Fís. Semana 6

Leonardo Gomes(Arthur Vieira)

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06/03

08/03

13/03

15/03

Lançamento vertical e queda livre

13:30

Exercícios de lançamento vertical e queda livre

15:00

Lançamentos horizontal e oblíquo

13:30

Exercícios de lançamentos no vácuo

15:00

CRONOGRAMA

20/03

22/03

Cinemática vetorial

13:30

Movimento Circular Uniforme

15:00

27/03

29/03

Transmissão de movimento

13:30

Leis de Newton

15:00

Cinemática vetorial

20mar

01. Resumo

02. Exercícios de Aula

03. Exercícios de Casa

04. Questão Contexto

35Fí

s.

RESUMOOperações Vetoriais

Multiplicação de um escalar por um vetor

Supondo o vetor abaixo:

✓ Direção: Horizontal

✓ Sentido: Para direita

✓ Módulo ou intensidade: a = 1 unidade de medi-

da (u.m.)

[para simplificar vamos escrever o módulo do vetor

apenas como a.]

Calculando o módulo do vetor b tal que b=3a (o ve-

tor b é o resultado da multiplicação do número (es-

calar) 3 pelo vetor a).

Ex.:

Portanto, pode-se concluir que o resultado do mó-

dulo de b vale 3 unidades.

Obs.: É importante notar que quando se multiplica

um vetor por um número escalar, sua direção e sen-

tido não são alterados, porém caso o escalar seja ne-

gativo, a direção do vetor permanece a mesma, mas

seu sentido será invertido.

Adição de vetores ✓ Mesma direção e sentido

Neste caso é feita a soma algébrica dos vetores.

a = 1 u.m.

b = 2 u.m.

S = a + b = 3 u.m.

✓ Mesma direção e sentidos opostos

S = b – a = 1 u.m.

Obs.: Embora a conta seja uma conta de subtração

o desenho é o vetor soma. Isto acontece porque a

soma vetorial não representa uma soma escalar co-

mum.

✓ Direções perpendiculares

a = 3 u.m.

b = 4 u.m.

O vetor soma é dado pela junção dos vetores, sem-

pre colocando a ponta do primeiro vetor junto do fi-

nal do 2° vetor como na figura abaixo:

O vetor soma (S) será representado graficamente

como uma seta que liga o final do 1° vetor ao início

do 2° vetor.

Assim:

Isso é equivalente a fazer a regra do paralelogramo,

onde se traçam retas paralelas aos vetores.

Para calcular o valor do vetor S (seu módulo) é preci-

so usar o Teorema de Pitágoras:

S2 = a2 + b2

S2 = 9 + 16 = 25

S = 5 u.m.

36Fí

s.

✓ Direções quaisquer

Diferentemente do caso anterior, agora é útil usar a

Regra o Paralelogramo, uma vez que não é possível

aplicar Pitágoras.

Sendo assim, os vetores devem ser colocados de tal

forma que estejam unidos pela origem.

São traçadas retas paralelas aos vetores;

O vetor S será o vetor que tem como origem o en-

contro das origens dos demais vetores e como fim o

encontro das retas paralelas aos vetores.

Desta forma é possível calcular o módulo de S utili-

zando a fórmula a seguir:

S2=a2+b2+2. a.b.cos θ

Obs.: Decomposição Vetorial. Fazer a decomposi-

ção é projetar o vetor em suas componentes orto-

gonais (eixo x e y).

Usa-se o ângulo para escrever as componentes.

Subtração de vetoresA subtração de vetores pode ser entendida como a

soma de um vetor com seu sentido contrário.

a- b= a+(-b)

Agora, supondo um vetor D= a- b.

Unindo os vetores pela origem.

O desejado é o vetor D= a- b, este vetor pode-se ser

representado como sendo um vetor que vai do final

do vetor b ao final do vetor a.

37Fí

s.

EXERCÍCIOS DE AULA1. (Mackenzie-SP) A figura em escala mostra os vetores deslocamento de uma for-

miga, que, saindo do ponto A, chegou ao ponto B, após 3 minutos e 20 s.

O módulo do vetor velocidade média do movimento da formiga, nesse trajeto,

foi de:

a) 0,15 cm/s

b) 0,20 cm/s

c) 0,25 cm/s

d) 0,30 cm/s

e) 0,40 cm/s

2. Um ponto material executa um movimento circular uniforme com velocidade

igual a 10 m/s.

a) A variação da velocidade vetorial, entre as posições P1 e P2 indicadas no es-

quema, é um vetor cuja intensidade vale quantos metros por segundo?

b) Se a variação da velocidade do item anterior demorou 2 s, calcule a aceleração

vetorial média entre os pontos P1 e P2.

3. (Unicamp-SP) Os carros em uma cidade grande desenvolvem uma velocidade

média de 18 km/h, em horários de pico, enquanto a velocidade média do metrô

é de 36 km/h. O mapa abaixo representa os quarteirões de uma cidade e a linha

subterrânea do metrô.

38Fí

s.

4. Sobre uma superfície plana, um móvel descreve a trajetória de segmentos circu-

lares desenhada abaixo em 10 s.

Deter mine aproximadamente, em m/s, os mó dulos de suas velocidades entre os

pontos A e B:

a) escalar média;

b) vetorial média.

(ITA-SP) Na figura, um ciclista percorre o trecho AB com velocidade escalar mé-

dia de 22,5 km/h e, em seguida, o trecho BC de 3,00 km de extensão. No retor-

no, ao passar em B, verifica ser de 20,0 km/h sua velocidade escalar média no

percurso então percorrido, ABCB. Finalmente, ele chega em A perfazendo todo

o percurso de ida e volta em 1,00 h, com velocidade escalar média de 24,0 km/h.

Assinale o módulo v do vetor velocidade média referente ao percurso ABCB.

5.

a) Qual a menor distância que um carro pode percorrer entre as duas estações?

b) Qual o tempo gasto pelo metrô (Tm) para ir de uma estação à outra, de acordo

com o mapa?

c) Qual a razão entre os tempos gastos pelo carro (Tc) e pelo metrô para ir de uma

estação à outra, Tc / Tm? Considere o menor trajeto para o carro.

39Fí

s.

a) v= 12,0km/h

b) v = 12,00 km/h

c) v = 20,0 km/h

d) v = 20, 00 km/h

e) v = 36, 0 km/h

(UERJ) Um piso plano é revestido de hexágonos regulares congruentes cujo lado

mede 10 cm.

Na ilustração de parte desse piso, T, M e F são vértices comuns a três hexágonos

e representam os pontos nos quais se encontram, respectivamente, um torrão de

açúcar, uma mosca e uma formiga.

Ao perceber o açúcar, os dois insetos partem no mesmo instante, com veloci-

dades constantes, para alcançá-lo. Admita que a mosca leve 10 segundos para

atingir o ponto T. Despreze o espaçamento entre os hexágonos e as dimensões

dos animais.

A menor velocidade, em centímetros por segundo, necessária para que a formi-

ga chegue ao ponto T no mesmo instante em que a mosca, é igual a:

a) 3,5

b) 5,0

c) 5,5

d) 7,0

6.

1.

EXERCÍCIOS PARA CASA(UFCE) Um cidadão está à procura de uma festa. Ele parte de uma praça, com a

informação de que o endereço procurado estaria situado a 2 km ao norte. Após

chegar ao referido local, ele recebe nova informação de que deveria se deslocar

4 km para o leste. Não encontrando ainda o endereço, o cidadão pede informa-

ção a outra pessoa, que diz estar a festa acontecendo a 5 km ao sul daquele pon-

to. Seguindo essa dica, ele finalmente chega ao evento. Na situação descrita, o

módulo do vetor deslocamento do cidadão, da praça até o destino final, é:

a) 11 km

b) 7 km

c) 5 km

d) 4 km

e) 3 km

40Fí

s.

3.

2. (PUCCamp-SP) No lançamento de um bumerangue, este afasta-se até a distân-

cia de 32 m e, após 8,0 s, volta onde está o dono que o atira. A velocidade vetorial

média nesse intervalo de tempo tem módulo:

a) 16 m/s

b) 8,0 m/s

c) 4,0 m/s

d) 2,0 m/s

e) zero

(Puc-rio) Os ponteiros de hora e minuto de um relógio suíço têm, respectiva-

mente, 1 cm e 2 cm. Supondo que cada ponteiro do relógio é um vetor que sai do

centro do relógio e aponta na direção dos números na extremidade do relógio,

determine o vetor resultante da soma dos dois vetores correspondentes aos pon-

teiros de hora e minuto quando o relógio marca 6 horas.

a) O vetor tem módulo 1 cm e aponta na direção do número 12 do relógio.

b) O vetor tem módulo 2 cm e aponta na direção do número 12 do relógio.

c) O vetor tem módulo 1 cm e aponta na direção do número 6 do relógio.

d) O vetor tem módulo 2 cm e aponta na direção do número 6 do relógio.

e) O vetor tem módulo 1,5 cm e aponta na direção do número 6 do relógio.

4. (MACKENZIE–SP) Com seis vetores de módulos iguais a 8u, construiu-se o he-

xágono regular abaixo.

O módulo do vetor resultante desses seis vetores é igual a:

a) 64u

b) 32u

c) 16u

d) 8u

e) zero

5. (UNICAMP) A figura abaixo representa um mapa da cidade de Vectoria o qual

indica a direção das mãos do tráfego. Devido ao congestionamento, os veículos

trafegam com a velocidade média de 18 km/h. Cada quadra desta cidade mede

200 m por 200 m (do centro da uma rua ao centro da outra rua). Uma ambulância

localizada em A precisa pegar um doente localizado bem no meio da quadra em

B, sem andar na contramão.

41Fí

s.

6. (ITA-SP) A figura mostra uma pista de corrida A B C D E F, com seus trechos re-

tilíneos e circulares percorridos por um atleta desde o ponto A, de onde parte do

repouso, até a chegada em F, onde para. Os trechos BC, CD e DE são percorri-

dos com a mesma velocidade de módulo constante.

Considere as seguintes afirmações:

I. O movimento do atleta é acelerado nos trechos AB, BC, DE, e EF.

II. O sentido da aceleração vetorial média do movimento do atleta é o mesmo

nos trechos AB e EF.

III. O sentido da aceleração vetorial média do movimento do atleta é para sudes-

te no trecho BC, e para sudoeste, no DE.

a) apenas a I.

b) apenas a I e II.

c) apenas a I e III.

d) apenas a II e III.

e) todas.

a) Qual o menor tempo gasto (em minutos) no percurso de A para B?

b) Qual é o módulo do vetor velocidade média (em km/h) entre os pontos A e B?

7. (ITA-SP) Considere hipoteticamente duas bolas lançadas de um mesmo lugar ao

mesmo tempo: a bola 1, com velocidade para cima de 30 m/s, e a bola 2, com ve-

locidade de 50 m/s formando um ângulo de 30° com a horizontal. Considerando

g = 10 m/s2, determine a distância entre as bolas no instante em que a primeira

alcança sua máxima altura.

42Fí

s.

QUESTÃO CONTEXTO

No dia 11 de março de 2011, o Japão foi sacudido por terremoto com inten-

sidade de 8,9 na Escala Richter, com o epicentro no Oceano Pacífico, a 360

km de Tóquio, seguido de tsunami. A cidade de Sendai, a 320 km a nordeste

de Tóquio, foi atingida pela primeira onda do tsunami após 13 minutos.

(O Estado de S. Paulo, 13.03.2011. Adaptado.)

Baseando-se nos dados fornecidos e sabendo que cos α ≈ 0,934, em que α é o

ângulo Epicentro-Tóquio-Sendai, e que 28 ⋅ 32 ⋅ 93,4 ≈ 215 100, determine a ve-

locidade média, em km/h, com que a 1.ª onda do tsunami atingiu até a cidade

de Sendai.

43Fí

s.

GABARITO

01.Exercícios para aula1. c

2. a) 10√2 m/s b) 5√2 m/s²

3. a) 700 m b) 50 s c) 2,8

4. a) 0,04π m/s b) 0,08 m/s

5. a

6. d

02.Exercícios para casa1. c

2. e

3. a

4. b

5. a) 3,0 min b) 10 km/h

6. d

7. (17.100)½ m