fex_apostila_Prof_Luciano

Fısica Experimental

Revisado em

26 de fevereiro de 2010

por

Luciano Camargo Martins

Departamento de Fısica

Grupo de Dinamica Nao Linear e Sistemas Dinamicos Nao Lineares

UDESC-Joinville-SC, Brasil

E-mail: [email protected]

2

Sumario

1 Introducao 5

1.1 O Metodo Cientıfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Medidas e algarismos significativos 9

2.1 Medida de uma grandeza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1 Representacao numerica de uma medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.2 Operacoes com potencias de 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1.3 Algarismos significativos de uma medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.4 Precisao de um aparelho de medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.5 Transformacao de Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.6 Notacao cientıfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.7 Multiplos e Sub-multiplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 Criterios de Arredondamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 Operacoes com Algarismos Significativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3.1 ADICAO e SUBTRACAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3.2 MULTIPLICACAO e DIVISAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4 EXERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Erros 27

3.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 Classificacao dos Erros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3 Postulados de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3.1 Calculo do erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3.2 Representacao final da medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.4 Erro relativo percentual E% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.5 Propagacao de erros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.6 Exercıcios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4 Graficos 41

4.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.2 Sistema de Coordenadas Cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.3 Construcao do Grafico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3

4 SUMARIO

4.4 Escolha e Identificacao das Escalas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.5 O Tracado da Curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.6 A Equacao da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.7 Linearizacao de Graficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.8 O papel mono-log . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.8.1 Analise detalhada do papel mono-log . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.9 O papel di-log . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.10 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Capıtulo 1

Introducao

O objetivo desta apostila e apresentar, de forma concisa, os conteudos mınimos necessarios aos cursos de

Fısica Experimental oferecidos aos cursos de Engenharia da FEJ.

O Capıtulo 1 apresenta o Metodo Cientıfico de Galileu, e discute a sua relevancia para as ciencias experi-

mentais.

O Capıtulo 2 trata das medidas das grandezas fısicas, do processo de medicao e operacoes com medidas

experimentais. Espera-se que, ao final deste capıtulo, o leitor tenha uma ideia clara de que tipo de grandeza

se pode medir, das possıveis formas de se realizar esta medida, bem como de seu significado fısico, dos

instrumentos de medida disponıveis no laboratorio e da sua precisao e acuracia, dos diferentes sistemas de

unidades usados e de como proceder a conversao de medidas entre estes diferentes sistemas.

O Capıtulo 3 introduz a nocao de erro, os tipos de erros que afetam as medidas experimentais, e tambem

apresenta o metodo estatıstico de tratamento dos dados experimentais, e trata de como se estimar o erro

provavel em uma media feita sobre varias medidas.

Finalmente, o Capıtulo 4 apresenta e discute os procedimentos basicos para a construcao de graficos, os

diferentes tipos de linearizacoes possıveis, e o uso dos papeis especiais para a sua construcao.

1.1 O Metodo Cientıfico

Coube a Galileu Galilei a fixacao de bases logicas e filosoficas para a ciencia exper-

imental atraves criacao e organizacao de um metodo cientıfico original e completo,

que e a base fundamental de toda a Ciencia. Inicialmente proposto para o estudo

de problemas fısicos, o metodo de Galileu e utilizado atualmente no estudo de uma

enorme gama de fenomenos observados nas mais variadas areas das ciencias, como

por exemplo, na Economia, na Medicina, nas Engenharias, na Sociologia e na Psi-

cologia.

O grande desenvolvimento observado na Ciencia, desde o seculo XVII ate a epoca

atual; a criacao de areas cientıficas inteiras e uma infinidades de sub-areas e suas

especializacoes, muito se deve ao Metodo Cientıfico de Galileu e tambem a posterior

criacao da Estatıstica, com os seus metodos de analise, teste e inferencia de hipoteses,

pelo matematico e fısico Carl Friedrich Gauss (1777–1855).

Figura 1.1: Galileu

Galilei (1564–1642).

A seguir serao expostas as ideias basicas do Metodo Cientıfico de Galileu.

5

6 Fısica Experimental UDESC-Joinville-SC

Um pesquisador, ao estudar um determinado fenomeno, executa basicamente os seguintes passos:

1. observacao do fenomeno;

2. formulacao de hipoteses explicativas do fenomeno;

3. teste das hipoteses atraves da realizacao de experimentos;

4. elaboracao de uma teoria sobre o fenomeno estudado;

5. previsao teorica de novos fenomenos, com base na teoria proposta;

6. projeto de novos experimentos para testar as novas previsoes teoricas;

7. validacao da teoria inicial proposta, ou revisao e reformulacao da teoria, caso os resultados dos novos

experimentos estejam em desacordo com as previsoes teoricas, e neste caso, volta-se ao passo numero

2.

Com base nesse esquema, a ciencia evolui cada vez mais, as vezes com pequenas modificacoes, as vezes com

grandes revolucoes, propondo teorias cada vez mais completas e mais gerais, capazes de explicar classes cada

vez mais vastas de fenomenos naturais.

Na fase da experimentacao, sao realizadas medidas das grandezas fısicas relacionadas ao fenomeno em estudo.

Estas medidas trazem consigo erros que podem ser ou nao devido ao processo de medida utilizado, ou do

proprio tratamento matematico dos dados obtidos, ou seja, das operacoes matematicas necessarias, que sao

efetuadas com as medidas experimentais.

E evidente que todos os passos do metodo cientıfico criado por Galileu sao importantes, no entanto, a

realizacao de experimentos para a comprovacao de hipoteses e posterior elaboracao de uma teoria e, sem

duvida, bastante delicada e trabalhosa. Isto ocorre porque a dependencia da refutacao ou nao das hipoteses

assumidas esta justamente vinculada aos dados colhidos na experimentacao. Nesta importante etapa da

experimentacao, a chamada coleta de dados, e que sao executadas as medidas das grandezas fısicas relevantes

envolvidas no problema.

Por maior que seja o conjunto de medidas e testes experimentais feitos, nenhuma hipotese ou teoria pode

ser tida como a verdade absoluta, pois isto nao existe na Ciencia. A descoberta de apenas um fenomeno em

desacordo com uma teoria pre-estabelecida coloca em cheque a sua validade, e em geral, faz com que ela se

torne objeto de revisao ou reformulacao. Em alguns casos ha a necessidade de uma reformulacao completa,

abandonando-se a teoria antiga ou ampliando-a para uma teoria mais geral, que contenha a teoria antiga e

consiga entao explicar os novos fenomenos antes inexplicaveis.

Exemplo 1-1

Talvez o melhor exemplo desse mecanismo dinamico contido na ideia da Ciencia, herdada do

metodo de Galileu, tenha sido a observacao experimental de que a velocidade da luz no vacuo

e sempre a mesma, independente do observador, conforme o resultado da famosa experiencia

de Michelson-Morley, realizada em 1887 por Albert Michelson (1852–1931) e Edward Morley

(1838–1923).

Este simples fato levou ao questionamento da validade da Mecanica Classica, a solida teoria

criada por Isaac Newton (nascido no ano da morte de Galileu), e desenvolvida por inumeros

1.1. O METODO CIENTIFICO 7

Teoria da Relatividade Restrita

Teoria da Relatividade Geral

Mecânica Clássica

Teoria Quântica da Gravidade (?)

Figura 1.2: Evolucao da Mecanica, desde a Mecanica Classica de Newton, ate a moderna Teoria da Rela-

tividade Geral de Einstein.

outros cientistas ao longo de mais de 200 anos, ate entao sem nenhuma contradicao. Este simples

fato, tomado como postulado de uma teoria mais geral, foi proposto em 1905 como fundamental

dentro de uma nova teoria, a Teoria da Relatividade Restrita, de Albert Einstein (1879–1955).

Dentro desta teoria mais geral, a antiga teoria, a Mecanica Classica, pode ser considerada um caso

particular, valida dentro do chamado limite classico, ou seja, e valida para sistemas mecanicos

que se movem a baixas velocidades, considerando-se a velocidade da luz como referencia. Alguns

anos depois, uma nova teoria mais geral foi proposta, e ampliou ainda mais o ambito da mecanica,

com o surgimento da Teoria da Relatividade Geral em 1916, tambem de Einstein.

A medida que uma teoria cientıfica evolui, pode-se observar uma estrutura hierarquica, onde cada nova teoria

acrescenta, modifica ou invalida conceitos herdados da teoria anterior, ampliando a classe de fenomenos

explicados pela teoria, ou seja, tera que explicar os fenomenos antigos e os novos, nao explicados pela teoria

anterior. A Figura 1.2 ilustra graficamente este esquema evolutivo.

E notavel tambem o fato de que a Mecanica Classica, na sua formulacao moderna, juntamente com as ideias

da Teoria Eletromagnetica Classica, unificada por James Clerk Maxell (1831-1879) no ano de 1864, tenha

levado ao desenvolvimento de uma segunda teoria totalmente diferente, a Mecanica Quantica, iniciada em

1900 e baseada inicialmente nas ideias de Max Planck (1858–1947) e posteriormente desenvolvida por varios

fısicos nas primeiras decadas do seculo XX, e que e a base atual de pesquisa na area de Fısica Atomica e

Molecular, Fısica Nuclear e Quımica Quantica, so para citar tres.

Atualmente, fısicos trabalham na unificacao da Teoria da Relatividade Geral com a Teoria Quantica, ou

seja, numa grande teoria unificada capaz de abordar todos os fenomenos fısicos observados na natureza, de

forma compacta e elegante.

Einstein, segundo seu biografo Abraham Pais [1], disse que a teoria fısica tem dois anseios: englobar o

maximo possıvel de fenomenos e suas conexoes e alcancar isso com base no menor numero possıvel de

conceitos independentes e relacoes arbitrariamente pressupostas.

O metodo cientıfico pode ser extendido para as ciencias ditas nao exatas, como a Medicina, a Biologia,


Arqueologia, etc. Neste caso, para maior seguranca nas conclusoes, toda experiencia deve ser controlada.

Experiencia controlada e aquela realizada com tecnicas que permitem descartar as variaveis que podem

mascarar o resultado.

Nesse tipo de experiencia, utiliza-se o duplo-cego, um metodo que utiliza:

• um grupo de teste (o grupo que sera efetivamente testado);

• um grupo de controle (um grupo que nao e testado, e serve apenas para comprovar que o teste e

valido);

Exemplo 1-2

Um pesquisador procura testar a eficiencia de determinado medicamento na cura de certa doenca.

Ele, entao, usa dois grupos de doentes portadores daquela doenca. A um dos grupos ele ministra

comprimidos contendo a substancia ativa (grupo de teste). Aos pacientes do outro grupo (grupo

de controle), sao dados comprimidos que nao possuem a substancia ativa, embora identicos

no aspecto, tamanho e cor. Nenhum doente sabera se esta tomando o remedio verdadeiro ou

apenas o placebo (falso remedio). Da mesma forma, a pessoa encarregada de distribuir os

comprimidos tambem nao o sabera. Apenas, cada doente recebera um vidro enumerado, para

que o pesquisador possa, ao final, identificar quem tomou a substancia ativa e quem tomou o

placebo.

A navalha de Ockham e um princıpio atribuıdo ao logico ingles do seculo XIV, William de Ockham e que

hoje em dia se enuncia:

se ha varias explicacoes igualmente validas para um fato, entao devemos escolher a mais simples.

A navalha de Ockham tornou-se parte basica do que viria a ser conhecido como metodo cientıfico. E um

guia logico para escolher, entre varias hipoteses a serem verificadas, aquela que contem o menor numero de

afirmacoes nao demonstradas, constituindo um dos pilares do reducionismo1 em ciencia.

Ao longo da historia da ciencia a navalha de Ockham foi usada de mais de uma forma. Uma delas e na

escolha da teoria mais simples para explicar um fenomeno, como na escolha da teoria do eletromagnetismo

de Einstein em lugar da teoria do eter luminoso.

1Reducionismo, em filosofia, e o nome dado a teorias correlatas que afirmam, grosso modo, que objetos, fenomenos, teorias

e significados complexos pode ser sempre reduzidos, a fim de explica-los, a suas partes constituintes mais simples. O oposto

das ideias do reducionismo constitui o holismo: a ideia de que objetos, fenomenos, teorias e significados tem propriedades como

um todo, que nao sao explicaveis a partir das propriedades de suas partes.

Capıtulo 2

Medidas e algarismos significativos

2.1 Medida de uma grandeza

Medir uma grandeza G e compara-la com uma outra grandeza U , chamada unidade, que e padronizada

internacionalmente ou escolhida arbitrariamente pelo experimentador. A comparacao G/U , que representa

o numero de vezes que a grandeza contem a unidade, e um numero chamado medida da grandeza G com a

unidade U . No processo de medir, intervem o objeto (grandeza) a ser medido, o instrumento de medicao

(e seu funcionamento), a unidade padrao utilizada e o experimentador, responsavel pelo cumprimento dos

criterios de operacao para fazer as leituras na escala do instrumento.

Qualquer medida pode ser feita de duas maneiras, direta ou indiretamente. A medida e dita direta quando

o valor padrao respectivo e comparado diretamente com o valor desconhecido da mesma grandeza. Por

exemplo, se uma massa desconhecida MX (G) e comparada com uma massa padrao MP (U), em uma

balanca de pratos, o resultado da comparacao sera a medida direta do valor de MX . Ja uma medida indireta

e efetuada utilizando-se padroes de grandezas relacionados com a grandeza a ser medida. Por exemplo, se

no caso da massa a ser medida MX , em vez de uma balanca de pratos, for usada uma balanca de molas,

o resultado obtido sera a medida indireta de MX . Neste caso, a comparacao e feita entre as elongacoes

da mola: uma produzida por MX e outra produzida pela massa padrao MP . Outro exemplos de medida

indireta e a leitura de variacoes de temperatura em um termometro. Neste caso, a grandeza medida e obtida

atraves da medida da variacao da altura da coluna de mercurio ou alcool, que e causada pela variacao da

temperatura.

2.1.1 Representacao numerica de uma medida

As grandezas fısicas podem ser classificadas em duas grandes classes, quanto ao seu tipo:

• escalares, que ficam completamente definidas por sua intensidade (ou modulo) acompanhada de uma

unidade de medida. Em alguns casos a grandeza pode ser adimensional, nao possuindo portanto

unidade;

• vetoriais, que alem de uma intensidade (ou modulo) acompanhada de uma unidade de medida,

necessitam de uma direcao e um sentido no espaco, para ficarem completamente definidas.

Na maior parte dos casos, a representacao numerica da intensidade (ou modulo, ou valor) de medidas de

grandezas nao pode ser representada por numeros inteiros, fazendo-se necessario o uso de numeros reais, na

9


representacao decimal.

Na representacao decimal, um numero possui uma parte inteira e uma parte decimal, ou fracionaria, ambas

separadas por uma vırgula “,”, como por exemplo em L = 12, 35 m.

E importante se observar que em outros paıses, como os de lıngua inglesa, por exemplo, utiliza-se um ponto

“.” para a separacao das casas decimais da parte inteira de uma medida, como pode ser observado na maioria

das calculadoras de bolso. No Brasil, a Associacao Brasileira de Normas Tecnicas (ABNT), recomenda o uso

exclusivo da vırgula como separador da parte decimal de medidas, e do ponto para separacao dos milhares,

como por exemplo em 1.490, 0. Portanto, deve-se usa-la na representacao de medidas reais, em pesquisas

ou mesmo em trabalhos universitarios ou escolares. Veja-se varios exemplos na Tabela 2.1.5.

2.1.2 Operacoes com potencias de 10

Sendo duas potencias de 10 escritas na forma a× 10m e b × 10n, onde a e b sao suas mantissas e m e n os

respectivos expoentes (potencias de 10), temos:

Multiplicacao

(a× 10m) × (b× 10n) = (ab) × 10m+n

Divisao

(a× 10m) ÷ (b× 10n) =a

b× 10m−n

Potenciacao

(a× 10n)m = am × 10n×m

Radiciacao

m

√a× 10n = m

√a× 10n/m

Adicao e subtracao

Inicialmente, colocamos todos os numeros na mesma potencia de 10 (de preferencia na maior), e em seguida,

colocamos a potencia de 10 em evidencia e, finalmente, somamos ou subtraımos as partes numericas.

Exemplo 2-1

a) (2 × 103) × (3 × 102) = 2 × 3 × 103+2 = 6 × 105

b) (6 × 104) ÷ (3 × 102) = 63× 104−2 = 2 × 102

c) (3 × 104)2 = 32 × 104×2 = 9 × 108

d) 2√

4 × 106 = 2√

4 × 106

2 = 2 × 103

e) 5, 32 × 105 + 2, 2 × 104 = 5, 54 × 105

2.1. MEDIDA DE UMA GRANDEZA 11

2.1.3 Algarismos significativos de uma medida

Todos os algarismos conhecidos com certeza, acompanhados de um ultimo duvidoso, que expressam o valor

da medida de uma grandeza, sao chamados de algarismos significativos. Repetindo, sao chamados de

algarismos significativos de uma medida aqueles que se tem plena certeza, mais um do qual se duvida. Os

demais algarismos que estiverem colocados a direita do duvidoso nao sao significativos e, portanto, nao

devem ser considerados. Quando o valor de uma medida e representado na notacao decimal, chamamos de

casas decimais, os algarismos representados apos (ou a direita) a vırgula , ou seja, na parte decimal.

Observe que o numero de casas decimais de uma medida depende da unidade utilizada, e em geral, difere

do numero de algarismos significativos da mesma, conforme sera visto na subsecao 2.1.5.

cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Haste A

cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Haste B

Figura 2.1: Medida direta do comprimento de duas hastes A e B, realizadas com uma regua centimetrada,

ou seja, com divisoes a cada centımetro da escala.

Exemplo 2-2

A Figura 2.1 representa parte de uma regua centimetrada, ou seja, com divisoes em centımetros,

com a qual sao feitas as leituras (medida direta) dos comprimentos de duas hastes diferentes: A

e B.

Para a haste A, um observador poderia ler o seu comprimento (grandeza a ser medida) como:

5, 9 cm, 5, 7 cm, ou talvez 5, 8 cm. Cada uma destas medidas tem dois algarismos significativos.

O primeiro lido com certeza na escala centimetrada, e o ultimo arbitrado com bom senso, o

chamado algarismo duvidoso, assim denominado porque e obtido de uma estimativa do valor

entre dois tracos indicativos de centımetros.

Devido ao fato de que a escala da regua (em centımetros) so permite certeza na parte inteira da

medida (os centımetros). Assim, o primeiro algarismo da sua parte decimal (casa dos decimos de

centımetros) so pode ser estimado “a olho”, sendo, portanto, o dito duvidoso. Uma vez arbitrado

o algarismo duvidoso e definida a unidade de medida utilizada, a medida esta completa.

Sempre que se efetua uma medida, seu valor e representado por um numero (modulo ou inten-

sidade) acompanhado de uma unidade. Esse numero contem a quantidade maxima possıvel de

algarismos significativos, sendo o ultimo o duvidoso.

Neste caso, jamais se poderia encontrar valores tais como 5, 91 cm ou 5, 732 cm, pois se o decimo

de centımetro (o duvidoso) lido ja foi escolhido arbitrariamente, nao faria sentido a escolha de

um segundo algarismo duvidoso para representar os centesimos de centımetros da medida.


Para a haste B, um observador poderia ler o seu comprimento como: 15, 2 cm, 15, 3 cm, ou talvez

15, 4 cm. Cada uma destas medidas tem tres algarismos significativos. Os primeiros dois lidos

com certeza na escala centimetrada, e o ultimo o duvidoso, obtido como explicado no caso da

haste A. Observe que para ambas as hastes, as medidas de comprimento possuem o mesmo

numero de casas decimais (apenas uma), mas diferentes numeros de algarismos significativos

(dois e tres, respectivamente).

Uma medida deve, entao, ser composta por todos os algarismos de que se tem certeza acompanhados por

apenas um duvidoso. Por isso, a medida em centımetros feita para o comprimento da haste A do Exemplo

2 deve ser expressa com uma casa decimal, e portanto, com dois algarismos significativos. Para a haste B,

mais longa, a medida apresenta tres algarismos significativos, e tambem apenas uma casa decimal.

cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Haste A

cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Haste B

Figura 2.2: Medida direta do comprimento de duas hastes A e B, feitas com uma regua milimetrada.

Exemplo 2-3

A Figura 2.2 representa parte de uma regua milimetrada com a qual e feita a leitura (medida

direta) do comprimento de uma haste.

Para a haste A, um observador poderia ler o comprimento da haste como: 5, 95 cm, 5, 96 cm, ou

5, 97 cm. Cada uma destas medidas tem tres algarismos significativos. O ultimo e o duvidoso,

uma vez que e uma estimativa do valor entre dois tracos indicativos de milımetros. Em conclusao,

sempre que se efetua uma medida, seu valor e representado por um numero, acompanhado de

uma unidade. Esse numero contem a quantidade maxima possıvel de algarismos significativos,

sendo o ultimo o duvidoso. Neste caso, jamais se poderia encontrar valores tais como 5, 950 cm

ou 5, 9552 cm. Isto devido ao fato de que a escala da regua (em milımetros) so permite certeza

na primeira casa decimal (casa dos milımetros). Assim, o algarismo da segunda casa decimal

(casa dos decimos de milımetros) so pode ser estimado “a olho”, sendo, portanto, o duvidoso

(ultimo algarismo significativo da medida).

E importante observar que para uma outra haste com mais de 10 cm de comprimento, e menos de

100 cm, a medida obtida com o mesma regua do Exemplo 3 teria quatro algarismos significativos,

ja que teria um ordem de grandeza a mais do que a medida da regua mostrada. Por exemplo,

para a haste B, se fosse lido 15, 22 cm, terıamos ainda duas casas decimais, porem essa medida

apresenta quatro algarismos significativos. E assim por diante, para medidas entre 100 e 1000 cm,

mais um algarismo significativo teria a medida, sendo feita com a mesma regua milimetrada, e

assim sucessivamente.


Em alguns casos, por limitacoes visuais ou mesmo impossibilidade de fixacao do objeto a ser medido sobre

a escala de medida (no caso da regua), nao se consegue obter o numero maximo de casas decimais que, em

condicoes ideais, poderiam se lidas no instrumento. Deve-se, neste caso, com bom senso, parar-se a leitura

dos dıgitos sempre no primeiro algarismo duvidoso encontrado para a medida.

Exemplo 2-4

Fazendo-se incidir uma feixe laser sobre uma escala milimetrada, a leitura da medida fica limitada

pelo tamanho do “ponto” de luz observado, que e maior do que a menor divisao de escala usada,

o milımetro. Neste caso, pode-se ler com certeza sobre a escala o dıgito correspondente aos

centımetros, sendo que o dıgito correspondente aos milımetros ja e o duvidoso da medida. A

partir desse ponto, nao faz mais sentido se tentar ler mais nenhum dıgito, pois ja se tem duvida

sobre o dıgito anterior. Veja a Fig. 2.3.

cm 1 2 3 4 5 6 7 8uFigura 2.3: Medida direta da posicao de um feixe laser feita sobre uma escala milimetrada.

Finalmente, podemos concluir que:

A menor divisao de escala de um aparelho define o numero maximo de casas decimais que

podem ser lidas, porem ha casos em que este numero maximo nao pode ser atingido.

2.1.4 Precisao de um aparelho de medidas

Os exemplos anteriores servem para demonstrar que uma mesma grandeza medida em diferentes aparelhos

de medida, terao diferentes numeros de casas decimais, e portanto, serao lidas com precisoes diferentes.

Definicao: Podemos definir entao que a precisao de uma medida direta depende da menor divisao da escala

do instrumento de medidas usado na medicao, sendo da mesma ordem de grandeza desta. Assim define-se

a precisao maxima de um aparelho de medida como a sendo a metade da menor medida que

pode ser feita com certeza com este aparelho, ou seja, sua precisao e numericamente igual

a metade da sua menor divisao de escala. Por extensao, definiremos que a precisao de uma medida

direta e a precisao do aparelho de medidas de onde foi obtida. Desta forma, espera-se que o valor de uma

grandeza esteja sempre no intervalo:

medida = (valor medido) ± (metade da menor divisao de escala).

Para os exemplos da Figura 2.1 a precisao das medidas obtidas e igual a 0, 5 cm, independente do valor

medido. Nos exemplos da Figura 2.2 para a regua milimetrada, a precisao das medidas e de 0, 5 mm,

portanto dez vezes maior do que a obtida com a regua centimetrada.


Esta e uma definicao operacional bem pratica do conceito de precisao, porem e exatamente o que precisamos

para a maioria das medidas e instrumentos usados nos laboratorios das disciplinas de Fısica Experimental

da FEJ.

Para obter uma medida direta do comprimento da haste com um numero maior de casas decimais, ou uma

maior precisao, e necessario que a mesma seja efetuada com instrumento mais preciso (com uma escala com

mais subdivisoes) que a regua la utilizada, por exemplo, com o uso de um paquımetro ou um micrometro.

Outra forma de se conseguir aumentar a precisao da medida de uma grandeza, alem da precisao do instru-

mento de medida utilizado, e baseada na repeticao de medicoes feitas com a um dado aparelho de medidas,

e do uso correto da analise e inferencia estatıstica, conforme sera estudado no Capıtulo 3.

2.1.5 Transformacao de Unidades

Suponha que seja feita uma medida de um comprimento utilizando a regua do Exemplo 1, e seja obtido

o resultado 18, 76 cm. Como expressar esta medida em mm, m e km? Veja que a grandeza medida e

a mesma, isto e, o comprimento, bem como o aparelho utilizado para obte-la. Assim, independente da

unidade, o numero de algarismos significativos deve ser mantido em quatro, entao,

18, 76 cm = 187, 6mm = 0, 1876m = 0, 0001876 km.

Os zeros a esquerda do primeiro algarismo significativo nas transformacoes acima, nao sao significativos,

servem apenas para fixar a vırgula. De maneira geral, todos os algarismos de uma medida sao significativos,

exceto o zero quando serve apenas para localizar a posicao da vırgula.

A regra acima e baseada no fato de que, na grande maioria dos casos, a transformacao de unidades e

apenas multiplicativa, ou seja, os zeros de duas escalas diferentes da mesma grandeza coincidem em geral,

apenas sendo necessario uma correcao multiplicativa (por um fator constante) para proceder a conversao

de unidades.

Exemplo 2-5

Para a conversao de uma medida de comprimento x = 10, 8 pol em centımetros fazemos simples-

mente o produto

x = 10, 8 pol = (10, 8 pol)(2, 54 cm/pol) = 27, 4 cm

Existe porem uma excecao importantıssima a esse regra, de uso bastante comum na Fısica, que ocorre nas

transformacoes de temperaturas entre escalas termicas diferentes, em geral. Por exemplo, entre as escalas

mais usadas, que sao as escalas Kelvin e Celsius, como os zeros das escalas nao coincidem e mesmo

sendo ambas as escalas centıgradas, ha a necessidade de uma correcao aditiva para proceder a conversao de

unidades.

Exemplo 2-6

Para a conversao de uma medida de temperatura TC = 27, 5 C feita na escala Celsius, para a

escala absoluta ou Kelvin, procedemos simplesmente a soma

T = TC ×(

KC

)

+ 273, 15 K = 27, 5 K + 273, 15 K = 300, 6 K


e se observa claramente que neste caso, a regra de arredondamento a ser usada e a da soma, o

que permite que se escreva a temperatura na nova escala com quatro algarismos significativos,

apesar da medida original possuir apenas tres algarismos significativos!

Outro caso interessante, onde ambos os ajustes multiplicativos e aditivos sao necessarios ocorre, por exemplo,

em transformacoes de temperaturas entre as escalas Celsius e Fahrenheit.

Exemplo 2-7

Para converter a mesma temperatura TC = 27, 5 C do exemplo anterior para a escala Fahrenheit,

fazemos

TF = TC ×(

9F

5C

)

+ 32 F

TF = 27, 5 × 9

5F + 32F = 49, 5 F + 32F = 81, 5F

onde considerou-se os numeros 5, 9 e 32 como constantes exatas, por definicao.

Exemplo 2-8

Na Tabela 2.1.5 estao mostradas varias grandezas fısicas comuns, com sua classificacao,

exemplo de medidas, suas respectivas unidades.

Observacoes a respeito deste exemplo:

1. a eficiencia e uma grandeza adimensional, e portanto, nao possui nenhuma unidade

de medida;

2. o numero de casas decimais de uma medida e, em geral, diferente do seu numeros

de algarismos significativos;

3. angulo plano (e solido) e, por definicao uma grandeza adimensional1. Como a

grandeza pode ser medida em varias unidades arbitrarias, como graus, grados ou

mesmo em percentagem, definiu-se a unidade oficial (SI) como sendo o radiano,

cujo sımbolo e rad, como o sendo o angulo compreendido pelo arco de comprimento

igual ao raio, pertencentes a mesma circunferencia;

4. observe-se o uso simultaneo da vırgula decimal, e do ponto do milhar, nos exemplos

para energia e deslocamento.

1A medida de um angulo plano θ e a razao do comprimento s de um arco de uma circunferencia pelo seu raio R, ou seja,

θ ≡ s/R.


Grandeza Tipo S SI Medida NCD NAS

1 comprimento escalar s m 12, 5 m uma tres

2 tempo escalar t s 119, 75 s duas cinco

3 massa escalar m kg 78, 750 kg tres cinco

4 momento de inercia escalar I kg ·m2 0, 333 kg ·m2 tres tres

5 vazao escalar R m3/s 1, 7 m3/s uma dois

6 velocidade vetorial v m/s 343i (m/s) nenhuma tres

7 aceleracao vetorial a m/s2 −9, 81 j (m/s2) duas tres

8 forca vetorial F N 8, 0 i + 11, 1 j (N) uma, uma dois, tres

9 pressao escalar p N/m2 1, 05 × 105 N/m2 duas tres

10 temperatura escalar T K 273, 15 K duas cinco

11 angulo plano escalar θ rad 0, 0012 rad quatro dois

12 angulo solido escalar Ω srad 1, 2 srad uma dois

13 energia escalar E J 2.100, 0 J uma cinco

14 potencia escalar P W 735 W nenhuma tres

15 eficiencia escalar ε — 0, 31 duas dois

16 deslocamento vetorial r m −2.000k (m) nenhuma quatro

17 carga eletrica escalar q C 1, 602 × 10−19 C tres quatro

Tabela 2.1: Algumas grandezas fısicas bastante usadas, seu tipo, seu sımbolo usual (S), sua unidade no

Sistema Internacional (SI), um exemplo de uma medida da grandeza com o seu numero de casas decimais

(NCD) e de algarismos significativos (NAS).

2.1.6 Notacao cientıfica

Considere as seguintes expressoes: 3 m; 300 cm; 3000 mm. Ainda que representem a mesma dimensao,

aparecem escritas com diferentes numeros de algarismos significativos, ou seja, um, dois e quatro, respectiva-

mente. Isto como resultado de uma medicao tem diferentes significados. Se e dito que algo mede 3000 mm,

esta assegurada a precisao da medida ate o milımetro. Se sao empregadas distintas unidades, porem, com

o mesmo numero de algarismos significativos, as tres expressoes acima, para uma precisao de um algarismo

significativo, devem ser escritas assim: 3 m, 3 × 102 cm ou 3 × 103 mm.

Se a precisao for de quatro algarismos significativos, tem-se: 3, 000 m, 3, 000 × 102 cm ou 3, 000 × 103 mm.

No ultimo caso, todos os numeros sao expressos em notacao cientıfica. Esta notacao consiste em utilizar

apenas um algarismo significativo (nao nulo) antes da vırgula, multiplicado por uma potencia de dez repre-

sentativa da ordem de grandeza da medida, seguida pela unidade correspondente. Logo, o algarismo antes

da vırgula e um numero inteiro entre 1 e 9, inclusive.

Regras praticas

• numeros maiores que 1: deslocamos a vırgula para a esquerda, ate atingir o primeiro algarismo do

numero. O numero de casas deslocadas para a esquerda corresponde ao expoente positivo da potencia

de 10.


• numeros menores do que 1: deslocamos a vırgula para a direita, ate o primeiro algarismo diferente

de zero. O numero de casas deslocadas para a direita corresponde ao expoente negativo da potencia

de 10.

Exemplo 2-9

299776 km/s = 2, 99776× 105 km/s

0, 0100 pol = 1, 00 × 10−2 pol

980, 66 cm/s2 = 9, 8066 × 102 cm/s2

0, 0003 kg = 3 × 10−4 kg

760 mmHg = 7, 60 × 102 mmHg

998 kg/m3 = 9, 98 × 102 kg/m3

0, 00367 K−1 = 3, 67 × 10−3 K−1

1.500 rpm = 1, 500 × 103 rpm

ATENCAO Qualquer medida fısica deve ser escrita com a quantidade correta de algarismos significativos

e com as devida unidade de medida.

2.1.7 Multiplos e Sub-multiplos

Uma forma alternativa e equivalente a notacao cientıfica explicada acima, e o uso dos prefixos para indicar

a ordem de grandeza de uma medida. O exemplos mais comuns sao: i) o prefixo mili, representado pela

letra minuscula m, usado para indicar o milesimo de uma unidade, como em mm (milımetro) ou em mg

(miligrama); ii) o prefixo kilo, representado pela letra minuscula k, usado para indicar o milhar de uma

unidade, como se usa em km (kilometro), kg (kilograma) ou kN (kilonewton).

Multiplos Sub-Multiplos

Prefixo Nome Multiplicador Prefixo Nome Multiplicador

D deca 102 d deci 10−2

k kilo 103 m mili 10−3

M mega 106 µ micro 10−6

G giga 109 n nano 10−9

T tera 1012 p pico 10−12

Tabela 2.2: Tabela dos multiplo e sub-multiplos mais usados na Fısica, com excecao do prefixo deca (D),

de uso raro.

Para indicar-se os multiplos de uma unidade, utilizam-se os prefixos maiusculos (k, M , G, T , etc), com

excecao do prefixo k ja que a letra K e utilizada na Fısica para a unidade de temperatura absoluta, o kelvin.

Para os sub-multiplos de uma unidade, sao utilizados os prefixos minusculos (m, µ, n, p, etc). O fator de

multiplicacao para os multiplos e sub-multiplos sao os dados na Tabela 2.1.7.

Lembrando-se do fator de multiplicacao definido para cada prefixo, o calculo da multiplicacao e divisao de

medidas sera facilitado, podendo-se em muitos casos cancelar os prefixos, ou trocar-se por outro equivalente.


Observacao: Para evitar-se ambiguidades, quando duas grandezas fısicas aparecem multiplicadas, deve-

se utilizar um ponto centralizado (“·”) entre elas, indicando o produto. Por exemplo, uma forca pode ser

representada na unidade milinewton (mN), porem para representar-se um torque pode-se usar uma unidade

composta metro-newton (m ·N), ou de forma equivalente, o newton-metro (N ·m), ja que o produto aqui

e comutativo. No caso dos prefixos, indicando multiplos ou sub-multiplos, como o proprio nome indica,

deve-se colocar o prefixo sempre antes da unidade, e sem nenhum ponto ou espaco entre eles.

2.2 Criterios de Arredondamento

Ao medir-se uma grandeza diversas vezes, as medidas obtidas, em sua maioria, sao diferentes, de modo que

e necessario transforma-las em dados que expressem adequadamente o valor da grandeza medida.

Ao efetuar qualquer operacao matematica com grandezas expressas com diferentes quantidades de algar-

ismos significativos, o resultado sera uma grandeza que nao pode ter um numero arbitrario de algarismos

significativos. E necessario que o resultado obtido seja arredondado no primeiro algarismos duvidoso. Os

criterios para tal procedimento sao os que seguem.

Notacao a partir deste ponto em diante, usaremos um traco sobre o dıgito (algarismo) para indicar o

primeiro algarismo duvidoso de um resultado, que devera ser arredondado.

1. Se os algarismos desprezados numa expressao formarem numeros SUPERIORES a 5, 50, 500, etc.,

o algarismo significativo imediatamente anterior aos desprezados deve ser AUMENTADO de uma

unidade.

Exemplo 2-10

1524, 572 cm3 → 1524, 6 cm3 = 1, 5246 × 103 cm3

12, 1254 g → 12, 13 g = 1, 213 × 101 g

204, 565 N → 204, 6 N = 2, 046 × 102 N

0, 0012152 A → 0, 00122 A = 1, 22 × 10−3 A

0, 1372 V → 0, 14 V = 1, 4 × 10−1 V

6, 95 → 7, 0

2. Se os algarismos desprezados numa expressao formarem numeros INFERIORES a 5, 50, 500, etc., o

algarismos significativo imediatamente anterior aos desprezados nao se modifica.

Exemplo 2-11

699, 05 mm−Hg → 699 mm−Hg = 6, 99 × 102 mm−Hg

80, 032 cal/g → 80, 0 cal/g = 8, 00 × 101 cal/g

27, 24 g → 27, 2 g = 2, 72 × 101 g

4, 8205 dyn/cm2 → 4, 8 dyn/cm2 = 4, 8 × 100 dyn/cm2

0, 5431 N/m → 0, 54 N/m = 5, 4 × 10−1 N/m

2.3. OPERACOES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 19

3. Se os algarismos desprezados numa expressao formarem numeros IGUAIS a 5, 50, 500, etc., deve-se

proceder como segue:

• Se o algarismo significativo imediatamente anterior a parte desprezada (algarismo duvidoso) for

IMPAR, ELEVA-SE este de uma unidade;

• Se o algarismo significativo imediatamente anterior a parte desprezada (algarismo duvidoso) for

PAR, deixa-se este INALTERADO.

Esta ultima regra implementa um criterio de desempate para os casos em questao. Observe que o

algarismo zero e considerado como sendo um numero par, para uso da regra. Veja os exemplos abaixo.

Exemplo 2-12

1, 55500 Wb/m2 → 1, 56 Wb/m2

0, 00355 cal/g → 0, 0036 cal/g = 3, 6 × 10−3 cal/g

129, 500 g/s → 130 g/s = 1, 30 × 102 g/s

1, 9500 dyn/cm2 → 2, 0 dyn/cm2

0, 835 N/m → 0, 84 N/m = 8, 4 × 10−1 N/m

25, 165 mm−Hg → 25, 16 mm−Hg = 2, 516 × 101 mm−Hg

26500 m → 2, 6 × 104 m

2, 85 g → 2, 8 g

28, 500 J → 28 J = 2, 8 × 101 J

0, 0004500 N.m → 0, 0004 N.m = 4 × 10−4 N.m

2.3 Operacoes com Algarismos Significativos

Com frequencia e necessario efetuar as quatro operacoes fundamentais com os resultados de medidas que,

em geral, sao feitas com instrumentos que possuem precisao diferente. Nao raro, com um mesmo aparelho

de medicao, pode-se obter medidas com diferentes numeros de algarismos significativos. Para proceder estas

operacoes elementares, sao validas as normas de procedimento que seguem.

2.3.1 ADICAO e SUBTRACAO

O resultado de uma adicao (ou subtracao) de duas ou mais medidas de uma mesma quantidade fısica

nao pode ter maior numero de casas decimais do que a parcela com menor numero de casas decimais.

Procede-se a operacao normalmente, e arredonda-se o resultado final.

Exemplo 2-13


5, 3m+ 4, 38m = 9, 68m = 9, 7m

2m+ 22 cm+ 2mm = 2, 222m = 2m

14, 54 s+ 408, 1 s+ 0, 333 s = 422, 973 s = 423, 0 s = 4, 230 × 102 s

1, 0 g + 0, 015 g = 1, 015 g = 1, 0 g

6 + 7 = 13 = 13

138, 95m− 12, 3m = 126, 65m = 126, 6m = 1, 266 × 102m

118, 56 s− 58, 305 s = 60, 255 s = 60, 26 s = 6, 026 × 101 s

5, 00 g − 2, 016 g = 2, 984 g = 2, 98 g

122 − 115 = 7 = 7

10, 0 − 9 = 1 = 1

Observacoes

1. Quando as medidas a serem somadas (ou subtraıdas) estiverem em diferentes unidades, deve-se antes

da operacao, fazer a conversao para uma unidade comum.

2. Na adicao (subtracao) de duas ou mais medidas o resultado podera conter mais (menos) algarismos

significativos do que as parcelas, e com isso, ganha-se uma precisao maior (menor).

3. Tanto na adicao, quanto na subtracao, ıo arredondamento e executado apos a operacao, de acordo

com a medida com menor numero de casas decimais.

2.3.2 MULTIPLICACAO e DIVISAO

O resultado de uma multiplicacao (ou divisao) de duas ou mais medidas de uma mesma quantidade fısica

nao pode ter maior numero de algarismos significativos do que o fator (divisor) com menor numero de

algarismos significativos. Procede-se a operacao normalmente e arredonda-se o resultado.

Exemplo 2-14

1, 52834m × 3, 38m = 5, 1657892m2 = 5, 17m2

832N/m × 0, 25m2 = 208 J = 2, 08 × 102 J = 2, 1 × 102 J

0, 315A × 5327Ω = 1678, 005 V = 1, 678005 × 103 V = 1, 68 × 103 V

(8, 3m)4 = 4745, 8321m4 = 4, 7458321 × 103m4 = 4, 7 × 103m4

2 times70 = 140 = 1, 40 × 102 = 1 × 102

57, 38 cm÷ 28, 1 s = 2, 041992882 cm/s = 2, 04 cm/s

1, 68V ÷ 5327Ω = 0, 000315374A = 3, 15 × 10−4A

8, 44 g ÷ 10, 726 cm3 = 0, 786873 g/cm3 = 7, 87 × 10−1 g/cm3

15 ÷ 2 = 7, 5 = 8

2.3. OPERACOES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 21

Observacoes

1. Nas demais operacoes, tais como radiciacao, logaritmacao, calculo de funcoes trigonometricas,

potenciacao, etc., efetua-se a operacao normalmente e mantem-se o numero de algarismos significa-

tivos da medida que esta sendo operada, ou seja, utiliza-se a mesma regra da multiplicacao.

2. Em operacoes que envolvem constantes exatas e medidas experimentais deve-se preservar o numero

de algarismos significativos da medidas, considerando-se que as constantes existentes nas formulas

possam ser expandidas com quantos algarismos se queira. Em geral, basta que se use mais algarismos

(casas decimais) para as constantes do que se usa para o fator (parcela) mais pobre. Exemplo: nas

calculadoras de bolso, o valor de π vem pre-calculado com cerda de oito ou dez algarismos significativos,

o que em geral e maior do que a precisao da medida do diametro de uma esfera, o que sera suficiente

para o calculo do seu volume, ou seja, nenhum erro sera acrescentado pelo valor usado para π. Veja-se

o exemplo abaixo.

Exemplo 2-15

f) Determine o volume de uma esfera de raio r = 2, 00 cm.

V =4

3π r3 =

4

3× 3, 1416× (2, 00 cm)3 =

4

3× 3, 1416 × 8, 00 cm3 = 33, 5104 cm3 = 33, 5cm3

g) Determine a area superficial da esfera do exemplo anterior.

A = 4π r2 = 4 × 3, 1416 × (2, 00 cm)2 = 4 × 3, 1416 × 4, 00 cm2 = 50, 2626 cm2 = 50, 3cm2

h) Determine a area de um triangulo com base b = 2, 32 cm e altura h = 1, 35 cm.

A =bh

2=

(2, 32 cm× 1, 35 cm)

2=

3, 132 cm2

2= 1, 566 cm2 = 1, 57 cm2

Observacoes

1. Quando um calculo com varias parcelas (fatores) utiliza sempre operacoes que seguem a mesma regra

de arredondamento, procede-se o calculo e arredonda-se ao final. Isto ocorre na soma (ou subtracao)

de varias parcelas ou no produto (divisao) de varios fatores, por exemplo.

2. Quando um calculo exige o uso alternado de operacoes cujos resultados seguem diferentes regras de

arredondamento, segue-se o algarismo duvidoso para arredondamento ao final do calculo, ou entao

arredonda-se os resultados parciais a cada vez que a regra e alterada. Veja-se o exemplo abaixo.

Exemplo 2-16


i) Ache a hipotenusa de um triangulo retangulo com catetos de 5, 12 cm e b = 8, 5 cm.

c2 = a2 + b2 ⇒ c =√a2 + b2 =

√

(5, 12 cm)2 + (8, 5 cm)2

c =√

26, 2144 cm2 + 72, 25 cm2 =√

98, 4644 cm2 = 9, 9229 . . . cm = 9, 9 cm

j) Ache o coeficiente angular m da reta a partir dos pontos experimentais: P1(2, 1 s; 12, 5 cm) e

P2(12, 4 s; 64, 2 cm).

m =y2 − y1

x2 − x1=

64, 2 cm− 12, 5 cm

12, 4 s− 2, 1 s=

51, 7 cm

10, 3 s= 5, 0194 . . . cm/s = 5, 02 cm/s

k) Sendo x(t) = xm cos(ωt + φ), onde xm = 12, 35 cm, ω = 12, 5 rad/s e φ = π/4, determine

x(5, 0 s).

Sendo

(ωt+ φ) = (12, 5 rad/s)(5, 0 s) + 3, 1416 . . . /4 = 62, 5 rad+ 0, 7854 . . . rad = 63, 2854 rad

temos

x(5, 0 s) = (12, 35 cm)(cos(63, 2854 rad)) = (12, 35 cm)(0.89889865 cm) = 11, 10 . . . cm = 11 cm

2.4. EXERCICIOS 23

2.4 EXERCICIOS

Faca os exercıcios abaixo, respeitando os criterios de

arredondamento e de operacao com algarismos signi-

ficativos.

Potencias de 10

1)Efetue as operacoes com potencia de 10:

a) 1, 2 × 105 × 3, 0 × 102

b) 2, 4 × 107 × 2, 5 × 10−3

c) 5, 0 × 10−2 × 2, 6 × 10−4

d) (8, 4 × 105) ÷ (7, 5 × 10−2)

e) (1, 5 × 10−6) ÷ (7, 5 × 10−2)

f) (3 × 104)3

g) (−2 × 10−4)2

h)√

4 × 106

i)√

4, 9 × 107

j) 2, 30 × 103 + 4, 12 × 104

k) 5, 8 × 10−3 − 45 × 10−4

Algarismos significativos

2)Determine o comprimento de cada haste mostrada

abaixo, com o numero correto de algarismos significa-

tivos:

a)

0 cm 1 2 3 4 5 6 7

b)

0 cm 1 2 3 4 5 6 7

c)

0 cm 1 2 3 4 5 6 7

d)

0 cm1 2 3 4 5 6 7

e)

0 cm1 2 3 4 5 6 7

f)

0 cm1 2 3 4 5 6 7

3)Faca a leitura das temperaturas indicadas nas difer-

entes escalas Celsius e converta as medidas obtidas

para a escala Kelvin:

a)iwC 0 10 20 30 40

b)iwC 40 42 44 46 48

c)

iwC 20 25 30 35 40

d)

iwC 120 130 140 150 160


entes escalas Fahrenheit e converta as medidas obti-

das para a escala Celsius:

a)iwF 0 10 20 30 40

b)iwF -40 -38 -36 -34 -32

c)

iwF 300 320 340 360 380

d)

iwF 32 34 36 38 40

5)Faca as leituras das pressoes indicadas no manometro

abaixo, sabendo-se que o fundo de escala2 do aparelho

foi ajustado para 100 Pa.

a)

0

20

100

40 60

80

0

20

30

10

b)

0

20

100

40 60

80

0

20

30

10

c)

0

20

100

40 60

80

0

20

30

10

d)

0

20

100

40 60

80

0

20

30

10

2Chama-se fundo de escala de um multi-medidor a maior

medida que se pode ler na escala escolhida, o que define em

qual escala se deve realizar as medicoes.


e)

0

20

100

40 60

80

0

20

30

10

f)

0

20

100

40 60

80

0

20

30

10

g)

0

20

100

40 60

80

0

20

30

10

h)

0

20

100

40 60

80

0

20

30

10

i)

0

20

100

40 60

80

20

30

10

0

6)Refaca o exercıcio anterior, supondo agora que o

aparelho de medida seja um amperımetro, com fundo

de escala ajustado para 30 mA.

7)Faca as leituras em cm das posicoes de um feixe

laser sobre as escalas milimetradas indicadas abaixo:

a)

cm 1 2 3 4 5 6 7 8sb)

cm 1 2 3 4 5 6 7 8vc)

cm 1 2 3 4 5 6 7 8ud)

cm 1 2 3 4 5 6 7 8we)

cm 1 2 3 4 5 6 7 8yf)

cm 1 2 3 4 5 6 7 8~g)

cm 1 2 3 4 5 6 7 8|h)

cm 1 2 3 4 5 6 7 8rNotacao cientıfica

8)Escreva os seguintes numeros em notacao cientıfica:

a) 572.000

b) 12.520

c) 50.300.000

d) 0, 0000512

e) 0, 0312

f) 0, 725

g) 0, 82 × 103

h) 645 × 105

i) 9.150 × 10−3

j) 220 × 10−2

k) 10, 2 × 103

l) 0, 00125× 10−4


entes escalas Kelvin, escreva-as em notacao cientıfica

e converta as medidas obtidas para as escalas Celsius

e Fahrenheit, tambem em notacao cientıfica:

a)iwK 0 10 20 30 40

b)

iwK 140 142 144 146 148

c)

iwK 300 320 340 360 380

d)iwK 32 34 36 38 40

Operacoes com significativos

10)Efetue as operacoes indicadas abaixo, dando a re-

sposta em notacao cientıfica:

a) 1, 2 × 105 × 3, 0 × 102

b) 2, 4 × 107 × 2, 5 × 10−3

c) 5, 0 × 10−2 × 2, 6 × 10−4

d) (8, 4 × 105) ÷ (7, 5 × 10−2)

e) (1, 5 × 10−6) ÷ (7, 5 × 10−2)

f) (3 × 104)3

g) (−2 × 10−4)2

h)√

4 × 106

i)√

4, 9 × 107

2.4. EXERCICIOS 25

j) 2, 30 × 103 + 4, 12 × 104

k) 5, 8 × 10−3 − 45 × 10−4

Problemas

11)Um aluno obteve as notas 6, 4, 8, 5 nas provas

realizadas em um certo curso. Determine a media

aritmetica simples das notas obtidas pelo aluno.

12)Um carro com massa m = 835 kg se move com

velocidade de 75 km/h. Sendo que o modulo do mo-

mento linear p e a energia cinetica K do carro dados,

respectivamente, por p = mv e K = mv2/2, deter-

mine numericamente e escreva em notacao cientıfica

utilizando as unidades do Sistema Internacional (SI):

a) o momento p e

b) a energia cinetica K do carro.

13)Mediu-se o comprimento e o perıodo de oscilacao

de um pendulo simples obtendo-se l = 69, 20 cm e

T = 1, 65 s. Sendo a relacao entre eles e dada por

T = 2π√

l/g

determine g.

14)Numa mola de constante elastica k = 1, 428 ×104 dyn/cm, suspendeu-se uma massa m = 124, 93 g.

Se a massa oscila com pequena amplitude, o seu perıodo

e dado pela equacao

T = 2π√

m/k

calcule:

a) o perıodo T desse oscilador.

b) a frequencia f do oscilador.

15)O momento de inercia de um cilindro, em relacao

ao seu eixo de simetria, pode ser escrito na forma

I = CmR2, onde m e a massa do cilindro, R seu raio

e C e uma constante adimensional. Para um cilindro

que rola sobre um plano inclinado, sabe-se que

C = (ght2/2l2) − 1

onde g e a aceleracao da gravidade, h a altura entre

o topo e a base do plano inclinado, e t e o tempo

gasto pelo cilindro para percorrer a distancia l sobre

o plano. Calcule a constante C, usando os dados

experimentais: g = 980, 66 cm/s2, h = 2, 95 cm, t =

2, 32 s, e l = 72, 43 cm.

16)Utilizando-se um calorımetro para obter o calor

latente de fusao LF do gelo, pode-se usar a expressao

LF =(mCcC +mAcA)(Ti − Tf)

mG− cATf

onde mC e cC sao a massa e o calor especıfico do

calorımetro, mA e cA, sao a massa e o calor especıfico

da agua,mG e a massa de gelo, Ti e Tf sao, respectiva-

mente, as temperaturas inicial e final do calorımetro.

Dados mC = 115, 0 g, cC = 0, 214 cal/g · C, mA =

500, 0 g, cA = 1, 000 cal/g · C, mG = 125, 0 g, Ti =

31, 0 C e Tf = 15, 0 C, calcule o calor latente de

fusao do gelo.

17)Num experimento de dilatacao termica, o calculo

do coeficiente de dilatacao linear de um tubo metalico

e dado por

α =πdθ

L0∆T 360

onde d e o diametro de um certo eixo, θ e o angulo (em

graus) de giro de um ponteiro solidario a este eixo, L0

e o comprimento inicial do tubo e ∆T e a diferenca de

temperatura na qual se observa a dilatacao. Dados:

d = 3, 00mm, θ = 37, 3, L0 = 84, 50 cm e ∆T =

78, 5 C, calcule o coeficiente de dilatacao linear α do

material do tubo.

18)A relacao entre a altura h atingida por um lıquido

em um tubo capilar vertical, e o raio r do tubo uti-

lizado e dada por:

h =2σ

µgr

onde σ e a tensao superficial do lıquido, µ sua massa

especıfica, e g a aceleracao da gravidade. Determine

a altura atingida pelo alcool em um capilar de raio

igual a 0, 040 cm, dado que σ = 22, 3 dyn/cm, µ =

0, 7894 g/cm3 e g = 979, 85 cm/s2.


Capıtulo 3

Erros

3.1 Introducao

O objetivo da grande maioria dos experimentos que sao executados, e fazer um estudo quantitativo de certas

propriedades do sistema observado. Este estudo e realizado atraves de inumeras medicoes das grandezas

fısicas de interesse do experimentador. Para tal, sao utilizados aparelhos de medida adequados e, posteri-

ormente, os dados obtidos sao tratados e manipulados. Os instrumentos de medidas podem ter diferentes

graus de precisao mas, por mais preciso que qualquer instrumento seja, os dados experimentais sempre

contem erros.

Considerar simplesmente um numero como medida (direta ou indireta) de uma grandeza, sem aquilatar o

erro de que foi afetada esta medida, nao tem significado ou valor cientıfico. E necessario, portanto, avaliar

o erro que certamente existe, associado ao resultado da medicao. A tarefa de determinacao do erro em uma

grandeza medida nao e simples. A grande dificuldade e devida ao fato de que o ato de medir e acompanhado

da interferencia dos mais diversos fatores. Estes fatores influenciam com maior ou menor intensidade o

resultado da medida. Sejam quais forem as especies dos experimentos, na sua grande maioria, e impossıvel

analisar ou indicar todos os fatores que tem influencia no resultado da medida. Isto faz com que o valor real

do erro na grandeza medida permaneca desconhecido. Devido a isso, a teoria de erros limita-se a estimar

o erro maximo de que a medida pode ser acometida. O grau de certeza desta estimativa do erro depende,

entre outras coisas, da quantidade de fatores que se levam em conta, e que tem influencia no resultado das

medidas.

Atualmente, qualquer experimentador que faca medicoes nao pode deixar de aplicar os metodos matematicos

de tratamento dos dados experimentais.

Com o objetivo voltado para uma padronizacao, as normas que a seguir sao apresentadas, apesar de nao

serem unicas, deverao ser seguidas nas disciplinas de Fısica Experimental.

3.2 Classificacao dos Erros

Nao existem, e nem poderiam existir, instrumentos que permitam medir sem erro algum uma grandeza

fısica. Alem desse erro, que e inerente ao aparelho, quando se realiza uma medida, comete-se outros tipos de

erros. Nao se deve, no entanto, confundir erro com engano, tambem chamado erro grosseiro. Este aparece

devido a falta de habilidade do experimentador, e e perfeitamente evitavel. Deve-se interpretar o termo

27


ERROS, entao, como representativo daqueles erros que sao inevitaveis.

Existem varias classificacoes de erros na literatura, sendo que a nomenclatura tambem e variada, por isto,

classificam-se os diversos tipos de erros em tres categorias:

1. Erros de Escala: sao os erros cometidos pelo experimentador, devido ao limite de precisao do

instrumento de medida utilizado e das condicoes em que as medidas sao executadas;

2. Erros Sistematicos: sao aqueles que, sem praticamente variar durante as medidas, perturbam de

igual modo cada resultado dessas medidas. Isto faz com que os valores obtidos para estas medidas se

afastem do valor real em um sentido definido, para mais ou para menos. Os erros sistematicos sao

aqueles que aparecem seguindo alguma regra definida. E possıvel descobrir sua origem e elimina-los,

em geral;

3. Erros Acidentais: Sao aqueles que ocorrem aleatoriamente (ao acaso), portanto, sem qualquer

sentido. Este tipo de erro e resultado da soma de pequenas pertubacoes estatisticamente imprevisıveis.

Os erros acidentais nao seguem nenhuma regra definida, diferentemente dos sistematicos. Devido a

isso, e impossıvel evita-los. E o unico tipo de erro ao qual se podem aplicar os postulados de Gauss,

que serao vistos na sequencia.

Exemplo 3-1

Um exemplo simples que ilustra as diferencas entre erros sistematicos e acidentais esta represen-

tado na Figura 3.1.

&%'$&%'$i·

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Pouca PrecisaoPouca Acuracia

A

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Boa PrecisaoPouca Acuracia

B

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Pouca PrecisaoBoa Acuracia

C

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Boa PrecisaoBoa Acuracia

D

Figura 3.1: Quatro atiradores disparam 400 projeteis cada um, contra um alvo fixo. Podemos ver que o atirador A

possui tem pouca precisao (nao consegue concentrar os disparos numa area pequena) e possui pouca acuracia (pois o

centro dos seus tiros esta longe do centro do alvo, seu objetivo); o atirador B possui boa precisao e pouca acuracia;

o C possui pouca precisao e boa acuracia; e finalmente, o atirador D combina boa precisao e boa acuracia.

A Fig. 3.1 apresenta quatro alvos em situacoes diferentes. Os pontos indicam as posicoes de impacto dos

tiros. Na situacao A, todos os impactos encontram-se concentrados numa determinada regiao distante da

”mosca”, e com grande espalhamento em torno de um centro comum. As causas deste deslocamento em

relacao ao centro do alvo podem ser a mira desregulada, o vento constante, entre outras. O espalhamento

3.3. POSTULADOS DE GAUSS 29

dos pontos deve-se, provavelmente, a falta de habilidade do atirador. Uma vez que o desvio atuou do mesmo

modo em todos os disparos, fica caracterizado um erro do tipo sistematico, como fica claro no caso B.

Uma vez identificada as reais causas do desvio, estas poderiam ser eliminadas ou, pelo menos, compensadas

de alguma forma. ja nas situacoes C e D, os impactos estao distribuıdos aleatoriamente em torno do centro

do alvo, nao ficando, portanto, caracterizado erro do tipo sistematico, mas sim apenas do tipo acidental. A

diferenca entre as situacoes C e D e que em C o erro acidental e maior, denunciando a falta de habilidade

do atirador. Note ainda que, em media, os impactos em A e B estao afastados da ”mosca”, enquanto que

em C e D nao estao.

Dois conceitos fundamentais para a Fısica Experimental sao ilustrados no exemplo acima: precisao e

acuracia.

Dizemos que um conjunto de medidas tem boa precisao quando os valores obtidos tem um pequeno espal-

hamento em torno de um valor (medio), ou seja, se podemos esperar que qualquer medida subsequente fique

proxima desde ponto central ou medio. Como ocorre com o atirador do casos B e D do exemplo acima, que

tem boa precisao nos seus tiros.

Um conjunto de medidas e dito possuir boa acuracia quando o seu valor medio esta proximo do valor

(esperado) da medida, ou seja, quando se consegue reduzir os efeitos dos erros sistematicos, como nos casos

dos atiradores C e D do ultimo exemplo.

Finalmente, o erro maximo na medida, tambem chamado desvio da medida, representado por Emax, e a

soma de todos os erros, tomados em modulo para que nao se anulem, o que no pior caso possıvel e dado por

Emax = |Eescala| + |Esistematico| + |Eacidental| (3.1)

e uma medida experimental de qualquer grandeza sera sempre escrita na forma final

Medida = V alor ± Emax (3.2)

3.3 Postulados de Gauss

Como dito anteriormente, os erros sistematicos podem ser eliminados ou compensados, desde que as suas

causas seja conhecidas e detectadas, o que nao acontece com os erros acidentais dada a sua natureza aleatoria.

Para tratar de erros deste tipo, foi desenvolvida toda uma teoria estatıstica, iniciada por Gauss, cujos

postulados basicos sao:

1. A probabilidade de que aconteca um desvio ∆x, por excesso ou por falta, em uma medida, e a mesma.

2. A probabilidade de que o erro cometido numa medida esteja compreendido entre −∞ e +∞ e igual a

100%. Isto quer dizer que o erro cometido numa medida e real, existe.

3. O valor mais provavel de uma grandeza medida e a media aritmetica das diversas medidas efetuadas.

Assim,

x =x1 + x2 + · · ·+ xN

N=

1

N

N∑

i=1

xi (3.3)

onde x e o valor mais provavel, xi sao as medidas individuais realizadas e N e o numero total de

medidas.


Desde que o numero de medidas seja muito grande (tendendo ao infinito), este e o valor adotado como

verdadeiro (exato) para a medida da grandeza, o chamado valor esperado. Para um numero infinito de

medidas ocorre a anulacao do erro acidental, pois a sua natureza aleatoria faz com que o desvio seja ora

para mais, ora para menos.

Em tese, se fosse possıvel se fazer um numero infinito de medidas, o valor medio dessas medidas seria o valor

esperado, ou valor real da medida, e o erro acidental associado a medida seria nulo. Na pratica, se utiliza um

conjunto de medidas e a Estatıstica preve uma maneira de se representar a medida obtida e de se estimar a

faixa de erro associada, faixa esta que pode ser obtida de varias maneiras. A seguir sao apresentadas duas

delas, uma atraves do desvio medio e a outra atraves do desvio padrao.

3.3.1 Calculo do erro

Define-se o desvio de uma medida (∆xi) e a diferenca entre o valor obtido na i-esima medida e o valor mais

provavel da grandeza, isto e,

∆xi ≡ xi − x (3.4)

O desvio medio (∆x) e a media aritmetica dos desvios de todas as medidas, em relacao ao valor medio x,

ou seja,

∆x =1

N

N∑

i=1

|xi − x| =1

N

N∑

i=1

|∆xi| (3.5)

O desvio padrao (σ) e definido como a raiz quadrada da razao entre a soma dos quadrados dos desvios de

cada medida e o numero de medidas efetuadas,

σ =√

(∆xi)2/N =√

(xi − x)2/N. (3.6)

Para a determinacao do erro acidental provavel EP na medida, utilizam-se qualquer uma das relacoes

EP = ±0, 8453∆x√N

(3.7)

ou

EP = ±0, 6745σ√N

(3.8)

onde os coeficientes numericos foram ajustados para um nıvel de confiabilidade de 50%, ou seja, qualquer

medida tem probabilidade de 50% de ser obtida no intervalo x ± EP , o que em geral e suficiente para os

nossos propositos. Veja-se a Fig. 3.2.

E fundamental observar que o erro provavel EP depende do numero N de medidas, e que no limite N → ∞o erro converge para zero, porem a convergencia e lenta. Sendo assim, portanto, podemos reduzı-lo ate

qualquer valor pequeno de interesse, desde que sejam feitas muitas medidas. Simbolicamente:

Se N −→ ∞ entao EP −→ 0

O procedimento usual para a determinacao do erro provavel na medida de uma grandeza e o que segue:

1. Efetuadas as medidas (coleta de dados), calcula-se a media aritmetica;

3.3. POSTULADOS DE GAUSS 31

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-3 -2 -1 0 1 2 3

P(x

)

x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-3 -2 -1 0 1 2 3

P(x

)

x

50%

0.6745-0.6745

Figura 3.2: A curva normal de Gauss da a probabilidade de se encontrar valores de uma medida em torno

do valor medio (zero, nesse caso). A Area marcada sob a curva, delimita a regiao provavel, ou seja, a regiao

onde devem estar 50% das medidas efetuadas.

2. Calculam-se os desvios de cada medida em relacao a media;

3. Calcula-se o desvio medio;

4. Calculam-se os quadrados dos desvios de cada medida;

5. Calcula-se o desvio padrao;

6. Calcula-se o erro provavel atraves da relacao com o desvio padrao, ou com o desvio medio.

Quando estamos medindo uma grandeza fısica ja conhecida ou pre-definida por um fabricante que ja fez

a calibracao da medida, a fim de procedermos sua afericao, definimos e calculamos o desvio percentual da

nossa medida x com o valor calibrado (ou tabelado) xtab, definindo:

∆% ≡∣

∣

∣

∣

x− xtab

xtab

∣

∣

∣

∣

× 100% (3.9)

A medida do desvio percentual, nos da ideia de quanto o nosso resultado x se afasta do valor pre-definido

pelo fabricante xtab.

Exemplo 3-2

Na afericao do comprimento L do braco de uma biela calibrado pelo fabricante com o valor

nominal de 41, 0 mm, a medicao direta do feita com o auxılio de uma regua milimetrada forneceu

as seguintes medidas:


L(mm) 41,1 41,3 41,2 41,4 41,1 41,1 41,9 40,8 41,0 41,2

a) Primeiramente, para facilitar os calculos vamos construir a seguinte tabela de medidas,

desvios e desvios ao quadrado:

i Li (mm) |∆Li| (mm) (∆Li)2 (mm2)

1 41,1 0,0 0,0

2 41,3 0,2 0,04

3 41,2 0,1 0,01

4 41,4 0,3 0,09

5 41,1 0,0 0,0

6 41,1 0,0 0,0

7 40,9 0,2 0,04

8 40,8 0,3 0,09

9 41,0 0,1 0,01

10 41,2 0,1 0,01∑10

i=1 411,1 1,3 0,29

b) calculo do valor mais provavel, ou valor medio da amostra de medidas:

L =1

N

N∑

i=1

Li =1

10× 411, 1mm = 41, 11mm

c) calculo do desvio medio das medidas de L:

∆L =1

10

N∑

i=1

|∆Li| =1

10× 1, 3mm = 0, 13mm

Lembre-se Na adicao o resultado, na sua parte decimal, nao pode ter maior numero de algar-

ismos significativos do que a parcela mais pobre. Na divisao, considera-se que N e uma constante

exata, e o numero de algarismos significativos do resultado da soma∑

i xi e mantido.

d) calculo do desvio padrao sigma dos valores medidos para L:

σ =

√

√

√

√

10∑

i=1

(∆Li)2/10 =

√

1

10× 0, 29mm2 = 0, 17mm.

e) calculo do erro acidental provavel EP :

pelo desvio medio temos

EP = ±0, 8453 × 0, 13mm = ±0, 109889mm = ±0, 11mm

ou, pelo desvio padrao

EP = ±0, 6745 × 0, 17mm = ±0, 110075mm = ±0, 11mm

3.4. ERRO RELATIVO PERCENTUAL E% 33

o mesmo que o valor obtido no caso anterior.

f) finalmente, podemos escrever a nossa medida para a grandeza L como

L = 41, 11mm± 0, 11mm = (41, 11 ± 0, 11)mm

e o desvio percental em relacao ao valor nominal sera

∆% =

∣

∣

∣

∣

L− Ltab

Ltab

∣

∣

∣

∣

× 100% =

∣

∣

∣

∣

41, 11mm− 41, 0mm

41, 0mm

∣

∣

∣

∣

× 100%

∆% =

∣

∣

∣

∣

0, 11mm

40, 0mm

∣

∣

∣

∣

× 100% =0, 1

40, 0× 100% = 0, 25% = 0, 2%

Observe que o calculo do desvio percentual tambem segue as regras de arredondamento estu-

dadas, e mesmo os erros estimados por resultados indiretos de nossas medidas experimentais,

possuem erro. Cabe agora ao experimentador interpretar os resultados obtidos e decidir se a

margem de erro de 0, 2% e razoavel ou nao, e tambem discutir e analisar quais as possıveis causas

de erro ocorridas no experimento.

3.3.2 Representacao final da medida

Caso o erro provavel EP nao tenha o mesmo numero de casas decimais do valor medio, ambos tendo a mesma

unidade de medida, deve-se arredondar coerentemente o valor com maior numero de casas, usando-se a regra

da SOMA.

Exemplo 3-3

g) L = (12, 5 ± 0, 32) cm = (12, 5 ± 0, 3) cm

h) i = (2, 15 ± 0, 2)mA = (2, 2 ± 0, 2)mA

i) F = (8, 123 ± 1)N = (8 ± 1)N

j) µ = (127, 44± 0, 92) g/cm3 = (127, 44± 0, 92) g/cm3

k) g = (9, 8 ± 0, 21)m/s2 = (9, 8 ± 0, 2)m/s2

3.4 Erro relativo percentual E%

O erro provavel EP nao caracteriza, por si so, a confiabilidade da medida, pois define apenas uma faixa de

valores possıvel em torno do valor medio X que representa a medida de uma grandeza X.


Para sabermos se a faixa de erro EP e grande ou pequena, temos que compara-la com a grandeza medida,

ou seja, com o valor medio X. Para isto, define-se o erro relativo percentual E% como

E% =

∣

∣

∣

∣

EP

X

∣

∣

∣

∣

× 100% (3.10)

Atraves do erro relativo percentual podemos comparar diferentes medidas e saber qual tem maior ou menor

erro, e deste modo podemos saber qual tem maior ou menor precisao. Atraves dessa definicao, vemos que

qprecisao da medida e inversamente proporcional ao erro relativo percentual E%. Para tornar isto claro,

veja o seguinte exemplo simples.

Exemplo 3-4

Um experimentador consiste em medir a espessura de uma folha de papel, utilizando uma regua

milimetrada. Feita uma serie medidas, obtem-se para valor mais provavel de espessura 0, 1mm.

O valor “tabelado”e de 0, 01mm. O desvio, ou erro absoluto e , portanto, igual a 0, 09mm.

Agora, com a mesma regua, mede-se o comprimento da folha. Feita uma serie de medidas, o

valor encontrado como mais provavel e 298, 5mm, sendo o valor tabelado 298, 0mm. Neste caso,

como e evidente, o desvio ou erro absoluto vale, em modulo, 0, 5mm. Fazendo a comparacao

entre os dois desvios, observa-se que aquele obtido na medida do comprimento da folha e maior

do que o obtido na medida da espessura. No entanto, esta comparacao nao faz sentido, uma vez

que as ordens de grandeza das medidas sao diferentes.

Como fazer, entao, a comparacao de forma correta? Reduzindo as ordens de grandeza das

medidas a uma so, e a resposta. Para tal, define-se o erro percentual como a percentagem de

desvio que existe em cada medida com relacao a media, que e dado por

E% =|x− x|x

× 100 % =|∆x|x

× 100 %

Para o caso em pauta, tem-se para a espessura:

E% =|0, 09|0, 01

× 100 % = 9 × 102 %

e para o comprimento:

E% =|0, 5|298, 0

× 100 % = 0, 2 %

Ve-se, entao, ao contrario do que parecia a princıpio, que a melhor medida e a do comprimento

da folha, pois tem erro percentual bem menor do que o da medida da espessura.

Alem da forma apresentada na Eq. 3.2, um medida fısica pode entao ser expressa na forma

Medida = V alor ±E% (3.11)

e uma forma pode ser convertida na outra.

Exemplo 3-5

3.5. PROPAGACAO DE ERROS 35

Uma medida da velocidade da luz usando lasers, feita pelo Bureau Nacional de Padroes dos

Estados Unidos, em 1983, obteve como resultado o valor 299.792, 4586 km/s, com incerteza de

mais ou menos 0, 0003 km/s.

Podemos entao escrever a medida da velocidade da luz c como

c = (299.792, 4586± 0, 0003) km/s

ou, atraves do erro relativo percentual da medida

E% =0, 0003 km/s

299.792, 4586 km/s× 100% = 0, 0000001%

e como podemos ver, o erro relativo percentual e muito pequeno, indicando que a medida da

velocidade da luz possui grande precisao.

A partir do ano de 1983, por decisao dos orgaos cientıficos internacionais, a velocidade da luz

passou a ser considerada uma constante universal com valor bem determinado, exatamente igual

299.792.458 m/s, por definicao um valor exato.

3.5 Propagacao de erros

Como visto anteriormente, uma grandeza fısica pode ser medida de maneira direta ou indireta. A medida

indireta e efetuada atraves de uma serie de medidas diretas de outras grandezas relacionadas com a grandeza

de interesse. Estas medidas diretas, por sua vez, contem erros.

A propagacao de Erros e o campo de estudo que trata da influencia dos erros individuais das medidas diretas

no resultado das operacoes matematicas que fornecem o valor da grandeza medida de forma indireta.

Considere uma grandeza f que depende de outras grandezas x, y, z, . . .. Em termos matematicos, dizemos

que f e uma funcao das variaveis x, y, z, . . ., ou simbolicamente:

f = f(x, y, z, . . .) (3.12)

Se as variaveis x, y, z, . . . sofrem pequenas variacoes (infinitesimais) dx, dy, dz, . . ., a variacao da funcao

f e dada pela sua diferencial exata:

df =∂f

∂xdx+

∂f

∂ydy +

∂f

∂zdz + . . . (3.13)

Se imaginarmos que f e uma grandeza que depende outras grandezas x, y, z, . . ., e que f pode ser medida

indiretamente atraves da medicao destas variaveis e de seus respectivos erros provaveis Ex, Ey, Ez, . . .,entao podemos obter por aproximacao diferencial, atraves da Eq. 3.13, uma estimativa para o erro provavel

maximo Ef associado a medida indireta de f :

Ef ≈∣

∣

∣

∣

∂f

∂xEx

∣

∣

∣

∣

+

∣

∣

∣

∣

∂f

∂yEy

∣

∣

∣

∣

+

∣

∣

∣

∣

∂f

∂zEz

∣

∣

∣

∣

+ . . . (3.14)

onde as diferenciais infinitesimais foram substituıdas pelos erros associados. Como tanto as derivadas parciais

da funcao f como os incrementos infinitesimais de suas variaveis podem ter qualquer sinal, os termos da sua


diferencial total sao somados em modulo para a determinacao do erro provavel maximo, ou seja, considera-se

a situacao em que todos os erros atuam no mesmo sentido, superestimando-se o desvio total da funcao f .

Esta ultima equacao obtida acima, a Eq. 3.14, e a chamada equacao do erro indeterminado de Gauss.

Exemplo 3-6

Determinar a area da superfıcie lateral de um cilindro, dadas as medidas do comprimento l e do

diametro d. (Observe que a area lateral S e uma medida indireta feita atraves de duas medidas

diretas, l e l.) Dados: l = l ± ∆l = (5, 00 ± 0, 02) cm e d = d± ∆d = (2, 00 ± 0, 01) cm.

A area da superfıcie lateral do cilindro e dada por: S = πdl, entao,

S = π(d± ∆d) × (l ± ∆l) = πdl ± (πd∆l + πl∆d) ± π∆l∆d

onde a ultima parcela (π∆l∆d) pode ser desprezada por ser muito pequena, comparada com as

outras, sendo menor ate mesmo do que o erro (∆S). Assim, a area lateral do cilindro pode ser

escrita como

S = πdl ± (πd∆l + πl∆d) = S ± ∆S

Assim, a area lateral do cilindro sera

S = S ± ∆S,

onde S = πdl e o valor esperado da area lateral do cilindro e ∆S = πd∆l + πl∆ e o erro na

medida indireta desta grandeza.

Numericamente temos

S = πdl = (3, 1416)(2, 00 cm)(5, 00 cm) = 31, 416 cm2 = 31, 4 cm2

e

∆S = π(d∆l + l∆d = (3, 1416)[(2, 00 cm)(0, 02 cm) + (5, 00 cm)(0, 01 cm)]

∆S = (3, 1416)(0, 04 cm2 + 0, 05 cm2) = (3, 1416)(0, 09 cm2) = 0, 282744 cm2 = 0, 3 cm2

Finalmente, usando-se ∆S como uma estimativa indireta para o erro provavel associado a area

S, podemos escrever

S = (31, 4 ± 0, 3) cm2

Observacao Observe que ∆S (erro na medida indireta da area) pode ser facilmente calculado

neste caso, contudo, em operacoes mais complexas como, por exemplo, radiciacao, este calculo

torna-se extremamente trabalhoso, de maneira que deve-se usar a equacao do erro indeterminado

para determinar o erro na medida indireta.

De acordo com a equacao do erro indeterminado, o erro na medida indireta da area S = S(l, d)

e

∆S =

∣

∣

∣

∣

∂S

∂l∆l

∣

∣

∣

∣

+

∣

∣

∣

∣

∂S

∂d∆d

∣

∣

∣

∣

= |πd∆l| + |πl∆d| = π(d∆l + l∆d)

como no calculo acima.

3.6. EXERCICIOS: 37

Do exemplo acima pode-se perceber a necessidade de empregar-se as operacoes basicas da matematica na

determinacao de medidas de grandezas de forma indireta. Atraves da equacao do erro indeterminado e

possıvel a obtencao das equacoes do erro propagado em cada caso, de modo simples.

Considere as seguintes medidas diretas de duas grandezas: X = X ± ∆X e Y = Y ± ∆Y

Tem-se, como o estudante pode verificar atraves de equacao do erro indeterminado,

(f ± ∆X) + (Y ± ∆Y ) = (X + Y ) ± (∆X + ∆Y ) (3.15)

(f ± ∆X) − (Y ± ∆Y ) = (X − Y ) ± (∆X + ∆Y ) (3.16)

(f ± ∆X) × (Y ± ∆Y ) = (X × Y ) ± (X∆Y + Y∆X) (3.17)

(f ± ∆X) ÷ (Y ± ∆Y ) = (X ÷ Y ) ± (X∆Y + Y∆X) ÷ Y 2 (3.18)

(f ± ∆X)n = Xn ± nXn−1 × ∆x (3.19)

(f ± ∆X)1/n = X1/n ±X(1−n)/n/n× ∆X (3.20)

ln(X ± ∆X) = ln X ± ∆X/X (3.21)

log(X ± ∆X) = log X ± log(e)∆X/X, log(e) = 0, 4343 (3.22)

3.6 Exercıcios:

Faca os exercıcios abaixo, respeitando os criterios de arredondamento e de operacao com algarismos signi-

ficativos.

1)As medidas seguintes referem-se as medidas do comprimento de uma folha de papel.

L(cm) 3,71 3,72 3,70 3,69 3,73 3,74 3,72 3,73 3,72 3,73 3,74

Calcule:

a) o valor medio da grandeza medida,

b) o desvio medio,

c) o desvio padrao,

d) o erro acidental provavel,

e) o erro relativo percentual.

2)Num experimento foram obtidas as seguintes medidas para o perıodo de oscilacao de um pendulo.

T (s) 1,15 1,17 1,19 1,11 1,13 1,15 1,14 1,16 1,18 1,19

Calcular como no exercıcio anterior.

3)Num experimento sobre equilıbrio termico, obteve-se para a temperatura de equilıbrio, os seguintes valores:

T (C) 61,8 61,5 61,9 61,4 61,2 61,8 61,6 61,1 61,7


Calcular como nos exercıcios anteriores.

4)Determine a expressao do erro indeterminado para as seguintes grandezas, medidas indiretamente:

a) da area S(b, h) de um triangulo de base b e altura h;

b) da area S(a, b) de um retangulo de lados a e b;

c) do volume V (d, l) de um cilindro de diametro d e comprimento l;

d) do volume V (d) de uma esfera de diametro d;

e) da area S(d) de um cırculo de diametro d,

f) do volume V (p, T ) de um gas, sabendo que V = nRT/p, onde n e R sao constantes, e p e a pressao do

gas.

g) da energia cinetica K(m, v) de uma partıcula de massa m e velocidade de modulo v.

5)Com base nas xpressoes determinadas no exercıcio anterior, calcule com o respectivo erro provavel:

a) a area do triangulo: b = (1, 00 ± 0, 01)mm e h = (1, 24 ± 0, 02)mm.

b) a area do retangulo: a = (7, 48 ± 0, 04) km e b = (1, 34 ± 0, 08) km.

c) o volume do cilindro: d = (2, 31 ± 0, 01) cm e l = (7, 50 ± 0, 02) cm.

d) o volume da esfera: d = (9, 10 ± 0, 01) cm.

e) a area do cırculo: d = (6, 18 ± 0, 02) cm.

f) o volume do gas: n = 2, 15mol, R = 8, 314 J/molK, T = (310± 1)K e p = (1, 45± 0, 02)× 105N/m2.

g) a energia cinetica de um carro: m = (1.190 ± 25) kg e v = (62, 5 ± 0, 9)km/h.

6)Determine a expressao do erro indeterminado para a aceleracao da gravidade g(l, T ) calculada a partir de

um experimento com a oscilacao de um pendulo simples, dado que

T = 2π

√

l

g

sendo l o comprimento e T o perıodo do pendulo.

7)As medidas do comprimento l e do perıodo T de um pendulo simples estao tabeladas abaixo:

T (s) 1,87 1,84 1,83 1,89 1,91 1,84 1,85 1,82

l (cm) 87,15 86,91 86,90 87,22 87,31 86,90 86,95 86,88

Calcular, com os respectivos erros provaveis:

a) o perıodo do pendulo,

b) o comprimento do pendulo,

c) a aceleracao da gravidade.

8)Na tabela abaixo estao varias medidas da massa m e do raio r para um certo disco.

3.6. EXERCICIOS: 39

m (kg) 0,435 0,438 0,436 0,435 0,432 0,431 0,432 0,435 0,432 0,433

r (m) 0,201 0,202 0,204 0,198 0,201 0,197 0,195 0,196 0,205 0,204

Sabendo que principal momento de inercia I de um disco de massa m e raio r e dado por

I = mr2/2

calcule, com os respectivos desvios:

a) a massa,

b) o raio e

c) o momento de inercia.

9)Uma empresa vende lajotas quadradas de ceramica com tamanho nominal de 40 cm × 40 cm, e garante

que em nenhuma lajota estas medidas possuem um erro percentual maximo de 2%.

a) Qual a maior e a menor lajota que se espera encontrar em um lote grande desse produto?

b) Qual o erro percentual maximo na area de uma lajota?


Capıtulo 4

Graficos

4.1 Introducao

O uso de graficos na Fısica e quase tao importante quanto o conceito de funcao na matematica. Sua utilizacao

na representacao de fenomenos permite ilustrar propriedades importantes. Um grafico serve, entre outras

coisas, para mostrar a conexao entre duas variaveis, sendo uma representacao diagramatica do modo como

uma varia em relacao a outra. Na atualidade, e difıcil imaginar alguma area da ciencia ou tecnologia onde o

estudo de graficos nao seja necessario, ou utilizado. Nas disciplinas de Fısica experimental sera indispensavel

o conhecimento e domınio do conteudo deste texto.

4.2 Sistema de Coordenadas Cartesianas

Seja uma grandeza y que e funcao de uma grandeza x. Isto e representado analiticamente por

y = f(x) . (4.1)

Conhecida de forma explıcita a funcao y = f(x), pode-se representa-la graficamente num sistema de coorde-

nadas cartesianas, que consiste de duas retas perpendiculares; o eixo x, chamado de eixo das abscissas, e o

eixo y, denominado eixo das ordenadas. A cada par de valores (xi, yi) corresponde um ponto Pi de abscissa

xi e ordenada yi. O conjunto dos varios pontos Pi e denominado de curva da funcao y = f(x). Convem

salientar que os valores representados nos eixos podem ter sinal negativo ou positivo, arbitrado conforme a

conveniencia, ou seja, conforme a funcao que se queira representar. Ver Fig. 4.1.

4.3 Construcao do Grafico

A escala representada nos eixos pode ser arbitrada, geralmente e milimetrica ou logarıtmica, de modo que o

papel em que e construıdo o grafico pode ser milimetrado (ambos os eixos nesta escala), mono-log (abscissa

milimetrada e ordenada logarıtmica). ou di-log ( ambos os eixos em escala logarıtmica). Dependendo do

problema, e conveniente escolher o papel adequado, que facilite a retirada de informacoes da curva, como

sera visto com detalhes na sequencia.

Apos selecionado o papel no qual ira ser construıdo o grafico, algumas regras devem ser observadas para

otimizar o trabalho:

41


x < 0 e y > 0

2o. Quadrantex > 0 e y > 0

1o. Quadrante

x > 0 e y < 0

4o. Quadrante

x < 0 e y < 0

3o. Quadrante

P(x,y)

x

y

O

Y

X O

Y

X

b)a)

Figura 4.1: a) O plano cartesiano e o sistema de eixos XY , com seus quatro quadrantes mostrados e b) um

conjunto de pontos experimentais representados no plano cartesiano e sua tendencia (indicada pela linha

tracejada).

1. No eixo horizontal, o eixo das abscissas, e lancada a variavel independente, ou seja, a variavel cujos

valores sao escolhidos pelo experimentador. No eixo vertical, o eixo das ordenadas, e lancada a variavel

dependente.

2. Deve-se espalhar convenientemente os pontos experimentais mediante a escolha de uma divisao ade-

quada do papel, a fim de se utilizar quase toda a area do papel para grafico. Ver Fig. 4.5 e Fig. 4.6.

3. O papel pode ser usado com a folha em pe (vertical) ou deitada (horizontal), sempre com a origem dos

eixos no canto inferior esquerdo da folha, ou seja, deve-se utilizar sempre o 1o. quadrante do plano

cartesiano. Ver Fig. 4.1(a).

4. A escala deve ser simples, devendo conter apenas as divisoes principais, suas respectivas marcacoes

numericas e uma identificacao da grandeza associada a essa escala, com suas unidades entre pareteses.

Para as marcacoes numericas da escala, adotam-se valores multiplos ou sub-multiplos de numeros

inteiros.

5. Os eixos sao independentes, ou seja, a escala adotada num deles nao necessita ser igual a adotada no

outro. Em geral, estas escalas serao totalmente diferentes.

6. Cada ponto experimental deve ser identificado por um sinal que nao deixe duvidas sobre sua localizacao

e natureza. Este sinal pode ser qualquer um dos representados abaixo, ou outro qualquer, mantendo-se

sempre o mesmo sımbolo para todos os pontos do mesmo grafico.

, , +, ×, ⊗, , ©

Figura 4.2: Diferentes sımbolos usados para marcar os pontos experimentais nos graficos.

7. Uma vez colocados os pontos experimentais no grafico, deve-se observar e tracar uma curva suave e

contınua, indicando a tendencia dos pontos. Tratando-se de um grafico linearizado, traca-se a melhor

4.4. ESCOLHA E IDENTIFICACAO DAS ESCALAS 43

reta visual com uma regua transparente, tentando-se compensar (minimizar) os pequenos desvios dos

pontos experimentais que ficam acima e abaixo desta reta. IMPORTANTE: a curva deve ser estendida

sobre todo o papel, ate sair da area maxima utilizavel, se for o caso, extrapolando-se o intervalo das

medidas experimentais. Ver Fig. 4.1(b).

Cuidado: conectar os pontos experimentais adjacentes com tracos retos significa assumir que a relacao

entre as grandezas tem forma descontınua, e isto epouco provavel de ocorrer. Unir o primeiro e o

ultimo ponto com uma reta, num grafico linearizado tambem nao e uma boa estrategia em geral.

8. Quando se trabalha com numeros muito grandes ou muito pequenos, a escala deve ser simplificada

utilizando-se uma potencia de dez (multiplo ou submultiplo comum), que sera indicada juntamente

com as unidade da variavel.

Exemplo 4-1

Num experimento que envolva uma pequena corrente eletrica, da ordem de micro-amperes, pode-

se utilizar a indicacao I(µA) ou I(10−6A), para a identificacao (rotulo) do eixo da corrente.

4.4 Escolha e Identificacao das Escalas

Entende-se por escala, qualquer trecho de uma curva marcado por pequenos tracos transversais que indicam

os valores ordenados de uma grandeza. Sao exemplos de escalas, o mostrador de um relogio, um mostrador

de combustıvel, um amperımetro, uma regua, e ate mesmo os eixos de um grafico. Como ja foi colocado,

sao duas as variaveis consideradas, a dependente e a independente. Isto torna-se claro atraves do exemplo

abaixo.

m

l

Figura 4.3: Representacao esquematica de um pendulo simples. Ajusta-se o tamanho l (variavel indepen-

dente) e mede-se o perıodo T (variavel dependente).

Exemplo 4-2

Seja uma massa m suspensa por um fio preso ao teto. Este conjunto constitui um pendulo

simples (Fig. 4.4). Afastando-se lateralmente a massa m da posicao de equilıbrio e soltando-a, o

sistema passa a oscilar. Observa-se que o perıodo das oscilacoes depende da distancia l entre o


ponto de suspensao do fio e o centro de massa do corpo suspenso. Devido a essa dependencia, o

perıodo T e chamado de variavel dependente e l de variavel independente, isto e, T = f(l)

Como ja foi dito, as variaveis dependentes sao representadas no eixo y e as independentes no

eixo x. Daı, deduz-se que a maneira correta de representar graficamente a relacao T = f(l) e

a mostrada na Fig.4.4(a) e nao a mostrada em Fig.4.4(b). Veja e compare as representacoes

graficas.

l(cm)

T(s)l(cm)

l versus TT(s)

T versus l

(a) (b)

Figura 4.4: Representacoes graficas possıveis: (a) T × l e (b) l × T .

De qualquer forma, sempre que se pede um grafico de T versus l ou indica-se T × l, quer-se

um grafico com a variavel T no eixo vertical e l no eixo horizontal. Esta e uma convencao usada

mundialmente.

A escolha da escala deve ser feita de tal maneira que qualquer bloco de divisoes do eixo assuma valores do

tipo 1, 2, 5, ou 10 unidades (ocasionalmente 4). Nao se usa para um bloco de divisoes, os valores 3, 7, 9,

etc. Veja a Fig. 4.5.

Quando os blocos forem colocados sobre o papel milimetrado, tente usar blocos de 20, 40 ou 50mm, para

cada bloco de divisao da escala! Veja o exemplo abaixo.

A escala escolhida deve, ainda, espalhar os pontos experimentais, de modo que nao fiquem confinados a uma

area restrita do papel, isto e, deve-se utilizar o maximo do papel disponıvel, sem comprometer a legibilidade

das esalas, e claro. Veja as Figs. 4.5 e 4.6.

Observacoes importantes:

• As variaveis representadas ao longo de cada um dos eixos coordenados devem ser perfeitamente iden-

tificadas pela grandeza respectiva, acompanhada da sua unidade de medida (entre parenteses).

• Os pontos experimentais nao devem ter seus valores assinalados sobre a escala.

4.4. ESCOLHA E IDENTIFICACAO DAS ESCALAS 45

0

5

10

15

20

25

30

0 1 2 3

v(m

/s)

t(s)

correto

(a)

0

7

14

21

28

0 1 2 3 4 5 6

v(m

/s)

t(s)

incorreto

(b)

Figura 4.5: A escolha da escala horizontal no grafico (a) faz corresponder a cada bloco de divisoes os valores

10 na vertical e 1 na horizontal, uma boa escolha. No grafico (b) faz corresponder o valor 7 na vertical, uma

pessima escolha.

0

10

20

30

40

50

0 5 10 15 20

T(0 C

)

t(min)

correto

(a)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 5 10 15 20

T(0 C

)

t(min)

incorreto

(b)

Figura 4.6: A escolha da escala vertical no grafico (a) esta correta, pois utiliza a maior parte do papel no

sentido vertical. No grafico (b), utiliza-se menos da metade do papel, o que e ERRADO.


Exemplo 4-3

As escalas abaixo foram construıdas em papel milimetrado, em escala real, para exemplificar o

uso do papel milimetrado. Oberve as escalas e depois leia os comentarios abaixo.

Escalas Corretas

0 2 4 6 8

0 50 100 150

t(s)

c)

0 10 20 30

0 50 100 150

F (N)

d)

2 7 12 17 22 27 32

0 50 100 150

x(cm)

e)

10 14 18 22 26

0 50 100 150

m(kg)

f)

Escalas Incorretas

0 2 4 6 8 10

0 50 100 150

t(s)

g)

0 8 16 24

0 50 100 150

F (N)

h)

2 6 10 14 18 22 26

0 50 100 150

x(cm)

i)

10 13 16 19 22

0 50 100 150

m(kg)

j)

Comentarios

Observe que nas escalas CORRETAS (de a) a d)) os blocos de unidades da grandeza representada

e multiplo ou sub-multiplo do numero de milımetros utilizados no papel milimetrado, o que

facilita a leitura das menores divisoes de escala (os milımetros) e torna a escala legıvel ate o

primeiro duvidoso. Por exemplo, na escala a), cada 20mm de papel corresponde 1 unidade da

grandeza t(s), ou seja, 1 s. Portanto para cada 1mm de papel temo 1/20 s = 0, 05 s, isto permite

4.5. O TRACADO DA CURVA 47

a leitura do primeiro traco logo apos a marca de 2 s, por exemplo, como sendo 2, 05 s, e portanto

o valor exato lido na marca principal deve ser 2, 00 s. Essa analise vale para qualquer escala

milimetrada, e serve para se saber quantas casas decimais podem e devem ser lidas na nova

escala criada no papel. A escala criada define a precisao com que se podem ler pontos no grafico,

e nas escalas lineares, essa precisao e uniforme, ou seja, igual para toda a extensao da escala.

Nas escalas c) e d), deslocou-se o zero para melhor aproveitamento do papel, provavelmente,

porem isto nao afeta a legibilidade de qualquer valor sobre a escala.

Nos contra-exemplos das escalas INCORRETAS (de e) a h)) foram usados blocos de unidades

nao-divisıveis pelo numero de milımetros de cada marcacao principal, o que torna as escalas

ilegıveis. Nas escala e), por exemplo, 2 unidades da grandeza foram associadas a cada bloco

de 30mm, e como 2/30 = 0, 0666 . . . e uma dızima periodica, os valores associados as menores

divisoes da escala, a cada milımetro, nao serao legıveis. Neste caso a escala e inutil, pois nao se

pode ler todos os pontos marcados sobre ela: por isso ela e incorreta. Deve-se evitar esse tipo

de divisao que leva a dızimas periodicas, pois fatalmente a escala ficara sem utilidade se isto

ocorrer.

Em Resumo

i) nenhuma escala pode ser considerada CORRETA se as suas menores divisoes nao puderem

ser LIDAS DIRETAMENTE.

ii) jamais use a calculadora para tentar descobrir quanto vale a leitura de um ponto sobre uma

dada escala, pois se nao for possıvel ler o valor diretamente nao existe uma ESCALA.

iii) se tudo deu certo na sua escala, o MENOR e o MAIOR valores experimentais associdos a

escala deverao cair no PRIMEIRO e no ULTIMO blocos de divisoes da escala, respectivamente.

4.5 O Tracado da Curva

Com todos os pontos experimentais marcados sobre o papel, resta tracar a curva. Nao e demais lembrar de

duas regras basicas:

1. Nao unir os pontos proximos por uma linha reta. Analisar a tendencia geral dos pontos como um todo

e tracar a curva que mais se adapte a esta tendencia.

2. Nao e necessario que a curva passe por todos os pontos. Ele deve seguir a tendencia geral dos membros.

Ver. Fig. 4.5.

No grafico deve constar apenas a curva tracada e as grandezas explicitadas nos eixos, nada mais deve ser

escrito.

4.6 A Equacao da Reta

Da geometria analıtica, sabe-se que a equacao da reta na sua forma reduzida e:

y(x) = ax+ b (4.2)


0

5

10

15

20

25

30

0 2 4 6 8 10

T(0 C

)

t(min)

correto

(b)

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10

T(0 C

)

t(min)

incorreto

(a)

Figura 4.7: No grafico (a) esta a forma correta de tracar a melhor reta sobre os pontos experimentais,

respeitando a tendencia geral dos pontos, e no grafico (b) esta a forma incorreta, que simplesmente liga os

pontos experimentais.

onde a e o coeficiente angular da reta e b e o coeficiente linear. Na grande maioria das vezes sera preciso

determinar um destes coeficientes, ou ambos.

Pode-se mostrar que o coeficiente angular e dado por:

a =∆y

∆x=y2 − y1

x2 − x1(4.3)

onde P1(x1, y1) e P2(x2, y2) sao dois pontos quaisquer, pertencentes a reta. IMPORTANTE: na pratica,

deve-se escolher dois pontos bem afastados sobre a reta tracada num grafico linearizado, aumentando-se a

direrenca entre os valores de ambas as variaveis x e y, e evitando-se uma perda desnecessaria na precisao do

calculo de a, pois a diferenca de numeros proximos acarreta, em geral, a perda de algarismos significativos.

Exemplo 4-4

Se escolhermos os pontos P1 e P2 de forma que x1 = 1, 5 e x2 = 8, 2 teremos ∆x = 6, 7, com

dois algarismos significativos, e o coeficiente a, pela regra da divisao, nao podera ter mais de

dois algarismos sgnificativos. Se fosse possıvel, por exemplo, afastarmos mais os pontos sobre

o grafico, onde tivessemos x1 = 1, 0 e x2 = 12, 5, terıamos ∆x = 11, 5, com tres algarismos

significativos, o que nao limitaria mais o arredondamento de a para dois algarismos signficativos,

como antes. Daı a importancia do uso correto do papel para grafico.

Para determinar o coeficiente linear b de uma reta, ha duas maneiras:

1. Escolhe-se um ponto qualquer da reta, por exemplo, P3 = (x3, y3). Substituindo-se estes valores na

equacao da reta, juntamente com o valor de a (ja calculado), determina-se b;

2. Quando possıvel, prolonga-se a reta ate cortar o eixo dos y (este procedimento e chamado de extrap-

olacao), ou seja, ate encontrar x = 0, neste ponto, y(0) = b.

4.6. A EQUACAO DA RETA 49

Exemplo 4-5

Considere os pontos da tabela abaixo, obtidos para a posicao x de um movel que se desloca, em

funcao do tempo t, os quais permitiram a construcao do grafico da Fig. 4.8.

x(m) 9,0 14,0 19,2 22,6 25,3

t(s) 2,0 3,2 4,5 5,3 6,0

Observe que o grafico da uma reta como curva, assim, x(t) = at + b e a equacao desta reta. O

passo seguinte e determinar a e b.

k) Determinacao dos pontos afastados P1(t1, x1) e P2(t2, x2) para o calculo de a, e P3(t3, x3)

para o calculo de b

Do grafico, temos os pontos: P1(6, 50 s; 27, 45m), P2(0, 50 s; 3, 00m) e P3(4, 00 s; 17, 25m).

l) Calculo de a

a =∆S

∆t=x2 − x1

t2 − t1=

27, 45m− 3, 00m

6, 50 s− 0, 50 s=

24, 45m

6, 00 s= 4, 075m/s = 4, 08m/s

Observe que os pontos P1 e P2 foram retirados da curva tracada e nao dos pontos experimentais

tabelados.

m) Calculo de b

Extrapolando a reta ate encontrar t = 0, 00 s, temos diretamente do grafico o valor b = 1, 00m.

Em conclusao a equacao x(t) do movimento em estudo e x(t) = (4, 00m/s)t+ (1, 00m). Como

se aprendeu na Fısica, esta e a equacao horaria de um MRU, que tem a forma geral x(t) =

x0 + vt, e neste caso, comparando-se as equacoes, temos que v = 4, 08m/s e x0 = 1, 00m sao,

respectivamente, a velocidade e a posicao iniciais do movimento.

Quando nao e possıvel a leitura direta de b do grafico, substituimos as coordenadas de P3 na

equacao da reta, para a determinacao de b:

x3 = a t3 + b

entao temos analiticamente

17, 25m = (4, 08m/s)(4, 00 s) + b = 16, 32m+ b

donde temos

b = 17, 25m− 16, 3m = 0, 95m = 1, 0m

E neste caso, devido a diferenca dos numeros muito proximos, perdemos um algarismo significa-

tivo e o coeficiente linear b ficou menos preciso do que o valor lido diretamente na escala.


0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 t(s)

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

x(m)

⊙

⊙

⊙

⊙

⊙

Figura 4.8: Grafico de x× t para os dados do Exemplo 4-5.

4.7. LINEARIZACAO DE GRAFICOS 51

4.7 Linearizacao de Graficos

Geralmente, os pontos experimentais nao estao alinhados de forma retilınea, o que indica a nao linearidade

do fenomeno, ou seja, os pontos nao obedecem a equacao da reta. Veja alguns exemplos na Fig. 4.7.

(b)

y

x

(c)

y

x

(a)

y

x

Figura 4.9: Exemplos graficos de fenomenos indicando nao-linearidade.

Como proceder para, por exemplo, determinar os parametros g e h da curva da Fig. 4.7(c)?

Deve-se fazer uso de um metodo chamado linearizacao de graficos, que consiste na construcao de um novo

grafico, onde uma conveniente troca de variaveis nos eixos faz com que a curva seja uma reta. No caso (c)

da Fig.4.7, a equacao que rege o fenomeno e

y(x) = g/x+ h (4.4)

Comparando-a com a equacao da reta: y′(x′) = a′x′ + b′, onde as constantes e variaveis da reta sao repre-

sentadas por “linhas” para evitar confusoes, tem-se:

y(x) = y’(x’); g = a’; 1/x = x’; h= b’. (4.5)

Uma vez que a curva y′ versus x′ e uma reta, pode-se afirmar das equacoes acima que, para linearizar o

grafico da Fig. 4.7(c), deve-se tracar um grafico de “ y versus 1/x ”. Ver Fig. 4.7.

Para determinacao das constantes g e h, observe que g e o coeficiente angular da reta “y × 1/x”, enquanto

que h e o seu coeficiente linear.

Como exercıcio, descubra quais as convenientes trocas de variaveis que linearizam as curvas (a) e (b) da

Fig. 4.7.

Exemplo 4-6

Foram obtidos experimentalmente os dados tabelados abaixo, que fornecem o grafico da Fig. 4.11.

x(m) 4,0 30,5 100,0 158,5 201,0

t(s) 1,0 4,0 7,5 9,0 10,0

Observe que a curva obtida e do mesmo tipo daquela que aparece na Fig. 4.7(a) e, obedece a

uma equacao geral do tipo:

x(t) = ct2 + d


(b)(a)

y

x

y

1/x

Figura 4.10: No grafico (a) esta o grafico de y×x, cuja equacao e Y (x) = g/x+h. Em (b) o grafico y×1/x,

onde a nova variavel x′ = 1/x, o torna linear.

Comparando (4.7) com a equacao da reta y′(x′) = a′x′ + b′, tem-se

x(t) = y′(x′) c = a′ t2 = x′ d = b′

Entao, o grafico em que a curva aparece linearizada (reta) e dado por x(t) versus t2. As-

sim, a partir dos dados experimentais tabelados acima, faz-se uma nova tabela, respeitando os

algarismos significativos, e traca-se o grafico correspondente, conforme se observa na Fig. 4.12.

x(m) 4,0 30,5 100,0 185,5 201,0

t2(s2) 1,0 16 56 81 100

Para calcular a constante c, basta verificar que ela nada mais e do que oi coeficiente angular da

reta x versus t2. Isto e,

c = a′ =y′2 − y′1x′2 − x′1

=x2 − x1

t22 − t21

onde (t21, x1) e (t22, x2) sao dois pontos pertencentes a reta e nao a tabela, claro. Obtemos entao,

para os pontos P1(10, 00 s2; 20, 00m) e P2(140, 00 s2; 250, 00m)

c =270, 00m− 20, 00m

(140, 00 s2 − 10, 00 s2=

250, 00m

130, 00 s2= 1, 923076m/s2 = 1, 9231m/s2

O coeficiente linear, por sua vez, pode ser lido diretamente do grafico, sera o ponto onde a reta

corta o eixo vertical (dos x). E o valor de x para t2 = 0, 00 s2, ou seja, d = b′ = 0, 50m.

Para um terceiro ponto P3(100, 00 s2; 193, 00m) temos que

d = x3 − ct23 = 193, 00m− (1, 9231m/s2)(100, 00 s2) = 193, 00m− 192, 31m = 0, 69m

4.7. LINEARIZACAO DE GRAFICOS 53

0 5 10 15 t(s)0

50

100

150

200

250

x(m)

⊙

⊙

⊙

⊙

⊙

Figura 4.11: Grafico nao linear x× t para os dados do Exemplo 4-6.


0 50 100 150 t2(s2)

0

50

100

150

200

250

x(m)

⊙

⊙

⊙

⊙

⊙

Figura 4.12: Grafico linearizado de x× t2 para os dados do Exemplo 4-6.

4.8. O PAPEL MONO-LOG 55

4.8 O papel mono-log

O papel mono-log, ou tambem chamado de papel semi-log, e utilizado para a linearizacao de funcoes expo-

nenciais do tipo

y(x) = Ceαx (4.6)

onde A, C, e e α sao constantes.

Se aplicarmos o logaritmo natural na expressao acima, obteremos a expressao

ln y(x) = lnC + αx (4.7)

que pode ser imediatamente comparada com a equacao da reta, e portanto, linearizada com a identificacao:

y′ = ln y(x); x′ = x a′ = α b′ = lnC (4.8)

Para ilustrar essa nova forma de linearizacao, e o uso do papel mono-log, leia-se o seguinte exemplo.

Exemplo 4-7

Num experimento onde se mediu a diferenca de potencial V nos terminais de um capacitor em

processo de carga, como funcao de tempo t, obteve-se a tabela de dados que segue.

V (volt) 2,6 4,4 5,3 7,8 16,0 25,0 57,8

t(s) 2,0 11,0 13,0 19,0 30,0 37,0 50,0

Sabe-se teoricamente que:

V (t) = AeBt

onde A e B sao constantes. Para determinar o valor destas constantes, deve-se proceder a

linearizacao desta funcao (que e exponencial). Para tal, aplica-se logaritmo neperiano a ambos

os lados da equacao:

lnV (t) = ln(Aebt) = lnA + ln ebt = lnA+Bt

Comparando com a equacao da reta y′(x′) = a′x′ + b′, temos

lnV (t) = y′ t = x′ B = a′ lnA = b′

Ve-se, entao que “lnV (t) versus ; t” e, neste caso, o grafico linear e, portanto, e necessario fazer

nova tabela de dados, isto e:

ln V (volt) 0,96 1,5 1,7 2,1 2,77 3,22 4,06

t(s) 2,0 11,0 13,0 19,0 30,0 37,0 50,0

A partir desta tabela constroi-se o grafico da Fig. 4.14. As constantes A e B sao obtidas como

ja foi explicado, uma vez que este grafico foi construıdo em papel milimetrado. A baixo estao os

resultados, ficando por conta do estudante os detalhes. Assim, A = 2, 3 volt e B = 6, 5×10−2 s−1

com a equacao que rege o fenomeno sendo dado por:

V (t) = (2, 3 volt) e(0,065/s)t


E claro que essa linearizacao e trabalhosa, pois precisa-se calcular numa nova tabela de valores e, a partir

dela, construir o grafico que fornece uma reta. Para evitar todo este trabalho existe o papel mono-log, que

consiste de um papel quadriculado, onde um eixo e linear (abscissas), dividido em milımetros, e o outro e

logarıtmico (ordenadas) com base 10, com as divisoes sendo proporcionais aos logaritmos. Neste eixo estao

representados em escala, nao os numeros, mais sim os seus logaritmos.

4.8.1 Analise detalhada do papel mono-log

O papel mono-log e dividido em decadas ou regioes. Entre o inıcio de uma decada e o de outra subsequente,

ha uma diferenca de um fator de dez. Isto significa que, se a primeira linha de uma decada vale 1 (100),

a primeira linha da decada seguinte, valera 10 (101), a primeira linha da decada seguinte valera 100 (102),

e assim sucessivamente. Nao existe o valor zero no eixo logarıtmico, uma vez que a funcao logaritmo nao

esta definida para este ponto. A escala pode ser iniciada de um valor qualquer em potencia de dez, e nunca

marcara o VALOR ZERO. Deve-se marcar pelo menos 3 decadas com as potencias de 10, a fim de evitar-se

confusoes. Veja a Fig. 4.13.

100 101 1022 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9

Figura 4.13: Uma tira do papel mono-log, para analise das suas divisoes.

A escala em papel mostrada na Fig. 4.13 esta em escala real (1:1), e apresenta duas decadas inteiras. A

primeira decada inicia em 100 = 1 e termina em 101 = 10, a segunda inicia neste valor e termina em

102 = 100. Com esta marcacao de exemplo, qualquer valor no intervalo [1, 100] pode ser marcada (ou lida)

nesta escala. Os pequenos numeros 2, 3, . . . , 9 servem para auxiliarea leitura dos valores das ordenadas dos

pontos em notacao cientıfica diretamente. Observe: exatamente sobre o primeiro numero 2, logo a direita da

marca 100 (na primeira decada), o traco marca o valor 2, 00×100. Na segunda decada, o traco marcado pelo

numero 7 define seria lido como 7, 0× 101. Observe que na escala logarıtmica as divisoes nao sao regulares:

ate a marca 5, divide-se os blocos em 10 partes, como numa regua milimetrada, e portanto o duvidoso da

leitura caira na casa dos centesimos; e de 5 a 9, por falta de espaco, divide-se os blocoe em 5 partes, o que

torna duvidoso o algarismo da cas dos decimos. Isto ocorre em todas as decadas do papel logarıtmico, nao

importa quantas se utilizem.

Se no exemplo grafico anterior, optar-se pela utilizacao do papel mono-log, nao e mais necessario calcular

todos os logaritmos dos valores tabelados, como foi feito. Basta se fazer diretamente “V (t) versus t” no

papel mono-log.

O grafico assim obtido no papel mono-log, sera equivalente da Fig. 4.14 e esta representado na Fig. ??.

Veja agora, como determinar as constantes A e B. Lembre-se, inicialmente, de que o coeficiente angular da

reta e dado por:

a′ =∆y′

∆x′=y′2 − y′1x′2 − x′1

(4.9)

E preciso, no entanto, estar atento para o seguinte fato: a escala vertical e LOGARITMICA.

4.8. O PAPEL MONO-LOG 57

0 20 40 60 t(s)0

1

2

3

4

5

lnV (volt)

⊙

⊙

⊙

⊙

⊙

⊙

⊙

Figura 4.14: Grafico linear lnV × t em papel milimetrado, para o Exemplo 4-7.


0 25 50 75 t(s)100

101

102

103V (volt)

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

9 9

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

9 9

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

9 9

⊙

⊙

⊙

⊙

⊙

⊙

⊙

Figura 4.15: Grafico linear V × t em papel mono-log, do Exemplo 4-7.

4.9. O PAPEL DI-LOG 59

Exemplo 4-8

Para o calculo da constante B do exemplo anterior deve-se proceder como segue:

B =∆(lnV )

∆t=

lnV2 − lnV1

t2 − t1=

ln(V2/V1)

t2 − t1

Escolhendo dois pontos quaisquer da reta tracada no grafico da Fig. 4.15 (o estudante deve

identifica-los), pode-se escrever:

B =ln(2, 9 × 102/3, 1 × 100)

(75, 0 − 5, 0) s=

ln 94

70, 0 s=

4, 54

70, 0 s= 6, 48 × 10−2 s−1 = 6, 5 × 10−2 s−1

A constante A, por sua vez, pode ser lida diretamente no grafico. Seu valor corresponde ao ponto

onde a reta corta o eixo vertical, ou seja, A e o valor de V para t = 0, 0 s, V (t = 0, 0 s) = A.

No caso, A = V/ebt. O estudante pode verificar que escolhendo o ponto P3(15, 0 s; 6, 0) obtem-se

A = 2, 3 volt.

Observe que os valores obtidos para as constantes, a partir do grafico em papel mono-log, con-

cordam com aqueles obtidos atraves do grafico em papel milimetrado. Como ja foi dito ambos

sao equivalentes.

Em resumo, sempre que a equacao para um fenomeno fısico for do tipo: Y (x) = Aebx o grafico y(x) versus x

em papel mono-log sera uma reta, e as constantes A e B serao determinadas como no Exemplo 4-8,

B =∆(ln y)

∆x=

ln y2 − ln y1

x2 − x1=

ln(y2/y1)

x2 − x1(4.10)

com A sendo lido diretamente no grafico, ou calculado a partir de um terceiro ponto da reta, uma vez

conhecido B.

4.9 O papel di-log

Muitos modelos matematicos usados na descricao de fenomenos fısicos tem a forma de uma lei de potencia,

ou seja, sao do tipo

y(x) = kxn , (4.11)

onde k e n sao constantes. Para linearizar esta equacao, existem duas possibilidades:

1. Se n for conhecido, faz-se uma mudanca de variaveis, substituindo xn → x′ e y(x) = y′(x′), e traca-se

o grafico “ y′(x′)×x′ ” ( na verdade “y(x)×xn”) em papel milimetrado. No entanto, em geral, o valor

de n e desconhecido;

2. Se n for desconhecido, toma-se o logaritmo decimal dos dois lados da equacao (4.11), e obtem-se,

log y(x) = log(kxn) = log k + n log x . (4.12)

Comparando-se com a equacao da reta: y′(x′) = a′x′ + b′, vem log y = y′; n = a′; log x = x′; log k = b′.


Assim, observa-se que, para tracar um grafico linear em papel milimetrado, e necessario calcular os logaritmos

decimais de todos os valores tabelados de x e de y(x) (lembre-se que, no Ex. 17, foi necessario calcular os

logaritmos apenas dos valores de y), plotando depois os respectivos pontos. Portanto, o grafico linear em

papel milimetrado, neste caso, sera log y(x) × log x.

Este trabalho todo pode ser evitado se, em vez do papel milimetrado, for usado o papel di-log, que e um papel

quadriculado, onde as duas escalas sao proporcionais aos logaritmos decimais dos numeros representados.

Os dois eixos desse papel sao analogos ao eixo vertical do papel mono-log ja estudado. Pode-se concluir,

entao, que o grafico linear no papel di-log sera obtido tracando-se o grafico y(x) × x, simplesmente, o que

sera equivalente ao grafico log y(x) × log x, em papel milimetrado.

Exemplo 4-9

Num experimento em que se estudou a corrente em funcao da tensao aplicada ao filamento de

uma lampada, foram obtidos os dados tabelados abaixo.

I(mA) 22,0 52,2 91,0 176,0 330,0 524,0

E(V) 0,6 2,1 4,0 11,6 26,0 49,0

Sabe-se teoricamente que I = C Ew, onde C e w sao constantes que devem ser determinadas a

partir de um grafico I × E , tracado em papel di-log (Fig. ??). Aplicando logaritmo a ambos os

lados da equacao, tem-se:

log E(V ) = log(C Ew) = logC + w log E

Comparando com a equacao da reta: y′(x′) = a′x′+b′, vem, log E(V ) = y′(x′); w = a′; log E = x′;

logC = b′.

Assim, ve-se que o coeficiente angular da reta que aparece na Fig. 4.16 e w, o qual pode ser

calculado como segue,

w = a′ =∆y′

∆x′=

∆(log I)

∆(log E)=

log I2 − log I1log E2 − log E1

=log(I2/I1)

log(E2/E1)

Deixa-se para o estudante que verifique o aparecimento do logaritmo no denominador e no

numerador da expressao acima, lembre-se do papel mono-log, onde o logaritmo aparece apenas

no numerador.

Para o calculo explıcito de w, deve-se escolher dois pontos pertencentes a reta, e bem afastados

(os quais o estudante pode identificar na Fig. 4.16),

w =log(275/32, 0)

log(20, 0/1, 0)= 0, 718 . . . = 0, 72

A constante C pode ser lida diretamente no grafico, uma vez que e o valor de I quando E =

∞, ′ ⊑≀l⊔, isto e, C = I(E = 1, 0). Assim,

C = 32, 0mA

4.9. O PAPEL DI-LOG 61

e a equacao ajustada aos dados e dada por:

I = 32, 0

( Evolt

)0,72

(mA)

Quando nao for possıvel determinar-se a Constante C, lendo diretamente no grafico, deve-se

proceder, alternativamente, como segue.

Determinada a constante w, escolhe-se um ponto qualquer pertencente a reta (E3, I3). O parametro

C sera, entao, calculado diretamente, a partir da equacao I = Ew, isto e, C = I3/E/⊑≀l⊔w3 , por

exemplo, para E3 = 7, 0 volt e I3 = 130mA, obtem-se, C = 32mA.

Resumindo, sempre que a equacao para um fenomeno for do tipo: y(x) = Kxn, sendo k e n constantes, o

grafico “y(x) × x” um papel di-log sera uma reta. O expoente n sera calculado por

n =∆(log y)

∆(log x)=

log y2 − log y1

log x2 − log x1=

log(y2/y1)

log(x2/x1), (4.13)

enquanto que a constante k podera ser lida diretamente no grafico, no ponto onde a reta corta o eixo dos

y(x = 1, 0), ou calculada a partir de um ponto da reta, se n for conhecido.


2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

9 9

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

9 9

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

9 9

22

33

44

55

66

77

88

99

22

33

44

55

66

77

88

99

101

102

103

I(mA

) 10−

110

010

1E(V

)

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

SS

SS

SS

SS

SS

SS

SS

SS

SS

SS

SS

SS

SS

SS

SS

SS

SS

SS

SS

SS

SS

SS

SS

SS

SS

SS

SS

SS

SS

S

Figura 4.16: Grafico I × E em papel di-log, para o Exemplo 4-9.

4.10. EXERCICIOS 63

4.10 Exercıcios

1)Dadas as medidas tabeladas abaixo, use o papel milimetrado e construa uma escala CORRETA para cada

grandeza, marque os pontos experimentais (apenas as abscissas) sobre a escala construıda. Como nao existe

ordenada, use a linha central (5 mm) para a altura vertical dos pontos.

a) L(cm) 1,5 3,5 8,0 9,5 12,0 14,5

0 50 100 150

b) t(ms) 21 43 68 95 150 180

0 50 100 150

c) m(kg) 0,021 0,083 0,128 0,256 0,350 0,480

0 50 100 150

d) P(mW ) 12 83 228 556 860 980

0 50 100 150

e) E(V ) 1,0 4,0 8,0 13,0 19,0 26,0

0 50 100 150

f) F (N) 400 700 900 1.300 1.700 1.750

0 50 100 150

g) n 1,412 1,415 1,418 1,424 1,429 1,435

0 50 100 150


2)Dadas as medidas tabeladas abaixo, use o papel logarıtmico e construa uma escala CORRETA para cada

grandeza, marque os pontos experimentais (apenas as abscissas) sobre a escala construıda. Como nao existe

ordenada, use a linha central (5 mm) para a altura vertical dos pontos.

a) ρ(g/cm3) 2,5 9,5 28,0 49,5 80,0 94,5

2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9

b) I(µA) 4,2 9,1 23,0 45,0 69,0 90,0

2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9

c) F (kgf) 0,054 0,085 0,12 0,25 0,37 0,48

2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9

d) N (103) 9,5 22,3 67,8 79,0 86,5 98,0

2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9

e) x(mm) 7,0 9,0 18,0 28,0 59,0 66,0

2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9

f) λ(nm) 350 640 830 920 1210 1800

2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9

g) p(atm) 0,21 0,41 0,98 1,44 1,929 3,4

2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9

4.10. EXERCICIOS 65

Faca os exercıcios abaixo, respeitando os criterios de

arredondamento e de operacao com algarismos signi-

ficativos.

3)A posicao x de um bloco foi medida em varios in-

stantes de tempo t, forneceu os seguintes dados:

x(m) 8,0 61,0 200,0 317,0 402,0

t(s) 2,0 8,0 15,0 18,0 20,0

a) Trace o grafico x(t) × t em papel milimetrado.

Observe o tipo de curva obtida.

b) O grafico nao e linear. Trace, entao, a curva

“x(t)× t2” ou “X1/2(t)× versust” para lineariza-lo.

c) Determine os coeficientes angular e linear da reta

obtida.

d) Escreva a equacao para x(t), ajustada aos dados.

4)Os dados tabelados estao relacionados por uma

equacao do tipo y(x) = axn:

y(m) 3,21 5,31 8,23 15,00 26,10 53,80

x(m) 1,69 4,93 10,97 28,47 88,83 288,00

a) Trace um grafico “y(x) × x ” em papel milime-

trado. Observe que a curva obtida nao e linear.

b) Para lineariza-la, trace “y(x) × x ” em papel di-

log.

c) Determine, entao, a partir da curva linearizada,

as constantes a e n.

5)Os dados tabelados estao relacionados por uma

equacao do tipo q(t) = q0 ebt:

q(mC) 2410 826 419 348 104 22

t(s) 1,37 3,39 4,57 4,71 7,02 9,48

a) Trace um grafico “q(t)×t ” em papel milimetrado.

Note que nao e linear.

b) Para lineariza-lo, trace “y(x)×x” em papel mono-

log.

c) A partir deste grafico, determine as constantes q0

e b.

6)Um dos metodos para medir a constante elastica

de uma mola e o metodo dinamico, que consiste em

pendurar massas diferentes na extremidade de uma

mola e faze-la oscilar verticalmente, medindo para

cada massa o perıodo de oscilacao. A equacao que

relaciona as duas variaveis (perıodo T e massa m) e

T (m) = 2π√

m/k

onde k e a constante elastica da mola.

Os valores tabelados foram medidos experimental-

mente:

T (s) 0,703 1,062 1,251 1,472 1,640

m(kg) 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250

Determine, atraves de um grafico linear em papel

milimetrado a constante elastica k da mola.

7)Num experimento em que o vapor de agua tem a

sua pressao p medida para varias temperaturas abso-

lutas T , foram obtidos os seguintes resultados:

p(mmHg) 2,14 4,57 14,53 50,21 149,3 355,2

T (K) 263 273 293 313 333 353

Sabe-se que p(T ) = p0e−λ/RT , ondeR = 8, 314 J/mol·

K.

a) linearize a expressao acima para p(T );

b) escolhendo o papel adequado, trace um grafico

linearizado para os pontos experimentais da tabela

acima;

c) a partir do grafico linearizado, calcule as con-

stantes p0 e λ, com suas respectivas unidades.

8)Num experimento para determinar taxa em relacao

ao tempo, por unidade de area, com que a energia de

uma onda eletromagnetica e irradiada (a chamada

intensidade da onda) em funcao do modulo E do seu

campo eletrico medio, foram colhidos os dados:

S(W/m2) 18 35 65 110 150

E(V/m) 80 120 160 200 240


Sabendo-se teoricamente que devemos ter que S(E) =

AEB:

a) linearize a expressao para S(E);

b) escolha o papel adequado para linearizacao, e

trace um grafico linearizado;

c) determine as constantes A e B, com suas respec-

tivas unidades.

Apendices

Alfabeto grego

Letra Minuscula Maiuscula Letra Minuscula Maiuscula

alfa α nu ν

beta β csi ξ Ξ

gama γ Γ o o

delta δ ∆ pi π Π

epsilon ǫ ro ρ

zeta ζ sigma σ Σ

eta η tau τ

teta θ Θ upsilon υ Υ

iota ι phi φ Φ

kapa κ chi χ

lambda λ Λ psi ψ Ψ

mu µ omega ω Ω

Logarıtmos

Definicao

Se ap = N onde a 6= 0 ou 1 entao p = logaN e chamado de logarıtmo de N na base a.

Exemplo: Sendo 32 = 9 temos que log3 9 = 2.

Propriedades

logaMN = logaM + logaN (14)

loga

M

N= logaM − loga N (15)

logaMp = p logaM (16)

logaN = logbN/ logb a (17)

logeN = lnN (18)

log10N = logN (19)

e = 2, 7182818 . . . (20)

67


i xi yi xiyi x2

1 1,0 1,1 1,1 1,0

2 2,1 5,9 12 4,4

3 4,3 10,7 46 18

4 5,9 12,9 76 35

5 7,8 17,5 1, 4 × 102 61

6 10,5 24,3 2, 6 × 102 1, 1 × 102

∑Ni=1 /N 5,267 12,067 87,877 38,300

Tabela 1: Dados numericos para a regressao linear com o metodo dos mınimos quadardos.

Metodo dos mınimos quadrados

Apos a linearizacao de uma expressao ou lei fısica, e do ajuste dos pontos experimentais sobre um grafico

que se sabe, de antemao, deve ser uma linha reta do tipo

y(x) = ax+ b

nos deparamos com uma tarefa nem sempre trivial: achar a melhor reta que pode ser ajustada aos pontos

experimentais.

Como os pontos colocados no grafico linearizado inevitavelmente possuem erro experimental, em geral nao

havera uma reta sobre o grafico que contenha todos os pontos. A duvida que surge entao e a seguinte:

Qual a melhor reta que pode ser tracada sobre os pontos dos grafico linearizado?

Se pensarmos num criterio para selecionar essa “melhor reta” baseado na ideia de minizarmos a soma dos

desvios quadraticos1 (ao quadrado) dos pontos experimentais ate a dita melhor reta, entao poderemos achar

analiticamente quais seriam os seus coeficientes angular a e linear b.

Essa tecnica de ajuste de pontos experimentais sobre uma reta chama-se regressao linear, ja que se busca

uma melhor reta. O metodo dos mınimos quadrados (MMQ) aplicado ao problema da regressao linear mostra

que a melhor reta, ou seja, a reta que minimiza os desvios quadraticos possui o coeficiente angular

a =xy − x · yx2 − x2

e o coeficiente linear

b =x2 · y − x · xy

x2 − x2

onde a barra indica o valor medio sobre todas os N pontos experimentais (xi, yi), com i = 1 . . .N .

Exemplo 0-10

Para os pontos experimentais do grafico da Fig. 4.7(a), onde a melhor reta obtida pelo MMQ

esta pontilhada, utilizou-se os 6 pontos seguintes:

1Se poderia utilizar tambem os desvios em modulo, como um criterio alternativo.

4.10. EXERCICIOS 69

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10

y

x

Figura 17: Tracado da melhor reta para os dados da Tabela 1.

O denominador dos coeficientes e entao

x2 − x2 = 38, 300 − (5, 267)2 = 10, 6

e finalmente

a =87, 877− (5, 267)(12, 067)

10, 6= 2, 29

e

b =(38, 300)(12, 067)− (5, 267)(87, 876

10, 6= −0, 064

Assim, a melhor reta sera dada pela equacao y(x) = 2, 29x− 0, 064.

Note que no calculo do exemplo acima, nao levamos em conta as regras de arredondamento, pois assumimos

que as coordenadas dos pontos sao exatas, ate o ultimo algarismo apresentado, ja que cada medida foi feita

apenas uma vez.

Em experimentos mais sofisticados, que exigem maior precisao, para cada valor da variavel independente

(abscissa) faz-se uma serie de medidas para a variavel dependente (ordenada), tendo-se ja um valor medio e

um erro provavel para cada ordenada. Neste caso, e possıvel se fazer um grafico incluindo as barras de erro

para cada ponto experimental, e a regressao linear permite o calculo dos erros associados aos coeficientes a

e b da melhor reta que se ajusta sobre o grafico.


Referencias Bibliograficas

[1] PAIS, Abraham. Einstein viveu aqui. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 1997.

[2] http://www.mat.puc-rio.br/ hjbortol/cdfvv/livro/CabriJava/mmq3.html

71

72 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

Lista de Figuras

1.1 Galileu Galilei (1564–1642). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Evolucao da Mecanica, desde a Mecanica Classica de Newton, ate a moderna Teoria da

Relatividade Geral de Einstein. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1 Medida direta do comprimento de duas hastes A e B, realizadas com uma regua centimetrada,

ou seja, com divisoes a cada centımetro da escala. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Medida direta do comprimento de duas hastes A e B, feitas com uma regua milimetrada. . . 12

2.3 Medida direta da posicao de um feixe laser feita sobre uma escala milimetrada. . . . . . . . . 13

3.1 Quatro atiradores disparam 400 projeteis cada um, contra um alvo fixo. Podemos ver que o atirador

A possui tem pouca precisao (nao consegue concentrar os disparos numa area pequena) e possui

pouca acuracia (pois o centro dos seus tiros esta longe do centro do alvo, seu objetivo); o atirador

B possui boa precisao e pouca acuracia; o C possui pouca precisao e boa acuracia; e finalmente, o

atirador D combina boa precisao e boa acuracia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2 A curva normal de Gauss da a probabilidade de se encontrar valores de uma medida em torno

do valor medio (zero, nesse caso). A Area marcada sob a curva, delimita a regiao provavel,

ou seja, a regiao onde devem estar 50% das medidas efetuadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.1 a) O plano cartesiano e o sistema de eixos XY , com seus quatro quadrantes mostrados e

b) um conjunto de pontos experimentais representados no plano cartesiano e sua tendencia

(indicada pela linha tracejada). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.2 Diferentes sımbolos usados para marcar os pontos experimentais nos graficos. . . . . . . . . . 42

4.3 Representacao esquematica de um pendulo simples. Ajusta-se o tamanho l (variavel indepen-

dente) e mede-se o perıodo T (variavel dependente). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.4 Representacoes graficas possıveis: (a) T × l e (b) l × T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.5 A escolha da escala horizontal no grafico (a) faz corresponder a cada bloco de divisoes os

valores 10 na vertical e 1 na horizontal, uma boa escolha. No grafico (b) faz corresponder o

valor 7 na vertical, uma pessima escolha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.6 A escolha da escala vertical no grafico (a) esta correta, pois utiliza a maior parte do papel no

sentido vertical. No grafico (b), utiliza-se menos da metade do papel, o que e ERRADO. . . 45

4.7 No grafico (a) esta a forma correta de tracar a melhor reta sobre os pontos experimentais,

respeitando a tendencia geral dos pontos, e no grafico (b) esta a forma incorreta, que sim-

plesmente liga os pontos experimentais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.8 Grafico de x× t para os dados do Exemplo 4-5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

73

74 LISTA DE FIGURAS

4.9 Exemplos graficos de fenomenos indicando nao-linearidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.10 No grafico (a) esta o grafico de y × x, cuja equacao e Y (x) = g/x + h. Em (b) o grafico

y × 1/x, onde a nova variavel x′ = 1/x, o torna linear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.11 Grafico nao linear x× t para os dados do Exemplo 4-6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.12 Grafico linearizado de x× t2 para os dados do Exemplo 4-6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.13 Uma tira do papel mono-log, para analise das suas divisoes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.14 Grafico linear lnV × t em papel milimetrado, para o Exemplo 4-7. . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.15 Grafico linear V × t em papel mono-log, do Exemplo 4-7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.16 Grafico I × E em papel di-log, para o Exemplo 4-9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

17 Tracado da melhor reta para os dados da Tabela 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Lista de Tabelas

2.1 Algumas grandezas fısicas bastante usadas, seu tipo, seu sımbolo usual (S), sua unidade no

Sistema Internacional (SI), um exemplo de uma medida da grandeza com o seu numero de

casas decimais (NCD) e de algarismos significativos (NAS). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2 Tabela dos multiplo e sub-multiplos mais usados na Fısica, com excecao do prefixo deca (D),

de uso raro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1 Dados numericos para a regressao linear com o metodo dos mınimos quadardos. . . . . . . . . 68

75

Documents

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