Evolução de populações - moodle-arquivo.ciencias ... · Evolução de populações % % BASIC MAGICAL GIRL-WITCHES MODEL % This file has been produced for Matlab 7.4.0 % It is

2013/04/09 MN 1

Evolução de populações

Como se vê, a oscilação diminui com o

tempo.

Os valores para que tendem P e Q são

P0,4

Q1.5

O traçado do gráfico em teia de aranha

ajudou a compreender a evolução do

modelo logístico, mas para se aplicar a

este caso teríamos de usar quatro

dimensões.

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Para fazermos uma visualização conjunta das

duas variáveis, P e Q, vamos usar o chamado

plano de fase em que se representa P nas

abcissas e Q nas ordenadas.

A sucessão dos pontos (Pi,Qi) designa-se por

órbita.

Como é evidente perdemos alguma informação,

em relação à variável tempo, pelo que em geral

se indica qual o ponto correspondente a t=0

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function graf_predador_orbita t = [0:1:100]; P(1) = 1.1; Q(1) = 0.4; r = 1.3; K = 1; for i = 1:100 P(i+1) = P(i)*(1+1.3*(1-P(i)))-0.5*P(i)*Q(i); Q(i+1) = 0.3*Q(i)+1.6*P(i)*Q(i); endfor plot (P,Q,'-o','markersize',3) axis([0 1.5 0 2.5]) text(P(1)+0.03,Q(1),"t=0") xlabel ("P",'fontsize',14); ylabel ("Q",'fontsize',14); return

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Podemos, mas não o faremos aprofundar o

estudo deste modelos, considerando mais

que duas espécies, determinando os

pontos de equilíbrio, etc..

Passamos então a outra modelização, que é

muito importante, mas que, como nos

casos anteriores, encararemos de forma

simplificada: Modelos de epidemias

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Puella Magi


Consideremos uma população imaginária,

tirada das histórias “Puella Magi”.

A diferença em relação às cadeias

alimentares vulgares é a seguinte:

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quando a “alma-jóia” de uma “rapariga

mágica” (RM) se apaga, ela renasce como

bruxa. Há portanto uma regressão na

cadeia destes seres o que complica o

modelo a utilizar.

Por outro lado existe uma entidade

chamada Kyubey que transforma a

população em RMs.

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Esquema geral com as

seguintes grandezas: M(t): número de RM no instante t (inteiro)

W(t): número de bruxas no instante t (inteiro)

C: número de raparigas transformadas no instante

t (inteiro)

D: proporção de RM que morrem em cada iteração (percentagem)

B: proporção de RM que passam a bruxas em cada iteração (percentagem)

K: proporção de bruxas que mortas em cada iteração (percentagem)

F: o número de familiares por bruxa que passam a bruxa (número real

positivo)

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Estas são as expressões simples para o

modelo

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2013/04/09 MN 12


%

% BASIC MAGICAL GIRL-WITCHES MODEL

% This file has been produced for Matlab 7.4.0

% It is 100% compatible with FreeMat 4.0, however, you may want to change the plot commands to

% plot(M, 'g.-') and plot(W, 'r.-') for aesthetics purpose

%

% If you want to modify the constants, please bear these restrictions in mind:

% -C should be an integer

% -D, B, F and K should be values in [0,1]

% -B should be greater than K (or else, the number of witches will be negative)

%

C = 100; % Amount of Magical Girls contracted by Kyubey, per iteration

D = 0.25; % Proportion of girls getting killed, per iteration

B = 0.125; % Proportion of girls becoming witches, per iteration

F = 0.015; % Proportion of familiars maturing into witches, per iteration

K = 0.12; % Proportion of witches getting killed

steps = 100; % Number of iterations for the simulation

M(1) = 0; % Number of magical girls at first

W(1) = 0; % Number of witches at first

hold on

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steps = 100; % Number of iterations for the simulation



hold on

for t=1:steps

deltaM = C-(D+B)*M(t);

deltaW = F*W(t) + (B-K)*M(t);

M(t+1)=M(t)+deltaM;

W(t+1)=W(t)+deltaW;

end

title('Evolution of the Magical Girls population over time','FontSize',14)

xlabel('time')

ylabel('number of magical girls & witches','FontSize',13)

plot(M, 'g-')

plot(W, 'r-')

legend('Magical Girls', 'Witches', 'location', 'southeast','FontSize',12)

legend('boxoff','FontSize',12)

hold off

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C = 100

D = 0.25

B = 0.125

F = 0.015

K = 0.12

M(1) = 0

W(1) = 0

Número de iterações =100 𝐶

𝐵 + 𝐷= 267

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0 20 40 60 80 100 1200

50

100

150

200

250

300

Evolution of the Magical Girls population over time

time

num

ber

of m

agic

al girls

& w

itches

Magical Girls

Witches


Se as populações estiverem em equilíbrio

dinâmico, o número de cada uma não varia:

ΔM(t) = 0

ΔW(t) = 0

C = (D+B)M(t) (Magic girls)

F.W(t) = (K-B) W(t)

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Da expressão

que no equilíbrio é nula podemos concluir

que 𝐶

𝐷+𝐵 é a população de RM nestas

condições.

De no equlíbrio

podemos calcular 𝐶𝐵−𝐾

𝐵+𝐷 população de

bruxas

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Esta evolução pode ser representada por

equações diferenciais e suas soluções,

mas, para casos especiais não

conseguimos resolvê-las e temos de

recorrer a simulações.

Este tipo de problemas surge muitas vezes

na vida real.

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Se houver mortes naturais podemos

acrescentar uma variável T que representa

a proporção destas.

Traduzindo para Matlab e fazendo diversas

aplicações obtemos resultados muito

diferentes.

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%

% REFINED MAGICAL GIRL-WITCH POPULATION MODEL WITH DIMMING OVER TIME

% BASIC MAGICAL GIRL-WITCHES MODEL

% This file has been produced for Matlab 7.4.0

% It is 100% compatible with FreeMat 4.0, however, you may want to change the plot commands to

% plot(M, 'g.-') and plot(W, 'r.-') for aesthetics purpose

%

% This is the script that simulates the Refined Model, but with an

% additionnal effect of soul gems dimming over time.

%

% If you want to modify the constants, please bear these restrictions in mind:

% -C should be an integer

% -D, B, F, K, and T should be values in [0,1]

% -B should be greater than K (or else, the number of witches will be negative)

%

C = 100; % Number of girls contracted by QBe

D = 0.4; % Proportion of girls (who are fighting) that die

B = 0.15; % Proportion of girls (who are fighting) to become witches

F = 0.01; % Proportion of familiars becoming witches

K = 0.165; % Proportion of witches getting killed by MSes

T = 0.0001; % Number of MSes turning into witches over time

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hold on

for t=1:3000

prop = min(M(t), W(t));

deltaM = C- prop*(D+B) - T*M(t);

deltaW = F*W(t) + prop*(B-K) + T*M(t);

M(t+1)=M(t)+deltaM;

W(t+1)=W(t)+deltaW;

end

title('Evolution of the Magical Girls population over time')

xlabel('time')

ylabel('number of magical girls/witches')

plot(M, 'g-')

plot(W, 'r-')

legend('Magical Girls', 'Witches', 'location', 'northeast')

legend('boxoff')

hold off

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C = 100 D = 0.4 B = 0.15 F = 0.01 K = 0.165 T = 0.0001 M(0) = 0 W(0) = 0

2013/04/09 MN 22

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 35000

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000


time

num

ber

of m

agic

al girls

/witches

Magical Girls

Witches


C = 10 D = 0.01 B = 0.1 F = 0.5 K = 0.2 T = 0.0001 M(0) = 0 W(0) = 0

2013/04/09 MN 23

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 35000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2x 10

4Evolution of the Magical Girls population over time

time

num

ber

of m

agic

al girls

/witches

Magical Girls

Witches


• C = 10; % Number of girls contracted by QBe

• D = 0.01; % Proportion of girls (who are fighting) that die

• B = 0.1; % Proportion of girls (who are fighting) to become witches

• F = 0.05; % Proportion of familiars becoming witches

• K = 0.2; % Proportion of witches getting killed by MSes

• T = 0.0001; % Number of MSes turning into witches over time

•

• M(1) = 0; % Number of magical girls at first

• W(1) = 0; % Number of witches at first

2013/04/09 MN 24

0 50 100 150 200 250 300 350 4000

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500


time

num

ber

of m

agic

al girls

& w

itches

Magical Girls

Witches


C = 10; % Number of girls contracted by QBe

D = 0.01; % Proportion of girls (who are fighting) that die

B = 0.1; % Proportion of girls (who are fighting) to become witches

F = 0.5; % Proportion of familiars becoming witches

K = 0.2; % Proportion of witches getting killed by MSes

T = 0.01; % Number of MSes turning into witches over time



2013/04/09 MN 25

0 50 100 150 200 250 300 350 4000

1

2

3

4

5

6

7

8x 10

60Evolution of the Magical Girls population over time

time

num

ber

of m

agic

al girls

& w

itches

Magical Girls

Witches

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