Exercicios de Analise Combinatoria.pdf

AteorianecessriapararesolverosexercciosapresentadosestemAnliseCombintoria.Algunsexercciospossuemrespostaoualgumauxlio.Nemsempreosexercciosaparecememordemdedificuldadecrescente.

Exercciosdepermutaessimples

1. Comasvogais:A,E,I,OeU,quantaspermutaespodemserformadascontendoasletras:A,EeI.

2. Dequantosmodosdistintospodemoscolocar3livrosjuntosemumaestantedebiblioteca?

Auxlio:P(n)=n!,n=3

Resposta:N=123=6

3. Dequantosmodosdistintos5pessoaspodemsentarseemumbancodejardimcom5lugares?

Auxlio:P(n)=n!,n=5

Resposta:N=12345=120

4. QualonmeropossveldeanagramasquesepodemontarcomasletrasdapalavraAMOR?

Auxlio:P(n)=n!,n=4

Resposta:N=1234=24

5. Quantosnmeroscomcincoalgarismospodemosconstruircomosnmerosmpares1,3,5,7,9.

Auxlio:

Resposta:P(5)=120.

6. Quantosnmeroscomcincoalgarismospodemosconstruircomosnmerosmpares1,3,5,7,9,desdequeestejamsemprejuntososalgarismos1e3.

Auxlio: Cada conjunto com os algarismos 13 e 31 forma um grupo que junto com os outros, fornece 4grupos.

Resposta:N=2P(4)=224=48

7. Consideremosumconjuntocomnletras.Quantaspermutaescomeamporumadeterminadaletra?

Resposta:N=P(n1)=(n1)!

8. Quantossoosanagramaspossveiscomasletras:ABCDEFGHI?

Resposta:P(9)=9!

9. Quantossoosanagramaspossveiscomasletras:ABCDEFGHI,comeandoporA?

Resposta:P(8)=8!

10. Quantossoosanagramaspossveiscomasletras:ABCDEFGHI,comeandoporAB?

Resposta:P(7)=7!

11. Quantossoosanagramaspossveiscomasletras:ABCDEFGHI,comeandoporABC?

Resposta:P(6)=6!

12. Quantossoosanagramaspossveiscomasletras:ABCDEFGHI,comeandoporumadasletrasA,BouC?

Auxlio:ComeandoporumadasletrasA,B,C:P(8)=8!

Resposta:N=3P(8)=38!

13. Quantossoosanagramaspossveiscomas letras:ABCDEFGHI,comeandopelas trs letrasdogrupoABC?

Auxlio:ComeandopelasletrasdogrupoABC:P(3)=3!=6

Resposta:N=P(3)P(6)=6120=720

14. Quantossoosanagramaspossveiscomasletras:ABCDEFGHI,comeandoporumavogaleterminandoporumaconsoante?

Auxlio:3soasvogaise6soasconsoantes.

Resposta:N=P(3)P(6)=6120=720(???)

15. H10pessoasemumlocal,sendo3comcamisasverdes,3comcamisasamarelas,2comcamisasazuise2 com camisas brancas.De quantosmodos podemos perfilar todas essas 10 pessoas demodo que osgruposcomascamisasdemesmacorfiquemjuntos?

Auxlio:Temos4gruposdecamisas,logoP(4)posiesparaasequipeseosgrupospodempermutarassuasposies,respectivamente,P(3),P(3),P(2)eP(2).

Resposta:N=P(4)P(3)P(3)P(2)P(2)=3456

Exercciosdepermutaescomrepetio

16. Quantossoosanagramaspossveiscomasletrasdapalavra:ARARA?

Auxlio:AletraAaparece3vezesealetraRaparece2vezes.

Resposta:Pr(53+2)=5!/(3!2!)=10

17. Quantossoosanagramaspossveisparaapalavra:ULYSSES?

18. Quantossoosanagramaspossveisparaapalavra:ULYSSEScomeandoporU?

19. Quantossoosanagramaspossveisparaapalavra:ULYSSESterminandoporS?

20. Quantossoosanagramaspossveisparaapalavra:ULYSSEScomeandoporUeterminandoporS?

21. QualonmeropossveldeanagramasquesepodemontarcomasletrasdapalavraAMA?

Auxlio:p1=n(A)=2,p2=n(M)=1,N=Pr(32+1)

Pr(pp1+p2)=(p1+p2)!/(p1!p2!)

Resposta:N=3!/(2!1!)=3

22. QualonmeropossveldeanagramasquesepodemontarcomasletrasdapalavraAMAR?

Auxlio:N=(p1+p2+p3)!/(p1!p2!p3!),A=2,M=1,R=1

Resposta:N=4!/(2!1!1!)=12

23. QualonmeropossveldeanagramasquesepodemontarcomasletrasdapalavraARARUNA?

Auxlio:N=(p1+p2+p3+p4)!/(p1!p2!p3!p4!),A=3,R=2,N=1,U=1

Resposta:N=7!/(3!2!1!1!)=420

24. OnmeroPi com10algarismos (semconsideraravrgula) indicadopor3141592653.Quantassoaspermutaesdiferentesquepodemosconstruircomestes10algarismos

Auxlio:n(1)=n(3)=n(5)=2,n(2)=n(4)=n(6)=n(9)=1

Resposta:Pr(10,2+1+2+1+2+1+1)=10!/8=453600

25. Quantossoosanagramaspossveiscomasletrasdapalavra:MATEMATICA?

Auxlio:AletraAaparece3vezes,aletraMaparece2vezes,aletraTaparece2vezes,aletrasEaparece1vez,aletraIaparece1vezealetraCaparece1vez.

Resposta:Pr(103+2+2+1+1+1)=10!/[3!2!2!1!1!1!]=151200

Exercciosdepermutaescirculares

26. Dequantosmodosdistintos5pessoaspodemsentarseemvoltadeumamesacircular?

Auxlio:N=P(n1)=(n1)!,n=5

Resposta:N=1234=24

27. Dequantosmodosdistintos5pessoaspodemsentarseemvoltadeumamesaretangular?

Auxlio:N=P(n1)=(n1)!,n=5

Resposta:N=1234=24

Exercciosdecombinaessimples

28. Umindivduopossui25 livrosdiferentes.Dequantasformasdistintaselepoderempacotar tais livrosemgruposde6livros?

29. Quantosgruposde3pessoaspodemsermontadoscom8pessoas?

Auxlio:C=C(m,p)=m!/[p!(mp)!]m=8,p=3

Resposta:C=8!/(3!5!)=(876)/(123)=56

30. Quantosgruposde2pessoaspodemsermontadoscom1000pessoas?

Auxlio:C=C(m,p)=m!/[p!(mp)!],m=1000,p=2

Resposta:C=1000!/(2!998!)=1000999=999000

31. Quantascombinaescom4elementospodemsermontadascomas10primeirasletrasdoalfabeto?

Conceito:Combinao

Auxlio:C=C(m,p)=m!/[p!(mp)!],m=10,p=4

Resposta:C=10!/(4!6!)=(10987)/(1234)=210

32. Quantascombinaescom4elementospodemsermontadascomas10primeirasletrasdoalfabeto,detalformaquesemprecomecempelaletraA?

Auxlio:C=C(m1,p1).C(mm1,pp1),m=10,p=4,m1=1,p1=1

Resposta:C=C(1,1).C(9,3)=(1987)/6=84

33. Quantascombinaescom4elementospodemsermontadascomas10primeirasletrasdoalfabeto,detalformaquesempreestejamjuntasasletrasAeB?


Resposta:C=C(2,2).C(8,2)=(187)/2=28

34. Quantascombinaescom4elementospodemsermontadascomas10primeirasletrasdoalfabeto,detalformaquenocontenhamnemasletrasAeB?


Resposta:C=C(2,0).C(8,4)=(18765)/24=70

35. Quantascombinaescom4elementospodemsermontadascomas10primeirasletrasdoalfabeto,detalformaquesomenteumadasletrasAouBestejapresente,masnoasduas?


Resposta:C=C(2,1).C(8,3)=(2876)/6=112

36. Quantascombinaescom4elementospodemsermontadascomas10primeirasletrasdoalfabeto,detalformaquecontm2dentreas3letrasA,BeC?


Resposta:C=C(3,2).C(7,2)=(376)/2=63

37. Emumasalaexistem40pessoas, 18mulherese22homens.Quantas comissespodemsermontadasnestasalacontendo3mulherese5homens?

38. Calcularovalordemtalque5C(m+1,3)=2C(m+2,2).

39. Quantostringulospodemsertraadoscontendopontosdeduasretasparalelas,sabendosequeemumaretaexistem6pontosenaoutraretaexistem5pontos?

40. Quantosquadrilterosconvexospodemsertraadoscontendopontosdeduasretasparalelas,sabendosequeemumaretaexistem6pontosenaoutraretaexistem5pontos?

41. Emumaclassecom16pessoas,h10homense6mulheres.ConsideremosHumcertohomemeMumacertamulher.Quantosgrupospodemosformar:

a. com4homense2mulheres?b. contendoHmasnoM?c. contendoMmasnoH?d. contendoHeM?e. contendosomenteHousomenteM?

42. Quantosnmerosdiferentesmaioresdoque100emenoresdoque1000podemserconstrudoscomosalgarismos1,2,3,4,5e6,sendo:

a. quecadaalgarismoaparecesomenteumavez?b. quecadaalgarismopoderepetirat3vezes?c. osnmerosparessemrepetio?d. osnmerosmparessemrepetio?e. osnmerosparescomrepetio?f. osnmerosmparescomrepetio?

43. Pararesolverumassuntoentre6professorese4alunos,devemosformarcomissescom3professorese2alunos.Quantassoaspossibilidades?

Resposta:N=C(6,3)C(4,2)=306=180

44. Desejamos formar comisses de 6 pessoas entre cinco pais de alunos e quatro professores. Quantascomissesterosomente1professor?

45. Desejamos formar comisses de 6 pessoas entre cinco pais de alunos e quatro professores. Quantascomissesterosomente2professores?

46. Desejamos formar comisses de 6 pessoas entre cinco pais de alunos e quatro professores. Quantascomissesteronomnimo2professores?

47. Desejamos formar comisses de 6 pessoas entre cinco pais de alunos e quatro professores. Quantascomissesteronomnimo3professores?

48. Numplanoexistem4pontos,sendoque3delessonocolineares.Qualonmeropossvelderetasquepassamporessespontos?

Resposta:C(4,2)=6

49. Numplanocolocamosnpontos,sendoque3delessonocolineares.Qualonmeropossvelderetasquepassamporessespontos?

Resposta:C(n,2)=n(n1)/2

50. Quatropontossopostosnumplano,sendoque3delessonocolineares.Qualonmeropossveldetringulosconstrudoscomessespontos?

Auxlio:C(3,2)=3tringulosparacadaponto.

51. Qualonmerodediagonaisdeumpolgonoregulardenlados?

Resposta:N=C(n,2)n=n(n1)/2n=n(n3)/2

52. Qualonmerodediagonaisdeumcubo?

53. Qualonmerodediagonaisdeumprismaregularcujabasetem5lados?

54. Qualonmerodediagonaisdeumprismaregularcujabasetem6lados?

55. Qualonmerodediagonaisdeumprismaregularcujabasetemnlados?

56. Comas5vogais:A,E,I,O,U,construiroconjuntoquecontmtodasascombinaestomadas2a2.

57. Com as letras: A,B,C,D,E,F,G e H, determinar o nmero das permutaes possveis que comeam porABC.

Resposta:N=P(5)=120.

58. Quantasdigonaispossuiumdodecgono?

Resposta:N=129/2=54

59. Quantasdigonaispossuiotetraedroregular?

Resposta:N=0

60. Quantasdigonaispossuiumprismatriangularregular?

Resposta:N=0

Exercciosdecombinaescomrepetio

61. Determinaronmerodecombinaescom4elementostomadoscomrepetiode7livros.

Auxlio:Cr=Cr(m,p)=C(m+p1,p),m=7,p=4

Resposta:Cr=Cr(7,4)=C(7+41,4)=C(10,4)=210

62. Determinaronmerodecombinaescomrepetiode4objetostomados2a2.

Auxlio:Cr=Cr(m,p)=C(m+p1,p),m=4,p=2

Resposta:Cr=Cr(4,2)=C(4+21,2)=C(5,2)=10

Exercciosdearranjossimples

63. Quantosnmerosdiferentescom1algarismo,podemosformarcomosalgarismos:0,1,2,3,4,5,6,7,8e9.

Resposta:N1=A(9,1)=9

64. Quantosnmerosdistintoscom2algarismosdiferentes,podemosformarcomosdgitos:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

Auxlio:Osnmerosiniciadospor0notero2dgitosesuaquantidadecorrespondeaA(9,1).

Resposta:N2=A(10,2)A(9,1)=1099=909=81

65. Quantosnmerosdistintoscom3algarismosdiferentes,podemosformarcomosdgitos:0,1,2,3,4,5,6,7,8e9.


Resposta:N3=A(10,3)A(9,2)=720720=648

66. Quantosnmerosdistintoscom4algarismosdiferentes,podemosformarcom:0,1,2,3,4,5,6,7,8e9.


Resposta:N4=A(10,4)A(9,3)=5040504=4536

67. Quantosnmerosdistintosmenoresque10000podemserformadoscomalgarismosdiferentesdacoleo:{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

Resposta:N=N1+N2+N3+N4=9+81+648+4536=5274

68. No sistema decimal de numerao, quantos nmeros existem com 4 algarismos com 2 algarismosrepetidos?

Auxlio:Aquantidadedenmerosdistintoscom4algarismos4536eaquantidadetotaldenmeros(comrepetioouno)com4algarismos9000.

Resposta:N=90004536=4464

69. Comas5vogais:A,E,I,O,U,obteroconjuntosoluoquecontmtodososarranjostomados2a2.

70. Usandoseapenasosalgarismos1,3,5,7,9quantosnmeroscom3algarismospodemsermontados?

Auxlio:A=A(m,p)=m!/(mp)!,m=5,p=3

Resposta:A=5!/2!=60

71. Usandoseosalgarismos0,1,2,3,4,5,6,7,8,9quantosnmeroscom4algarismospodemsermontados?


Resposta:A=10!/6!=5040

72. Usandose as 26 letras do alfabeto: A,B,C,D,...,Z quantos arranjos distintos com 3 letras podem sermontados?


Resposta:A=26!/23!=26.25.24=15600

73. Comas26 letrasdoalfabeto:A,B,C,D,...,Zeosalgarismos0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, quantasplacasdecarrospodemserescritascontendo3letrasseguidasde4algarismos?

Auxlio:A=A(m,p)=m!/(mp)!,m=26,p=3,n=10,q=4

Resposta:A=(26!/23!).(10!/6!)=78624000

74. Consideremosumbaralhocontendo52cartasdistintas.

a. Quantosparesdistintospodemserformados?b. Quantastrincasdistintaspodemserformados?

c. Quantasquadrasdistintaspodemserformados?d. Quantosparesdistintospodemserformadostendopelomenosum"s"?e. Quantosparesdistintaspodemserformadostendopelomenosum"s"eum"Rei"?f. Quantastrincasdistintaspodemserformadostendopelomenosum"s"?g. Quantastrincasdistintaspodemserformadostendopelomenosum"s"eum"Rei"?

Exercciosdearranjoscomrepetio

75. Quantosnmeroscom4algarismospodemosformarcomosalgarismos:0,1,2,3,4,5,6,7,8e9.

Resposta:Ar(10,4)=104=10000

76. Quantaspalavrascom3letraspodemosformarcomas26letrasdenossoalfabeto?

Resposta:Ar(26,3)=263=17576

77. Quantasplacassopossveisemnossosistemadetrnsito,seemtodasdevemaparecer3letrasseguidaspor4nmeros?

Resposta:N=Ar(26,3).Ar(10,4)=175760000

78. Nosistemadecimaldenumerao,quantosnmerosexistemcom1algarismo?

Resposta:N1=Ar(10,1)Ar(10,0)=101=9

79. Nosistemadecimaldenumerao,quantosnmerosexistemcom2algarismos(repetidosouno)?

Auxlio:So10=Ar(10,1)osnmeroscom2dgitosiniciadospor0.

Resposta:N2=Ar(10,2)Ar(10,1)=102101=10010=90


Auxlio:Existem100=Ar(10,2)nmeroscom3dgitosiniciadospor0.

Resposta:N3=Ar(10,3)Ar(10,2)=103102=900


Auxlio:So100=Ar(10,3)osnmeroscom4dgitosiniciadospor0.

Resposta:N4=Ar(10,4)Ar(10,3)=104103=9000

82. Nosistemadecimaldenumerao,quantosnmerosexistemcomnalgarismos(repetidosouno)?

Auxlio:SoAr(10,n1)osnmeroscomn1dgitosiniciadospor0.

Resposta:N4=Ar(10,n)Ar(10,n1)=10n10n1=910n1

83. Numsistemadenumeraocomabasetendobalgarismos,quantosnmerosexistemcomnalgarismos(repetidosouno)?

Auxlio:SoAr(b,n1)osnmeroscomn1dgitosiniciadospor0.

Resposta:N4=Ar(b,n)Ar(b,n1)=bnbn1=(b1)bn1

84. Nosistemadecimaldenumerao,existemquantosnmerosparescom4algarismos(repetidosouno)?

85. No sistema decimal de numerao, existem quantos nmeros mpares com 4 algarismos (repetidos ouno)?

86. Nosistemadecimaldenumerao,existemquantosnmerosparesdiferentescom4algarismos?

87. Nosistemadecimaldenumerao,existemquantosnmerosmparesdiferentescom4algarismos?

Resposta:N=5.A(8,3)=1.680



90. Quantosnmerosmenoresdoque10.000,podemserformadoscomosalgarismos1,2,3e4?

Auxlio:N=Ar(4,1)+Ar(4,2)+Ar(4,3)+Ar(4,4)

Resposta:N=41+42+43+44=4+16+64+256=340

91. Quantosnmerosde3dgitospodemserformadoscom5algarismos?

Auxlio:FrmulaAr(m,p)=mp,m=5,p=3

Resposta:Ar=53=125

Exercciosdearranjoscondicionais

92. QuantosarranjosdoselementosA,B,C,D,E,F,Gtomados4a4,comeamcomduasletrasdentreA,BeC?

Auxlio:N=A(m1,p1).A(mm1,pp1)

m=7,p=4,m1=3,p1=2

Resposta:N=A(3,2).A(4,2)=3!/1!.4!/2!=72

93. Comosalgarismos0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, tomados6 a 6, quantos nmerospodemser formados tendonasduasposiesiniciaisalgarismosquesonmerosmpares?

Auxlio:N=A(m1,p1).A(mm1,pp1),m=10,p=6,m1=5,p1=2

Resposta:N=A(5,2).A(5,4)=5!/3!.5!/1!=2400

94. Dentreosarranjosde5letras:A,B,C,D,E,tomados3a3,quantoscontmaletraE?

Auxlio:N=(pp1+1).A(m1,p1).A(mm1,pp1),m=5,p=3,m1=1,p1=1

Resposta:N=(31+1).A(1,1).A(4,2)=36

95. Dentreosarranjosde5letras:A,B,C,D,E,tomados3a3,quantoscontmjuntasasduasletrasAeB?


Resposta:N=(42+1).A(2,2).A(3,1)=18

96. Dentreosarranjosde6letras:A,B,C,D,E,F,tomados4a4,quantoscontmaletraA?


Resposta:N=(41+1).A(1,1).A(5,3)=240

97. Dentreosarranjosde6letras:A,B,C,D,E,F,tomados4a4,quantoscontmjuntas2das3letrasA,BeC?


Resposta:N=(42+1).A(3,2).A(3,2)=108

98. Dentreosarranjosde4letras:A,B,C,D,tomados3a3,quantoscontmaletraA?


Resposta:N=(31+1).A(1,1).A(3,2)=18

99. Dentreosarranjosde4letras:A,B,CeD,tomados3a3,quantoscomeampelasletrasAeB?

Auxlio:N=A(m1,p1).A(mm1,pp1),m=4,p=3,m1=2,p1=2

Resposta:N=A(2,2).A(2,1)=4

100. Dentreosarranjosde4letras:A,B,CeD,tomados3a3,quantoscontmjuntosasletrasAeB?


Resposta:N=(32+1).A(2,2).A(2,1)=8

Exerccioscomofatorial

101. SeC(n,2)=28,qualovalorden?

Resposta:n=8.

102. ExisteumnmeronnaturaltalqueC(n,3)=C(n,2)?

103. Usandoodesenvolvimentobinomialde(1+1)n,demonstrarque:

C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+...+C(n,n)=2n

104. UsaroPIF(PrincpiodeInduoMatemtica),parademonstrarque:

(p+1)C(n,p+1)=(np)C(n,p).

105. UsaroPIF(PrincpiodeInduoMatemtica),parademonstrarque:

nC(n1,p)=(np)C(n,p).

106. SeA(n,2)=42,qualovalorden?

Resposta:n=7.

107. Justificaraafirmao:"Senumnmeroprimoep

114. Demonstrarqueparatodoknatural

1/k!1/(k+1)!=k/(k+1)!,.

115. Demonstrarque

1/2!+2/3!+3/4!+...+n/(n+1)!=1/(n+1)!

Auxlio:Comoestaumasrie telescpica,seguequecada termopodeserescritocomoadiferenadedoisoutrosqueseanulamemsequncia,assimbastausarofatoqueparatodok

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