Fatorial Fatorial

1

Análise CombinatóriaAnálise Combinatória

SlidesSlides

Xadrez - www.ser.com.br

Permutação com repetição Permutação com repetição

Princípio fundamental da contagem Princípio fundamental da contagem

Permutação simples Permutação simples

Arranjos simples Arranjos simples

Combinações simples Combinações simples

Números binomiais Números binomiais

Triângulo de Pascal Triângulo de Pascal

Binômio de Newton Binômio de Newton

FatorialFatorial

2

Chama-se fatorial de n ou n fatorial o número n!, tal que:

- Para n=0: 0!=1- Para n=1: 1!=1- Para n=2: 2!=21=2- Para n=3: 3!=321=6- Para n=4: 4!=4321=24- Para n=5: 5!=54321=120

Generalizando:n! = n (n-1) (n-2) (n-3) ... 2 1, sendo n pertencente ao conjunto dos números naturais {0, 1, 2, 3 ...}.

3

Princípio fundamental da contagem ou princípio Princípio fundamental da contagem ou princípio da multiplicaçãoda multiplicação

Acompanhe o raciocínio da resolução do problema a seguir:

Uma pessoa vai a um restaurante e na promoção ela deve montar a sua refeição escolhendo uma entrada, um prato principal e uma sobremesa.No cardápio constam 3 tipos de entradas, 5 tipos de pratos quentes e 4 tipos de sobremesa. De quantas formas diferentes essa pessoa pode montar a sua refeição?

salada

sopa

patês

bife

massa

torta

frango

peixe

bolo

fruta

mousse

pudim

3 possibilidades 5 possibilidades 4 possibilidades

A quantidade de refeições é obtida multiplicando-se todas as possibilidades. Sendo assim: 3 5 4 = 60 refeições

Permutação simplesPermutação simples

4

Permutar é o mesmo que trocar. Nos problemas de permutação simples, a ideia que fica é de trocar ou embaralhar as posições de todos os elementos.Observe os exemplos:

1) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar utilizando os algarismos 3, 5 e 7? Note o uso da palavra “distintos”, ou seja, sem repetir o mesmo algarismo.

As possibilidades são:357, 375, 537, 573, 735 e 753.

Podemos representar também em um “diagrama de árvore”:

5 73

7 5

3 75

7 3

3 57

5 3

Utilizando o princípio fundamental da contagem, temos:3 2 1 = 6 possibilidades 3 possibilidades 2 possibilidades 1

possibilidade

5

Permutação simplesPermutação simples

2) Quantos anagramas existem da palavra azul?Anagramas são todas as palavras formadas, com ou sem sentido, pelas letras da palavra dada, embaralhando a sua ordem.A maneira mais fácil de construir todas as possibilidades é pelo “diagrama de árvores”. Observe:

u lz l u

z la u l z

z ul u z

u la l u

a lz u l a

a ul u a

z la l z

a lu z l a

a zl z a

u za z u

a ul z u a

a zu z a

Utilizando o princípio fundamental da contagem, temos:4 3 2 1 = 24 possibilidades

Concluímos que para n termos a expressão ficaria:Pn = n (n – 1) (n – 2) ... 2 1 = n!

6

Permutação com repetiçãoPermutação com repetição

É a permutação onde aparecem elementos repetidos. Se trocarmos a ordem destes, não aparecerá mudanças na posição.Exemplo: Os anagramas da palavra “matemática”.Ao mudar as letras “m” com outra “m” aparentemente não houve mudança. O mesmo com as letras “a” ou “t” .Assim, seguimos o raciocínio:

n

1 2 3

P 10! 10 9 8 7 6 5 4 3!151200

P P P 2! 3! 2! 2 3! 2

Onde Pn é a permutação das dez letras da palavra matemática,P1 é o número de letras “m” que são repetidas, P2 é o número de letras “a” repetidas e P3 é o número de letras “t” repetidas.

Generalizando:

, ,n

n!P

! ! !

7

Arranjo simplesArranjo simples

Ocorre quando de n elementos desejamos pegar p, no qual a ordem destes importa. Assim temos a relação:

n,p

n!A

(n p)!

Exemplo: Com as letras da palavra “república”, quantas palavras, com ou sem sentido, podemos formar utilizando 5 destas letras?

1º modo de resolver:a

9 8 7 6

a 1 casa como foi usado um dois termos foram usado

pode ter termo na primeira foram usados,

nove termos casa, sobraram oito restando sete

para escolher na para escolher

segunda casa um para esta casa

5

15120s quatro termos

3 termos dos usados. Restaram

nove, restando cinco nesta casa

seis para esta para selecionar

casa

2º modo de resolver: 9,5

9! 9 8 7 6 5 4!A 15120

(9 5)! 4!

n p

8

Combinações simplesCombinações simplesOcorre quando de n elementos desejamos pegar p, no qual a ordem destes não importa. Assim temos a relação:

n,p

n n!C

p p!(n p)!

Exemplo: Em uma empresa com nove funcionários, cinco serão chamados para uma reunião. De quantas formas diferentes poderá ser formado o grupo para a reunião?

9,5

9 9! 9 8 7 6 5! 9 8 7 6C 126

5 5!(9 5)! 5!4! 4 3 2 1

n p

9

Números binomiaisNúmeros binomiais

Chama-se número binomial o número com tal que, n

p

n p

n n!

p p!(n p)!

(n é o numerador e p é a classe do número binomial).

Números binomiais iguais: Se, então:9 9

5 x

x 5

ou

x 5 9 x 4

10

Triângulo de PascalTriângulo de Pascal

É uma forma de dispor números binomiais. Observe a sequência:0

0

1 1

0 1

2 2 2

0 1 2

3 3 3 3

0 1 2 3

4 4 4 4 4

0 1 2 3 4

... ... ... ... ... ...

n n n n n ...

0 1 2 3 n

ou

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

onde

+

+

De modo geral:n 1 n 1 n

p 1 p p

11

Triângulo de PascalTriângulo de Pascal

Observe a soma dos elementos de uma mesma linha no triângulo de Pascal:

0

1

2

3

4

01 2

0

1 11 1 2 2

0 1

2 2 21 2 1 4 2

0 1 2

3 3 3 31 3 3 1 8 2

0 1 2 3

4 4 4 4 41 4 6 4 1 16 2

0 1 2 3 4

De modo geral, t

p nn

p 0

emos

n n n n n n ... 2

p 0 1 2 3 n

:

12

Triângulo de PascalTriângulo de Pascal

Outras propriedades:

p p 1 p 2 n n 1

p p p p p 1

0

0

1 1

0 1

2 2 2

0 1 2

3 3 3 3

0 1 2 3

4 4 4 4 4

0 1 2 3 4

... ... ... ... ... ...

n n n n n ...

0 1 2 3 n

+

+ 1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

+

+

13

Triângulo de PascalTriângulo de Pascal

n n 1 n 2 n p n p 1

0 1 2 p p

0

0

1 1

0 1

2 2 2

0 1 2

3 3 3 3

0 1 2 3

4 4 4 4 4

0 1 2 3 4

... ... ... ... ... ...

n n n n n ...

0 1 2 3 n

+

Outras propriedades:

+ 1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

++

14

Binômio de NewtonBinômio de NewtonToda potência da forma (x+y)n, sendo n um número natural, é conhecido como binômio de Newton. Abaixo temos alguns casos comuns.

0

1

2 2 2

3 3 2 2 3

4 4 3 2 2 3 4

x y 1

x y x y

x y x 2xy y

x y x 3x y 3xy y

(x y) x 4x y 6x y 4xy y

Para desenvolver estes binômios, podemos generalizar como segue:

0 0 1 1 2 2 2 2 1 1 0

0 1 2 2 1

n n n n n n nn n n n n nx y x y x y x y x y x y x y

n n n

Exemplo:

0 1 2 3 4 55 4 3 2 1 02 5 2 2 2 2 2 2

2 5 5 4 2 3 4 2 6 8 10

5 5 5 5 5 5(2x 3y ) 2x 3y 2x 3y 2x 3y 2x 3y 2x 3y 2x 3y

0 1 2 3 4 5

(2x 3y ) 32x 240x y 720x y 1080x y 810xy 243y

15

Binômio de NewtonBinômio de Newton

Termo geral do binômio de Newton é o desenvolvimento de apenas um dos termos de todo o desenvolvimento. Assim...

n

n p pp 1

...para (x y) , o desenvolvimento de apenas um dos

termos pode ser feito pelo termo geral a seguir...

nT = x y

p