FICHA DE AULA EQUIVALÊNCIAS E NEGAÇÕES

FICHA DE AULA 11

EQUIVALÊNCIAS E NEGAÇÕES

Neste material, reforçaremos por meio de atividades os conceitos de equivalência de proposições e de negação de

uma proposição. Item muito explorado por várias bancas de concursos públicos e que exige, portanto, nossa atenção especial.

Vejamos alguns conceitos preliminares para uma melhor compreensão.

Negação de uma proposição

Dada uma proposição p, chamamos de “negação de p” a proposição lógica que possui valor

lógico contrário ao valor lógico de p. É indicada simbolicamente de vários modos, sendo mais

frequentes as notações “~𝒑” e “¬𝒑”.

Podemos também considerar a negação de uma proposição composta. Por exemplo, sabemos que as tabelas-verdade a

seguir referem-se à conjunção e à disjunção de duas proposições p e q:

Assim, podemos definir, respectivamente, a negação da conjunção de p e q e a negação da disjunção de p e q, cujas

tabelas-verdade ficam representadas a seguir. Observe os resultados opostos àqueles representados nas tabelas anteriores,

caracterizando a negação.

Proposições equivalentes

Dizemos que duas proposições são logicamente equivalentes quando possuem a mesma tabela-verdade, ou seja, suas

tabelas-verdade apresentam os mesmos resultados. De maneira menos formal, duas proposições lógicas equivalentes

transmitem a mesma informação. Vejamos como exemplos as proposições compostas p → q e ~p q e suas respectivas

tabelas-verdade:

Observamos que os resultados das duas tabelas são os mesmos para os mesmos valores lógicos das entradas 𝒑 e 𝒒. Sendo

assim, as proposições 𝑝 → 𝑞 e ~𝑝 ∨ 𝑞 são equivalentes entre si.

𝒑 ~𝒑

V

F

F

V

𝒑 𝒒 𝒑 ∧ 𝒒

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

F

𝒑 𝒒 𝒑 ∨ 𝒒

V V F F

V F V F

V V V F

𝒑 𝒒 ~(𝒑 ∧ 𝒒)

V

V

F

F

V

F

V

F

F

V

V

V

𝒑 𝒒 ~(𝒑 ∨ 𝒒)

V V F F

V F V F

F F F V

𝒑 𝒒 𝒑 → 𝒒

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

V

𝒑 𝒒 ~𝒑 ~𝒑 ∨ 𝒒

V V F F

V F V F

F F V V

V F V V

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FICHA DE AULA – EQUIVALÊNCIAS E NEGAÇÕES

Para entendermos melhor, por meio de um exemplo, que elas de fato transmitem a mesma informação, vejamos as

proposições compostas a seguir. Elas possuem o mesmo significado, transmitem a mesma ideia:

“Se você fizer isto, então irá se arrepender.” “Não faça isto ou irá se arrepender.”

p → q ~p q

Observações: Quando uma proposição composta for equivalente à negação de outra proposição composta, diremos simplesmente que a primeira é a negação da segunda. Como vimos que uma mesma informação pode ser transmitida de maneiras diferentes, as bancas de concursos explorarão exatamente esta característica: solicitarão, entre as alternativas da questão, uma maneira correta de se escrever uma proposição equivalente a uma proposição dada ou, em outros casos, equivalente à sua negação.

A rigor, nos casos gerais, para checarmos se uma proposição composta é equivalente a outra proposição composta, devemos construir suas tabelas-verdade e observar se apresentam os mesmos resultados. Analogamente, para verificarmos se uma proposição é a negação de outra proposição, podemos observar se suas tabelas-verdade apresentam resultados opostos. Entretanto, como as bancas de concursos costumam explorar sempre os mesmos casos mais comuns, destacaremos, de agora em diante, estes casos “clássicos” de maneira mais objetiva.

A partir de agora, iremos, de maneira mais objetiva, estudar os principais casos de equivalências e negações.

Negação das proposições categóricas (Quadro geral de oposição)

Todo “a” é “b” Nenhum “a” é “b”

Algum “a” é “b” Algum “a” não é “b”

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Principais equivalências e negações (as mais cobradas em provas estão em destaque)

DESCRIÇÃO RESUMO

Equivalência da condicional

𝑝 → 𝑞 é equivalente a ~𝑞 → ~𝑝 𝒑 → 𝒒 ⇔ ~𝒒 → ~𝒑

Equivalência da condicional

𝑝 → 𝑞 é equivalente a ~𝑝 ∨ 𝑞 𝒑 → 𝒒 ⇔ ~𝒑 ∨ 𝒒

Negação da condicional

A negação de 𝑝 → 𝑞 é equivalente a 𝑝 ∧ ~𝑞 ~(𝒑 → 𝒒) ⇔ 𝒑 ∧ ~𝒒

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Equivalência da disjunção (inclusiva)

𝑝 ∨ 𝑞 é equivalente a ~𝑝 → 𝑞 𝒑 ∨ 𝒒 ⇔ ~𝒑 → 𝒒


𝑝 ∨ 𝑞 é equivalente a ~𝑞 → 𝑝 𝒑 ∨ 𝒒 ⇔ ~𝒒 → 𝒑


𝑝 ∨ 𝑞 é equivalente a ~((~𝑝) ∧ (~𝑞)) 𝒑 ∨ 𝒒 ⇔ ~((~𝒑) ∧ (~𝒒))

Negação da conjunção

A negação de 𝑝 ∧ 𝑞 é equivalente a (~𝑝) ∨ (~𝑞) ~(𝒑 ∧ 𝒒) ⇔ (~𝒑) ∨ (~𝒒)

Negação da disjunção (inclusiva)

A negação de 𝑝 ∨ 𝑞 é equivalente a (~𝑝) ∧ (~𝑞) ~(𝒑 ∨ 𝒒) ⇔ (~𝒑) ∧ (~𝒒)

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A negação de 𝑝 ∧ 𝑞 é equivalente a 𝑝 → ~𝑞 ~(𝒑 ∧ 𝒒) ⇔ 𝒑 → ~𝒒


A negação de 𝑝 ∧ 𝑞 é equivalente a 𝑞 → ~𝑝 ~(𝒑 ∧ 𝒒) ⇔ 𝒒 → ~𝒑

Equivalência da bicondicional

𝑝 ↔ 𝑞 é equivalente a (𝑝 → 𝑞) ∧ (𝑞 → 𝑝) 𝒑 ↔ 𝒒 ⇔ (𝒑 → 𝒒) ∧ (𝒒 → 𝒑)

Equivalência da bicondicional

𝑝 ↔ 𝑞 é equivalente a (𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (~𝑝 ∧ ~𝑞) 𝒑 ↔ 𝒒 ⇔ (𝒑 ∧ 𝒒) ∨ (~𝒑 ∧ ~𝒒)

Negação da bicondicional

A negação de 𝑝 ↔ 𝑞

é equivalente a 𝑝 ∨ 𝑞 ~(𝒑 ↔ 𝒒) ⇔ 𝒑 ∨ 𝒒

Negação da disjunção exclusiva

A negação de 𝑝 ∨ 𝑞

é equivalente a 𝑝 ↔ 𝑞 ~(𝒑 ∨ 𝒒) ⇔ 𝒑 ↔ 𝒒

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Equivalência da disjunção (exclusiva)

𝑝 ∨ 𝑞 é equivalente a (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (~(𝑝 ∧ 𝑞)) 𝒑 ∨ 𝒒 ⇔ (𝒑 ∨ 𝒒) ∧ (~(𝒑 ∧ 𝒒))

Resumo das principais equivalências e negações

DESCRIÇÃO RESUMO

Equivalência da condicional 𝒑 → 𝒒 ⇔ ~𝒒 → ~𝒑

Equivalência da condicional 𝒑 → 𝒒 ⇔ ~𝒑 ∨ 𝒒

Negação da condicional ~(𝒑 → 𝒒) ⇔ 𝒑 ∧ ~𝒒

Equivalência da disjunção 𝒑 ∨ 𝒒 ⇔ ~𝒑 → 𝒒

Equivalência da disjunção 𝒑 ∨ 𝒒 ⇔ ~𝒒 → 𝒑

Equivalência da disjunção 𝒑 ∨ 𝒒 ⇔ ~((~𝒑) ∧ (~𝒒))

Negação da conjunção ~(𝒑 ∧ 𝒒) ⇔ (~𝒑) ∨ (~𝒒)

Negação da disjunção ~(𝒑 ∨ 𝒒) ⇔ (~𝒑) ∧ (~𝒒)

Negação da conjunção ~(𝒑 ∧ 𝒒) ⇔ 𝒑 → ~𝒒

Negação da conjunção ~(𝒑 ∧ 𝒒) ⇔ 𝒒 → ~𝒑

Equivalência da bicondicional 𝒑 ↔ 𝒒 ⇔ (𝒑 → 𝒒) ∧ (𝒒 → 𝒑)

Equivalência da bicondicional 𝒑 ↔ 𝒒 ⇔ (𝒑 ∧ 𝒒) ∨ (~𝒑 ∧ ~𝒒)

Negação da bicondicional ~(𝒑 ↔ 𝒒) ⇔ 𝒑 ∨ 𝒒

Negação da disjunção exclusiva ~(𝒑 ∨ 𝒒) ⇔ 𝒑 ↔ 𝒒

Equivalência da disjunção (exclusiva) 𝒑 ∨ 𝒒 ⇔ (𝒑 ∨ 𝒒) ∧ (~(𝒑 ∧ 𝒒))

Negação de “Todo a é b” “Algum a não é b”

Negação de “Nenhum a é b” “Algum a é b”

Negação de “Algum a é b” “Nenhum a é b”

Negação de “Algum a não é b” “Todo a é b”

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Exercícios

01. Dê a NEGAÇÃO de cada uma das proposições abaixo:

1. Todos os homens são inteligentes. ____________________________________________________________________

2. Nenhuma mulher dirige bem. _________________________________________________________________________

3. Alguns alunos são negligentes com os estudos. __________________________________________________________

4. Algum aluno do ATF não gosta de estudar. ______________________________________________________________

5. Neste sábado vou ao teatro ou ao cinema. ______________________________________________________________

6. O Brasil é rico, é bonito e seu povo não é feliz.. __________________________________________________________

7. Existe argentino legal. ______________________________________________________________________________

8. Algum número real é positivo. ________________________________________________________________________

9. Todos os cariocas não são receptivos. _________________________________________________________________

10. Mário é engenheiro e Ana é dentista. __________________________________________________________________

11. Mário é engenheiro ou Ana não é dentista. ______________________________________________________________

12. José não é professor ou Ana é médica. _________________________________________________________________

13. Nenhum gato bebe leite. ____________________________________________________________________________

14. Todo gato bebe leite. _______________________________________________________________________________

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15. Existe gato que não mia. ____________________________________________________________________________

16. Nenhum gato mia. _________________________________________________________________________________

17. Todos os atletas gostam de dançar e cantar. ____________________________________________________________

18. Todos os estudantes gostam de Português ou Matemática. _________________________________________________

19. Algum brasileiro é rico. ______________________________________________________________________________

20. Berfôncio não é rico ou não gosta de viajar. _____________________________________________________________

21. Se 2 é par, então 3 é par. ___________________________________________________________________________

22. Se Ana é alta, então eu sou um gigante. ________________________________________________________________

23. Se você passa, então ganha um carro. ______________________________________________________________

24. 𝑥 é par se, e somente se, 𝑥 + 1 é par. __________________________________________________________________

25. Cris irá ao teatro se, e somente se, Zezinho for ao teatro. ____________________________________________________

26. Ou 3 é ímpar ou 4 é ímpar. ____________________________________________________________________________

27. Se você vem para o que der e vier comigo, então eu te prometo o sol. __________________________________________

28. Se você pensa que meu coração é de papel, então está enganado. ____________________________________________

29. Ela é bonita e eu não gosto dela. _______________________________________________________________________

30. João é rico ou Maria é pobre. __________________________________________________________________________

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02. Para cada uma das proposições a seguir, escreva uma proposição EQUIVALENTE:

1. Neste sábado vou ao teatro ou ao cinema. ______________________________________________________________

2. Mário é engenheiro ou Ana não é dentista. ______________________________________________________________

3. José não é professor ou Ana é médica. _________________________________________________________________

4. Berfôncio não é rico ou não gosta de viajar. _____________________________________________________________

5. Se 2 é par, então 3 é par. ___________________________________________________________________________

6. Se Ana é alta, então eu sou um gigante. ________________________________________________________________

7. Se você passa, então ganha um carro. ______________________________________________________________

8. Se você vem para o que der e vier comigo, então eu te prometo o sol. __________________________________________

9. Se você pensa que meu coração é de papel, então irá se surpreender. _________________________________________

10. João é rico ou Maria é pobre. __________________________________________________________________________

03. (IBFC) Uma afirmação equivalente a “Se o imposto foi pago, então o empresário está sem dívida” é:

a) O imposto foi pago ou o empresário está sem dívida.

b) O imposto não foi pago e o empresário está sem dívida.

c) O imposto não foi pago ou o empresário está sem dívida.

d) O imposto foi pago ou o empresário não está sem dívida.

04. (IBFC) A negação lógica da frase “Maurício comprou um notebook ou Paula não foi à escola” é dada por:

a) Maurício não comprou um notebook ou Paula foi à escola.

b) Se Maurício não comprou um notebook, então Paula foi à escola.

c) Maurício não comprou um notebook e Paula não foi à escola.

d) Maurício não comprou um notebook e Paula foi à escola.

05. (IBFC) A frase “A Lua é um satélite ou Saturno não é o maior planeta” é equivalente a frase:

a) “A Lua é um satélite e Saturno não é o maior planeta”

b) “A Lua não é um satélite e Saturno é o maior planeta”

c) “Se a Lua não é um satélite, então Saturno não é o maior planeta”

d) “A Lua é um satélite se, e somente se, Saturno não é o maior planeta”

e) “Se a Lua é um satélite, então Saturno não é o maior planeta”

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06. (IBFC) De acordo com a equivalência lógica, a negação da frase “Se Paulo compra um carro, então não paga à vista” é:

a) Paulo não compra um carro ou não paga à vista.

b) Paulo não compra um carro ou paga à vista.

c) Paulo compra um carro e não paga à vista.

d) Paulo não compra um carro e paga à vista.

e) Paulo compra um carro e paga à vista.

07. (IBFC) A frase “Se o time jogou bem, então foi campeão” é equivalente a:

a) O time jogou bem e foi campeão.

b) O time não jogou bem ou não foi campeão.

c) O time não jogou bem ou foi campeão.

d) Se o time não jogou bem, então não foi campeão.

e) O time jogou bem se, e somente se, foi campeão.

08. (IBFC) Marcos é juiz de direito ou André ganhou o processo equivale logicamente a dizer que:

a) Se Marcos não é juiz de direito, então André ganhou o processo.

b) Marcos é juiz de direito e André não ganhou o processo.

c) Marcos é juiz de direito se, e somente se, André ganhou o processo.

d) Se Marcos não é juiz de direito, então André não ganhou o processo.

e) Marcos não é juiz de direito ou André não ganhou o processo.

09. (IBFC) A frase “A vítima fez boletim de ocorrência ou o acidente foi grave” é logicamente equivalente a:

a) A vítima não fez boletim de ocorrência ou o acidente não foi grave.

b) A vítima não fez boletim de ocorrência e o acidente não foi grave.

c) A vítima fez boletim de ocorrência se, e somente se, o acidente foi grave.

d) Se a vítima não fez boletim de ocorrência, então o acidente foi grave.

10. (IBFC) A frase “Se Carlos trabalha, então ganha dinheiro” equivale logicamente à frase:

a) “Carlos trabalha e ganha dinheiro”

b) “Carlos trabalha ou ganha dinheiro”

c) “Carlos trabalha ou não ganha dinheiro”

d) “Carlos não trabalha ou ganha dinheiro”

11. (IBFC) De acordo com o raciocínio lógico-matemático, a negação da frase “O juiz negou a sentença e o réu entrou com

recurso” é equivalente a frase.

a) O juiz negou a sentença ou o réu entrou com recurso.

b) O juiz não negou a sentença ou o réu não entrou com recurso.

c) O juiz não negou a sentença e o réu não entrou com recurso.

d) O juiz não negou a sentença ou o réu entrou com recurso.

12. (IBFC) De acordo com raciocínio lógico matemático a frase “O Brasil não foi campeão ou o presidente foi ao comício” é

equivalente a frase:

a) O Brasil foi campeão ou o presidente não foi ao comício.

b) O Brasil não foi campeão e o presidente foi ao comício.

c) Se o Brasil foi campeão, então o presidente foi ao comício.

d) O Brasil foi campeão se, e somente se o presidente não foi ao comício.

13. (VUNESP) Uma negação lógica para a afirmação “João é rico, ou Maria é pobre” é:

a) Se João é rico, então Maria é pobre.

b) João não é rico, e Maria não é pobre.

c) João é rico, e Maria não é pobre.

d) Se João não é rico, então Maria não é pobre.

e) João não é rico, ou Maria não é pobre.

14. (VUNESP) “Existe um lugar em que não há poluição” é uma negação lógica da afirmação:

a) Em todo lugar, não há poluição.

b) Em alguns lugares, há poluição.

c) Em todo lugar, há poluição.

d) Em alguns lugares, pode não haver poluição.

e) Em alguns lugares, não há poluição.

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15. (VUNESP) Uma afirmação equivalente para “Se estou feliz, então passei no concurso” é:

a) Se passei no concurso, então estou feliz.

b) Se não passei no concurso, então não estou feliz.

c) Não passei no concurso e não estou feliz.

d) Estou feliz e passei no concurso.

e) Passei no concurso e não estou feliz.

16. (TJ-PR) Arno, especialista em lógica, perguntou: qual a negação de “hoje é carnaval se, e somente se, for 8 ou 9 de

fevereiro”?

A resposta CORRETA é:

a) Hoje não é carnaval se, e somente se, não for 8 ou 9 de fevereiro.

b) Hoje não é carnaval e não é 8 nem 9 de fevereiro.

c) Hoje não é carnaval e é 8 ou 9 de fevereiro ou hoje é carnaval e não é 8 nem 9 de fevereiro.

d) Hoje é carnaval e é 8 de fevereiro.

e) O carnaval não é no mês de fevereiro.

17. (UFMT) A negação de Não gosta de ler ou gosta de usar a internet é:

a) Gosta de ler e gosta de usar a internet.

b) Gosta de ler ou gosta de usar a internet.

c) Gosta de ler ou não gosta de usar a internet.

d) Gosta de ler e não gosta de usar a internet.

18. (UFMT) Uma proposição equivalente a Se há fumaça, há fogo, é:

a) Se não há fumaça, não há fogo.

b) Se há fumaça, não há fogo.

c) Se não há fogo, não há fumaça.

d) Se há fogo, há fumaça.

19. (IBADE) Falar que é verdade que “para todo policial, se o policial é civil e se o policial é investigador, então o policial está

em ação” é logicamente equivalente a falar que não é verdade que:

a) alguém que não é um civil investigador está em ação.

b) existe um civil investigador que não está em ação.

c) alguns civis investigadores estão em ação

d) alguns civis que não são investigadores estão em ação.

e) nenhum civil investigador não está em ação.

20. (FUNRIO) A negação de “Se Carlos for casado então Pedro é viúvo” é:

a) Se Carlos não for casado então Pedro não é viúvo.

b) Se Carlos não for casado então Pedro é viúvo.

c) Carlos é casado e Pedro não é viúvo.

d) Carlos não é casado e Pedro não é viúvo.

e) Se Pedro não é viúvo então Carlos não é casado.

GABARITO

1 - 11 B

2 - 12 C

3 C 13 B

4 D 14 C

5 C 15 C

6 E 16 C

7 C 17 D

8 A 18 C

9 D 19 B

10 D 20 C

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