Fge - Mat AP 3 - 15 1

Diretoria de Ciências Exatas

Laboratório de Física

Material de apoio 3

Física Geral e Experimental II 2015/01

Análise Gráfica

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FGE - Material de apoio 3 – Análise Gráfica – 2015 1

Análise Gráfica

1. Construção de Gráficos

Nas atividades experimentais objetiva-se muitas vezes estudar a maneira

como uma grandeza física se comporta em relação à outra. Questões como: “de que

modo o comprimento de um pêndulo simples afeta o seu período de oscilação?”

podem ser estudadas e melhor respondidas através de métodos gráficos que podem

revelar a dependência de uma grandeza em relação à outra.

A construção de um gráfico pressupõe uma seqüência de passos. O produto

final do trabalho, o gráfico pretendido, deve estar de acordo com normas

internacionais e qualquer pessoa interessada em extrair informações a partir dele

deve fazê-lo sem dificuldades.

1.1. Tipo de papel e suas dimensões

A escolha do papel pode ser feita imediatamente, quando se tem uma

previsão do comportamento e da dependência entre as grandezas estudadas. Se os

valores e a dependência entre eles são imprevisíveis, utiliza-se em princípio papel

milimetrado, podendo ser mudado posteriormente a esta escolha inicial.

Eleito o tipo de papel, estabelecem-se as dimensões do gráfico, segundo as

necessidades exigidas no relatório ou artigo.

1.2. Escalas

Definidos o tipo de papel e suas dimensões, desenham-se os eixos

cartesianos do gráfico. Cada um dos eixos deve conter o nome ou símbolo da

Grandeza Física representada, a escala de leitura e a unidade correspondente.

Geralmente o eixo das ordenadas estabelece a variável desconhecida, cuja

dependência com a variável das abscissas deseja-se descobrir.

As escalas mais comuns são métricas e associadas aos eixos cartesianos.

Cada escala estabelece uma correspondência biunívoca entre seus valores e os da

grandeza estudada.

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1.3. Módulo de Escala

Pode-se utilizar um fator de conversão, denominado módulo de escala ()

para se estabelecer a correspondência entre os valores das grandezas estudadas e

as medidas em cada um dos eixos:

(1)

(2)

Aconselha-se representar o módulo de escala com apenas um algarismo

significativo, que permita leitura imediata. Estes algarismos são em geral 1, 2 ou 5,

seus múltiplos e submúltiplos. Os algarismos 4 e 8 podem ser utilizados, quando os

valores das grandezas são múltiplos ou submúltiplos de 0,25 e 0,125. Múltiplos e

submúltiplos de 3, 6, 7 e 9 são de difícil leitura e devem ser evitados.

1.4. Equações de Conversão de Escala

As equações de conversão de escala são utilizadas para se obter a medida

(d) correspondente a cada coordenada dos pontos nos eixos:

(3)

(4)

1.5. Passo e Degrau

As grandezas passo e degrau são utilizadas quando se pretende melhorar a

visualização da variação das grandezas físicas estudadas nos eixos coordenados.

Definimos como passo a distância entre dois traços consecutivos de mesma medida

e degrau como a diferença entre os valores das grandezas físicas estudadas

correspondentes aos extremos do passo. Elege-se um passo para cada eixo

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coordenado e, por intermédio das equações de conversão de escala obtém-se o

degrau correspondente para as abscissas e as ordenadas.

1.6. Traçado do Gráfico

Após esta seqüência de trabalho é possível localizar e plotar (localizar num

sistema de referências) cada ponto previamente tabelado, cujas coordenadas foram

obtidas através das equações de conversão de escala. Caso as incertezas das

grandezas estudadas sejam também conhecidas, estas devem ser representadas no

gráfico segundo os mesmos critérios usados para as medidas.

Caso se espere obter uma reta, mas os pontos não estão alinhados, pode-se

traçar uma reta média, a qual deve passar pela maioria dos pontos, ou pode-se

optar pelo método dos mínimos quadrados (regressão linear) para se traçar a

reta.

As projeções ortogonais ao longo dos eixos são desnecessárias.

1.7. Título e legenda do gráfico

Todo gráfico deve ter um título, geralmente colocado na sua parte superior.

Se o gráfico está inserido em um texto, como num relatório, por exemplo, deve ser

acompanhado de uma legenda numerada inserida abaixo dele. Esta legenda deve

explicar de modo sucinto o conteúdo do gráfico. Quando se coloca uma legenda, o

título do gráfico torna-se opcional.

2. Exemplo resolvido:

2.1. Método da Regressão Linear para determinação da dependência

linear de y em função de x, na forma y=ax+b:

Foi estudada a variação da velocidade de uma partícula sobre um colchão de

ar e foram determinados alguns valores em relação ao tempo gasto, cronometrado a

partir de um instante inicial to=0. Os dados foram coletados e estão indicados na

Tabela 1 abaixo. Deseja-se traçar o gráfico da função da velocidade em função do

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tempo desta partícula e determinar a dependência linear entre a velocidade e os

instantes de tempo, por intermédio de regressão linear.

Tabela 1: Variação da velocidade de uma partícula em função do tempo

Medidas 1 2 3 4 5

Velocidade

v

0,62 1,85 2,58 3,81 5,05

v

0,08 0,08 0,09 0,13 0,15

Instantes de tempo

t 4,00 7,10 9,06 11,95 15,12

Tipo de papel e suas dimensões

O papel que está disponível é milimetrado e tem de dimensões 10,5 cm (ordenada) x

12 cm (abscissa).

2.2. Módulos de Escala

2.3. Equações de Conversão de Escala

2.4. Passo e Degrau

Passo no eixo das abscissas: dx = 20 mm Degrau: Dt = 4,00 s

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Passo no eixo das ordenadas: dy = 20 mm Degrau: Dv =

Tabela 2: Medidas do papel milimetrado

t

v

v

20 mm 4,00 12 mm 0,62 2 mm 0,08

36 cm 7,10 37 mm 1,85 2 mm 0,08

45 cm 9,06 52 mm 2,58 2 mm 0,09

60 cm 11,95 76 mm 3,81 3 mm 0,13

76 cm 15,12 101 mm 5,05 3 mm 0,15

Pontos e respectivas barras de erro do gráfico horário da velocidade da partícula.

v (

)

5,00

4,00

3,00

2,00

1,00

0 4,00 8,00 12,00 16,00 20,00 24,00 t ( )

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A partir da melhor reta traçada que se aproxima dos pontos experimentais, deve-se

determina os valores dos coeficientes linear e angular da reta.

Assim, se considerarmos uma função de reta do tipo: y=A+Bx, teremos que:

- o coeficiente linear A indica o valor onde a reta corta o eixo vertical, neste caso,

ao observarmos o gráfico, pode-se estimar que o ponto em questão está localizado

entre -19mm e -20mm, então consideraremos que a reta corta o eixo das

velocidades em -19,5mm, então o coeficiente linear será:

0 4,00 8,00 12,00 16,00 20,00 24,00 t ( )

Gráfico horário da velocidade de uma partícula, a partir de dados experimentais

v (

)

5,00

4,00

3,00

2,00

1,00

-1,00

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- o coeficiente angular B representa a tangente do ângulo de inclinação da reta

média traçada. Considerando dois pontos da reta teremos: (20mm, 12mm) e (76mm,

101mm), convertendo para as unidades de tempo e de velocidade vem:

Calculando o coeficiente angular, vem:

Então, a função da reta que melhor representa a distribuição de pontos

experimentais será:

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Como os valores medidos têm, no mínimo, dois algarismos significativos, deve-se

escrever a equação na forma:

Observação: Com um pouco mais de experiência, faz-se o ajuste dos pontos em

um gráfico, definindo passos e degraus de modo a aproveitar o espaço no papel

milimetrado, quando necessário. Há aplicativos que ajustam esses parâmetros

automaticamente, mas é interessante entender como o processo é realizado.

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Apêndice

Funções estatísticas em calculadoras científicas padrão:

1. Cálculo de média e desvio padrão a partir de um conjunto de dados:

1 – Entrar no modo estatístico (SD);

2 – Limpar a memória estatística (SCL);

3 – Efetuar a entrada dos valores na memória (M+);

4 – Acessar as variáveis estatísticas (S-Var);

5 – Localizar a opção para o Desvio Padrão (

6 – Localizar a opção de Valor Médio (

2. Regressão Linear a partir de um conjunto de pares ordenados (x,y) de dados.

Em geral, a calculadora utiliza uma equação de reta na forma y=A+Bx. Deve-

se atentar ao fato de que o coeficiente linear é representado por A e que o

coeficiente angular é representado por B.

1. Entrar no modo estatístico de regressão linear (REG) e (LIN);

2. Limpar a memória estatística (SCL);

3. Efetuar a entrada dos valores na memória (dado x , dado y) (M+);

Obs. Em geral há uma tecla de vírgula para dividir o par ordenado.

4. Acessar as variáveis estatísticas (S-Var);

5. Localizar a opção para o coeficiente linear (A);

6. Localizar a opção para o coeficiente angular (B).

Obs.: Esses comandos podem variar de acordo com o modelo da calculadora

utilizada, portanto, é sempre útil recorrer ao manual de seu equipamento.

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