Universidade Federal de Alagoas

Profa Elisa Ma Canete Molero

Teoria dos Corpos, Exercicios Capıtulo 4

13 de maio de 2015

1. Sejam E, F, K corpos tais que E ⊃ F ⊃ K tal que E e um corpo dedecomposicao de um polinomio f sobre K. Prove que E e tambem umcorpo de decomposicao de f sobre F.

2. Seja f = X2 + aX + b ∈ K[X] com K arbitrario. Prove que:· Se f e redutıvel sobre K, entao o corpo de decomposicao de f e K.· Se f e irredutıvel sobre K, entao F, corpo de decomposicao de f e talque: [F:K]=2

3. Seja f = X3 − 2 ∈ Q[X]. Seja u = 3√

2 ∈ R e w = −1+√−3

2 . Prove queo corpo de decomposicao de f sobre Q e Q(u,w).

4. Seja f = Xp − 1 ∈ Q[X] com p primo. Determine o corpo de decom-posicao de f sobre Q.

5. Seja f = Xp − 2 com p primo. u = p√

2eζ = e2πip . E seja E o corpo de

decomposicao de f sobre Q.Prove que:· E = Q(u, ζu, ...ζp−1u)· [E : Q] = p · (p− 1)

6. Seja E,F,K corpos tais que E ⊃ F ⊃ K com F |K algebrica. Proveque E e fecho algebrico de F se e somente se E e fecho algebrico de K.

7. Seja K um corpo e K seu fecho algebrico. Prove que:· Se K e finito, entao K e infinito enumeravel.· Se K e infinito, entao, K tem o mesmo cardinal (ℵ) que K.

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