ESTUDO DOS MODOS SIMÉTRICOS DE UM JATO PLANO

EXCITADO ACUSTICAMENTE

Roberto Barreto de Moraes

Tese de Doutorado apresentada ao Programa de

Pós-graduação em Engenharia Mecânica,

COPPE, da Universidade Federal do Rio de

Janeiro, como parte dos requisitos necessários à

obtenção do título de Doutor em Engenharia

Mecânica.

Orientadores: Ricardo Eduardo Musafir

Benoît Fabre

Rio de Janeiro

Janeiro de 2015

ESTUDO DOS MODOS SIMÉTRICOS DE UM JATO PLANO

EXCITADO ACUSTICAMENTE

Roberto Barreto de Moraes

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO LUIZ

COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA (COPPE) DA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS

REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE DOUTOR EM

CIÊNCIAS EM ENGENHARIA MECÂNICA.

Examinada por:

______________________________________________

Prof. Ricardo Eduardo Musafir, D. Sc.

______________________________________________

Prof. Fernando Augusto de Noronha Castro Pinto, Dr.Ing.

______________________________________________

Prof. Jules Ghislain Slama, D. Sc.

______________________________________________

Prof. José Paulo Soares de Azevedo, Ph.D.

______________________________________________

Prof. Andrey Ricardo da Silva, Ph.D.

RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL

JANEIRO DE 2015

iii

Moraes, Roberto Barreto de

Estudo dos modos simétricos de um jato plano

excitado acusticamente/ Roberto Barreto de Moraes. –

Rio de Janeiro: UFRJ/COPPE, 2015

VIII, 103 p. 29,7 cm

Orientadores: Ricardo Eduardo Musafir

Benoît Fabre

Tese (doutorado) – UFRJ/ COPPE/ Programa de

Engenharia Mecânica, 2015.

Referências Bibliográficas: p. 97-103

1. Acústica Musical. 2. Mecânica dos Fluidos. 3.

Visualização de escoamentos. 4. Processamento de

imagens I. Musafir, Ricardo Eduardo et al. II.

Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE,

Programa de Engenharia Mecânica. III. Título.

iv

Ao meu saudoso avô Mario.

v

Resumo da Tese apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários

para a obtenção do grau de Doutor em Ciências (D.Sc.)

ESTUDO DOS MODOS SIMÉTRICOS DE UM JATO PLANO

EXCITADO ACUSTICAMENTE

Roberto Barreto de Moraes

Janeiro/2015

Orientadores: Ricardo Eduardo Musafir

Benoît Fabre

Programa: Engenharia Mecânica

Com o objetivo de compreender melhor o desenvolvimento de perturbações em

um jato plano, investigou-se experimentalmente o movimento da coluna do jato na

presença de seus modos simétricos de oscilação, produzidos por excitação acústica

longitudinal gerada por um alto-falante. O comportamento do jato foi analisado através

da visualização não-invasiva do escoamento pelo método de Schlieren e posterior

processamento de imagens. Os resultados obtidos a partir da análise dos dados

experimentais para as partes real e imaginária do número de onda da perturbação,

relacionadas, respectivamente, à sua amplificação e velocidade convectiva, foram

comparados com os obtidos através da resolução numérica da equação de Rayleigh, que

descreve a instabilidade do jato baseado em uma análise linear. A partir do modelo de

trilha de vórtices de Holger e da análise dos dados experimentais, chegou-se a uma

expressão para a espessura média inicial do jato na saída do canal e propôs-se um

modelo semi-empírico para variação espaço-temporal da espessura do jato, que fornece

boa concordância com os dados experimentais obtidos.

vi

Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the

requirements for the degree of Doctor of Science (D.Sc.)

STUDY OF THE SYMMETRIC MODES OF AN

ACOUSTICALLY EXCITED PLANE JET

Roberto Barreto de Moraes

January/2015

Advisor: Ricardo Eduardo Musafir

Benoît Fabre

Department: Mechanical Engineering

In order to better understand the development of instability waves in plane jets,

an experimental investigation of the jet motion in the presence of its symmetrical modes

of oscillation, produced by a longitudinal acoustic excitation generated by a

loudspeaker, was carried out. The jet behavior was analyzed by non-invasive

visualization of the flow through the Schlieren method and subsequent image

processing. The results obtained from the analysis of the experimental data of the real

and imaginary parts of the disturbance's wave number which are related, respectively, to

the amplification and to the convection velocity, were compared with those obtained by

the numerical solution of Rayleigh's equation, which expresses the jet instability based

on a linear analysis. From Holger's vortex street model and the analysis of the

experimental data, an expression was obtained for the initial mean value of the jet

thickness at the flue exit, and a semi-empirical model was proposed for the space-time

evolution of the jet thickness, which provides good agreement with the experimental

data.

vii

Sumário

1 Introdução 1

2 Equações de base e modelagem do escoamento 6

2.1 Equações de base 6

2.1.1 Equação de Navier-Stokes 6

2.1.2 Modelo de fluido ideal e problemas associados 8

2.1.3 Camadas limite 10

2.2 Modelagem do escoamento no canal de formação do jato 12

3 O movimento de oscilação do jato 16

3.1 Instabilidade do jato 16

3.2 Modelo linear 17

3.3 Modelo não linear 23

3.4 Receptividade do jato 26

4 Arranjo Experimental 28

5 Análise dos modos simétricos de um escoamento excitado acusticamente 37

5.1 Modelo linear 37

5.1.1 Resolução numérica 38

5.2 Processamento de imagens 42

5.2.1 Utilizando o método de Schlieren 42

5.2.2 Análise dos dados 47

6 Limites do modelo linear e estudos sobre a variação da espessura de oscilação do jato

56

6.1 Modelo para a variação da espessura de oscilação do jato 56

6.2 Limites da descrição linear 63

6.2.1 Modelo de trilhas de vórtices 64

6.3 Amplitude da oscilação na transição 66

6.3.1 Detectando os valores críticos da distância e espessura 66

6.3.2 Amplitude da oscilação na região de transição 66

6.3.3 Posição horizontal na transição 69

6.4 Amplitude da oscilação na saída do canal 71

6.5 Relação entre distância crítica e o parâmetro geométrico das flautas 75

viii

7 Conclusão 79

A Método de Schlieren 82

B Método numérico para resolução da equação de Rayleigh 89

C Detalhamento da dependência do coeficiente de amplificação e do relacionado à velocidade convectiva com a frequência e amplitude da excitação

91

Referências Bibliográficas 97

1

Capítulo 1

Introdução

Instrumentos musicais da família da flauta compartilham um princípio de

funcionamento que consiste da emissão de um escoamento instável a partir ou de um

canal ou dos lábios do instrumentista. O escoamento flui na direção de uma borda afiada

comumente chamada de “labium” (Figura 1.1). O campo acústico devido à presença do

ressonador ativa a instabilidade do escoamento e, então, o jato oscila na freqüência do

campo acústico. A interação deste escoamento perturbado com a borda fornece a

energia necessária para sustentar a oscilação acústica no tubo (Fabre & Hirschberg,

2000).

A maioria dos modelos para as oscilações do escoamento nos instrumentos de

sopro como as flautas se utiliza de uma teoria linear com base na abordagem de

Rayleigh (1894). Estes modelos apresentam alguns pontos fracos quando aplicados à

modelagem da produção sonora nos instrumentos musicais da família da flauta, como a

reação às perturbações induzidas acusticamente nas colunas de ar desses instrumentos.

2

Figura 1.1: Escoamento emergindo do canal de saída, oscilando e se encontrando com o

labium (Chaigne & Kergomard, 2008, editado)

Dependendo das propriedades de simetria das perturbações nas camadas limites

de um jato plano, a oscilação do jato pode ser sinuosa (antissimétrica) ou do tipo

varicose (simétrica). Oscilações sinuosas são caracterizadas por um deslocamento

transversal do jato, enquanto que as oscilações do tipo varicose correspondem a uma

oscilação da espessura do jato (Mattingly & Criminale, 1971).

Um escoamento submetido a campo acústico imposto longitudinalmente oscila

na freqüência da excitação deste. A espessura dos modos simétricos da oscilação do jato

cresce lentamente com a distância a partir da saída do tubo, até o ponto onde o

escoamento “se enrola sobre si mesmo” e então finalmente quebra-se em vórtices, antes

de se tornar totalmente turbulento (Figura 1.2).

As flutuações na saída do canal modulam a vorticidade nas camadas limites do

jato e, por conseguinte, controlam suas oscilações. De acordo com Verge (1995), a

principal questão é determinar uma relação entre o campo acústico imposto nos pontos

de transição entre o jato e o meio em repouso e a amplitude resultante do modo de

oscilação do jato.

3

Figura 1.2: Escoamento com perturbação acústica longitudinal do tipo

simétrico ou varicose.

Crighton (1982) constatou que a velocidade de fase deduzida a partir da análise

temporal é insatisfatória quando utilizada no problema dos tons de borda (edgetones).

Mais tarde, Verge et al (1994) mostraram que o crescimento espacial da perturbação do

jato é melhor previsto por uma análise espacial (como realizada por Mattingly e

Criminale, 1971) do que pela análise temporal. Alguns pesquisadores têm estudado

experimentalmente oscilações do jato sob perturbações acústicas usando medidas de

anemometria (Nolle, 1998, por exemplo). Por outro lado, a visualização do escoamento

tem sido amplamente utilizada como inspiração para análise física e descrição da

mecânica dos fluidos e da aeroacústica em instrumentos musicais da família da flauta

(Verge et al, 1994).

Algumas questões permanecem abertas apesar da compreensão geral do

movimento de oscilação do jato, como por exemplo o acoplamento entre a perturbação

acústica e a instabilidade do jato para o caso de seus modos simétricos de oscilação que

permanece como um problema sem descrição. A falta de modelos teóricos sólidos faz

4

com que os dados experimentais sejam necessários para se determinar um modelo semi-

empírico.

Com o objetivo de compreender melhor o desenvolvimento dessas perturbações,

investigou-se experimentalmente o movimento da coluna de um jato plano na presença

de seus modos simétricos, produzidos por perturbações acústicas longitudinais geradas

por um alto-falante. O comportamento do jato foi analisado através da visualização do

escoamento e posterior processamento de imagens. Os resultados obtidos a partir da

análise dos dados experimentais foram comparados com os obtidos através da solução

numérica também desenvolvida.

O desenvolvimento da instabilidade do jato foi investigado experimentalmente,

impondo-se ao escoamento um campo acústico gerado por um alto-falante. Foi utilizada

uma técnica não-invasiva com base em análise de imagens obtidas através de

visualização do escoamento pelo método de Schlieren (Merzkirch, 1974). Usando essa

técnica de visualização de escoamento, foram realizados testes para uma variedade de

valores dos números de Reynolds e Strouhal. O objetivo, portanto, foi analisar os modos

simétricos da oscilação gerados devido à perturbação longitudinal do escoamento.

Historicamente, o deslocamento transversal do jato presente nos modos

antissimétricos de oscilação foi sistematicamente objeto de estudo por diversos autores,

diferentemente da variação da espessura do jato presente nos modos simétricos que na

literatura comumente tem sua existência apenas citada, devido à predominância dos

modos antissimétricos sobre os simétricos nos instrumentos musicais da família da

flauta. Desta forma, busca-se neste trabalho um modelo semi-empírico para a variação

da espessura de oscilação do jato, além da determinação da espessura média inicial do

jato na saída do canal, uma grandeza que também ainda não possui uma descrição

adequada.

5

O trabalho está organizado da seguinte forma: no Capítulo 2, uma revisão

bibliográfica das equações de base e modelagem do escoamento é apresentada. No

Capítulo 3 passa-se à formulação do movimento do jato, focando-se em sua

instabilidade e receptividade. No Capítulo 4 é apresentado o arranjo experimental

utilizado no trabalho. No Capítulo 5, a partir do processamento das imagens captadas

durante os ensaios experimentais são investigados os modos simétricos do jato excitado

acusticamente. No Capítulo 6, são abordados os limites do modelo linear e apresentado

um modelo semi-empírico sobre a variação da espessura de oscilação do jato. No

Capítulo 7 são apresentadas as conclusões.

6

Capítulo 2

Equações de base e modelagem do

escoamento

A produção de som em uma flauta repousa no acoplamento entre o campo

acústico em um ressonador e uma coluna de jato que emerge de um canal. Neste

capítulo será apresentada a modelagem do escoamento de um jato em um canal. Para

isso, será feita a revisão bibliográfica das equações básicas que regem um escoamento,

bem como das simplificações mais comumente usadas.

2.1 EQUAÇÕES DE BASE

2.1.1 Equação de Navier-Stokes

O fluido é descrito como um meio contínuo, isto é, a escala de observação é

suficientemente grande para que as grandezas consideradas sejam descritas por campos

contínuos.

O movimento de um fluido pode ser descrito pelas equações de conservação da

massa e de quantidade de movimento. Se essas leis forem aplicadas a um elemento de

7

volume infinitesimal, as equações resultantes em sua forma diferencial são as seguintes

(Tritton, 1999):

0. =∇+∂∂

Vt

rrρρ

(2.1)

fpVVt

V rrrrrrrrr

+∇+∇−=∇+∂∂ τρρ

.. (2.2)

onde ρ é a massa específica, Vr

é o vetor velocidade, p é a pressão, τrr

é o tensor de

tensões viscosas, e fr

é um campo de forças externas aplicada ao fluido. É usual que se

considere uma relação linear entre as componentes do tensor de tensões viscosas τij e a

taxa de deformação de um elemento de fluido:

∂∂

+∂∂

=i

j

j

itj x

V

x

Vµτ (2.3)

onde µ é a viscosidade do fluido. Os fluidos que verificam esta relação são chamados de

fluidos newtonianos (Cimbala, 2001).

Se o sistema de equações (2.1) e (2.2) for linearizado, considerando-se que as

grandezas pressão e massa específica possuem pequenas variações em torno do seu

valor médio, chega-se às equações fundamentais da acústica linear (Beranek, 1993).

A partir das equações (2.2) e (2.3), a equação de Navier-Stokes é então obtida e

escrita na seguinte forma (Tritton, 1999):

fVpVVt

V rrrrrrrr

+∇+∇−=∇+∂∂

². µρρ (2.4)

A equação (2.4) pode ser eventualmente simplificada, por exemplo, para os

casos onde o efeito da viscosidade pode ser desprezado. Para determinar as

8

circunstâncias nas quais diferentes tipos de escoamentos ocorrem, introduz-se o número

adimensional de Reynolds:

νVL

Re= (2.5)

onde V e L são respectivamente a velocidade e o comprimento característicos do

escoamento, e ν = µ / ρ é a viscosidade cinemática do fluido (para o ar ν = 1,5 x 10-5

m²/s). O número de Reynolds quantifica a relação entre as forças inerciais, de ordem

V²/L, e as forças viscosas presentes no fluido, de ordem νV/L² (Drazin, 2002).

Para valores de Reynolds grandes, as forças inerciais tornam-se predominantes

em relação às forças viscosas. Neste caso, a viscosidade pode ser desprezada, o que

permite uma elevada simplificação das equações de Navier-Stokes (Paterson, 1983).

Para números de Reynolds suficientemente grandes, o escoamento torna-se

instável com o aparecimento de estruturas turbilhonares. Este é o fenômeno chamado de

turbulência. Para números de Reynolds baixos, o escoamento é chamado de laminar. A

transição entre escoamento laminar e o turbulento geralmente ocorre, de modo não

previsível, para valores de Reynolds da ordem de 2500 (Kundu, 1990).

Segundo Fabre (1992), o número de Reynolds de operação das flautas varia em

torno de 500 e 2000, o que geralmente faz com que os escoamentos nesses instrumentos

musicais se mantenham abaixo da transição laminar-turbulento.

2.1.2 Modelo de fluido ideal e problemas associados

Como dito anteriormente, para muitas aplicações, a viscosidade pode ser

desprezada. Se for este o caso, a equação de Navier-Stokes reduz-se à equação de Euler:

9

fpVVt

V rrrrrr

+∇−=∇+∂∂

.ρρ (2.6)

e o escoamento é então chamado de “ideal”.

O escoamento é dito “potencial”, se a velocidade Vr

puder ser obtida de um

único potencial escalar ϕ (Kundu, 1990):

ϕ∇=rr

V (2.7)

Considerando o campo de forças externas como nulo, se a equação de Euler for

integrada entre dois pontos quaisquer do escoamento, chega-se à equação de Bernoulli

(Tritton, 1999):

( ) ( ) 2121012

0 ²||²||2

1ppVV

t−=−+

∂−∂ rr

ρϕϕρ (2.8)

onde ϕ é o potencial de velocidades, |Vr

| é o módulo da velocidade e p é a pressão,

respectivamente nos pontos 1 e 2 do escoamento que foram escolhidos previamente.

Se o escoamento for considerado como inviscido, mas o rotacional da

velocidade não for zero, a equação é válida apenas para pontos de partida e de chegada

situados na mesma linha de corrente (Chaigne & Kergomard, 2008).

Em particular, o modelo de escoamento potencial não consegue explicar a

separação do escoamento observada em pontos críticos, tais como bordas afiadas, por

exemplo. Neste caso, a teoria potencial prevê um potencial de velocidade infinito,

incompatível com a realidade física e com o pressuposto de fluido ideal (Paterson,

1983).

Assim, o escoamento pode ser modelado como ideal em praticamente sua

totalidade, e a viscosidade passa a ser considerada necessária para obter uma velocidade

finita nesses pontos localizados. Este é o papel da condição de Kutta, que é amplamente

10

discutido por Crighton (1985). Portanto, as arestas devem ser consideradas como pontos

singulares em um escoamento dito não-viscoso.

2.1.3 Camadas limite

A modelagem do escoamento como de um fluido ideal induz um comportamento

por vezes não realista, notadamente perto de paredes e bordas, uma vez que a condição

de não deslizamento não é respeitada. Nesses pontos, a viscosidade desempenha um

papel preponderante e não pode ser desprezada, mesmo que em outras partes o fluido

seja modelado como ideal (Tritton, 1999).

A espessura da camada limite δ é substancialmente menor que o comprimento

característico do escoamento global L, e é calculada como ReL /≈δ . Muitas vezes, é

definida como a distância para a parede onde a velocidade do escoamento aproxima-se

de 99% da velocidade limite, obtida pela aplicação da hipótese de fluido ideal na área

do escoamento principal (Landau & Lifchitz, 1989).

Um jato livre escoa em um ambiente de velocidade diferente, o que gera zonas

de transição chamadas de camadas de cisalhamento, existentes de ambos os lados de um

escoamento central de fluido ideal. A ação da viscosidade efetivamente impede a

existência de descontinuidade na velocidade. A diferença fundamental entre as camadas

limite de um escoamento confinado e uma camada de cisalhamento de um jato livre é,

neste último caso, a presença de um ponto de inflexão no perfil de velocidade (Figura

2.1). A presença de um ponto de inflexão no perfil da velocidade do fluxo será inclusive

essencial para a estabilidade deste escoamento (Landau & Lifchitz, 1989).

11

Figura 2.1 – Escoamento confinado e jato livre. A diferença reside fundamentalmente

na presença de um ponto de inflexão nas camadas de cisalhamento do jato livre, algo

que não existe nas camadas limite do escoamento confinado (Ségoufin, 2000, editado)

As aproximações apresentadas representam as simplificações mais comumente

encontradas. Sempre que possível, tenta-se simplificar a modelagem do escoamento ao

máximo, considerando-se o fluido como globalmente ideal, isolando-se pontualmente as

zonas próximas a paredes, pontos singulares, e as camadas de cisalhamento, tratado-as

separadamente.

Em um canal, se o intervalo do número de Reynolds utilizado for conveniente,

poder-se-á considerar o escoamento como possuindo um núcleo de fluido ideal, rodeado

por duas camadas limite. Na saída do canal, os ângulos de saída podem causar a

separação do escoamento das paredes do canal, e uma condição de Kutta deve ser

introduzida neste momento. Em seguida, forma-se um jato livre, que é em si modelado

também em seu núcleo como um fluido ideal, rodeado por duas camadas de

cisalhamento (Verge, 1995).

12

2.2 MODELAGEM DO ESCOAMENTO NO CANAL DE FORMAÇÃO DO

JATO

O canal e o escoamento são modelados como bidimensionais, desprezando-se

assim os efeitos de parede sobre as duas faces laterais da calha. Comprimentos de onda

acústica característicos do caso estudado são muito grandes em comparação com o

comprimento do canal, permitindo que se despreze a compressibilidade do fluido.

A modelagem da coluna do jato para os instrumentos musicais da família da

flauta é feita de forma bidimensional, ainda que o tubo seja tridimensional, pois seu

diâmetro é desprezível em relação às dimensões acústicas em questão, isto é, em geral o

menor comprimento de onda de uma nota em execução será ainda muito maior que o

diâmetro do tubo do instrumento real.

Os números de Reynolds encontradas para a família das flautas estão no

intervalo de 500 < Re < 2000 (Fabre, 1992), e por conseguinte o escoamento é

considerado laminar na saída do canal. Para uma descrição mais detalhada, o

escoamento é decomposto em duas partes: um núcleo, que compreende um fluido ideal,

rodeado por duas camadas limite aos níveis das paredes, onde a viscosidade atua.

Ao se considerar um escoamento paralelo uniforme na entrada do canal com

velocidade Uo, a viscosidade provoca uma desaceleração imediata do fluido perto das

paredes, criando assim camadas limite. Essas camadas limite se desenvolvem e sua

espessura cresce à medida que o escoamento percorre o canal (Figura 2.2). Quando o

estado estacionário é atingido, para um canal de altura constante h, pequena em relação

ao comprimento total L, chega-se a um perfil de velocidade U(y) chamado de Poiseuille

(Paterson, 1983), tal que:

( )²²2

1)( hy

dx

dpyU −=

µ (2.13)

13

onde h é a altura do canal, e y é a posição transversal em relação à direção do

escoamento; o eixo x é o eixo de simetria do canal. Para um escoamento uniforme com

velocidade U0 na entrada, parte-se da equação (2.13) e aplica-se a conservação da

quantidade de movimento para chegar-se a:

03 Ux

p µ−=∂∂

(2.14)

Desta forma, para um escoamento uniforme na entrada do canal, o escoamento

estacionário terá um perfil de Poiseuille onde a velocidade central será em torno de

1,5Uo (Chaigne & Kergomard, 2008).

Figura 2.2 – Desenvolvimento das camadas limite em um canal. Se o canal for

suficientemente longo, as camadas limite se juntam e um escoamento estacionário do

tipo Poiseuille é atingido (Kundu, 1990)

Se o canal não for suficientemente longo para que um perfil próximo ao de

Poiseuille seja atingindo, a modelagem de Rayleigh (1894), onde o escoamento possui

um perfil de velocidade em trapézio, é considerada (Figura 2.3).

14

Figura 2.3 – Desenvolvimento das camadas limite em um escoamento em um canal

plano: (1) formação de um jato na entrada com presença de uma vena-contracta,

(2) zona de mistura, (3) ligação às paredes e desenvolvimento das camadas

limite, com passagem de um perfil de velocidade com modelo trapezoidal para

um perfil de Poiseuille a partir de Lc, (4) jato livre a partir da saída do

canal (Ségoufin, 2000, editado)

Esse modelo apresenta a vantagem da simplicidade, dado que a quantidade de

movimento e a velocidade atingida pelo escoamento trapezoidal são iguais às de um

perfil de Poiseuille (Tritton, 1999), fornecendo o chamado comprimento “crítico” Lc

(Ségoufin, 2000), calculado analiticamente por Van Zon et al. (1990). Se o canal for

maior que Lc, o perfil de velocidade se tornará então do tipo Poiseuille.

No canal de entrada, com as arestas dos ângulos de entrada, haverá a presença de

pontos singulares no escoamento de entrada. O escoamento vai se separar das paredes

sob a ação de viscosidade de modo a formar um jato. Este jato tem uma altura menor

que a do canal: é uma vena-contracta, como Hirschberg (1995) mostrou para o caso da

entrada dos canais dos instrumentos de sopro. Em seguida, há uma zona de mistura

onde o escoamento se reconecta às paredes, e continua a seguir seu percurso, ainda com

15

a ação da viscosidade. Se o canal for maior que comprimento crítico Lc, um perfil de

Poiseuille é atingido e em seguida há a saída do canal onde o jato passará a ser livre

(Figura 2.3).

Em geral, os fabricantes de instrumentos da família da flauta chanfram os

ângulos de entrada do canal. Segundo Fabre (1992), isso reduz o fenômeno de

separação do escoamento, diminuindo a importância de singularidades.

Espera-se que a alteração do perfil de velocidade no escoamento justo

anteriormente à saída influa sobre o perfil de velocidade do jato livre. No próximo

capítulo será discutida a teoria da instabilidade do jato após a saída do canal.

16

Capítulo 3

O movimento de oscilação do jato

Neste capítulo discutem-se mais detalhadamente os diferentes modelos de

descrição do movimento da coluna do jato. Apresentam-se duas teorias utilizadas para

modelar esse movimento: a teoria linear que o descreve através da abordagem de

Rayleigh (1894), e uma teoria não linear baseada na trilha de vórtices apresentada por

Holger (1977).

3.1 INSTABILIDADE DO JATO

O jato livre é formado pela separação do escoamento a partir da parede da saída

do canal. Este jato é inerentemente instável e tende a amplificar qualquer perturbação,

acústica ou hidrodinâmica (Crighton, 1992).

Nos instrumentos musicais da família das flautas, a distância W percorrida pelo

jato da saída do canal até a borda (ou labium) é cerca de 4 vezes a altura h da saída do

canal (Fabre, 1992). O jato é submetido a uma perturbação (transversal ou longitudinal)

induzida pela energia acústica armazenada no ressonador. As visualizações de jatos em

flautas realizadas por Fabre (1992) mostram que eles geralmente permanecem laminares

até atingirem a borda do instrumento.

17

A modelagem do comportamento do jato nestas condições, onde um jato infinito

e bidimensional é considerado, seguirá o modelo desenvolvido por Rayleigh (1894), e

depois aprimorado por Michalke (1964), Mattingly & Criminale (1971), Nolle (1998), e

Fabre (2000).

Presume-se que a perturbação cresce ao longo do jato, independentemente de

qualquer outro fenômeno, sendo sua origem considerada como localizada no ponto

formação do jato (Chaigne & Kergomard, 2008).

3.2 MODELO LINEAR

Helmholtz (1868) fez as primeiras observações físicas sobre a instabilidade de

um escoamento livre. Rayleigh (1894), posteriormente, desenvolveu um modelo teórico

da instabilidade do jato, tratando-o como uma interface plana infinita entre dois líquidos

que fluem a velocidades diferentes. Em ambos os lados da interface, a velocidade é

constante, e a viscosidade do escoamento é nula. A vorticidade é concentrada na

interface onde existe uma descontinuidade do campo de velocidades. Esta interface é

modelada por uma linha de vórtices.

Rayleigh (1894) considerou os modos de oscilação dessa interface, sob certas

hipóteses restritivas: é um caso não-viscoso, linear, bidimensional, e é feita a suposição

de perturbação harmônica, sendo x o eixo de escoamento, tal como indicado na Figura

3.1.

18

Figura 3.1 – Interface infinita considerada por Rayleigh (1894) entre dois fluidos que se

movem com velocidades diferentes V1 e V2 (Charru, 2011)

O modelo de Rayleigh foi mais tarde confirmado por medições experimentais de

Sato (1960) confirmando o crescimento exponencial de perturbações em relação a x, e

posteriormente pela visualização do escoamento de jato realizada por Fabre (1992).

Rayleigh procura uma função de corrente ψ da perturbação que age sobre a

interface na seguinte forma:

)()(),,( tkxjeytyx ωφψ −ℜ= (3.1)

onde ℜ indica a parte real, φ é a amplitude complexa, k representa o número de onda

espacial e ω a frequência da perturbação. Os resultados desta análise são aplicáveis ao

jato caso este seja considerado como constituído de duas interfaces simétricas em

relação ao eixo x (Figura 3.1).

As perturbações podem ser dos seguintes tipos (Figura 3.2):

19

- antissimétricas em relação ao eixo de simetria: são os chamados modos

sinuosos e podem ser induzidos por perturbações transversais presentes na saída do

canal.

- simétricas em relação ao eixo de simetria: são os chamados modos varicose e

podem por ser induzidos por perturbações longitudinais no escoamento na saída do

canal.

Figura 3.2 – (a) Modo sinuoso ou antissimétrico, (b) Modo varicose ou simétrico do

movimento do jato em relação ao eixo de simetria

Visualizações realizadas por Fabre (1992) mostram que para o caso dos

instrumentos da família da flauta, os modos antissimétricos são predominantes em seu

funcionamento padrão em relação aos modos simétricos. Apesar da contribuição dos

modos simétricos ser observável, estes foram usualmente desprezados da análise da

produção sonora destes instrumentos – vide (Fletcher & Rossing, 1998; Verge, 1995).

Rayleigh (1894) procura a evolução das funções de corrente de um jato

bidimensional infinito, perturbado, sob a forma de uma onda de amplificação. A função

de corrente ψ, que expressa a incompressibilidade de um escoamento bi-dimensional, é

definida por:

yu

∂∂= ψ

; x

v∂∂−= ψ

(3.2)

20

Rayleigh considera um escoamento paralelo com perfil de velocidade U(y)

orientado ao longo do eixo x, e com rotacional Ω orientado ao longo do eixo z. Uma

perturbação é sobreposta a este escoamento. Portanto, tem-se:

∂∂−=Ω

+Ω==

+=

y

yU

z

vv

uyUu

)(

'.

'

')(

ϖϖ rr (3.3)

onde ϖ refere-se à vorticidade, definida como o rotacional da velocidade:

vrrr ×∇=ϖ (3.4)

Uma equação para descrever a vorticidade de um escoamento incompressível

pode ser obtida aplicando-se o rotacional na equação de Navier-Stokes, obtendo-se

(Tritton, 1999):

( ) ( ) ϖνϖϖϖ rrrrrrrrr

².. ∇=∇−∇+∂

∂VV

t (3.5)

Combinando-se as equações (3.3) e (3.5), considerando a conservação do

rotacional (dϖr /dt = 0), e desprezando-se a viscosidade do escoamento, obtém-se

(Chaigne & Kergomard, 2008):

( ) ( ) ( ) ( )0

''

'')(

' =∂+Ω∂+

∂+Ω∂++

∂+Ω∂

yv

xuyU

t

ϖϖϖ (3.6)

Ao considerar-se apenas os termos de primeira ordem, relacionando as equações

(3.6), (3.3) e (3.2), obtém-se a equação de Rayleigh para a velocidade transversal da

perturbação v (Chaigne & Kergomard, 2008):

0²

²²

²

²)( =

∂∂−

−

∂∂

− vy

Uvk

y

v

kyU

ω (3.7)

21

A equação de Rayleigh, de acordo com o perfil de velocidade inicial do jato,

geralmente requer uma resolução numérica para que se encontre a relação entre a

frequência angular ω e o número de onda k.

A equação (3.7) mostra a importância crucial do perfil de velocidade na

instabilidade do jato. Para um determinado perfil, a resolução da equação permite

determinar a evolução do número de onda k em uma função da frequência angular ω, ou

vice-versa. A partir da grandeza escolhida para a observação, ter-se-á uma análise

temporal ou espacial do problema.

A análise espacial consiste em assumir ω como real, enquanto se procura um

número de onda complexo (k = kr + jki, onde 1−=j ), e a análise temporal consiste em

procurar-se por um ω complexo enquanto assume-se k como sendo real.

Historicamente, a escolha adotada inicialmente foi por uma análise temporal da

equação de Rayleigh. Porém Michalke (1964, 1965) resolveu numericamente essa

equação e concluiu que a análise espacial representa melhor a observação experimental.

A estabilidade de um jato, no contexto de uma análise espacial, dependerá do

sinal do coeficiente ki que representa a amplificação da perturbação, a qual poderá

crescer exponencialmente quando o jato for instável. A velocidade da fase cp da

perturbação é por sua vez relacionada à parte real kr do número de onda k, tal que

cp = ω / kr.

Segundo Landau & Lifchitz (1989), a condição de estabilidade em uma

configuração bidimensional, não viscosa e incompressível permite concluir que uma

condição necessária para a instabilidade do jato é a existência de um ponto de inflexão

no perfil de velocidade do jato. No entanto, a presença de um ponto de inflexão no perfil

de velocidade é característica dos jatos livres em contraponto aos escoamentos

22

confinados. Segundo Chaigne & Kergomard (2008), isso explicaria o motivo pelo qual

os jatos livres são intrinsecamente instáveis.

No primeiro caso estudado por Rayleigh (Figura 3.1), há uma transição abrupta

entre o jato e o fluido que o envolve. Neste caso, o jato ainda é instável e os coeficientes

de amplificação aumentam indefinidamente com a frequência (Tritton, 1999). Este

comportamento pode ser encontrado se o perfil de velocidade escolhido for mais

realista, a fim de que não haja descontinuidade. Desta forma, Rayleigh propõe que haja

um perfil de velocidade em que a continuidade esteja assegurada. Em particular, propõe

um perfil de velocidade que seja “linear por partes”, que permita fornecer soluções

analíticas simples (Drazin, 2002). Ao resolver-se a equação chegar-se-ia então a um

comportamento de amplificação com uma sensibilidade máxima e à presença de uma

frequência de corte, cujo valor varia de acordo com a inclinação máxima do perfil

(Emmert, 2007).

Bickley (1937) determinou teoricamente o perfil de velocidade de um jato

emergindo de um canal infinitamente longo em um fluido em repouso. Aplicando a

conservação de quantidade de movimento, e considerando um escoamento

incompressível, ele obteve um perfil de velocidade semelhante à forma:

=b

yUyU b ²sech)( (3.8)

conhecido como perfil de velocidade de Bickley, com Ub sendo a velocidade central do

jato e b representando a altura do perfil de velocidade do jato. Andrade (1939)

confirmou experimentalmente este comportamento para um jato emergindo de um canal

de dimensões finitas.

Mattingly e Criminale (1977) resolveram numericamente a equação de Rayleigh

para um perfil de velocidade de Bickley, descobrindo que para um mesmo valor de

23

frequência angular ω, existem duas soluções para o número de onda k: uma que

corresponde a uma perturbação sinuosa ou antissimétrica, e outra que corresponde a

uma perturbação varicose ou simétrica.

Nolle (1998) propôs uma pequena alteração na família de perfis de velocidade

de Bickley:

n

b b

yUyU

= ²sech)( (3.9)

onde o expoente n faz com que o perfil se aproxime de um perfil mais quadrático, isto é,

mais top hat, mantendo ainda a continuidade necessária para que o perfil não tenha

nenhuma transição abrupta. Quanto maior o n, mais acentuado será a aproximação em

um perfil do tipo top hat.

A grande limitação de modelos lineares de instabilidade é que eles se aplicam a

jatos infinitos. Em uma flauta, isso obviamente não é o caso, já que o jato é delimitado

pela saída do canal de um lado, e a borda com a qual ele interage de outro. Vários

modelos empíricos ou semi-empíricos têm sido propostos, que consistem em conectar

os modos de instabilidade de um escoamento infinito de acordo com as condições de

contorno impostas pelo canal.

3.3 MODELO NÃO LINEAR

Powell (1961) inicialmente, e Holger (1977), posteriormente, propuseram outro

modelo de instabilidade do jato, com base nas observações realizadas por Brown (1939)

através de visualizações do escoamento realizadas com fumaça.

24

Powell (1961) descreve a instabilidade de um jato como o fortalecimento da

vorticidade nas camadas de cisalhamento. Ele conclui que a amplificação dos vórtices

depende da amplitude da perturbação inicial.

Os experimentos de Brown (1939) mostraram a formação alternada de duas

trilhas de vórtices sobre o jato, na forma de linhas como as de Von Karman (1963).

Com base nas observações de Brown, Holger (1997) propôs um modelo de jato

completamente desenvolvido como “trilha de vórtices”. A partir das propriedades das

trilhas de vórtice de Von Karman (1963), bem como a conservação de quantidade de

movimento entre o jato inicial e a trilha de vórtices, ele deduz a largura da trilha assim

como a intensidade, a velocidade e a distância entre os vórtices (Saffman, 1997).

A configuração estudada por Holger é mostrada na Figura 3.3: ele modela o jato

através de linhas de vórtices, considerando uma zona de transição onde a intensidade

dos vórtices aumenta até atingir o valor limite de ±K.

Figura 3.3 – Configuração do modelo de Holger (1977): trilhas de vórtices alternadas,

com uma zona de transição onde a intensidade dos vórtices cresce até atingir um valor

limite estável ±K

A principal diferença os modelos encontra-se no fato de que Holger considera a

linha de vórtices como plenamente desenvolvida quando atinge a borda, contrariamente

25

a Powell que assume que os vórtices têm sua intensidade amplificada ao longo do

percurso (Holger, 1977).

Holger propõe que a localização dos pontos de inflexão do movimento da coluna

do jato indique as regiões de concentração de vorticidade. De acordo com esse modelo,

a distância entre os vórtices será um número inteiro de comprimentos de onda. Como

demonstrado por Von Karman (1963), cada trilha de vórtices induz na outra uma

velocidade V, que provoca o deslocamento do grupo. Esta velocidade é ligada aos

diferentes parâmetros mostrados na Figura 3.3 da seguinte forma:

λπ

λπ HK

V tanh= (3.10)

Holger (1977) assume que a velocidade de deslocamento para uma linha de

vórtices não-infinita é aproximada pela equação (3.10). Além da conservação da

quantidade de movimento, Holger considera que o novo vórtice em curso de formação é

influenciado pelos vórtices já formados à jusante. A velocidade transversal total

induzida por estes vórtices deve ser zero para que a linha seja estável.

Segundo ele, considerando-se a influência de dois vórtices previamente

formados sobre um vórtice que esteja em formação, a condição para que haja uma

velocidade transversal total nula é b/λ = 0,5. A relação adimensional V/Uo teórica que

Holger obteve concorda com as medidas realizadas por Brown.

O jato infinito é evidentemente um problema puramente teórico, que não existe

fisicamente na realidade: o jato livre é delimitado entre sua saída do canal onde é

formado, que o impõe certas restrições iniciais, e a borda que irá encontrar à jusante.

26

Os modos de oscilação do jato são normalmente calculados a partir dos modos

de vibração lineares de um jato infinito teórico, ligados ao escoamento realizado no

canal através de algumas condições de contorno.

3.4 RECEPTIVIDADE DO JATO

O problema da receptividade do jato examina a ligação entre a amplitude da

perturbação, neste caso, o campo acústico, e a amplitude da oscilação que se propaga ao

longo do jato. Um jato é intrinsecamente instável e qualquer perturbação é propagada e

amplificada.

Para o caso dos modos simétricos de oscilação, a receptividade está relacionada

à variação da espessura do jato ξ(x,t) à medida que este se desenvolve à jusante. Para o

caso dos modos antissimétricos, relaciona-se ao deslocamento transversal do jato η(x,t).

Conforme citado anteriormente, por conta da predominância dos modos antissimétricos

sobre os simétricos na produção sonora dos instrumentos musicais da família das

flautas, o deslocamento transversal η(x,t) presente nos modos antissimétricos foi

inexoravelmente objeto de estudo aprofundado ao longo dos anos enquanto que a

variação da espessura do jato ξ(x,t) presente nos modos simétricos acabou sendo

relegado à mera citação de presença.

Fletcher (1977) inicialmente e Verge (1995) posteriormente calcularam o

deslocamento dos modos antissimétricos de oscilação integrando a velocidade

transversal obtida como derivada da função de corrente da perturbação. Eles se utilizam

de uma condição de Kutta para impor que amplitude inicial do deslocamento seja

sempre zero.

27

Verge propôs a utilização do modelo semi-empírico de Fletcher, alterando o

parâmetro de amplificação, de modo que este corresponda ao cálculo de instabilidade de

um perfil de velocidade de Bickley, como foi realizada por Mattingly & Criminale

(1977), chegando à seguinte formulação para a amplitude complexa do deslocamento

transversal:

( )( ))/()cosh(1),(ˆ pcxji exk

vjx

ω

ωωη −−−= (3.11)

O próprio Verge, porém, afirma que tal modelo não se encaixava nas medições,

dado que a condição imposta, tanto por ele quanto por Fletcher, para a amplitude inicial

0),0(ˆ =ωη não é observada experimentalmente. Além disso, havia um evidente

problema neste modelo para baixas freqüências, devido ao fator 1/ω. Ele conclui que

este modelo necessitaria ser melhorado e/ou modificado.

La Cuadra (2007) chegou a um modelo semi-empírico que destoava dos de

Verge e de Fletcher. Seu modelo para o deslocamento transversal não impunha a

condição de amplitude inicial do deslocamento nula nem possuía o problema para

baixas frequências presentes nos modelos anteriores, além de se encaixar

adequadamente aos experimentos realizados para os modos antissimétricos de oscilação

do jato. Seu modelo previa para o deslocamento transversal a seguinte relação:

)/cos(),( 0 pxk cxtetx i −= ωηη (3.13)

Têm-se inúmeros estudos a respeito da receptividade do jato para o caso dos

modos antissimétricos, porém nenhum que analise o problema para o caso dos modos

simétricos de oscilação do jato, quando será caracterizada como a variação da espessura

do jato, onde o presente trabalho se insere e busca realizar novas contribuições.

28

Capítulo 4

Arranjo Experimental

Os experimentos foram realizados nas instalações do Laboratoire d'Acoustique

Musicale da Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, em Paris, França.

Foi utilizado o arranjo experimental, mostrado nas Figuras 4.1 e 4.2, que

consiste em: um cilindro contendo gás carbônico; tubos de plástico com 1 cm de

diâmetro externo e 0,8 cm de diâmetro interno; um controlador de escoamento da

Brooks (série 5851S); um alto-falante AXX de 4Ω/600W com 32 cm de diâmetro

disposto sobre uma bacia de plástico cujo fundo possuía uma placa rígida e plana de

gesso (sistema hermeticamente fechado) conectado a um gerador de sinal TTi modelo

TGA 1244 e um amplificador Max500 Power Amplifier da Phonic; um canal de saída

com cavidade interior chanfrada a 45º onde se encontra um sensor de pressão modelo

8507C-1 da Endevco (conectado ao amplificador de sinal Endevco DC Differential

Voltage Amplifier modelo 136), por onde ocorria a saída do escoamento; além de

câmera digital SensiCam da PCO, luz estroboscópica, jogo de lentes e computadores

para controles e aquisições via software.

29

Figura 4.1 – Esquema do arranjo experimental: um escoamento de dióxido de carbono é

gerado no cilindro e, em seguida, é ajustado pelo controlador de escoamento. Este é

então submetido a uma excitação acústica longitudinal gerada pelo alto-falante, cuja

amplitude é determinada pelo gerador de sinal e um amplificador de potência. O

escoamento é então levado para dentro da cavidade do canal, onde o sensor de pressão

está. Após a sua saída, ele é visualizado utilizando-se a luz estroboscópica, o conjunto

de lentes e a câmara digital.

30

Figura 4.2 – Duas fotos do experimento propriamente dito. Os números indicados nas

figuras representam os respectivos equipamentos indicados na Figura 4.1

31

Um escoamento de gás carbônico é gerado e sua velocidade é ajustada através

do controlador de escoamento da Brooks série 5351S, controlado via software

(SmartControl v1.4 da Brooks). A calibração para o escoamento de ar tem de ser

compensada para o caso de CO2, por isso, a fim de considerar o escoamento de dióxido

de carbono real, deve-se utilizar a relação (4.1) entre as capacidades de calor dos gases,

fornecida pelo próprio fabricante:

ar

COlidoreal fator

fatorQQ 2= (4.1)

onde Qreal é a taxa de escoamento real do gás, Qlido é a leitura do escoamento realizada

no software da Brooks, e fatorCO2 e fatorar são os fatores de conversão dados pelo

fabricante no manual do equipamento, de forma que fatorCO2 = 0,74 e fatorar = 0,998.

A velocidade central do jato, Ub, é obtida a partir do valor nominal da vazão

Qreal, como:

S

QU real

b = (4.2)

onde S é a área da seção reta da saída do canal (20 mm² neste caso). Para a pressão

hidrodinâmica na cavidade do canal, utiliza-se a equação de Bernoulli:

)(2

1 2bUp ρ= (4.3)

onde ρ é a massa específica do gás utilizado (neste caso, dióxido de carbono, ρCO2 =

1,977 kg/m³).

A equação (4.2) relaciona o escoamento de gás carbônico com a velocidade

média central do jato. Buscam-se velocidades que correspondam às condições normais

de sopro para flautas: em torno de 7,5 m/s, segundo Fabre & Hirschberg (2000), o que

32

asseguraria um comportamento laminar. O número de Reynolds é calculado da seguinte

forma:

2

2

CO

bCOe

bUR

µρ

= (4.4)

onde ρCO2 e µCO2 são respectivamente a massa específica do gás carbônico e a

viscosidade dinâmica. Para o caso dos experimentos realizados, o número de Reynolds

variou na faixa de 900 < Re < 1600.

O escoamento é então submetido a uma excitação acústica longitudinal gerada

pelo alto-falante, cuja amplitude é ajustada através do sistema gerador de sinal TTi

conjuntamente com o amplificador da Phonic (e atestada através de um voltímetro

aplicado sobre o próprio alto-falante). Em seguida à excitação acústica, o escoamento é

levado através de um tubo de plástico com 1 cm de diâmetro externo e 8 mm de

diâmetro interno, com 1 metro de comprimento para a cavidade do canal, onde então há

a sua saída, cuja altura h é de 1 mm. Uma foto do canal de saída utilizado é mostrada na

Figura 4.3.

33

Figura 4.3 – Foto do canal de saída utilizado nos experimentos: com uma cavidade de

45º e uma saída de 1 mm.

A Figura 4.4 mostra quatro imagens de escoamentos obtidas utilizando o método

de Schlieren (ver Apêndice A), sendo três amplitudes de excitação diferentes aplicadas

(para as três, a freqüência de excitação acústica do alto-falante foi de 392 Hz), e uma

sem excitação acústica sobre o jato. A amplitude da pressão acústica (p') foi variada a

partir de 5% da pressão do escoamento (<p>) até 50% da mesma. Segundo Fabre &

Hirschberg (2000), para o caso das flautas estes valores estão dentro de uma faixa de

cerca de 10%. A pressão acústica total é medida utilizando-se o sensor de pressão

8570C-1 da Endevco localizado dentro da cavidade do canal.

A relação entre a pressão do escoamento (<p>) e a pressão acústica (p') foi

encontrada através da medição da pressão total na cavidade, sendo a pressão do

escoamento encontrada a partir da pressão total (pico-a-pico) subtraída da pressão

acústica (obtida através de uma FFT com filtro passa-baixa do sinal original da pressão

total). Os valores encontrados estão mostrados na Tabela 4.1.

34

(a)

(b)

(c)

(d)

Figura 4.4 – Imagens de escoamentos obtidas para três diferentes amplitudes de

perturbação: p'/<p> = 8,2% (a), 19,3% (b) e 53,9% (c), respectivamente. Para todas, a

frequência de excitação acústica no alto-falante era de 392 Hz. Em (d), uma imagem de

um escoamento sem a presença de excitação acústica.

35

Tabela 4.1 – Razão entre e a pressão sonora (p') e pressão de escoamento (<p>) em

relação à taxa de escoamento nominal Qreal, à velocidade central do jato Ub, e à

voltagem V aplicada no alto-faltante para diferentes valores de frequência de excitação

Frequência de

excitação (Hz) Voltagem (V) >< p

p'

Qreal (l/min)

Velocidade

central Ub (m/s)

0,8 8,2% 11,9 7,3

1,2 12,3% 11,7 7,2

2,0 19,3% 11,5 7,1

2,5 23,3% 11,2 6,9

3,0 31,3% 11,3 7,0

392

6,0 53,9% 11,2 6,9

0,8 5,5% 15,4 9,7

1,2 7,6% 16,4 10,8

2,0 14,7% 15,2 9,9

2,5 17,7% 15,0 9,8

3,0 22,2% 14,8 10,2

748

6,0 42,1% 19,7 12,0

0,8 7,7% 15,7 9,5

1,2 13,2% 17,5 10,1

2,0 17,0% 16,0 9,4

2,5 22,8% 15,9 9,2

3,0 21,5% 16,5 9,1

788

6,0 28,4% 19,5 12,1

36

Foram realizados também ensaios para as freqüências de excitação de 240 Hz,

592 Hz e 640 Hz, porém devido a problemas enfrentados com o equipamento de luz

estroboscópica esses ensaios tiveram que ser descartados durante o processo de análise

dos dados que será apresentado no capítulo a seguir.

37

Capítulo 5

Análise dos modos simétricos de um

escoamento excitado acusticamente

5.1 MODELO LINEAR

Devido à instabilidade intrínseca do jato, a oscilação é amplificada enquanto o

escoamento desenvolve-se à jusante. Em um modelo linear, considera-se uma

perturbação descrita pela função de corrente (bidimensional) ψ:

)()(),,( kxtjeytyx −ℜ= ωφψ (5.1)

onde φ é a amplitude complexa de deslocamento, ω a freqüência angular, t é o tempo, k

é o número de onda complexo (k = kr + jki) e x e y são respectivamente as coordenadas

horizontal e vertical. A velocidade de convecção da perturbação corresponde a cp = ω /

kr, enquanto que a amplificação espacial é obtida através do coeficiente ki.

A velocidade da onda de instabilidade será calculada pela diferenciação da

função de corrente (Prandtl & Tietjens, 1934):

x

yv∂∂−= ψ

)( (5.2)

38

Conforme descrito no capítulo 3, os modos de oscilação do jato são analisados

através da equação de Rayleigh:

( ) 0)(²

)(²)(²

²

)(²)( =

∂∂−

−

∂∂− yv

y

yUyvk

y

yvcyU (5.3)

onde U(y) é o perfil de velocidade do escoamento, v(y) é a velocidade da perturbação e

c é a velocidade de fase (complexa), tal que c = ω / k.

Mattingly & Criminale (1971) calcularam que as condições iniciais para os

modos simétricos de oscilação do jato são v(0) = 0 e ∂v(0)/∂y = 1.

5.1.1 Resolução Numérica

De acordo com a abordagem de Rayleigh, espera-se que a instabilidade seja

dependente do perfil de velocidade do jato. O perfil de velocidade do jato na saída do

canal depende basicamente da história do escoamento no canal confinado antes que a

separação ocorra.

Conforme aprofundado no capítulo 3, Nolle (1998) propôs uma família de perfis

de velocidade generalizando o perfil de Bickley da seguinte forma:

n

b b

yUyU

= ²sech)( (5.4)

onde b é a altura do perfil de velocidade do jato, Ub é a velocidade central do jato, e o

expoente n é um parâmetro que faz o perfil de velocidade do jato cada vez mais

quadrático (se aproximando de um top-hat) à medida que é o parâmetro é incrementado

(Figura 5.1).

39

Figura 5.1 – Perfis de velocidade do tipo Bickley (n = 1, 2, 3)

O método numérico de Rung-Kutta/Nyström (ver Apêndice B) foi usado para

determinar quais são os valores de k e ω que melhor resolvem a equação (5.3).

Na Figura 5.2 são apresentados os gráficos encontrados através desta resolução

numérica que relacionam o coeficiente de amplificação ki e o coeficiente kr (relacionado

à velocidade de convecção cp) em função do número de Strouhal “angular”, definido por

Mattingly & Criminale (1971) como: ωr = 2π Str.

40

(a)

(b)

Figura 5.2 – (a) Coeficiente kr, relacionado à velocidade de convecção cp,

(b) coeficiente de amplificação ki, ambos em função do número de Strouhal angular ωr

obtidos numericamente, para n = 1, 2 e 3.

41

O número de Strouhal angular ωr é definido em relação à velocidade central Ub

do jato, à altura b do perfil de velocidade do jato, e à freqüência angular ω de oscilação

da perturbação da seguinte forma:

br U

bωω = (5.5)

Para se calcular a relação entre a altura h da saída do canal (no caso, 1 mm) e a

altura b do perfil de velocidade do escoamento, deve-se considerar a conservação do

transporte de quantidade de movimento e a velocidade central do jato, como segue:

dyb

yUdyU bb∫ ∫

+∞

∞−

+∞

∞−

= 422 sechρρ (5.6)

Então:

dyb

yh ∫

+∞

∞−

= 4sech (5.7)

Resolvendo-se a integral, chega-se à seguinte relação entre h e b:

hb4

3= (5.8)

Substituindo-se a equação (5.8) na (5.5), obtém-se:

br U

hωω3

4= (5.9)

42

5.2 PROCESSAMENTO DE IMAGENS

5.2.1 Utilizando o método de Schlieren

As alterações na densidade de um fluido provocam variações no índice de

refração que podem ser visualizadas utilizando a técnica de Schlieren (ver Apêndice A).

Com uma configuração particular, o gradiente de densidade na direção perpendicular do

plano do escoamento é convertido em diferentes níveis de intensidade luminosa,

fazendo com que o escoamento fique visível.

Um escoamento de gás carbônico (CO2) foi utilizado por ter densidade maior

que a do ar (ρCO2 = 1,977 kg/m³, ρar = 1,2 kg/m³). Esta escolha reflete um compromisso

entre ter diferença suficiente para permitir bons resultados ópticos e ser próximo o

suficiente para emular o comportamento encontrado em instrumentos de sopro como a

flauta (La Cuadra et al, 2007).

A Figura 5.3 mostra uma comparação entre perfis de velocidade realizada por La

Cuadra (2005), onde foram utilizados como escoamento tanto o ar como o gás

carbônico, para três velocidades centrais Ub diferentes. Observa-se que há apenas

pequenas diferenças entre eles, o que valida as medidas realizadas com o gás carbônico.

43

Figura 5.3 – Comparação entre perfis de velocidade obtidos utilizando-se CO2 e ar para

velocidades centrais Ub = 5, 10 e 20 m/s (La Cuadra, 2005, editado)

O método de visualização pode ser descrito como se segue: o jato de CO2

permanece invisível a olho nu, mas as mudanças na densidade do fluido provocam

variações do índice de refração, que podem ser visualizadas utilizando-se a técnica de

Schlieren. Com um pequeno anteparo colocado horizontalmente (eixo y), o gradiente

vertical de densidade é convertido em intensidade luminosa para a câmera, fazendo com

que o jato fique “visível” (Figura 5.4).

44

Figura 5.4 – O sistema de Schlieren (Merzkirch, 1987, editado)

Imagens em seqüência do escoamento são obtidas com uma câmera digital

SensiCam da PCO (obturador em posição rápida) com o tempo de exposição definido

para 1 µs. Uma fonte de luz estroboscópica sincronizada é usada para fornecer o

contraste necessário. Os sinais que desencadeiam o flash, a captura da câmera e a

excitação acústica vêm de diferentes canais do mesmo gerador de sinais, garantindo

uma perfeita sincronização para o efeito estroboscópico.

A freqüência das imagens capturadas fc é definida de tal forma que seus

múltiplos são levemente diferentes da frequência de excitação fe, proporcionando uma

representação com aliasing da oscilação (o que neste caso é desejado). O número de

imagens por ciclo de oscilação Î pode ser ajustado ao se controlar estas duas freqüências

por meio da seguinte relação:

cec fff

Î

mod

1= (5.10)

onde a função mod representa o resto após a divisão de fe por fc.

45

Certamente, imagens sucessivas serão provenientes de diferentes períodos do

sinal de excitação, mas elas podem ser recolocadas na ordem correta de um mesmo

ciclo, dado que a oscilação da imposição acústica é periódica.

Uma vez que as frequências de oscilação do escoamento são muito mais

elevadas do que as fornecidas pela câmera, e, além disso, é desejável ter um número

arbitrário de imagens por ciclo, o efeito estroboscópico é usado a favor do experimento.

A frequência da câmera foi fixada em 8 Hz, ou seja, oito fotos por segundo. A

frequência de excitação acústica foi variada de 392 Hz até 788 Hz, como descrito

anteriormente no capítulo 4. A frequência de excitação é então ligeiramente deslocada

(0,28 Hz) a partir de um número inteiro múltiplo da frequência de captura de imagem da

câmera, proporcionando uma representação com aliasing da oscilação. Isto é feito a fim

de se evitar o efeito estroboscópico – se a frequência da perturbação no alto-falante

fosse definida como um múltiplo exato da freqüência da câmera (para este caso, um

múltiplo de oito), se acabaria por ver o escoamento como completamente estacionário.

Imagens obtidas com o método de Schlieren são extremamente sensíveis a

variações na configuração. Pequenas diferenças nos parâmetros podem produzir

enormes variações de imagem (ver Apêndice A). Portanto imagens obtidas a partir de

diferentes ensaios são muitas vezes diferentes, e exigem métodos de análise de imagem

bastante robustos para analisá-los.

Ao todo 368 imagens foram tiradas por seqüência, abrangendo vários ciclos de

oscilação do jato. As imagens bidimensionais são capturadas em arquivos do tipo

bitmap, com tamanho 1280 (colunas) x 1024 (linhas), e 8 bits de intensidade na escala

de cinza (8 bits → 28 = 256 valores, sendo 0 o nível mais escuro e 255 o mais claro).

46

Há necessidade de que as imagens também sejam calibradas, de forma que se

tenha uma relação entre a distância entre os pixels de cada imagem e a distância real em

milímetros, utilizando-se para tal, imagens de objetos com dimensões conhecidas: uma

esfera de diâmetro (13,49 ± 0,05) mm e um cilindro de diâmetro externo (2,49 ± 0,05)

mm, mostrados na Figura 5.5.

(a)

(b) (c)

Figura 5.5 – Materiais usados na calibração das imagens dos escoamentos: em (a) uma

foto da esfera e do bastão, e em (b) e (c) suas respectivas imagens obtidas através do

método de Schlieren.

47

5.2.2 Análise dos Dados

A análise dos dados é iniciada considerando-se o gráfico de intensidade de cinza

de cada uma das 1280 colunas de cada uma das 368 imagens para cada ensaio

experimental. Na Figura 5.6, é mostrada a coluna 480 da imagem 63 da seqüência do

ensaio com freqüência de excitação de 392 Hz e amplitude de 0,8 V no alto-falante

(relação p'/<p> = 8,23%).

A partir da imagem real do escoamento, para cada coluna desta imagem, um

gráfico de nível de escala de cinza é obtido, procurando-se as partes mais escura e mais

clara deste gráfico. Em seguida, duas curvas parabólicas são ajustadas a estas partes

mais escuras e claras, de modo a que se tenha uma definição espacial maior do que a do

tamanho de um pixel, assim como para reduzir a influência do ruído intrínseco. A seguir

a espessura de jato é estimada.

A espessura do jato numa dada posição é então calculada como sendo a distância

entre o nível mais claro e o mais escuro da coluna correspondente. Isto é feito de forma

iterativa por todas as colunas de uma única imagem. Finalmente, ter-se-á a variação da

espessura do jato em função da distância, como mostrado na Figura 5.7 para o mesmo

exemplo. No caso, para os primeiros 2,5 mm, quando o primeiro lóbulo de oscilação

ocorre. E assim é feito de forma recursiva para todo o pacote de imagens de um dado

ensaio, objetivando determinar a espessura do jato em função da distância à saída do

canal para todas as colunas de todas as imagens.

48

392Hz-0.8V - Image 0063

(a) (b)

(c) (d)

Figura 5.6 – (a) A imagem real do escoamento, onde a linha azul indica a 480ª coluna

da imagem; (b) O gráfico de nível de escala de cinza, indicando quais são as partes mais

escura e mais clara na coluna indicada na imagem do jato; (c) A mesma imagem em que

duas curvas parabólicas foram ajustadas para as partes mais escura e mais clara, de

modo a ter uma definição espacial maior do que a do tamanho de um pixel, assim como

para reduzir a influência do ruído intrínseco; (d) É indicado como a espessura

do jato é estimada.

49

Figura 5.7 – Espessura do jato em função da distância à saída do canal

Todas as colunas de cada imagem oscilarão em função do tempo, na freqüência

da excitação acústica (Figura 5.8).

Desta forma, para cada coluna, pode-se ajustar uma forma de onda senoidal

nesta mesma freqüência de oscilação com a amplitude e fase obtida através de seu

espectro (FFT):

∑−

=

−=

1

0

21

)(N

i

f

fjm

mseX

NfY

π

(5.13)

onde N é o número de imagens na seqüência (368 para o presente caso), Xm é a

espessura do jato para uma dada coluna m, f é a freqüência de oscilação e fs é a

freqüência de amostragem (que é uma relação da freqüência do obturador da câmera

com a freqüência de oscilação da perturbação). Um exemplo da amplitude e da fase da

oscilação Y(f) é mostrado na Figura 5.9 (pontilhados em azul).

50

(a)

(b)

Figura 5.8 (a) Oscilação do jato visto na 500ª coluna para todo o pacote de imagens de

um único ensaio e (b) e o espectro (FFT) da oscilação

51

(a)

(b)

Figura 5.9 – Curvas de (a) amplitude e (b) fase da oscilação: os pontos representam os

dados obtidos experimentalmente, e em vermelho, as curvas ajustadas

52

Na descrição linear, a perturbação é amplificada enquanto o escoamento

desenvolve-se à jusante. O modelo linear descrito pelo sistema de equações (5.1) a (5.4)

prevê um crescimento exponencial descrito para o fator de amplificação ki, e uma

velocidade convectiva da perturbação cp constante. Desta forma, ki pode ser obtido

ajustando-se uma curva exponencial à curva de amplitude da oscilação, enquanto que a

velocidade convectiva cp corresponde à inclinação da curva de fase da oscilação. Na

Figura 5.9, as curvas ajustadas estão em vermelho.

O procedimento é então repetido para diversos ensaios e seqüências de imagens

– de acordo com os valores mostrados na Tabela 4.1. Em todos os casos simulados, os

dados mantiveram-se em conformidade com o modelo teórico apresentado.

Nas Figuras 5.10 e 5.11, são mostradas as curvas obtidas numericamente,

comparativamente aos dados obtidos experimentalmente para o coeficiente de

amplificação ki e o coeficiente kr como função do número de Strouhal angular ωr,

respectivamente, para o caso do perfil de Bickley com n = 1 e para os da generalização

de Nolle com n = 1, 2 e 3.

Essas curvas estão apresentadas também em função da frequência de excitação e

voltagem aplicada no alto-falante no Apêndice C. Aqueles gráficos são dados como

material adicional, embora deles não tenha sido extraída informação relevante.

Obtiveram-se através do método realizado resultados muito próximos aos

valores teóricos em termos do fator de amplificação do escoamento e da velocidade de

convecção para uma gama de ensaios experimentais. Observa-se que, em ambos os

casos, as curvas obtidas numericamente e os dados experimentais são consistentes, e,

portanto, pode-se chegar à conclusão de que o método apresentado funcionou de forma

apropriada.

53

(a)

(b)

Figura 5.10 – Comparação dos dados obtidos numericamente para n = 1 (linha azul)

com os experimentais (pontos vermelhos) dos coeficientes kr (a) e ki (b) como função do

número de Strouhal angular ωr.

54

(a)

(b)

Figura 5.11 – Comparação dos dados obtidos numericamente para n = 1, 2 e 3

(conforme indicado) com os experimentais (pontos verdes) dos coeficientes kr (a) e ki

(b) como função do número de Strouhal angular ωr.

55

Obtiveram-se através do método realizado resultados muito próximos aos

valores teóricos em termos do fator de amplificação do escoamento e da velocidade de

convecção para uma gama de ensaios experimentais. Observa-se que, em ambos os

casos, as curvas obtidas numericamente e os dados experimentais são consistentes, e,

portanto, pode-se concluir que o método apresentado funcionou de forma apropriada.

Pôde-se observar que os dados experimentais aproximaram-se do obtido

numericamente para o caso do perfil de velocidade de Bickley em que n = 1, o que

significaria um escoamento com perfil mais suave e menos próximo aos do tipo top-hat

(n superiores).

De fato não foi encontrado nenhuma evidência experimental neste trabalho para

perfis de velocidade com n maiores que 1, porém Segoufin (2000) fez um extenso

trabalho sobre os efeitos da formação dos perfis através de diversos tipos de canais.

Segundo ela, observam-se perfis mais suaves advindo de canais mais longos e mais

quadráticos saindo de canais mais curtos. Neste trabalho foi utilizado apenas um tipo de

canal para todas as medições. Por conta disto, não se pode afirmar que o expoente n

proposto por Nolle (1998) em sua generalização do perfil de Bickley deva ser

abandonado.

A visualização do jato combinada com a análise dos dados através de

processamento de dados permitiu observar o comportamento de um jato perturbado por

um campo acústico. Ela forneceu ferramentas não invasivas para que se estudassem os

mecanismos de excitação existente nos instrumentos musicais da família da flauta.

No próximo capítulo essas ferramentas serão utilizadas para se estudar

problemas os quais não foram ainda encontradas explicações adequadas como, por

exemplo, a questão da variação da espessura da oscilação e os limites do modelo linear.

56

Capítulo 6

Limites do modelo linear e estudos sobre a

variação da espessura de oscilação do jato

6.1 MODELO PARA A VARIAÇÃO DA ESPESSURA DE OSCILAÇÃ O DO

JATO

Jatos são intrinsecamente instáveis. Uma perturbação aplicada na origem é

propagada à jusante e amplifica-se a partir da saída do canal, quando o jato deixa de

estar confinado e passa a viajar livremente. As camadas limite são então moduladas pelo

campo acústico causando oscilações no jato com a mesma frequência da excitação

acústica. Além disso, o jato laminar submetido à excitação periódica, ao oscilar nesta

mesma frequência da excitação acústica, amplifica a perturbação até chegar a um

deslocamento lateral que não permite mais sua estrutura estar coesa, causando que o jato

se quebre em vórtices (Figura 6.1).

57

Figura 6.1 – Esboço da divisão da evolução do jato em suas partes linear, trilha de

vórtices, e turbulência e evanescência (Holger, 1977, editado)

Nos instrumentos musicais da família da flauta, o ressonador perturba o jato

através de duas formas: através do campo acústico e pelo feedback hidrodinâmico

causado pela interação do jato com a borda (Charru, 2011). A primeira contribuição, em

que o campo acústico no ressonador é simulado por um alto-falante em execução é o

foco deste trabalho. A segunda contribuição consiste na oscilação do jato devido

unicamente à presença da borda e foi largamente estudada para o caso dos tons de borda

(edgetones) por Curle (1953), Powell (1961) e Ségoufin (2004), dentre outros.

É importante ressaltar que a receptividade do jato refere-se à forma com a qual o

jato reage à excitação acústica e que a instabilidade do jato refere-se à forma com a qual

a perturbação evolui à jusante da origem, isto é, após a saída do canal. Para o caso dos

modos simétricos de oscilação, a receptividade está relacionada à variação da espessura

do jato ξ(x,t) à medida que este se desenvolve à jusante. Porém, não há um modelo na

literatura que descreva esta grandeza. A partir disso, propõe-se neste trabalho um

modelo semi-empírico para ξ(x,t).

58

Inicia-se a descrição através da teoria linear de Rayleigh, segundo a qual um

escoamento ao ser excitado longitudinalmente tem suas camadas limite oscilando e

amplificando-se em seus modos simétricos conforme esboçado na Figura 6.2.

Figura 6.2 – As curvas esboçam os modos simétricos de oscilação do jato segundo a

teoria linear de Rayleigh, a variação da espessura do jato ξlin(x) seria inferida localmente

conforme indicado

Ao considerar-se apenas essa análise pela teoria linear, a variação da espessura

do jato, aqui chamada de ξlin(x,t), seria descrita, por:

( ) )/(0 1),( pi

cxtjxklinlinlin eetx

−+ℜ= ωβξξ (6.1)

onde ℜ denota a parte real da expressão entre colchetes, ξ0lin seria o valor médio inicial

da espessura do jato para esse caso, e βlin um coeficiente adimensional relacionado à

amplitude da oscilação.

Porém, constatou-se experimentalmente que há também uma amplificação

exponencial média da fronteira entre o jato e o meio em repouso com relação à distância

da saída do canal, como ilustrado na Figura 6.3. A análise dos dados sugeriu que essa

amplificação também é controlada pelo mesmo coeficiente de amplificação ki, discutido

59

no capítulo anterior. Esta característica de amplificação da fronteira foi constatada em

toda a gama de ensaios experimentais realizados.

Figura 6.3 – As curvas esboçam a amplificação exponencial média que ocorre com

relação à distância da saída do canal

A Figura 6.4 ilustra como ocorre o crescimento exponencial da amplitude de

oscilação do jato em seus modos simétricos simultaneamente a uma amplificação

exponencial do valor médio da espessura do jato com a distância em relação à saída do

canal. A variação de espessura do jato ξ(x) em um dado instante será obtida localmente

através da distância transversal entre as camadas limite superior e inferior do jato em

relação ao meio em repouso.

60

Figura 6.4 – As curvas ilustram o efeito do crescimento exponencial da amplitude da

oscilação conjuntamente a uma amplificação exponencial das camadas limite do jato

com relação à distância da saída do canal. A variação da espessura do jato ξ(x) será

inferida localmente conforme indicado.

Finalmente, observou-se através das imagens obtidas que o escoamento ao ser

excitado acusticamente possui uma importante característica de “quase” pulsação, como

se possuísse uma espécie de “chave” de offset e onset a cada ciclo de operação.

Propõe-se então um modelo que melhor se encaixou aos dados coletados

experimentalmente. Através da análise das imagens observa-se que a amplitude de

oscilação do jato, que no caso dos modos simétricos se caracteriza como a variação da

espessura do jato no espaço e no tempo ξ(x,t), pode ser descrita por:

( ) )/(0),( pii

cxtjxkxk eeetx−+ℜ= ωβξξ (6.2)

61

onde ℜ denota a parte real da expressão entre colchetes, ξ0 é o valor médio inicial da

espessura do jato e β é um coeficiente adimensional da pulsação relacionado à

amplitude da oscilação, tal que 0 < β ≤ 1. Para β = 1 tem-se um escoamento plenamente

pulsado (em que valores de ξ(x,t) chegam a zero a cada vale da pulsação); para β = 0

ter-se-ia um escoamento sem oscilação alguma, caracterizado apenas pela amplificação

da camada limite (algo que por definição não pode ocorrer). A Figura 6.5 mostra

exemplos de como ξ(x,0) variará de acordo com o valor do coeficiente β.

(a) (b)

(c) (d)

Figura 6.5 – Variação da espessura do jato ξ(x,0) para quatro valores do coeficiente de

pulsação β: (a) β = 0,2; (b) β = 0,5; (c) β = 0,8; (d) β = 1,0. À medida que β aumenta, o

escoamento se torna mais pulsado.

62

Para os ensaios realizados, o valor do β foi inferido por inspeção, ou seja,

chegou-se a um valor ótimo utilizando-se diferentes simulações através do Matlab. Por

ter-se escoamentos com números de Reynolds na faixa entre 900 e 1600, o efeito da

viscosidade provoca que em geral os valores de β encontrados sejam altos. Para uma

aproximação mais precisa e geral desse coeficiente, seria necessária uma análise mais

aprofundada a respeito.

Na Figura 6.6 é mostrada a comparação entre o modelo proposto na equação

(6.2) e os dados experimentais coletados para um caso (com frequência de excitação de

392 Hz a 3,0 V, com Re = 921, para o qual se encontrou β = 0,82). Essa comparação,

bastante satisfatória, é representativa do observado nos demais ensaios efetuados, e

evidencia a adequação do modelo.

Figura 6.6 – Comparação entre os dados experimentais e o modelo proposto para a

variação da espessura do jato (excitação de 392 Hz a 3,0 V com Re = 921). Para este

caso, β = 0,82.

63

6.2 LIMITES DA DESCRIÇÃO LINEAR

A análise do jato totalmente desenvolvido de Holger (1977) é aqui adaptada para

que se estude a oscilação do jato nos limites do modelo linear de Rayleigh. A distância

da saída do canal para a região onde o jato se quebra em vórtices xc, bem como a

amplitude da oscilação naquela posição ξc são investigadas nesta seção. Esses

elementos são usados em conjunto com o modelo proposto neste trabalho para a

variação da espessura do jato para que se determine o seu valor médio na origem do

jato, isto é, ξ0. A Figura 6.7 mostra as variáveis xc e ξc sobrepostas numa imagem obtida

experimentalmente com o método de Schlieren.

Figura 6.7 – Imagem obtida experimentalmente, indicando a posição crítica xc, e sua

respectiva amplitude de oscilação ξc, no local em que a partir de então o modelo linear

não é mais válido

Como será discutido a seguir, observou-se que tanto a amplitude da excitação

acústica quanto o número de Strouhal angular e o número de Reynolds têm efeito sobre

tais parâmetros.

64

6.2.1 Modelo de trilhas de vórtices

No contexto da análise de tons de borda, Holger (1977) propôs um modelo para

descrever o comportamento do jato quando os vórtices estão totalmente desenvolvidos,

além das fronteiras do modelo linear de Rayleigh. Em sua descrição, a vorticidade nas

camadas limite do jato cresce exponencialmente à jusante, a partir da saída do canal até

que atinjam uma forma final observada em uma configuração de trilha de vórtices

estável. Embora o modelo seja concebido para tons de borda que correspondem a uma

perturbação muito menor que a realizada nos experimentos deste trabalho (um fator de

cerca de 100) a descrição geral está em boa concordância com as visualizações

realizadas.

Em sua análise, Holger assume um perfil de velocidade parabólico do tipo

Poiseuille na saída do canal. Segundo La Cuadra (2005), fazendo um exercício

semelhante, mas com um perfil de Bickley, pode ser obtida a quantidade de movimento

do jato na saída do canal Mxjato para o caso estudado:

χλρ 2bjato U

VMx = (6.3)

onde λ é o comprimento de onda hidrodinâmico, V é a velocidade da trilha de vórtices, e

χ é uma variável dependente de dado por:

−

=b

h

b

hb

2²tanh3

2tanh

3

2χ (6.4)

onde h é a altura do canal de saída, e b é a altura do perfil de velocidade do jato. A

quantidade de movimento do jato é igualada à quantidade de movimento da trilha de

vórtices levando à seguinte relação:

65

3/22/ −= rh

H γω (6.5)

onde H é a altura da trilha de vórtices e γ é dado por:

−

=

2

1²tanh

²tanh

16

λπ

λπ

λππ

χγHH

H

(6.6)

Constata-se portanto pela equação (6.5) que há uma dependência entre H e o

número de Strouhal angular da ordem de ωr-2/3.

Segundo La Cuadra (2009), H/2 pode ser considerado como um limite superior

para ξc, o que também pôde ser comprovado neste trabalho (Figura 6.8), portanto:

2

Hc ≤ξ (6.7)

Figura 6.8 – Indicação da altura do deslocamento crítico ξc e da altura H/2 da trilha de

vórtices (para uma excitação acústica de 748 Hz a 1,2 V).

66

Utilizando-se do limite proposto pela equação (6.7), procedeu-se a análise das

medidas experimentais para que se determinassem as dependências dos valores de xc e

ξc com a velocidade acústica Vac, o número de Strouhal angular ωr e o número de

Reynolds.

6.3 AMPLITUDE DA OSCILAÇÃO NA TRANSIÇÃO

6.3.1 Detectando os valores críticos da distância e espessura

Para que pudessem ser obtidos xc e ξc, foi utilizada uma forma indireta de

detecção. Após a parte descrita pela teoria linear — onde o jato era laminar como ocorre

no caso dos instrumentos musicais da família das flautas —, o jato se quebra em

vórtices discretos e a partir de então, nas imagens coletadas nos experimentos, o perfil

de intensidade da escala de cinza das colunas de imagem torna-se ruidoso e não há mais

possibilidade de se extrair nenhuma informação relevante dos dados.

A amplitude da oscilação cresce exponencialmente até a região onde o jato se

quebra em vórtices, xc e ξc serão então medidos no máximo da curva da amplitude da

oscilação, que é considerado um ponto de transição entre os dois modelos: o linear e o

descrito por Holger (1977).

6.3.2 Amplitude da oscilação na região de transição

A amplitude crítica ξc da oscilação no ponto de transição está apresentada na

Figura 6.9 como uma função do número de Strouhal angular ωr.

67

Observa-se que podemos ajustar uma curva de forma decrescente semelhante à

prevista pela equação (6.5), onde H/2h é expresso como proporcional à ωr-2/3. Como

pode ser observado, os valores medidos estão em bom acordo com o modelo proposto, o

que nos leva a afirmar que há fortes indícios empíricos de que ξc é de fato proporcional

ao número de Strouhal angular ωr.

Figura 6.9 – Dados obtidos experimentalmente para a amplitude crítica ξc no ponto de

transição (adimensionalizada pela altura h) em função do número de Strouhal angular

ωr. Uma curva do tipo ξc ∝ ωr-2/3 foi ajustada aos dados experimentais usando o Matlab

de forma a evidenciar a dependência de ξc com o número de Strouhal angular.

68

Procura-se também o valor da amplitude crítica ξc da oscilação em função do

número de Reynolds e se há alguma relação entre eles. A Figura 6.10 mostra a relação

entre a amplitude crítica da espessura e o número de Reynolds, onde pode se extrair que

a amplitude crítica ξc é proporcional à Re1/2. Para se chegar a esta relação foram

tentados vários tipos de curvas, sendo a ξc ∝ Re1/2 a que melhor se ajustou aos dados

experimentais.

Figura 6.10 – Dados obtidos experimentalmente para a espessura crítica ξc no ponto de

transição (adimensionalizada pela altura h) e a curva ajustada indicando a dependência

de ξc com o número de Reynolds (ξc ∝ Re1/2)

69

O valor da amplitude crítica ξc da oscilação é também apresentado como função

da razão adimensional entre a velocidade acústica Vac e a velocidade média central do

jato Ub na Figura 6.11. Os dados mostram que houve de fato uma amplificação de ξc em

relação à ξ0 (valores encontrados experimentalmente para a espessura média inicial ξ0

se encontram na Tabela 6.1 mais à frente deste capítulo) para a gama de valores

estudada.

Figura 6.11 – Espessura crítica ξc (adimensionalizada pela altura h) em função da razão

entre da velocidade acústica Vac e a velocidade média central do jato Ub.

6.3.3 Posição horizontal na transição

Os resultados experimentais obtidos para a distância crítica para a saída do canal

xc são mostrados na Figura 6.12 como uma função da razão adimensional entre a

velocidade acústica Vac e a velocidade média central do jato Ub.

70

Figura 6.12 – Distância crítica à saída do canal, adimensionalizada como xc/h em função

da razão entre a velocidade acústica Vac e a velocidade média central do jato Ub

Como uma primeira aproximação, pode se concluir pela análise dos dados que xc

possui um decaimento logarítmico em relação à razão Vac/Ub, relação esta que pode ser

expressa da seguinte forma:

b

acc

U

V

h

xlogκ−= (6.8)

onde κ é um fator de proporcionalidade, ou seja, um parâmetro a ser ajustado a partir

dos dados obtidos. Seguindo a lógica encontrada até agora, este fator deverá ser

dependente do número de Reynolds e do número de Strouhal angular.

As observações realizadas confirmam que a posição horizontal xc na qual o jato

rompe em vórtices é da ordem de 1 a 3 comprimentos de onda hidrodinâmicos,

conforme sugerido anteriormente por Holger (1977).

71

6.4 AMPLITUDE DA OSCILAÇÃO NA SAÍDA DO CANAL

Conforme já foi citado anteriormente, não há um modelo analítico na literatura

para a descrição da amplitude inicial da oscilação do jato.

A análise realizada mostrou que o valor médio local da espessura do jato, depois

da saída do canal, apresenta um crescimento exponencial do tipo:

xkiex 0)(ˆ ξξ = (6.9)

Também pode ser considerado que o valor H/2 na equação (6.7) é um limite

superior para a amplitude de oscilação, tal que 2/Hc ≤ξ . Assim, combinando as

equações (6.5), (6.8) e (6.9), estima-se um limite para a espessura média inicial:

3/20

0

2 −

≤ r

b

acxk U

V

e

hi

ωγξ (6.10)

que, considerando x0 = 0, torna-se:

3/20 2 −

≤ r

b

ac

U

Vh ωγξ (6.11)

O objetivo é obter uma descrição semi-empírica da amplitude média inicial ξ0 da

oscilação do jato, em função do número de Strouhal angular e do número de Reynolds.

O modelo para o valor médio inicial de oscilação ξ0 na origem, isto é, na saída do canal,

mostra uma dependência com o número de Strouhal angular da ordem de ωr-2/3,

conforme a equação (6.11), proporcionalidade que também foi encontrada nos dados

experimentais como mostrado na Figura 6.9. Além disso, os resultados mostrados na

Figura 6.10, indicam que a amplitude de oscilação é proporcional à Re1/2:

72

Utilizando estas duas observações, é proposta a seguinte relação semi-empírica

para a espessura média inicial ξ0 na saída do canal:

2/13/20 2 Re

U

Vh r

b

ac −

= ωξ (6.12)

A Tabela 6.1 mostra os valores calculados através da análise das imagens

obtidas através do método de Schlieren juntamente com os obtidos através do modelo

proposto na equação (6.12). O erro porcentual D mostrado na última coluna da Tabela

6.1 foi calculado da seguinte forma:

obtido

obtidoerimentalD0

0exp0

ξξξ −

= (6.13)

onde erimentalexp0ξ é a espessura média inicial obtida experimentalmente, obtido0ξ é a

espessura média inicial obtida através da relação expressa na equação (6.12).

Comparando-se os valores obtidos através da análise experimental com os

valores obtidos através da equação (6.12), podemos afirmar que a relação proposta é

bastante consistente com os resultados experimentais.

Na Figura 6.13 é apresentada a razão r0ξ = erimentalexp0ξ / obtido0ξ , em função do

número de Strouhal angular ωr. Pode ser observado que os valores desta razão giram em

torno de 1, o que também valida a expressão encontrada.

73

Tabela 6.1 – Valores obtidos experimentalmente e através da equação (6.12) para a

espessura média inicial ξ0 em função do número de Reynolds Re, do número de

Strouhal angular ωr e da razão entre a velocidade acústica Vac e a velocidade central do

jato Ub. O erro percentual entre os valores obtidos para ξ0 é mostrado na última coluna

ξ0 (mm) Número de Strouhal

angular (ωr)

Número de

Reynolds (Re)

Razão entre a velocidade acústica e a velocidade

central do jato (Vac / Ub)

Valor Experimental

Valor obtido com a

expressão proposta

Erro Percentual

D (%)

0,3412 951 0,443 0,0558 0,0560 0,35

0,3468 935 0,686 0,0735 0,0850 13,5

0,3523 921 1,093 0,1339 0,1330 0,67

0,3538 918 0,809 0,1095 0,0908 20,5

0,3550 914 1,869 0,2267 0,2254 0,57

0,3558 967 0,301 0,0400 0,0387 3,35

0,3859 1605 2,567 0,3738 0,3880 3,6

0,4103 1590 1,714 0,2426 0,2476 2,0

0,4496 1306 0,844 0,1097 0,0969 13,2

0,4582 1424 0,712 0,0991 0,0904 9,6

0,4637 1336 0,385 0,0426 0,0470 9,3

0,4861 1343 1,097 0,1112 0,1164 4,4

0,4927 1257 0,263 0,0268 0,0299 10,3

0,4994 1240 0,694 0,0880 0,0776 13,4

0,5028 1298 1,124 0,1155 0,1281 9,8

0,5065 1223 0,823 0,0920 0,0906 1,5

0,5089 1282 0,375 0,0346 0,0421 17,8

0,5134 1206 1,022 0,0958 0,1107 13,4

74

Figura 6.13 – Razão r0ξ entre a espessura média inicial encontrada experimentalmente

e a obtida através da equação (6.12) em função do número de Strouhal angular ωr.

Pode-se observar que o erro porcentual D se manteve abaixo de 14% para a

grande maioria dos ensaios realizados, desviando em torno de 20% em apenas dois

casos, conforme mostrado na Tabela 6.1. Infere-se portanto que o modelo proposto pela

equação (6.12) é adequado e pode ser utilizado para se prever a espessura média inicial

ξ0 a partir de valores supostos do número de Reynolds, do número de Strouhal angular e

da razão entre a velocidade acústica Vac e a velocidade média central do jato Ub,

conforme era desejado.

75

6.5 RELAÇÃO ENTRE DISTÂNCIA CRÍTICA E O PARÂMETRO

GEOMÉTRICO DAS FLAUTAS

Há um parâmetro geométrico adimensional existente nos instrumentos musicais

da família da flauta que relaciona a distância W entre o canal de saída e a borda (ou

labium), e a altura h do canal (Figura 6.14). Largamente difundido na literatura, esta

razão W / h é, segundo Fabre (1992), um parâmetro determinante na operação desses

instrumentos.

Figura 6.14 – Parâmetros geométricos de um sistema de excitação: h é a altura do canal

e W é a distância da saída à borda (Chaigne & Kergomard, 2008, editado).

Segundo Fabre (2008), há instrumentos que usam jatos “curtos” com valores da

relação W/h de poucas unidades como no caso das flautas doces e outros com os jatos

“longos”, com valores de W/h que vão até 20 como no caso de alguns tubos de órgãos:

202 <<h

W (6.14)

A Figura 6.15 mostra a faixa de operação de alguns instrumentos da família da

flauta, em um espaço definido pela relação W/h e o número de Reynolds.

76

Figura 6.15 - Intervalo aproximado de funcionamento dos instrumentos da

família da flauta (Fabre, 2003, editado)

Para o caso dos experimentos realizados, podemos relacionar diretamente a

razão W/h com a razão xc/h, onde xc é a distância crítica e h é a altura da saída do canal

(que para o caso destes experimentos é igual a 1 mm), para identificar se o jato se

manteria no regime linear ao atingir a borda de uma flauta, ou, do contrário, passaria a

entrar no regime não-linear ao atingir a borda (ou até mesmo já ter evanescido antes de

atingi-la).

A Tabela 6.2 mostra a relação do número de Reynolds Re com a distância crítica

xc obtida experimentalmente:

77

Tabela 6.2 - Relação do número de Reynolds Re com a distância crítica xc obtida

experimentalmente

Número de Reynolds (Re) Distância crítica xc a partir da qual o

modelo linear não é mais válido (mm)

914 3,821

918 4,625

921 4,681

935 5,076

951 5,273

967 5,837

1206 4,286

1223 4,893

1240 6,105

1257 6,458

1282 5,922

1298 3,849

1306 3,868

1336 6,514

1343 4,540

1424 4,131

1590 3,342

1605 3,652

78

Figura 6.16 – Distância crítica xc/h em relação ao número de Reynolds

A Figura 6.16 mostra que os valores obtidos para a distância crítica

adimensional xc/h estão numa faixa que varia de 3,5 a 6,5. A comparação com as faixas

de operação mostradas na Figura 6.15, sugere que os modos simétricos de oscilação não

estariam em operação linear quando o jato atingisse a borda de alguns tipos de órgãos,

por exemplo. Para a grande parte das flautas, porém, a linearidade quando o jato

atingisse a borda estaria garantida.

79

Capítulo 7

Conclusão

Neste trabalho foi investigado experimentalmente o movimento da coluna de um

jato plano na presença de modos simétricos de oscilação, produzidos por perturbações

acústicas longitudinais geradas por um alto-falante. O comportamento do jato foi

analisado através da visualização não-invasiva do escoamento através da técnica de

Schlieren e posterior processamento de imagens.

O coeficiente de amplificação ki e o coeficiente kr relacionado à velocidade de

convecção das ondas de instabilidades no jato foram obtidos tanto numericamente, a

partir da resolução da equação de Rayleigh, como a partir dos dados experimentais

através do processamento das imagens obtidas. Para os dois coeficientes, a

concordância encontrada foi muito satisfatória, indicando que o método utilizado

funcionou de forma apropriada.

A comparação apontou para o fato de que os dados experimentais foram

consistentes para o caso de um perfil de velocidade de Bickley em que n = 1, o que

significaria um escoamento com perfil mais suave e menos próximo aos do tipo top-hat

(n superiores). De fato não foi encontrado nenhum indício experimental neste trabalho

para o uso de valores de n maiores que 1, porém Segoufin (2000) fez uma extensa

80

investigação sobre os efeitos da formação dos perfis de velocidade através de diversos

tipos de canais, onde observam-se perfis mais suaves advindo de canais mais longos e

perfis mais quadráticos saindo de canais mais curtos. Neste trabalho foi utilizado apenas

um tipo de canal para todas as medições. Por conta disto, não pode se afirmar que o

expoente n proposto por Nolle (1998) em sua generalização do perfil de Bickley deva

ser abandonado, isto é, que deva sempre ser considerado igual a 1.

Foi proposto um modelo semi-empírico para descrever a evolução espaço-

temporal da variação da espessura do jato ξ(x,t). Devido à predominância dos modos

antissimétricos sobre os simétricos na execução dos instrumentos musicais da família da

flauta, não havia na literatura um modelo que descrevesse esta grandeza. O modelo aqui

proposto, que considera um crescimento exponencial da amplitude das oscilações dos

modos simétricos do jato simultâneo a uma amplificação exponencial de sua espessura

média, mostrou excelente concordância com os dados experimentais.

Outra contribuição deste trabalho foi a determinação de uma relação semi-

empírica entre a espessura média inicial ξ0 da oscilação e os seguintes parâmetros: a

altura da saída do canal (h), a amplitude da excitação acústica (Vac), a velocidade central

do jato (Ub) o número de Strouhal angular (ωr) e o número de Reynolds (Re), de forma

a expressar a resposta do jato na saída do canal para a perturbação acústica imposta. A

comparação com os dados experimentais confirmou a validação do modelo proposto.

Para o caso dos experimentos realizados, a razão W/h, um parâmetro geométrico

relacionado à execução dos instrumentos musicais da família das flautas, foi comparada

com a razão entre a distância crítica xc e a altura da saída do canal h, para que fosse

possível identificar se o jato ainda estaria operando no regime descrito pelo modelo

linear ao atingir a borda da flauta, ou se, ao contrário, estaria no regime de operação do

modelo não-linear ao chegar à borda. Concluiu-se que, para a gama de valores obtidos,

81

os modos simétricos de oscilação não estariam mais em operação linear quando

atingissem, por exemplo, a borda de alguns tipos de órgãos, porém, para a grande

maioria das flautas, a linearidade estaria garantida.

Este trabalho enfrentou algumas limitações como o fato de que alguns ensaios

tiveram que ser descartados por conta de problemas com os equipamentos durante os

experimentos. Apesar da quantidade de dados coletados ter sido suficiente, é evidente

que um número mais robusto de ensaios teria sido interessante.

Seguindo a linha dos experimentos realizados, sugere-se como trabalhos futuros

detalhar quais as dependências do coeficiente de pulsação β, verificar a influência que

outros tipos de canais de saída teriam sobre o perfil de velocidade, além de investigar a

ação que os modos simétricos de oscilação teriam sobre a produção dos tons de borda

nos instrumentos musicais da família da flauta.

82

Apêndice A

Método de Schlieren

A luz transmitida através de um escoamento pode ser usada para visualizá-lo

através das alterações locais de seu índice de refração. O feixe é desviado da sua direção

original e esse efeito pode ser usado não somente para visualizar o campo, mas também

para realizar medições da densidade do fluido em questão.

Segundo Merzkirch (1987), a relação entre a densidade do fluido ρ e o índice de

refração m é definida através da forma simplificada da relação de Gladstone-Dale:

1+= ρKm (A.1)

onde K depende das características do gás e também da frequência do feixe de luz

utilizado.

O índice de refração m é considerado como função das três coordenadas de

campo do escoamento, isto é, m = m (x, y, z). O feixe de luz incidente é assumido como

paralelo ao eixo z, como mostrado na Figura A.1.

83

Figura A.1 – Deflexão de um feixe luminoso que incide em uma área de teste de meio

não-homogêneo (Merzkirch, 1974, editado)

A propagação de um único raio luminoso no campo de refração é descrita pelo

princípio de Fermat da óptica geométrica, desta forma:

∫ = 0),,( dszyxmδ (A.2)

onde s denota o comprimento do arco ao longo do raio e ds é definido por

ds² = dx² + dy² + dz². A equação (A.2) é equivalente ao seguinte conjunto de equações

diferenciais:

x

m

mdz

xd

∂∂= 1

²

²;

y

m

mdz

yd

∂∂= 1

²

² (A.3)

Essas expressões podem ser utilizadas para que se obtenham as seguintes

quantidades observáveis:

dzx

m

mlQQ x ∫ ∂

∂=2

1

1*)(

ζ

ζ

(A.4)

84

dzy

m

mlQQ y ∫ ∂

∂=2

1

1*)(

ζ

ζ

(A.5)

dzx

m

mx ∫ ∂∂=

2

1

1tan

ζ

ζ

ε (A.6)

dzy

m

my ∫ ∂∂=

2

1

1tan

ζ

ζ

ε (A.7)

onde as variáveis Q, Q*, εx, εy, ζ1, ζ2 e l estão indicadas na Figura (A.1).

A técnica de “shadow graph” visualiza o deslocamento (QQ*) descrito pelas

equações (A.4) e (A.5), enquanto que a técnica de Schlieren mede o ângulo de deflexão

ε descrito pelas equações (A.6) e (A.7) (Merzkirch, 1987).

Uma das vantagens do método de Schlieren reside na combinação da disposição

ótica relativamente simples com um elevado grau de resolução. A Figura A.2 mostra

sua implementação básica. Utilizando uma primeira lente, faz-se com que o feixe

luminoso de uma fonte pontual se torne paralelo, para, em seguida, atravessar a área de

testes. A segunda lente reorienta o feixe para formar uma imagem pontual da fonte. A

partir daí, o feixe prossegue para uma tela de visualização onde a imagem real e

invertida da área de teste é formada. Um pequeno anteparo é colocado no foco da

segunda lente, bloqueando os raios que não foram desviados pelo escoamento, o que

levará à formação de uma imagem deste na tela de visualização, a partir da variação de

intensidade luminosa no ecrã.

Na Figura (A.2), que ilustra o processo, o pequeno anteparo está colocado

exatamente na posição da imagem pontual da fonte. Um objeto refratário é colocado na

área experimental indicada e dois raios desviados de seus caminhos originais pela

presença do objeto estão indicados por linhas tracejadas. Observa-se que o raio de cima

85

chega normalmente à tela de visualização, iluminando desta forma um ponto na tela,

porém o raio debaixo é bloqueado pelo pequeno anteparo. O ponto da imagem que

corresponde ao raio bloqueado torna-se um ponto escuro sobre um fundo claro, o que

causará a diferença de intensidade luminosa na tela de visualização.

Figura A.2 – Implementação básica do método de Schlieren (Mercer, 2003, editado)

A descrição analítica se realiza da seguinte forma: assumindo que a fonte de luz

tem uma seção retangular (b.a), sendo a altura e b o comprimento, a intensidade I em

qualquer ponto (x, y) na tela de visualização é dada por:

)/(),( 20 cfabIyxI α= (A.8)

onde I0 é a intensidade inicial da fonte de luz, α é o coeficiente de absorção que

descreve a perda de intensidade ocorrida no percurso da fonte de luz até o plano do

pequeno anteparo, e fc é a distância focal da lente da câmara.

Se uma perturbação na área experimental desvia o raio luminoso de um ângulo

ε, a sua imagem correspondente no tela de visualização será deslocado por ∆a e ∆b

como mostrado na Figura A.3.

86

Figura A.3 - Deslocamento da imagem da fonte luminosa (Merzkirch, 1987, editado)

Sendo εy a componente vertical de ε e f2 a distância focal da pequena lente (à

direita na Figura A.2), então:

yy ffa εε 22 )tan( ≅=∆ (A.9)

A variação da intensidade luminosa será dada por:

)/( 20 cfabII ∆=∆ α (A.10)

O processo fotográfico permite medir variações relativas, portanto:

)/( 2 afa

a

I

Iyε=∆=∆

(A.11)

Substituindo εy da equação (A.7) na equação (A.11), pode-se chegar à variação

relativa de intensidade luminosa (∆I / I) numa imagem obtida com o método de

Schlieren, relacionando-a com o gradiente do índice de refração na área experimental:

87

dzy

m

ma

f

I

I

∂∂=∆

∫2

1

12ζ

ζ

(A.12)

Para gases em que m ≅ 1, e utilizando-se da relação de Gladstone-Dale (A.1),

obtém-se:

∫ ∂∂=∆ 2

1

2

ζ

ζ

ρdz

ya

Kf

I

I (A.13)

Ao colocar-se um objeto na área experimental, é evidente que os feixes

luminosos serão desviados de seu caminho natural. Na Figura A.4, assume-se que o

objeto em questão é um jato escoando perpendicularmente ao plano da figura, com uma

seção reta arbitrária. A lente irá direcionar os feixes paralelos a um ponto focal comum

e os feixes que forem desviados pela presença do anteparo, chegarão à tela de

visualização com um certo ângulo ε devido à refração da luz. Observa-se desta forma

que a interceptação dos feixes luminosos causada pelo objeto produz uma distribuição

não-homogênea de luz entre a lente e a tela, causando assim também uma variação na

intensidade luminosa que chega à tela de visualização.

Em resumo, no método de Schlieren, a luz colimada é focada com uma lente, e

um pequeno anteparo é colocado no seu ponto focal, posicionado desta forma para

bloquear cerca de metade da luz. Em um escoamento de densidade uniforme tal ação

fará simplesmente com que na tela de visualização haja uma “fotografia” com metade

do brilho. No entanto, em um escoamento em que haja variações de densidade, o feixe

distorcido é direcionado de forma imperfeita, e então as partes que foram colimadas na

área coberta pelo pequeno anteparo estarão bloqueadas. O resultado é um conjunto de

tons claros e escuros que correspondem aos gradientes de densidade do fluido na

direção normal do pequeno anteparo.

88

Desta forma, o gradiente vertical do índice de refração ∂m/∂y na área

experimental é convertido em uma diferença de amplitude de intensidade luminosa,

fazendo com que o campo de escoamento se torne “visível” na tela de visualização.

Figura A.4 – Mudanças no ângulo de refração são convertidas em intensidades

luminosas na tela de visualização (La Cuadra, 2005, editado)

89

Apêndice B

Método numérico para resolução da

equação de Rayleigh

Descreve-se neste Apêndice, o método de solução numérica da equação de

Rayleigh apresentada no capítulo 3:

( ) 0)(²

)(²)(²

²

)(²)( =

∂∂−

−

∂∂− yv

y

yUyvk

y

yvcyU (B.1)

onde x é a direção do escoamento, y é a direção transversal, U(y) é o perfil de

velocidade, v(y) é a velocidade da perturbação e c é a velocidade de fase (complexa), tal

que c = ω / k, sendo k o número de onda complexo (k = kr + jki), e ωr é o número de

Strouhal angular.

O perfil de velocidade U(y) e o número de Strouhal angular ωr são assumidos

como sendo conhecidos. É necessário que se encontre o par (k,ωr) que verifique as

condições de contorno apresentadas.

90

Para o caso apresentado dos modos simétricos de oscilação do escoamento com

uma família perfil de velocidade de Bickley generalizado por Nolle

(U(y) = Ubsech²(y/b)n), são duas as condições de contorno que devem ser atendidas:

i) em y = ±∞, ∂²U/∂y² = 0,

ii) em y = ±∞, kvyv m=∂∂ / .

Para os modos simétricos, as condições iniciais são v(0) = 0 e ∂v(0)/∂y = 1.

A primeira condição de contorno é tomada como inicialização para y e dy, onde

dy é o passo do método numérico. O “infinito” é assumido como y = ±10 (dado que a

saída do canal possui 1 mm), k é inicializado por meio de valores impostos. A equação

(B.1) é então resolvida de acordo com o método de Runge-Kutta/Nyström com um

passo dy = 0,025. O valor obtido a cada passo seria o de ∂v(0)/∂y. Se este valor for o

mesmo da condição inicial, o cálculo é interrompido, caso contrário, um novo k é

estimado pelo método de Newton. Este método é repetido até que a condição inicial seja

atendida.

Este procedimento é aplicado a uma série de números de Strouhal angulares ωr.

Neste caso, uma primeira resolução é feita para um ωr estimado, para então ser

aumentada passo a passo, onde a solução para um valor de ωr precedente servirá de

inicialização para o seguinte.

91

Apêndice C

Detalhamento da dependência do

coeficiente de amplificação e do

relacionado à velocidade convectiva com a

frequência e amplitude da excitação

Nas Figuras C.1, C.2, C.3 e C.4, são mostradas as curvas obtidas

numericamente, comparativamente aos dados obtidos experimentalmente para o

coeficiente de amplificação ki e o coeficiente kr relacionado à velocidade de convecção

como função do número de Strouhal angular ωr, separadas por frequência de excitação e

voltagem aplicada no alto-falante, onde, para todos os casos, o perfil de Bickley

considerado foi o com n = 1.

Na Figura C.1, mostram-se as curvas obtidas para os ensaios realizados com

frequência de excitação de 392 Hz, onde os pontos indicados indicam a voltagem

aplicada ao alto-falante, nominalmente para 0,8 V (em ciano), 1,2 V (em verde), 2,0 V

(em azul), 2,5 V (em vermelho), 3,0 V (em preto) e 6,0 V (em magenta). O mesmo vale

92

para as Figura C.2 e C.3, alterando-se porém a frequência de excitação utilizada, para

respectivamente os casos de 748 Hz e 788 Hz.

Na Figura C.4, são apresentados todos os pontos obtidos experimentalmente,

separando-os pela frequência de excitação aplicada, são elas 392 Hz (em magenta), 748

Hz (em preto) e 788 Hz (em verde).

93

(a)

(b)

Figura C.1 – Comparação dos dados obtidos numericamente para n = 1 (linha azul) com

os experimentais (pontos indicados) dos coeficientes kr (a) e ki (b) como função do

número de Strouhal angular ωr para o caso dos ensaios realizados com frequência de

excitação de 392 Hz.

94

(a)

(b)

Figura C.2 – Comparação dos dados obtidos numericamente para n = 1 (linha azul) com

os experimentais (pontos indicados) dos coeficientes kr (a) e ki (b) como função do

número de Strouhal angular ωr para o caso dos ensaios realizados com frequência de

excitação de 748 Hz.

95

(a)

(b)

Figura C.3 – Comparação dos dados obtidos numericamente para n = 1 (linha azul) com

os experimentais (pontos indicados) dos coeficientes kr (a) e ki (b) como função do

número de Strouhal angular ωr para o caso dos ensaios realizados com frequência de

excitação de 788 Hz.

96

(a)

(b)

Figura C.4 – Comparação dos dados obtidos numericamente para n = 1 (linha azul) com

os experimentais (pontos indicados) dos coeficientes kr (a) e ki (b) como função do

número de Strouhal angular ωr onde os pontos estão separados segundo a frequência de

excitação do ensaio: 392 Hz, 748 Hz e 788 Hz.

97

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