Fenômenos de Transporte UFBA

ENG309 – Fenômenos de Transporte III

Prof. Dr. Marcelo José Pirani

Departamento de Engenharia Mecânica

UFBA – Universidade Federal da Bahia

CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO

3.2.2. Esfera oca, sistema unidimensional, sem geração de calor e em regime estacionário



Método Alternativo

Pela lei de Fourier

rdTq Adr

2r

dTq 4 rdr

Como q é constante e independente de r

r T2 s2r r

2 2r T1 s1

q q drdr dT dT44 r r



Considerando constante e integrandor T r2 s2 2 Tr r s2

T2 s1rr T 11 s1

q dr q 1dT T4 4 rr

rs2 s1

2 1

q 1 1 T T4 r r

rs1 s2

1 2

q 1 1 T T4 r r



Logo

s1 s2r

1 2

T Tq

1 1 14 r r

então t,cond1 2

1 1 1R4 r r


3.2.3. Espessura crítica de isolamento

Cilindro

1 ,2

cond conv

T Tq

R R

2 1cond

ln(r / r )R2 L

conv2 2

1R2 r Lh

1 ,2

2 1

2 2

T Tq ln(r / r ) 1

2 L 2 r Lh

r1r2

T1 T2, h2



O ponto de máximo é encontrado derivando-se q em relação a r2 e igualando a zero, ou seja:

1 ,22 22 2 2 22 1 2 2

2 L T Tdq 1 k 0dr r h rln(r / r ) /(h r )

2c2

krh



Comportamento das resistências de condução e convecção


3.2.3. Espessura crítica de isolamentoEXERCÍCIO

Determinado processo industrial apresenta uma grande quantidade de tubos para condução de vapor, onde a temperatura externa destes tubos mantém-se aproximadamente a 150oC. Com o objetivo de aproveitar sobras de material e ainda reduzir a perda de calor, um dos engenheiros da empresa sugeriu que fosse colocado sobre a tubulação uma sobra de isolante térmico com as seguintes características, k=0,4W/moC e espessura igual a 5mm. Sabendo-se que o raio externo da tubulação é de 15mm, que o coeficiente de convecção externo é de h=20W/m2 oC e que a temperatura ambiente é de 25oC, responda:a) O que se pode concluir em relação a sugestão do engenheiro? b) Você apoiaria a sugestão? Justifique. c) Se a espessura do isolamento fosse de 10mm você apoiaria a sugestão? Justifique.

3.3. Condução de calor com geração de energia térmica


Equação da condução de calor

3.3.1. Parede plana, sistema unidimensional, estacionário, com geração de calor uniforme e constante

2

2d T q 0dx

Integrando a 1a vez

1d dT q dT qdx dx 0 x C 0dx dx dx

Ts1 Ts2

+L

q

-Lx

T(x)

0



Integrando a 2a vez

1dT qdx xdx C dx 0dx

21 2

qxT C x C 02

21 2

qxT C x C2

(3.7)



Aplicando as condições de contorno

2s1 1 2

q( L)T C ( L) C2

Ts1 Ts2

+L

q

-Lx

T(x)

0

em x = -L, T =Ts1

22 1 s1

qLC C L T2

2s2 1 2

qLT C L C2

em x = +L, T =Ts2

(3.8)

(3.9)



(3.8) em (3.9)2 2

s2 1 1 s1qL qLT C L C L T2 2

s2 1 s1T 2C L T

s1 s21

T TC2L

(3.10)



(3.10) em (3.8)

(3.11)

2s1 s2

2 s1T TqLC T

2 2

22 1 s1

qLC C L T2

2s1 s2

2T TqLC

2 2



(3.10) e (3.11) em (3.7)

(3.12)

2 2s1 s2 s1 s2T T T Tqx qLT x

2 2L 2 2

21 2

qxT C x C2

2 2s2 s1 s1 s2

2T T T TqL x xT 1

2 2 L 2L



Substituindo (3.12) na lei de Fourier

(3.13)

2s2 s1 s2 s1

2T T T TqL 2x qxq A A

2L 2L2 L

dTq Adx

2 2s2 s1 s1 s2

2T T T Td qL x xq A 1

dx 2 2 L 2L

s2 s1T Tq Axq A

2L



Condições de Contorno

Assimétricas

Condições de Contorno

Simétricas

Superfície adiabática


3.3.2. Parede cilíndrica, sistema unidimensional, estacionário, com geração de calor uniforme e constante

Fazendo um desenvolvimento análogo, resulta:

Distribuição de temperatura

Taxa de transferência de calor

2 2 222 2 1 2

s2 s2 s12 2 2 12 2

qr r qr r ln(r / r)T(r) T 1 1 (T T )4 4 ln(r / r )r r

2 22 2 1

s2 s122 1 2

2 Lk qr rq(r) q Lr 1 (T T )ln(r / r ) 4 r


3.3.3. Parede esférica, sistema unidimensional, estacionário, com geração de calor uniforme e constante

Fazendo um desenvolvimento análogo, resulta:

Distribuição de temperatura

Taxa de transferência de calor

2 2 222 2 1 2

s2 s2 s12 2 1 22 2

qr r qr r 1/ r 1/ rT(r) T 1 1 (T T )6 6 1/ r 1/ rr r

2 22 1

s2 s123 2

1 2

qr r4 1 (T T )6 rq4 rq(r)

3 (1 / r ) (1 / r )


3.4. Transferência de Calor em Superfícies Estendidas

Aplicação principal:

Aumentar a taxa de transferência de calor entre um sólido e um fluido adjacente através do aumento da área da superfície onde ocorre a convecção.

Exemplos de aplicação

- Cabeçotes de motocicletas - Condensadores e evaporadores - Radiador de carro - Dissipador de calor de processador de computador - ...........



Uso de aletas para melhorar a transferência de calor em uma parede plana

(a) Superfície sem aletas (b) Superfície aletada



(a) Aleta plana com seção transversal uniforme(b) Aleta plana com seção transversal não-uniforme(c) Aleta anular(d) Aleta piniforme






3.4.1. Análise Geral

Aplicando a lei da conservação de energia

acu ent sai gE E E E

Atr(x)



mas

acu ent sai gE E E E 0 0

ent saiE E

x x dx convq q dq

Atr

dAs

dqconvqx

qx+dxdx

x dx x xdq q (q )dx

dx

x x x convdq q (q )dx dqdx

x convd (q )dx dq 0

dx



x convd (q )dx dq 0

dx

mas ex trdTq Adx

logo

tr sd dT( A )dx hdA (T T ) 0

dx dx

conv sdq hdA (T T )

str

dAd dT( A ) h (T T ) 0dx dx dx



para constante

str

dAd dT( A ) h (T T ) 0dx dx dx

str

dAd dT h(A ) (T T ) 0dx dx dx

ou ainda2

tr str 2

dA dAdT d T hA (T T ) 0dx dx dxdx

2tr s

2 tr tr

dA dAd T 1 dT h (T T ) 0A dx dx A dxdx


3.4.2. Aletas com área de seção transversal uniforme

2tr s

2 tr tr

dA dAd T 1 dT h (T T ) 0A dx dx A dxdx

Considerando a área de seção transversal uniforme, resulta:2

s2 tr

dAd T h (T T ) 0A dxdx

mas As = P.x onde P é o perímetro, logo

2

2 tr

d T h P (T T ) 0Adx


3.4.2. Aletas com área de seção transversal uniforme2

2 tr

d T h P (T T ) 0Adx

Simplificando a equação pela definição de

T(x) T

Substituindo2

2 tr

d h P 0Adx

ou

22

2d m 0dx

onde 2

tr

h PmA


3.4.2. Aletas com área de seção transversal uniforme

A solução da equação tem a forma:

mx mx1 2(x) C e C e

Para se determinar as constantes C1 e C2 é necessário especificar as condições de contorno

Condução de contorno na base da aleta

- Temperatura especificada

Condição de contorno no topo da aleta - Perda de calor por convecção - Perda desprezível de calor - Temperatura especificada - Aleta longa T T e L 0


3.4.2.1. Temperatura especificada na base da aleta e perda de calor por convecção no topo

● Distribuição de Temperatura

● Calor Transferido

b

coshm(L x) (h / m )senhm(L x)coshmL (h / m )senhmL

a tr bsenhmL (h / m )coshmLq h P AcoshmL (h / m )senhmL

ondetr

h PmA


3.4.2.2. Temperatura especificada na base da aleta e perda de calor desprezível no topo

b

coshm(L x)coshmL

a tr bq h P A tanhmL



ondetr

h PmA


3.4.2.3. Temperatura especificada na base da aleta e temperatura especificada no topo

L b

b

( / )senhmx senhm(L x)senhmL

L ba tr b

coshmL /q h P AsenhmL



ondetr

h PmA


3.4.2.4. Temperatura especificada na base da aleta e aleta muito longa

m x

be

a tr bq h P A



ondetr

h PmA


Exercício

Um bastão de cobre puro, com 0,01m de diâmetro, tem uma de suas extremidades mantida a 120oC. A superfície do bastão está exposta ao ar ambiente a 25oC com um coeficiente de transferência de calor por convecção de 110W/(m2K). Determinar :

1) A temperatura em x=0,05m, admitindo comprimento infinito da aleta e a respectiva perda de calor no bastão.

2) Estimar o comprimento que deve ter o bastão para que o calor transferido, considerando aleta com perda de calor desprezível na ponta, corresponda a 99% do calor transferido pela aleta de comprimento infinito.


Exercício

Uma barra de aço com diâmetro D=2cm, comprimento L=25cm e condutividade térmica k=50W/(moC) está exposta ao ar ambiente a T∞=20oC com um coeficiente de transferência de calor h=64W/(m2oC). Se uma de suas extremidades for mantida a uma temperatura de 120oC, Determine:

a) A temperatura em x=10cm e a perda de calor na barra considerando transferência de calor no topo.

b) A temperatura em x=10cm e a perda de calor na barra considerando transferência de calor desprezível no topo.

c) A temperatura em x=10cm e a perda de calor na barra considerando aleta muito longa

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