5 2 ]

Pi 5 P0 @ 1 1 2,3 ____ 100 # ] Pi 5 P0 (1,023)i Então, adotando a aproximação dada: log Pi 5 log P0 (1,023)

i ] Pi x5 log P0 1 ilog (1,023) ]

] Pi x5 P0x 1 i log 10 1 ____ 100

] Pix 5 P0x 1

i ____ 100

Em particular: P5 x 2 P0 x 5 5 ____

100 5 1 ___

20 , e os pontos do

gráfico que relacionam P0x, P1x, ..., P5x com os respectivos

anos estão contidos numa reta de inclinação 1 ____ 100

.

Ano00 01 02 03 04 05

P5P4P3P2P1P0

] t 5 log @ 10 ___ 5 #

___ ______ log @ 101 ____ 100 #

] t 5 log 10 2 log 5

________________ log 101 2 log 100

]

] t 5 1 2 0,699

_________ 2,004 2 2

] t 5 301 ____ 4

anos

Portanto: t 5 75 anos e 3 meses. Ou seja, a população terá dobrado de tamanho em novembro de 2075.

b) Para i 5 0, 1, ..., 5, temos:

] log (1,01)t 5 log 2 ] t 5 log 2

_______ log 1,01

]

População

@ 10 1 4 dll 2 # log2 @ 22 @ dll 3 1 1 # @ dll 3 2 1 #

__________________ 2 dll 2 dll 2

# 55 @ 10 1 4 dll 2 # log2 @ 22 2 ______ 2 dll 2 dll 2 # 5 5 @ 10 1 4 dll 2 # E log2 23 2 @ log2 2 dll 2 1 log2 dll 2 # R 5

5 @ 10 1 4 dll 2 # E 3 log2 2 2 @ dll 2 log2 2 1 log2 2 1 __ 2 # R 5

5 @ 10 1 4 dll 2 # E 6 __ 2 2 @ 2 dll 2 1 1 ________ 2 # R 5 5 @ 10 1 4 dll 2 # @ 5 2 2 dll 2 ________ 2 # 5 17

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.7

8

9

Temos:t(x) 5 3 ] 0,01 3 20,05x 5 3 ] 20,05x 5 3 100 ]] 0,05x 5 log2 (3 10

2) ]] x 5 20[log2 3 1 2 log2 (2 5)] ]] x 5 20(log2 3 1 2 1 2 log25) ]] x 7 20(1,6 1 2 1 2 2,3) ]] x 5 164, adotando as aproximações dadas.Assim, com base na função dada, a temperatura média da Terra terá aumentado 3 wC em 2044 em relação à tem-peratura média de 1870 (1880 1 164).

] t 5 log @ 3 __ 2 #

_________

log @ 2,01 ____ 2 # ] t 5

0,4771 2 0,3010 ______________

0,3032 2 0,3010 ]

a) Em t 5 0, tem-se: C(0) 5 377,4 Em t 5 1, tem-se: C(1) 5 377,4 1,005 Em t 5 2, tem-se: C(2) 5 377,4 1,0052

Em t 5 3, tem-se: C(3) 5 377,4 1,0053

Logo: C(t) 5 377,4 (1,005)t.b) Deseja-se que C(t) 5 1,5 C(0) 5 1,5 377,4 377,4 (1,005)t 5 1,5 377,4 ] (1,005)t 5 1,5

Logo: log (1,005)t 5 log 1,5 ] t 5

log 1,5 ________

log 1,005 ]

log @ 3 __ 2 # _________

log @ 2,01 ____ 2 # ]

Portanto, o ano procurado é o de 2084.

] t 5 0,1761

______ 0,0022

] t 7 80 anos

bAplicando a propriedade da média aritmética dos termos extremos de uma PA:

Como x = 8:

a1 5 log2 x 5 log2 8 5 3a2 5 log4 4x 5 log4 4 8 5 log4 4 8 5

12

(log2 4 log2 8) 5

5 12

(23) 5 52

a3 5 log8 8x 5 log8 8 8 5 2

Então, a1 a2 a3 5 3 52

2 5 152

.

log2 x log8 (8x)2

5 log4 (4x) ä log2 x log8 (8x) 5

5 2 [log4 (4x)] ä log2 x log8 8 log23 x 5 2 (log4 4 log22 x) ä

ä log2 x113

log2 x 5 2 [1 12

log2 x] ä

ä log2 x113

log2 x 5 2 log2 x ä

ä 13

log2 x 5 1 ä log2 x 5 3 ä x 5 8

log14

x 5 log41 x; substituindo-se na inequação:

log14

x log4 7 ä log4 x log4 7 ä log4 x log4 7 5

5 log4 17

ä x 17

114

17

10 a

11 d

12 b

13 d

14

15

16

R 5 log10 [32.000 I0I0

] 5 log10 32.000 5

5 log10 25 103 5 log10 2

5 log10 103 5 5 log10 2 3

log10 10 ≃ 5 0,30 3 1 5 1,5 3 5 4,5

a) A alternativa está correta, pois representa a aplicação da propriedade do logaritmo do quociente.

b) In[ MAxi

] > 0 Æ MAxi

> e0 Æ MAxi

> 1 Æ MA > xi

para todo xi 0, tal que i 5 1, 2, ..., N.

Por ser absurda, a afirmação está incorreta, pois contraria o conceito de média.

c) De fato, xi < MA Æ xiN

< MA.

d) Se todos os valores xi forem iguais, então: MA 5 MG Æ

Æ MAMG

5 1 Æ T 5 In 1 5 0.

e) Trata-se do desenvolvimento algébrico da expressão para o cálculo do índice de Theil.

Decaimento exponencial N 5 N0 e–kt. Para t 5 5.730,

tem-se a meia-vida do isótopo, ou seja, N 5 N02

.

Calculando o decaimento para t 5 5.730, obtém-se o valor da constante k:N02

5 N0 e–k 5.730 Æ 0,5 5 e–k 5.730 Æ ln 0,5 5 –k 5.730 (In e) Æ k 7 1,2 10–4

Calculando a idade da castanheira:

0,84 N0 5 N0 e–kt Æ 0,84 5 e–kt Æ ln 0,84 5 (–kt)

ln e Æ 0,17 5 (1,2 104 t) Æ t 5 1.411 anos

log 450 5 log (32 3 5 3 10) 5 log 32 1 log 5 1 log 10 ]] 2 3 log 3 1 log 10 2 log 2 1 log 10 5 2 3 0,48 1 1 2 0,30 1 1Portanto: log 450 5 2,66.

a) 3 dlll 4,1 . 3 dll 4 5 32 5 9b) 3 dlll 4,1 5 x ] log 3 dlll 4,1 5 log x ] ] √4,1 3 log 3 = log x ] 0,48 3 2,03 = log x ] ] 0,9744 = log x ] 100,9744 = x , 101 ∴ 3 dlll 4,1 , 10

Seja V(t) o valor da dívida em reais, V0 o valor inicial da dívida, também em reais, e t o tempo em meses. Assim:V(t) 5 V0 3 1,09

t e V(t) 5 3 3 V0 55 V0 3 1,09

t ] 3 5 1,09t ] t 5 log1,09 3 ]

] t 5 In 3 ______ In 1,09

] t 7 1,08

____ 0,09

] t 7 12 meses

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

a) f(0) 5 2 3 30 1 1 5 6g(0) 5 3 3 24 2 2 3 0 5 48

Portanto, 6 bactérias do tipo I e 48 bactérias do tipo II.

A população da espécie A tem um crescimento multiplicativo. Isso se reflete em uma curva exponencial. Portanto, sua evolução corresponde ao gráfico III. A população da espécie B tem um aumento aditivo. Isso se reflete em uma curva de inclinação constante. Assim, sua evolução corresponde ao gráfico II. A população da espécie C permanece estável ao longo dos anos. Isso se reflete em uma curva horizontal. Portanto, sua evolução corresponde ao gráfico I.

3 2t 0 Æ 4 3 2t 4 Æ 1

4 3 2t 1

4 Æ

Æ P(t) 5 P04 3 2t

P04

5 0,25 P0

Então, P(t) 25% P0.

17

18 e

19 e

20 bÉ sabido que o crescimento quadrático é maior que o exponencial até ambos se igualarem e, partindo desse ponto, passa a ser menor.• F1(2) 5 2

2 96 5 100 e F2(2) 5 9 22 64 5 100

• F1(3) = 32 + 96 = 105 e F2(3) = 9 2

3 + 64 5 136Portanto, após o instante t 5 2, o crescimento populacional de B1 é menor que o de B2.

28 5 (100 20) 0,5t 20 Æ 28 5 80 0,5t 20 Æ Æ 8 5 80 0,5t Æ 0,1 5 0,5t ÆÆ log 0,1 5 log 0,5t Æ log 10 5 t log 0,5 Æ

Æ t 5 log 10log 21

5 log 10log 2

5 log2 10 Æ

Æ 8 10 16 Æ 23 10 24 Æ log2 23 log2 10 log2 2

4 Æ 3 t 4

Substitui-se f(x) por x e x por g(x) 5 f 1(x):

f(x) 5 9 e 1 Æ x 5 9 e 1 Æ x 1

9 5 e Æ

Æ In [x 19

] 5 g(x)3

Æ 3 In [x 19

] 5 g(x) Æ

Æ g(x) 5 In [x 19

]3

5 In[ 9x 1

]3

x3

g(x)3

g(x)3

21 a

22 c

48

24

18

12

6

0

y

f(t)

g(t)

(horas)1 x

b)

f(t) 5 g(t) ] 2 3 3t 1 1 5 3 3 24 2 2t ] 2 3 3 3 3t 5 3 3 24

___ 22t

]

3t 5 23

____ (22) t

] (3 3 22)t 5 23 ] t 5 log (3 3 2 2 )

23 ]

] t 5 log 23

_________ log (3 3 22)

] t 5 3 3 0,30

_____________ 0,47 1 2 3 0,30

]

] t 5 0,90

____ 1,07

] t 7 0,8411

Ou seja, após cerca de 50 min e 28 s.

c)

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

A diferença de intensidade desses dois terremotos é de 2 unidades na escala Richter. A amplitude sísmica do primeiro foi 100 vezes maior do que a do segundo.

De fato, o crescimento acentuado é uma característica das curvas exponenciais; além disso, o número de bactérias em uma colônia sempre é representado por um número natural e, portanto, trata-se de um conjunto discreto. As funções de R em R são usadas como modelos para o estudo das populações, e isso é permitido pelo uso de hipóteses de aproximação.

log 140 5 log (2 7 10) 5 log 2 log 7 log 10 5 5 0,301 0,845 1 5 2,146

ESTUDANDO Função exponencial e função logarítmica

Para o ENEM

1 d

2 c

3 c

4 dI. Falsa. Funções inversas não são usadas para representar casos de decrescimento. São usadas em contextos de composição de funções.II. Falsa. Idem ao comentário da afirmação I.III. Verdadeira. A afirmação questiona a continuidade do conjunto imagem da função, que, de fato, como não existe, solicita a escolha de modelos de funções contínuas para estudar a relação de dependência entre as variáveis.IV. Verdadeira. O gráfico não mostra o processo de desintegração até o fim.V. Falsa. O fato de alguns elementos terem meia- -vida de bilhões de anos torna necessário o uso de escala adequada para a representação gráfica, mas o processo como um todo ainda é passível de descrição por um exponencial. Não se deve confundir a escala temporal de ocorrência do fenômeno com a taxa de variação da curva.

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

ESTUDANDO Sequências numéricas, progressões aritméticas e geométricas

Para o VESTIBULAR

Se a é o lado do quadrado, d sua diagonal e A sua área, tem-se a PA (a, d, A), ou seja (a, a dll 2 , a2). Logo, se r é a razão da PA:r 5 a2 2 a dll 2 5 a dll 2 2 a ] a2 2 2a dll 2 1 a 5 0 ]] a(a 2 2 dll 2 1 1) 5 0 ] a 5 0 (não convém) ou a 5 (2 dll 2 2 1)

a) Tem-se a situação: 1 1 1 2 5 3 1 1 2 1 3 5 6 1 1 2 1 ... 1 n 5

(a1 1 an) 3 n __________ 2

5 (1 1 n) 3 n

_________ 2

5 n2 1 n ______

2

b) Sendo an21 e an (n . 1) dois termos consecutivos da sequência (an):

an 2 1 1 an 5 [(n 2 1)2 1 (n 2 1)]

_________________ 2

1 n2 1 n ______

2 5 2n

2

___ 2

5 n2

Os ângulos formam uma PA em que a1 5 30w e r 5 30w; logo:a458 5 30 1 (458 2 1) 3 30 ] a458 5 13.740w

Portanto: cos 13.740w 5 cos 60w 5 1 __ 2

.

(II) em (I): 2d 1 d 5 180w ] d 5 60w

a)a 1 d 1 D 5 180w (I)d 2 a 5 D 2 d ] 2d 5 a 1 D (II)

A sequência de camadas de moedas é (1, 6, 12, 18, ..., 84). A partir da 2a camada, a sequência forma uma PA em que a1 5 6, a razão 5 6 e an 5 84; logo:84 5 6 1 (n 2 1) 3 6 ] n 5 14

Sn 5 (6 1 84) 3 14

___________ 2

] Sn 5 90 3 14 ______

2 ] Sn 5 630

Portanto, a quantidade de moedas será igual a 631 moe-das (630 1 1), e, assim, R$ 63,10.

Pela lei dos cossenos, tem-se: b2 5 a2 1 (2a)2 2 2 3 a 3 2a 3 cos 60w ]

] b2 5 3a2 ] b 5 a dll 3 Pela lei dos senos, tem-se:

sen d

_____ b

5 sen D

_____ c ] dll 3

___ 2

___

dll 3 5

sen D _____

2 ] sen D 5 1 ] D 5 90w

Portanto: a 5 30w.

b) a 5 c __ 2

] c 5 2a

c = 2aad

Da

b

5 250 3 5.050 5 1.262.500.

Além disso: b1 1 bn 2 1 5 a1 1 a2 _______

2 1

an 2 1 1 an _________ 2

5

5 2(a1 1 an) _________

2 5 a1 1 an

Sejam S1, ..., Sn as somas referentes a cada camada, com Sk representando a soma da camada composta por k tijolos,

k 5 1, ..., 100. Nota-se que Sk 5 k(a1 1 an) _________

2 .

Logo: S1 1 S2 1 ... 1 S100 5 (a1 1 an) ________

2 1

2(a1 1 an) _________ 2

1 ... 1

1 100(a1 1 an) ___________

2 5

(a1 1 an) ________ 2

(1 1 2 1 ... 1 100)

Assim: S1 1 S2 1 ... 1 S100 5 (10 1 490)

_________ 2

3 (1 1 100) 3 100

_____________ 2

5

Seja (a1, ..., an) uma PA de razão r e (b1, ..., bn 2 1), dada por

Ou seja, a sequência (b1, ..., bn 2 1) é uma progressão arit-mética de razão r.

bk 5 ak 1 ak 1 1 _________

2 . Então: bk 2 bk 2 1 5

ak 1 1 2 ak 2 1 ____________ 2

5 r

Sn 5 C(n) 5 {10s 1 [10s 1 (n 2 1) 3 0,2s]} 3 n

____________________________ 2

]

] C(n) 5 0,1sn2 1 9,9 sn

Sendo 2sr o comprimento de cada camada de tecido e o tubo cilíndrico com raio igual a 5 cm, tem-se:comprimento da 1a camada de tecido: 2s 3 5 5 10scomprimento da 2a camada de tecido: 2s 3 (5 1 0,1) 5 10,2sLogo, os comprimentos das camadas de tecido formam uma PA (10s; 10,2s; 10,4s; 10,6s; ...), cuja razão é 0,2s.Portanto:

1 6

7

8

9

2

3

a)

b) S 5 f(1) 1 f(2) 1...1 f(199) 1 f(200) ] S 5 22 1 1 1 1 4 1 7 1 ... 1 592 1 595.

Portanto, os termos da soma S formam uma PA de ra-zão 3, a1 5 22 e a200 5 595:

S200 5 (22 1 595) 3 200

_______________ 2

5 593 3 100 5 59.300

yf

12 3 4

7

4321

–2

x

4

5

a) As figuras são compostas de quadrados cujos lados têm a medida de 1 palito e, a partir da figura 2, a figura n é obtida acrescentando-se (n 2 1) 3 2 quadrados à figura 1.

Portanto, para formar a figura n é Fn 5 4 3 [11 (n 2 1) 3 2] 5 8n 2 4, para n > 1, e, sendo

assim, F10 5 8 3 10 2 4 5 76.b) Ao exibir concomitantemente todas as primeiras 50

figuras, são necessários (8 3 1 2 4) 1 (8 3 2 2 4) 1 1 (8 3 3 2 4) 1 ... 1 (8 3 50 2 4) palitos de fósforo.

Observando que, anteriormente, havia a soma de uma PA com a1 5 4 e a50 5 396, o número de palitos

de fósforo será (4 1 396) 3 50

____________ 2

5 10.000.


Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.10 Nenhum dos dois escolheu a opção correta. Observe

que os caminhos 1 e 2 têm os mesmos comprimentos. De fato, traçando-se as paralelas indicadas na figura abaixo, obtém-se:• A0 A1 A2 A3 A4 A5 ... A10 A11 A0C2• A1 A2 A3 A4 A5 A6 ... A11 A12 C2 A12

Por outro lado, prolongando o segmento B1C1, obtém-se D, tal que:

B1C2 C2D B1C1 C1D e C1D DB2 C1B2

Logo:

B1C2 C2B2 B1C2 C2D DB2 B1C1 C1D DB2

B1C1 C1B2Portanto, o caminho mais curto é o da opção 3.

C2

C1

B2B1

A3A1 A5 A7 A9 A11

A4A2 A6 A8 A10 A12A0

C2

C1

B2B1

A12A0

D

11 e

12 e

13 a

14

15

M20

(a1 … a20)20

(a1 a20) 202 40 ä a1 a20 8020

a2 a192

a1 a202

802

40

M18 (a2 … a19)

18

(a2 a19) 182 a2 a19

218

Subtraindo-se a1 e a20 , tem-se:

Utilizando-se a propriedade dos termos equidistantes da PA, tem-se:

Observa-se que o número de barras aumenta de dois em dois na sequência. A sequência de barras na ordem configura uma PA de primeiro termo 3 e razão 2. As-sim, N = anan a1 (n 1) 2 3 2n 2 2n 1

a1 a2 a3 a4 a5

7 ä 7 (a1 a2) a3 a4 a5 .

De acordo com o enunciado, tem-se uma PA de 5 ter-mos e uma relação entre seus termos:

a1 a2 a3 a4 a5 100 e

• 7 (a1 a2 a3 a4 a5) 7100 ä 7 (a1 a5) 7 (a3 a4 a5) 700 ä a3 a4 a5 7 (a3 a4 a5) 700 ä 8 (a3 a4 a5) 700 ä

ä a3 a4 a5 700

8 ä

ä 12

(a3 a4 a5) 12

175

2 ä 1

2 (a3 a5)

a42

175

4 ä a4

a42

175

4 ä a4

1756

• 12

(a1 a2 a3 a4 a5) 12

100 ä a1 a52

a32

a2 a4

2

1002

ä a3 a32

a3 100

2 ä a3 20

• a3 a4 a5 175

2 ä 20 175

6 a5

1752

ä

ä a5 175

2 [ 3

3] 20 [ 6

6]

1756

175 120

6

230

6 ä a5

1153

A parte maior da divisão é representada pelo termo a5.

a) O percurso de uma meia-volta é igual à metade do percurso da meia-volta anterior, portanto, formam PG

de razão 1 __ 2

.

1.000 3 @ 1 __ 2 #

9 2 1 ________

1 __ 2

2 1 7 1.996 metros. Assim, o atleta

b) A distância desejada é igual a:

1.000 2 1.000 3 1 __ 2

1 1.000 3 1 __ 22

2 1.000 3 1 __ 23

1 ... 5

5 1.000 _________ 1 2 @2 1 __ 2 #

5 2.000 _____ 3

metros

percorreu 1.000 3 @ 1 __ 2 #

9 2 1 ________

1 __ 2

2 1 5 2.000 @ 1 2 1 __ 29 # 7 1.996

1 3 E @ 1 __ 2 # n

2 1 R _____________

1 __ 2

2 1 . 8.191 _____

4.096 ] 2 @1 2 1 __ 2n # . 8.191 _____ 4.096 ]

] 2 1 __ 2n

. 8.191 _____ 8.192

2 1 ] 1 __ 2n

, 2 1 _____ 8.192

]

] 22n , 1 ___ 213

] 2n , 213 ] n . 13

Portanto, o menor inteiro positivo que satisfaz a desi-gualdade é 14.

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

Os valores de 12 depósitos seguidos formam uma PG de razão 2.

Somando-se estes 12 pagamentos, tem-se:

S12 1 (212 1)

2 1 4.095

A cada ano serão depositados R$ 4.095,00. Em 21 anos:

21 4.095 85.995

a4 5 a1 3 q4 2 1 ] 800 5 6.400 3 q3 ] q3 5 1 __

8 ] q 5 1 __

2

Portanto, S4 5

6.400 3 E @ 1 __ 2 # 4

2 1 R ________________

1 __ 2

2 1 ] S4 5

192.000 _______ 16

]

] S4 5 12.000

Portanto, o valor da dívida é R$ 12.000,00.

Se a razão da PG é tal que 1 , q , 1, então Sn

a11 q

Como a1 100 e q 12

, então: Sn 100

200

1 [ ]12

PG: (√2 , a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, 16√2 )

a1 √2 e a9 16√2 a9 a1 q

8 Æ 16√2 √2 q8 Æ 16 q8 Æ q √2 PG: (√2 , 2, 2√2 , 4, 4√2 , 8, 8√2 , 16, 16√2 )A soma procurada é: 2 4 8 16 30.

Realizar essas operações repetidas vezes pode gerar:• uma PA de razão 3; nesse caso, o resultado da

diferença entre a alternativa correta e 1 deve ser um múltiplo de 3.

• uma PA de razão −6; não poderia ser, pois nenhuma das alternativas é um número negativo.

• uma PG de razão 4; nesse caso, a alternativa correta seria uma potência de 4.

• uma PG de razão 7; semelhantemente, a alternativa correta seria uma potência de 7.De fato: 2.008 1 2.007 3 669Ou seja, 2.007 é um múltiplo de 3.

Trata-se de uma PG decrescente de razão 1 , q , 1:

Sn a1

1 q Æ 42 7

1 q Æ 42 42q 7 Æ q 5

6

Como a colônia de bactérias dobra de tamanho a cada 10 minutos, o crescimento dessa colônia será definido por uma PG em que o primeiro termo é 25 [ufc/mL] e a razão é 2. Calcula-se n tal que an , 100.000.an a1 q

n 1 , 100.000 Æ 25 2n 1 , 100.000 Æ

Æ 2n 1 , 100.00025

Æ 2n 1 , 4.000 , 4.096 2¹²

Æ n 1 , 12 Æ n , 13

Se a colônia tiver 12 oportunidades de se reproduzir, precisará de 12 10 min 120 min para isso.• a13 25 4.096 102.400 100.000Analogamente, se tiver 11, precisará de 110 min.• a12 25 2¹¹ 51.200 , 100.000Como o exame de diagnóstico precisa de 30 min e 110 min , t , 120 min, então o tempo que o médico tem para administrar a medicação está representado no intervalo 80 min , t 30 , 90 min.

a1 x, a2 x2

, a3 x4

, ..., a6 48

a6 48 x [12

]5 ä x 48 32

S8 x 255128

(48 32) 255128

3.060

Sn a1 (1q

n)1 q

Æ S8 x x 1

1

[ ][ [ ]

[

]8

]

12

255256

x 255128

12

12

16

17 d

18 a

19 e

20 c

21 d

22 b

23 e

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

1 e 4 b

5 c

2 b

3 a

ESTUDANDO Sequências numéricas, progressões aritméticas e geométricas

Para o ENEM

Se escritas em ordem crescente as porcentagens de 2004, 2005 e 2007, tem-se: 98,07 , 98,12 , 98,17.De fato, 98,07 0,05 98,12 e 98,12 0,05 98,17. Portanto, nessa ordem configuram uma PA.

A sequência de cavalos é: a1 = 1, a2 3, a3 5, ...an 1 (n 1) 2 1 2n 2 2n 1Com isso é possível calcular a posição do cavalo 13:2n 1 13 Æ 2n 14 Æ n 7 Æ a7 13Se o a7 é oposto ao a3, então o a6 é oposto ao a2 e o a5 está de frente para o a1.Logo, a5 2 5 1 10 1 9.

Os seguintes pares representam cavalos opostos no carrossel: (a5, a1), (a6, a2), (a7, a3), (a8, a4).Como a5 já apareceu na primeira linha, não é possível ter o próximo par (a9 e a5). Logo, há apenas 8 cavalos.

2015 1990 25Como o primeiro termo representa o ano de 1990, 2015 representará o 26o.Usando o termo geral da PA, em 2015: a26 a1 25r 5% (o último termo é metade do primeiro) 10% 25r 5% Æ 25r 5% 10% 5% Æ

Æ r 5%25

0,2%

De 1990 até 2012 se passaram 22 anos, então:10% 22 (0,2%) 10% 4,4% 5,6%

Observa-se que o padrão de formação dessa sequência é a repetição da unidade nas duas primeiras posições e, a partir da terceira posição, cada termo é a soma dos dois termos anteriores. Logo:an an 1 an 2, para n 2.

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

ESTUDANDO Razões, proporções e porcentagens

Para o vestibular

Se V é o volume da caixa-d’água, em m3, temos:

Vazão (A) 5 V __ 5

m3/h e Vazão (B) 5 V ___ 7,5

m3/h

Vazão (A 1 B): V __ 5

1 V ___ 7,5

5 3V 1 2V _______ 15

5 5V ___ 15

5 V __ 3

m3/h

Calculando o volume na caixa-d’água na primeira 1,5 h, tem-se:

V __ 5

5 x ___ 1,5

] x 5 1,5V

____ 5

5 0,3V; portanto, faltam V 2 0,3V 5 0,7V

para completar o volume total da caixa-d’água.

Logo: V __ 3

5 0,7V

____ t ] t 5 2,1h

Assim: 7 1 1,5 1 2,1 5 10,6 h. Como 0,6 h corresponde a 36 min, as bombas terminaram de encher totalmente a caixa às 10h36min da manhã.

a) Para a produção do fertilizante F1, em cada 8 par-tes desse fertilizante 5 são do produto P e 3 são do

produto Q; logo, 5 __ 8

são de P e 3 __ 8

são de Q. Portanto:

3 __ 8

de 260 5 3 __ 8

# 260 5 97,5 litros do produto Q.

b) Composição errada:

Substituindo (II) em (I), vem:

1.760 1 5 __ 8

x 5 7 __ 9

3 9 __ 2

@ 440 1 3 __ 8 x # ]] 1.760 1 5 __

8 x 5 7 __

2 @ 3.520 1 3x __________ 8 # ]

] 28.160 1 10x 5 24.640 1 21x ]] 11x 5 3.520 ] x 5 320 litros. Portanto, devem ser acrescentados à mistura 320 li-tros do fertilizante F1.

80% de 2.200 5 1.760 litros de P20% de 2.200 5 440 litros de Q

Seja x a quantidade de F1 a ser acrescentada à mistura e y a quantidade total da mistura (y 5 2.200 1 x), tem-se:

1.760 1 5 __ 8

x 5 7 __ 9

y (I)

440 1 3 __ 8

x 5 2 __ 9

y ] y 5 9 __ 2

@ 440 1 3 __ 8 x # (II)

A substância X é composta (volume) de 2 ___ 10

de A, 3 ___ 10

de B

e 5 ___ 10

de C.

E as massas dos elementos A, B e C obedecem às re-

x 5 X __ C

5 2 ___ 10

3 3C 1 3 ___ 10

3 2C 1 5 ___ 10

3 C _______________________

C 5

5 6C 1 6C 1 5C ____________

10

____________ C

5 17C ____ 10

3 1 __ C

5 17 ___ 10

5 1,7

lações: A 5 3CB 5 2C

a) 8 1 5 1 7 5 20; logo, uma pessoa receberá 8 ___ 20

de 1.280,

a outra, 5 ___ 20

de 1.280 e a terceira, 7 ___ 20

de 1.280, ou seja,

R$ 512,00, R$ 320,00 e R$ 448,00, respectivamente.

b) 1 __ 5

1 1 __ 2

1 1 ___ 10

5 2 1 5 1 1 _________ 10

5 8 ___ 10

; logo, uma pessoa re-

ceberá 1 __ 5

___

8 ___ 10

5 1 __

4 de 1.280, a outra,

1 __ 2

___

8 ___ 10

5 5 __

8 de 1.280

e a terceira, 1 ___ 10

___

8 ___ 10

5 1 __

8 de 1.280, ou seja, R$ 320,00,

R$ 800,00 e R$ 160,00, respectivamente.

a) A distância entre Paraguaçu e Piripiri é de 47 2 13 5 34 km. Entre essas duas cidades há oito espaços de 1 cm cada. Logo, 1 cm no mapa corresponde à distância de

34 ___ 8

5 4,25 km 5 425.000 cm, ou seja, a escala do

mapa apresentado é 1 4 425.000. b) Medindo-se a partir do ponto do início da estrada, o

posto se encontra no quilômetro 13 1 5 3 4,25 5 34,25.c) A distância entre essas duas cidades é

tância entre elas na folha será de 3.400.000 _________ 500.000

5 6,8 cm.

34 km 5 3.400.000 cm. Usando a escala 1 4 500.000, a dis-

No intervalo de 700 dias entre os alinhamentos, o pla-

neta A percorreu 700 ____ 300

5 2 1 1 __ 3

voltas em torno de x, de

modo que J corresponde a 1 __ 3

de volta.

Assim, B percorreu 1 1 1 __ 3

5 4 __ 3

de volta durante os mes-

mos 700 dias e, portanto, o ano de B tem 700 ____

4 ____

3 5 525 dias

terrestres.


1 4

5

6

2

3

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

x 1 y 1 z 5 310

x12

5 y13

5 z15

Æ x12

5 y13

5 z15

5

5 x 1 y 1 z

12

13

15

1 1

5 3103130

x12

5 3103130

Æ x 5 150, y13

5 3103130

Æ y 5 100 e

z15

5 3103130

Æ z 5 60

9

11

13 c

14 d

16 a

17 c

12 a

7 c

8 aPorcentual de votos do candidato X: 75% de 75% 5 0,75 # 0,75 5 0,5625 5 56,25% dos vo-tos. Como 56,25% é maior que 50%, então o candidato X ganha as eleições no primeiro turno.

47 # 40% 5 18,8 gramas. Na fabricação do pão foram perdidos 47 2 35 5 12 gramas. Fazendo-se a proporção:18,8 p 100% 12 p x

] 18,8x 5 1.200% ] x 7 63,8%

Portanto, evaporou-se aproximadamente 63,8% da água contida na massa inicial desse pão.

10 Dos 25.000 litros de água consumidos na residência, 25% foram destinados à higiene pessoal. Ou seja, 0,25 # 25.000 5 6.250 litros. Outros 33% foram consumidos com a descarga do ba-nheiro, ou seja, 0,33 # 25.000 5 8.250 litros. A adoles-cente foi responsável por 40% desse consumo. Assim, ela consumiu 0,40 # 6.250 5 2.500 litros com higiene pes-soal e 0,40 # 8.250 5 3.300 litros com o uso da descarga, totalizando um consumo de 5.800 litros.

Sejam R a receita da empresa, T os gastos com a conta telefônica e E os gastos com energia elétrica. Assim:

T 1 E 5 0,15R T 1 E 5 0,15R0,5T 5 1.000 ] T 5 2.000 ]0,05R 5 1.000 R 5 20.000

] T 1 E 5 0,15R ] 2.000 1 E 5 0,15 3 20.000 ] E 5 1.000Portanto, a empresa gasta R$ 1.000,00 com a conta de energia elétrica.

O 0,002% da população do estado de Rondônia corres-ponde a:

1.050.000 ? [ 0,002100

] 5 21

Seja V a capacidade da primeira garrafa. A capacidade da segunda garrafa será 2V e a da terceira garrafa, 3V.

Conteúdo do produto A na primeira garrafa: 23

V.

Conteúdo do produto A na segunda garrafa: 35

? 2 V.

Conteúdo de A na terceira garrafa: 23

V 1 65

V 5 2815

V.

Portanto, a fração do produto A na terceira garrafa é:

[2815 ] V

3 V2845

5 .

Consumo de álcool: 350 kmkmL

7

5 50 L.

Gasto total com álcool: 50 ? 2,05 5 102,5.

Consumo de gasolina: 350 kmkmL

10

5 35 L.

Gasto total com gasolina: 35 ? 2,68 5 93,8102,5 − 93,8 5 8,7Houve uma economia de R$ 8,70.

37 L ? x259 km

5 34 L ? R$ 2,20374 km

Æ x 5 R$ 1,40

15 e

Cálculo da quantidade de nitrato em 12.000 L de água que apresenta concentração de 15 mg/L:15 mg

x 5 1 L

12.000 L Æ x 5 180.000 mg

Cálculo do volume de água ideal para essa quantidade de nitrato:

10 mg180.000 mg

5 1 Ly

Æ y 5 18.000 L

Diferença entre o volume ideal e o do reservatório:18.000 L − 12.000 L 5 6.000 L

E1 5 44,5100

? 400.744 5 178.331,08

E2 5 71,3100

? 1.457.000 5 1.038.841,00

E2E1

5 1.038.841,00178.331,08

7 5,82

E2 5 5,82E1 5 E1 1 E1 ? 4,82 5 E1 1 482% ? E1

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

(01) Correta.Fabiano tem x bezerros e y cabritos:

0,04 ? x4

1 0,03 ? y3

5 400.000 Æ 4

100 ?

x4

1 3

100 ?

? y3

5 400.000 Æ 0,01 ? x 1 0,01 ? y 5 400.000 Æ

Æ 0,01 ? (x 1 y) 5 400.000 Æ x 1 y 5 40.000.000

(02) Incorreta.20% ? 53.000 5 10.600 3.600

(04) Incorreta.j 5 800.000 ? 0,05 ? 6 5 800.000 ?

5100

? 6 5 8.000 ? 5 ? ? 6 5 240.000 20.000

(08) Correta.Um valor x sofre um aumento inflacionário de 700%:

x 1 700% ? x 5 x 1 700x100

5 x 1 7x 5 8x

Aplicando a fórmula de juros compostos com inflação de 20% a.m.:8x 5 x ? (1 1 0,2)t Æ 8 5 1,2t Æ 23 5 1,2tAplicando-se log aos dois membros da equação:3 ? log 2 5 t ? (log 12 – log 10) Æ Æ 3 ? log 2 5 t ? [log(22 ? 3) – log 10] ÆÆ 3 ? log 2 5 t ? [2 ? log 2 1 log 3 – log 10] Æ Æ 3 ? 0,301 5 t ? [2 ? 0,301 1 0,477 – 1] ÆÆ 0,903 5 t ? 0,079 Æ t 7 11,43 meses

18 Soma: 01 1 08 5 9

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.ESTUDANDO Razões, proporções e porcentagens

Para o eNeM

Seja y o volume do cubo que se deseja construir e k o valor do ajuste na aresta feito pelo maquinário. Então:• y 5 2x3 5 (x 1 kx)3 Æ 2x3 5 (1 1 k)3x3 Æ

Æ 2 5 (1 1 k)3 Æ

Æ k 5 3√2 2 1 5 1,23 2 1 55 0,23

•0,237 0,25 5 14

Investidor A: 6 ? R$ 250,00 5 R$ 1.500,00Investidor B: 8 ? R$ 150,00 5 R$ 1.200,00Total investido por A e B juntos 5 R$ 2.700,00Sabendo que a administração distribui os rendimentos de forma proporcional às quantias investidas por cada membro:

A1.500

5 B

1.200 Æ

A 1 B1.500 1 1.200

5 100

2.700 5

A1.500

5

5 B

1.200

A 1 B 5 100

1002.700

5 A

1.500 Æ A 7 R$ 55,55

1002.700

5 B

1.200 Æ B 7 R$ 44,44

1 c 3 e

2 a

De acordo com o enunciado, x é o valor inicial de operação ou depósito 1:

x 5 1.500 1 35 x100

1 250 1 20 x100

1 500 Æ

Æ 45 x100

5 2.250 Æ x 5 5.000

Saque 2 ou operação 3: 35% do valor inicial de operação: 35% ? 5.000 5 1.750Saque 4 ou operação 5: 20% do valor inicial de operação 5 20% ? 5.000 5 5 1.000

Operação Transação Valor sacado1 Depósito 1 R$ 5.000,002 Saque 1 R$ 1.500,003 Saque 2 R$ 1.750,004 Saque 3 R$ 250,005 Saque 4 R$ 1.000,006 Saque 5 R$ 500,007 (saldo zero)

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

ESTUDANDO Tópicos da matemática financeira

Para o vestibulaR

Fazendo a proporção:

600 mL p R$ 1,80500 mL p x ] 600x 5 500 ? 1,8 ] x 5

900 ____ 600

] x 5 1,5

O refrigerante de 500 mL deveria ser vendido por R$ 1,50, ou seja, houve aumento.

Percentual do aumento: 1,65 2 1,50

__________ 1,50

5 0,15

____ 1,50

5 0,10 ou 10%.

(21.600 2 P) ? 15% 5 1.620 ]] (21.600 2 P) ? 0,15 5 1.620 ] 3.240 2 0,15P 5 1.620 ]

] P 5 3.240 2 1.620 ____________ 0,15

] P 5 10.800,00

30% de R$ 50.000 5 R$ 15.000. O saldo será R$ 50.000 2 R$ 15.000 5 R$ 35.000.Logo, Denise teria pago R$ 47.600 2 R$ 35.000 5 R$ 12.600 de juros nos seis meses, ou seja, R$ 2.100 de juros por

mês. Portanto, a taxa mensal de juros seria 2.100 ______ 35.000

5 0,06 5 6%.

R$ 15.000 1 R$ 47.600 5 R$ 62.600R$ 62.600 ? 20% 5 R$ 12.520 (lucro)Portanto, a porcentagem de lucro sobre o preço à vista é

de 12.520 ______ 50.000

5 0,2504 7 25%.

[(1.000 ? 1,05) ? 0,9] ? 1,05 5 1.000 ? 0,99225 5 992,25

Soma: 01 1 02 5 3No primeiro empréstimo:• 6.200 2 5.000 5 1.200• 1.200 : 5.000 5 0,24Os juros foram de R$ 1.200,00, que correspondem a 24% do capital.24% : 2% 5 12Ou seja, 2% a.m. de juros simples aplicados em 12 meses.No segundo empréstimo:• 3.300 2 2.500 5 800• 800 : 2.500 5 0,32Os juros foram de R$ 800,00, que correspondem a 32% do capital.32% : 8 5 4%Ou seja, 4% a.m. de juros simples aplicados em 8 meses.Portanto:(01) Verdadeira (12 meses 5 1 ano).(02) Verdadeira (4% ao mês, 12 meses 5 4 ? 12 5 48% ao ano).(04) Falsa (4% . 2%).(08) Falsa (o valor dos juros foi de R$1.200,00).

A juros compostos, o montante é dado por: M 5 C ? ? (1 1 i )n. De acordo com a condição do enunciado, o montante deve ser 80% superior ao capital. Então:1,8C 5 C ? 1,08n Æ 1,08n 5 1,8 ]

] n 5 log1,081,8 5 log1,8

log1,08 ] n 5

0,2550,035

7,29

Portanto, serão necessários, aproximadamente, 7 anos e 3,5 meses.

• Montante após 1 ano: M 5 10.000 1 0,1 ? 10.000 5 11.000 Saldo após o 1-o pagamento: 11.000 2 3.000 5 8.000• Montante após 2 anos: M 5 8.000 1 0,1 ? 8.000 5

5 8.800 Saldo após o 2-o pagamento: 8.800 2 4.000 5 4.800• Montante após 3 anos:

M 5 4.800 1 0,1 ? 4.800 5 5.280Logo, a 3-a parcela foi de R$ 5.280,00.

Seja V o valor do carro novo. Após n anos seu valor será 0,25V. Como a taxa de desvalorização anual é de 20%, tem-se:0,25V 5 V ? (1 2 0,20)n Æ n 5 log0,80,25 ]

Æ n 5 log 810

14

5 log222

log23 2 log10 5

22 ? 0,33 ? 0,3 2 1

5 6

Documents

ESTUDANDO Introdução à teoria dos conjuntos e …...Rerouão roibia Art o io eal e ei e e evereiro e 998. ESTUDANDO Introdução à teoria dos conjuntos e conjuntos numéricos Para