FACULDADE ALFREDO NASSER TATIANA ALVES … Matemática Tatiana Alves... · 2.3 o raciocÍnio multiplicativo .....25 2.4a adiÇÃo repetida

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FACULDADE ALFREDO NASSER

TATIANA ALVES DA SILVA DORNELES

ESTRATÉGIAS PARA O ENSINO DA OPERAÇÃO MULTIPLICAÇÃO NAS

SÉRIES INICIAIS

APARECIDA DE GOIÂNIA - GO 2011

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SÉRIES INICIAIS

Monografia apresentada ao Instituto Superior de Educação da Faculdade Alfredo Nasser sob a orientação da Professora Ms. Ana Paula Faria, como parte dos requisitos para a conclusão do curso de Matemática.

APARECIDA DE GOIÂNIA - GO

2011

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SÉRIES INICIAIS

Este Trabalho de Conclusão de Curso foi julgado adequado para a obtenção do título de Licenciada em Matemática e aprovado em sua forma inicial pela banca examinadora abaixo.

Aparecida de Goiânia, ______ de junho de 2011

BANCA EXAMINADORA

___________________________________________________________________

Orientadora: Professora Ana Paula Faria Machado

___________________________________________________________________

Primeira Examinadora: Professora Kelen Michela Silva Alves

___________________________________________________________________

Segunda Examinadora: Professora Ana Paula Alves Baleeiro

APARECIDA DE GOIÂNIA - GO

2011

3

Agradeço a Deus e a todos os

meus familiares por estar sempre ao meu lado me incentivando.

4

“A principal meta da Educação é criar homens que sejam capazes de fazer coisas novas, não somente repetir o que outras gerações já fizeram. Homens que sejam criadores, inventores e descobridores. A segunda meta é formar mentes que estejam em condições de criticar, verificar e não aceitar tudo o que a elas se propõe.”

Jean Piaget

5

RESUMO

O presente trabalho tem como finalidade apresentar estratégias

qualitativas de ensino aprendizagem da operação multiplicação, cujo objetivo é

propor uma metodologia fundamentada no construtivismo tendo como propósito

explorar materiais concretos na abordagem conceitual e prática da multiplicação.

Para isso foi realizada uma intervenção de ensino, planejada e desenvolvida pela

pesquisadora ao longo de sete aulas práticas em uma turma do 3º ano do ensino

fundamental, onde foram exploradas algumas estratégias expostas no capítulo II do

presente trabalho, a fim de verificar a veracidade do mesmo.

Palavras-chave: Multiplicação; Matemática; Construtivismo; Ensino

Fundamental; Materiais Concretos.

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ABSTRACT

This paper aims to present quality of teaching and learning strategies of

multiplication operation, whose objective is to propose a methodology based on

constructivism with the intent to explore concrete materials in conceptual approach

and practice multiplication. This study was conducted an intervention of education,

planned and developed by the researcher over a seven practical classes in a class of

3rd year of elementary school, where we explored some of the strategies outlined in

chapter II of this work in order to verify the accuracy of work.

Keywords: Multiplication, Math, Constructivism, Elementary Education;

Concrete Materials.

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LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1. Símbolos Egípcios___________________________________________16

Figura 2. Quadro Valor de Lugar 1 (adição)_______________________________18

Figura 3. Quadro Valor de Lugar 2 (multiplicação)__________________________20



Figura 6. Dispositivo retangular 1_______________________________________21

Figura 7. Memorização_______________________________________________24

Figura 8. Dispositivo retangular 2_______________________________________26

Figura 9. Soroban___________________________________________________29

Figura 10. Dominó __________________________________________________31

Figura 11. Tabuleiros ________________________________________________32

Figura 12. Material dourado ___________________________________________34

Figura 13. Ábacos __________________________________________________43

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SUMÁRIO

INTRODUÇÃO ..........................................................................................................10

1 A EVOLUÇÃO DOS NÚMEROS ...........................................................................12

1.1 COMO SURGIU A MATEMÁTICA .......................................................................12

1.1.1 Números Indo – arábicos ..........................................................................13 1.2 CONSTRUINDO O CONCEITO DE NÚMERO ....................................................13

1.2.1 Os egípcios criam os símbolos .................................................................14 1.2.2 Contando com os Egípcios .......................................................................15 1.2.3 Os Papiros da Matemática Egípcia ...........................................................15

1.3 A ORIGEM DA CONTAGEM................................................................................17

1.4 NÚMEROS NATURAIS .......................................................................................17

1.5 O CONCEITO DE ADIÇÃO..................................................................................18

1.6 O CONCEITO DE MULTIPLICAÇÃO...................................................................19

2 ESTRATÉGIAS PARA O ENSINO DA MULTIPLICAÇÃO....................................23

2.1 A MEMORIZAÇÃO ..............................................................................................23

2.2 OS SÍMBOLOS DA MULTIPLICAÇÃO.................................................................25

2.3 O RACIOCÍNIO MULTIPLICATIVO .....................................................................25

2.4A ADIÇÃO REPETIDA..........................................................................................25

2.5 A COMPARAÇÃO MULTIPLICATIVA..................................................................26

2.6 A DISPOSIÇÃO RETANGULAR..........................................................................26

2.7 A DUPLICAÇÃO SUCESSIVA.............................................................................27

2.8 O ÁBACO ............................................................................................................28

2.9 O CÁLCULO COM OS DEDOS ...........................................................................28

2.10 A TÉCNICA DE CALCULAR DOS EGÍPCIOS ...................................................28

2.11 O SOROBAN.....................................................................................................29

2.12 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ......................................................................30

2.13 JOGOS PEDAGÓGICOS ..................................................................................31

2.14 A MODELAGEM MATEMÁTICA COMO METODOLOGIA DE ENSINO ............33

2.15 O MATERIAL DOURADO MONTESSORI .........................................................34

3 APLICAÇÃO DAS ESTRATÉGIAS PARA O ENSINO DA MULTIPLICAÇÃO.....37

3.1 JOGOS COM O MATERIAL DOURADO..............................................................38

3.1.1 Jogos livres ...............................................................................................38

9

3.1.2 Montagem .................................................................................................39 3.2 A MODELAGEM MATEMÁTICA..........................................................................40

3.2.1 Projeto de intervenção ..............................................................................40 3.3 COMO UTILIZAR A MEMORIZAÇÃO NA SALA DE AULA ..................................41

3.4 COMO ENSINAR A ADIÇÃO REPETIDA ............................................................42

3.5 O USO DO ÁBACO NO ENSINO DA MULTIPLICAÇÃO......................................43

3.5.1 Como fazer os cálculos no ábaco? ...........................................................43 3.6 A MULTIPLICAÇÃO É UMA SOMA .....................................................................44

CONSIDERAÇÕES FINAIS ......................................................................................46

BIBLIOGRAFIA ........................................................................................................47

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INTRODUÇÃO

Sabe-se que a matemática é uma ciência exata, para muitos deve ser

tratada com abstração, quando isso ocorre, há um desinteresse no seu processo de

aprendizagem. O papel da escola frente à sociedade deve ser de desenvolver no

educando possibilidades de articular teoria à prática de forma crítica e

transformadora.

Podemos observar que o ensino da matemática, passou por diversas

mudanças ao longo dos anos, mudanças que acaba refletindo no processo de

aprendizagem atual.

Muitas pesquisas foram realizadas, para que houvesse uma compreensão

de como ocorre o processo de ensino aprendizagem da multiplicação, e hoje

podemos afirmar que, para que haja aprendizagem é importante o interesse do

aluno e a forma como o conteúdo é trabalhado em sala de aula.

Por isso faz-se necessário a interferência da prática pedagógica que

permite ao aluno compreender, superar ou minimizar as dificuldades do processo

ensino aprendizagem da operação multiplicação.

Verificando que existe uma deficiência no ensino de multiplicação das

séries iniciais, resolvemos propor neste trabalho estratégias para o ensino da

operação multiplicação nas séries iniciais.

Este trabalho de conclusão de curso descreverá estratégias para se

trabalhar a operação multiplicação nas séries iniciais na sala de aula, visando uma

melhor compreensão do aluno. O presente trabalho tem como propósito

fundamentar práticas e apontar recursos para que o professor possa explorar a

multiplicação de várias maneiras. Tem como metas:

Elaborar e propor atividades de ensino aprendizagem, buscando subsídios

para melhor analisar o processo de manifestação e superação das dificuldades de

aprendizagem da multiplicação.

Verificar quais as maiores dificuldades dos alunos na aprendizagem da

multiplicação.

11

Identificar, na ação pedagógica do educador, procedimentos que

contribuem para a compreensão das dificuldades dos estudantes na aprendizagem

da multiplicação.

Pesquisar e propor atividades de ensino aprendizagem das dificuldades

na aprendizagem que possibilite a superação das dificuldades na compreensão da

operação multiplicação dentro do contexto pedagógico e construtivo.

No capítulo I (A Evolução dos Números), está descrito a introdução da

pesquisa onde foi citada a trajetória da descoberta dos números, o princípio da

contagem, o conceito de multiplicação e sua relação com a adição.

No capítulo II (Estratégias para o Ensino da Multiplicação), são citadas

estratégias de como trabalhar com a multiplicação de uma forma lúdica e prazerosa,

por ser necessária uma pesquisa de métodos a ser desenvolvidos para que haja

resultados positivos na sua aplicação.

O capítulo III (Aplicação das Estratégias para o Ensino da Multiplicação)

por meio de um projeto de intervenção com duração de sete aulas numa turma de 3º

ano do ensino fundamental que anuncia o percurso metodológico da pesquisa, o

procedimento de coleta de dados, os sujeitos e as técnicas utilizadas para análise

dos dados coletados.

Este trabalho visa melhorar a prática de atividades antes repetitivas em

momentos de descontração e aprendizagem.

12

1 A EVOLUÇÃO DOS NÚMEROS

Desde os primeiros registros de vida na terra se nota a presença de

quantidades, e hoje podemos ver a evolução da matemática, por isso vamos iniciar

falando sobre como surgiu a matemática.

1.1 COMO SURGIU A MATEMÁTICA

A matemática supostamente surgiu através da observação do ser humano

ao ambiente que ele habitava, ao necessitar de algo desconhecido buscou métodos

de se organizar.

Darwin, no Descente Of Man (1871), observou que alguns animais

superiores possuem capacidades como memória e imaginação, e hoje é ainda mais

claro que as capacidades de distinguir número, tamanho, ordem e forma não são

propriedades exclusivas da humanidade.

Acredita-se que somente a partir do século XIX a matemática começou a

ser estudada além da observação ao meio ambiente. Com a persistência do homem

em comparar tudo que estava ao alcance de seus olhos, a noção primitiva de forma,

grandeza e número se tornou um motivo de estudos mais racional surgiu assim a

Ciência Matemática.

Conceituar número foi um processo longo e gradual por isso não se

pode afirmar que um indivíduo sozinho tenha arquitetado esse conceito. A ideia de

número tornou-se suficientemente ampla e vívida para que se sentisse a

necessidade de exprimir a propriedade de algum modo presumivelmente a princípio

somente na língua de sinais. (Boyer, 1974, p. 2)

As primeiras bases numéricas foram os dedos das mãos, as pedras que

também eram agrupados em cinco pela semelhança com a quantidade de dedo.

Hoje ainda usa-se a base decimal, mas para Aristóteles o uso do sistema decimal é

apenas um resultado do acidente anatômico de que quase todos tenham nascidos

com dez dedos nas mãos e nos pés.

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1.1.1 Números Indo – arábicos

No século VI foram fundados na Síria alguns centros de cultura grega.

Consistiam numa espécie de clube onde os sócios se reuniam para discutir a arte e

a cultura vindas da Grécia. Ao participar de uma conferência num destes clubes, em

662, o bispo sírio Severus Sebokt, que não gostava do fato das pessoas elogiarem

qualquer coisa vinda dos gregos, explodiu dizendo: “Existem outros povos que

também sabem alguma coisa. Os hindus, por exemplo, têm valiosos métodos de

cálculos. São métodos fantásticos. Imaginem que os cálculos são feitos por apenas

nove sinais”.

A referência a nove, e não dez símbolos, isso significa que o passo mais

importante dado pelos hindus para formar o seu sistema de numeração, a invenção

do zero, ainda não tinha chegado ao Ocidente. A ideia dos hindus de introduzir uma

notação para uma posição vazia ocorreu na Índia, no fim do século VI. Mas foram

necessários muitos séculos para que esse símbolo chegasse à Europa. Com a

introdução do décimo sinal, o zero, o sistema de numeração tal qual o conhecemos

hoje estava completo. Até chegar aos números que você aprendeu a ler e escrever,

os símbolos criados pelos hindus mudou bastante. Hoje, estes símbolos são

chamados de algarismos indo - arábicos.

Os símbolos – 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 – ficaram conhecidos como a notação

de al-Khowarizmi, de onde se originou o termo latino algorismus. Daí o nome

algarismo.

São estes números criados pelos matemáticos da Índia e divulgados para

outros povos pelo árabe al-Khowarizmi que constituem o nosso sistema de

numeração decimal conhecidos como algarismo indo-arábicos.

1.2 CONSTRUINDO O CONCEITO DE NÚMERO

Foi contando objetos com outros objetos que a humanidade começou a

construir o conceito de número. Para o homem primitivo o número cinco, por

exemplo, sempre estaria ligado à alguma coisa concreta: cinco dedos, cinco peixes,

cinco bastões, cinco animais, e assim por diante.

A ideia de contagem estava relacionada com os dedos da mão. Assim, ao

14

contar as ovelhas, o pastor separava as pedras em grupos de cinco. Do mesmo

modo os caçadores contavam os animais abatidos, traçando riscos na madeira ou

fazendo nós em uma corda, também de cinco em cinco.

Para nós, hoje, o número cinco representa uma propriedade comum de

infinitas coleções de objetos: representa a quantidade de elementos de um conjunto,

não importando se tratar de cinco bolas, cinco cadeiras, cinco discos ou cinco

aparelhos de som.

1.2.1 Os egípcios criam os símbolos

Por volta do ano 4.000 a.C., algumas comunidades primitivas aprenderam

a usar ferramentas e armas de bronze. Aldeias situadas às margens de rios

transformaram-se em cidades. A vida ia ficando cada vez mais complexa. Novas

atividades iam surgindo, devido ao desenvolvimento do comércio. Os agricultores

passaram a produzir alimentos em quantidades superiores às suas necessidades.

Com isso algumas pessoas puderam se dedicar a outras atividades, tornando-se

artesãos, comerciantes, sacerdotes, administradores. Como consequência desse

desenvolvimento surgiu a escrita. Era o fim da Pré-História e o começo da História.

Os grandes progressos que marcaram o fim da Pré-História verificaram-se com

muita intensidade e rapidez no Egito. As pirâmides são um exemplo, para fazer os

projetos de construção das pirâmides e dos templos, o número concreto não era

nada prático. Ele também não ajudava muito na resolução dos difíceis problemas

criados pelo desenvolvimento da indústria e do comércio.

Como efetuar cálculos rápidos e precisos com pedras, nós ou riscos em

um osso?

Foi partindo dessa necessidade imediata que estudiosos do Antigo Egito

passaram a representar a quantidade de objetos de uma coleção através de

desenhos (os símbolos do Antigo Egito).

A criação dos símbolos foi um passo muito importante para o

desenvolvimento da Matemática. Na Pré-História, o homem juntava 3 bastões com 5

bastões para obter 8 bastões. Hoje sabemos representar esta operação por meio de

símbolos, como, por exemplo, 3 + 5 = 8.

15

1.2.2 Contando com os Egípcios

Há mais ou menos 3.600 anos, o faraó do Egito tinha um súdito chamado

Aahmesu, cujo nome significa “Filho da Lua”. Aahmesu ocupava na sociedade

egípcia uma posição muito mais humilde que a do faraó: provavelmente era um

escriba. Hoje Aahmesu é mais conhecido do que muitos faraós e reis do Antigo

Egito. Entre os cientistas, ele é chamado de Ahmes. Foi ele quem escreveu o Papiro

de Ahmes.

1.2.3 Os Papiros da Matemática Egípcia

O papiro Ahmes é um antigo manual de matemática, contendo 80

problemas, todos resolvidos. A maioria envolvendo assuntos do dia-a-dia, como o

preço do pão, a armazenagem de grãos de trigo, a alimentação do gado.

Observando e estudando como eram efetuados os cálculos no Papiro

Ahmes, não foi difícil aos cientistas compreenderem o sistema de numeração

egípcio. Além disso, a decifração dos hieróglifos (inscrições sagradas das tumbas e

monumentos do Egito) no século XVIII também foi muito útil.

O sistema de numeração egípcio baseava-se em sete números-chave:

� 1

� 10

� 100

� 1.000

� 10.000

� 100.000

� 1.000.000

� Os egípcios usavam símbolos para representar esses números.

� Um traço vertical representava 1 unidade.

� Um osso de calcanhar invertido representava o número 10.

� Um laço valia 100 unidades.

� Uma flor de lótus valia 1.000.

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� Um dedo dobrado valia 10.000.

� Com um girino os egípcios representavam 100.000 unidades.

� Uma figura ajoelhada, talvez representando um deus, valia

1.000.000.

Todos os outros números eram escritos combinando os números-chave.

Na escrita dos números que usamos atualmente, a ordem dos algarismos é muito

importante. Se tomarmos um número, como por exemplo, o 137 e trocarmos os

algarismos de lugar vamos obter outros números completamente diferentes: 137,

173, 713, 731, 317, 371.

Ao escrever os números, os egípcios não se preocupavam com a ordem

dos símbolos.

Figura 1. Símbolos Egípcios

Quase tudo o que sabemos sobre a Matemática dos antigos egípcios se

baseia em dois grandes papiros: o Papiro Ahmes e o Papiro de Moscou.

O primeiro foi escrito por volta de 1.650 a.C e tem aproximadamente 5,5

m de comprimento e 32 cm de largura. Foi comprado no ano de 1858, por um

antiquário escocês chamado Henry Rhind. Por isso é conhecido também como

17

Papiro de Rhind. Atualmente encontra-se no British Museum, de Londres. O Papiro

de Moscou é uma estreita tira de 5,5 m de comprimento por 8 cm de largura, com 25

problemas. Encontra-se atualmente em Moscou.

1.3 A ORIGEM DA CONTAGEM

Foram necessários vários anos para que o homem distinguisse os

conceitos abstratos das situações concretas, como por exemplo, os sinais que

precederam a escrita dos mesmos favorecendo a utilização da base 10.

Não se sabe ao certo quando se originou a contagem, por isso especula-

se que contagem de quantidades iniciou-se em conexão com rituais religiosos

primitivos e que o aspecto ordinal precedeu o aspecto quantitativo e que, além disso,

a origem indica a possibilidade de que o contar tenha uma origem única.

1.4 NÚMEROS NATURAIS

Os números naturais tiveram suas origens nas palavras utilizadas para a

contagem de objetos, começando com o número um. Os babilônios desenvolveram

um sistema de atribuição de valor baseado nos números de 1 a 10. Desde 700 a.C.

o dígito zero tem sido usado como notação de posição. No século XIX, foi

desenvolvida uma definição teórica do conjunto dos números naturais, onde era

conveniente incluir o zero como um número natural. E uma construção do conjunto

dos números naturais que não depende do conjunto dos números inteiros foi

desenvolvida por Giuseppe Peano no século XIX e costuma ser chamada de

Axiomas de Peano.

Quando contamos uma quantidade de qualquer coisa como objetos,

estrelas, animais, pessoas, etc., empregamos os números 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,...

Esses números são chamados de números naturais e com eles podemos

representar qualquer número natural. O valor representado por algarismo vai

depender de sua posição na representação, por isso, o sistema é chamado de

posicional.

18

1.5 O CONCEITO DE ADIÇÃO

A conceituação da operação adição serve de base para aprendizagens

futuras em Matemática. A criança deve passar por várias experiências concretas

envolvendo o conceito da adição para que ela possa internalizar para a

aprendizagem do algoritmo, que vem a ser um mecanismo de cálculo.

Segundo o dicionário Wikipédia: Adição: 1. Ato ou efeito de adir. 2. Arit.

Reunião de todas as unidades ou frações de unidade de vários números; soma,

total. 3. Acréscimo, aumento.

Exemplo:

a) 2254 + 1258 = 3512

b)

Figura 2. Quadro Valor de Lugar 1 (adição)

Para o cálculo da adição, ordenamos os números em unidades, dezenas,

centenas, milhar... Feito isso, efetuamos a soma. Notem que os números 2254 e

1258 foram agrupados para serem somados. O resultado da soma das unidades

(4+8 = 12) é igual a 1 dezena e 2 unidades, portanto, adiciona-se 1 dezena a sua

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respectiva "casa". O resultado da soma das dezenas (1+5+5 = 11) é igual a 1

centena e 1 dezena. Adiciona-se então uma centena a sua respectiva "casa".

A soma da "casa" das centenas (1+2+2 = 5), ou seja, 5 centenas.

Finalmente, a soma da "casa" do milhar é igual a 3 (1+2=3).

A soma de 2254 e 1258 resulta em 3512.

1.6 O CONCEITO DE MULTIPLICAÇÃO

A Wikipédia nos apresenta o seguinte conceito de Multiplicação:

Multiplicação: 1. Ato ou efeito de multiplicar. 2.Arit. Operação aritmética,

que consiste em repetir um número, chamado multiplicando, tantas vezes quantas

são as unidades de outro, chamado multiplicador, para achar um terceiro que

representa o produto dos dois. 3. Repetir (um número) tantas vezes quantas são as

unidades de (outro).

Exemplo:

a) 236 x 25 = 5900

20

Figura 3. Quadro Valor de Lugar 2 (multiplicação)

Vamos inicialmente multiplicar 236 por 5:


1) 6x5 = 30 (3 dezenas e 0 unidades)

2) 3x5 = 15 + 3 = 18 (1dezena e 8 unidades) – Não se esqueça de somar

o 3 a casa das unidades.

3) 2x5 = 10 + 1 = 11

Agora vamos multiplicar 236 por 2. Estamos efetuando o cálculo da casa

das dezenas, portanto, vamos colocar os resultados em sua respectiva casa. Após a

multiplicação, some os resultados.

21


Os conceitos ligados á multiplicação, como os de adição, são

fundamentais para o desenvolvimento de muitos outros conceitos aritméticos.

Figura 6. Dispositivo retangular 1

Temos que 3 x 4 = 12 = 4 x 3, as doze esferas vermelhas podem ser

organizadas em em três linhas e quatro colunas (ou quatro colunas e três linhas).

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Dolk - Fosnot (2001) consideram que existem três níveis de cálculo que

se vão desenvolvendo: Cálculo por contagem, cálculo por estrutura, cálculo formal.

O cálculo por contagem acontece quando o aluno resolve um problema

através da repetição formal de adições, a multiplicação é baseada na contagem.

A transição da multiplicação por estrutura para multiplicação formal é

auxiliada pela crescente capacidade de relacionar em termos das relações

numéricas, propriedades aritméticas, produtos previamente conhecidos e, ao tornar

consciente esse raciocínio, de traduzi-lo para notação matemática.

O cálculo formal não necessita de nenhum material concreto somente de

lápis e papel, onde se é feito apenas um cálculo simples e metódico.

Exemplo de modelo elementar de estrutura linear: existem 8 estrelas num

pequeno pedaço de fita dourada. Quantas estrelas existirão num pedaço de fita com

6 vezes o seu comprimento?

Outro exemplo: Um saco custa 8 reais. Quanto custará 6 sacos?

A uma necessidade de o individuo saber um pouco da história da

matemática para que ele possa se interessar sobre o mundo fantástico de sua

transformação.

23

2 ESTRATÉGIAS PARA O ENSINO DA MULTIPLICAÇÃO

A matemática é uma disciplina que possibilita a interação entre o lúdico e

o conceito, veja algumas estratégias para o ensino aprendizagem da operação

multiplicação nas séries iniciais.

2.1 A MEMORIZAÇÃO

A estratégia tradicional de ensinar os cálculos com operações repetitivas

não auxilia o aluno na construção do conhecimento. Um caso específico é a

multiplicação, pesquisas sobre memorização demonstram que a maior proporção de

erros ocorre justamente quando o aluno confunde uma conta com outra que se

parece com ela. No caso da tabuada do sete, por exemplo, são comuns as trocas

entre os resultados de 7 x 8 e 7 x 9, pois um dos fatores é 7 e os outros são bem

próximos (8 e 9). Para Gómez, o ideal é que o aluno faça a memorização aplicando

raciocínios distintos para cada item da sequência. O referencial para esse trabalho é

o conhecimento das propriedades das operações, especialmente a comutativa.

É possível usar essa estratégia na memorização da própria tabuada de 7,

são cálculos cujas regularidades a turma vai notar que em todas as outras tabuadas

que:

� Qualquer número multiplicado por 0 resultara em 0;

� Qualquer número multiplicado por 1 será ele próprio.

Outra estratégia de aplicar a memorização em sala é trabalhar com jogos.

Para memorizar resultados, cada aluno participa com uma peça no tabuleiro. Em um

baralho com operações multiplicativas, um integrante do jogo tira uma carta com a

operação que deve ser realizada, acertando, o jogador segue no jogo, será o

vencedor quem obtiver o maior número de pontos.

Por fim, vale lembrar que, assim como na construção de procedimentos

de cálculo mental, a socialização das estratégias que levam ao repertório

memorizado também é fundamental. O que já está decorado deve ganhar espaço no

caderno ou em cartazes que sirvam como registro. O lúdico ajuda no trabalho de

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memorizar resultados sendo desnecessária a cópia ou a leitura da tabuada milhares

de vezes que afasta os alunos do construir a matemática que tem tudo para

acontecer sem os calafrios que costumava provocar no passado.

As atividades de memorização de resultados devem integrar o trabalho

mais amplo com cálculo mental. O ideal é que elas façam parte das últimas etapas,

na fase de sistematização do que foi aprendido.

O matemático espanhol Carlos Maza Gómez observa no livro Multiplicar y

Dividir - Através da resolução de Problemas que o trabalho com a memorização

ocorre de três maneiras: a primeira aponta para a repetição de resultados até que

eles sejam guardados na memória, enquanto a segunda se dá quando os resultados

fazem parte de uma sequência - por exemplo, decorar a tabuada de três, depois a

de quatro e assim por diante, criando relações entre elas.

Para o autor, esses dois caminhos, que predominaram nas escolas

durante boa parte do século passado, não são os mais adequados. A "terceira via",

proposta por Gómez, consiste em fazer com que o aluno decore os resultados sem

criar vínculo com a sequência - e, claro, apenas depois de compreender o que foi

feito.

Figura 7. Memorização

25

2.2 OS SÍMBOLOS DA MULTIPLICAÇÃO

Como na adição, só após resolver vários problemas multiplicativos é que

se deve introduzir sua simbologia. Quando eles resolvem situações problemas de

multiplicação sem que tenha introduzido símbolos da multiplicação é natural que os

alunos utilizem a adição repetida para representar as quantidades desejadas.

Somente quando um grande número de alunos estiver utilizando a adição repetida é

que deve se introduzir os símbolos da multiplicação, pois os símbolos são usados

mais por uma questão de linguagem e que ao escrevermos 5 x 9 estamos indicando

5 (cinco) conjuntos de 9 (nove) elementos. O mais importante é que o aluno entenda

o que significa cada um dos fatores da expressão.

2.3 O RACIOCÍNIO MULTIPLICATIVO

A multiplicação serve para modelar diversos tipos de situações que

diferem em termos do significado que as quantidades envolvidas nas situações tem

em relação ao que se estabelece entre elas.

Mulligan e Mitchelmore (1997) Identificaram diversas estratégias intuitivas

que as crianças dos primeiros anos de escolaridade, utilizavam para resolver

problemas multiplicativos. As estratégias por eles observadas não são muito

diferentes das que as crianças utilizam em problemas multiplicativos. Os problemas

propostos devem ser significativos para a criança.

2.4A ADIÇÃO REPETIDA

Trabalha com a ideia de juntar conjuntos com mesmo número de

elementos. Nesse tipo de situação as quantidades envolvidas são de quantidades

menores, é importante colocar nomes para os conjuntos, para facilitar no momento

de expor uma situação problema ao aluno, por exemplo: Durante a festa de

aniversário de Marcos os meninos recolheram 4 sacos de doces. Cada saco tinha 9

doces. Quantos doces recolheram?

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O próximo passo é explorar as quantidades com os próprios itens

abordados na situação, pedir aos alunos que agrupem as quantidades pedidas e

que as some para encontrar a resposta correta.

2.5 A COMPARAÇÃO MULTIPLICATIVA

Corresponde a um pensamento multiplicativo em que predomina o

processo de repetição e não de junção, há uma comparação entre uma quantidade

que é dada e outra que se pretende obter, como no exemplo a seguir, onde se

estabelece uma comparação entre o número de pipas feitas por Pedro, e o número

de pipas feitas por Mateus.

Exemplo: Pedro e Mateus são irmãos, resolveram brincar de fazer pipas.

Pedro fez 5 pipas, Mateus fez duas vezes essa quantidade. Quantas pipas fez

Mateus?

2.6 A DISPOSIÇÃO RETANGULAR

Corresponde a construção tabuleiros retangulares ou até mesmo

enfileiramento de quantidades. Exemplo: Na minha sala de aula há 3 filas de

cadeiras, cada fila tem 5 lugares. Quantos lugares há na sala de aula?

Figura 8. Dispositivo retangular 2

27

2.7 A DUPLICAÇÃO SUCESSIVA

A multiplicação por 2 pode servir como ponto de partida para

multiplicação por 4 e por 8. Certa vez que 4 = 2 x 2 e 8= 2 x 2 x 2, ou seja a

multiplicação por 4, obtém-se duplicando o produto do número por 2. Esse método

conhecido por método das multiplicações sucessivas foi utilizado no Egito Antigo

(Idade média), antes da introdução do sistema indo-arábico. Para que os alunos

desenvolvam esta estratégia multiplicativa pode se utilizar vários tipos de contextos.

Embora nesta atividade as crianças possam contar uma a uma as peças do

tabuleiro, deverá ser proposta outras atividades onde os alunos não possam fazer a

contagem direta das peças.

Para os alunos de até o 5º ano do ensino fundamental é importante

trabalhar com os conceitos multiplicativos: a proporcionalidade, a organização

retangular e a combinatória. Com o conceito de proporcionalidade, a criança

percebe a regularidade entre elementos de tabela. Exemplo: Se em um envelope há

6 CDs, em dois envelopes terá 12 CDs, etc.

A análise combinatória hoje também é usada nas séries iniciais. As

atividades que se desenvolvem através da combinação são muito importantes pois

permitem que o aluno faça sua própria representação usando desenhos ou

identificando elementos no papel e, somente depois faz a contagem.

O campo aditivo e o multiplicativo podem ser ensinados paralelamente e

de maneira não linear. As relações entre adição e multiplicação devem ser

enfatizadas, como explica Esther: ”O ensino da disciplina nas séries iniciais caminha

em três pistas: desenvolver as estruturas numéricas, aditivas e multiplicativas”. Certa

vez compreendida todas essas áreas, a criança vai gradualmente tecendo as

relações entre os conceitos das operações.

Podem ser trabalhadas situações de jogos em que as próprias crianças se

organizem em grupos de quantidades iguais de pessoas, ou que façam

agrupamentos de materiais como fichas, semente, etc. Outro material

bastante rico, neste caso, é o papel quadriculado. Trabalhando com

multiplicação, como também sendo preparados para, mais tarde,

compreender o conceito de área de figuras planas. (SÃO PAULO, 1997,

P.31).

28

2.8 O ÁBACO

O ábaco hoje deve ser imaginado como um dispositivo de cálculo

primitivo que encontrou seu espaço na escola elementar para propósitos ligados a

instrução. Consiste em uma moldura em que pedras ou contas se deslocam ao

longo de arames ou varetas de madeira. Sua base de contagem é dez, que é a mais

utilizada na representação de numeração decimal, mas também é utilizado na

representação da multiplicação, como se fosse tabuleiros retangulares, onde se

denomina os valores e é feita a contagem.

2.9 O CÁLCULO COM OS DEDOS

A maioria dos povos primitivos desenvolveu algum sistema para

representar números naturais por meio de varias posições dos dedos e das mãos.

Sistemas que foram usados pelos gregos, romanos, árabes, hindus e etc. Hoje se

usa mais como brincadeira para demonstrar a representação de algumas operações

mais simples como: para multiplicar dois quaisquer dos números 6, 7, 8, 9 e 10,

primeiro subtrai-se 5 de cada um e, para cada diferença obtida, ergue-se um número

equivalente de dedos em cada mão. Os números de dedos erguidos são somados

para indicar dezenas e os números de dedos fechados, inclusive os polegares, são

multiplicados entre si para indicar o número das unidades.

2.10 A TÉCNICA DE CALCULAR DOS EGÍPCIOS

Com a ajuda do sistema de numeração, os egípcios conseguiam efetuar

todos os cálculos que envolviam números inteiros. Para isso, empregavam uma

técnica de cálculo muito especial: todas as operações matemáticas eram efetuadas

através de uma adição. Por exemplo, a multiplicação 13 x 9 indicava que o 9

deveria ser adicionado treze vezes.

� 13 x 9 = 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9

Eles buscavam representar em uma tabela um total de 13 parcelas; era

simplesmente a soma das três colunas destacadas:

29

� 1 + 4 + 8 = 13

O resultado da multiplicação 13 x 9 era a soma dos resultados desta três

colunas:

� 9 + 36 + 72 = 117

Os egípcios eram realmente muito habilidosos e criativos nos cálculos

com números inteiros.

2.11 O SOROBAN

Soroban é um ábaco japonês e teve sua origem no século XVI. Com cinco

contas em cada vareta. As 4 contas inferiores tem valor 1 cada e a superior vale 5.

Com isso é fácil formar os números com unidades, dezenas e centenas como em

uma numeração normal.

Se os professores utilizassem o soroban nas séries iniciais com certeza

teríamos uma melhora significativa na habilidade numérica, na capacidade de

concentração, de raciocínio lógico, a memória, a agilidade mental, o processamento

da informação de forma ordenada e atenção visual estas são vantagens de

manusear o soroban além de facilitar cálculos matemáticos como adição, subtração,

multiplicação, divisão, cálculo de raízes e potências.

Figura 9. Soroban

30

2.12 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

Multiplicar ainda tem um papel importante na resolução de problemas de

contagem, e é fundamental na introdução das noções básicas de proporcionalidade,

muitas vezes esquecida pela escola nas séries iniciais.

Todos nós, de uma forma geral, aprendemos na escola que a

multiplicação é simplesmente uma forma mais simplificada e rápida para resolver

contas onde o valor das parcelas é o mesmo. Se, durante sua formação, os

professores não receberem bases sólidas que os ajudem a avançar nesses

conceitos primitivos, que embora corretos sejam muito restritos, continuarão

perpetuando ideias insuficientes do ponto de vista da alfabetização matemática.

Toledo (1997) afirma que inicialmente o professor deva demonstrar aos

alunos por meio da problematização da realidade em tarefas simples inseridas no

contexto de sala de aula essa noção básica da multiplicação. Pedir para que o aluno

organize os alunos em grupos com quantidades iguais pré-determinadas pelo

professor, ou ainda que separe uma quantidade exata de lápis para certo número de

alunos, são alguns exemplos.

Sabemos que a construção dos conceitos matemáticos acontece

gradativamente num processo muitas vezes lento, por essa razão o professor deve

respeitar esse pensamento inicial dos alunos e permitir-lhes que discutam com os

outros as possíveis formas de representação dos problemas propostos. Depois

disso, o professor poderá apresentar a nova forma, não como uma imposição, mas

como uma possibilidade de representação que facilita a resolução e o registro.

Sobre isso, a Proposta Curricular para o ensino de Matemática: 1º grau

(Brasil 1992, p.31) destaca ainda, que “As propriedades da multiplicação devem ser

verificadas por meio de cálculos realizados pelos próprios alunos. Não há

necessidade, nesta fase, de enfatizar nomes de propriedades”.

31

2.13 JOGOS PEDAGÓGICOS

Figura 10. Dominó

A vivência dos jogos com bingos e dominós das tabuadas facilitará a

compreensão das ideias multiplicativas. Antes de se empregar noções algorítmicas

mais formais, deve-se trabalhar o significado da palavra “vezes”. Esse processo será

construído pelos próprios alunos por meio de tentativas e erros. As principais ideias

presentes na multiplicação são a de área, adição de parcelas iguais e a noção de

proporção. A noção da adição de parcelas iguais deverá anteceder a memorização

das tabuadas de multiplicar, sendo construída, por exemplo, pela manipulação de

um quadro com cem botões equidistantes (quadro de botões).

Na adição de parcelas iguais, temos: 3 + 3 + 3 = 3 x 3. Em atividades

envolvendo o conceito de área é interessante que alunos com baixa visão façam

medições utilizando quadrados para obter a área da sua carteira, do seu material

escolar, do piso da sala.

Pode-se medir uma superfície qualquer, observando quantos quadrados

de um metro serão necessários para medi-la. Mesmo antes do manuseio do

contador mecânico (ábaco), o professor poderá criar situações com o material

dourado, começando pelos cubos menores que representam as unidades. Se o

resultado é 6, o professor pode perguntar: “quantas vezes peguei 2 cubinhos?”

“quantos cubinhos temos ao todo?” “Se eu pegar 2 vezes 3 cubinhos muda o total?”.

Também se pode quadricular em relevo papel de gramatura alta, para que o aluno

com baixa visão possa fazer a contagem dos quadradinhos da respectiva área, 3x4

por exemplo. Caso ele não faça a contagem de forma espontânea, deverá ser

estimulado com questões tais como: “quantos quadrados há ao todo?” “e na primeira

linha horizontal?”, “e na segunda linha?” “e em cada linha há o mesmo número?”,

32

“por quê?” “e nas linhas verticais?” “quantas vezes eu tenho 3 colunas dessas?” “há

o mesmo número de linhas?” O conceito mais apurado é o de proporcionalidade. Ele

é construído quando se ensina multiplicação usando o raciocínio de correspondência

em que se estimula na mente do aluno uma representação para a relação entre

duas variáveis. Por exemplo, numa festa para 20 convidados, cada um vai ganhar 3

balões. Quantos balões deverão ser comprados? No ensino tradicional, tal situação

seria resolvida com um cálculo: 20 x 3 = 60. Na concepção mais recente da

Educação Matemática deverá ser construída uma tabela com uma variável de cada

lado.

Essa situação pode ter outros desdobramentos, em que o aluno será

instigado a pensar: “se dobrar o número de convidados?” “se diminuir 10

convidados?”, etc. A princípio ele pode não acertar o resultado, porém ao comparar

com os resultados dos colegas vai perceber que o raciocínio estava correto e que o

erro só ocorreu no que se refere ao cálculo. Ressalto que ensinar multiplicação

apenas como adição de parcelas iguais é insuficiente numa proposta de construção

do conhecimento da operação multiplicação.

Figura 11. Tabuleiros

33

2.14 A MODELAGEM MATEMÁTICA COMO METODOLOGIA DE ENSINO

O termo modelo foi introduzido á matemática no último século com a

descoberta geometrias não Euclidianas de Reimann e Lobachewski. Hoje o conceito

de modelo matemático é amplamente utilizado no circuito acadêmico. Segundo

D’AMBRÒSIO (1986), o indivíduo é parte integrante e ao mesmo tempo, observador

da realidade. Sendo que ele recebe informações sobre determinada situação e

busca, através da reflexão, a representação dessa situação em grau de

complexidade. Para se chegar ao modelo é necessário que o indivíduo faça uma

análise global da realidade na qual tem sua ação, onde define estratégias para criar

o mesmo, sendo esse processo caracterizado modelagem. A modelagem é um

processo e assim como os demais alguns procedimentos devem ser adotados como:

� 1ª ETAPA:

• Interação com o assunto;

• Reconhecimento da situação problema;

• Familiarização com o assunto a ser modelo-pesquisa.

� 2ª etapa:

• Problematização:

• Formulação do problema- hipótese;

• Resolução do problema em termos do modelo.

� 3ªetapa:

• Modelo matemático:

• Interpretação da solução validação.

Para a conclusão e utilização do modelo será necessária a verificação de

que nível este se aproxima de situação problema apresentada. Assim a

interpretação do modelo deve ser feita através de análise das implicações da

solução, derivada do modelo que se está sendo investigado.

34

2.15 O MATERIAL DOURADO MONTESSORI

Figura 12. Material dourado

O Material Dourado Montessori possibilita o desenvolvimento de

atividades que auxiliam o ensino e a aprendizagem do sistema de numeração

decimal, posicional e dos métodos para efetuar as operações fundamentais. No

ensino tradicional, as crianças acabam decorando os algoritmos a partir de

repetições cansativas, mas sem conseguirem compreender o que fazem. Utilizando

o Material Dourado a situação é outra: as relações numéricas abstratas passam a ter

uma imagem concreta, facilitando a compreensão. O Material Dourado faz parte de

um conjunto de materiais idealizados pela médica e educadora italiana Maria

Montessori.

Segundo Maria Montessori, a criança tem necessidade de mover-se com

liberdade dentro de certos limites, desenvolvendo sua criatividade no enfrentamento

pessoal com experiências e materiais. Um desses materiais era o chamado material

das contas que, posteriormente, deu origem ao conhecido Material Dourado

Montessori.

35

O material Dourado ou Montessori é constituído por cubinhos, barras,

placas e cubos, que representam:

Observe que o cubo é formado por 10 placas, que a placa é formada por

10 barras e a barra é formado por 10 cubinhos. Este material baseia-se em regras

do nosso sistema de numeração.

Veja como representamos, com ele, o número 265:

Este material também pode ser confeccionado usando cartolina e vários

outros materiais. Os cubinhos são substituídos por quadradinhos de lado igual a 2

cm, por exemplo. As barrinhas são substituídas por retângulos de 2 cm por 20 cm a

as placas são substituídas por quadrados de lado igual a 20 cm.

36

Para o uso do Material Dourado deve se desenvolver atividades eficazes

desde as séries iniciais do ensino fundamental. Iniciando com o conhecimento que o

professor tem de seus alunos, saberá em que série cada atividade poderá ser

aplicada com melhor rendimento. Várias das atividades podem ser aplicadas em

mais de uma série, bastando, para isso, pequenas modificações.

37

3 APLICAÇÃO DAS ESTRATÉGIAS PARA O ENSINO DA MULTIPLICAÇÃO

Para aperfeiçoar a aprendizagem da operação multiplicação nós

professores temos vários métodos para sua aplicação, para auxiliar a compreensão

do aluno. Tendo em vista que a aprendizagem só será concretizada através de sua

construção. No capítulo anterior foram citadas algumas metodologias para a

aprendizagem da operação multiplicação. Agora iremos ver como podemos aplicar

estes métodos.

O primeiro passo é o planejamento das aulas, onde possa estabelecer

uma sequência de atividades.

Atividades de investigação são “experiências de aprendizagem”

(Mendes,1999) com consistência e abertura suficiente para serem desenvolvidas na

aula de Matemática visto influenciar, pela positiva, conceitos e orientações

programáticas relacionadas com o ensino e a aprendizagem da disciplina (Mendes,

1998, p.144). Também Amorim e Matos (1990) consideram que as atividades

investigativas devem ser propostas de trabalho abertas, com possíveis linhas

orientadoras e exploratórias no início, mas mantendo uma margem de liberdade que

permita aos estudantes diferentes níveis de envolvimento com a situação,

proporcionando-lhes a experiência da descoberta, da realização do conhecimento

matemático, em partilha e debate com os outros.

De forma concisa, Kissane (1988) defende cinco razões importantes para

reservar no currículo espaço para as atividades de investigação:

a) Tratam do essencial da natureza da atividade matemática – o levantar

de problemas e a tentativa de analisar situações que não são conhecidas antes, de

modo a encontrar-se uma ou várias soluções e a testar conjecturas;

b) Colocam ênfase nos aspectos da disciplina menos susceptíveis de

serem substituídos pela tecnologia;

c) Podem fomentar a persistência ocupando os estudantes numa via

segura com uma tarefa ou um conjunto de tarefas;

d) Tem possibilidade de aprender mais e melhor, sobre a natureza da

Matemática, do que aprendem atualmente;

38

e) Fornecem um contexto no qual os estudantes podem interessar-se

mais pela investigação matemática acerca daquilo que estão fazendo ou

despertando outros interesses concomitantes.

Esta autora salienta ainda que as atividades de investigação são

propostas abertas em que não é fornecida uma indicação precisa do que é pedido,

mas é o estudante ou o grupo que num determinado contexto define o rumo a

seguir.

Apesar das atividades de investigação ter alguns aspectos comuns com

outras desenvolvidas a nível escolar, nomeadamente a resolução de problemas,

reúnem particularmente diferentes características, dignas de registro:

a) são mais abertas, porque permitem o desenrolar de algo não chegando

logo à conclusão nem eventualmente a uma mesma conclusão;

b) apresentam-se percursos ou caminhos, mais ou menos elaborados,

permitindo vários processos para chegar às respostas;

c) são de resposta múltipla, ou seja, da mesma atividade poderão resultar

produtos diversos e não antagônicos (Mendes, 1998).

Acredita-se ainda que, ao desenvolver este tipo de atividades, os

estudantes poderão melhorar a capacidade de resolução de problemas quer na

Matemática, quer na vida real, visto que terão de procurar interações, estratégias

diversificadas e conjugar idéias para suplantar obstáculos e erros cometidos,

permitindo, com a própria experiência, voltar atrás se necessário, levantando novas

questões até atingir as soluções.

Para que se inicie o trabalho com a multiplicação o aluno deve estar

familiarizado com a adição de números naturais, com materiais concretos como, por

exemplo, o material dourado, o ábaco, tábuas de disposição retangular.

3.1 JOGOS COM O MATERIAL DOURADO

3.1.1 Jogos livres

Objetivo: tomar contato com o material, de maneira livre, sem regras.

39

Faz se necessário um tempo, para o aluno brincar com o material,

fazendo construções livres. Sendo assim, muitas vezes as crianças descobrem

sozinhas relações entre as peças.

3.1.2 Montagem

Objetivo: perceber as relações que há entre as peças.

O professor intervém sugerindo as seguintes montagens:

� Uma barra;

� Uma placa feita de barras;

� Uma placa feita de cubinhos;

� Um bloco feito de barras;

� Um bloco feito de placas;

O professor estimula os alunos a obterem conclusões com perguntas

como estas:

- Quantos cubinhos vão formar uma barra?

- E quantos formarão uma placa?

- Quantas barras serão necessárias para formar uma placa?

A partir destas atividades o professor estimula os alunos a trabalhar com

adição repetida, duplicação sucessiva a até chegar à multiplicação.

Cada criança recebe um número de cubinhos para formas grupos barras

e depois por placas. A partir dessa multiplicação simples podemos ir aumentando

gradativamente o grau de dificuldade e também estimular para que o aluno busque

melhorar cada vez mais, esta atividade torna-se interessante na medida em que se

aumenta o número de cubinhos.

40

3.2 A MODELAGEM MATEMÁTICA

BIEMBENGUT (1997, p. 89), define modelagem matemática como: “um

método que usa a essência da Modelagem Matemática para ensinar, em cursos que

tem o programa pré-determinado”. Ainda afirma que este método diferencia- se da

Modelagem no ensino, pois se utiliza de um único tema para extrair o conteúdo

programático.

O modelo só será eficaz se caminhar pelas etapas de onde vão emergir

os conteúdos matemáticos. O método abrange três momentos:

1) Justificativa do processo;

2) Escolha do tema;

3) Desenvolvimento do conteúdo.

3.2.1 Projeto de intervenção

1. Objetivos

Traçar estratégias para realizar os problemas propostos;

Estimular a pratica dos jogos como método de compreensão da operação;

Assimilar os jogos com a operação multiplicação;

Calcular os números com métodos variados;

2. Necessidade

Com a finalidade de trabalhar a operação multiplicação com os alunos do

3º ano do ensino fundamental, senti a necessidade de trabalhar com materiais

concretos para melhor compreensão dos meus alunos.

3. Desenvolvimento

Para iniciar vamos trabalhar com a adição repetida de quantidades com o

uso do material dourado (pedir aos alunos que façam sequências de quantidades

41

iguais e as some).

Em um segundo momento trabalhar com o ábaco que também possibilita

aos alunos fazer a adição repetida das quantidades, logo apos começar a trabalhar

as operações de multiplicação. O importante é sempre estar trabalhando com

métodos diferentes para que os alunos possam aplicar a multiplicação.

No momento seguinte trabalharemos jogos pedagógicos, o primeiro será

o “tabuleiro da multiplicação”, onde eles trabalharão em grupos de quatro jogadores

para cada tabuleiro, cada um receberá dez fichinhas e um dado, o primeiro jogador

joga o dado e deverá responder uma operação da coluna correspondente ao número

do dado, se acertar coloca a fichinha na operação que acertou,se errar passa a vez,

ganha quem acabar com as fichinhas primeiro.

O segundo jogo será o bingo, cada aluno receberá uma cartela, o

professor orientador deverá falar operações de multiplicação o aluno que tiver a

resposta em sua cartela deverá marcá-la. Vence quem marcar todos os números da

cartela primeiro.

Outro jogo interessante é o dominó, em grupo de quatro jogadores, dividir

sete peças para cada jogador, inicia o jogo quem estiver com a peça de maior valor,

eles irão encaixando as peças que possuem operações de multiplicação, ganha

quem acabar com as peças.

Durante as aulas os alunos se mostraram interessados nas atividades

propostas, bem como as realizaram com sucesso. Notei que os alunos com mas

dificuldades são aqueles que não prestaram atenção na explicação, mesmo assim

participavam, no final das nossas atividades esses alunos já estavam mais

participativos bem como melhoram no desenvolvimento de suas atividades

relacionadas a multiplicação.

Todos esses jogos são meios prazerosos de praticar a multiplicação além

de ajudar no raciocínio lógico, no cálculo da operação e na memorização da mesma.

E é importante também premiar todos os alunos para não desestimular os alunos

que participaram e não ganharam o jogo.

3.3 COMO UTILIZAR A MEMORIZAÇÃO NA SALA DE AULA

42

A prática é essencial, certo que uma vez compreendidos os fatos

fundamentais, eles sejam, aos poucos, memorizados pelas crianças. Para isso é

interessante utilizar jogos variados. Vamos ver um exemplo.

Um dispositivo retangular, com 36 petecas, pode ser desenhado em

cartolina ou qualquer outro papel. Os números que nele aparecem são os resultados

das multiplicações de1, 2, 3, 4, 5 e 6 por 1, 2, 3, 4, 5 e 6:

Proponha aos alunos que descubram quanto dá, por exemplo, 6 x 6. Eles

podem obter este resultado, por exemplo, através do dispositivo retangular ou

adições sucessivas.

3.4 COMO ENSINAR A ADIÇÃO REPETIDA

Nunes & Bryant (1997) afirmam que há uma prática estabelecida nas

escolas em que o ensino da adição precede ao da multiplicação, pelas seguintes

razões:

1) Crença de que a multiplicação é mais difícil do que a adição;

2) A adição conduz à multiplicação porque a base da multiplicação é

formada por alguns aspectos da adição.

Com base no raciocínio aditivo pode-se resolver problemas de

multiplicação através da adição repetida, considerado como a essência do raciocínio

aditivo, o todo é igual à soma das partes. As situações aditivas relacionam a

quantidade de elementos dos conjuntos, às ações de unir objetos e conjuntos no

processo de cálculo da multiplicação que pode ser feito, usando-se a adição

repetida, graças à distributividade da multiplicação em relação à adição.

Por exemplo, na situação “Pedro colocou em um tabuleiro 3 fileiras de

bolachas, sendo que em cada fileira ele colocou 7 bolachas. Quantas bolachas ele

colocou no tabuleiro.

A multiplicação serve para modelar diversos tipos de situações que

diferem em termos do significado que as quantidades envolvidas na situação têm e

na relação que se estabelece entre elas, a ideia de juntar conjuntos todos com o

mesmo número de elementos.

43

3.5 O USO DO ÁBACO NO ENSINO DA MULTIPLICAÇÃO

Segundo os estudiosos o ábaco é uma invenção dos chineses para

facilitar os cálculos, pois com o passar do tempo foi surgindo a necessidade de fazer

“contas” cada vez mais complexas, assim inventaram o ábaco, formado por fios

paralelos e contas ou arruelas deslizantes, que de acordo com a sua posição,

representa a quantidade a ser trabalhada, contém 2 conjuntos por fio, 5 contas no

conjunto das unidades e 2 contas que representam 5 unidades.

O ábaco japonês é conhecido como SOROBAN, os russos chamam de

TSCHOTY, com a mesma função. Uma pessoa que manuseava um ábaco com

agilidade conseguia fazer uma multiplicação de 5 algarismos com a mesma rapidez

que uma pessoa faz hoje utilizando uma calculadora digital. Ainda hoje, depois de 3

mil anos da sua invenção, comerciantes de algumas regiões da Ásia utilizam ainda

esse instrumento.

Observe as figuras abaixo dois tipos de ábaco:

Figura 13. Ábacos

3.5.1 Como fazer os cálculos no ábaco?

Para fazer cálculo com o ábaco deve-se iniciar à esquerda, ou na coluna

44

mais alta envolvida em seu cálculo, trabalha da esquerda para a direita. Assim, se

tiver 8 e desejar multiplicar por 7, conta-se 7 contas em 8 colunas cada, em seguida

some as contas das 8 colunas ou conta-se as contas separadas obtendo assim a

resposta.

3.6 A MULTIPLICAÇÃO É UMA SOMA

Represente para a criança que a multiplicação é na verdade um atalho

para uma soma com várias parcelas. Por exemplo, 3 x 2 é igual a 3+3, ou 2+2+2.

Isso também pode ser demonstrado com feijões separando 6 unidades cada, depois

arrumando-os em 3 grupos de 2 unidades cada. Mostre através disso que 3x2 é

igual a 2x3.

Vale dizer aquela velha máxima: “A ordem dos fatores não altera o

produto”.

Após isso mostre que ela já sabe a tabuada de 1. Como? Ora, diga pra

ela que todo número multiplicado por 1 é igual a ele mesmo. Aliás, abstraia mais um

pouco e mostre que qualquer coisa multiplicada por 1 é igual a ela mesma.

Então pergunte: 1 x 1? 8 x 1? 1×8? Bonecas x 1? Carrinhos x 1? Com

essa abstração a criança vai ganhar noção de que os números podem ser utilizados

para fazer contas com objetos reais. Isso será de grande valia quando ela começar a

estudar álgebra, onde ela fará operações de números com letras (variáveis e

constantes).

Então ensine a tabuada de 2, dica: a multiplicação de número par por

qualquer número, sempre será um número par, portanto 2 vezes qualquer número

sempre vai ser um número par. Além disso, essa tabuada é como se contássemos

até 20 de 2 em 2.

Ensine a tabuada de 3, dica: a multiplicação de dois números ímpares

sempre será um número ímpar. Mostre que essa tabuada é como contássemos de 3

em 3 até 30.

Mostre que a tabuada de 4 é o dobro da de 2.

A tabuada de 5 resulta em um número que termina com 0 ou com 5. Aliás

se o número multiplicado por 5 for par, o resultado termina em 0, se for ímpar

termina em 5.

45

Enfatizo que para aprender matemática deve-se praticá-la. Portanto,

qualquer método deve ser repetido algumas vezes até a criança ter o domínio sobre

o mesmo. Outro detalhe: A própria criança pode descobrir o seu próprio caminho.

Ele muitas vezes pode ser complexo, ou sem sentido, para outras pessoas, mas

para ela, geralmente, é simples e eficaz. O importante é que ela realmente entenda

o que está fazendo. Nós, os pais, devemos nos esforçar para mostrar maneiras

divertidas de aprender a matemática, além de mostrarmos que é um conhecimento

que utilizaremos para o resto da vida.

46

CONSIDERAÇÕES FINAIS

A criança tem que ser estimulada a buscar o novo, sendo estimulada a

conhecer quantidades, a manusear jogos pedagógicos, a construir seu próprio

método de resolver as operações bem como qualquer outro raciocínio.

Lance desafios, se ela conseguir se superar, dê os parabéns.

A utilização das estratégias para o ensino da operação multiplicação

requer alterações nas metodologias de trabalho adotadas pelos educadores, o papel

do professor continua sendo essencial no processo de aprendizagem. É importante

ressaltar que o construtivismo no ensino da matemática vem para aperfeiçoar o

aprendizado dessa ciência, considerando que tantas pessoas a enxergam com

dificuldade. Muito pode ser trabalhado nesse sentido, pois existem muitos métodos

elaborados para essa finalidade. Os jogos pedagógicos são excelentes para se

trabalhar com matemática na parte da construção do processo da multiplicação,

dessa forma, contribui tanto para o enriquecimento, ampliação e solidificação do

ensino quanto para o acesso dos alunos ao conhecimento da matemática.

A partir do projeto de intervenção que fiz com os alunos do 3º ano do

ensino fundamental, foi possível constatar que não é necessário que o aluno decore

a tabuada para ela saber multiplicação, e que através de uma construção lúdica com

jogos pedagógicos os alunos terão mais facilidade em desenvolver uma situação

problema.

Finalizando, o problema parece estar no aculturamento do uso

pedagógico de algumas inovações, onde a vivência com alguns instrumentos quase

inexiste na escola. Pequenas iniciativas no sentido de trabalhar com o lúdico no dia-

a-dia provavelmente irão tornar as aulas de matemática muito mais prazerosas.

47

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49

TOLEDO, Marília; Toledo, Mauro. Didática da Matemática. São Paulo: FTD, 1997.

ANEXOS

50

CANTANDO A TABUADA DO “2”

(Melodia: Ciranda, Cirandinha.)

Ciranda , cirandinha

Vamos já memorizar

A tabuada “do dois”

Que agora vou cantar

1 x 2 resulta dois

2 x 2 dá sempre quatro

3 x 2 lá vem o seis

4 x 2 oito no ato

Essa nova tabuada

É bem fácil de aprender

De um jeitinho bem gostoso

É assim que vou dizer!

5 x 2 lembra o dez

6 x 2 doze tem vez

7 x 2 dá o quatorze

8 x 2 dá dezesseis

Por isso criançada

Preste muita atenção

Nestes versos bem bonitos

Dessa mágica canção

9 x 2 dá o dezoito / 10 x 2 pense no vinte

E assim cantarolando / Tudo fica em sua mente.

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(Melodia: A barata diz que tem.)

A barata diz que sabe

A tabuada do três

É mentira da barata

Ela erra toda vez

Há há há, hó hó hó / ela erra toda vez (BIS)

1 x 3 dá três

2 x 3 seis tem pose

3 x 3 dá nove

4 x 3 resulta doze

Há há há, hó hó hó / 4 x 3 resulta doze (BIS)

5 x 3 são quinze

6 x 3 dezoito é fato

7 x 3 vinte e um

8 x 3 vinte e quatro

Há há há, hó hó hó / 8 x 3 vinte e quatro ( BIS )

E como é que termina

A tabuada do três

9 x 3 vinte e Sete

10 x 3 quanto é que dá

Há há há, hó hó hó / trinta é fácil de lembrar. (BIS)

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(Melodia: A carrocinha pegou.)

A tabuada do quatro / Eu vou logo aprender (BIS)

1 x 4 sempre é quatro

2 x 4 é que dá oito

3 x 4 dá sempre doze

4 x 4 dá dezesseis


5 x 4 dá vinte

6 x 4 dá vinte e quatro

7 x 4 dá vinte e oito

8 x 4 dá trinta e dois


9 x 4 é trinta e seis

10 x 4 é que são quarenta

É gostoso cantar

Quero ver se você tenta.

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(Melodia: Escravos de Jó.)

De 5 em 5 vamos saltear

Pense, cante, deixe rolar

É 5, é 10, é 15, é 20 e 25

É 30, é 35 e 40 tem também

Depois do quarenta,

O que será que tem

Pense, cante, tente dizer

45 e 50 é fácil de aprender.

54


(Melodia: Eu sou pobre, pobre, pobre.)

A tabuada do seis

Vou agora recitar

Vamos logo coleguinhas

Todos a cantar

2 x 6 resulta doze

3 x 6 dá dezoito

4 x 6 vinte e quatro

bauru está no prato

5 x 6 são trinta

6 x 6 trinta e seis

7 x 6 quarenta e dois

Bife com arroz

8 x 6 quarenta e oito

9 x 6 cinquenta e quatro

10 x 6 são sessenta

Queijo com polenta

É muito bom, amiguinhos

Essa música cantar

O problema é que

Agora fome vai nos dar.

55


(Melodia: Entrei na roda.)

Refrão:

Ai eu entrei aqui

Para cantar a lei do Sete

Vou mostrar pra todo mundo

O que eu aprendi neste bimestre

2 x 7 são quatorze

3 x 7 vinte e um

4 x7 vinte e oito

Aposto não erro nenhum

5 x 7 trinta e cinco

6 x 7 quarenta e dois

7 x 7 quarenta e nove

O que será que vem depois?

8 x7 cinquenta e seis

9 x 7 sessenta e três

10 x 7 são setenta

Consegui e passo a vez.

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(Melodia: Samba – lê lê.)

A tabuada do oito

Eu vou agora cantar

Basta pensar um pouquinho

Para as frases lembrar

1 x 8 sempre dá oito

2 x 8 dá dezesseis

3 X8 é vinte e quatro

Tem também na tabuada do seis

A tabuada do oito

Não mete medo em ninguém

Tiro um tempinho e canto

Vou é me dar muito bem.

4 x 8 trinta e dois

5 x 8 é quarenta, sim

6 x 8 quarenta e oito

Estou chegando perto do fim

A tabuada do oito

Nunca mais vou esquecer

Sambinha gostoso

Vai me fazer aprender

7 x 8 cinquenta e seis

8 X 8 sessenta e quatro

9 x 8 setenta e dois

10 x 8 oitenta e eu passo.

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(Melodia: Polegares.)

2 x 9 são dezoito

3 x 9 vinte e sete

4 x 9 , 4 x 9,

Trinta e seis, trinta e seis

5 x 9 quarenta e cinco

6 x 9 cinquenta e quatro

7 x 9, 7 x 9

Sessenta e três, sessenta e três

8 x 9 setenta e dois

9 x 9 oitenta e um

E 10 x 9, e 10 x 9

É sempre noventa, é sempre noventa

A tabuada do “vezes nove”

Não apresenta problema algum

Some sempre dez, some sempre dez

E tire um, e tire um.

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REGISTROS DO PROJETO DE INTERVENÇÃO

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