Experimento Aleatório Exemplos - mat.ufrgs.brviali/ead/admad018/material/eslaides/Adm_03.pdf · Qual a probabilidade de ganhar na Mega Sena com um cartão de seis dezenas? Exemplo:

11

Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

Prof. Lorí Viali, [email protected]

http://www.ufrgs.br/~viali/



Experiência para o qual o modelo

probabilístico é adequado.

Experimento Aleatório


E1: Joga-se uma moeda quatro vezes e observa-se o número de caras;

E2: Joga-se uma moeda quatro vezes e observa-se a seqüência de caras e coroas;

Exemplos


E3: Uma lâmpada nova é ligada e conta-se o tempo gasto até queimar;

E4: Joga-se uma moeda até que uma cara seja obtida. Conta-se o número de lançamentos necessários;


E5: Jogam-se dois dados e observa-se o par de valores obtido;

E6: Jogam-se dois dados e observa-se a soma dos pontos obtido;

22


É o conjunto de todos os resultados

possíveis de uma experiência aleatória.

Espaço Amostra(l)


S1 = {0, 1, 2, 3, 4}

S2 = { cccc, ccck, cckc, ckcc,kccc, cckk, kkcc, ckkc,kcck, ckck, kckc, kkkc,kkck, kckk, ckkk, kkkk}

Exemplos


S3 = { t ∈ R / t ≥ 0 }

S4 = { 1, 2, 3, ... }


S5 = { (1, 1), (1, 2),(1,3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)

(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) }

S6 = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 }


Um evento é um

subconjunto de um espaço amostra.

Eventos


Seja S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }o espaço amostra, obtido no lançamento de um dado.

Então são eventos:

A = { 1, 3, 5} B = { 6 }

C = { 4, 5, 6} D = ∅ E = S

Exemplo:

33


Seja E um experimento com

espaço amostra associado S. Diremos

que o evento A ocorre se realizado E o

resultado é um elemento de A.

Ocorrência de um Evento


Sejam A e B eventos de um espaço S. Diremos que ocorre o evento: A união B, A soma B ou A mais B, se e só se A ocorre ou B ocorre.

Combinação de Eventos

A∪B


Sejam A e B eventos de um espaço S. Diremos que ocorre o evento: A produto B, A vezes B ou A interseçãoB, se e só se A ocorre e B ocorre.

A∩B


Sejam A e B eventos de um espaço

S. Diremos que ocorre o evento: A

menos B, A diferença B, se e só se A

ocorre e B não ocorre.

A - B


Sejam A e B eventos de um espaço S. Diremos que ocorre o evento: Complementar de A (não A) se e só se

A não ocorre.

A’ = AC = A


Dois eventos A e B são mutuamente excludentes se não puderem ocorrer juntos.

Eventos mutuamente excludentes

44


♣♣ Clássico

♥♥ Freqüencial

♠♠ Axiomático

Conceitos de Probabilidade


Número de casos favoráveisP(A) = -----------------------------------

Número de casos possíveis

Clássico


Qual a probabilidade de ganhar

na Mega Sena com um cartão de seis

dezenas?

Exemplo:


Casos favoráveis = 1

Casos possíveis:

860 063 50 660

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Solução:


%000002,050063860

1

6601

possíveis de Númerofavoráveis de Número

Sena) P(Mega

==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

==

=


Número de vezes que A ocorrefrA = ------------------------------------------

Número de vezes que E é repetido

Freqüência Relativa

55


Um dado é lançado 120 vezes e

apresenta “FACE SEIS” 18 vezes.

Então, a freqüência relativa de

“FACE SEIS” é:

Exemplo:


%1515,012018

jogado é dado o que vezesde númeroocorre f_seis"" que vezesde número

fr6

===

=

=


P(A) = lim frAn → ∞

Conceito Freqüencial


P(A) é um número real que deve satisfazer as seguintes propriedades:

(1) 0 ≤ P(A) ≤ 1

(2) P(S) = 1 (3) P(AUB) = P(A) + P(B)

se A∩B = ∅

Conceito Axiomático


(1) P(∅) = 0

(2) P( ) = 1 - P(A)

(3) P(A - B) = P(A) - P(A∩B)

(4) P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

A

Conseqüências dos Axiomas


Considere uma urna com 50 fichas,

onde 40 são pretas e 10 são brancas.

Motivação

Probabilidade Condicionada

66


Suponha que desta urna são retiradas “duas” fichas, ao acaso e sem reposição:

Sejam os eventos:

A = { a primeira ficha é branca}

B = { a segunda ficha é branca}


Então: P(A) = 10/50 = 0,20 = 20%

P(B) = ?/49Neste caso, não se pode avaliar

P(B), pois para isto é necessário saber se A ocorreu ou não, isto é, se saiu ficha branca na primeira retirada.


Nesse caso, pode-se calcular P(B/A), isto é, a probabilidade de B ocorrer dado que A ocorreu, ou a probabilidade de B condicionada a ocorrência de A. Essa probabilidade vale, então: P(B/A) = 9/49, pois se A ocorreu então existem 9 bolas brancas na urna, de um total de 49.


Dois eventos A e B são independentes se a probabilidade de um ocorrer não altera a probabilidade do outro ocorrer, isto é:

Independência


Se: (1) P(A/B) = P(A) ou

(2) P(B/A) = P(B) ou ainda

(3) P(A∩B) = P(A).P(B)


77


KKK

CKK

KKC

KCK

CCK

CKC

KCC

CCC

0

1

2

3

Sℜ

Xs

)S(X

)s(Xx =


Uma função X que associa a cada

elemento de S (s ∈ S) um número real

x = X(s) é denominada variável

aleatória.

Variável Aleatória


O conjunto formado por todos os

valores “x”, isto é, a imagem da

variável aleatória X, é denominado de

conjunto de valores de X.

X(S) = { x ∈ ℜ / X(s) = x }

Conjunto de Valores


Conforme o conjunto de valores

– X(S) – uma variável aleatória

poderá ser discreta ou contínua.

Tipos de Variável Aleatória


Se o conjunto de valores for finito

ou então infinito enumerável (contável)

a variável é dita discreta.

Variável Aleatória Discreta (VAD)


Se o conjunto de valores for

infinito não enumerável então a

variável é dita contínua.

Variável Aleatória Contínua (VAC)

88

Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

A função de probabilidade (fp) de

uma VAD é a função que associa a cada

xi ∈ X(S) o número f(xi) = P(X = xi)

que satisfaz as seguintes propriedades:

f(xi) ≥ 0, para todo “i”

∑f(xi) = 1

A função de Probabilidade (fp)


A coleção dos pares [xi, f(xi)]

para i = 1, 2, 3, ... é denominada de

distribuição de probabilidade da

VAD X.

A Distribuição de Probabilidade


Suponha que uma moeda

equilibrada é lançada três vezes. Seja

X = “número de caras”. Então a

distribuição de probabilidade de X é:

Exemplo:


KKK

CKK

KKC

KCKCCK

CKC

KCC

CCC

0

1

2

3

1/8

3/8

3/8

1/8

Sℜx

X

]1;0[)x(f

f


uma tabela

uma expressão analítica (fórmula)

um diagrama

Através de:

Representação de uma Distribuição de Probabilidade

99


Seja X = “número de caras”, obtidas no lançamento de 4 moedas honestas. Então a distribuição de X é a dada ao lado.

1/1641Σ

4/1636/1624/1611/160f(x)x

Tabela


Considere X = “soma do par”, no lançamento de dois dados equilibrados, então:

f : X(S) → ℜx → (x - 1)/36 se x ≤ 7

(12 - x +1)/36 se x > 7

Expressão Analítica


0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0,14

0,16

0,18

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Diagrama


(a) Expectância, valor esperado

(b) Desvio padrão

∑∑ ====μ )xX(P.x )x(f.x)X(E

∑ μ∑ μ− −==σ 222 )x(f)x(f x)x(

Caracterização de uma VAD


Calcular o valor esperado e a

variabilidade da variável X = “número

de caras” no lançamento de quatro

moedas honestas.

Exemplo:


11/164/166/164/161/16f(x)

32/164/1612/1612/164/16

0x.f(x)

80/1616/1636/1624/164/16

0x2f(x)

4Σ

3210x

Cálculos

1010


caras 21632

)x(f.x)X(E =∑ ===μ

(a) Expectância ou valor esperado

(b) Desvio padrão

14521680)x(fx 222 =−=−=∑ μ−=σ

Resultados:



Quando existem apenas duas situações: A ocorre ou A não ocorre, pode-se determinar a probabilidade de A não ocorrer como sendo q = 1 – p.

A VAD definida por X = “número de vezes que A ocorreu nas ‘n’repetições de E” é denominada BINOMIAL.

Experimento:


X(S) = {0, 1, 2, 3, ..., n}

A Função de Probabilidade (fp)

Conjunto de Valores

qpx

n)xX(P)x(f xnx −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛===


0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0,14

0,16

0,18

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

A função de probabilidade


Expectância ou Valor Esperado

np qpx

n.x )x(f.x )X(E xnx∑ =⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑ == −

Variância

Características:

npq)p1(npnppn

)np(npp)1n(n

E(X)-)X(E)X(V

2

22

22

=−=+−=

=−+−

==

1111


Suponha que uma amostra de 10

pessoas é entrevistada (com reposição) para saber se comprariam um determinado produto que tem uma aceitação de 10%. Seja X = “o número de pessoas na amostra que compraria o produto”. Determine a distribuição de X.

Exemplo:


Como se tratam de 10 pessoas a variável X é Binomial com p =10%, assim a distribuição é:

10 ..., 2, 1, 0, x para

.x

10 )xX(P)x(f )9,0()1,0( x10x

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=== −


Seja X uma variável aleatória com

conjunto de valores X(S). Se o

conjunto de valores for infinito não

enumerável então a variável é dita

contínua.


É a função que associa a cadax ∈ X(S) um número f(x) que deve satisfazer as seguintes propriedades:

f(x) ≥ 0

∫ dx).x(f

A função densidade de probabilidade


A coleção dos pares

(x, f(x)) é denominada de distribuição

de probabilidade da VAC X.

A distribuição de probabilidade

1212


Seja X uma VAC. Determine o valor de “c” para que f(x) seja uma função densidade de probabilidade (fdp).

c. c.

x se x.c)x(f

⎪⎩

⎪⎨⎧ ≤≤−

=0

112

Exemplo:


Para determinar o valor de “c”,

devemos igualar a área total a um, isto é,

devemos fazer:

1 f(x)dx 11-∫ =

1 dx c.11-

2x∫ =


Tem-se:

231

32

=⇒==

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

∫ =∫ =

cc

31-

31c

3xc

dx xc dx xc.

333 1

1-

1

1-

11-

211-

2


0,0

0,5

1,0

1,5

-1,5 -1,3 -1,0 -0,8 -0,5 -0,2 0,0 0,3 0,5 0,8 1,0 1,3 1,5

2

)x(f x3 2=

1X-1 ≤≤

Graficamente:


∫=<< b

a dx)x(f)bXa(P

a b x

y

bXa <<

Cálculo da Probabilidade


Isto é, a probabilidade de que X

assuma valores entre os números “a” e

“b” é a área sob o gráfico de f(x) entre

os pontos x = a e x = b.

∫=<< b

adx)x(f)bXa(P

1313


0dx)x(f)aX(P aa === ∫

)bXa(P)bXa(P

)bXa(P)bXa(P

≤≤=≤<=

=<≤=<<

Se X é uma VAC, então:

Observações:


Seja X uma VAC. Determine a probabilidade de X assumir valores no intervalo [-0,5; 0,5].

c. c. 0

1 x 1 se 2x3

)x(f

2

⎪⎩

⎪⎨

⎧≤≤−

=

Exemplo:


A probabilidade solicitada é dada pela integral da função no intervalo, isto é:

%50,12][21

23

dx 23

dx 2

3)5,0X5,0(P

(-0,5)(0,5)

3xx

x

33

0,5

05-

0,5

0,5-2

0,5

0,5-

2

3

=−=

===

==<<−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∫

∫


(a) Expectância, valor esperado

(b) Desvio padrão

∫==μ dx)x(f.x)X(E

∫ μ∫ μ− −==σ 222 dx)x(fdx)x(f x)x(

Características:


Determinar a expectância e o desvio padrão da variável X dada por:

c. c. 0

1 x 1 se 2x3

)x(f

2

⎪⎩

⎪⎨

⎧≤≤−

=

Exemplo:


023

23

23

dx2

3dx.

23

.x

x.f(x)dx )X(E

41

41

41-

41

4x

xx

1

1-

1

1-

1

1-

1

1-

31

1-

2

11-

444

==

===

===

===μ

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

∫∫

∫

A Expectância

1414


60,053

51

51

23

23

23

dx 23 dx

23.)(E

)(E

51-

51

5x

xxxX

)X(EX

555 1

1-

1

1-

1

1-41

1-

222

22

==⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=

===

===

−=σ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

∫∫

O Desvio Padrão


O desvio padrão de X será, então:

77,0060,0

)(E )X(EX 22

=−=

=−=σ


É a função F(x) definida por:

∫ ∞−=≤= x du)u(f)xX(P)x(F

A F(x) é a integral da f(x) até um ponto genérico “x”.

A Função de Distribuição (Acumulada)


Considerando a função abaixo como

a fdp de uma VAC X, determinar F(x).

c. c. 0

1 x 1 se 2x3

)x(f

2

⎪⎩

⎪⎨

⎧≤≤−

=

Exemplo:


A F(x) é uma função definida em todo o intervalo real da seguinte forma:

1 x se 1

1 x 1 se du2

31- x se 0

)x(F x

1

2u

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>

≤≤−

<

= ∫−


Vamos determinar o valor da integral em “u”:

21

21

23

du23 du

23)x(F

x]u[3u

uu

3x

1

x

1

x1

2x2

33 +

===

===

−

−

−∞−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

∫∫

1515


Assim a Função de Distribuição Acumulada (FDA) é:

1 x se

x se x

1- x se 0

)x(F3

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

>

≤≤−+

<

=

1

112

1


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

-1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5

2

1)x(F x3 +=

Gráfico:


O uso da FDA é bastante prático

no cálculo das probabilidades, pois não

é necessário integrar, já que ela é uma

função Integral.

Cálculo de Probabilidade com a FDA


Usando a FDA, teremos sempre três casos possíveis:

)(F)(F)X(P)x(F1)xX(P

)x(F)xX(P

xxxx 1221 −=<<−=>

=≤


Normal (Gauss-Moivre-Laplace)

t (Student)

χ2 (Qui-quadrado)

F (Snedecor - Fisher)

1616


0 e - com

x,e..2

1)x(f2x.

21

>σ∞<μ<∞

ℜ∈σπ

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

σμ−−

Uma variável aleatória X tem uma distribuição normal se sua fdp for do tipo:


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

N(0; 1)

N(0; 0,5)

N(0; 2)

N(2; 1)

Gráficos:


?due..2

1)xX(P xu.

21 2

=σπ

=≤ ∫ ∞−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

σμ−

−

A normal não é integrável através do

TFC (Teorema Fundamental do Cálculo), isto é, não existe F(x) tal que F’(x) = f(x).

Cálculo da Probabilidade:


Utilizar integração numérica. Como

não é possível fazer isto com todas as

curvas, escolheu-se uma para ser

tabelada (integrada numericamente).

Solução:


σμ−

=X

Z

A curva escolhida é a N(0, 1), isto é, com μ = 0 e σ = 1. Se X é uma N(μ, σ), então:

Será uma N(0; 1).

A Normal Padrão

1717


ℜ∈π

=ϕ−

z ,e.21)z(

.2

z2

A fdp da variável Z é dada por:

uma vez que μ = 0 e σ = 1.


0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

-4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0

A Distribuição N(0, 1)


O que é tabelado ou obtido na Planilha é a FDA da variável Z, isto é:

)z(F)z( due.21

du)u()zZ(P

z-

.2

z-

u2

=Φ=π

=

=ϕ=≤

∫

∫

∞

−

∞

Tabelas ou Planilhas:


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

-4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0

z

)z(Φ

FDA da N(0; 1)


direta Leitura)z( z) P(Z =Φ=≤

)z()z(-1z) P(Z-1 z) P(Z −Φ=Φ=≤=>

)()( ) ZP( zzzz 1221 Φ−Φ=<<

Área à esquerda (abaixo) de “z”

Área à direita (acima) de “z”

Área entre dois valores de “z”

Utilização da Tabela (Planilha)


PlanilhaÉ possível

fornecer um valor padronizado “z”.

Ou um valor não padronizado “x”. Nesse caso, a planilha padroniza o valor fornecido.

1818


Uma VAC tem distribuição normal de média 50 e desvio padrão 8. Determinar:

(a) P(X ≤ 40)

(b) P(X > 65)

(c) P(45 < X < 62)

Exemplo:


%56,10)25,1Z(P

)8

5040X(P)40X(P

=−≤=

=−

≤σ

μ−=≤

(a) P(X ≤ 40)

(b) P(X > 65)

%01,3)88,1()88,1(1)88,1Z(P1)88,1Z(P

)8

5065X(P)65X(P

=−Φ=Φ−==<−=>=

=−>σ

μ−=>

Como a curva ésimétrica, tem-se:

)z(1)z( Φ−=−Φ


%56,66%76,26%32,93)62,0()50,1()50,1Z62,0(P

)8

5062X8

5045(P

)62X45(P

=−==−Φ−Φ==<<−=

=−

<σ

μ−<

−=

=<<

(c) P(45 < X < 62)


Uma VAC tem distribuição normal

de média 50 e desvio padrão 8.

Determinar:

(a) P(X ≤ x) = 5%

(b) P(X > x) = 1%

A função Inversa


Para resolver este tipo de exercício é preciso utilizar a função inversa, isto pode ser feito direto na Planilha. Só que agora devemos entrar com uma probabilidade para obter um valor de “z” ou “x”. Lembrar que a planilha sófornece áreas (valores) à esquerda.


PlanilhaNesse caso, é

fornecido uma área, por exemplo, 99%.

Nesse caso, a planilha faz a mudança de z para x, Acima fornece z, abaixo x.

1919


P(X ≤ x) = 5%

Graficamente, tem-se:

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

26 34 42 50 58 66 74

5%

xProf. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

850xz onde

%5)z()zZ(P

)8

50xX(P)xX(P

−=

=Φ=≤=

=−

≤σ

μ−=≤

Em (a) temos P(X ≤ x) = 5%:


Inversa Função )05,0(z%)5()]z([

então%,5)z( Se

1

11

⇒==Φ

=Φ

Φ

ΦΦ−

−−

Obtendo na planilha, o valor (z) que

corresponde a uma área à esquerda de

5% = 0,05, tem-se: z = -1,645.Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

84,368.645,150x8

50xz645,1

:setem ,8

50xz Como

=−=

⇒−

==−

−−

=

Assim:

Poderia ter sido utilizado a função INV.NORM(5%, 50; 8 ) que forneceria o valor de x = 36,84 diretamente.


Em (b) temos P(X > x) = 1%.Nesse caso, basta entrar com uma área

de 99%, lembre-se, a planilha e a tabela, só fornecem a área à esquerda:


0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

26 34 42 50 58 66 740,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

1%

x

P(X > x) = 1%

Entra com a área(branca) de 99%.

2020


x para

2.

12

1

)x(f

21

2x

ℜ∈

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ υ

Γπυ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

υ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +υ

Γ

=

+υ−

Uma variável aleatória X tem uma distribuição “t” ou de Student se sua fdp for do tipo:


A função Γ é a uma generalização da função fatorial e poderá ser obtida com o recurso da planilha. No entanto, será necessário obter apenas valores da t e áreas que a planilha fornece sem a necessidade de utilizarmos essa fórmula.


0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

fdp det(1)t(5)

t(25)

Gráficos:


0)X(E ==μ

2-

= Var(X)υ

υ

Expectância ou Valor esperado:

Variância:

O valor υ é denominado de “Grau de liberdade”

Caracterização:


O que é tabelado é a função inversa (percentis), em relação a área à direita (unilateral) de cada curva (uma para cada linha), ou a soma das caudas (bilateral), isto é, a tabela retorna um valor “t” tal que P(Τ ≥ t) = α (unilateral) ou P(|T| ≥ t) = α

(Bilateral).

2121


As duas opções podem ser colocadas em uma mesma tabela. Pode-se ler uma área (α) de cima para baixo e se ter um valor unilateral (P(T ≥ t) = α) ou ler a área (α) de baixo para cima e se ter um valor “t” tal que P(T ≥ t) = α/2.


Na planilha, entrando com o valor 2, por exemplo, e um grau de liberdade (gl) de 30 obtém-se a área de 5,46%, soma das duas caudas. Se caudas for = 1 a resposta seria 2,73%.


Na planilha, entrando com uma área de 5% e um gl de 30 a resposta é 2,04, isto é, P(-2,04 < T < 2,04) = 95%.



Uma variável aleatória X tem uma distribuição Qui-Quadrado se sua fdp for do tipo:

0 x se 0

0 x se

22

ex

)x(f 2

2x1

2

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≤

>

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ υΓ=

υ

−−υ


υ==μ )X(E

2 = Var(X)2 υ=σ

Expectância ou Valor esperado

Variância

O valor υ é denominado de“Grau de liberdade”

2222


0,00

0,20

0,40

0,60

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0

χ2(1)

χ2(2)

χ2(3)

χ2(5)

χ2(5)


O que é tabelado é a função inversa, em relação a área à direita de cada curva (uma para cada linha), isto é, dado um valor de área na cauda direita (α), a tabela retorna um valor “x” tal queP(χ2 ≥ x) = α

0,995 0,990 0,975 0,950 0,9001 0,000 0,000 0,001 0,004 0,0162 0,010 0,020 0,051 0,103 0,2113 0,072 0,115 0,216 0,352 0,5844 0,207 0,297 0,484 0,711 1,0645 0,412 0,554 0,831 1,145 1,6106 0,676 0,872 1,237 1,635 2,2047 0,989 1,239 1,690 2,167 2,8338 1,344 1,647 2,180 2,733 3,4909 1,735 2,088 2,700 3,325 4,168

10 2,156 2,558 3,247 3,940 4,865

P[χ2(2) ≥ 0,211] = 90%



Se formos calcular P[χ2(1) > 4], teríamos com o uso da planilha: 4,55%. A função direta fornece a área à direita nesse caso, ao contrário, da normal que é àesquerda.


Se fosse solicitado P[χ2(1) > x] = 5%, então, utilizando a função inversa, teríamos o valor de x = 3,84, isto é, P[χ2(1) > 3,84] = 5%.

2323


Uma variável aleatória X tem uma distribuição “F” ou de Snedecor se sua fdp for do tipo:

( )

0 x se 0

0 x se

2n

2m

mxnxnm2

nm

)x(f

2nm1

2m

2n

2m

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≤

>⎟⎠⎞⎜

⎝⎛Γ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛Γ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +Γ

=

+−−


Expectância ou Valor esperado

Variância

2mm)X(E−

==μ

)4 - )(n2 - m(n)2 - n(m2 = Var(X) m2

2 +=σ

m é o grau de liberdade do numerador e n do denominador.


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 3 6 9 12 15

F(1, 3)F(2, 5)F(5, 10)F(20, 20)


O que é tabelado é a percentil 95% ou

99% - área à direita de cada curva (uma para

cada par de valores – numerador,

denominador) igual a 5% e 1%, isto é, “x”tal que P[F(m, n) ≥ x] = 5% ou

P[F(m, n) ≥ x] = 1%.

1 2 3 4 5 6 71 161,45 199,50 215,71 224,58 230,16 233,99 236,772 18,51 19,00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,353 10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,894 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,095 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,886 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,217 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,798 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,509 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,2910 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,1411 4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 3,0112 4,75 3,89 3,49 3,26 3,11 3,00 2,91

P[F(5,7) ≥ 3,97] = 5%

1 2 3 4 5 6 71 4052,18 4999,34 5403,53 5624,26 5763,96 5858,95 5928,332 98,50 99,00 99,16 99,25 99,30 99,33 99,363 34,12 30,82 29,46 28,71 28,24 27,91 27,674 21,20 18,00 16,69 15,98 15,52 15,21 14,985 16,26 13,27 12,06 11,39 10,97 10,67 10,466 13,75 10,92 9,78 9,15 8,75 8,47 8,267 12,25 9,55 8,45 7,85 7,46 7,19 6,998 11,26 8,65 7,59 7,01 6,63 6,37 6,189 10,56 8,02 6,99 6,42 6,06 5,80 5,61

10 10,04 7,56 6,55 5,99 5,64 5,39 5,2011 9,65 7,21 6,22 5,67 5,32 5,07 4,8912 9,33 6,93 5,95 5,41 5,06 4,82 4,64

P[F(5, 7)≥ 7,46] = 1%

2424


Se formos calcular P[F(1, 2) > 4], teríamos com o uso da planilha: 18,35%. A função direta fornece, nesse caso, também a área à direita.


Se fosse solicitado P[F(1, 2) > x] = 18,35%, então, utilizando a função inversa, teríamos o valor de x = 4, isto é, P[F(1, 2) > 4] = 18,35%.


Pafnut(i/y) Lvovic(h) Tchebycheff(Tchebichev ou Chebyshev) (1821 –1894)

P(|X - μ| ≥ kσ) ≤ 1/k2

ou

P(|X - μ| < kσ) ≥ 1 - 1/k2


Esta desigualdade fornece a probabilidade de que os valores de uma VAD/VAC estejam em um intervalo simétrico em torno da média de amplitude igual a “k”desvios padrões.


Assim se k = 2, por exemplo, a desigualdade estabelece que o percentual de valores da variável aleatória que está compreendida no intervalo μ ± 2σ é de pelo menos1 - 1/4 = 75%.


|X - μ| < 2σ

1 - 1/4 = 75%.

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