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LISTA DE EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR - PROF. CHICO

01) Mostre que, para qualquer escalar k e quaisquer vetores u e v, k(u - v) = ku - kv.

02) Seja V o conjunto de todas as funções de um conjunto não vazio X num corpo K. Para quaisquer

funções f, g V e qualquer k K, sejam f + g e kf as funções em V definidas como segue:

(f + g)(x) = f(x) + g(x) e (kf)(x) = kf(x). Demonstrar que V é um espaço vetorial sobre K.

03) Se V é o conjunto de pares ordenados de números reais V = {(a,b)/ a,b }, mostre que V não é

espaço vetorial sobre em relação a cada uma das seguintes operações de adição e

multiplicação por escalar em V:

(i) (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) e k(a, b) = (ka, b)

(ii) (a, b) + (c, d) = (a, b) e k(a, b) = (ka, kb)

(iii) (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) e k(a, b) = (k2a, k2b)

04) Seja V = . Mostre que W é subespaço de V, onde :

(i) W = {(a,b,0)/a,b }.

(ii) W = {(a,b,c)/ a+b+c=0}.

05) Escreva o vetor u=(1, -2, 5) como combinação linear de v1=(1, 1, 1);v2=(1, 2, 3 );v3=(2, -1,1 ).

Resp.: u = -6v1 + 3v2 + 2v3

06) Seja V espaço vetorial das funções f: .

(a) Consideremos f(t) = e2t, g(t) = t3 e h(t) = t. Os vetores {f, g, h} são LI ou LD?

(b) {et, e2t } são LI ou LD? Resp: a) LI b) LI

07) Sejam u, v e w vetores LI. Mostre que u + v, u - v e u - 2v + w são LI.

08) Sejam u, v e w vetores LI. Mostre que u, u + v e u + v + w são LI.

09) Prove que: u + v e u - v são LI u e v são LI .

10) No , os vetores (1,1,0); (2,1,1) e (4,3,1) são LD ou LI? Resp: LD

11) Considere os vetores i e i - 1

(a) Mostre que i e i -1 são LD, considerando como espaço vetorial complexo e K=

(b) Mostre que i e i -1 são LI , considerando como espaço vetorial complexo e K=

12) Seja V espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 3 sobre . Os vetores:

u = t3 - 3t2 + 5t + 1 ; v = 2t3 - 4t2 + 9t + 5 e w = t3 - t2 + 8t + 2, são LI ou LD? Resp: LI

13) Sejam e1, e2, .... , en vetores LI. Suponha que u é combinação linear dos vetores acima,

digamos u = a1e1 + a2e2 + .... + anen. Mostre que a representação de u acima é única.

14) Escreva a matriz como combinação linear das seguintes matrizes:

; e Resp.: A=2M1-M2+2M3

2

15) Determine uma base e a dimensão do espaço das soluções do sistema linear (s):

Resp.: Dimensão = 1 e base =

16) Verifique se os seguintes conjuntos de vetores formam uma base do .

(a) {(1,1,1),(1,-1,5)} Resp.: não

(b) {(1,2,3),(1,0,-1),(3,-1,0),(2,1,-2)} Resp.: não

(c) {(1,1,1),(,1,2,3),(2,-1,1)} Resp.: sim

(d) {(1,1,2),(,1,2,5),(5,3,4)} Resp.: não

17) Seja W o subespaço do gerado pelos vetores (1, -2, 5, -3); (2, 3, 1, -4) e (3, 8, -3, -5).

(i) Encontre uma base e a dimensão de W.

(ii) Estenda a base de W para uma base do .

Resp.: (i) {(1,-2,5,-3),(0,7,-9,2)}, Dim(W) = 2 , (ii) {(1,-2,5,-3),(0,7,-9,2),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}

18) Determine as coordenadas do polinômio p(t) = 1+2t-t3 em relação:

(a) A base canônica de P3( ). Resp.:

(b) A base {1 , 1-t , 1-t2 , 1-t3 } Resp.:

19) Determine as coordenadas de 1-2i em relação a seguinte base de sobre , { 1-i , 1+i }.

Resp.:

20) A matriz de mudança da base B do para a base {(1,1),(0,2)} desse mesmo espaço é .

Determine a base B. Resp:

21) Encontre a dimensão e uma base do espaço solução do sistema: .

Resp:{(-2,1,0,0),(5,0,-2,1,0),(-7,0,2,0,1)}

22) Determinar quais subconjuntos dos são subespaços:

(a)

(b) Resp: a) Não b) Sim c) Não

(c )

3

23) Mostre que W não é subespaço vetorial de M2( ), onde:

a) W conciste de todas as matrizes com determinante nulo.

b) W consiste de todas as matrizes A para as quais A2 = A .

24) Sejam U, V e W os seguintes subespaços do : W={(0,0,c)/c }; U={(a,b,c)/a+b+c=0}:

V={(a,b,c)/a-c=0}. Mostre os itens abaixo. Quando a soma é direta?

(i) = U+V.

(ii) = U+W. Resp: (i) Não é soma direta. (ii) É soma direta. (iii) É soma direta.

(iii) = V+W.

25) Seja M tal que M= [(1, 1, 1, 0), (1, 2, 3, 4)]. Calcule a dimensão de M. Determine uma base

do que contenha uma base de M.

Resp: Base{(0, 1, 0, 0),(0, 0, 1, 0),(1, 1, 1, 0),(1, 2, 3, 4)}, dim(M)=2

26) Mostre que : [(1, 1, 0, 0),(1, 0, 1, 1)]=[(2, -1, 3, 3),(0, 1, -1, -1)].

27) Mostre que os conjuntos V=[(1, 2,1,3),(2, 0, 2, 0),(-4, 4,-4,6)] e W=[(1, 0, 1, 0),(0, 2, 0, 3)]

geram o mesmo subespaço.

28) Sejam P o espaço vetorial de todos os polinômios com coeficientes reais. Sejam

W1= {p(x) / p(1) = 0} e W2= { p(x) / p(2) = 0}. Determine: W1 W2 e W1 + W2.

29) Consideremos o corpo dos números reais como espaço vetorial sobre o corpo Q dos

números racionais. Mostre que os conjuntos e geram o

mesmo subespaço de .

30) Sejam U e W subespaço do 4 dados por: U={(a,b,c,d) / b+c+d=0} e W= {(a,b,c,d) / a+d=0 e

c=2d} Calcular uma base e a dimensão dos subespaços: U, W, U + W e U W.

Resp: base de U {(1, 0, 0, 0),(0, -1, 1, 0),(0, -1, 0, 1)}, dim (U) = 3

base de W {(0, 1, 0, 0),(-1, 0, 2, 1)}, dim (W) = 2

base de U+W {(1,0, 0, 0),(0, -1,1,0),(0, 0, -1,1),(0, 0, 0, 1)}, dim (U+W) = 4

base de U W {(-1, -3, 2, 1)}, dim (U W) = 1

31) Determine as coordenadas do vetor u=(2, 1, 4) do em relação às bases:

a) Canônicas Resp(a): ; Resp(b):

b) B={(1, 1, 1);(1, 0, 1);(1, 0, -1)}

32) Determine as coordenadas da matriz M = 0 2

1- 1 do M2 ( ) em relação à base:

B= 2 1

0 0 ,

0 2

0 0 ,

0 0

1 0 ,

1 0

0 1 Resp:

4

33) Achar a matriz mudança da base B= {(1, 1, 0),(0, 1, 0),(0, 0, 3)} para a base canônica do .

Resp:

1/3 0 0

0 1 1-

0 0 1

34) No consideremos as bases B={e1, e2, e3} e C={g1, g2, g3} relacionadas da seguinte forma:

3213

3212

311

ee2eg

eee2g

eeg

. Determine a matriz de mudança da base B para C e de C para B.

Resp:

35) A matriz de mudança da base B={1 + t, 1 - t} para uma base C, ambas no mesmo subespaço de

P1( ) é 1- 1

2 1. Determine a base C. Resp: C={2, 1

+3t}

36) Quais das aplicações abaixo são transformações lineares:

a) T: 2 2 tal que T(x,y)=(x + y, x)

b) T: 3 tal que T(x, y, z)= 2x- 3y+ 4z. Resp: a) sim b) sim c) não

c) T: 2 tal que T(x, y)= xy.

37) Seja T: 2 a transformação linear tal que T(1,1)=3 e T(0,1)=2.Determine a T(x, y).

Resp: T(x , y)= x + 2y

38) Seja T: 4 3 a transformação linear definida por:

T(x, y, z, t)=(x - y + z + t, x + 2z - t, x + y + 3z - t). Encontre uma base e a dimensão de:

a) Im(T) Resp: Base {(1, 1, 1),(0, 1, 2),(0, 0, 2)}, dim Im(T)=3

b) Ker(T) Resp: Base {(-2, -1, 1, 0)}, dim Ker(T)=1

39) Encontre T(x, y, z) onde T: 3 2 tal que T(1, 1, 1) = (2, 2), T(1, 0, 1) = (1, 1) e T(1, 0, -

1)=(1, -1).

Resp: T(x, y, z)=(x+ y, y+ z)

40) Seja T: 3 3 o operador linear definido por: T(x, y, z)=(x+ 2y- z, y+ z, x+ y- 2z). Encontre

uma base e a dimensão para Im(T) e Ker(T).

Resp: [Im(T)] = {(1, 0, 1),(0, 1, -1)}; dim Im(T) = 2; [Ker(T)] = {(3, -1, 1)}; dim Ker(T) =1

41) Encontre uma transformações T: 4 3 cujo núcleo é gerado por (1, 2, 3, 4) e (0, 1, 1, 1).

Resp: T(x, y, z, t)=(0, -x -y +z, -x -y +z)

42) Encontre uma transformação linear T: 3 3 cuja imagem é gerada por (1, 2, 3) e (4, 5, 6).

5

Resp: T(x, y, z)=(x + 4y, 2x + 5y, 3x + 6y)

43) Sejam F: 3 2 e G: 3 2 definidas por: F(x, y, z)=(2x, y+ z) e G(x, y ,z)=(x - y, y).

Encontre fórmulas definindo as transformações:

a) F + G Resp: F + G=(3x - y, 2y + z)

b) 3F Resp: 3F=(6x, 3y + 3z)

c) 2F - 5G Resp: 2F - 5G=(-x + 5y, -3y + 2z)

44) Sejam F: 3 2 G: 2 2 definidas por: F(x, y, z)=(2x, y +z) e G(x, y)=(y, x). Determine, se

for possível, FoG e GoF.

Resp: GoF=(y+z, 2x), mas FoG não está definida.

45) Sejam F: 2 2 e G: 2 2 transformações definidas por: F(x, y)=(x -y,x) e G(x, y)=(x, 0).

Determine:

a) 2F +3G Resp: (5x - 2y, 2x)

b) FoG Resp: (x, x)

c) GoF Resp: (x -y, 0)

d) F2 Resp: (-y, x - y)

e) G2 Resp: (x, 0)

46) Determine a representação matricial de cada um dos seguintes operadores do 2 em relação às

bases indicadas:

a) T(x, y)=(2x, 3y -x) e base canônica do 2. Resp:

b) T(x, y)=(3x -4y, x + 5y) e a base B={(1, 2),(2, 3)} Resp:

47) Determine o operador T do 2 cuja matriz em relação à base B={(1, 1),(1, 2)} é 2 1

0 1.

Resp: T(x, y)=(2x, 2x + y)

48) Seja T o operador linear do 2 cuja matriz em relação à base B={(1, 1),(1, -1)} é 5 0

0 1.

Determine a matriz de T em relação à base canônica do mesmo espaço.

Resp: 3 2-

2- 3

49) Sejam F: 2 3 e G: 2 3 tais que F(x, y)=(x, x - y, 2y) e que a matriz de F + G em relação

às bases canônicas do 2 e 3 é

33

10

12

.

Determine a matriz de G em relação a essas bases e a expressão da G(x, y).

6

Resp: e G(x, y)=(x + y, -x + 2y, 3x + y)

50) Seja V espaço vetorial das matrizes 2 2 sobre e seja M= 2 2-

1- 1. Seja T:V V a

transformação linear definida por T(A) = MA. Encontre uma base e a dimensão de:

a) Ker(T) Resp: a) Base de Ker(T)=10

10,

01

01 e dimKer(T)=2

b) IM(T) b) Base da Im(T)= 20

10,

02

01 e dimIm(T)=2

51) Mostre que cada operador T do é inversível e encontre uma fórmula para T-1.

a) T(x, y, z) = (x - 3y - 2z, y - 4z, z)

b) T(x, y, z) = (x + z, x - z, y) Resp: a) T-1(x, y, z) = (14z + 3y + x, 4z +y, z)

b) T-1(x, y, z) = 2

yx, z ,

2

yx

52) Determine quais dos operadores lineares do são automorfismo:

a) T(x, y, z) = (x - 3y - 2z, y - 4z, z) Resp: sim

b) T(x, y, z) = (x, x - y, 2x + y - z) Resp: sim

53) Considere o operador linear T do satisfazendo as seguintes condições T(1,0,0)=(1,1,1),

T(0,1,0)=(1,0,1) e T(0,1,2)=(0,0,4). T é um isomorfismo? Se for determine o isomorfismo

inverso.

Resp: Sim, T-1(x, y, z) = 2

zx,

4

zy4x3 ,y

54) Seja 211

1oo2

21oaa a

aa a)tataa(T . Determine a matriz da transformação T:P2( ) M2(

) em relação às bases {1,1+t,2+t2} do espaço P2( ) e a base 3 0

0 0 ,

0 1-

0 0 ,

0 0

1 0 ,

0 0

1 2

do espaço M2( ). Resp: P =

3/13/10

010

32/52/3

12/12/1

55) Suponhamos que B={e1, e2} é base de V e T:V V é o operador linear para o qual T(e1)=3e1-

2e2, T(e2)=e1+4e2. Suponhamos que C={f1, f2} é base de V para a qual f1= e1+e2, f2 = 2e1+3e2.

Encontre a matriz de T em relação à base C. Resp:

1- 2-

11 8

7

56) Encontre todos os auto-valores e uma base para cada auto-espaço:

a) T: 2 2 tal que T(x, y) = (3x + 3y, x + 5y)

b) T: 3 3 tal que T(x, y, z) = (x + y + z, 2y + z, 2y + 3z)

Resp: a) 1 = 2, base de V( 1) e {(3, -1)}

2 = 6, base de V( 2) e {(1, 1)}

b) 1 = 1, base de V( 1) e {(1, 0, 0),(0,-1,1)}

2 = 4, base de V( 2) e {(1, 1, 2)}

57) Para cada matriz encontre todos os auto-valores e os auto-vetores:

a) 3 1

2 2 b)

311

242

113

Resp(a): 1= 1 e V1= (2, -1), 2= 4 e V2= (1, 1)

Resp(b): 1= 2 e V1= (1, -1, 0) e V2= (1, 0, -1) , 2= 6 e V3= (1, 2, 1)

58) Mostre que o operador T do 3 cuja matriz é

7816

438

449

é diagonalizável e exibir sua matriz

na forma diagonal. Resp:

300

010

001

59) Verificar quais dos operadores lineares abaixo é diagonalizável. Em caso afirmativo, exibir a

matriz do operador em relação à base de auto-vetores.

a) b)

Resp: a) É diagonalizável e

b) É diagonalizável e

60) Seja )TS(M)TS(M:T 22 , onde )TS(M2 é o espaço vetorial das matrizes triangulares

superiores, cuja base canônica é . Seja

. Mostre que T é um operador diagonalizável e exibir sua matriz

em relação à base de auto-vetores.

Resp: É diagonalizável e

61) Verificar quais dos operadores lineares abaixo é diagonalizável. Em caso afirmativo, exibir a

matriz do operador em relação à base de auto-vetores.

8

a)

b)

c)

d)

e)

Resp: a) É diagonalizável e

b) É diagonalizável e

c) Não é diagonalizável.

d) É diagonalizável e

e) É diagonalizável e