Introduo ao Mtodo dos Elementos Finitos

UNICAMP/DMCProf. Renato Pavanello

1- HISTRICO e INTRODUO

1.1 - Introduo :

O Mtodo dos Elementos Finitos um procedimento numrico para Anlise de Estruturas e Meios Contnuos

O Mtodo dos Elementos Finitos uma tcnica utilizada para obteno de solues aproximadas de Equaes Diferenciais

Problemas que no admitem solues analticas (fechadas)

Na Indstria o MEF tem sido usado para otimizao de projetos nas seguintes reas :

- Aeroespacial

- Aeronutica

- Nuclear

- Automobilstica

- Engenharia Civil

- Construo Naval / Offshore

- Previso Metereolgica

- Controle de Poluio

- Bio Engenharia

Mtodos de Resoluo (utilizao intensiva do computador)No mbito da Engenharia Mecnica o MEF pode ser situado da seguinte forma:

Campo de Aplicao :

* Anlise de Tenses

* Transferncia de Calor

* Escoamento de Fluidos

* Lubrificao

* Campos Eltricos e Magnticos

* Interao Fluido / Solo Estruturas

* Contato e Choque

* Problemas de Fratura e Fadiga

MecnicaMEFAnlise NumricaInformticaAplicada- Resistncia dos Materiais- Elasticidade- Dinmica- Plasticidade- Mecnica dos Fluidos ...- Mtodos de Aproximao- Resoluo de Sistemas Lineares- Problemas de Auto Valor - Auto VetorDesenvolvimento eManuteno de Grandes ProgramasObjetivo : Simular o Desempenho de um Produto e do seu Meio Ambiente de Trabalho

1.2 Breve Histrico

Dcada 50 - Mtodos Matriciais para Anlise de Estruturas Reticuladas (Barras e Vigas)- RDM - Matriz de Rigidez do Elemento- Equilbrio / Compatibilidade Matriz Global

Anos 50 - 60 ( Computadores ) - MEF - Problemas Bidimensionais ( Aeronutica )Uso dos Teoremas de Energia. - Princpio dos Trabalhos Virtuais - Princpio de Hamilton

A Partir dos anos 60( Rpida Evoluo ) - Formulao Variacional - Formulao por Resduos Ponderados - Evoluo da Biblioteca de Elementos* Elementos de Alta Preciso ( Hermite)* Elementos de Lados Curvos ( Isoparamtricos)

- Aplicao em Problemas No Lineares- Aplicao em Problemas No Estacionrios

- Estruturas / Rochas / Solos / Fluidos / Trmica

Atualmente :

* Utilizao generalizada na Indstria e na Pesquisa

* Programas Comerciais Disponveis

Solver -NASTRAN, ANSYS, ASKA, SAP,COSMOS, ALGOR, ADINA, ...

Pr-Ps - EUCLID, PATRAN, ANSYS, XLPLUS, SAPLOT, GEOSTAR, ...

* Desenvolvimento atual :

- Mecnica de Estruturas :

- Contato / Choque / Atrito- Otimizao Estrutural- Interao Fluido / Solo / Estrutura ........

- Mecnica dos Fluidos :

- Escoamento Turbulento- Escoamento Bifsico- Problemas de Poluio ........

Enfoque Clssico :

* Escrever equao diferencial da viga contnua de seo varivel* Resolver a equao para u(x) - Deslocamento Axial* Calcular u( Lt ) - Deslocamento do ponto B

2 - O Mtodo dos Elementos Finitos e Anlise Estrutural

2.1 - Noes Bsicas do MEF

O Mtodo dos Elementos Finitos um procedimento numrico para Anlise de Estruturas e Meios Contnuos

* O Mtodo baseado no conceito de DISCRETIZAO

* Exemplo de uma Barra de Seo Varivel

* Objetivo : Obter o deslocamento do ponto B

LtSoluo Via M.E.F.

* Discretizar o sistema em N sub-domnios (Elementos Finitos, N = 4) de seo constante * Supor que u varia linearmente em cada elemento* Logo, a funo u(x) contnua por sub-regies* O deslocamento de cada elemento calculado pela frmula simples :

onde: P = Fora axial, L = Comprimento do elementoA = rea da seo, E = Mdulo de Elasticidade

* O deslocamento total a soma dos deslocamentos locais.(Referncia Local)

Comentrios Gerais:

* Quanto maior o nmero de elementos melhor ser a preciso.* A idia global consiste em substituir uma soluo complexa para todo o domnio na superposio de solues simples em subdomnios.

* Exemplo de uma Estrutura Plana* Objetivo : Calcular deslocamentos e tenses causadas por uma presso (P) aplicada (v)yPx(u)Modelo ContnuoModelo Discretizadono Espao* Cada n, neste modelo tem 2 GDL :v - deslocamento na direo yu - deslocamento na direo xN* Se o modelo tem n ns => 2n GDL ( 2n primeiros termos da srie infinita).

* Modelo Contnuo possue graus de liberdade

* Foras so aplicadas nos ns - Fora Modal Equivalente(Distribuio no constante !)

* No pode-se permitir FUROS ou INTERFERNCIAS=> Compatibilidade entre os elementos deve ser garantidaO comportamento de cada elemento fundamental

Poucos elementos de alta preciso podem fornecer melhores resultados que um grande nmero de elementos pouco precisos

* A preciso dos elementos est ligada ao tipo de aproximao polinomial escolhida :Suporte Geomtrico - QuadrilateralAproximao Linear Suporte Geomtrico - Triangular Aproximao LinearQuadrtico

* O objetivo do Mtodo determinar

=> valor da funo incgnita nos ns, ou valor modal de . Os valores de ai so determinados a partir de .

* Quanto mais fina a malha => se aproxima da soluo exata . => caso o elemento seja corretamente formulado.

* De uma forma global, para cada problema existe um tipo de elemento mais apropriado.

* O conhecimento do problema e a viso do engenheiro so os pr requisitos bsicos para definio da anlise e interpretao dos resultados.

O MEF e os Pacotes so apenas ferramentas de anlise

Principais Passos de uma Anlise de E.F.* Anlise Linear EstticaModelo DiscretoGerao de MalhasPr-ProcessamentoCaractersticasdos ElementosBiblioteca deElementosMontagem do Sistema GlobalCcndies deContornoResoluo doSistema LinearSub-Programasde ClculoMatricialTClculo das Tensesnos ElementosPs-Processamentoq==> Matriz de Rigidez do Elemento==> Vetor de Carga do Elemento==> Matriz de Rigidez da Estrutura==> Vetor dos Deslocamentos Modais==> Tenses nos Elementos/ Prep-7/ Solu/ Post 1