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FACULDADE GUARAÍ – CURSO AGRONOMIA

2010.1

ísica Geral I

Aula 2

Módulo da Disciplina

E L A B O R A Ç Ã O : P R O F . M S C D A V I S I L V A D A C O S T A

Faculdade Guarai - FAG



Faculdade Guarai – FAG. Apostila de Física Geral 1. Prof. MSc Davi Silva da Costa.

Aula2

A mecânica estuda o movimento dos objetos e as relações com as forças que os originam. É

comum no estudo deste tópico a divisão do assunto em: Cinemática (descrição dos

movimentos) e Dinâmica (descrição das forças atuantes). Alguns exemplos comuns

estudados são: o movimento de seres vivos e o movimento de objetos em lançamento.

2.1. Cinemática da Partícula

Para facilitar a formulação que descreve os movimentos, primeiramente definiremos

o que é partícula. Partícula é um objeto que suas dimensões, rotações e vibrações não

estão envolvidas no movimento. Podem ser considerados como partículas até mesmo a

Terra e o Sol.

Os corpos que apresentam apenas o movimento de translação podem ser

considerados como partículas, pois no movimento de translação, o deslocamento de todos

os pontos que compõe o objeto são iguais entre si.

2.2. Vetor Posição e Velocidade Média

A posição de uma partícula é bem caracterizada pelo vetor posição. O vetor

deslocamento nada mais é do que a distância percorrida pela partícula desde a posição

inicial (vetor posição inicial) até a posição final (vetor posição final), independendo da

trajetória percorrida. A velocidade de uma partícula é a razão segundo o qual sua posição

varia com o tempo. A Figura 1 ilustra estes conceitos.

2. Revisão Cinemática Escalar




Aula2 Figura 1. Gráfico para demonstração da velocidade média.

Na Figura 1 a partícula no instante t1 se encontra no ponto A, e sua posição no plano

0xy é definido pelo vetor1

r

. Depois de certo período no instante t2, ela se encontra no

ponto B, com posição definida pelo vetor2

r

.

O vetor deslocamento é definido como sendo a mudança da posição da partícula de

21 r r

, sendo assim representado por 12 r r r

. O intervalo de tempo empregado neste

deslocamento é 12 t t t

Portanto a velocidade média da partícula, neste intervalo de tempo é definida por:

)escalar (tempo

)vetor (todeslocamen

t

r vvm

Como a velocidade é um vetor, ela possui módulo „direção e sentido‟. A direção e

sentido são os mesmos de r

; o módulo é a razão de t r

, e suas unidades são dadas

em m/s no sistema internacional (S.I.) ou em geral, km/h.A velocidade média do deslocamento, não dá detalhes do caminho percorrido entre

A e B. Envolve apenas o deslocamento e o intervalo de tempo total. Seria interessante

conhecermos com maiores detalhes o deslocamento. Assim sendo estudaremos a

velocidade instantânea do movimento.




Aula2 2.3. Velocidade Instantânea

A velocidade instantânea nada mais é do que a velocidade da partícula a cada

instante. Considere na Figura 2 uma trajetória arbitrária. Os deslocamentos vetoriais diferem

em direção, sentido e seus módulos diminuem sucessivamente. Os intervalos de tempoi f t t t , com o decorrer do tempo, também diminuem.

Figura 2. Ilustração que ao diminuir o tempo, o vetor deslocamento fica cada vez mais próximo da

tangente da trajetória.

O processo de aproximação da posição final (f ) à posição inicial (i), corresponde a um

processo de limite. Observa-se que o módulo do vetor deslocamento diminui e a direção

tende para uma direção limite, que corresponde a direção da tangente à trajetória da

partícula no ponto. O valor limite de t r

é chamado de velocidade instantânea da

partícula, sendo dado por:

t

r V lim

0t

O limite det

r

para t0, é obtido pelo cálculo da diferencial, e corresponde a

derivada de

r em relação a t :




Aula2

ji ji ji yx0t

vvdt

dy

dt

dx)yx(

dt

d

dt

r d

t

r v lim

válida para o movimento em duas dimensões. A partir do cálculo diferencial dizemos que ascomponentes de velocidade ficam determinadas a partir de derivadas das expressões de

x(t) e y(t). Considerando o movimento em uma dimensão, e supondo o deslocamento

apenas em Ox, teremos que 0v y , e portanto ixvv

(movimento unidimensional).

2.4. Aceleração

Aceleração médiam

a

de um objeto em determinado intervalo de tempo t é a

variação do vetor velocidade do objeto dividida pelo intervalo de tempo:

t

va m

A aceleração instantânea de define como o limite da aceleração média quando o

intervalo de tempo tende a zero:

ji ji ji yx

yxyx

0tm

0t

aadt

dv

dt

dv)vv(

dt

d

dt

vd

t

vaa limlim

.

Este processo geométrico de limite é ilustrado na Figura 3.

Figura 3. Aceleração instantânea e o processo de limite, quando o intervalo de tempo tende a zero.




Aula2

Observa-se na Figura 3, que quando um objeto segue a trajetória curvilínea, a

aceleração do objeto é orientada para o lado côncavo da trajetória. Na mesma figura, a

partícula se desloca ao longo de xOy. No instante "i" a posição em relação a origem á dada

pelo vetor

r . Os vetores i e j são os vetores unitários correspondentes as direções x e y.

yj xi r

Portanto: jvivvdt

dyj

dt

dxi

dt

r dV yx

, onde

dt

dxvx

e

dt

dyVy

, são os

componentes escalares do vetor v

. No mesmo instante "i" a velocidade da partícula é dada

pelo vetor v . O vetor aceleração é dado por:

ji ji yx

yx aaadt

dv

dt

dv

dt

vda

, onde

dt

dva x

x e

dt

dva

y

y , são as

componentes escalares do vetor a

.

2.4.1. Aceleração Constante

A aceleração constante da velocidade nada mais é do que a variação da velocidade

com o tempo uniforme em módulo, direção e sentido. Se a velocidade não variar com o

tempo, 0v

e consequentementem

a

= 0. Quando o movimento ocorre com aceleração

constante, o aceleração média é igual a aceleração instantânea, sendo chamado movimento

uniformemente variado (MUV). Podemos estabelecer expressões para MUV que descrevam

como é a variação da velocidade ( v

) e do espaço ( r

) em relação ao tempo.

Podemos escrever:

t

va m

, se vvf

, 0i vv

, ttf e 0t

i , então:

tavv 0

, em termos de componentes: ji )t.av()t.av(v yy0xx0 .

A equação para o vetor posição ( r ), encontramos achando-se a expressão cuja

derivada conduz a expressão para a velocidade:




Aula2

2

00 ta2

1

tvr r

, cujas componentes são, para a direção "x":

2

xx00 ta2

1

tvxx

e

direção "y": 2

yy00 ta2

1tvyy .

Podemos também encontrar a mesma expressão para a posição com o seguinte

procedimento, já conhecido:

tvr r t

r r

t

r v

t

r v m0

0mm

, e:

atvvtavvt

vva

t

vv

t

va 00

00

.

Como no MUV a aceleração média é igual a aceleração instantânea, podemos

escrever:

2

vvv 0

m

, que substituída na primeira expressão, vem:

2

at

2

tv

2

tvr r t.

2

atvt.

2

vr r t

2

vvr r

200

000

00

0

, ou na forma

vetorial como:2

tatvr r

2

00

. Separando em suas componentes:

direção x:2

tatvxx

2

xx0o ; direção y:

2

tatvyy

2

y

y0o . Estas equações

demonstram que os movimentos em "x" e "y" são mutuamente independentes, ou sejamovimento pode ser considerado como dois movimentos unidimensionais simultâneos

com aceleração constante.




Aula2

2.5. Movimento de um Projétil

Observando o movimento de lançamento de um projétil após ter sido lançado ou

atirado. E a partir desta análise, estaremos adquirindo conhecimento para resolver outros

problemas semelhantes. Considerando que a aceleração é constante, e podemos desprezar

efeitos de resistência do ar, temos:

0a x e 2

y s/m8,9ga . Supondo que o projétil seja lançado de modo que sua

velocidade inicial faça um ângulo "" com a horizontal, temos as seguintes componentes da

velocidade (Figura 4):

oox cosvv

egtsenvv

ooy

.Figura 4. Decomposição da velocidade inicial de um projétil.

Se a origem do sistema de referência coincide com a posição inicial, temos:

t)cosv(x oo e 2

oo gt2

1t)senv(y

Portanto o movimento "x" pode ser encarado como um movimento unidimensional

com velocidade constante (M.U.), e o movimento "y" como um movimento unidimensional

com aceleração constante (M.U.V.) (Figura 5). Podemos determinar a equação da trajetória

de um projétil eliminando o tempo entre as expressões para "x" e "y", resultando em:




Aula2 2

2

oo

o x)cosv(2

gx)tg(y

A Figura 5 ilustra a trajetória parabólica indicada pela equação anterior.

Figura 5. Trajetória parabólica de um projétil desprezado os efeitos de resistência do ar.

2.6. Movimento Circular

Esse movimento corresponde ao de uma partícula em trajetória circular com

velocidade escalar constante e com variação em sua direção. Como a velocidade de um

objeto em movimento circular uniforme é constante, esta velocidade nada mais é a

distância percorrida ao longo do círculo, dividida pelo tempo necessário para este percurso.

Sendo "R" o raio do círculo temos:

T/R 2v , onde "T" é o período do movimento.

A aceleração de um objeto que exibe uma trajetória circular tem uma componenteexibida para o lado côncavo da trajetória, e como a velocidade é constante, a

é

perpendicular a v

.

A Figura 6 exibe dois triângulos, um de vetores posição e outro de vetores

velocidade. Tanto para um intervalo de tempo, t > 0, quando no limite em que t tende a

zero (t0) a aceleração dirige-se para o centro do círculo, nos mesmo sentido do vetor

velocidade. Assim, a aceleração de um objeto em movimento circular uniforme é em

direção ao centro do círculo.




Aula2 Figura 6. Vetores velocidade e posição num movimento circular uniforme.

O módulo da aceleração vale:

t

vlima

0t

, através da semelhança de triângulos indicados na Figura 7, podemos

escrever:

t

r lim

R

v

t

R /r vlim

t

vlima

0t0t0t

, onde pussemos em evidência v/R, porque nem

a velocidade, nem o raio da circunferência depende do tempo. No limite quando t0,

temos:

c

2

0ta

R

vv.

R

v

t

r lim

R

va

, como esta aceleração esta dirigida para o centro do

círculo, é chamada aceleração centrípeta (voltada para o centro), e indicada por ac.

Como a velocidade e o raio são constantes, o módulo da aceleração centrípeta também oé; porém a aceleração centrípeta tem direção variável.

Como T/R 2v , o módulo da aceleração pode ser escrito como:

2

22

cT

R 4

R

)T/R 2(a

. No S.I.

2cs

m]a[ .




Aula2 Exercícios de Fixação:

1) Quantas horas, minutos e segundos há em 17,52 h?

2)

Subtraia 2h 15 min 32s de 10 h 07 min 20s.

3)

Calcule o triplo de 3h 46 min 21s.

4) Se uma planta cresce 1,2cm por dia, quantos metros ela cresce em 7 semanas e 1 dia?

5) Um trator passa pelo km 30 de uma estrada às 6 h e às 9 h e 30 min passa pelo km 240.

Qual a velocidade escalar média desenvolvida pelo trator neste intervalo de tempo?

6) Um carro de passeio percorre 30 km e 20 min. Determine sua velocidade escalar média

neste percurso. Qual terá sido a velocidade escalar média do carro se, durante o percurso,

tivesse parado 10 min para o abastecimento do combustível?

7)

Um ônibus percorre a distância de 480 km, entre Santos e Curitiba, com a velocidade

escalar média de 80 km/h. DE Curitiba a Florianópolis, distantes 300 km, o ônibus

desenvolve a velocidade escalar média de 75 km/h. Qual a velocidade escalar média do

ônibus entre Santos e Florianópolis?

8) A velocidade escalar média de um móvel durante a metade de um percurso é 30 km/h

e esse mesmo móvel tem a velocidade escalar de 10 km/h na metade desse mesmo

percurso. Determine a velocidade escalar média do móvel no percurso total.

9) Uma carreta de 20 m de comprimento carregando soja demora 10 s para atravessar

uma ponte de 180 m de extensão. Determine a velocidade escalar média da carreta no

percurso.10)

Um automóvel passa pelo marco quilômetro 25 km de uma rodovia às 13 h e pelo

marco 140 km às 15 h. Calcule a sua velocidade média em km/h.

11) Transforme:

a) 90 km/h em m/s

b) 10 m/s em km/h

c) 36 km/h em m/s

d) 18 m/s em km/h

e)

134 km/h em m/sf) 190 m/s em km/h

12) Um automóvel apresenta velocidade de 72 km/h. Expresse sua velocidade em m/s.

13) Um ponto material em movimento em relação a um determinado referencial e sobre

uma trajetória retilínea tem posições em função do tempo indicadas na tabela:

t(s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8

s(m) 5 8 11 14 17 20 23 26 29

Pede-se:




Aula2 a) Classificar o movimento em progressivo ou retrógado

b)

Sua posição inicial

c) O deslocamento no intervalo de tempo de 1s a 5s

d) A velocidade média no intervalo do item anterior.

14)

Um ponto material em movimento retilíneo em relação a um determinado referencialtem sua posição em função do tempo indicada na tabela:

t(s) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

s(m) -2 7 16 25 34 43 34 25 16 7 -2Calcule:

a) Sua posição inicial

b) Classificar o movimento em progressivo ou retrógrado nos intervalos de 0 a 10s e

10s a 20s

c)

O deslocamento e o caminho percorrido no intervalo de 4s a 16sd) A velocidade média nos intervalos de 0 a 8s e 12s a 18s

15) Um móvel em movimento retilíneo em relação a um determinado referencial tem sua

posição em função do tempo indicada pela tabela abaixo:

t(s) 0 2 4 6 8 10 12 14 16

s(m) 80 60 40 20 0 -20 -40 -60 -80Calcule:

a) Sua posição inicial

b)

Classificar o movimento em progressivo ou retrógradoc) O deslocamento do móvel no intervalo de 0 a 12s

d) A velocidade média do móvel no intervalo de 0 a 16s

16) Um ponto material em relação a um determinado referencial tem velocidade, em

função do tempo, indicada na tabela

t(s) 0 1 2 3 4 5 6 7

s(m) 3 5 7 9 11 13 15 17Pedem-se

a)

A velocidade inicial do ponto materialb) A aceleração média do ponto material no intervalo de 1s a 5s

c) Classificar o movimento em acelerado ou retardado

17) Um automóvel faz uma viagem de 240 km. Metade do percurso é feita com

velocidade média de 60 km/h e a outra metade, com velocidade média de 40 km/h. Qual foi

a sua velocidade média no percurso?

18) Uma pessoa do alto de um penhasco, a certa altura em relação ao solo, lança uma

bola, verticalmente para cima, com velocidade inicial (em módulo) u e depois lança outra




Aula2 bola, verticalmente para baixo com a mesma velocidade inicial (em módulo). Alguma delas

chegará ao solo com maior velocidade que a outra? Despreze a resistência do ar.

19) A velocidade típica de uma bala, ao deixar o cano de um rifle, é de cerca de 700 m/s.

Estime a aceleração da bala enquanto está no cano do rifle.

20)

Suponha que um trem de metrô tenha uma aceleração constante de 2,5 m/s2 tantoquando sua velocidade está aumentando ou diminuindo; a distância entre 2 estações é de

500 m. Qual o tempo mínimo necessário para que o trem complete sua viagem? b) Qual a

velocidade máxima atingida durante o percurso?

21) Um automóvel faz uma ultrapassagem a 100 km/h. Entretanto, um outro automóvel

vem em sentido contrário a 100 km/h. Suponha que os dois motoristas acionam

simultaneamente os freios e os dois automóveis passem a sofrer uma desaceleração

constante de módulo igual a 6 m/s2. Determine a distância mínima entre os automóveis no

início da freada para que não haja colisão entre os veículos.22) Uma pedra é lançada com velocidade inicial de 17 m/s e ângulo de projeção 58 o. (a)

Estabeleça uma expressão para o tempo necessário no qual a pedra atinge a altura máxima;

(b) determine o tempo para este caso; (c) encontre a expressão e calcule a altura máxima.

23) Uma bola de golfe é lançada com velocidade inicial de 14 m/s e ângulo de projeção

49o. (a) Que distância percorrerá a bola até tocar no chão. (b) Escreva a expressão geral para

calcular o alcance de um objeto em lançamento; (c) quais as hipóteses que validam a

expressão do alcance.

24)

Uma bola se movimenta horizontalmente para fora da superfície de uma mesa a 12,0m de altura. Atinge o solo a 15,0 m da borda da mesa, na horizontal. (a) Quanto tempo a

bola ficou no ar? (b) Qual era sua velocidade no instante em que deixou a mesa?

25) Você atira uma bola com uma velocidade de 25 m/s, num ângulo de 40o acima da

horizontal, diretamente contra uma parede. A parede está a 22,0 m do ponto de

lançamento. (a) Quanto tempo a bola fica no ar antes de bater na parede? (b) a que

distância acima do ponto de lançamento a bola bate na parede? (c) Quais as componentes

horizontal e vertical da velocidade quando ela bate na parede? (d) Ela ultrapassa o ponto

mais alto de sua trajetória antes de bater na parede?26) Uma bola é jogada do solo para o ar. A uma altura de 9,1 m, a velocidade é v = 7,6 i

+ 6,1 j (m/s). (a) qual a altura máxima alcançada pela bola? (b) Qual será a distância

horizontal alcançada pela bola? (c) Qual a velocidade da bola (módulo e direção), no

instante em que bate no solo?

27) Joga-se uma bola de uma janela com velocidade inicial de 31 m/s e ângulo de

projeção de 24o. O ponto de lançamento está a 8,2 m acima do solo plano. (a) Qual a

distância horizontal entre o ponto de lançamento e o ponto em que a bola atinge o solo?

(b) Qual a distância em linha reta entre estes dois pontos?




Aula2

3.1. Movimento retilíneo

Vivemos num mundo que tem com uma das principais características: o movimento.

Mesmo corpos que aparentemente estão em repouso, só estão neste estado em relação a

um certo referencial. Quando estamos deitados em nossa cama, tudo à nossa volta parece

estar em repouso. E de fato, tudo está em repouso em relação ao nosso corpo. Mas não

está em repouso em relação à Lua, ou ao Sol. Se estivéssemos deitados em uma cama deum vagão de um trem dormitório, todos os objetos do quarto ainda nos pareceriam

parados, apesar desse conjunto se mover em relação aos trilhos. Daí concluirmos que

movimento (ou repouso) é uma característica de um corpo em relação a certo referencial

específico.

Quando um objeto real está em movimento, além de sua translação ele também

pode tanto girar quanto oscilar. Se fôssemos sempre considerar essas características, o

movimento de um corpo seria sempre um fenômeno bastante complicado de se estudar.

Acontece que em diversas situações o fenômeno mais importante é a translação.

Desse modo, sem incorrer em grande erro, podemos isolar este tipo movimento e estudá-lo

como o único existente. Devemos ainda considerar que corpos que apresentam apenas o

movimento de translação podem ser estudados como partículas, porque todas as partes do

corpo com esse movimento descreverão a mesma trajetória.

Em um estágio inicial, o estudo ainda pode ser mais simplificado porque matematicamente,

uma partícula é tratada como um ponto, um objeto sem dimensões, de tal maneira que

rotações e vibrações não estarão envolvidas em seu movimento. Em resumo: vamos tratar

como pontos materiais (ou partículas) os corpos que tenham apenas movimento de

translação, e o caso mais simples será quando ele apresentar um movimento retilíneo.

3.2. Posição e deslocamento

A localização de uma partícula é fundamental para a análise do seu movimento. O seu

movimento é completamente conhecido se a sua posição no espaço é conhecida em todos

os instantes.

3. Movimento Uniforme




Aula2

Vamos considerar que esse movimento componha-se de uma trajetória retilínea que tem

como posição inicial o ponto P com coordenada xi no instante ti e posição final com

coordenada xf no instante tf .

O deslocamento Δx é uma medida da diferença entre as posições inicial xi que a partícula

ocupou e a sua posição final xf

Δx = xi – xf ,

e o intervalo de tempo é expresso como:

Δt = tf - ti

À medida que o intervalo de tempo Δt diminui o ponto Q se aproxima do ponto P, na figura

anterior. No limite quando Δt→ 0 , quando o ponto Q tende ao ponto P , a reta que os une

passa a coincidir com a própria tangente à curva no ponto Q , ou seja v = tanα . Assim, a

velocidade instantânea em um dado ponto do gráfico espaço versus tempo é a tangente àcurva neste ponto específico.

3.3. Velocidade média e velocidade escalar média

A velocidade de uma partícula é a razão segundo a qual a sua posição varia com o tempo.

Podemos analisar um movimento de diversas maneiras, dependendo da sofisticação dos

nossos instrumentos de medida. A velocidade escalar média é definida como a razão entre

a distância percorrida e o tempo gasto no percurso:




Aula2

Se uma viagem entre duas cidades distantes de 120 km durou 1,5h nós dizemos que o

percurso foi vencido com uma velocidade escalar média de 80km/h . Na vida cotidiana essainformação é suficiente para descrever uma viagem. Já a velocidade média é definida como

a razão entre o deslocamento e o tempo necessário para esse evento.

Para calcularmos a velocidade média da viagem entre as duas cidades, deveríamos saber a

distância em linha reta entre elas. Essa distância seria o deslocamento, que foi definido

anteriormente. No movimento unidimensional percurso e deslocamento são conceitos

praticamente idênticos, de modo que só existirá uma diferença marcante entre as

velocidades média e escalar média nos movimentos bidimensional ou tridimensional.

Percurso é a distância percorrida por uma partícula num certo intervalo de tempo;

enquanto que deslocamento é a diferença entre as posições inicial e final da partícula no

intervalo de tempo considerado.

3.4. Velocidade instantânea e velocidade escalar

A velocidade instantânea v nos dá informações sobre o que está acontecendo num dado

momento.

Ela é definida como:

Como foi mencionado, a velocidade média representa o que aconteceu entre o início e ofim de uma viagem. Já a velocidade instantânea em um dado momento representa o que

aconteceu naquele momento. Colecionando as velocidades instantâneas de cada um dos

momentos temos uma informação completa de como variou a velocidade ao longo de toda

viagem.

A velocidade escalar é o módulo da velocidade é a velocidade sem qualquer indicação de

direção e sentido. No movimento retilíneo e uniforme a partícula se move com velocidade

constante. A sua característica é que a velocidade em qualquer instante é igual à velocidade

média.




Aula2 Portanto a equação que define este tipo de movimento é:

x = v.t

3.5. Aceleração

A aceleração de uma partícula é a razão segundo a qual a sua velocidade varia com o

tempo. Ela nos dá informações de como a velocidade está aumentando ou diminuindo à

medida que o corpo se movimenta. Para analisar a variação da velocidade durante um certo

intervalo de tempo Δt nós definimos a aceleração média deste intervalo como:

Quando queremos saber o valor da aceleração em cada instante do intervalo considerado,

deveremos calcular a aceleração instantânea:

Quando um corpo em movimento está aumentando a sua velocidade temos que a sua

aceleração será positiva pois:

Se o corpo estiver diminuindo a sua velocidade a sua aceleração será negativa. Aceleração

constante - um caso especial O exemplo anterior do movimento de um automóvel que

varia a sua velocidade é uma situação típica de translação com aceleração constante em

alguns trechos e nula em outros. Vamos considerar o movimento com velocidade constantede uma partícula, entre um instante inicial t0 e um instante posterior t . No instante inicial t0

a partícula se encontrava na posição inicial x0 com velocidade inicial v0 e no instante t ela

se encontrava na posição x com velocidade v.

A velocidade média da partícula neste intervalo entre t0 e t é dada por:




Aula2

onde a última igualdade é válida apenas para movimentos com aceleração constante, como

esse caso específico. Podemos colocar as equações anteriores com a seguinte forma que

define x :

Como a aceleração é constante, podemos usar a definição de aceleração média que é a

própria aceleração constante neste caso presente:

Usando este valor de v na equação que define x , encontraremos:

e rearrumando os vários termos teremos:

Usando o valor de ( t - t0 ) na equação que define x encontraremos:




Aula2

Se estivéssemos considerando um movimento tridimensional, com aceleração constante

nas três direções, poderíamos estender facilmente os resultados anteriores para as

seguintes equações vetoriais:

onde fizemos o instante inicial t0 = 0 . A última equação é conhecida como equação de

Torricelli.Exemplo:

Um motorista viaja ao longo de uma estrada reta desenvolvendo uma velocidade de 15m/s

quando resolve aumentá-la para 35m/s usando uma aceleração constante de 4m/s2.

Permanece 10s com essa velocidade, quando resolve diminui-la para 5m/s usando uma

aceleração constante de 10m/s2.

Trace os gráficos de x versus t, v versus t e a versus t para o todo o movimento

mencionado.




Aula2

Tabela associada ao exemplo:




Aula2 3.6. Força e Movimento

Por que a velocidade de um objeto varia? Muitas vezes ao estudar o movimento de

um corpo qualquer, notamos variação da sua velocidade. A experiência nos tem indicado

que, quando isso acontece, podemos encontrar um ou mais objetos nas proximidades queparecem estar associados a esta variação. A aceleração de uma partícula é devida a sua

interação com a vizinhança.

O problema principal neste capítulo é saber como o corpo se moverá, para isso: (i)

estaremos lidando com uma partícula (corpo) cujas as características são conhecidas (força,

massa, forma ,volume); (ii) conhecemos a localização e as propriedades de todos os objetos

de interesse em sua proximidade. Isaac Newton (1642-1727) ao propor suas leis do

movimento e sua teoria gravitacional, foi o primeiro a solucionar este problema. Para dar

procedimento ao assunto devemos introduzir o conceito de força, massa, leis de força eforça resultante.

A Figura 1 demonstra as relações entre tais grandezas, cujo estudo constitui a

mecânica. A força aparece tanto nas leis de força, que nos informam como calcular a força

que atua em um corpo, numa determinada vizinhança, como nas leis de movimento, que

nos informa qual a aceleração a que um corpo está submetido, quando um força atua sobre

ele.

Figura 1. Os blocos da esquerda indicam que a força é uma interação entre corpo e vizinhança e osda direita indicam que a força aplicada a um corpo causará sua aceleração.

3.7. Primeira Lei de Newton

Considere um corpo sobre o qual não há força resultante alguma. Se o corpo está

em repouso, ele permanece em repouso. Se o corpo está em movimento com velocidade

constante, ele permanecerá assim indefinidamente.

Esta lei é uma afirmação sobre referenciais, definindo os referenciais nos quais as leis

da mecânica newtoniana são válidas. Portanto se a força resultante sobre um corpo é nula,

é possível encontrar referenciais nos quais aquele corpo não tenha aceleração.




Aula2

A primeira lei de Newton também é conhecida como lei da inércia e os referenciais que ela

define são chamados referenciais inerciais. Para sabermos se um corpo é ou não

referencial inercial, considere por exemplo um vagão de trem em repouso, e a partir de seu

teto um pêndulo pendurado. Com o vagão em movimento, o pêndulo permanecerá

retilíneo se o vagão se mover em linha reta com uma velocidade constante. O pêndulo

também permanecerá retilíneo se o vagão parado. Se o vagão estiver realizando uma curva,

ou diminuindo, ou aumentando a velocidade, o pêndulo se desloca, e o vagão é referencial

não inercial.

3.8. Força e Massa

Todos temos uma concepção básica de força e massa, tomando base os

acontecimentos por nós vivenciados no cotidiano. Quando levantamos um móvel ou

jogamos uma bola, exercemos uma força sobre estes objetos. É bom notarmos que a

palavra força está sempre associada a uma atividade muscular e um possível deslocamento

existente. A Física vai um pouco mais longe em suas definições e aplicações do que as

populares.Newton enunciou que a aceleração do objeto é causado pelas forças que atuam nele.

Desta forma, quando um corpo adquire aceleração, pelo menos uma força está presente,

originando a variação do movimento. Como a força é uma grandeza vetorial, esta possui

módulo, direção e sentido, assim sendo temos que utilizar vetores para sua ilustração. Já a

massa de um corpo é a característica do corpo que relaciona a força a ele aplicada com sua

aceleração resultante.

Podemos notar isso com uma experiência facilmente realizada, chutando uma bola

de futebol de campo e logo ter chutado uma bola de futebol de salão. Iremos notar quepara a mesma força as bolas terão diferentes acelerações. Esta diferença de acelerações é

causada pela diferença de massa entre as duas bolas.

Para uma definição quantitativa, iremos fixar uma mola ao corpo-padrão e vamos

submetê-lo a uma aceleração ao=1 m/s2. A força que exercemos na mola e que esta

transmite ao corpo é igual a 1N. Tomaremos nota do alongamento L da mola, devido a

esta força de 1N. Então, por definição, a massa m0 do corpo-padrão é 1kg.




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O próximo passo é substituir o corpo padrão por um corpo "" qualquer e aplicar a

este corpo a mesma força de 1N, de forma análoga ao que fizemos ao corpo-padrão

utilizaremos o mesmo alongamento L da mola. Suponhamos que a aceleração de "" seja,

a=0,25m/s2. Podemos atribuir então ao corpo "" a massa m, e já que uma mesma força

produz acelerações diferentes, podemos definir as razões entre as massas como sendo

inversamente proporcional à razão entre as suas acelerações. Logo,

m

m

a

a

0

0 ,

ou

kg s m

s m kg

a

a m m 4

/25,0

/1)1(

2

20

0

Assim, o corpo "" que está submetido a somente um quarto da aceleração do

corpo-padrão, quando a mesma força é aplicada sobre ele, tem, por esta definição, o

quádruplo da massa daquele corpo.

3.9. Segunda lei de Newton

Esta Lei de Newton resume toda as observações feitas até agora em uma única

equação vetorial.

amF

Assim F

é a soma vetorial, ou a força resultante, de todas as forças que atuam

naquele corpo, não levando em consideração forças internas.

Freqüentemente desenhamos um diagrama de corpo isolado para a resolução de

problemas. O corpo é representado por um ponto, e cada força que atua no corpo um

vetor com origem no ponto. Como qualquer equação vetorial, esta é equivalente a três

equações escalares.

a.mF;a.mF;a.mF zyx




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Essas equações relacionam as três componentes da força resultante sobre um corpo

com as três componentes da aceleração desse corpo. No Sistema Internacional de Unidades

(S.I.), temos que 1N = (1kg).(1m/s2

) = 1kg.m/s2

.

3.10. Terceira Lei de Newton

Para início, temos que possuir o conhecimento que as forças existem em pares. Se

nos apoiarmos em uma parede de tijolos, esta responderá de igual módulo, porém de

sentido contrário (Figura 2). Essa situação pode ser resumida nas seguintes palavras: “Não

podemos tocar sem ser tocados.”

Figura 2. O homem aplicando uma força para a direita sobre a parede. A parede exerce uma força

para a esquerda sobre o homem. As forças possuem o mesmo módulo.

Considere o corpo A exercendo uma força FBA sobre o corpo B. Então o corpo B

exerce uma força FAB sobre o corpo A. Essas duas forças possuem o mesmo módulo, porém

com sentidos contrários, como demonstra a Figura 3.




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Figura 3. Corpo A exercendo uma força FAB sobre o corpo B, ao mesmo tempo o corpo B exercendo

uma força FBA sobre A.

A equação a seguir retrata a situação demonstrada pela Figura 3.

F

AB = F

BA

A equação acima resume a Terceira Lei de Newton para o movimento. De forma

generalizada, não importando qual, uma dessas forças é denominada de força de ação e a

outra é chamada de força de reação. Toda vez que determinarmos uma força, uma boa

pergunta será: “Onde está a força de reação?”

Portanto, “a toda ação corresponde sempre uma reação de igual magnitude e de

sentido contrário.”

3.11. Aplicações das Leis Newton

Exemplo 1: A Figura 4 mostra um bloco (o bloco deslizante ) de massa M=3,3 kg. Ele

se move livremente, sem atrito, sobre um fina camada de ar na superfície horizontal da

mesa. O bloco deslizante está preso a uma corda que passa em volta de uma polia de

massa e atrito desprezíveis e tem, na outra extremidade, um segundo bloco (o bloco

suspenso) de massa m=2,1 kg. O bloco suspenso, ao cair, acelera o bloco deslizante para adireita. Determine (a) a aceleração do bloco deslizante, (b) a aceleração do bloco suspenso

e (c) a tensão da corda.




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Figura 4. Demonstrando situação do problema.

Primeiro passo é determinar as forças atuantes no problema.

Figura 5. Demonstração das forças atuantes.

Agora podemos aplicar a equação amF

, e representar o bloco deslizante como

uma partícula de massa M, e efetuar o diagrama de corpo isolado do bloco. A Figura 6

representa o diagrama de corpo isolado




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Figura 6. Representa o diagrama de corpo isolado para os corpos de massa "M" e "m".

Como resultado, teremos:

aMT

(1)

Esta equação tem duas grandezas desconhecidas, T e a, então não podemos resolve-

la por enquanto. Entretanto é bom lembrarmos que ainda não analisamos o bloco

suspenso.

Aplicando amF

sobre o corpo suspenso, e utilizando o diagrama de corpo

isolado conforme a Figura 6 temos:

Como resultado: amTgm

(2)

Somando as duas equações acima,:

a m

M m g

Substituindo as incógnitas pelos valores numéricos fornecidos, temos:

22 s/m8,3)s/m8,9(kg1,2kg3,3

kg1,2g

mM

ma

, valor válido para os dois blocos, pois

estão unidos pela mesma corda. Para determinarmos a tração iremos substituir, a m

M m g

na equação (1); o resultado é:




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T Mm

M m g

Substituindo as incógnitas pelos valores numéricos fornecidos, temos:

. N13)s/m8,9(kg1,2kg3,3

)kg1,2)(kg3,3(gmM

MmT 2

Exemplo 2: A Figura 7 mostra dois blocos ligados por uma corda, passando por uma

polia de massa e atrito desprezíveis. Fazendo m = 1,3 kg e M = 2,8 kg, determine a tensão

da corda e o módulo da aceleração (simultânea) dos dois blocos.

Figura 7. Ilustração do problema, demonstrando os corpos ligados pela corda e a polia.

Realizando o diagrama de corpo isolado para os dois corpos teremos a Figura 8.

Figura 8. Demonstração do diagrama de corpo isolado.




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Aplicando a Segunda Lei de Newton ao bloco de massa "m", que tem aceleração " a " no

sentido do eixo y, encontraremos

T mg ma (3)

Para o bloco de massa "M" e de aceleração " a " temos:

T Mg Ma (4)

Somando as equações (3) e (4), obtemos:

a M m

M m g

Substituindo os dados fornecidos, temos:

22 s/m6,3)s/m8,9(kg3,1kg8,2

kg3,1kg8,2g

mM

mMa

Substituindo a M m

M m g

na equação (3) teremos:

T M

M m g

2

Substituindo pelos dados fornecidos, finalmente temos que:

N17)s/m8,9(kg3,1kg8,2

)kg3,1).(kg8,2).(2(g

mM

M2T 2

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Física Geral 1.pdf