Física IFísica IMecânicaMecânica

Alberto TannúsAlberto Tannús

II 2010II 2010

Tipler&Mosca, 5Tipler&Mosca, 5aa Ed. Ed.Capítulo 9 - RotaçõesCapítulo 9 - Rotações

Velocidade e aceleração Velocidade e aceleração angularangular

Sistemas de partículas Sistemas de partículas vinculadas: cada vinculadas: cada partícula executa partícula executa movimento de rotação movimento de rotação em torno de um eixo em torno de um eixo exatamente como exatamente como todas as outras todas as outras partículas do sistema partículas do sistema

Corpo rígido!!Corpo rígido!!

Deslocamento angular:Deslocamento angular:

Velocidade angular !!

Aceleração angular:Aceleração angular:

Velocidade e aceleração tangencial de uma partícula:

Aceleração centrípeta:

Equações de movimento Equações de movimento rotacionalrotacional

200 2

1attvSS

atvv 0

(Equiv. Rotacional de Torricelli)

Exemplo:Exemplo:

Um CD gira de 0 a 500 RPM em 5.5 Um CD gira de 0 a 500 RPM em 5.5 s;s; Qual é a aceleração angular?Qual é a aceleração angular? Quantas rotações ele faz em 5.5 s?Quantas rotações ele faz em 5.5 s? Que distância percorre um ponto na Que distância percorre um ponto na

borda a 6 cm do centro durante os 5.5 borda a 6 cm do centro durante os 5.5 s?s?

S:S:

TorqueTorque Pião:Pião:

Onde se aplica a força (Onde se aplica a força (FFi i ) para fazê-lo girar?) para fazê-lo girar? Braço de momento (Braço de momento (l l ): distância ): distância

perpendicular da linha de ação da força ao perpendicular da linha de ação da força ao eixo de rotação!eixo de rotação!

Componente tangencial da força!

Aceleração tangencialAceleração tangencial

Multiplicando a equação por ri:

Somando sobre todas as partículas: Torque

resultante Momento de Inércia

Segunda Lei de Newton de Segunda Lei de Newton de rotação:rotação:

Exemplo: Cálculo do Exemplo: Cálculo do Momento de InérciaMomento de Inércia

Quatro partículas de Quatro partículas de massa m são massa m são conectados por barras conectados por barras sem massa formando sem massa formando um retângulo de lados um retângulo de lados 2ª e 2b cf. figura. O 2ª e 2b cf. figura. O sistema gira em torno sistema gira em torno do eixo no plano da do eixo no plano da figura. Encontre o figura. Encontre o momento de inércia momento de inércia com relação a este com relação a este eixo.eixo.

S:S:

Eixo paraleloEixo paralelo

Encontre o momento Encontre o momento de inércia deste de inércia deste sistema para rotação sistema para rotação em torno de um eixo em torno de um eixo que passa que passa paralelamente ao paralelamente ao anterior, sobre duas anterior, sobre duas das partículas.das partículas.

S:S:

Como achei este valor?

Objetos contínuosObjetos contínuos

Momento de Inércia é calculado por Momento de Inércia é calculado por dmdm um elemento de massa a uma um elemento de massa a uma posiçãoposição r r e somando para todo o e somando para todo o volume.volume.

Exemplo:Exemplo: Calcule o Momento de Inércia de uma Calcule o Momento de Inércia de uma

barra de comprimento L e massa M, barra de comprimento L e massa M, com relação a um eixo perpendicular à com relação a um eixo perpendicular à barra e passando pela sua extremidade.barra e passando pela sua extremidade.

S:S:

Teorema dos Eixos Teorema dos Eixos ParalelosParalelos

Momento de Momento de Inércia Inércia relativamente a relativamente a um eixo paralelo um eixo paralelo ao que passa no ao que passa no centro de massa, centro de massa, comparado ao comparado ao M.I. relativo a M.I. relativo a este eixoeste eixo

Aplicações da Segunda Aplicações da Segunda LeiLei

Sentado numa bicicleta num apoio Sentado numa bicicleta num apoio estacionário, com a roda traseira estacionário, com a roda traseira livre para girar, você aplica através livre para girar, você aplica através da corrente uma força de da corrente uma força de 18 N18 N à à catraca de raio catraca de raio r=7 cmr=7 cm. Considere a . Considere a roda como um anel (roda como um anel (I=MRI=MR22) com raio ) com raio R=35 cmR=35 cm e massa e massa M=2.4 kgM=2.4 kg. Qual será a . Qual será a velocidade angular da roda depois velocidade angular da roda depois de de 5 s5 s??

S:S:

Rotação sem Rotação sem deslizamentodeslizamento

Num cilindro com uma fita enrolada, se Num cilindro com uma fita enrolada, se a fita é puxada e não desliza, então a a fita é puxada e não desliza, então a velocidade do cilindro é igual à velocidade do cilindro é igual à velocidade tangencial, na borda do velocidade tangencial, na borda do mesmo.mesmo.

Diferenciando,

Exemplo:Exemplo:

Um objeto de massa Um objeto de massa mm é conectado a é conectado a uma corda sem massa, enrolada em uma corda sem massa, enrolada em uma roda com momento de inércia uma roda com momento de inércia II e raio e raio RR. A roda gira sem atrito, e a . A roda gira sem atrito, e a corda não desliza na sua borda. corda não desliza na sua borda. Encontre a tensão na corda e a Encontre a tensão na corda e a aceleração do objeto.aceleração do objeto.

S:S:

Condição de não deslizamento:

I 0 ?

I ?

Exemplo:Exemplo:

Um bastão uniforme de massa Um bastão uniforme de massa MM e e comprimento comprimento LL é vinculado numa das é vinculado numa das extremidades. Ele é mantido na extremidades. Ele é mantido na horizontal, e depois liberado. Suponha horizontal, e depois liberado. Suponha que não haja atrito no pivô. Encontre:que não haja atrito no pivô. Encontre: A aceleração angular do bastão A aceleração angular do bastão

imediatamente após liberado;imediatamente após liberado; A força A força FF00 exercida pelo pivô neste exercida pelo pivô neste

instante.instante.

S:S:

Energia cinética Energia cinética rotacionalrotacional

Energia cinética de um elemento de massa Energia cinética de um elemento de massa mmii::

Exemplo:Exemplo:

Um volante utilizado para armazenar Um volante utilizado para armazenar energia consiste num disco uniforme energia consiste num disco uniforme de massa de massa 1.5 x 101.5 x 105 5 kgkg e raio e raio 2.2 m2.2 m, que , que gira a gira a 3000 RPM3000 RPM em torno do seu em torno do seu centro. centro. Encontre sua energia cinética.Encontre sua energia cinética.

S:S:

ExemploExemplo

No bastão do exemplo anterior, que é No bastão do exemplo anterior, que é novamente liberado do repouso na novamente liberado do repouso na horizontal, encontre:horizontal, encontre: A velocidade angular do mesmo quando A velocidade angular do mesmo quando

atinge a posição vertical;atinge a posição vertical; A força exercida pelo pivô neste instante; A força exercida pelo pivô neste instante; Qual é a velocidade angular inicial Qual é a velocidade angular inicial

necessária para ele atingir a posição necessária para ele atingir a posição vertical no topo da sua oscilação?vertical no topo da sua oscilação?

S:S:Usando a conservação de energia Usando a conservação de energia (não há atrito no pivô)(não há atrito no pivô)

PotênciaPotênciaForças que imprimem movimento de rotação realizam Forças que imprimem movimento de rotação realizam trabalho:trabalho:

Trabalho executado por um torque Trabalho executado por um torque

Taxa com que ele executa trabalho:Taxa com que ele executa trabalho:

Objetos girantesObjetos girantes

Diferenciando:Diferenciando:

RotacionalRotacional

TranslacionalTranslacional

Exemplo:Exemplo: Um taco atinge uma bola horizontalmente Um taco atinge uma bola horizontalmente

a uma altira x acima do seu centro. a uma altira x acima do seu centro. Encontre o valor de x para o qual a bola Encontre o valor de x para o qual a bola role sem deslizar. Expresse os resultados role sem deslizar. Expresse os resultados em termos do raio R da bolaem termos do raio R da bola

Condição de não deslizamentoCondição de não deslizamento

ExemploExemplo

Uma bola de boliche de massa Uma bola de boliche de massa MM e e raio raio RR é arremessada de forma que no é arremessada de forma que no instante em que ela toca no solo ela se instante em que ela toca no solo ela se move com velocidade horizontal move com velocidade horizontal vv0 0 = 5 = 5

m/sm/s e ainda não gira. O coeficiente de e ainda não gira. O coeficiente de atrito com o solo é atrito com o solo é KK = = 0.080.08: Encontre:: Encontre: O tempo que a bola desliza até que a O tempo que a bola desliza até que a

condição de não deslizamento é atingida;condição de não deslizamento é atingida; A distância que ela percorre deslizando.A distância que ela percorre deslizando.

S:S: