Flexão

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA UNESP - Campus de Bauru/SP

FACULDADE DE ENGENHARIA Departamento de Engenharia Civil

Disciplina: 2117 - ESTRUTURAS DE CONCRETO I

NOTAS DE AULA

FLEXO NORMAL SIMPLES - VIGAS

Prof. Dr. PAULO SRGIO DOS SANTOS BASTOS (wwwp.feb.unesp.br/pbastos)

Bauru/SP Fevereiro/2015

APRESENTAO

Esta apostila tem o objetivo de servir como notas de aula na disciplina Estruturas de Concreto I, do curso de Engenharia Civil da Faculdade de Engenharia, da Universidade Estadual Paulista UNESP,

Campus de Bauru/SP.

O texto apresentado est de acordo com as prescries contidas na norma NBR 6118/2014

(Projeto de estruturas de concreto Procedimento), para o projeto e dimensionamento das vigas de Concreto Armado flexo normal simples.

A apostila apresenta o estudo das sees retangulares com armaduras simples e dupla e das sees

T com armadura simples, para solicitao de flexo simples.

Visando iniciar o clculo prtico das vigas dos edifcios, so introduzidos alguns tpicos

adicionais, como o clculo das cargas verticais sobre as vigas e algumas prescries na norma para as

vigas simples e contnuas.

O texto constante desta apostila no inclui todos os tpicos relativos ao projeto das vigas, como o dimensionamento aos esforos cortantes e aos momentos torores, ancoragem nos apoios, etc. Esses temas

sero abordados nas apostilas da disciplina Estruturas de Concreto II.

Crticas e sugestes sero bem-vindas, visando a melhoria da apostila.

O autor agradece ao tcnico derson dos Santos Martins, pela confeco dos desenhos.

SUMRIO

1. INTRODUO ....................................................................................................................................... 1 2. DEFINIO DE VIGA ........................................................................................................................... 1 3. COMPORTAMENTO RESISTENTE DE VIGAS SOB FLEXO SIMPLES ...................................... 1 4. COMPARAO DOS DOMNIOS 2, 3 E 4 .......................................................................................... 4 5. ALGUMAS PRESCRIES PARA AS VIGAS ................................................................................... 6

5.1 Vo Efetivo......................................................................................................................................... 6 5.2 Definio da Altura e da Largura ....................................................................................................... 7 5.3 Cargas Verticais nas Vigas ................................................................................................................. 7

5.3.1 Peso Prprio ................................................................................................................................ 7 5.3.2 Paredes ........................................................................................................................................ 8 5.3.3 Lajes............................................................................................................................................ 8 5.3.4 Outras Vigas ............................................................................................................................... 8

5.4 Disposies Construtivas das Armaduras .......................................................................................... 8 5.4.1 Armaduras Longitudinais Mximas e Mnimas ......................................................................... 8 5.4.2 Armadura Mnima de Trao ..................................................................................................... 9 5.4.3 Armadura Longitudinal Mxima ................................................................................................ 9 5.4.4 Armadura de Pele ....................................................................................................................... 9

5.5 Armaduras de Ligao Mesa-alma ................................................................................................... 10 5.6 Espaamento Livre entre as Faces das Barras Longitudinais .......................................................... 11

6. HIPTESES BSICAS ........................................................................................................................ 11 7. SEO RETANGULAR COM ARMADURA SIMPLES .................................................................. 13

7.1 Equaes de Equilbrio ..................................................................................................................... 13 7.2 Clculo Mediante Equaes com Coeficientes K ............................................................................ 16 7.3 Exemplos Numricos........................................................................................................................ 17

8. SEO RETANGULAR COM ARMADURA DUPLA ..................................................................... 33 8.1 Equaes de Equilbrio ..................................................................................................................... 34 8.2 Clculo Mediante Equaes com Coeficientes K ............................................................................ 37 8.3 Exemplos Numricos........................................................................................................................ 38

9. SEO T ............................................................................................................................................... 44 9.1 Largura Colaborante ......................................................................................................................... 49 9.2 Seo T com Armadura Simples ...................................................................................................... 52

9.2.1 0,8 x hf ................................................................................................................................... 53 9.2.2 0,8 x > hf ................................................................................................................................... 53 9.2.3 Clculo Mediante Equaes com Coeficientes K .................................................................... 55 9.2.4 Exemplos Numricos ................................................................................................................ 56

10. EXERCCIOS PROPOSTOS ................................................................................................................ 66 REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS .......................................................................................................... 72 BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR ......................................................................................................... 72 TABELAS ANEXAS .................................................................................................................................... 73

2117 - Estruturas de Concreto I Flexo Normal Simples - Vigas

UNESP(Bauru/SP) Prof. Dr. Paulo Srgio dos Santos Bastos

1

1. INTRODUO

A flexo simples definida como a flexo sem fora normal. Quando a flexo ocorre com a atuao de fora normal tem-se a flexo composta. Solicitaes normais so aquelas cujos esforos solicitantes produzem tenses normais (perpendiculares) s sees transversais dos elementos estruturais. Os esforos que provocam tenses normais so o momento fletor (M) e a fora normal (N). Nas estruturas de Concreto Armado so trs os elementos estruturais mais importantes: as lajes, as vigas e os pilares. E dois desses elementos, as lajes e as vigas, so submetidos flexo normal simples, embora possam tambm, eventualmente, estarem submetidos flexo composta. Por isso, o dimensionamento de sees retangulares e sees T sob flexo normal simples a atividade diria mais comum aos engenheiros projetistas de estruturas de Concreto Armado (SANTOS, 1983). O estudo da flexo normal simples tem como objetivo proporcionar ao aluno o correto entendimento dos mecanismos resistentes proporcionados pelo concreto sob compresso e pelo ao sob trao, em sees retangulares e T, visando lev-lo a bem dimensionar ou verificar a resistncia dessas sees. O equacionamento para a resoluo dos problemas da flexo simples deduzido em funo de duas equaes de equilbrio da esttica, e que proporciona as aqui chamadas equaes tericas, que podem ser facilmente implementadas para uso em programas computacionais. Tambm apresentado o equacionamento com base em coeficientes tabelados tipo K, largamente utilizado no Brasil. importante esclarecer o estudante que nesta apostila ele aprender a dimensionar as sees transversais das vigas aos momentos fletores mximos, e fazer o detalhamento das armaduras de flexo apenas na seo transversal correspondente. Nesta disciplina o estudo das vigas est apenas iniciando. O estudo completo das vigas simples ou contnuas, com dimensionamentos aos esforos cortantes e momentos torores, bem como o detalhamento completo e ancoragem das armaduras, s ser alcanado ao trmino da disciplina 2123 - Estruturas de Concreto II. Alm disso, outros tpicos relativos s vigas, como fissurao e flecha, sero estudados na disciplina 2158 Estruturas de Concreto IV.

2. DEFINIO DE VIGA

Vigas so elementos lineares em que a flexo preponderante (NBR 6118/141, item 14.4.1.1). Elementos lineares so aqueles em que o comprimento longitudinal supera em pelo menos trs vezes a maior dimenso da seo transversal, sendo tambm denominada barras.

3. COMPORTAMENTO RESISTENTE DE VIGAS SOB FLEXO SIMPLES

Considere uma viga de concreto armado biapoiada (Figura 1), submetida a duas foras concentradas P crescentes e de igual intensidade. A armadura composta por armadura longitudinal, resistente s tenses de trao provenientes da flexo, e armadura transversal, dimensionada para resistir aos esforos cortantes, composta por estribos verticais no lado esquerdo da viga e estribos e barras dobradas no lado direito da viga.

A Figura 2a mostra as trajetrias das tenses principais de trao e de compresso da viga ainda no estdio I. Observe que no trecho de flexo pura as trajetrias das tenses de compresso e de trao so paralelas ao eixo longitudinal da viga. Nos demais trechos as trajetrias das tenses so inclinadas devido influncia dos esforos cortantes.

Enquanto a resistncia trao do concreto superior s tenses principais de trao, no surgem fissuras na viga. As primeiras fissuras de flexo s surgem na regio de mximos momentos fletores, no instante que as tenses de trao atuantes igualam e superam a resistncia do concreto trao na flexo (Figura 2b). Para este nvel de carregamento a viga apresenta trechos fissurados, no estdio II, e trechos no fissurados, no estdio I. Note que a direo ou inclinao das fissuras aproximadamente perpendicular direo das tenses principais de trao, ou seja, a inclinao das fissuras depende da

1 ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS. Projeto de estruturas de concreto Procedimento, NBR 6118. Rio

de Janeiro, ABNT, 2014, 238p.



2

inclinao das tenses principais de trao. Por esta razo, na regio de flexo pura, as fissuras so verticais.

Armadura Transversal (somente estribos)

Armadura Transversal(estribos e barras dobradas)

P

l

+

+

-

M

V

P

Figura 1 Viga biapoiada e diagramas de esforos solicitantes. (LEONHARDT e MNNIG - 1982).

a

a

b

b

Estdio I Estdio II Estdio I

Seo a-a Seo b-bc

s

c

s

c c

s t

c= e Ec

ct,f<

trao

compressoa)

b)

c)

b

b

Estdio II

Seo b-b

s

c

s

c = fc

> f y

d)

e)

Figura 2 - Comportamento resistente de uma viga biapoiada (LEONHARDT e MNNIG - 1982).



3

A Figura 2c mostra os diagramas de deformaes e de tenses nas sees a e b da viga, nos estdios I e II, respectivamente. No estdio I a mxima tenso de compresso (c) ainda pode ser avaliada de acordo com a lei de Hooke, o mesmo no valendo para o estdio II. Com o carregamento num patamar superior comeam a surgir fissuras inclinadas nas proximidades dos apoios, por influncia das foras cortantes atuando em conjunto com os momentos fletores. Essas fissuras inclinadas so chamadas de fissuras de cisalhamento (Figura 2d), que no um termo adequado porque tenses de cisalhamento no ocorrem por ao exclusiva de fora cortante. Sugerimos fissura de flexo com cortante. Com carga elevada, a viga, em quase toda a sua extenso, apresenta-se no estdio II. Apenas nas proximidades dos apoios a viga permanece no estdio I. No caso de uma viga biapoiada sob carregamento uniformemente distribudo, no estdio I, as tenses principais na altura da linha neutra (a meia altura da viga) apresentam inclinao de 45 (ou 135) em relao ao eixo longitudinal da viga, como mostrado na Figura 3. Observe que nas regies prximas aos apoios as trajetrias das tenses principais inclinam-se por influncia das foras cortantes, mantendo, no entanto, a perpendicularidade entre as trajetrias.

+

-

+

II

I

Direo de (tenses de trao) Direo de (tenses de compresso)

III

M

V

x

Figura 3 - Trajetria das tenses principais de uma viga biapoiada no estdio I sob carregamento uniformemente distribudo (LEONHARDT e MNNIG, 1982).

O carregamento induz o surgimento de diferentes estados de tenso nos infinitos pontos que compem a viga, e que podem ser representados por um conjunto de diferentes componentes, em funo da orientao do sistema de eixos considerados. Como exemplo, a Figura 4 mostra a representao dos estados de tenso em dois pontos da viga, conforme os eixos coordenados x-y e os eixos principais. O estado de tenso segundo os eixos x-y define as tenses normais x, as tenses y e as tenses de cisalhamento xy e yx. O estado de tenso segundo os eixos principais definem as tenses principais de trao I e de compresso II .

A tenso y pode ser em geral desprezada, tendo importncia apenas nos trechos prximos introduo de cargas. O dimensionamento das estruturas de concreto armado toma como base normalmente as tenses x e xy .



4

X

y

X

y y= 0

x

X

y

( - )

( + )

III

( - )( + )

+xy

yx

Figura 4 Componentes de tenso segundo os estados de tenso relativos aos eixos principais e aos eixos nas direes x e y (LEONHARDT e MNNIG, 1982).

4. COMPARAO DOS DOMNIOS 2, 3 E 4

As deformaes nos materiais componentes das vigas de Concreto Armado submetidas flexo simples encontram-se nos domnios de deformaes 2, 3 ou 4, conforme definidos na NBR 6118 (item 17.2.2). A anlise da Figura 5 e da Figura 6 permite fazer as seguintes consideraes das vigas flexo simples em relao aos domnios 2, 3 e 4:

a) Domnio 2

No domnio 2 a deformao de alongamento (sd) na armadura tracionada (As) fixa e igual a 10 , e a deformao de encurtamento (cd) na fibra mais comprimida de concreto varia entre zero e cu , considerando que, para os concretos do Grupo I de resistncia (fck 50 MPa), cu assume o valor de 3,5 . Sob a deformao de 10 a tenso na armadura corresponde mxima permitida no ao (fyd), como se pode verificar no diagrama x do ao mostrado na Figura 6. No domnio 2, portanto, a armadura tracionada econmica, isto , a mxima tenso possvel no ao pode ser implementada nessa armadura.

Na questo relativa segurana, no caso de vir a ocorrer a ruptura, ou seja, o colapso da viga, ser com aviso prvio, porque como a armadura continuar escoando alm dos 10 , a fissurao na viga ser intensa e ocorrer antes de uma possvel ruptura por esmagamento do concreto na regio comprimida. A intensa fissurao ser visvel e funcionar como um aviso aos usurios de que a viga apresenta um problema srio, alertando-os, de modo que sejam tomadas medidas visando a evacuao do local, antes que a ruptura venha a ocorrer.

superarmadaseo

B

(3,5 )0

0

A

10

2 3

4

zona til yd

A s

cu

Figura 5 Diagrama de deformaes dos domnios 2, 3 e 4, para concretos do Grupo I de resistncia (fck 50 MPa), onde cu = 3,5 .



5

Zona til10

s

ydf

s

yd Sees

Superarmadas

Figura 6 - Zonas de dimensionamento em funo da deformao no ao.

b) Domnio 3

No domnio 3 a deformao de encurtamento na fibra mais comprimida corresponde ao valor ltimo (cu), de 3,5 para os concretos do Grupo I de resistncia (fck 50 MPa). A deformao de alongamento na armadura tracionada varia entre yd (deformao de incio de escoamento do ao) e 10 , o que significa que a armadura escoa um certo valor. Verifica-se na Figura 6 que a tenso na armadura a mxima permitida, igual fyd , pois qualquer que seja a deformao entre yd e 10 (zona til), a tenso ser fyd . Isso implica que, assim como no domnio 2, a armadura tambm econmica no domnio 3. Neste domnio, portanto, tanto o concreto comprimido quanto o ao tracionado so aproveitados ao mximo, diferentemente do domnio 2, onde o concreto tem deformaes de encurtamento menores que a mxima (cu). A ruptura no domnio 3 tambm chamada com aviso prvio, pois a armadura, ao escoar, acarretar fissuras visveis na viga, antes que o concreto alcance a ruptura por esmagamento.

Quando a viga tem as deformaes ltimas, de cu no concreto e 10 na armadura, alcanadas simultaneamente, diz-se que a seo normalmente armada. A linha neutra coincide com o x2lim , e a seo est no limite entre os domnios 2 e 3. A NBR 6118 (17.2.2) indica que a seo dimensionada flexo simples no domnio 3 subarmada, um termo que parece inadequado por passar a falsa impresso de que a armadura menor que a necessria.

Na Tabela 1 constam os valores da deformao de incio de escoamento do ao (yd), o limite da posio da linha neutra entre os domnios 3 e 4 (x3lim) e x3lim (x = x/d), para os diferentes tipos de ao e para os concretos do Grupo I de resistncia (fck 50 MPa).

Tabela 1 - Valores de yd , x3lim e x3lim para os concretos do Grupo I de resistncia (fck 50 MPa) e em funo da categoria do ao.

Ao yd () x3lim x3lim CA-25 1,04 0,77 d 0,77 CA-50 2,07 0,63 d 0,63 CA-60 2,48 0,59 d 0,59

c) Domnio 4

No domnio 4 a deformao de encurtamento na fibra mais comprimida est com o valor mximo de cu , e a armadura tracionada no est escoando, pois sua deformao menor que a de incio de escoamento (yd). Neste caso, conforme se pode notar no diagrama x do ao mostrado na Figura 6, a tenso na armadura menor que a mxima permitida (fyd). A armadura resulta, portanto, antieconmica, pois no aproveita a mxima capacidade resistente do ao. Diz-se ento que a armadura est folgada e a seo chamada superarmada na flexo simples (NBR 6118, 17.2.2), como mostrado na Figura 5 e na Figura 6.



6

As vigas no podem ser projetadas flexo simples no domnio 4, pois alm da questo econmica, a ruptura, se ocorrer, ser do tipo frgil, ou sem aviso prvio, onde o concreto rompe (esmaga) por compresso (cd > cu), causando o colapso da viga antes da intensa fissurao provocada pelo aumento do alongamento na armadura tracionada. Segundo a NBR 6118 (17.2.2), a ruptura frgil est associada a posies da linha neutra no domnio 4, com ou sem armadura de compresso.

d) Concluso

Como concluso pode-se afirmar: as vigas devem ser projetadas flexo simples nos domnios 2 ou 3, e no podem ser projetadas no domnio 4.

Para complementar essa anlise, importante observar que a NBR 6118 (item 14.6.4.3) apresenta limites para a posio da linha neutra que visam dotar as vigas e lajes de ductilidade, afirmando que quanto menor for a relao x/d (x = posio da linha neutra, d = altura til da viga), maior ser a ductilidade. Os limites so: x/d 0,45 para concretos com fck 50 MPa e x/d 0,35 para concretos com fck > 50 MPa. Considerando os concretos do Grupo I de resistncia (cu = 3,5 ) e o ao mais comum (CA-50), no limite entre os domnios 3 e 4 a relao x/d para a linha neutra 0,63d e a deformao no ao a deformao de incio de escoamento (yd) de 2,07 , o limite mximo de x/d = 0,45 corresponde deformao de alongamento de 4,3 , o que significa que a norma est impondo uma deformao maior quela de incio de escoamento, visando vigas mais seguras. Portanto, o dimensionamento no domnio 3 no permitido ao longo de toda a faixa possvel de variao da posio da linha neutra, e sim somente at o limite x = 0,45d.

5. ALGUMAS PRESCRIES PARA AS VIGAS

5.1 Vo Efetivo

O vo efetivo (NBR 6118, item 14.6.2.4) pode ser calculado pela expresso:

21oef aa ++= ll Eq. 1

com:

h3,02/t

a1

1 e

h3,02/t

a2

2 Eq. 2

As dimenses lo , t1, t2 e h esto indicadas na Figura 7.

h

0lt1 2t

Figura 7 Dimenses consideradas no clculo do vo efetivo das vigas.



7

5.2 Definio da Altura e da Largura

De modo geral, a preferncia dos engenheiros e arquitetos que as vigas fiquem embutidas nas paredes de vedao, de tal forma que no possam ser percebidas visualmente. Para que isso ocorra, a largura das vigas deve ser escolhida em funo da espessura final da parede, a qual depende basicamente das dimenses e da posio de assentamento das unidades de alvenaria (tijolo macio, bloco furado, etc.). Devem tambm ser consideradas as espessuras das argamassas de revestimento (emboo, reboco, etc.), nos dois lados da parede. Os revestimentos de argamassa no interior do Estado de So Paulo tm usualmente a espessura total de 1,5 cm a 2,0 cm. Existe no comrcio uma infinidade de unidades de alvenaria, com as dimenses as mais variadas, tanto para os blocos cermicos de seis como para os de oito furos, como tambm para os tijolos macios cermicos. Antes de se definir a largura da viga necessrio, portanto, definir o tipo e as dimenses da unidade de alvenaria, levando-se em considerao a posio em que a unidade ser assentada. No caso de construes de pequeno porte, como casas, sobrados, barraces, etc., onde usual se construir primeiramente as paredes de alvenaria, para em seguida serem construdos os pilares, as vigas e as lajes, interessante escolher a largura das vigas igual largura da parede sem os revestimentos, ou seja, igual dimenso da unidade que resulta na largura da parede. A altura das vigas depende de diversos fatores, sendo os mais importantes o vo, o carregamento e a resistncia do concreto. A altura deve ser suficiente para proporcionar resistncia mecnica e baixa deformabilidade (flecha). Considerando por exemplo o esquema de uma viga como mostrado na Figura 8, para concretos do tipo C-20 e C-25 e construes de pequeno porte, uma indicao prtica para a estimativa da altura das vigas de concreto armado dividir o vo efetivo por doze, isto :

12h e

12h 2,ef2

1,ef1

ll==

Eq. 3

Na estimativa da altura de vigas com concretos de resistncia superior devem ser considerados valores maiores que doze na Eq. 68. Vigas para edifcios de vrios pavimentos, onde as aes horizontais do vento impliquem esforos solicitantes considerveis sobre a estrutura devem ter a altura definida em funo dos esforos a que estaro submetidas.

h 1 h 2

ef, 1 ef, 2l l

Figura 8 Valores prticos para estimativa da altura das vigas.

A altura das vigas deve ser preferencialmente modulada de 5 em 5 cm, ou de 10 em 10 cm. A altura mnima indicada de 25 cm. Vigas contnuas devem ter a altura dos vos obedecendo uma certa padronizao, a fim de evitar vrias alturas diferentes.

5.3 Cargas Verticais nas Vigas

Normalmente, as cargas (aes) atuantes nas vigas so provenientes de paredes, de lajes, de outras vigas, de pilares e, sempre o peso prprio da viga. As cargas nas vigas devem ser analisadas e calculadas em cada vo da viga, trecho por trecho do vo se este conter trechos de carga diferentes. Nos prximos itens so detalhados esses tipos de cargas verticais nas vigas.

5.3.1 Peso Prprio

O peso prprio de vigas com seo transversal constante uma carga considerada uniformemente distribuda ao longo do comprimento da viga, e deve sempre ser obrigatoriamente considerado. O seu valor :



8

concwpp hbg = (kN/m) Eq. 4

com: 3

conc kN/m 25= bw = largura da seo (m); h = altura da seo (m).

5.3.2 Paredes

Geralmente as paredes tm espessura e altura constantes, quanto ento a carga da parede pode ser considerada uniformemente distribuda ao longo do seu comprimento. Seu valor :

alvpar heg = (kN/m) Eq. 5

com: alv = peso especfico da parede (kN/m3); e = espessura final da parede (m); h = altura da parede (m).

De acordo com a NBR 6120, o peso especfico de 18 kN/m3 para o tijolo macio e 13 kN/m3 para o bloco cermico furado. Aberturas de portas geralmente no so consideradas como trechos de carga. No caso de vitrs, janelas e outros tipos de esquadrias, devem ser verificados os valores de carga por metro quadrado a serem considerados. Para janelas com vidros podem ser consideradas as cargas de 0,5 a 1,0 kN/m2.

5.3.3 Lajes

As reaes das lajes sobre as vigas de apoio devem ser conhecidas. Importante verificar se uma ou duas lajes descarregam a sua carga sobre a viga. As reaes das lajes nas vigas de borda sero estudadas posteriormente nesta disciplina.

5.3.4 Outras Vigas

Quando possvel definir claramente qual viga serve de apoio e qual viga est apoiada em outra, a carga concentrada na viga que serve de apoio igual a reao de apoio daquela que est apoiada. Em determinados pavimentos, a escolha de qual viga apoia-se sobre qual fica muito difcil. A escolha errada pode se tornar perigosa. Para contornar este problema, pode-se calcular os esforos e deslocamentos de todas as vigas por meio de uma grelha, com o auxlio de um programa de computador. Desse modo, os resultados so excelentes e muito prximos aos reais.

5.4 Disposies Construtivas das Armaduras

No item 18.3 a NBR 6118 estabelece diversas prescries relativas s armaduras, e referem-se s vigas isostticas com relao l/h 2,0 e s vigas contnuas com relao l/h 3,0, em que l o comprimento do vo efetivo (ou o dobro do comprimento efetivo, no caso de balano) e h a altura total da viga. Vigas com relaes l/h menores devem ser tratadas como vigas-parede.

5.4.1 Armaduras Longitudinais Mximas e Mnimas

No item 17.3.5 a NBR 6118 estabelece como princpios bsicos:

A ruptura frgil das sees transversais, quando da formao da primeira fissura, deve ser evitada considerando-se, para o clculo das armaduras, um momento mnimo dado pelo valor correspondente ao que produziria a ruptura da seo de concreto simples, supondo que a resistncia trao do concreto seja dada por fctk,sup , devendo tambm obedecer s condies relativas ao controle da abertura de fissuras dadas em 17.3.3.



9

A especificao de valores mximos para as armaduras decorre da necessidade de se assegurar condies de dutilidade e de se respeitar o campo de validade dos ensaios que deram origem s prescries de funcionamento do conjunto ao-concreto.

5.4.2 Armadura Mnima de Trao

A armadura mnima de trao, em elementos estruturais armados ou protendidos deve ser determinada pelo dimensionamento da seo a um momento fletor mnimo dado pela expresso a seguir, respeitada a taxa mnima absoluta 0,15 % (NBR 6118, 17.3.5.2.1):

Md,mn = 0,8 W0 fctk,sup Eq. 6

onde: W0 = mdulo de resistncia da seo transversal bruta de concreto, relativo fibra mais tracionada; fctk,sup = resistncia caracterstica superior do concreto trao:

fctk,sup = 1,3 fct,m Eq. 7

com: 3 2ckm,ct f3,0f = (MPa) Eq. 8

Alternativamente, a armadura mnima pode ser considerada atendida se forem respeitadas as taxas mnimas de armadura da Tabela 2.

Tabela 2 - Taxas mnimas de armadura de flexo para vigas.

Forma da seo

Valores de mn(a) (%)

20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90

Retan- gular 0,150 0,150 0,150 0,164 0,179 0,194 0,208 0,211 0,219 0,226 0,233 0,239 0,245 0,251 0,256

(a) Os valores de mn estabelecidos nesta Tabela pressupem o uso de ao CA-50, d/h 0,8, c = 1,4 e s = 1,15. Caso esses fatores sejam diferentes, mn deve ser recalculado. mn = As,mn/Ac

Em elementos estruturais, exceto elementos em balano, cujas armaduras sejam calculadas com um momento fletor igual ou maior ao dobro de Md , no necessrio atender armadura mnima. Neste caso, a determinao dos esforos solicitantes deve considerar de forma rigorosa todas as combinaes possveis de carregamento, assim como os efeitos de temperatura, deformaes diferidas e recalques de apoio. Deve-se ter ainda especial cuidado com o dimetro e espaamento das armaduras de limitao de fissurao.

No item 17.3.5.2.2 a NBR 6118 ainda estabelece Valores mnimos para a armadura de trao sob deformaes impostas.

5.4.3 Armadura Longitudinal Mxima

A soma das armaduras de trao e de compresso (As + As) no pode ter valor maior que 4 % Ac , calculada na regio fora da zona de emendas, devendo ser garantidas as condies de ductilidade requeridas em 14.6.4.3. (NBR 6118, 17.3.5.2.4).

5.4.4 Armadura de Pele

Segundo a NBR 6118 (17.3.5.2.3), nas vigas com h > 60 cm deve ser colocada uma armadura lateral, chamada armadura de pele (Figura 9), composta por barras de CA-50 ou CA-60, com espaamento



10

no maior que 20 cm e devidamente ancorada nos apoios, com rea mnima em cada face da alma da viga igual a:

Asp,face = 0,10 % Ac,alma = 0,0010 bw . h Eq. 9

Em vigas com altura igual ou inferior a 60 cm, pode ser dispensada a utilizao da armadura de pele. As armaduras principais de trao e de compresso no podem ser computadas no clculo da armadura de pele.

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

b

dh > 60 cm

w

Figura 9 Disposio da armadura de pele Asp em cada face e com espaamento e 20 cm na seo transversal de vigas com h > 60 cm.

Embora a norma indique a disposio de armadura de pele somente em vigas com alturas superiores a 60 cm, recomendamos a sua aplicao em vigas com altura a partir de 50 cm, para evitar o aparecimento de fissuras superficiais por retrao nas faces laterais verticais, e que acarretam preocupaes aos executores da obra. Nesses casos, a armadura de pele pode ser adotada igual sugerida na Eq. 9, ou uma quantidade menor, como aquela que era indicada na NB 1 de 1978:

Asp,face = 0,05% bw . h , por face.

5.5 Armaduras de Ligao Mesa-alma

Conforme o item 18.3.7 da NBR 6118: Os planos de ligao entre mesas e almas ou tales e almas de vigas devem ser verificados com relao aos efeitos tangenciais decorrentes das variaes de tenses normais ao longo do comprimento da viga, tanto sob o aspecto de resistncia do concreto, quanto das armaduras necessrias para resistir s traes decorrentes desses efeitos. As armaduras de flexo da laje, existentes no plano de ligao, podem ser consideradas parte da armadura de ligao, quando devidamente ancoradas, complementando-se a diferena entre ambas, se necessrio. A seo transversal mnima dessa armadura, estendendo-se por toda a largura til e adequadamente ancorada, deve ser de 1,5 cm2 por metro., como indicado na Figura 10.

b f

h f

wb

h

>1,5 cm /m2

Figura 10 Armadura transversal alma em sees transversais com mesa.



11

5.6 Espaamento Livre entre as Faces das Barras Longitudinais

A fim de garantir que o concreto penetre com facilidade dentro da frma e envolva completamente as barras de ao das armaduras, a NBR 6118 (18.3.2.2) estabelece os seguintes espaamentos livres mnimos entre as faces das barras longitudinais (Figura 11) (NBR 6118, 18.3.2.2):

- na direo horizontal (ah)

agrmx,

mn,h

d 2,1

cm 2a

l Eq. 10

- na direo vertical (av)

agrmx,

mn,v

d 5,0

cm 2a

l Eq. 11

onde: ah,mn = espaamento livre horizontal mnimo entre as faces de duas barras da mesma camada; av,mn = espaamento livre vertical mnimo entre as faces de duas barras de camadas adjacentes;

dmx,agr = dimenso mxima caracterstica do agregado grado utilizado no concreto; l = dimetro da barra, do feixe ou da luva.

w

h

v

t

l

c

b

e

e

Figura 11 Espaamentos livres mnimos entre as faces das barras de ao longitudinais.

6. HIPTESES BSICAS

As hipteses descritas a seguir so vlidas para elementos lineares sujeitos a solicitaes normais no Estado Limite ltimo (ELU), que possibilitam estabelecer critrios para a determinao de esforos resistentes de sees de elementos como vigas, pilares e tirantes, submetidos fora normal e momentos fletores (NBR 6118, item 17.2).

a) as sees transversais permanecem planas aps a deformao (distribuio linear de deformaes na seo); b) a deformao em cada barra de ao a mesma do concreto no seu entorno. Essa propriedade ocorre desde que haja aderncia entre o concreto e a barra de ao; c) no estado limite ltimo (ELU) despreza-se obrigatoriamente a resistncia do concreto trao; d) o ELU caracterizado segundo os domnios de deformao;



12

e) o alongamento mximo permitido ao longo da armadura de trao de 10 , a fim de prevenir deformaes plsticas excessivas. A tenso nas armaduras deve ser obtida conforme o diagrama tenso-deformao de clculo do ao (ver Figura 6); f) a distribuio de tenses de compresso no concreto feita de acordo com o diagrama tenso-deformao parbola-retngulo, com tenso mxima cd de 0,85fcd (Figura 12). Esse diagrama pode ser substitudo por um retangular, simplificado, com profundidade y = x, onde:

y = 0,8x para os concretos do Grupo I (fck 50 MPa);

y = [0,8 (fck 50)/400] x para os concretos do Grupo II (fck > 50 MPa). Eq. 12

h

= 3,5

2 x

y =

0,

8 x

cd cd

LN

cu

Figura 12 Diagramas x parbola-retngulo e retangular simplificado para distribuio de tenses de compresso no concreto, para concretos do Grupo I de resistncia (fck 50 MPa) .

A tenso de compresso no concreto (cd) pode ser tomada como:

f1) no caso da largura da seo, medida paralelamente linha neutra, no diminuir da linha neutra em direo borda comprimida (Figura 13), a tenso :

c

ckcdcd

f85,0f85,0

== para os concretos do Grupo I (fck 50 MPa);

( )[ ] cdckcd f85,0200/50f1 = para os concretos do Grupo II (fck > 50 MPa). Eq. 13

LN

Figura 13 - Sees onde a largura no diminui da linha neutra em direo borda comprimida.

f2) em caso contrrio, isto , quando a seo diminui (Figura 14), a tenso :

cdcd f85,09,0 = para os concretos do Grupo I (fck 50 MPa);

( )[ ] cdckcd f85,0200/50f19,0 = para os concretos do Grupo II (fck > 50 MPa). Eq. 14



13

LN

Figura 14 - Sees onde a largura diminui da linha neutra em direo borda comprimida.

7. SEO RETANGULAR COM ARMADURA SIMPLES

Embora as vigas possam ter a seo transversal com qualquer forma geomtrica, na maioria dos casos da prtica a seo a retangular. Define-se viga com armadura simples a seo que necessita apenas de uma armadura longitudinal resistente tracionada. No entanto, por questes construtivas so colocadas barras longitudinais tambm na regio comprimida, para a amarrao dos estribos, no sendo esta armadura considerada no clculo de flexo como armadura resistente, ou seja, na seo com armadura simples as tenses de compresso so resistidas unicamente pelo concreto.

No item 7 ser estudada a seo com armadura dupla, que aquela que necessita tambm de uma armadura resistente comprimida, alm da armadura tracionada.

Na sequncia sero deduzidas as equaes vlidas apenas para a seo retangular. As equaes para outras formas geomtricas da seo transversal podem ser deduzidas de modo semelhante deduo seguinte.

7.1 Equaes de Equilbrio

A formulao dos esforos internos resistentes da seo feita com base nas equaes de equilbrio das foras normais e dos momentos fletores: 0N = ; 0M =

A Figura 15 mostra a seo transversal de uma viga sob flexo simples, de forma retangular e solicitada por momento fletor positivo, com largura bw e altura h, armadura As e rea Ac de concreto comprimido, delimitada pela linha neutra (LN). A linha neutra demarcada pela distncia x, contada a partir da fibra mais comprimida da seo transversal. A altura til d, considerada da fibra mais comprimida at o centro de gravidade da armadura longitudinal tracionada.

O diagrama de deformaes ao longo da altura da seo, com as deformaes notveis cd (mxima deformao de encurtamento do concreto comprimido) e sd (deformao de alongamento na armadura tracionada) e o diagrama retangular simplificado de distribuio de tenses de compresso, com altura y = 0,8x (Eq. 12), e as respectivas resultantes de tenso (Rcc e Rst) esto tambm mostrados na Figura 15. Observe que a altura do diagrama (y = 0,8x) e a tenso de compresso no concreto (cd) so valores vlidos para os concretos do Grupo I de resistncia (fck 50 MPa). Para os concretos do Grupo II esses valores so diferentes. A Figura 16 tambm vlida apenas para os concretos do Grupo I.

cd

Rcc

ccZ

Rst

cd

LN

xRcc

M

As

A'c

bw

stR sdsA

h d

d - x

y = 0,8x

0,85 f cd

Figura 15 Distribuio de tenses e deformaes em viga de seo retangular com armadura simples.



14

Para ilustrar melhor a forma de distribuio das tenses de compresso na seo, a Figura 16 mostra a seo transversal em perspectiva, com os diagramas parbola-retngulo e retangular simplificado, como apresentados no item 5. O equacionamento apresentado a seguir ser feito segundo o diagrama retangular simplificado, que conduz a equaes mais simples e com resultados muito prximos queles obtidos com o diagrama parbola-retngulo.

z

0,4x0,8x

0,85 fcd

bw

ccR

As

x

cd

ccR

Rst

As

wb

x

LN LN

stR

0,85 f

Figura 16 Distribuio de tenses de compresso segundo os diagramas parbola-retngulo e retangular simplificado.

a) Equilbrio de Foras Normais

Considerando que na flexo simples no ocorrem foras normais solicitantes, e que a fora resultante das tenses de compresso no concreto deve estar em equilbrio com a fora resultante das tenses de trao na armadura As , como indicadas na Figura 15, pode-se escrever:

Rcc = Rst Eq. 15

Tomando da Resistncia dos Materiais que = R/A, a fora resultante das tenses de compresso no concreto, considerando o diagrama retangular simplificado, pode ser escrita como:

Rcc = cd Ac

Considerando a rea de concreto comprimido (Ac) correspondente ao diagrama retangular simplificado com altura 0,8x fica:

Rcc = 0,85fcd 0,8x bw

Rcc = 0,68bw x fcd Eq. 16

e a fora resultante das tenses de trao na armadura tracionada:

Rst = sd As Eq. 17

com sd = tenso de clculo na armadura tracionada; As = rea de ao da armadura tracionada.

b) Equilbrio de Momentos Fletores

Considerando o equilbrio de momentos fletores na seo, o momento fletor solicitante deve ser equilibrado por um momento fletor resistente, proporcionado pelo concreto comprimido e pela armadura tracionada. Assumindo valores de clculo, por simplicidade de notao ambos os momentos fletores devem ser iguais ao momento fletor de clculo Md , tal que:

Msolic = Mresist = Md



15

As foras resistentes internas, proporcionadas pelo concreto comprimido e pela armadura tracionada, formam um binrio oposto ao momento fletor solicitante, podendo ser escrito:

Md = Rcc . zcc Eq. 18

Md = Rst . zcc Eq. 19

onde: Rcc . zcc = momento interno resistente, proporcionado pelo concreto comprimido; Rst . zcc = o momento interno resistente, proporcionado pela armadura tracionada.

Com zcc = d 0,4x e aplicando a Eq. 16 na Eq. 18 fica:

Md = 0,68bw x fcd (d 0,4x) Eq. 20

onde: bw = largura da seo; x = posio da linha neutra; fcd = resistncia de clculo do concreto compresso; d = altura til. Md definido como o momento interno resistente proporcionado pelo concreto comprimido. Md deve ser considerado em valor absoluto na Eq. 20.

Substituindo a Eq. 17 na Eq. 19 define-se o momento interno resistente proporcionado pela armadura tracionada:

Md = sd As (d 0,4x) Eq. 21

Isolando a rea de armadura tracionada:

( )x4,0dMA

sd

ds

= Eq. 22

As Eq. 20 e Eq. 22 proporcionam o dimensionamento das sees retangulares com armadura simples. Nota-se que so sete as variveis contidas nas duas equaes, o que leva, portanto, na necessidade de se adotarem valores para cinco das sete variveis. De modo geral, na prtica fixam-se os materiais (concreto e ao) e a seo transversal, e o momento fletor solicitante geralmente conhecido, ficando como incgnitas apenas a posio da linha neutra (x) e a rea de armadura (As).

Com a Eq. 20 determina-se a posio x para a linha neutra, e comparando x com os valores x2lim e x3lim define-se qual o domnio em que a viga se encontra (2, 3 ou 4). Nos domnios 2 ou 3 a tenso na armadura tracionada (sd) igual mxima tenso possvel, isto , fyd (ver diagramas nas Figura 5 e Figura 6). Definidos x e sd calcula-se a rea de armadura tracionada (As) com a Eq. 22.

Se resultar o domnio 4, alguma alterao deve ser feita de modo a tornar x x3lim , e resultar, como consequncia, o domnio 2 ou o 3. Conforme a Eq. 20 verifica-se que para diminuir x pode-se:

- diminuir o valor do momento fletor solicitante (Md); - aumentar a largura ou a altura da viga (> d); - aumentar a resistncia do concreto. Dessas possibilidades, geralmente a soluo mais vivel de ser implementada na prtica o

aumento da altura da viga (h), considerando sempre essa possibilidade em funo do projeto arquitetnico. Quando nenhuma alterao pode ser adotada, resta ainda estudar a possibilidade de dimensionar a seo com armadura dupla, que est apresentada no item 8.

Para complementar a anlise do domnio da viga, deve tambm ser analisada a relao entre a posio da linha neutra e a altura til (x/d), para obedecer limites impostos pela norma. No item 14.6.4.3 a NBR 6118 apresenta limites para redistribuio de momentos fletores e condies de ductilidade, afirmando que a capacidade de rotao dos elementos estruturais funo da posio da linha neutra no ELU. Quanto menor for x/d, tanto maior ser essa capacidade. E para proporcionar o adequado comportamento dtil em vigas e lajes, a posio da linha neutra no ELU deve obedecer aos seguintes limites:



16

a) x/d 0,45 para concretos com fck 50 MPa;

b) x/d 0,35 para concretos com 50 < fck 90 MPa.

Eq. 23

Esses limites podem ser alterados se forem utilizados detalhes especiais de armaduras, como, por exemplo, os que produzem confinamento nessas regies.

A verso anterior (2003) da NBR 6118 preconizava que, caso a seo transversal da viga fosse de apoio ou de ligao com outros elementos estruturais, limites semelhantes queles da Eq. 23 deveriam ser atendidos. Na verso de 2014, embora de maneira no explcita, foi introduzida uma alterao, que os limites da Eq. 23 passar a serem vlidos tambm para as sees com momentos fletores positivos, como aqueles, por exemplo, de vigas biapoiadas, alm das sees de apoio com momento fletor negativo, mesmo que no tenha sido feita uma redistribuio dos momentos fletores.

c) Permanncia da Seo Plana

Do diagrama de deformaes mostrado na Figura 15 define-se a relao entre as deformaes de clculo na armadura (sd) e no concreto correspondente fibra mais comprimida:

xdx

sd

cd

=

Eq. 24

Considerando-se a varivel x , que relaciona a posio da linha neutra com a altura til d, tem-se:

dx

x = Eq. 25

Substituindo x por x . d na Eq. 24 fica:

sdcd

cdx

+

= Eq. 26

7.2 Clculo Mediante Equaes com Coeficientes K

Com o intuito de facilitar o clculo manual, h muitos anos vem se ensinando no Brasil o dimensionamento de vigas com a utilizao de tabelas com coeficientes K. Para diferentes posies da linha neutra, expressa pela relao x = x/d, so tabelados coeficientes Kc e Ks , relativos resistncia do concreto e tenso na armadura tracionada.

Os coeficientes Kc e Ks encontram-se apresentados na Tabela A-1 e na Tabela A-2, constantes do Anexo no final desta apostila. A Tabela A-1 para apenas o ao CA-50 e a Tabela A-2 para todos os tipos de ao aplicados no Concreto Armado. Considere que as tabelas citadas so vlidas apenas para os concretos do Grupo I (fck 50 MPa). Considerando a Eq. 20 (Md = 0,68bw x fcd (d 0,4x)), substituindo x por x . d encontra-se:

Md = 0,68bw x d fcd (d 0,4x d)

Md = 0,68bw x d2 fcd (1 0,4x)

Introduzindo o coeficiente Kc :

c

2w

d KdbM = , com:

( )xcdxc

4,01f68,0K1 = Eq. 27



17

Isolando o coeficiente Kc tem-se:

d

2w

c MdbK = Eq. 28

O coeficiente Kc est apresentado na Tabela A-1 e Tabela A-2. Observe na Eq. 22 que Kc depende da resistncia do concreto compresso (fcd) e da posio da linha neutra, expressa pela varivel x . O coeficiente tabelado Ks definido substituindo-se x por x . d na Eq. 22:

( )x4,0dMA

sd

ds

= ( ) d4,01

MAxsd

ds =

com:

( )xsds 4,011K = Eq. 29

a rea de armadura tracionada As , em funo do coeficiente Ks :

dMKA dss = Eq. 30

O coeficiente Ks est apresentado na Tabela A-1 e na Tabela A-2. Observe que Ks depende da tenso na armadura tracionada (sd) e da posio da linha neutra, expressa por x .

muito importante observar que os coeficientes K foram calculados considerando as unidades de kN e cm, de modo que as variveis mostradas na Eq. 28 e na Eq. 30 (bw , d , Md) devem ter essas unidades.

7.3 Exemplos Numricos

As vigas tm basicamente dois tipos de problemas para serem resolvidos: de dimensionamento e de verificao. Os trs primeiros exemplos apresentados so de dimensionamento e os dois ltimos so de verificao.

O dimensionamento consiste em se determinar qual a armadura necessria para uma viga, sendo previamente conhecidos: os materiais, a seo transversal e o momento fletor solicitante. Esse tipo de clculo normalmente feito durante a fase de projeto das estruturas, para a sua futura construo.

Nos problemas de verificao a incgnita principal o mximo momento fletor que a seo pode resistir. Problemas de verificao normalmente ocorrem quando a viga pertence a uma construo j executada e em utilizao, e se deseja conhecer a capacidade de carga de uma viga. Para isso necessrio conhecer os materiais que compem a viga, como a classe do concreto (fck), o tipo de ao, a quantidade de armadura e o seu posicionamento na seo transversal, as dimenses da seo transversal, etc.

Na grande maioria dos casos da prtica os problemas so de dimensionamento, e esporadicamente ocorrem os problemas de verificao e, por este motivo, ser dada maior nfase aos problemas de dimensionamento.

Aps o estudo dos exemplos seguintes o estudante deve fazer os exerccios propostos no item 10.

1) Para a viga indicada na Figura 17, calcular a rea de armadura longitudinal de flexo e as deformaes na fibra de concreto mais comprimida e na armadura de flexo tracionada. So conhecidos:

Mk,mx = + 10.000 kN.cm h = 50 cm c = f = 1,4 ; s = 1,15 bw = 20 cm concreto C20 (fck = 20 MPa, Grupo I) d = 47 cm (altura til)

ao CA-50 c = 2,0 cm (cobrimento nominal) t = 5 mm (dimetro do estribo) concreto com brita 1 (dmx = 19 mm), sem brita 2



18

Mk,mx

A

A

lef

bw20 cm

h = 50 cm

Figura 17 - Viga biapoiada.

RESOLUO

O problema de dimensionamento, aquele que mais ocorre no dia a dia do engenheiro estrutural. A incgnita principal a rea de armadura tracionada (As), alm da posio da linha neutra, dada pela varivel x, que deve ser determinada primeiramente. A resoluo ser feita segundo as equaes tericas deduzidas do equilbrio da seo (Eq. 20 e Eq. 22), e tambm com aplicao das equaes com coeficientes K tabelados. O momento fletor de clculo :

kN.cm 000.1410000.4,1M.M kfd ===

sendo f o coeficiente de ponderao que majora os esforos solicitantes.

O valor x2lim delimita os domnios 2 e 3, e para os concretos do Grupo I de resistncia (fck 50 MPa) fixo e igual a 0,26d:

cm 2,1247.26,0d26,0x lim2 ===

O valor x3lim delimita os domnios 3 e 4, e para os concretos do Grupo I e ao CA-50, x3lim igual a 0,63d (ver Tabela 1): x3lim = 0,63d = 0,63 . 47 = 29,6 cm

a) Resoluo com Equaes Tericas

Com a Eq. 20 determina-se a posio (x) da linha neutra para a seo:

( )x4,0dfxb68,0M cdwd = ( )x4,0474,10,2

x20.68,014000 =

08,1801x5,117x2 =+

=

=

cm 1,18xcm 4,99x

2

1

A primeira raiz no interessa, pois 99,4 cm > h = 50 cm. Portanto, x = 18,1 cm, como mostrado na Figura 18. Como o momento fletor solicitante tem sinal positivo, a posio da linha neutra deve ser medida a partir da borda superior comprimida. Observe que as unidades adotadas para as variveis da Eq. 20 foram o kN e o cm. Se outras unidades diferentes forem adotadas deve-se tomar o cuidado de mant-las em todas as variveis. importante observar que o momento fletor deve ser colocado na equao com o seu valor absoluto. O momento fletor positivo traciona a parte inferior da viga, e para resistir a ele colocada uma armadura longitudinal chamada armadura positiva. No caso de momento fletor negativo colocada a armadura negativa, prxima borda superior da viga.



19

Comparando a posio da linha neutra (x) com os limites x2lim e x3lim determina-se o domnio em que a viga se encontra:

cm 6,29xcm1,18xcm2,12x lim3lim2 =



20

dMKA dss = = 04,847

14000027,0 = cm2

Comparando os resultados obtidos segundo as duas formulaes verifica-se que os valores so muito prximos.

c) Detalhamento da armadura na seo transversal

Inicialmente deve-se comparar a armadura calculada (As = 8,10 cm2) com a armadura mnima longitudinal prescrita pela NBR 6118. Conforme a Tabela 2, para concreto C20 e seo retangular, a armadura mnima de flexo :

As,mn = 0,15 % bw h = 0,0015 . 20 . 50 = 1,50 cm2

Verifica-se que a armadura calculada de 8,10 cm2 maior que a armadura mnima. Quando a armadura calculada for menor que a armadura mnima, deve ser disposta a rea da armadura mnima na seo transversal da viga. A escolha do dimetro ou dos dimetros e do nmero de barras para atender rea de armadura calculada admite diversas possibilidades. Um ou mais dimetros podem ser escolhidos, preferencialmente dimetros prximos entre si. A rea de ao escolhida deve atender rea de armadura calculada, preferencialmente com uma pequena folga, mas segundo sugesto do autor admite-se uma rea at 5 % inferior calculada. O nmero de barras deve ser aquele que no resulte numa fissurao significativa na viga e nem dificuldades adicionais durante a confeco da armadura. A fissurao diminuda quanto mais barras de menor dimetro so utilizadas. Porm, deve-se cuidar para no ocorrer exageros e aumentar o trabalho de montagem da armadura. Para a rea de armadura calculada neste exemplo, de 8,10 cm2, com auxlio das Tabela A-3 e Tabela A-4, podem ser enumeradas as seguintes combinaes:

- 16 8 mm = 8,00 cm2; - 10 10 mm = 8,00 cm2; - 7 12,5 mm = 8,75 cm2; - 4 16 mm = 8,00 cm2; - 3 16 mm + 2 12,5 mm = 8,50 cm2; - 3 20 mm = 9,45 cm2; - 2 20 mm + 1 16 mm = 8,30 cm2; - 2 20 mm + 2 12,5 mm = 8,80 cm2.

Outras combinaes de nmero de barras e de dimetros podem ser enumeradas. A escolha de uma das combinaes listadas deve levar em conta os fatores: fissurao, facilidade de execuo, porte da obra, nmero de camadas de barras, exequibilidade (largura da viga principalmente), entre outros.

Detalhamentos com uma nica camada resultam sees mais resistentes que sees com duas ou mais camadas de barras, pois quanto mais prximo estiver o centro de gravidade da armadura borda tracionada, maior ser a resistncia da seo. Define-se como camada as barras que esto numa mesma linha paralela linha de borda inferior ou superior da seo. O menor nmero possvel de camadas deve ser um dos objetivos do detalhamento.

Das combinaes listadas, 16 8 e 10 10 devem ser descartadas porque o nmero de barras excessivo, o que aumentaria o trabalho do armador (operrio responsvel pela confeco das armaduras nas construes). Por outro lado, as trs ltimas combinaes, com o dimetro de 20 mm, tm um nmero pequeno de barras, no sendo o ideal para a fissurao, alm do fato da barra de 20 mm representar maiores dificuldades no seu manuseio, confeco de ganchos, etc. Entre todas as combinaes, as melhores alternativas so 7 12,5 e 4 16 mm, sendo esta ltima pior para a fissurao, mas que certamente ficar dentro de valores mximos recomendados pela NBR 6118. O estudo da fissurao nas vigas ser apresentado na disciplina 2158 Estruturas de Concreto IV.



21

Na escolha entre 7 12,5 e 4 16 mm deve-se tambm atentar para o porte da obra. Construes de pequeno porte devem ter especificados dimetros preferencialmente at 12,5 mm, pois a maioria delas no tm mquinas eltricas de corte de barras, onde so cortadas com serras ou guilhotinas manuais, com capacidade de corte de barras at 12,5 mm. Guilhotinas maiores so praticamente inexistentes nas obras de pequeno porte. Alm disso, as armaduras so feitas por pedreiros e ajudantes e no armadores profissionais. No h tambm bancadas de trabalho adequadas para o dobramento das barras. De modo que recomendamos dimetros de at 12,5 mm para as obras de pequeno porte, e acima de 12,5 mm apenas para as obras de maior porte, com trabalho de armadores profissionais.

Como o momento fletor solicitante tem sinal positivo, extremamente importante que a armadura As calculada seja disposta na posio correta da viga, isto , nas proximidades da borda sob tenses de trao, que no caso em questo a borda inferior. Um erro de posicionamento da armadura, como as barras serem colocadas na borda superior, pode resultar no srio comprometimento da viga em servio, podendo-a levar inclusive ao colapso imediatamente retirada dos escoramentos.

A disposio das barras entre os ramos verticais do estribo deve proporcionar uma distncia livre entre as barras suficiente para a passagem do concreto, a fim de evitar o surgimento de nichos de concretagem, chamados na prtica de bicheira. Para isso, conforme apresentado na Eq. 10, o espaamento livre horizontal mnimo entre as barras dado por:

agrmx,

mn,h

d 2,1

cm 2a

l

Quando as barras de uma mesma camada tm dimetros diferentes, a verificao do espaamento livre mnimo (ah,mn) entre as barras deve ser feita aplicando-se a Eq. 10 acima. Por outro lado, quando as barras da camada tm o mesmo dimetro, a verificao pode ser feita com auxlio da Tabela A-4, que mostra a Largura bw mnima para um dado cobrimento nominal (c). Determina-se a largura mnima na interseco entre a coluna e a linha da tabela, correspondente ao nmero de barras da camada e o dimetro das barras, respectivamente. O valor para a largura de bw mnimo depende do dimetro mximo da brita de maior dimenso utilizada no concreto.

A Figura 19 mostra o detalhamento da armadura na seo transversal da viga, onde foi adotada a combinao 4 16 mm (a combinao 7 12,5 mm deve ser feita como atividade do aluno). Para 4 16 mm, na Tabela A-4 encontra-se a largura mnima de 19 cm para concreto com brita 1 e cobrimento de 2,0 cm. Como a largura da viga 20 cm, maior que a largura mnima, possvel alojar as quatro barras numa nica camada, atendendo ao espaamento livre mnimo.

Alm da armadura tracionada As devem ser dispostas tambm no mnimo duas barras na borda superior da seo, barras construtivas chamadas porta-estribos, que servem para a amarrao dos estribos da viga. Armaduras construtivas so muito comuns nos elementos estruturais de concreto armado, auxiliam na confeco e montagem das armaduras e colaboram com a resistncia da pea, embora no sejam levadas em conta nos clculos.

A distncia acg , medida entre o centro de gravidade da armadura tracionada e a fibra mais tracionada da seo transversal, neste caso dada pela soma do cobrimento, do dimetro do estribo e metade do dimetro da armadura:

acg = 2,0 + 0,5 + 1,6/2 = 3,3 cm

A altura til d, definida como a distncia entre o centro de gravidade da armadura tracionada fibra mais comprimida da seo transversal, conforme o detalhamento da Figura 19 :

d = h acg = 50 3,3 = 46,7 cm

O valor inicialmente adotado para a altura til d foi 47 cm. Existe, portanto, uma pequena diferena de 0,3 cm entre o valor inicialmente adotado e o valor real calculado em funo do detalhamento escolhido. Pequenas diferenas, de at 1 cm ou 2 cm podem, de modo geral, serem desconsideradas em



22

vigas de dimenses correntes, no havendo a necessidade de se recalcular a armadura, pois a diferena de armadura geralmente pequena.

Embora a norma indique a armadura de pele para vigas com h > 60 cm (ver Eq. 9), recomendamos a sua aplicao quando h 50 cm, para evitar o aparecimento de fissuras por retrao, com rea igual quela indicada na antiga NB 1 de 1978:

Asp,face = 0,05% bw . h Asp,face = 0,05% . 20 . 50 = 0,5 cm2 (3 5 mm = 0,60 cm2 em cada face vertical)

416 (8,00 cm)

20

a

d50

cg

armaduraconstrutiva

armadura de pele(6 5)

Figura 19 Detalhamento da armadura longitudinal As na seo transversal.

d) Deformaes na fibra mais comprimida (concreto) e na armadura tracionada

No domnio 3 a deformao de encurtamento na fibra de concreto mais comprimida fixa e igual a 3,5 para os concretos do Grupo I. A deformao na armadura As varia de yd (2,07 para o ao CA-50) a 10 , podendo ser calculada pela Eq. 24. Considerando d = 46,7 cm conforme determinado no detalhamento mostrado na Figura 19:

xdx

sd

cd

=

1,187,461,185,3

sd =

sd = 5,5

A Figura 20 ilustra as deformaes nos materiais e os domnios 2 e 3 de deformao.

d

2

3

4

x = 18,1 cmLN

sd

cu

=10 yd 0

3,5 0

5,5

x 2lim

3limx

2,07

Figura 20 Diagrama de domnios (para concretos do Grupo I) e deformaes no concreto comprimido e na armadura tracionada.



23

2) Calcular a altura til (d) e a armadura longitudinal de flexo (As), para o mximo momento fletor positivo da viga de seo retangular, mostrada na Figura 21. Dados: concreto C25 t = 5 mm (dimetro do estribo) ao CA-50 c = 2,5 cm bw = 20 cm concreto com brita 1 Mk,mx = + 12.570 kN.cm c = f = 1,4 ; s = 1,15

M = 12.570 kN.cmk,mx

Figura 21 Esquema esttico e diagrama de momentos fletores.

RESOLUO

Como a altura da viga no est fixada, dado que a altura til d uma incgnita, o problema admite infinitas solues, tanto no domnio 2 como no domnio 3, desde que no domnio 3 sejam obedecidos os limites estabelecidos na Eq. 23. No domnio 4 no se admite o dimensionamento, mesmo porque os limites da Eq. 23 seriam ultrapassados.

O problema resolvido fixando-se a posio da linha neutra, isto , adotando-se um valor para x, e para cada x adotado resulta um par d / As.

Considerando o concreto C25 e a Eq. 23, a posio da linha neutra pode variar de zero at o limite x = x/d = 0,45 (domnio 3). Com o objetivo de mostrar duas solues entre as infinitas existentes, o exemplo ser resolvido com a posio da linha neutra fixada em duas diferentes posies: no limite entre os domnios 2 e 3 (x = x2lim) e no valor mximo x/d = 0,45 ver Figura 5. Ambas as solues visam dimensionar a viga com armadura simples, pois outras solues possveis com armadura dupla no sero apresentadas neste exemplo. A resoluo do exerccio ser feita segundo as equaes do tipo K, ficando a resoluo pelas equaes tericas como tarefa para o estudante. O clculo pelas equaes tericas (Eq. 20 e Eq. 22) faz-se arbitrando valores para x na Eq. 20, donde se obtm um valor correspondente para d. A rea de armadura calculada ento com a Eq. 22, tendo todas as suas variveis conhecidas.

O momento fletor de clculo :

Md = f . Mk = 1,4 . 12570 = 17.598 kN.cm

a) Linha neutra passando por x2lim

Com a linha neutra em x2lim implica que x = x2lim = 0,26 (para os concretos do Grupo I de resistncia), e na Tabela A-1 para concreto C25 e ao CA-50 encontram-se:

=

=

026,0K5,3K

s

c

Com a Eq. 28 calcula-se a altura til d:

d

2w

c MdbK = cm 5,55

2017598.5,3

bMKdw

dc===



24

A rea de armadura As (Eq. 30) resulta:

2dss cm 24,85,55

17598026,0d

MKA ===

Um arranjo possvel de barras para a rea calculada 3 16 mm + 2 12,5 mm = 8,50 cm2. H vrias outras combinaes ou arranjos possveis. A posio da linha neutra (x) pode ser obtida com a Eq. 25:

cm 4,145,55.26,0dx x dx

lim2xlim2x =====

A Figura 22 mostra a posio da linha neutra, os domnios e o diagrama de deformaes para a seo em anlise. Observe que, com a linha neutra passando por x2lim, a deformao de encurtamento no concreto comprimido (cd) igual a 3,5 (concretos do Grupo I), e a deformao de alongamento na armadura (sd) igual a 10,0 , ambas iguais aos mximos valores permitidos pela NBR 6118.

10 yd

2limx

0 3,5

x = 14,42lim

= 3,5 cd

sd As

LN

As

20

55,5

2

3

cA'

h

Figura 22 Diagrama de domnios e deformaes nos materiais com a linha neutra passando em x2lim .

A Figura 23 mostra o detalhamento da armadura na seo transversal. Como j observado no exerccio anterior, extremamente importante posicionar corretamente a armadura As , dispondo-a prxima face tracionada da seo, que neste caso a face inferior, pois a viga est solicitada por momento fletor positivo.

Inicialmente, deve-se tentar colocar as cinco barras na primeira camada, prxima borda tracionada. Como foram escolhidos dois dimetros diferentes para a armadura no possvel utilizar a Tabela A-4 para verificar a possibilidade de alojar as cinco barras numa nica camada. Neste caso, a verificao deve ser feita comparando o espaamento livre existente entre as barras com o espaamento mnimo preconizado pela NBR 6118. Considerando a barra de maior dimetro e concreto com brita 1 (dmx,agr = 19 mm), o espaamento mnimo entre as barras, conforme a Eq. 10 :

==

=cm3,29,12,1d2,1

cm6,1cm2

a

agr,mx

mn,h l ah,mn = 2,3 cm

O espaamento livre existente entre as barras, considerando as cinco barras numa nica camada :

( )[ ] 7,14

6,1.325,15,05,2220ah =

+++= cm



25

Como ah = 1,7 < ah,mn = 2,3 cm, as cinco barras no podem ser alojadas numa nica camada. Como uma segunda tentativa uma barra 12,5 deve ser deslocada para a segunda camada (acima da primeira), o que resulta para ah:

( )[ ] 7,23

25,16,1.35,05,2220ah =

+++= cm

Como ah = 2,7 > ah,mn = 2,3 cm, as quatro barras podem ser alojadas na primeira camada. A barra 12,5 da segunda camada fica amarrada num dos ramos verticais dos estribos.

x = x = 14,4

55,5

60

20

3 16

a

2 12,5

a = 2,7h

c

LN2lim

1 cam.

cg

Figura 23 Detalhamento da armadura na seo transversal e posio da linha neutra em x = x2lim.

No h a necessidade de determinar a posio exata do centro de gravidade da armadura As , a posio aproximada suficiente, no conduzindo a erro significativo. No exemplo, o centro de gravidade pode ser tomado na linha que passa pela face superior das barras 16 mm.

A distncia (acg) entre o centro de gravidade (CG) da armadura longitudinal tracionada (As) fibra mais tracionada da seo neste caso :

acg = c + t + l/2 = 2,5 + 0,5 + 1,6 = 4,6 cm

A altura da viga a soma da altura til d com a distncia acg :

h = d + acg = 55,5 + 4,6 = 60,1 cm 60 cm

Para as vigas recomenda-se adotar alturas com valores mltiplos de 5 cm ou 10 cm. A armadura mnima de flexo, conforme a Tabela 2, :

hb%15,0A wmn,s =

2mn,s cm 80,160200015,0A ==

As = 8,24 cm2 > As,mn = 1,80 cm2 dispor a armadura calculada.

Embora a norma indique a armadura de pele quando h > 60 cm (Eq. 9), recomendamos a sua aplicao para h 50 cm, com rea indicada na NB 1/1978:

Asp,face = 0,05% bw . h Asp,face = 0,05% . 20 . 60 = 0,6 cm2 (3 5 mm = 0,60 cm2 em cada face vertical. Esta armadura de pele no est indicada na Figura 23).



26

b) Linha neutra passando no limite x/d = 0,45

Neste caso, x = 0,45 e na Tabela A-1 para concreto C25 e ao CA-50, encontram-se:

=

=

028,0K2,2K

s

c

Com a Eq. 28 calcula-se a altura til d:

d

2w

c MdbK = cm 0,44

2017598.2,2

bMKdw

dc===

A rea de armadura As (Eq. 30) resulta:

2dss cm 20,1144

17598028,0d

MKA ===

Um arranjo de barras composto por 6 16 mm = 12,00 cm2. Outros arranjos podem ser utilizados. A posio da linha neutra (x) pode ser obtida com a Eq. 25:

cm8,1944.45,0 x 0,45dx

x ====

A Figura 24 mostra a posio da linha neutra, os domnios e o diagrama de deformaes para a seo em anlise. Observe que, com a linha neutra passando por x = 0,45d, o domnio o 3, e a deformao de encurtamento no concreto comprimido (cd) igual a 3,5 (para concretos do Grupo I), e a deformao de alongamento na armadura (sd) (Eq. 24):

xdx

sd

cd

=

8,19448,195,3

sd =

sd = 4,3

maior que yd (2,07 ), como era de se esperar.

10 yd

sA

x 3lim

sd

3,5

LN

0B

x = 19,8

= 3,5 cd

20

sA

d = 44,0

A'c

h

2

3

2limx

04,3

Figura 24 Diagrama de domnios e deformaes nos materiais com a linha neutra passando por x = 0,45d.

Na distribuio das seis barras 16 mm na seo transversal pode-se fazer uso Tabela A-4, para se determinar quantas camadas de barras so necessrias. O intuito de alojar o maior nmero de barras numa primeira camada. Na Tabela A-4, com c = 2,5 cm, verifica-se que a largura bw mnima necessria para alojar 6 16 mm de 27 cm, maior que a largura existente, de 20 cm, no sendo possvel, portanto, alojar as seis barras. Cinco barras tambm no podem, j que bw,mn = 23 cm supera a largura existente.



27

Mas quatro barras podem ser alojadas numa nica camada, como mostrado na Tabela A-4, a largura bw,mn de 20 cm igual largura da viga.

As duas outras barras restantes devem ser dispostas numa segunda camada, amarradas nos ramos verticais dos estribos, posicionadas com o espaamento livre mnimo (av,mn) relativo face superior das barras da primeira camada, como mostrado na Figura 25. O espaamento livre mnimo vertical entre as barras, conforme a Eq. 11 :

==

=cm0,19,15,0d5,0

cm6,1cm2

a

agr,mx

mn,v l av,mn = 2,0 cm

De modo geral, o espaamento livre entre camadas resulta igual a 2,0 cm.

2 16

4 16

a v

t

c

0,5

cga

LN

CG

20

44,049,1

x = 19,8A'c

Figura 25 Detalhamento da armadura na seo transversal e posio da linha neutra em x = 0,45d.

Adotando-se a posio do centro de gravidade da armadura de forma aproximada, numa linha passando a 0,5 cm acima da superfcie superior das barras 16 mm da primeira camada, a distncia acg (distncia do centro de gravidade CG - da armadura longitudinal tracionada (As) fibra mais tracionada da seo) : acg = 2,5 + 0,5 + 1,6 + 0,5 = 5,1 cm

Para a altura da viga resulta:

h = d + acg = 44,0 + 5,1 = 49,1 cm

A altura calculada para a viga, de 49,1 cm no uma medida padro de execuo na prtica das construes. comum adotarem alturas mltiplas de 5 cm ou 10 cm para as vigas, o que leva altura de 50 cm.

a3) Comparao dos resultados

Os clculos efetuados com a linha neutra fixada em x2lim e x = 0,45d forneceram as solues:

a) x2lim : h = 60 cm , As = 8,24 cm2;

b) x = 0,45d: h = 50 cm , As = 11,20 cm2.

Os resultados permitem tecer as seguintes consideraes:



28

- quanto menor for o valor de x ou a profundidade da linha neutra dentro da seo transversal, maior ser a altura resultante para a viga e menor ser a rea de armadura tracionada. Com a maior altura da seo o brao de alavanca z entre as foras resultantes internas tambm maior, o que leva a menor necessidade de armadura;

- as vigas dimensionadas no domnio 2 resultam vigas com maior altura e menor armadura que as vigas dimensionadas no domnio 3;

- a considerao anterior implica que as vigas dimensionadas no domnio 2 consomem maiores volumes de concreto e maiores quantidades de frma, escoramento, mo-de-obra, etc. Um estudo de custos deve constatar que o dimensionamento no domnio 2 resulta num custo maior que o dimensionamento no domnio 3, apesar do menor consumo de ao proporcionado pelo domnio 2;

- outro aspecto importante que o dimensionamento no domnio 3, com vigas de menor altura, resultam vigas mais flexveis, sujeitas a flechas de maior magnitude.

3) Calcular a armadura longitudinal As de uma viga submetida flexo simples, sendo dados: concreto C25 c = 2,5 cm ao CA-50 t = 6,3 mm (dimetro do estribo) h = 60 cm concreto com brita 1 bw = 22 cm c = f = 1,4 ; s = 1,15

Mk = 15.000 kN.cm (momento fletor negativo no apoio da viga)

RESOLUO

Neste caso, como todas as variveis esto fixadas, com exceo da posio da linha neutra (x) e da rea de armadura As, existe apenas uma soluo, dada pelo par x - As. A resoluo iniciada pela determinao de x e em seguida pelo clculo de As . A questo ser resolvida utilizando-se as equaes tericas e tambm com as equaes com coeficientes K.

A altura til d no conhecida porque no se conhece o arranjo da armadura na seo transversal. necessrio estimar d, fazendo a altura da viga menos a distncia entre o centro de gravidade da armadura tracionada e a fibra mais tracionada (distncia acg). Essa distncia depende da armadura As , da largura da viga, do dimetro do estribo e principalmente da espessura do cobrimento de concreto, que, quanto maior, maior ser a distncia acg . De modo geral, para as vigas correntes, o valor de acg varia em torno de 3 cm a 6 cm. A soluo adotar um valor para acg e depois verificar o valor exato no detalhamento da armadura na seo transversal. Normalmente no necessrio recalcular a armadura para o valor de acg determinado no detalhamento, dado que a variao de armadura geralmente pequena. Para a distncia acg desta questo ser adotado o valor de 5 cm, e d :

d = h 5 cm = 60 5 = 55 cm

O momento fletor de clculo :

Md = f Mk = 1,4 . ( 15000) = 21.000 kN.cm

(o sinal negativo do momento fletor no deve ser considerado nos clculos - equaes).

a) Resoluo com Equaes Tericas

Os limites entre os domnios 2, 3 e 4, considerando os concretos do Grupo I de resistncia, so:

x2lim = 0,26d = 0,26 . 55 = 14,3 cm

x3lim = 0,63d = 0,63 . 55 = 34,7 cm (para o ao CA-50)

Com a Eq. 20 determina-se a posio da linha neutra para a seo:



29

( )x4,0dfxb68,0M cdwd = ( )x4,0554,15,2

x22.68,021000 =

x = 16,2 cm

Comparando a posio da linha neutra (x) com os limites x2lim e x3lim determina-se qual o domnio em que a viga se encontra:

cm 7,34xcm2,16xcm3,14x lim3lim2 =



30

pouco superior ao dimetro da agulha, para permitir a penetrao da agulha com facilidade, sem que se tenha que forar a sua passagem. Para quatro e trs barras na primeira camada os espaamentos livres horizontais entre as barras so:

( )[ ] 1,33

6,1463,05,2222a 4,h =

++= cm

( )[ ] 5,52

6,1363,05,2222a 3,h =

++= cm

Considerando o dimetro da agulha do vibrador igual a 49 mm, verifica-se que devem ser dispostas apenas trs barras na primeira camada, e as duas outras na segunda camada. O espaamento livre mnimo horizontal entre as barras (Eq. 10):

=

=cm 2,3 = 1,9 1,2 d 1,2

cm 1,6cm 2

a

agrmx,

mn,h l ah,mn = 2,3 cm

O espaamento livre mnimo vertical entre as barras das camadas (Eq. 11):

=

=cm 1,0 = 1,9 . 0,5d0,5

cm 1,6cm 2

a

agrmx,

mn,v l av,mn = 2,0 cm

A distncia entre o centro de gravidade da armadura e a face tracionada da viga, adotada inicialmente como 5 cm, :

acg = 2,5 + 0,63 + 1,6 + 0,5 = 5,2 cm

Conforme a NBR 6118, a viga no necessita de armadura de pele, pois h = 60 cm (ver Eq. 9), no entanto recomendamos a sua aplicao para h 50 cm, com rea indicada na NB 1/1978:

Asp,face = 0,05% bw . h Asp,face = 0,05% . 22 . 60 = 0,66 cm2 (3 5 mm = 0,60 cm2 em cada face vertical)

CG

aa = 2 cmv0.5

cg

ah

1 cam.

2 cam.

armadurade pele(6 5)

a

d

22

cg

5 16(10,00 cm)

60

c

t

CG

Figura 26 Detalhamento da armadura negativa na seo transversal.



31

4) Dada a seo retangular de uma viga, como mostrada na Figura 27, calcular qual o momento fletor admissvel (de servio). So conhecidos:

bw = 20 cm f = c = 1,4 h = 50 cm s = 1,15 d = 46 cm As = 8,00 cm2 concreto C20 ao CA-50

46

20

50 A = 8,00 cms

Figura 27 Caractersticas da seo transversal.

RESOLUO

O problema agora no de dimensionamento, e sim de verificao. As variveis a serem determinadas so a posio da linha neutra (x) e o momento fletor de servio ou admissvel (Mk). A resoluo deve ser feita por meio das equaes tericas. A primeira equao a considerar a de equilbrio das foras resultantes na seo transversal (Eq. 15).

Rcc = Rst

As resultantes de compresso no concreto comprimido e de trao na armadura so (Eq. 16 e Eq. 17):

cdwcc fxb68,0R = ssdst AR =

Inicialmente deve-se supor que a seo foi dimensionada no domnio 2 ou 3, onde tem-se:

15,150ff

s

ykydsd =

==

Aplicando a Eq. 10 determina-se a posio da linha neutra (x):

ssdcdw Afxb68,0 =

cm 9,17x 00,815,1

504,10,2

x20.68,0 ==

necessrio verificar se a hiptese inicialmente considerada da viga estar nos domnios 2 ou 3 verdadeira, o que se faz comparando x com os valores limites x2lim e x3lim . Para o concreto C20 e CA-50:

x2lim = 0,26d = 0,26 . 46 = 12,0 cm

x3lim = 0,63d = 0,63 . 46 = 29,0 cm

x2lim = 12,0 < x = 17,9 < x3lim = 29,0 cm



32

Verifica-se que a seo encontra-se no domnio 3, e portanto a tenso sd igual a fyd. Verifica-se tambm que o limite apresentado na Eq. 23:

45,039,046

9,17dx == ok! O dimensionamento foi feito atendendo ao limite.

O momento fletor de servio pode ser calculado pelas Eq. 20 ou Eq. 21:

( )x4,0dfxb68,0M cdwd = ou ( )x4,0dAM sdsd =

( ) kN.cm650.9=M 9,17.4,04615,1

5000,8M4,1 kk =

Portanto, o momento fletor caracterstico a que a seo pode resistir 9.650 kN.cm (momento fletor positivo).

5) Determinar o mximo momento fletor que pode suportar uma viga com a seo mostrada na Figura 28. Dados:

concreto C25 ao CA-50 As = 9,45 cm2 c = f = 1,4 s = 1,15 d = 36 cm

40

20

3

3 209,45 cm

Figura 28 - Seo transversal da viga.

RESOLUO

Como no exerccio anterior, o problema de verificao e a incgnita principal do problema o momento fletor caracterstico (Mk) a que a seo transversal pode resistir.

Da equao de equilbrio de foras normais (Eq. 15), tem-se o equilbrio das foras resultantes: Rcc = Rst

As resultantes de compresso no concreto comprimido e de trao na armadura so (Eq. 16 e Eq. 17):

cdwcc fxb68,0R = ssdst AR =

Supondo-se inicialmente que a seo foi dimensionada nos domnios 2 ou 3, a tenso na armadura :

15,150ff

s

ykydsd =

==

Aplicando a Eq. 15 determina-se a posio da linha neutra (x):

ssdcdw Afxb68,0 =



33

cm 9,16x 45,915,1

504,15,2

x20.68,0 ==

necessrio verificar se a hiptese inicialmente considerada da viga estar no domnio 2 ou 3 verdadeira, o que se faz comparando x com os valores limites x2lim e x3lim. Para o concreto C25 (Grupo I) e CA-50, tem-se:

x2lim = 0,26d = 0,26 . 36 = 9,4 cm

x3lim = 0,63d = 0,63 . 36 = 22,7 cm

x2lim = 9,4 < x = 16,9 < x3lim = 22,7 cm

Verifica-se que a seo encontra-se no domnio 3, e a tenso sd igual a fyd . Verifica-se que os limites da Eq. 23:

45,047,036

9,16dx

>== no ok! O dimensionamento foi feito no atendendo ao limite.

O momento fletor de servio pode ser calculado pelas Eq. 20 ou Eq. 21:

( )x4,0dfxb68,0M cdwd = ou ( )x4,0dAM sdsd =

( ) kN.cm8.581=M 9,16.4,03615,1

5045,9M4,1 kk =

Portanto, o momento fletor caracterstico a que a seo pode resistir 8.581 kN.cm (momento fletor negativo).

8. SEO RETANGULAR COM ARMADURA DUPLA

Define-se seo com armadura dupla a seo que, alm da armadura resistente tracionada, contm tambm armadura longitudinal resistente na regio comprimida, ali colocada para auxiliar o concreto na resistncia s tenses de compresso. A armadura dupla um artifcio que permite dimensionar as sees cujas deformaes encontram-se no domnio 4, sem que haja a necessidade de se alterar algum dos parmetros inicialmente adotados. A seo com armadura dupla surge como soluo ao dimensionamento antieconmico e contra a segurana (ruptura frgil, sem aviso prvio) proporcionado pelo domnio 4. Este domnio evitado alterando-se a posio da linha neutra para o limite entre os domnios 3 e 4, ou seja, com a linha neutra passando por x3lim, no que resulta na mxima seo comprimida possvel no domnio 3. Ao se fazer assim, a rea de concreto comprimido no mais considerada para a resistncia da seo compensada pelo acrscimo de uma armadura longitudinal prxima borda comprimida, que ir auxiliar o concreto no trabalho de resistncia s tenses de compresso. Por outro lado, os limites impostos pela NBR 6118 (item 14.6.4.3) para a posio da linha neutra (mostrados na Eq. 23), a fim de melhorar a ductilidade de vigas e lajes, podem ser tambm motivos para a utilizao de armadura dupla. Quando a posio da linha neutra excede os limites, ao invs de se aumentar a altura da seo, por exemplo, geralmente possvel manter todos os dados iniciais acrescentando uma armadura na regio comprimida da viga, e desse modo possibilitar que a linha neutra no ultrapasse os limites impostos pela norma. Na maioria dos casos da prtica a necessidade de armadura dupla surge nas sees submetidas a momentos fletores negativos, nos apoios intermedirios de vigas contnuas. Como os momentos fletores negativos so significativamente maiores que os momentos fletores mximos positivos nos vos, eles requerem sees transversais com alturas maiores que para os momentos fletores positivos. Porm, fixar a altura das vigas para todos os seus tramos em funo dos momentos fletores negativos aumenta o custo, pois se nas sees de apoio a altura fixada a ideal, nas sees ao longo dos vos a altura resulta



34

exagerada. Da que uma soluo simples e econmica pode ser fixar a altura da viga de tal forma que resulte armadura dupla nos apoios e armadura simples nos vos.

8.1 Equaes de Equilbrio

Do mesmo modo como feito na deduo das equaes para a seo retangular com armadura simples, a formulao ser desenvolvida com base nas duas equaes de equilbrio da esttica (N = 0 e M = 0). A Figura 29 mostra a seo retangular de uma viga, com armadura tracionada As e armadura comprimida As , submetida a momento fletor positivo. O diagrama de distribuio de tenses de compresso no concreto o retangular simplificado, com profundidade 0,8x (Eq. 12) e tenso cd de 0,85fcd (Eq. 13), sendo ambos os valores vlidos apenas para os concretos do Grupo I de resistncia (fck 50 MPa). Portanto, a formulao que ser apresentada no vlida para os concretos do Grupo II (50 < fck 90 MPa).

sA

A's

b

sA'R sc

'sdscR

scz

w

LN

sA

R st

ccR

cd

sd

R cc

stR

cd

zcc

0,85 fcd

cA'

M

d'

h d

d - x

xy = 0,8x

Figura 29 - Seo retangular com armadura dupla.

a) Equilbrio de Foras Normais

Na flexo simples no ocorre a fora normal, de forma que existem apenas as foras resultantes relativas aos esforos resistentes internos, que devem se equilibrar, de tal forma que:

stsccc RRR =+ Eq. 31

sendo: Rcc = fora resultante de compresso proporcionada pelo concreto comprimido; Rsc = fora resultante de compresso proporcionada pela armadura comprimida; Rst = fora resultante de trao proporcionada pela armadura tracionada; sd = tenso de clculo na armadura comprimida; sd = tenso de clculo na armadura tracionada.

Considerando que R = . A, as foras resultantes, definidas com auxlio da Figura 29, so:

Rcc = 0,85 fcd 0,8 x bw = 0,68bw x fcd Eq. 32

Rsc = As sd Eq. 33

Rst = As sd Eq. 34

b) Equilbrio de Momentos Fletores

O momento fletor solicitante tem que ser equilibrado pelos momentos fletores internos resistentes, proporcionados pelo concreto comprimido e pelas armaduras, a tracionada e a comprimida, e que podem ser representados pelo momento fletor de clculo Md , tal que:

Msolic = Mresist = Md



35

Fazendo o equilbrio de momentos fletores em torno da linha de ao da fora resultante Rst , o momento resistente compresso ser dado pelas foras resultantes de compresso multiplicadas pelas suas respectivas distncias linha de ao de Rst (braos de alavanca zcc e zsc): Md = Rcc . zcc + Rsc . zsc

Substituindo Rcc e Rsc pelas Eq. 27 e 28 fica:

Md = 0,68bw x fcd (zcc) + A's 'sd (zsc)

Aplicando as distncias zcc e zsc a equao torna-se:

Md = 0,68 bw x fcd (d - 0,4x) + A's 'sd (d - d') Eq. 35

Com o intuito de facilitar o clculo pode-se decompor o momento fletor Md em duas parcelas, como indicado na Figura 30, tal que:

Md = M1d + M2d Eq. 36

z = d - 0,4xcc

z = d - d'sc= +

sAMd

=

=

s1

MA

1d

++

s2AM2d

As2s1AAs

LN

sA' A's

d

d'0,4 x

0,8xx

a) b) c) Figura 30 - Decomposio da seo com armadura dupla.

O momento fletor M1d corresponde ao primeiro termo da Eq. 30, cujo significado fsico o de ser o momento fletor interno resistente proporcionado por uma parcela As1 da armadura tracionada e pela rea de concreto comprimido com a maior profundidade possvel, conforme esquema mostrado na Figura 30b.

( )x4,0dfxb68,0M cdwd1 = Eq. 37

O valor de x, a ser aplicado na Eq. 32, deve ser adotado conforme o critrio da NBR 6118, j apresentado na Eq. 23, havendo as seguintes possibili

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