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FII – QA
DF – UM
MRCP
Interacção gravitacional
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DF – UM
MRCP
Forças Fundamentais
• Força Nuclear Fraca (a força nuclear fraca tem um alcance muito curto, cerca de 10-15 m. é responsável pelos decaimento beta. Pensa-se que se trata de uma versão da força electromagnética)
• Força Nuclear Forte (Sabendo que um núcleo é 10 000 vezes menor do que o átomo e que as cargas positivas se repelem, é necessária a existência de um força forte que os mantenha juntos, de muito curto alcance)
• Força Electromagnética (A força electromagnética é responsável pela coesão da matéria mantendo os átomos juntos em posições fixas. O seu alcance vai teoricamente até ao infinito)
• Força Gravitacional (é a mais fraca de todas mas a mais geral de todo o Universo)
FII – QA
DF – UM
MRCP
O que é?
• …é talvez uma das generalizações elaboradas pela mente humana com maior alcance universal…
• Cada objecto do Universo atrai todos os outros objectos com uma força que para cada par de corpos é proporcional à massa de cada um e varia com o inverso da distância entre eles:
rr
mMGF ˆ
2
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MRCP
O Movimento dos Planetas
• Modelo geocêntrico de Ptolomeu
Claudios Ptolomeu (87-150)
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O Movimento dos Planetas
• Modelo geocêntrico de Ptolomeu
• Modelo de Copérnico
Nicolau Copérnico (1473-1543)
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DF – UM
MRCP
O Movimento dos Planetas
• Modelo geocêntrico de Ptolomeu
• Modelo de Copérnico• Tabelas de Tycho Brahe
Tycho Brahe
(1546-1601)
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MRCP
Johann Kepler (1571-1630)
O Movimento dos Planetas
• Modelo geocêntrico de Ptolomeu
• Modelo de Copérnico• Tabelas de Tycho Brahe• Leis de Kepler
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DF – UM
MRCP
O Movimento dos Planetas
• Modelo geocêntrico de Ptolomeu
• Modelo de Copérnico• Tabelas de Tycho Brahe• Leis de Kepler• Lei da Gravitação
Universal (sem esquecer Galileu)
Isaac Newton (1642-1727)
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• Lei das Órbitas – cada planeta move-se à volta do Sol segundo uma trajectória elíptica com o Sol a ocupar um dos focos
• Lei das Áreas – o vector raio a partir do Sol varre áreas iguais em intervalos de tempo iguais
Leis de Kepler
O Movimento dos Planetas
FII – QA
DF – UM
MRCP
• Lei das Órbitas – cada planeta move-se à volta do Sol segundo uma trajectória elíptica com o Sol a ocupar um dos focos
• Lei das Áreas – o vector raio a partir do Sol varre áreas iguais em intervalos de tempo iguais
• Lei dos Períodos – a raiz quadrada dos períodos de quaisquer dois planetas são proporcionais ao quadrado dos eixos maiores de suas respectivas órbitas
O Movimento dos Planetas
32 ~ rT
Leis de Kepler
FII – QA
DF – UM
MRCP
dtvmrm
dA
2
1
Verificação das Leis de Kepler
• Lei das Órbitas – forças centrais do tipo 1/r2 originam trajectórias cónicas
• Lei das Áreas -
r
dtv
dtvrdA
2
1
L
Lmdt
dA
2
1 F
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DF – UM
MRCP
Verificação das Leis de Kepler
• Lei das Órbitas• Lei das Áreas• Lei dos Períodos
r
vF
aMF P
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vM
r
MMG P
PS2
2
r
GMv S2
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MRCP
Verificação das Leis de Kepler
• Lei das Órbitas• Lei das Áreas• Lei dos Períodos
r
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T
rv
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2 4r
GMT
S
r
GM
T
rv S 2
222 4
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MRCP
2r
mMGFTL
Interacção gravitacional
TLF
LTF
mgFTL r
mv2
7.2 x 1023N = 1.9 x 1020N
Constante de Gravitação Universal = 6.67 x 10-11 Nm2kg-2
Implica que a força gravitacional entre dois corpos com 1 kg de massa separados por 1 m é 6.67 x 10-11 N
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MRCP
Interacção gravitacional
2r
mMGFLT LTF
TLF
Um corpo esférico de matéria atrai uma partícula
fora da esfera como se toda a sua massa estivesse
concentrada no seu centro (Shell Theorem)
i
LiL FF
FdF
Princípio da Sobreposição(4ª lei de Newton)
O efeito total corresponde à soma dos efeitos individuais
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Interacção gravitacional
LTF
Presença de uma Força (Conservativa, porquê?)
implica uma capacidade de realizar trabalho – Energia
Potencial
i
PiP EE
Princípio da Sobreposição
r
mMGEP
2r
mMGFLT
r
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• Não conseguiu explicar totalmente o movimento de precessão do periélio de Mercúrio;
• Não explicou porque é que a aceleração da gravidade não depende da massa ou composição de um corpo;
• Considerava a interacção gravitacional entre dois corpos instantânea, o que é inconsistente com a teoria da Relatividade Restrita.
Interacção gravitacionalFalhas da Lei da Gravitação Universal de Newton
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O campo GravitacionalO que é um campo?Um campo corresponde a uma situação física ou perturbação produzida no espaço por uma propriedade de um corpo.
Campo Gravitacional:
propriedade Massa
situação Física Força Gravitacional
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O campo GravitacionalComo o caracterizar?
• Campo Escalar – Potencial Gravitacional (Φ).
Grandeza escalar que caracteriza todos os pontos do campo gravitacional.
• Campo Vectorial – Intensidade do CampoGravitacional ( )
Grandeza vectorial que caracteriza todos os pontos do campo gravitacional.
G
r
MG
m
EP
rr
MG
m
Fˆ
2
G
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MRCP
O campo GravitacionalComo o representar?
Superfícies Equipotenciais – linhas que unem todos os pontos onde a grandeza escalar que representa o campo tem o mesmo valor.
Linhas de Campo – linhas tangentes à direcção do vector que representa o campo vectorial. Uma maior densidade das linhas corresponde a uma maior intensidade do campo.
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O campo GravitacionalComo o representar?
Terra
Percursos paralelos
Percursos convergentes
Espaço plano longe
da Terra
Espaço curvo perto
da Terra
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O campo GravitacionalQual a relação entre Φ e ?
Considerando que: (porquê?)
obtemos:
G
dr
dEF
-GGdr
d
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MRCP
Velocidade de Escapemimfm EEE 0
TpiCi r
MmGmvEE 2
2
1
00 pfcf EE
TT
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r
GMvv 2
2
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Medição da Constante de Gravitação Universal G
• Foi medida em 1798 por
• Muito difícil de medir
• Uma das primeiras a ser medida mas a menos precisa (1 parte em 10000)
Henry Cavendish (1731-1810)
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Massa Inercial e Massa Gravitacional
• Massa Inercial (mi) – propriedade dos objectos que mede a sua resistência à alteração da sua velocidade.
• Massa Gravitacional (mG) – propriedade dos objectos responsável pelas forças gravitacionais exercídas sobre outros objectos
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Massa Inercial e Massa Gravitacional
Gi mm Através da escolha conveniente das unidades fazemos:
(esta equivalência é conhecida com uma precisão de 1 parte em 1012)
Como consequência todos os corpos perto da Terra caem com a mesma aceleração
mmm Gi
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Imaginemos que eram diferentes:
A evidência experimental mostra que é igual para todos os corpos
Massa Inercial e Massa Gravitacional
2T
G
r
GMmF
im
Fa
i
G
T m
m
r
GMa
2
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1. Qual é a sua aceleração;
2. Qual a força exercida pela Terra.
Exemplo
Igor é um cosmonauta que se encontra na Estação Espacial Internacional em órbita à volta da Terra a uma altitude, h, de 520 km e com uma velocidade constante, v, de 7.6 km/s. A sua massa é de 79 kg. (considere RT=6.37x106 m)
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1. Determine o potencial gravitacional criado pela estrela para a altura inicial e à superfície.
2. Calcule o módulo da velocidade com que a maçã atingia a superfície da estrela.
3. Determine o módulo da intensidade do campo gravitacional G em função de r.
4. Considere agora que Newton estava na superfície desta estrela e tentava segurar a maçã. Qual seria o módulo da força necessária para segurar a maçã à superfície? (considere que a sua massa era de 100 g)
Mini-Teste 1Imagine que a lendária maçã de Newton era libertada, partindo do repouso, a uma altura de 2 m da superfície de uma estrela de neutrões.
M=1.5MSol = 3x1030 kg
R= 20 km (RSol=7x108 m)
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Mini-Teste 1Imagine que a lendária maçã de Newton era libertada,, partindo do repouso a uma altura de 2 m da superfície de uma estrela de neutrões.
1. Determine o potencial gravitacional criado pela estrela para a altura inicial e à superfície.
r
MG
kgJhr
MG
ei
16100007.1
kgJr
MG
ef
16100008.1
M=1.5MSol = 3x1030 kg
R= 20 km (RSol=7x108 m)
FII – QA
DF – UM
MRCP
Mini-Teste 1Imagine que a lendária maçã de Newton era libertada,, partindo do repouso a uma altura de 2 m da superfície de uma estrela de neutrões.
2. Calcule o módulo da velocidade com que a maçã atingia a superfície da estrela.
mimfm EEE 0 PfPiCiCf EEEE
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r
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2
1 22
smvv ff62 10415.120 M=1.5MSol = 3x1030 kg
R= 20 km (RSol=7x108 m)
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MRCP
Mini-Teste 1Imagine que a lendária maçã de Newton era libertada,, partindo do repouso a uma altura de 2 m da superfície de uma estrela de neutrões.
3. Determine o módulo da intensidade do campo gravitacional G em função de r.
kgNrr
MG 2
20
2
10002.2 G
M=1.5MSol = 3x1030 kg
R= 20 km (RSol=7x108 m)
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MRCP
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MmGF 10
24
20
2 10005.5102
10002.21.0
G
Mini-Teste 1Imagine que a lendária maçã de Newton era libertada,, partindo do repouso a uma altura de 2 m da superfície de uma estrela de neutrões.
4. Considere agora que Newton estava na superfície desta estrela e tentava segurar a maçã. Qual seria o módulo da força necessária segurar a maçã à superfície? (considere que a sua massa era de 100 g)
M=1.5MSol = 3x1030 kg
R= 20 km (RSol=7x108 m)