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FICHA PARA CATÁLOGO PRODUÇÃO DIDÁTICO PEDAGÓGICA
Título: Explorando e investigando atividades de Geometria por meio do GeoGebra
Autor Maria Inês Tomal Surmas
Escola de Atuação Colégio Est. “Dr. Chafic Cury”. Ens. Fundamental e Médio
Município da escola Rio Azul
Núcleo Regional de Educação Irati
Orientador Leoni Malinoski Fillos
Instituição de Ensino Superior UNICENTRO
Disciplina/Área Matemática/ Métodos e Metodologias
Produção Didático-pedagógica Unidade Didática
Público Alvo Alunos de 8ª série/9ºano do ensino fundamental
Localização Colégio Estadual “Dr. Chafic Cury”. Ensino Fundamental e Médio
Rua Zacharias Burko s/n Rio Azul-Pr
Apresentação: Este material, na forma de unidade didática, é uma produção didático pedagógica elaborada como parte das atividades do Programa de desenvolvimento Educacional – PDE. Foi produzido com o objetivo de gerar reflexões teóricas sobre metodologias de ensino da Matemática, subsidiar o trabalho de implementação do Projeto de Intervenção Pedagógica na escola e oferecer material de apoio a professores interessados no tema. Integra um projeto de maior amplitude que intenciona explorar métodos e ferramentas tecnológicas que favoreçam o uso do laboratório do Paraná Digital nas aulas de matemática e possibilitem a aprendizagem pela investigação matemática. Está organizado sob três eixos: Conceitos de Geometria Plana, Investigação Matemática e o uso do software GeoGebra, Inicialmente é realizada uma reflexão teórica envolvendo tais eixos, em seguida, apresentado um tutorial para exploração das ferramentas básicas do software e sugeridas atividades para serem desenvolvidas com os alunos.
Palavras-chave GeoGebra, investigação matemática, geometria
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO CENTRO-OESTE
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL
MARIA INÊS TOMAL SURMAS
EXPLORANDO E INVESTIGANDO ATIVIDADES DE GEOMETRIA POR MEIO DO GEOGEBRA
Produção Didático Pedagógica – Unidade Didática – apresentada ao Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE/2010), da Secretaria de Educação do Estado do Paraná, sob a orientação da professora Me. Leoni Malinoski Fillos.
RIO AZUL
2011
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO..........................................................................................................5
2. A GEOMETRIA NO PROCESSO DE ENSINO E APRENDIZAGEM........................6
2.1 Geometria: um breve histórico............................................................................6
2.2 A Geometria na Educação Matemática.............................................................8
3. INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA...............................................................................9
3.1 A investigação no ensino de Matemática..........................................................10
3.2 Fases da investigação ......................................................................................11
3.3 Investigação X Geometria.................................................................................13
4. INFORMÁTICA NA EDUCAÇÃO .........................................................................14
4.1 Geometria Dinâmica.........................................................................................16
4.2 O que é o GeoGebra?.......................................................................................18
4.3 Apresentando o GeoGebra...............................................................................19
4.3.1 Menu da janela 1.......................................................................................23
4.3.2 Menu da janela 2.......................................................................................24
4.3.3 Menu da janela 3.......................................................................................24
4.3.4 Menu da janela 4.......................................................................................25
4.3.5 Menu da janela 5.......................................................................................26
4.3.6 Menu da janela 6.......................................................................................26
4.3.7 Menu da janela 7.......................................................................................27
4.3.8 Menu da janela 8.......................................................................................27
4.3.9 Menu da janela 9.......................................................................................28
4.3.10 Menu da janela 10...................................................................................28
5. PROPOSTA DE ATIVIDADES.................................................................................32
5.1 ATIVIDADE 1: Explorando o GeoGebra com conceitos de geometria.............32
5.2 ATIVIDADE 2: Teorema de Pitágoras...............................................................40
5.3 ATIVIDADE 3: Razões trigonométricas.............................................................45
5.4 ATIVIDADE 4: Verificação do teorema de Tales...............................................48
6. REFERÊNCIAS......................................................................................................52
7. BIBLIOGRAFIA CONSULTADA..............................................................................54
5
1. INTRODUÇÃO
Este material, na forma de unidade didática, é uma produção didático-
pedagógica elaborada como parte das atividades do Programa de Desenvolvimento
Educacional – PDE/2010. Foi produzido com o objetivo de gerar reflexões teóricas
sobre metodologias de ensino da Matemática, subsidiar o trabalho de
implementação do Projeto de Intervenção Pedagógica na escola e oferecer material
de apoio a professores interessados no tema.
O material integra um projeto de maior amplitude que intenciona explorar
métodos e ferramentas tecnológicas que favoreçam o uso do laboratório do Paraná
Digital nas aulas de Matemática e possibilitem a aprendizagem pela investigação
matemática.
A proposta de intervenção tem como público-alvo alunos de 8° série/9º ano do
ensino fundamental do Colégio Estadual “Dr. Chafic Cury” - Ensino Fundamental e
Médio, localizado no município de Rio Azul e pertencente ao Núcleo Regional de
Educação de Irati.
As atividades abordam conteúdos de Geometria Plana previstos nas
Diretrizes Curriculares da Educação Básica do Estado do Paraná – DCEs - para a
referida série, particularmente os conteúdos básicos que apresentam possibilidades
para ao uso de softwares de Geometria Dinâmica como o GeoGebra.
Esse material está organizado sob três eixos: Conceitos de Geometria Plana,
Investigação Matemática e uso do software GeoGebra. Assim, inicialmente é
realizada uma reflexão teórica envolvendo tais eixos, à luz de autores que discutem
os respectivos temas. Em seguida, é apresentado um tutorial para a exploração das
ferramentas básicas do software e sugeridas atividades para serem desenvolvidas
com alunos da escolarização básica. Tais atividades envolvem, especificamente
conceitos básicos de Geometria Plana, teorema de Pitágoras, razões
trigonométricas e teorema de Tales, com proposição de construções geométricas no
GeoGebra e a investigação matemática dos objetos construídos.
6
2. A GEOMETRIA NO PROCESSO DE ENSINO E APRENDIZAGEM
2.1 Geometria: um breve histórico
Analisando a literatura que aborda a Matemática na história da humanidade,
constatamos que a geometria sempre esteve presente na vida do homem (BOYER,
EVES, 1992; IFRAH). Observações de fenômenos do cotidiano e de circunstâncias
da vida levaram o homem primitivo à gradual descoberta de conceitos geométricos.
Acredita-se que agindo e operando sobre o meio em que vivia, o homem obteve
seus primeiros conhecimentos sobre formas e grandezas, conhecimentos intuitivos,
até subconscientes.
Esta geometria subconsciente era empregada pelo homem primitivo para fazer ornamentos decorativos e desenhos e provavelmente é correto dizer que a arte primitiva preparou em grande escala o caminho para o desenvolvimento geométrico posterior (EVES, 1992, p.2).
Inicialmente o homem considerava somente problemas geométricos
concretos, sem a preocupação de sistematização. Mais tarde, com a evolução da
capacidade intelectual, passou a extrair certas propriedades gerais e relações não
observadas anteriormente. Isto ajudou para que problemas geométricos práticos de
uma mesma natureza pudessem ser resolvidos por um mesmo procedimento geral.
Esse nível mais elevado do desenvolvimento da natureza da geometria pode ser chamado ‘geometria científica’, uma vez que indução, ensaio e erro e procedimentos empíricos eram os instrumentos de descoberta. A geometria transformou-se num conjunto de receitas práticas e resultados de laboratório, alguns concretos e alguns apenas aproximados, referentes à áreas, volumes e relações entre várias figuras sugeridas por objetos físicos. (EVES,1992, p. 3)
Segundo autores como Boyer (1994) e Eves (1992), não existem dados que
nos permitam precisar quanto tempo se passou até que a geometria chegasse ao
nível de ciência. No entanto, escritores concordam que a geometria esteve ligada a
atividades voltadas à agricultura e à engenharia. Devido às cheias do Rio Nilo, por
exemplo, o homem sentiu necessidade de conhecimento sobre cálculo de áreas,
para que as demarcações dos terrenos pudessem ser refeitos após as cheias.
7
Pelos registros encontrados, o surgimento da geometria científica, no Egito foi
por volta de 3000 a.C.. Outras civilizações como a babilônica, a hindu e a chinesa,
que datam deste período histórico, também faziam uso da geometria para resolver
problemas do dia a dia. A resolução desses problemas era feita de maneira
empírica, não havendo formalização.
Nos últimos séculos do segundo milênio a.C., de acordo com Eves (1992),
mudanças econômicas e políticas diminuíram o poder do Egito e da Babilônia e os
desenvolvimentos posteriores da geometria foram passados aos gregos. Os gregos
desenvolveram procedimentos baseados em raciocínios lógicos menos pautados na
intuição e experimentação, passando a uma geometria mais abstrata, sistematizada
demonstrativa ou dedutiva.
Destacaram-se nesse período Arquimedes, Apolônio e Euclides como os
geômetras mais importantes. Os três foram escritores prolíficos e “quase tudo que
se fez de significativo em geometria, até os dias de hoje, e ainda hoje, tem sua
semente original em algum trabalho desses três grandes eruditos” (EVES, 1992,
p.10). Porém, Euclides é que tem merecido maior destaque, sendo considerado até
hoje o maior geômetra do mundo. Foi ele quem organizou e sintetizou grande parte
do conhecimento matemático produzido por Tales de Mileto até sua época, cerca de
250 anos. Euclides escreveu vários tratados de geometria, mas sua obra
“Elementos” (300 a. C.) foi a mais importante de toda a história.
A obra Elementos é constituída por treze livros. Além de geometria, tais livros
abordam conteúdos de álgebra e a teoria dos números. Os dez primeiros livros
fazem referência à Geometria Plana elementar e os três últimos versam,
principalmente, sobre Geometria Espacial. Neles Euclides sintetizou teoremas
descobertos por ele e por outros geômetras e provados por ele. Os conhecimentos
geométricos foram sistematizados de forma lógica e organizada, a partir de um
método axiomático e rigoroso, que privilegiava demonstrações de teoremas e
interpretação de propriedades geométricas. Essa importante obra influenciou outros
campos da ciência.
8
As demonstrações feitas por Euclides permaneceram inabaláveis por mais de
dois milênios. Esta geometria ficou conhecida como Geometria Euclidiana,
recebendo este nome somente após o surgimento de novas geometrias, no final do
século XVII e início do século XIX.
Após muitos matemáticos tentarem demonstrar o quinto postulado de
Euclides - conhecido como postulado das paralelas - usando os quatro postulados
anteriores sem sucesso, surgiram muitas controvérsias e dúvidas. As diferentes
hipóteses levantadas serviram, entretanto, como ponto de partida e guia para outros
matemáticos para a descoberta de outras geometrias: a geometria projetiva, a
geometria hiperbólica, a geometria elíptica, entre outras.
De acordo com apontamentos de Eves (1992), estudos de Lobachewski,
Bolyai, Riemann e Gauss, principalmente, apontaram novas formas para a
exploração do espaço geométrico. Surgiram, assim, outras geometrias, elaboradas
teoricamente e com apoio nos quatro primeiros postulados da Geometria Euclidiana.
Esses matemáticos trouxeram à luz uma nova forma de ver e conceber o
conhecimento geométrico, que atualmente abrangem as geometrias: hiperbólica,
esférica, projetiva e fractal.
2.2 A Geometria na Educação Matemática
A Geometria no ensino de Matemática esteve fundamentada somente na
Geometria Euclidiana durante muito tempo, privilegiando demonstrações de
teoremas e interpretação de propriedades das figuras geométricas. Mudanças
começaram a acontecer a partir da década de 60, devido à influência da Matemática
Moderna. Segundo Ávila (2010), esse movimento priorizava a teoria dos conjuntos, a
axiomatização, as estruturas algébricas e a lógica, dando à Geometria um
tratamento inadequado, pois ficava impraticável, principalmente no ensino
fundamental.
Segundo Abrantes (1998), nos anos 70 e 80, a Geometria passou a ocupar
um lugar secundário no ensino da Matemática devido à generalização da
9
Matemática Moderna. A importância prática da Geometria reduzia-se às fórmulas
para o cálculo de área e volumes e ao teorema de Pitágoras. A intuição e a
visualização não eram valorizadas. “Vários reformistas propuseram uma drástica
redução do que se devia ensinar em Geometria, e alguns grupos chegaram ao
absurdo de propor que a geometria fosse totalmente abolida” (ÁVILA, 2010, p. 6).
Já na década de 90 pesquisadores como Lorenzato (1995) e Pavanello
(1993) evidenciam preocupações com o ensino da Geometria. Segundo eles, o
abandono da geometria, a forma como ela era abordada em livros didáticos e a
dificuldade de alguns professores para ensiná-la estava intimamente ligada ao
movimento da Matemática Moderna.
Com os novos direcionamentos dos currículos e com capacitações de
professores, a partir da década de 90 novas mudanças aconteceram no ensino de
Geometria. Segundo Abrantes (1999), nos últimos anos uma tendência de
revalorização tem marcado a evolução curricular em Matemática por todo o mundo.
“A riqueza e variedade da geometria constituem, de facto, argumentos muito fortes
para sua valorização no currículo e nas aulas de Matemática.” (ABRANTES, 1999,
s/p)
Pesquisas realizadas em Educação Matemática têm contribuído de forma
significativa para que essas mudanças continuem acontecendo. Isso é reforçado
pelos currículos vigentes que destacam sua importância para a formação do aluno.
Por valorizar a intuição, a visualização e a manipulação de materiais, a
geometria torna-se especialmente propícia a um ensino baseado na realização de
descobertas, especialmente em investigações matemáticas, uma tendência atual na
Educação Matemática.
3. INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA
Investigar pode assumir muitos significados como pesquisar, indagar,
examinar, procurar, inquirir, entre outros. Para Ponte, Brocardo e Oliveira (2006), o
termo investigação pode ser usado em vários contextos como, por exemplo,
10
investigação criminal, causas de um acidente, investigação científica ou jornalística e
também na procura de informações sobre um assunto.
As atividades de investigação estão presentes em todas as áreas de
conhecimento. “Existe aquilo que podemos chamar ‘a grande investigação’, que se
realiza nas universidades, empresas e laboratórios do Estado e que tem uma certa
função social” (PONTE, 2003, p.2). De uma maneira geral, conforme Ponte (2003),
investigar é procurar conhecer, tentar compreender e encontrar soluções para os
problemas que nos deparamos. É importante para todos os cidadãos e deveria
permear o trabalho da escola, para professores e alunos.
Ponte, Brocardo e Oliveira (2006), enfatizam que para matemáticos
profissionais investigar “é descobrir relações entre objetos matemáticos conhecidos
ou desconhecidos, procurando identificar as respectivas propriedades” (p.13). Esse
processo de investigação matemática envolve quatro momentos principais: o
reconhecimento da situação, sua exploração e formulação; o processo de
formulação de conjecturas; a realização de testes e refinamento das conjecturas e,
finalmente, a argumentação, sistematização e verificação dos resultados. Esses
momentos podem ocorrer simultaneamente e cada um deles pode incluir diversas
atividades, podendo haver interação entre vários matemáticos interessados nas
mesmas questões.
3.1 A investigação no ensino de Matemática
Um processo de investigação semelhante ao dos matemáticos profissionais
pode ser realizado em sala de aula com tarefas de natureza investigativa e
exploratória. Essas tarefas se relacionam com a resolução de problemas e podem
partir da resolução de simples exercícios.
Conforme Ponte (2002), vários estudos portugueses têm mostrado que a
utilização de investigações matemáticas nas aulas pode contribuir significativamente
para a aprendizagem dos alunos e desenvolver o gosto por essa disciplina. Esses
11
estudos indicam que as investigações levam os alunos a desenvolver novas
capacidades e adquirir novos conhecimentos.
Em geral, em quase todas as disciplinas escolares, a aprendizagem dos
conteúdos fundamenta-se nas atividades desenvolvidas pelos alunos e depende das
tarefas que o professor apresenta. Cada matéria escolar tem sua tarefa
característica. Nas aulas de Matemática, os alunos são submetidos a diferentes
atividades, que são desenvolvidas em diversas situações, sendo as tarefas mais
usuais a resolução de exercícios e de problemas.
Segundo Ponte (2003), uma tarefa tem quatro dimensões básicas: grau de
dificuldade, estrutura, conteúdo referencial e tempo requerido na sua resolução.
Neste contexto, exercícios são tarefas consideradas fechadas e não apresentam
grande dificuldade; os problemas são tarefas também fechadas, mas com elevada
dificuldade; as atividades de exploração são fáceis e com estrutura aberta e as
investigações tem a estrutura aberta, mas com grau de dificuldade elevado.
Segundo Ponte, Brocardo e Oliveira (2006), a distinção entre exercício e
problema foi formulada pelo matemático George Pólya, na década de 1940. Para
Pólya, um problema é uma questão para a qual o aluno não dispõe de um método
imediato de resolução. Já um exercício pode ser resolvido usando um algoritmo ou
método conhecido. Essas atividades apresentam uma característica em comum:
“Em ambos os casos o seu enunciado indica claramente o que é dado e o que é
pedido” (PONTE, BROCARDO e OLIVEIRA, 2006, p. 23). A solução é conhecida
pelo professor e a resposta pode estar certa ou errada.
As atividades de investigação, no entender de Ponte, Brocardo e Oliveira
(2006), são diferentes por envolver situações mais abertas. A questão não está bem
definida inicialmente, cabendo a quem investiga (aluno) sua definição. Assim, os
resultados que se espera alcançar são imprevisíveis e os pontos de partida e de
chegada podem variar de aluno para aluno ou de grupo para grupo.
3.2 Fases da investigação
12
Na sala de aula, Ponte, Brocardo e Oliveira (2006) esclarecem que uma
atividade de investigação matemática desenvolve-se comumente em três fases:
introdução da tarefa, realização da investigação e discussão dos resultados.
A primeira fase representa o momento em que o professor propõe uma
atividade preparada antecipadamente para a turma, segundo o conteúdo que deseja
contemplar. Essa fase é primordial, pois dela depende o bom andamento da
investigação, pois o aluno precisa ter o perfeito entendimento da proposta, saber o
que é pedido e o que se espera dele no decorrer da atividade.
Após a fase introdutória começa a investigação propriamente dita. Essa fase
é o auge da metodologia. Se o aluno compreendeu a tarefa, conseguirá, de maneira
mais ou menos consistente, utilizar os processos esperados na atividade
investigativa como: “a exploração e formulação de questões, a formulação de
conjecturas, o teste e a reformulação de conjecturas e, ainda, a justificação de
conjecturas e avaliação do trabalho”. (PONTE, BROCARDO E OLIVEIRA, 2006, p.
29)
No decorrer das atividades de investigação o professor deve colher
informações sobre o desenvolvimento da investigação, procurando compreender o
pensamento dos alunos com perguntas e explicações dirigidas a eles. A partir disso,
deve adotar uma estratégia de interação, intervindo quando julgar necessário. Essas
ações de busca e de troca de informações é que nortearão a sequencia do trabalho.
As suas opções podem ir desde um simples averiguar se tudo está sendo bem conduzido, dando o sinal de que podem prosseguir sem problemas, até um apoio muito direto que interfere positivamente no trabalho dos alunos. Por outro lado, a avaliação do progresso da investigação pode, em certas circunstâncias, levar o professor a reequacionar determinadas decisões quanto ao desenrolar da aula. Assim, pode decidir, por exemplo, conceder mais tempo à realização da investigação, fazer uma pequena discussão intermediária com toda a turma ou, até mesmo, passar à discussão final. (PONTE, BROCARDO e OLIVEIRA, 2006, p. 49)
O fechamento do trabalho de investigação se dá com a discussão dos
resultados. Essa é a fase da partilha e conclusão do trabalho desenvolvido,
13
momento em que os alunos irão relatar aos colegas e ao professor as conclusões
sobre o seu trabalho e compartilhar os conhecimentos adquiridos. O professor pode
ajudá-los garantindo que sejam apresentados os resultados e processos mais
relevantes da investigação realizada, estimulando seus alunos a questionarem sobre
o trabalho dos colegas, destacando suas dúvidas e esclarecendo-as. Essa etapa é
de fundamental importância, pois é o momento em que os alunos compreenderão
melhor o sentido da investigação podendo desenvolver sua capacidade de se
comunicar matematicamente, refletir sobre seu trabalho e sobre seu poder de
argumentação.
3.3 Investigação X Geometria
Em se tratando de Geometria, Ponte, Brocardo e Oliveira (2006) enfatizam
que este é um ramo da Matemática propício para um ensino baseado na utilização
de situações exploratórias e investigativas. A sua exploração pode contribuir para
que a compreensão de fatos e relações geométricas vá além da simples
memorização e/ou utilização de técnicas.
O uso da investigação geométrica pode contribuir na percepção de uma
relação entre situações da realidade e situações matemáticas, no desenvolvimento
da visualização espacial e na utilização de diferentes formas de representação dos
objetos deixando evidentes as conexões matemáticas. “A realização de
investigações, proporciona, muitas vezes, o estabelecimento de conexões com
outros conceitos matemáticos e até extramatemáticos”. (PONTE, BROCARDO E
OLIVEIRA, 2006, p.51)
As tendências curriculares atuais consideram a geometria fundamental para
compreender o espaço em que vivemos e para perceber a matemática existente
num contexto. Com a realização de investigações pelos alunos será possível levá-
los a indagar, discutir e estabelecer relações por meio da Matemática, confrontando
conceitos e ideias com a realidade.
14
Ao trabalharem, por exemplo, com dobraduras na confecção de brinquedos, móbiles e personagens de uma história, assim como o software dinâmico tornam-se possíveis a discussão e a exploração de propriedades dos polígonos bem como a visualização dos objetos na tela do computador que oferece oportunidade de observar, usar e estabelecer relações espaciais. (SHEFFER, 2009, p.96)
Ideias importantes podem surgir na investigação realizada. Os alunos podem
observar, conjecturar e registrar essas ideias, considerando as experiências, os
dados colhidos e outros aspectos relacionados à experimentação. “O exercício da
observação, descrição, representação e análise, encontradas e destacadas,
favorece a formação de imagens, o que fundamenta o pensamento geométrico”.
(SHEFFER, 2009, p.96)
Portanto, as investigações matemáticas são experiências de aprendizagem
que devem ser desenvolvidas em paralelo com outras atividades. “A investigação
tem suas potencialidades, mas também os seus limites” (ABRANTES, 1999, p.22). É
útil para atingir um objetivo, mas pode não ser para outro e nem tudo pode se
aprender por investigação. O uso dessa metodologia envolve a participação efetiva
do professor na elaboração de tarefas que despertem o interesse dos alunos e exige
que ele esteja preparado para compreender e respeitar as estratégias apresentadas
pelos alunos, bem como auxiliá-los a discutir e refletir sobre os resultados
encontrados.
4. INFORMÁTICA NA EDUCAÇÃO
O uso de tecnologia está cada vez mais presente em atividades do cotidiano
e cresce velozmente em toda sociedade. A prática educacional também segue essa
tendência, pois atualmente grande parte das escolas de ensino fundamental e médio
possui um laboratório de informática.
As discussões sobre o uso de TICs - Tecnologias de informação e
comunicação - na educação apresentam-se de forma constante na literatura.
Diversas pesquisas assinalam as contribuições do uso do computador como recurso
15
no ensino da Matemática. Podemos citar, dentre esses estudos, os desenvolvidos
por Gravina (1996); Borba, (1996); Zulatto (2002) e Borba e Penteado (2010).
Percebe-se, portanto, uma preocupação dos pesquisadores sobre a forma de
utilização das TICs nas escolas, em particular, pelos professores em suas práticas.
Segundo a literatura, embora sejam muitas as potencialidades oferecidas pela
informática na Educação, a qualidade de sua utilização depende muito da
interpretação das propostas pelos professores e da forma como estes a colocarão
em prática. A inserção das TICs requer mudanças na forma de organização e
avaliação das aulas, especialmente no relacionamento com os alunos.
Para Zulatto (2002), vários fatores são fundamentais para que mudanças
aconteçam e o professor sinta-se seguro ao trabalhar com informática. Dentre esses
fatores estão que: as escolas deverão estar suficientemente equipadas com
computadores, softwares, acesso à internet; os professores precisam de formação
adequada; formação continuada para aprender a usar os recursos tecnológicos
disponíveis e também manter-se atualizados sobre o assunto; suporte técnico para
manutenção dos laboratórios e pedagógico para que o professor possa discutir suas
dificuldades e trocar experiências.
O professor, todavia, precisa sentir necessidade dessas transformações e
também se envolver com elas, pois a utilização desses recursos pode significar a
necessidade de assumir alguns riscos. Conforme Borba e Penteado (2010), quando
o professor escolhe fazer uso de tecnologia informática na sua prática docente, ele
estará saindo de uma zona de conforto e entrando numa zona de risco.
Sem o uso de TICs, nas aulas convencionais, o professor consegue manter o
controle de tudo com relação ao saber e o desenvolvimento da aula, encontrando-se
na zona de conforto. Mesmo não estando totalmente satisfeito com a situação pode
ser mais cômodo permanecer nela a enfrentar a zona de risco, onde pode passar
por situações inesperadas, incomuns à sua prática como: problemas técnicos,
variedade de caminhos que os alunos podem seguir ou dúvidas que nem sempre o
professor saberá responder prontamente. O conhecimento, que estava quase que
exclusivamente nas mãos do professor, pode passar a ser domínio dos alunos em
16
algum momento, pois é comum que alguns alunos tenham maior domínio de
informática que o professor.
Conforme salientam Borba e Penteado (2010), a tecnologia por si só não
mudará os rumos da educação, mas os professores, em seu conjunto, têm essa
força. É importante, para tanto, que cada professor desenvolva um espírito
investigador, de busca de inovações, deixando a zona de conforto - onde se sentem
aptos a desenvolver todas as atividades com domínio total sobre o assunto e onde
sabem todas as respostas - para entrar na zona de risco, onde o novo está em
evidência e onde há uma interação maior entre os indivíduos, em virtude da
diversidade de situações e dúvidas geradas em ambientes informatizados.
Não é mais possível ignorar que a utilização das TICs no ensino têm alterado
suas abordagens, a dinâmica das aulas e até as formas de pensar. A grande oferta
de novos produtos amplia as possibilidades de seu uso e muitos programas ou
softwares têm sido desenvolvidos para integrar o uso da informática à prática
pedagógica. Especificamente em Educação Matemática, aproveitando as
possibilidades de exploração e experimentação que esses sistemas oferecem,
alunos e professores vivenciam ambientes de aprendizagem extremamente
favoráveis à construção e reconstrução do conhecimento.
Atualmente, os ambientes informatizados, que oferecem condições para o
desenvolvimento da aprendizagem de Matemática, principalmente da Geometria,
são aqueles construídos dentro dos princípios de Geometria Dinâmica.
4.1 Geometria Dinâmica
O termo “Geometria Dinâmica” (GD) vem sendo usado há alguns anos na
área de Matemática e Educação Matemática. De acordo com Zulatto (2002), o termo
foi usado originalmente por Nick Jackin e Steve Rasmussen para ressaltar a
diferença entre softwares de Geometria e os de Geometria Dinâmica. Os que são de
GD possuem o recurso de mover os objetos construídos em tempo real.
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Uma das principais características dos softwares de Geometria Dinâmica é o
“arrastar”. Para Cowper (1994), citado por Zulatto (2002), o arrastar abre novas
possibilidades para o ensino de Geometria, tornando-o mais atrativo e acessível.
Arrastar é um pré-requisito essencial para atividades de construção interativa, que vão além de pura simulação de construção com compasso, régua e esquadro. Com o cursor, nós podemos mover livremente os objetos básicos de uma nova construção [...] e, deste modo, transformar a figura. (Schumann & Green, apud Zulatto, 2002, p. 22)
Os programas de GD permitem uma abordagem da geometria de modo
efetivamente dinâmico, possibilitando a manipulação das figuras construídas ou
alguns de seus elementos por meio do teclado ou do mouse, de modo que as
propriedades usadas na construção se preservam. “Essa característica permite
explorar diversas instâncias de um mesmo problema em busca da verificação de
uma conjectura”. (BRAVINO e RODRIGUES, 2002, p. 23)
Com os recursos dos softwares de GD os alunos podem realizar construções
geométricas que são feitas usualmente com régua e compasso com a vantagem de
torná-las rápidas e precisas. “Esse suporte tecnológico permite o desenho, a
manipulação e a construção de objetos geométricos, facilita a exploração de
conjecturas e a investigação de relações que precedem o uso do raciocínio formal”
(PONTE, BROCARDO e OLIVEIRA, 2006, p.83). Há, dessa forma, a possibilidade
de generalizações e comparações que seriam impossíveis com desenhos estáticos
no quadro de giz ou papel. Partindo da manipulação concreta “o desenho em
movimento”, os alunos passam para a manipulação abstrata chegando a níveis
mentais superiores, de dedução e rigor e, deste modo, podem entender melhor a
natureza do raciocínio matemático. (GRAVINA, 1996)
Gravina (1996) enfatiza que para a resolução de problemas abertos, ou seja,
quando o enunciado não é indicativo de resposta, o aspecto dinâmico do desenho
desencadeia um processo desafiador e interessante de ensino aprendizagem. As
explorações e estratégias que vão ocorrendo durante o trabalho são semelhantes às
investigações que acontecem no ambiente de pesquisa de um matemático
profissional e essa postura contribui para a formação de uma concepção
18
diferenciada sobre a Matemática, fugindo daquela usualmente construída ao longo
da vida escolar.
Neste contexto, a Geometria Dinâmica nos oferece uma proposta para
explorar os conceitos de Geometria clássica, no entanto, por meio de um programa
interativo. Esses softwares são comumente usados no ensino da Geometria
permitindo trabalhar com Geometria Euclidiana, Geometria Não-Euclidiana,
Geometria Analítica, além de funções.
O uso de GD no ensino de Geometria oportuniza boas possibilidades de
mudança podendo trazer vantagens para um aprendizado mais eficiente e
significativo. Um dos softwares que atualmente vem sendo objeto de muitas
pesquisas no âmbito da Educação Matemática é o software GeoGebra.
4.2 O que é o GeoGebra?
O GeoGebra é um software de geometria dinâmica para ser utilizado no
ensino da Matemática. Criado pelo professor Markus Hohenwater, da Universidade
de Salsburgo, na Áustria, em 2001, o GeoGebra conta com a colaboração de
programadores de todas as partes do mundo para melhorar o desempenho e
facilidade de utilização no ensino de Matemática.
Com esse software é possível realizar construções geométricas como as
realizadas no papel com compasso, régua e esquadro, mas com maior rapidez e
precisão. Por ser um sistema de Geometria Dinâmica permite realizar as
construções geométricas e movê-las dinamicamente pela tela do computador. Essa
característica possibilita transformar um único desenho em várias outras opções
preservando as características definidas em sua construção.
Além da janela geométrica ele possui também uma janela de informações
algébricas, onde cada construção geométrica apresenta sua representação
algébrica. Também é possível inserir equações e coordenadas diretamente num
campo de entrada. Assim, o GeoGebra oferece a possibilidade de trabalhar com
19
construções envolvendo Geometria, Álgebra e cálculo em tópicos relacionados ao
ensino, de forma bem simples.
Trata-se de um software gratuito, funciona na plataforma Linux das escolas
públicas do Paraná e está disponível em todas as máquinas dos laboratórios do
PRD( Paraná Digital). Sendo um software livre, alunos e professores podem instalar
gratuitamente em seus computadores a partir de seu endereço eletrônico:
www.geogebra.org. Também é possível trabalhar on line, acessando
HTTP://geogebra.at e clicando em “Iniciar geogebra” em qualquer computador
conectado à Internet.
O GeoGebra é um programa bastante intuitivo dotado de auto explicações
podendo ser utilizado por iniciantes em informática. Entretanto, para uma boa
utilização, o conhecimento matemático é necessário.
4.3 Apresentando o GeoGebra
No laboratório de informática do PRD( laboratório da escola) o software
GeoGebra na versão 3.0 é acessado com os comandos:
Aplicativos → Educação → Matemática → GeoGebra
Ao entrar no programa visualizamos na tela inicial do GeoGebra diferentes
áreas de trabalho: menu principal, barra de ferramentas, janela de álgebra, janela de
visualização e campo de entrada.
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Figura 1: Tela inicial do GeoGebra
Na parte superior temos a barra de menus - menu principal. Ao clicar em cada
um dos itens teremos opções de comandos que podem ser selecionados clicando-se
com o botão esquerdo do mouse ou via teclado conforme instruções indicadas:
• Arquivo
Figura 2: menu arquivo
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• Editar
Figura 3: menu editar
• Exibir
Figura 4: menu exibir
• Janela
Figura 5: menu janela
• Ajuda
Figura 6: menu ajuda
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• Opções
Figura 7: menu opções
• Ferramentas
Figura 8: menu ferramentas
Abaixo da barra de menus está a barra de ferramentas, composta por 10
ícones. As diversas opções de ferramentas possuem descrições para facilitar seu
uso.
Figura 9: barra de ferramentas
Para visualizar as ferramentas disponíveis em cada botão, clica-se no
triângulo localizado na parte inferior direita do ícone. Por exemplo:
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Figura 10: opções da janela 3
Para ativar cada função da barra de ferramentas, clica-se primeiro no ícone
depois na janela de visualização
À direita, na parte superior, fica disponível o nome da ferramenta selecionada
com a descrição da função.
A seguir, veremos as funções de cada botão da barra de ferramentas e alguns
de seus comandos.
4.3.1 Menu da janela 1
Para selecionar, mover e manipular objetos. Apertando o “ESC” do teclado também é possível obter
essa ferramenta. Para movê-lo, basta clicar sobre o objeto.
Clicar e segurar para girar objetos em torno de um ponto.
Clicar e segurar para girar objetos em torno de um ponto.
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4.3.2 Menu da janela 2
Novo ponto
Para criar pontos em um espaço. Criando-se um ponto ele recebe um nome “rótulo”
automaticamente (letras maiúsculas do nosso alfabeto). Clicar onde deseja colocar o ponto.
Interseção, de dois pontos
Para demonstrar os pontos de intersecção entre 2 objetos. Pode-se clicar nos dois objetos ou
diretamente sobre a intersecção e o ponto de intersecção aparece.
Ponto médio ou centro
Cria o ponto médio entre dois pontos. Clica-se diretamente sobre o segmento.
4.3.3 Menu da janela 3
Cria uma reta que passa por dois pontos já criados. Para isso,, basta clicar sobre eles
seguidamente. Podem-se criar os pontos com a ferramenta ativada clicando em dois pontos onde
se deseja a reta.
Mesmo caso da ferramenta anterior, os dois pontos clicados serão as extremidades do segmento.
Cria um segmento com comprimento definido. Clicar em um ponto para extremo e aparece uma
caixa de diálogo onde se deve digitar o comprimento desejado.
Se os pontos já foram criados, basta clicar sobre eles seguidamente. Clicar na origem da semirreta
e depois noutro ponto pertencente a ela.
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Para criar um vetor, clicar em dois pontos na área do trabalho.
Cria um vetor paralelo ao outro. Clicar num vetor e depois num ponto.
4.3.4 Menu da janela 4
Para construir reta perpendicular a outra reta, semirreta, segmento, vetor, eixo ou lado de um
polígono, clicar sobre o objeto ( reta, etc.) e em um ponto fora dele, onde queira que a
perpendicular passe.
Clicar sobre a reta, semirreta, segmento, vetor, eixo ou lado de um polígono e em um ponto
externo, onde deseja que passe a paralela.
Constrói a reta perpendicular que passa pelo ponto médio de um segmento. Clicar sobre os dois
pontos do segmento.
Para construir a bissetriz de um ângulo, clica nos três pontos que determinam o ângulo. Pode-se
também clicar sobre as semirretas que formam o ângulo.
Para construir retas tangentes a uma circunferência a partir de um ponto. Clicar em um ponto e
depois na circunferência.
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4.3.5 Menu da janela 5
Pode-se construir um polígono de quantos lados desejar. Cada clique será um vértice do polígono,
que se fecha com o último clique no primeiro ponto criado.
Para construir um polígono regular clica-se em dois pontos para criar um dos lados. O número de
lados (vértices) desejados deverá ser digitado na caixa que aparecerá
4.3.6 Menu da janela 6
Essa ferramenta constrói um círculo a partir de dois pontos.
Para construir uma circunferência definindo o centro e o raio, clicar em um ponto para o centro.
Aparecerá uma caixa, onde deverá ser digitada a medida do comprimento do raio, depois clica em
OK.
Clicar os dois pontos desejados. O semicírculo será traçado no sentido horário.
Clicar inicialmente sobre o centro e depois os dois pontos do arco. Se o sentido dos cliques for anti-
horário a construção será do menor arco, ao contrário, será construído o maior arco.
Com a ferramenta ativada, clicar os três pontos desejados.
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Clicar primeiro centro e, após, dois pontos da circunferência. Se o sentido dos cliques for anti-
horário a construção será do menor setor, no sentido horário será construído o maior setor.
Clicar os três pontos da circunferência.
4.3.7 Menu da janela 7
Clicar sobre os lados do ângulo. Clicando no sentido horário, será construído o menor ângulo e no
sentido anti-horário marcará o maior.
Marcam-se dois pontos e digita-se a medida desejada para o ângulo na janela que se abre.
Essa ferramenta mostra o comprimento de um segmento, a distância entre dois pontos ou o
perímetro de um polígono. Clicar no segmento, polígono ou círculo.
Essa ferramenta determina a área de um polígono, ou circunferência.
4.3.8 Menu da janela 8
Essa ferramenta mostra o reflexo (simetria) de um objeto em relação a uma reta. Clicar no objeto e
depois na reta.
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Essa ferramenta mostra o reflexo (simetria) de um objeto em relação a um ponto. Clicar no objeto a
ser refletido e depois no ponto.
4.3.9 Menu da janela 9
Clicar na área de trabalho, digita o texto na janela que se abre.
Clicar na tela onde se abre uma caixa de diálogo, nela você poderá selecionar a imagem que
deseja inserir.
4.3.10 Menu da janela 10
Com essa ferramenta acionada pode-se mover os eixos e os objetos nele contidos.
Clicando na área de trabalho com essa ferramenta acionada ampliam-se as figuras. Essa
ferramenta produz um zoom de aproximação.
Clicar para reduzir a figura. Essa ferramenta produz um zoom de afastamento.
Ferramenta usada para ocultar objetos. Clicar com a ferramenta selecionada sobre o objeto que
deseja ocultar, ele ficará destacado. Depois seleciona outra ferramenta ou aperta ESC do teclado.
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Clicar no rótulo (nome) que deseja esconder ou sobre o objeto do qual queira esconder o nome. Pode-se também exibir os rótulos que estão ocultos clicando com a ferramenta ativada, sobre o objeto .
Permite copiar as propriedades visuais de um objeto para outro (cor, tamanho, pontilhado). Clicar no objeto cujas propriedades deseja copiar e a seguir nos objetos que devem adotar essas propriedades.
Clicar sobre o objeto que deverá ser apagado.
A janela algébrica pode ser fechada, clicando, com o botão esquerdo do
mouse, no X que aparece em seu canto direito superior. Para visualizá-la
novamente, na barra de menus principais, clique em Exibir e selecione janela de álgebra. Quando a janela de Álgebra está visível, os objetos construídos na janela
de visualização são nomeados automaticamente.
Figura 10: tela GeoGebra- fechar janela algébrica
30
Observe, clicando em Exibir que a opção Eixo, estando ativada, aparecem
os eixos cartesianos, para retirá-lo basta desmarcar essa opção clicando em Eixo
Para que a janela geométrica fique quadriculada, no menu Exibir selecione
Malha.
Figura 12: tela GeoGebra- exibir malha
Figura 12: tela GeoGebra- exibir eixos
31
Essas mudanças também podem ser feitas clicando com o botão direito do
mouse em uma área em branco da janela de visualização. Com esse procedimento
aparece uma janela como a mostrada a seguir:
Figura 13: tela GeoGebra- janela
Para selecionar uma das opções clica com o botão esquerdo do mouse.
Ao clicar com o botão direito do mouse sobre um objeto construído (ponto,
reta, segmento, etc.), aparece uma janela de visualização com diversas opções
como mostra a figura:
Figura 14: tela GeoGebra- janela
Para apagar a última ação realizada, podemos usar o comando desfazer,
localizado no canto superior direito da tela ou Ctrl + Z no teclado.
Figura 15: tela GeoGebra- desfazer
32
5. PROPOSTA DE ATIVIDADES
Professor(a):
As atividades propostas são apenas sugestões. Elas podem ser ampliadas ou
adaptadas conforme a necessidade da turma e a série a ser aplicada. Todas as
atividades foram planejadas para serem realizadas no laboratório de informática da
escola, Laboratório do Paraná Digital – PRD.
Antes de dar início às atividades é necessário estabelecer regras claras e objetivas
para a utilização do laboratório e dos computadores; forma de relato das atividades
e entrega do material produzido.
Como forma de socializar os resultados, após o término de cada atividade os
resultados e dúvidas serão discutidos em plenária.
5.1 ATIVIDADE 1: Explorando o GeoGebra com conceitos de geometria
Conteúdos
• Introdução à geometria
• Ponto, reta e plano
• Pares ordenados
• Plano cartesiano
• Polígonos
• Soma dos ângulos internos do triângulo.
Objetivos
• Ambientar-se com o software GeoGebra.
• Explorar algumas ferramentas do GeoGebra, acessados via botão e comandos.
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• Recordar conceitos básicos de Geometria.
• Verificar experimentalmente a soma das medidas dos ângulos internos do triângulo.
Recursos:
• Laboratório de Informática
• Computadores com o software GeoGebra
• Data show
• Cadernos e lápis
Tempo previsto: 3 horas aula
Avaliação:
• Registros das observações.
• Análise dos registros das questões propostas.
• Observação e acompanhamento das equipes durante o desenvolvimento das
atividades.
Procedimentos:
1. No laboratório de informática, em duplas ou trios, de acordo com o número de
computadores em funcionamento, comece abrindo o software.
APLICATIVOS → EDUCAÇÃO → MATEMÁTICA → GEOGEBRA
2. Clique em Arquivo e depois em novo. (Sempre que o procedimento for
“clique” ou “clicar” indica clicar com o botão esquerdo do mouse)
34
3. Selecionar no menu Exibir na parte superior, os comandos: Malhas, eixos e
janela de álgebra. A tela de trabalho deverá ficar assim:
Figura 16: tela do GeoGebra
4. Com a ferramenta novo ponto (janela 1) ativada, marque os pontos
(2,3); (3,2); (3,4); (4,-3) e (0,4). Se errar, clique com o botão direito do mouse
sobre o ponto e depois em apagar ou usa o comando desfazer do canto
superior direito. Observe que denominação o Geogebra deu a esses pontos.
Na janela de álgebra, como estão indicados esses pontos? Anote sempre as
suas observações .
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5. Utilizando a opção mover (janela 1), selecione o ponto A e procure
movimentá-lo. O que acontece? Observe a janela de álgebra. Movimente
também os outros pontos.
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______________________________________________________________
6. Clique em arquivo e peça um documento novo. Salvar o arquivo na sua pasta,
com o nome pontos. Para salvar, clique em arquivo, escolha Gravar como... ou Gravar digite o nome da atividade e clique em Salvar(save)
7. De acordo com as orientações anteriores, determine o 4º vértice de um
quadrado que é formado pelos pontos A (-1;2), B(-1; -2) e C(3;2). Anote as
coordenadas do ponto encontrado.
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Qual é a área desse quadrado? Justifique.
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Como você pode determinar a área desse quadrado, usando o Geogebra?
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8. Abrir um documento novo, salvar o anterior.
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9. Reproduza o desenho seguinte, usando as ferramentas: segmento definido
por dois pontos e polígono .
10.Descreva o procedimento utilizado para fazer o desenho. Relate as
descobertas que você fez e também as dificuldades encontradas.
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______________________________________________________________
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11. Abra um documento novo. Salvar o anterior.
12. Clique em Exibir e desmarcar malha para trabalhar sem o quadriculado.
13. Marque um ponto em um lugar qualquer da janela de visualização.
14. Construa uma reta passando pelo ponto A. Clicar em reta definida por dois
pontos (janela 3), no ponto A e em outro ponto qualquer da área de
trabalho. Verifique o nome dado a essa reta, existe diferença entre o nome
Figura 17: tela GeoGebra- casa
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dado à reta e ao ponto? Justifique. Se achar necessário, construa retas
passando pelos outros pontos para testar.
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15. Utilizando a opção mover selecione o ponto A e procure movimentá-lo.
O que acontece? Observe também a janela de álgebra.
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16. Agora, faça outros dois pontos na área de trabalho. Ficarão nomeados como
C e D. Com a ferramenta segmento definido por dois pontos (janela 3)
trace um segmento de C até D. Clique em C e depois em D. Como ficou
nomeado esse segmento? Meça-o utilizando a ferramenta comprimento
(janela 7). Clique em C e depois em D. Observe o que aparece.
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17. Determine o ponto médio do segmento CD, usando ponto médio (janela
2). O que você observa? Relate o que é ponto médio de um segmento de
reta.
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18. Com a ferramenta mover (janela 7) ativada, clique sobre a reta a
construída anteriormente. O que aconteceu? Foi possível medir o
comprimento da reta? Justifique.
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______________________________________________________________
______________________________________________________________
19. Usando a ferramenta círculo dados centro e raio (janela 6), construir uma
circunferência de raio 5 cm.
20.Abra um documento novo. Salve o anterior.
21. Construa um triângulo qualquer. Usando a ferramenta polígono (janela 5)
e determine a medida dos seus ângulos internos usando a ferramenta ângulo
(janela 7). Clique nos segmentos em sentido horário e serão marcados
os ângulos α, β e y
22.Agora na caixa de entrada, digite a expressão:
Figura 18: tela GeoGebra- caixa de entrada e dê um Enter.
Usar os símbolos disponíveis da 2ª janela à direita. É só clicar sobre o
símbolo pretendido e ele aparecerá na janela de entrada.
Figura 19: tela GeoGebra-símbolos
39
Observe a janela de álgebra. Qual foi a soma encontrada?
______________________________________________________________
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23. Mover um dos vértices do triângulo. Observe o que acontece com as
medidas dos ângulos. Observe a soma indicada por na janela de
álgebra? O que você pode concluir?
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24. Relate quais foram as suas maiores dificuldades em relação ao uso do
software e aos conceitos matemáticos.
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5.2 ATIVIDADE 2: Teorema de Pitágoras
Conteúdos
• Triângulo retângulo
• Teorema de Pitágoras
Objetivos
• Entender que o teorema de Pitágoras é válido para qualquer triângulo
retângulo.
• Investigar a relação que há entre as áreas dos quadrados formados pela
medida dos catetos e o formado pela medida da hipotenusa.
• Reconhecer os elementos de um triângulo retângulo.
Recursos:
• Laboratório de Informática
• Computadores com o software
• Data show
• Cadernos e lápis
• Livros didáticos de Matemática para pesquisa.
Tempo previsto: 3 horas aula
Avaliação
• Registros das observações.
• Análise das conclusões das questões propostas.
• Observação e acompanhamento das equipes durante o desenvolvimento das
atividades.
41
Procedimentos:
1) Abra um novo arquivo e no menu Exibir, desmarque as opções malha e
eixos.
2) Usando a ferramenta segmento com comprimento fixo , traçar uma reta
com comprimento de 4 cm. Clicar em um ponto qualquer e digitar 4 na caixa
de diálogo que se abre, depois em aplicar.
3) Com a ferramenta reta perpendicular clicar no segmento construído e
no ponto A. O que são retas perpendiculares? Observe e anote.
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4) Com a ferramenta: segmento com comprimento fixo , clique no ponto
A, complete o quadro disponível com 3 e em aplicar. Clique no botão mover
para acioná-lo, depois clique no ponto C e mova-o para ficar
sobreposto à reta perpendicular.
5) Apague a reta perpendicular. Clique com o botão direito sobre a reta e
depois com o botão esquerdo em apagar.
6) Usando a ferramenta segmento definido por dois pontos, feche o triângulo,
clicando em B e C.
Que tipo de triângulo é esse? Que nomes recebem os lados desse
triângulo? Se julgar necessário meça os ângulos do triângulo usando a
ferramenta ângulo (janela 8).
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Renomeie os lados, do triângulo seguindo as convenções matemáticas, como
mostra a figura. Para renomear, clique com o botão direito do mouse sobre o
nome que deseje trocar e selecione a opção renomear . Aparecerá uma
janela onde você escreverá o novo nome. Clique em aplicar ou OK. Nesse
caso você deverá renomear a para b e b para a.
Figura 19: tela do GeoGebra-triângulo retângulo
7) Construir um quadrado em cada lado do triângulo. Com a ferramenta
polígono regular acionada, clique sobre os vértices do triângulo, dois
a dois, no sentido horário. Quando disponibilizar a caixa de diálogo, digite 4
e clique em OK.
8) Se quiser limpar um pouco os objetos construídos, clique com o botão
direito sobre o objeto (segmentos, quadrados) e com o botão esquerdo em
exibir rótulo. Repita esse procedimento para cada lado do triângulo e para
cada quadrado construído.
Observe a janela de álgebra antes e após apagar os nomes dos objetos.
Ficou diferente? Relate o que você observou.
Sendo a, b e c medidas dos lados do triângulo, como é possível representar
a área de cada um desses quadrados?
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______________________________________________________________
______________________________________________________________
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9) Usando , clique sobre a região interna de cada quadrado e
marque a área. Observe a área de cada quadrado e tente descobrir alguma
relação entre elas. Generalize as ideias a partir dos lados dos quadrados e
represente algebricamente. Essa relação será válida para outros triângulos?
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
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É possível, conhecendo a medida de dois dos lados de um triângulo,
calcular a medida do terceiro? Para melhor responder essas questões,
vamos fazer outro desenho.
10) Abrir uma nova janela. Clique em Arquivo e Nova janela ou use os
comandos Ctrl +N no teclado.
11)No menu Exibir, desmarque as opções Eixos e Malha.
12) Use a ferramenta semicírculo definido por dois pontos (Janela 6), faça
um semicírculo clicando em dois pontos.
13) Faça um ponto qualquer sobre o semicírculo (ponto C). Use a ferramenta
novo ponto (janela 2).
14) Faça um triângulo utilizando a ferramenta polígono (janela 5). Clique
em A, B, C e A. O triângulo ABC está pronto.
44
15) Meça os ângulos internos do triangulo, Disponibilize a ferramenta ângulo
(janela 8) e clique dentro do triângulo. Observe os ângulos
apresentados. Esse triângulo é retângulo?
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_______________________________________________________________
Movimente o ponto C sobre o semicírculo. Use a ferramenta mover
(janela 1). O que acontece? Movimente o ponto B. O que você observa?
Qualquer triângulo construído desse modo (a partir de um semicírculo) é
retângulo? Justifique.
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______________________________________________________________
_____________________________________________________________
16) Construa um quadrado em cada lado do triângulo. Use as mesmas
instruções do item 7. Esconda o semicírculo, clique sobre ele com o botão
direito e assim que abrir uma janela, clique em exibir objeto.
17) Determine a área de cada quadrado. Observe as instruções do item 9.
18) Movimente o triângulo a partir de um vértice e observe o que acontece.
Não esqueça de observar a janela de álgebra.
19) Agora volte ao item 9 e responda:
Existe alguma relação entre as áreas dos quadrados. Essa relação é válida
para qualquer triângulo? É possível, conhecendo a medida de dois dos
lados de um triângulo retângulo, calcular a medida do terceiro?
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____________________________________________________________
____________________________________________________________
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5.3 ATIVIDADE 3: Razões trigonométricas
Professor (a):
Usando comandos básicos do Software GEOGEBRA, os alunos irão construir um triângulo retângulo a partir de um semicírculo dado por dois pontos, pois utilizando quaisquer três pontos do semicírculo o triângulo confeccionado será retângulo.
Durante a construção do triângulo deverão ser explorados conceitos como: tipos de triângulos de acordo com as medidas dos lados e dos ângulos, elementos do triângulo retângulo (reconhecimento da hipotenusa e catetos)
O conteúdo RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS poderá ser trabalhado anteriormente e somente reforçado, ou introduzido com o uso do software GEOGEBRA. Com a movimentação do triângulo pelos pontos A ou B demonstrar que independente da alteração nas medidas dos lados, os valores da razão entre esses lados mantém-se constantes para o mesmo ângulo, definindo assim seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo. Em todos os momentos em que houver questionamentos na atividade, deverá ser feita a discussão com a classe e registro das observações.
Conteúdo:
• Razões Trigonométricas
Objetivos:
• Construir o triângulo retângulo e observar seus elementos.
• Ampliar e reduzir o triângulo confeccionado para observação dos elementos
que não se alteram.
• Compreender as razões trigonométricas: seno, cosseno e tangente.
Recursos:
• Laboratório de Informática
• Computadores com o software
• Data show
• Cadernos e lápis
• Livros didáticos de Matemática para pesquisa.
46
Tempo previsto: 3 horas aula
Avaliação:
• Registros das observações.
• Análise das conclusões das questões propostas.
• Observação e acompanhamento das equipes durante o desenvolvimento das
atividades.
Procedimentos:
1) Abra um novo arquivo e no menu Exibir, desmarque as opções malha e
eixos.
2) Use a ferramenta semicírculo definido por dois pontos (Janela 6), faça
um semicírculo clicando em dois pontos.
3) Faça um ponto qualquer sobre o semicírculo (ponto C). Use a ferramenta
novo ponto (janela 2).
4) Faça um triângulo utilizando a ferramenta polígono (janela 5). Clique em
A, B, C e A. O triângulo ABC está pronto.
5) Meça os ângulos internos do triângulo, ferramenta ângulo (janela 8) e
clique dentro do triângulo. Observe os ângulos apresentados. Que triângulo é
esse?
______________________________________________________________
______________________________________________________________
6) Movimente o ponto C sobre o semicírculo. Use a ferramenta mover
(janela 1)
O que acontece? Movimente o ponto B, ferramenta mover (janela 1), o que
você observa? Faça todos os registros das suas observações.
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7) Esconda o semicírculo, clique sobre ele com o botão direito e assim que abrir
uma janela, clique em exibir objeto.
8) Renomear o lado c1, clique sobre c1 com o botão direito e assim que abrir uma
janela clique em renomear , digite c e clique em OK (ficará mais fácil de
digitar somente c, no próximo passo).
9) Meça os lados do triângulo, ferramenta distância (janela 8) e clique
sobre cada um do lados. Aparecerá a medida de cada lado. Se a visualização
das medidas dos ângulos e dos lados não estiver boa é só organizá-las
usando a ferramenta mover .
10) Digite no campo de entrada (canto inferior esquerdo) m=sin(β) e dá um
Enter observe a janela algébrica.
11) Digite no campo de entrada n=b/c, Enter.
12) Por que os valores de m e n são iguais?Registre.
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
13) Movimente o ponto B, ferramenta mover (janela 1). O que você
observa? Fique atento à janela de álgebra.
14) Digite no campo de entrada p=cos( β ), Enter. Observe a janela algébrica.
15) Digite no campo de entrada q=a/c, Enter. Os valores de p e q são iguais?
_________________________________________________________________
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16) Digite no campo de entrada t=b/a. A que razão trigonométrica esse quociente
se refere?
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17) Agora digite r=(sin( β )/ cos( β ) , Enter e observe o que acontece.
Movimente o ponto B, ferramenta mover (janela 1), o que você observa?
Fique atento à janela de álgebra. Os valores de seno e do cosseno do ângulo
mudam? Por quê? Faça todos os registros das suas observações.
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5.4 ATIVIDADE 4: Verificação do teorema de Tales
Conteúdo:
• Teorema de Tales
Objetivos:
• Demonstrar o Teorema de Tales
Recursos:
• Laboratório de Informática
• Computadores com o software GeoGebra
• Data show
• Cadernos e lápis
49
• Calculadora
Tempo previsto: 3 horas aula
Avaliação
• Registros das observações.
• Análise das conclusões das questões propostas.
• Observação e acompanhamento das equipes durante o desenvolvimento das
atividades.
Procedimentos:
1) Clique em Exibir e desmarque Malha e Eixo.
2) Construir três retas paralelas na horizontal:
• Usando a ferramenta reta definida por dois pontos (janela 3 ), clique na
área de trabalho alinhar a reta horizontalmente e clique novamente.
• Ative novo ponto (janela 2 ) e marque um ponto em local abaixo da reta
construída, para determinar o local da outra reta paralela à primeira.
• Disponibilize reta paralela (janela 4), clicando primeiro no ponto C e
depois na reta construída. Está traçada uma reta paralela à primeira.
• Seguir os dois passos anteriores e traçar a 3ª paralela.
3) Construir duas retas transversais sobre as paralelas:
• Com a ferramenta reta definida por dois pontos (janela 3) ativada, clique
em dois pontos do plano de modo que interceptem as retas paralelas.
• Apague os pontos, clicando com o botão direito do mouse para disponibilizar
as ferramentas e depois com o esquerdo em exibir objeto.
50
• Mudar a cor das retas transversais para melhor visualização. Clique com o
botão direito sobre a reta, selecione Propriedades e Cor.
• Altere também a espessura das transversais. Agora em Propriedades e
Estilo. Aumente estilo para 5.
4) Marque todas as intersecções das retas:
• Com a ferramenta interseção de dois objetos (janela 2) ativada, clique
nas retas que se interceptam. Observe que ficaram marcados e nomeados os
pontos I, J, K, L, M e N.
5) Determine o comprimento dos segmentos das transversais. Com a
ferramenta comprimento ( janela 7) disponível, clique nos pontos de
início e fim de cada segmento.
6) Com a calculadora, determine o quociente entre as medidas dos segmentos
(razão): IJ / JK e LM/ MN. Anote os quocientes encontrados e relate o que
você observou.
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7) Use ( janela 1) e movimente a primeira das reta paralelas. Calcule a
razão novamente.
8) Repita o procedimento anterior mais uma vez e observe os resultados. O que
aconteceu?
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_________________________________________________________________
9) Abra uma janela nova e faça nova construção seguindo os passos dessa
atividade. Compare os resultados das razões encontradas.
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10) É possível encontrar o valor de um dos segmentos sabendo o valor dos
outros três? Tente explicar como você faria isso. Essa propriedade é válida
somente para três retas paralelas?
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11) Partindo dessas observações foi possível verificar o Teorema de Tales: “Um
feixe de Retas paralelas determina, sobre duas retas transversais, segmentos
proporcionais”?
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_________________________________________________________________
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6. REFERÊNCIAS ABRANTES, p. Investigações em Geometria em sala de aula. In: VELOSO, E.; PONSECA, H.; PONTE, J. P. (Orgs.). Ensino da Geometria no Virar do Milénio. Lisboa: DEFCUL, 1999.
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