Flexão

7/17/2019 Flexão

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CAPITULO 8

Flexão

Resistência dos Materiais

DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial


7/17/2019 Flexão


Sumário Flexão

Com!etências Determinar o diagrama de esforços internos de flexão e cortantes. Relacionar as

tensões com as deformações. Relacionar as tensões normais com os esforços de flexão e propriedades

geométricas dos corpos deformáveis. Calcular as tensões relacionadas com a flexão pura, carregamento

axial excêntrico, flexão simétrica e assimétrica para diferentes geometrias. Perceer o significado f!sico

de lin"a neutra e superf!cie neutra. Determinar a locali#ação da lin"a neutra. Desen"ar a distriuição dos

vectores tensão na secção transversal do corpo solicitado.



$sforços internos de flexão e cortantes

%lexão pura

$&uação matemática para cálculo das tensões normais

Distriuição das tensões normais nos corpos solicitados

'uperf!cie neutra e lin"a neutra

Carregamento axial excêntrico

%lexão simétrica e não simétrica

(omentos de )nércia e eixos principais de )nércia

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"ia#ramas de $s%or&os Internos Cortantes e de Flexão

* + determinação das tensões normais etangenciais máximas re&uer a identificação dos

esforços internos cortantes e de flexão máximos.

* s esforços internos cortantes e de flexão num

ponto podem ser determinados seccionando a

viga pela secção transversal correspondente ereali#ando uma análise de e&uil!rio estático na

porção da viga - es&uerda ou - direita desse

ponto, tal como ilustrado nas figuras a/ e /

(étodo das 'ecções/.

* Convenção de sinais positivos para os esforçoscortantes V e V’ e esforços de flexão M e M’ 0



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Para a viga de madeira e para o

carregamento indicado, desen"e

os diagramas de esforços internos

cortantes e de flexão.

(étodo das 'ecções0

* Considerando a viga como um corpo

r!gido, determine as forças reactivas

nos apoios.

* Represente graficamente a

distriuição dos esforços internos

cortantes e de flexão em função do

comprimento da viga.

* 'eccione a viga 1unto aos apoios e

pontos de aplicação de cargas. +pli&ue as e&uações de e&uil!rio

estático nos diagramas de corpo

livre assim otidos, de modo a

determinar os esforços internos

cortantes e de flexão.

$xerc'cio Resol(ido )



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* Cálculo das reacções nos apoios0

∑ ∑ ==== kN RkN R M F D B B 1446:0

* +nálise de e&uil!rio estático0

( ) ( ) 00m0kN200kN200kN200

111

11

==+∑ =−==−−∑ =

M M M ! ! F

( ) ( ) mkN500m5.2kN200

kN200kN200

222

22

⋅−==+∑ =

−==−−∑ =

M M M

! ! F

0kN14

mkN28kN14

mkN28kN26

mkN50kN26

66

55

44

33

=−=

⋅+=−=

⋅+=+=⋅−=+=

M !

M !

M !

M !



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* Representação gráfica dos esforços internos cortantes e de flexão0

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( )

"#!

"#! ! ! F

∆−=∆

=∆−∆+−=∑ 0:0

∫ −=−

−=

D

$

"

"$ D d"#! !

#d"

d!

* Relação entre carregamento e esforço cortante0

( )

( )221

02

:0

"# "! M

" "# "! M M M M $

∆−∆=∆

=∆

∆+∆−−∆+=∑ ′

∫ =−

=

D

$

"

"

$ D d"! M M

! d"

dM

* Relação entre esforço cortante e esforço de flexão0



Rela&ão entre Carre#amento* $s%or&o Cortante e $s%or&o de Flexão

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* +pli&ue a relação entre carregamento e

esforço cortante para representar o

diagrama de esforços internos cortantes.

* +pli&ue a relação entre esforço cortante e

esforço de flexão para representar o

diagrama de esforços internos de flexão.



$xerc'cio Resol(ido +

Para a viga e para o carregamento

indicado, represente os diagramas

de esforços internos cortantes e

de flexão.

(étodo 2ráfico0

* Considerando a viga como um corpo

r!gido, determine as forças reactivas nos

apoios.

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( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

kips18

kips12kips26kips12kips200

0F

kips26

ft28kips12ft14kips12ft6kips20ft240

0

y

=

−+−−=

=∑

=−−−=

=∑

%

%

%

D

D

M

d"#d! #d"

d! −=−=



* Cálculo das reacções nos apoios0

* Representação gráfica do diagrama de

esforços internos cortantes0

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d"! dM !

d"

dM ==



* Representação gráfica do diagrama de

esforços internos de flexão0

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$xerc'cio de $s%or&os Internos )

Para o carregamento indicado na figura represente os diagramas deesforços cortantes 3/ e de esforços de flexão (/ utili#ando os seguintes

métodos0

a/ método das secções4

/ método gráfico.



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8 kN

12 kN.m

2 kN/m

1 m 1 m 1 m 2 m 2 m

$xerc'cio de $s%or&os Internos +

Para o carregamento indicado na figura represente os diagramas deesforços cortantes 3/ e de esforços de flexão (/ utili#ando os seguintes

métodos0

a/ método das secções4

/ método gráfico.



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Flexão Pura

Flexão Pura0 (emros prismáticos

su1eitos a dois momentos, iguais e de

sentidos opostos, actuando no mesmo

plano longitudinal.



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Outros Ti!os de Carre#amento

* Princípio da Sobreposição0 Cominar

as tensões originadas pela carga com

as tensões provocadas pela flexão pura.

* Carregamento excêntrico0 5mcarregamento axial excêntrico -

secção considerada, origina esforços

internos e&uivalentes a uma força

normal e a um momento flector.

* Carregamento transversal 0 5ma carga

concentrada na extremidade livre A

origina esforços internos e&uivalentes a

uma força igual, e de sentido oposto, e

a um momento flector.



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Análise das Tens,es na Flexão Pura

∫ =−=

∫ ==∫ ==

M d% M

d% & M

d% F

" &

"

" "

σ

σ

σ

0

0

* momento flector ( consiste em duas forçasiguais e de sentidos opostos.

* + soma das componentes dessas forças em

&ual&uer direcção é igual a #ero.

* momento flector, em relação a &ual&uer eixo

perpendicular ao seu plano, é sempre o mesmo.

* momento flector, em relação a &ual&uer eixo

contido no seu plano, é igual a #ero.



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"e%orma&,es na Flexão Pura 6arra prismática &ue contém um plano de simetria,

em flexão pura0

* a arra permanece simétrica em relação ao plano4

* flecte uniformemente formando um arco de

circunferência4

* &ual&uer secção plana perpendicular ao eixo

da arra permanece plana4

* a lin"a +6 diminui de comprimento e a lin"a

+767 aumenta4

* deve existir uma superície neutra! paralela

-s faces superior e inferior, para a &ual ocomprimento não varie4

* tensões e deformações são negativas

compressão/ acima da superf!cie neutra, e

positivas tracção/ aaixo dela.



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"e%orma&,es na Flexão Pura

Considere uma arra prismática de comprimento ".

Depois da deformação, o comprimento da superf!cie

neutra permanece igual a ". 8as outras secções,

( )( )

m "

m

m

"

c

c '

c

(

( (

(

ε ε

ε ρ

ε

ρ ρθ

θ δ ε

θ ρθ θ ρ δ

θ ρ

−=

==

−=−==

−=−−=′−=−=′

or

e)linearmentvaria(etens!o



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Tens,es e "e%orma&,es no Re#ime $lástico

* Para um material "omogéneo,

e)linearmentvaria(tens!om

m " "

c

E c

E

σ

ε ε σ

−=

−==

* + partir da estática,

∫

∫ ∫

−=

−===

d%

c

d%c

d% F

m

m " "

σ

σ σ

0

0

+ lin"a neutra passa pelo centro

geométrico da secção.

*Do e&uil!rio estático,

I

M

c

)

M

I

Mc

c

I d%

c M

d%c

d% M

"

m "

m

mm

m "

−=

−=

==

==

−−=−=

∫

∫ ∫

σ

σ σ

σ

σ σ

σ σ

em "o#$%stit$in

2



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resistentem&"$lo

in'ria"emomento

==

=

==

c

I )

I

)

M

I

Mcmσ

%h*hh

*h

c

I ) 613

61

3121

2====

Tens,es e "e%orma&,es no Re#ime $lástico



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Pro!riedades dos Per%is

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"e%orma&,es numa Sec&ão Trans(ersal

* + deformação da arra sumetida - flexão émedida pela curvatura da superf!cie neutra.

EI

M

I

Mc

Ec Ecc

mm

=

===11 σ ε

ρ

ρ

ν νε ε

ρ

ν νε ε

" & " =−==−=

(aanti(l)sti($rvat$ra1

==′ ρ

ν

ρ



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5ma peça de má&uina de ferro fundido fica

sumetida - acção do momento flector

M # 9 :8.m. 'aendo;se &ue $ < =>? 2Pa e

despre#ando o efeito da curvatura das

arestas do perfil, determinar0

a/ as máximas tensões de tracção e

compressão4

/ o raio da curvatura.



$xerc'cio Resol(ido -

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Calcular a locali#ação do centro geométrico da

secção e o momento de inércia.

mm383000

10114 3

=×

=∑∑=

%

% +

∑ ×==∑

×=××=×

3

3

3

32

101143000

104220120030402

10*0501800*0201

mm+mm+mm,rea+

% %

%

( ) ( )( ) ( )

4*-3

23

12123

121

23

1212

m10868mm10868

181200403012180020*0

×=×=

×+×+×+×=

∑ +=∑ +=′

I

d %*hd % I I "



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* Calcular as máximas tensões de tracção e

compressão.

4*

4*

mm10868

m038.0mkN3

mm10868

m022.0mkN3

−

−

×

×⋅−=−=

×

×⋅==

=

I

c M

I

c M

I

Mc

B B

% %

m

σ

σ

σ

a0.6+= %σ

a3.131−= Bσ

* Calcular a curvatura.

( ) ( )4*- m10868a165

mkN3

1

×

⋅=

= EI

M

ρ

m.4

m10*5.201 1-3

=

×= −

ρ

ρ



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( ) ( )

I

M

%

,

" " "

−=

+=fle!oentra"afora

σ σ σ

Carre#amento Axial $xcêntrico num Plano de Simetria

* Carregamento excêntrico,

,d M

, N

==

* s resultados s@ são válidos &uando as

condições de aplicação do princ!pio da

soreposição e de 'aint;3enant forem

satisfeitas.



N

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+ peça mostrada é feita de ferro fundido e

tem tensões admiss!veis de 9A (Pa -

tracção e de =BA (Pa - compressão.

Determinar a maior força P &ue pode ser

aplicada - peça.

Do exerc!cio resolvido 9,

4*

23

m10868

m038.0

m103

−

−

×==

×=

I

+

%

$xerc'cio Resol(ido .



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* %orça e momento flector aplicados em C.

fletor momento028.0

entra"aforam028.0010.0038.0

==== =−=

, ,d M

, d

* (áxima força &ue pode ser aplicada.

kN , M,a ,

kN , M,a ,

B

%

0.120155*

6.*303

=−=−===+=

σ

σ

kN0.= ,

* 'oreposição.

( )( )

( ) ( ) ,

, ,

I

Mc

%

,

, , ,

I

Mc

%

,

B B

% %

155*10868

038.0028.0

103

310868

022.0028.0

103

*3

*3

−=×

−×

−=−−=

+=×

+×

−=+−=

−−

−−

σ

σ



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Flexão Fora do Plano de Simetria

* $m geral, a lin"a neutra da secção não

coincide com eixo do momento flector.

* 8ão podemos supor &ue a arra vá flectir no

plano de simetria.

* + lin"a neutra da secção transversal

coincide com o eixo do momento flector.

* Permanecem simétricas e flectem no planode simetria.



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in-rciade produto I d% &

d%c

& d% & M

&

m "

===

−===

∫

∫ ∫ 0o$

0 σ σ

M M M F & " === 0

lin"a neutra passa pelo centro geométrico.

∫ ∫ ∫

=

−===d%

d%c

d% F m " "

0o$

0 σ σ

define a distriuição de tensões.

inrciademomento I I c

I .

d%c M M

& m

m &

===

−−== ∫

o$

σ



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* Decompor o vector M em dois vectores, segundo % e &!

θ θ sinos M M M M & ==

* 'orepor,

&

& "

I

& M

I

M +−=σ

* tém;se,

( ) ( )

θ φ

θ θ σ

tg I

I

&

tg

I

& M

I

M

I

& M

I

M

&

&

&

& "

==

+−=+−==sinos

0

* +plicação do princ!pio da soreposição.




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5m momento flector de =>AA l.in é

aplicado a uma viga de madeira de

secção rectangular, num plano &ue forma

um ngulo de 9A com a vertical.

Determinar0

a/ + tensão máxima na viga4

/ ngulo &ue a lin"a neutra forma com o

plano "ori#ontal.



$xerc'cio Resol(ido /

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* Determinar a tensão máxima na viga.

( )( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( )( ) psi

in

ininl*

I

& M

psiin

ininl*

I

M

ininin I

ininin I

inl*inl* M inl*inl* M

/

/

&

&

/

/

&

&

5.60**844.0

5.0800

6.45235*.5

5.11386

*844.05.15.3

35*.55.35.1

80030sin1600138630os1600

2

1

3

121

3

121

=⋅

==

=⋅==

==

==

⋅=⋅=⋅=⋅=

σ

σ

* + maior tensão de tracção devida ao carregamento

cominado ocorre em A'

5.60*6.45221ma +=+= σ σ σ psi1062ma =σ



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* Determinar o ngulo &ue a lin"a neutra forma

com o plano "ori#ontal.

143.3

30*844.0

35*.5

=

== tg in

intg

I

I tg

/

/

& θ φ

o4.2=φ



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Caso 0eral de Car#a $xcêntrica

* + força excêntrica é e&uivalente a um sistema

constitu!do por uma força centrada e doismomentos flectores.

,* M ,a M

,

& === (entra"afora

* +plicando o princ!pio da soreposição,

&

& "

I

& M

I

M

%

, +−=σ

* 'e σx < A, otém;se a e&uação de umarecta, &ue representa a lin"a neutra da

secção.

%

, &

I

M

I

M

&

& =−



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