Flexao_2015

ESTRUTURAS DE CONCRETO Sem 2015/1

1 Prof. Narbal A. Marcellino ECV/UFSC

Flexão simples

Dimensionamento e verificação

a) Introdução

a.1) Ações

As ações geram solicitações nas estruturas. No caso geral, a partir das ações em

valor característico (F = Fk) definem-se os seus valores de cálculo (Fd = f Fk) que,

usando as teorias de análise estrutural, permitem determinar as solicitações em

valor de cálculo (Sd). Resumidamente, tem-se:

F = Fk Fd = f.Fk Sd

Em estruturas de comportamento linear, como vale a superposição de efeitos, pode-

se primeiro determinar as solicitações em valor característico, correspondentes às

ações em valor característico, que multiplicadas por f definem os seus valores de

cálculo, ou seja:

F = Fk Sk Sd = f.Sk

No caso da flexão simples, tem-se: Fd Md.

E assim pode-se usar: Md = f .Mk que significa que o momento de cálculo (ou usado

para o cálculo no ELU) é o momento característico majorado pelo coeficiente de

majoração das ações.

a.2) Resistências As resistências são determinadas através de teorias apropriadas, já mostradas, a partir dos dados da seção transversal e das características mecânicas dos materiais.

No caso da flexão simples tem-se, como dados:

fck (resistência do concreto);

fyk (resistência da armadura), e dimensões da seção transversal (concreto e armadura)

Com as hipóteses admitidas e da teoria apropriada determina-se o momento

resistente último da seção, Md,ult = Mud.

a3) Verificação da segurança (Estado Limite Último) No processo dos estados limites de verificação da segurança, deve ser verificada a condição:

Sd Ru.

Na flexão simples tem-se Md Mud. Por razões de economia, faz-se Md = Mud.

A partir das dimensões iniciais de “pré-dimensionamento” verifica-se se elas estão na faixa normal de utilização e, a seguir, determina-se a quantidade correspondente de armadura (As).



b)Tipos de ruptura na flexão

Figura 1 – Seção transversal , elevação de um trecho e diagrama de deformações

Em geral, tem-se os seguintes tipos de ruptura:

se As = 0 ou muito pequena tem-se ruptura do tipo frágil (brusca) iniciada

pela tração no concreto, evolução da fissuração, escoamento da armadura

e provável ruptura do concreto comprimido. Como é exigida uma armadura

mínima essa possibilidade fica mais distante;

se As for muito grande (haverá uma pequena deformação s) tem-se

ruptura frágil (brusca) por esmagamento do concreto comprimido; e

se As for “adequada” tem-se ruptura dúctil (com aviso), com escoamento

da armadura e acompanhada de uma evolução na fissuração da zona

tracionada. Atualmente a Norma exige ainda um limite na quantidade de

armadura de modo a ter-se a devida dutilidade.

c) Hipóteses básicas

c.1) manutenção da seção plana: por exemplo, as seções A e B passam para A’ e

B’, quando fletidas, permanecendo planas;

c.2) aderência perfeita entre concreto e armadura: admite-se que não haja

escorregamento entre os materiais (a deformação da armadura s, é admitida

igual à deformação da fibra de concreto c, junto a esta armadura);

c.3) tensão nula no concreto na região da seção transversal sujeita a deformação de

alongamento;

c.4) diagrama tensão-deformação (de cálculo) na armadura

Os aços usados como armadura são designados pela sigla CA (Concreto

Armado), seguido da resistência característica no escoamento em kN/cm2.

Tipo fyk(kN/cm2) fyd(kN/cm2) yd

CA 25 25 21,74 0,00104

CA 50A 50 43,48 0,00207

c

s

Mud Mud

B’ B A A’



aço de dureza natural: o diagrama convencional deste aço apresenta patamar de

escoamento.

Figura 2 – Diagrama tensão - deformação do aço

Módulo de elasticidade do aço: Es = 210 GPa = 21.000 kN/cm2

fyk = valor característico da resistência da armadura correspondente ao

patamar de escoamento (resistência característica no escoamento)

s = 1,15 (coeficiente de ponderação da resistência da armadura)

fyd = fyk / s , = valor de cálculo da resistência do aço correspondente ao patamar de escoamento do material.

yd = fyd / Es = deformação correspondente ao início do patamar de escoamento

aço encruado CA 60B

Até o ponto A (limite de proporcionalidade), tem-se diagrama linear: entre A e B. admite-se diagrama em parábola do 2o grau: e, além do ponto B, um patamar.

Tipo fyk(kN/cm2) fyd(kN/cm2) yd

CA 60B 60 52,17 0,00248

Admite-se que o diagrama tensão-deformação dos aços seja o mesmo, na tração e na compressão e a norma define seu diagrama na Figura 8.4.

c.5) diagrama tensão-deformação (de cálculo) no concreto diagrama parábola-retângulo

Figura 3 - Diagrama tensão - deformação idealizado para o concreto (Fig 8.2 da NB-1)

cd

fyd

yd

fyk

s = 10%o

Diagrama de cálculo

c 0,002 0,0035

c = 0,85fcd

2

002,011 c

c = 0,85fcd



c = 1,4 (coeficiente de ponderação da resistência do concreto)

Resistência de cálculo do concreto: fcd = fck / c

0,85 : coeficiente que considera a queda de resistência do concreto para

cargas de longa duração (efeito Rüsch 0,72 * diferença da forma do cp.

* 0,96 e o aumento da resistência com o tempo de acordo com o

cimento usado para o tipo Portland *1,23 fc28)

[ 0,72 * 0,96 * 1,23 = 0,85 (Comentários Técnicos – IBRACON)]

k = 0.85, quando a largura da zona comprimida não diminui em direção à borda

comprimida (seção retangular) e 0,80 , em caso contrário.

d) estado limite último convencional na flexão

Para uma seção de concreto armado de largura bw, altura h e área de armadura As

(Figura 5) o estado limite último (ou “ruína”) é atingido quando ocorre uma das duas

situações seguintes:

- a deformação de alongamento na armadura mais tracionada (su) atinge 0,010

(10%o). Denomina-se, estado limite último por alongamento plástico excessivo

da armadura;

Figura 4 – Domínio 2 de deformação

- a deformação de encurtamento no concreto (cu) atinge 0,0035; denomina-se,

estado limite último por esmagamento do concreto.

Figura 5 – Domínios 3 e 4 de deformação

c < 3,5 %o

s = 10%o

bw

h

As

cu = 3,5%o

10%o > s > 0 bw

h

As



e) domínios de deformação

Conforme foi visto no item anterior, o estado limite último convencional ocorre quan-

do o diagrama de deformação passa por um dos dois pontos, A ou B, na Figura 6.

Figura 6 – Domínios 2, 3 e 4 de deformação do concreto armado

d = altura útil da seção = distância do CG da armadura à borda comprimida

x = altura da zona comprimida ou altura da linha neutra (medida a partir da

borda comprimida)

z = (d - 0,4.x) braço de alavanca entre as resultantes de compressão e a

resultante de tração.

Diz-se que o diagrama de deformação do tipo 2 está no domínio de deformação 2

(D2); passa pelo ponto B (ELU por alongamento plástico excessivo da armadura) e o

encurtamento do concreto na borda comprimida está compreendido entre 0 e

0,0035. O concreto é pouco solicitado e a armadura está em escoamento. A ruptura

é do tipo dúctil (com “aviso”). A altura da zona comprimida obedece à condição:

x x23 = 0,0035 d / (0,0035 + 0,010) = 0,259 d,

obtida por semelhança de triângulos.

Diz-se que o diagrama do tipo 3 está no domino 3 (D3); passa pelo ponto A (ELUlt

por esmagamento do concreto) e o alongamento da armadura está compreendido

entre yd e 0,010. O concreto está adequadamente solicitado e a armadura está em

escoamento. A ruptura é do tipo dúctil (com “aviso”). A altura da zona comprimida

obedece á condição:

x23 x x34 = 0,0035 d / (0,0035 + yd )

E que o diagrama de deformação 4 está no domínio 4 (D4); passa pelo ponto A

(ELUlt por esmagamento do concreto) e o alongamento da armadura está

compreendido entre 0 e yd. O concreto está muito solicitado e a armadura é pouco

solicitada. A ruptura é do tipo frágil (praticamente, sem “aviso”). A altura da zona

comprimida obedece à condição:

x34 x d.

A seção que atinge o ELUlt. nos domínios D2 e D3 é dita subarmada ou

b

10%o

Rcc

Rst +

yd

D3 D4

D2

d

x

0,85fcd

0,8x

3,5%o

(d-0,4x)

A

B

As



normalmente armada.

Quando o ELUlt. é atingido no D4, a seção é dita superarmada. Trata-se de

situação antieconômica, pois a armadura não é explorada na sua plenitude. E a

ruptura é frágil. Não se pode usar o dimensionamento neste domínio.

Relações entre as deformações:

Figura 7 – Relação entre a posição relativa da Linha Neutra e as deformações

Limites dos domínios pelas deformações:

Figura 8 – Limites dos domínios de deformação para a flexão

Ver Figura 17.1 da Norma NBR 6118/14. E item 14.6.4.3 Limites...e condições de dutilidade.

h

a) seção transversal

c

d

x

s

sc

c

d

x

As

bw

d”

b) diagrama de deformações

c) relação entre a posição

relativa da Linha Neutra x/d e

as deformações

c

scc

dx

d

x

s = 10%o

As

bw

d”

a) seção transversal b) diagrama de deformações

259,0105,3

5,323

d

x

yd

c=3,5%o

A

B

D4 D3

D2 x23

x34

ydd

x

5,3

5,334

alongamentos encurtamentos



Seção retangular com armadura simples

A seção retangular com armadura simples é caracterizada pelas seguintes

condições:

- a parte comprimida da seção sujeita a flexão tem forma retangular;

- as barras que constituem a armadura estão agrupadas junto à borda

tracionada e podem ser imaginadas como concentradas no centro de

gravidade destas barras.

Figura 9 – Elementos para o dimensionamento à flexão no ELU.

Resultantes das tensões:

no concreto: Rcd = 0,85 . fcd . b . 0,8 . x = 0,68 . b . x . fcd

na armadura: Rcd = As . sd

Equações de equilíbrio:

de forca: = Rcd = Rsd ou 0,68 . b . x . fcd = As . sd (1)

de momento: Mu = Rcd . (d – 0,4 . x)

ou

Mu = Rsd . (d – 0,4 . x)

Substituindo os valores das resultantes de tensão, vem:

Mu = 0,68 . b . x . fcd . (d – 0,4 . x) (2)

ou

Mu = As . sd . (d – 0,4 . x)

(3)

1) Caso de dimensionamento

Nos casos usuais de dimensionamento, tem-se b, fcd e faz-se Mu = Md ou

MRu = MSd (momento fletor solicitante em valor de cálculo). Normalmente, pode-se

adotar d 0,9 h. Dessa forma, a equação (2) nos fornece o valor de x:

c 0,85fcd

s

Rcc

Rst

x

d

bw

h

0,8x

fyd

As

z = (d -0,4x)



0,4.x2 – d.x + Md / 0,8.b.0,85.fcd = 0

ou

x = [d + (d2 – 2.Md/0,85.b.fcd)1/2]/0,8

e _____________________

x = 1,25. (d - (d2 - Md/0,425.fcd.bw)

ou ___________________

x = 1,25.d.[ 1 - 1 - Md / 0,425.bw.d2. fcd ] (4)

Com o valor de x, tem-se o domínio de deformação correspondente, podendo

ocorrer as seguintes situações:

I) domínio 2, onde x x23 = 0,259.d; e sd = fyd

II) domínio 3, onde x23 x x34 = 0,628.d ; e também sd = fyd

III) domínio 4, se x x34; neste caso, a seção é super-armada e deve ser evitada:

pode ser utilizado um dos dois expedientes indicados a seguir:

aumentando-se a altura h porque, normalmente, b é fixo pois depende

da espessura da parede onde a viga é embutida:

adotando-se armadura dupla.

Para a situação adequada de peça sub-armada tem-se sd = fyd. Assim, a equação

(3) nos fornece a área de armadura [5]

As = Md / sd (d - 0,4x) [3]

As = Md / fyd (d – 0,4x) [5]

O procedimento de dimensionamento, consiste em encontrar a armadura necessária

para uma seção de concreto sujeita à flexão. A resistência do concreto é adotada

conforme a Tabela 7.1 da Norma. O aço é o CA-50. Assim, o dimensionamento

pode ter três maneiras de iniciar:

1) Estimando uma altura para a viga, onde é sugerido o valor inicial de 1/10 do

vão para vigas isostáticas sem balanço, ou 1/12 do vão para vigas contínuas

ou com balanços. Ou partindo de uma altura h já definida anteriormente. E

usando a relação d = 0,9.h para a altura útil inicial.

2) Escolhendo uma altura útil correspondente a um determinado limite entre o

domínio 2 (d23) e o limite d0,45 prescrito pela Norma (NBR 6118/2014).

3) Partindo de determinada altura relativa da linha neutra x/d. Como x/d = 0,26

ou x/d =45 (limite), por exemplo.

A largura é definida previamente, em geral pela largura da parede (ou tijolo) onde a

viga fica alinhada para evitar ressaltos no revestimento.



Exemplo 1: Dimensionar a seção do meio do vão da viga esquematizada a seguir.

O concreto foi definido como C20 e o aço CA-50. Com altura definida.

Seção Elevação

Figura 10 – Elementos para o dimensionamento de seção retangular com armadura simples

b = 12 cm

h = 40 cm d = 0,9.h = 0,9.40 = 36 cm

carga total: p = 18 kN/m vão de cálculo: 4,2 m Concreto C-20 fck = 20 MPa = 2,0 kN/cm2

Aço CA-50 fyk = 500 MPa = 50 kN/cm2

Concreto: fcd = fck / c = 2,0 / 1,4 = 1,43 kN/cm2

Armadura: fyd = fyk / s = 50 / 1,15 = 43,48 kN/cm2

Mk = pL2 / 8 = 18 . 4,22 / 8 = 39 ,7 kN.m Md = f Mk = 1,4 . 39,7 = 55,6 kN.m = 5560 kN . cm

h

b c

s

As

x y

z

Mud Rcc

Rst

bw

h

Mk

4,2 m

p = 18 kN/m



Limites dos domínios:

x23 = 3,5.d /13,5 = 0,259 d = 0,259 . 36 = 9,3 cm

x34 = 3,5.d / (3,5 + yd) = 3,5.36/(3,5+2,07)=0,628.d = 22,6 cm

Posição da linha neutra (altura da zona comprimida x):

Md = 0,85.fcd.bw.0,8.x.(d – 0,4.x)

0,4x2 – d . x + Md / 0,68.b.fcd = 0 0,4x2 – 36 . x + 5560 / 0,68 . 12 . 1,43 = 0

0,4x2 – 36 . x + 476,48 = 0 _________________

x = [- (-36 ) ± (-36)2 – 4 . 0,4 . 476,48 ]/ 2 .0,4

= 36 ± 23,10 / 0,8 = 16,12 cm

73,87 cm d = 36 cm (descartado)

Como x está compreendido entre x23 = 9,3 cm e x34 = 22,6 cm, tem-se

ELU no domínio 3 (peça subarmada) e yd = fyd = 43,48 kN/cm2

E o limite exigido pela norma de x/d 0,45 é atendido pois 16,12/36 = 0,448

Portanto a área de armadura necessária é:

As = Md / fyd.(d - 0,4.x) = 5560 / 43,48.(36 - 0,4 . 16,12) = 4,33 cm2

Está definido o dimensionamento. A etapa seguinte é o detalhamento, ou seja, a escolha da bitola e a definição da posição da armadura na seção transversal da viga,

mas isso será visto mais adiante. Pode-se aproveitar esse primeiro exemplo para mostrar o que acontece quando se

escolhe outras opções de altura, como no Exemplo 2.

Exemplo 2: Considere-se a viga do exemplo anterior com h = 35 cm.

Tem-se: d 0,9 . 35 = 31,5 cm

Limites dos domínios:

x23 = 0,259 d = 0,259 . 31,5 = 8,2 cm

x34 = 0.628 d = 0,628 . 31,5 = 19,8 cm

__________________

x = 1,25.d [1 - 1 - Md / 0,425 b.d2.fcd

____________________________

= 1,25 . 31,5 . 1- 1- (5560 / 0,425 . 12 . 31,52 . 1,43) = 20,42 cm



Portanto, tem-se ELUlt. no domínio 4, pois x > x34 = 19,8 cm, sendo aconselhável

alterar a seção.

Veja-se, contudo, como seria o dimensionamento no domínio 4.

Como a deformação na armadura é menor do que yd, a tensão correspondente é

menor do que fyd.

A tensão sd é obtida no trecho linear do diagrama x , do seguinte modo:

Figura 11 - Diagrama de deformações

sd / d – x = 3,5 / x

Portanto

sd = 3,5.(d – x )/x = 31,5 – 20,42 / 20,42 . 3,5 = 1,90 %o

sd = Es.sd = 21000 . 0,0019 = 39,9 kN / cm2

Figura 12 – Diagrama de cálculo para a tensão na armadura

Logo

As = Md / sd (d - 0,4x) = 5560 / 39,9 . (31,5 - 0,4 . 20,42) = 5,97 cm2

Observações:

- Para que se tenha x = x34, ou seja x/d = 0,628 e x = 0,628.d,

a altura da seção pode ser determinada a partir da equação

de equilíbrio de momento, resultando:

yd

X34 X

sd

d

3,5%o

fyd

yd

sd

s = 10%o

Diagrama de cálculo

sd



Md = 0,68 b x34 fcd (d - 0,4 x34) = 0,68 b (0,628 d) fcd [d – 0,4 (0,628 d)]

________________________________ ______________

d = Md / 0,68 . b . 0,628 . fcd (1 - 0,4 . 0,628) = Md /0,3197.fcd.bw

Para o momento fletor de 5560 kN.cm dos exemplos 1 e 2 tem-se:

_____________________________________

d = 5560 / 0,68 . 12 . 0,628 . l,29. (1 - 0,4 . 0,628) = 33,5 cm

x = 0,628 d = 0,628 . 33,5 = 21,0 cm

h = d / 0,9 = 33,5 / 0,9 = 37,2 cm

Armadura:

As = Md / fyd (d - 0,4x) = 5560 / 43,48 . (33,5 - 0,4 . 21,0) = 5,1 cm2

- Para que se tenha x = x23, a altura da seção pode ser determinada a partir

da equação de equilíbrio de momento, resultando:

Mud,lim = 0,68 b x23 fcd (d - 0,4 x23) = 0,68 b (0,259 d) fcd [d – 0,4 (0,259 d)] ________________________________ _____________

d = Md / 0,68 . b . 0,259 . fcd (1 - 0,4 . 0,259) = Md /0,158.fcd.bw

Para o momento fletor de 5560 kN.cm dos exemplos 1 e 2 tem-se:

_____________________________________

d = 5560 / 0,68 . 12 . 0,259 . 1,29. (1 - 0,4 . 0,259) = 47,7 cm

x = 0,259 d = 0,259 . 47,7 = 12,4 cm

h = d / 0,9 = 47,7 / 0,9 = 53,0 cm

As = Md / fyd (d - 0,4x) = 5560 / 43,48 . (47,7 - 0,4 . 12,4) = 2,99 cm2

Altura mínima da seção transversal

Segundo a NBR 6118/2014 deve-se usar a máxima possibilidade da altura como sendo x = 0,45.d, de modo a garantir uma dutilidade necessária, que resulta na expressão:

Md = 0,68 b x0,45 fcd (d - 0,4 x0,45) = 0,68 b (0,45.d) fcd [d – 0,4 (0,45.d)] Mud = fcd.bw.[0,306.d2 - 0,05508.d2] = fcd.bw.[0,251.d2]

ou seja, neste caso, para se saber o valor de d(0,45)= (Md/0,251.fcd.bw)1/2

Pode-se, então, fazer d(0,45) = dmín e

e

O que define as possibilidades de escolha de .



2) Caso de verificação

Algumas vezes, procura-se o momento resistente da seção inteiramente definida.

Nas duas equações de equilíbrio, as variáveis desconhecidas são: x, Mud e sd.

Pois não se sabe se é o caso de sd = fyd (D2 e D3) ou sd < fyd (D4).

Contudo, esta última variável sd é conhecida ou é função de x; de fato, nos

domínios 2 e 3 tem-se sd = fyd e, no domínio 4, ela é dada pela expressão:

sd = Es sd = Es . (d – x) / (x . 0,0035)

Dessa forma, tem-se duas equações a duas incógnitas e, portanto, o Mud procurado.

Não se sabe, a priori, qual o domínio de deformação correspondente ao ELU. Assim, a solução pode ser obtida por tentativas:

admite-se, por exemplo, que o ELUlt. corresponda aos domínios 2 ou 3 (armadura

em escoamento) então da equação de equilíbrio de força tem-se:

0,68 b x fcd = As sd = As fyd

e, portanto

x = (As fyd) / (0,68 b fcd)

que permitirá verificar a validade da hipótese inicialmente admitida.

Caso positivo, é só determinar o momento resistente:

Mu = 0,68 b x fcd (d - 0,4 x)

Se a hipótese inicial não for válida, isto é, se o ELU corresponder ao domínio 4, a

tensão na armadura será função de x e o seu novo valor pode ser obtido da

equação de equilíbrio (reescrita):

0,68 b x fcd = As sd = As.{Es .(d – x) /( x . 0,0035)}

e o momento procurado é obtido, substituindo o valor de x na expressão já vista.

Exemplo 3: Verificar o momento resistente da seção dada por:

b = 12 cm ; h = 40 cm ; d = 36 cm ;

Concreto C-20 : fck = 2,0 kN/cm2 ; CA 50A com As = 4,5 cm2

Na hipótese de ocorrer ELUlt nos domínios 2 ou 3, tem-se sd = fyd e:

x = (As fyd) / (0,68 bw fcd) = (4,5 . 43,48) / (0,68 . 12 . 1,43) = 16,77 cm

Como x23 = 0,259 d = 0,259 x 36 = 9,3 cm e



x34 = 0,628 d = 0,628 x 36 = 22,6 cm,

o ELUlt. ocorre no domínio 3 (x23 < x = 16,77 cm < x34). Portanto, a hipótese é

real e verdadeira, e o momento resistente de cálculo resulta em:

Mud = 0,68 b x fcd (d - 0,4 x) = 0,68.12.16,77.1,43 (36 - 0,4 . 16,77) = 5732 kN.cm.

Exemplo 4: Considere-se a seção dada por:

b = 12 cm ; h = 35 cm ; d 31,5 cm ;

C20: fck = 2,0 kN/cm2 ; CA 50A e As = 5,97 cm2

Na hipótese de ocorrer ELU1t nos domínios 2 ou 3, tem-se sd = fyd e:

x = (As fyd) / (0,68 b fcd) = (11,4 . 43,48) / (0,68 . 12 . 1,43) = 42,48 cm

As fronteiras entre os domínios são dados por:

x23 = 0,259 d = 0,259 . 31,5 = 8,2 cm e

x34 = 0.628 d = 0,628 . 31,5 = 19,8 cm.

O ELU não ocorre do domínio 3, pois x > x34.

Na realidade, este valor supera a altura útil da seção invalidando a hipótese admitida.

Admitindo-se o domínio 4, e substituindo sd por Es.s, com s = 0,0035 (d – x) / x, vem:

0,68 . b . x . fcd = As . sd = As . Es. 0,0035 (d – x) / x

0,68 . 12 . x . 1,43 = 5,97 . 21000 . 0,0035 (31,5 – x) / x

11,669 x2 + 438,79 x – 13822,042 = 0

x = - 438,79 915.256 / 2 . 11,669 = 20,416 m

- 58,02 cm (descartado)

O novo valor de x confirma o ELU no domino 4, pois

(x34= 19,8 cm) (x = 20,42 cm) < (d = 31,5 cm).

A deformação no aço:



sd = 3,5%o (d – x) / x = 3,5 (31,5 – 20,416) / 20,416 = 1,9 %o

Portanto,

Mud = 0,68 b x fcd (d - 0,4 x) = 0,68.12. 20,416.1,43 (31,5 - 0,4.20,416) = 5559 kN.cm.

Figura 13 – Seção transversal e diagrama de deformações

18.2 Disposições gerais relativas às armaduras

18.2.1 Arranjo das armaduras

O arranjo das armaduras deve atender não só à sua função estrutural como também às condições adequadas de execução, particularmente com relação ao lançamento e ao adensamento do concreto.

Os espaços devem ser projetados para a introdução do vibrador e de modo a impedir a segregação dos agregados e a ocorrência de vazios no interior do

elemento estrutural.

18.3.2 Armadura longitudinal

18.3.2.1 Quantidade mínima

A quantidade mínima de armadura de flexão deve ser calculada de acordo com 17.3.5. Para concretos até 30 MPa pode-se usar:

As,mín = 0,15% bw.h

17.3.5 Armaduras longitudinais máximas e mínimas 17.3.5.1 Princípios básicos

A ruptura frágil das seções transversais, quando da formação da primeira fissura, deve ser evitada considerando-se, para o cálculo das armaduras um momento mínimo dado pelo

12

35

d - x

x = 20,416 cm

c = 3,5 %o

s = 1,9 %o

D3



valor correspondente ao que produziria a ruptura da seção de concreto simples, supondo que a resistência a tração do concreto seja dada por fctk,sup., devendo também obedecer às condições relativas ao controle da abertura de fissuras dadas no item 17.3.3. A especificação de valores máximos para as armaduras decorre da necessidade de se assegurar condições de dutilidade e de se respeitar o campo de validade dos ensaios que deram origem às prescrições de funcionamento conjunto aço-concreto. 17.3.5.2 Valores limites para armaduras longitudinais de vigas 17.3.5.2.1 Armadura de tração A armadura mínima de tração, em elementos estruturais armados ou protendidos deve ser determinada pelo dimensionamento da seção a um momento fletor mínimo dado pela expressão a seguir, respeitada a taxa mínima absoluta 0,15 %:

Md,mín = 0,8.W0.fctk,sup

onde: W0 é o módulo de resistência da seção transversal bruta de concreto relativo à fibra mais tracionada; Ou seja para a seção retangular W0 = bw.h2/6 fctk,sup é a resistência característica superior do concreto à tração (ver 8.2.5).

Ou seja: fctk,sup = 1,3.fctm = 1,3.0,3.fck2/3 = 0,39.fck

2/3

Alternativamente, a armadura mínima pode ser considerada atendida se forem respeitadas as taxas mínimas de armadura da tabela 17.3.

Tabela 17.3 - Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas

Forma da seção

Valores de min*(As,mín/Ac)

%

20 25 30 35 40 45 50

60

Retangular

0,150 0,150 0,150 0,164 0,179 0,194 0,208 0,219

1)Os valores de min estabelecidos nesta tabela pressupõem o uso de aço CA-50, c = 1,4 e s = 1,15. Caso esses fatores

sejam diferentes, min deve ser recalculado.

Em elementos estruturais, exceto elementos em balanço, cujas armaduras sejam calculadas com um momento fletor igual ou maior que o dobro de Md, não é necessário atender à armadura mínima. Neste caso, a determinação dos esforços solicitantes deve considerar de forma rigorosa todas as combinações possíveis de carregamento, assim como os efeitos de temperatura, deformações diferidas

e recalques de apoio. Deve-se ter ainda especial cuidado com o diâmetro e espaçamento das armaduras de limitação de fissuração.

18.3.2.2 Distribuição transversal

O espaçamento mínimo livre entre as faces das barras longitudinais [eh ou ev] , medido no plano da seção transversal, deve ser igual ou superior ao maior dos seguintes valores:

a) no sentido horizontal (ah):



- 20 mm;

- diâmetro da barra, do feixe ou da luva;

- 1,2 vezes o diâmetro máximo do agregado.

b) no sentido vertical (av):

- 20 mm;

- diâmetro da barra, do feixe ou da luva;

- 0,5 vezes o diâmetro máximo do agregado.

__

Para feixes de barras deve-se considerar o diâmetro do feixe n = . n

DETALHAMENTO DA ARMADURA NA SEÇÃO TRANSVERSAL DE VIGAS Para dispor as armaduras na seção transversal das peças fletidas, pode-se usar

barras ou feixe de barras. Normalmente procura-se usar apenas as barras, pois a

aderência é mais efetiva. é o diâmetro da barra em milímetros (bitola).

Figura 14 - Barra e Feixes de barras

Na disposição das barras procura-se obter a maior altura útil d , que é a distância do

centro de gravidade da armadura até o bordo comprimido. Entre as exigências construtivas, a primeira a ser observada, é que o estribo deve ter barras nos quatro cantos. Isso implica no mínimo em duas barras na parte inferior da viga. A segunda exigência é a de respeitar o espaçamento eh entre as barras.

2 cm

eh ou n

1,2.dmáx

Sendo dmáx o diâmetro máximo do agregado graúdo usado no concreto.

dmáx = 19 mm para Brita 01 1,2.dmáx = 1,2.19 = 22,8 mm = 2,28 cm dmáx = 25 mm para Brita 02 1,2.dmáx = 1,2.25 = 30,0 mm = 3,00 cm

Cada linha de barras é denominada de camada, em vigas usuais usa-se até 3 camadas de barras. Para saber quantas barras cabem na primeira camada deve-se inicialmente considerar o espaçamento horizontal eh , o cobrimento c adotado e o

diâmetro do estribo t . Como mostra a Figura 15, a limitação a ser observada

inicialmente é que só se dispõe da largura bdisp para a 1a. camada, portanto cabem apenas n1 barras nesse nível.

bw,mín = 2.(c + t) + ni. + (ni-1).eh bw,disp = bw – 2.(c+t) n1. + (n1-1).eh

n = n



Figura 15 - Seção transversal e elementos para a disposição das barras

O arranjo das armaduras na seção transversal deve permitir a introdução do vibrador e uma eficiente vibração de todo o concreto. Para garantir esse objetivo sugere-se

considerar para cada posição de vibração um raio de ação de 30 cm e a possibilidade do vibrador penetrar até a primeira camada se existirem mais de duas camadas de armadura. Além disso, a abertura deixada para cada posição de

vibração deve ter largura igual ou maior que o diâmetro do vibrador mais 2 cm (ver Figura C 18.1 dos comentários da NB-1/2003 reproduzida na Figura 14 a).

Figura 16 - Arranjo transversal da armadura

Assim, para as vigas de largura inferior à 30 cm pode-se dispor nas segunda, ou demais camadas o mesmo número de barras que se usou na primeira. Já para vigas de maior largura (30 cm) deve-se somar ao valor da largura disponível a dimensão

igual a evibr + 2 cm e cumprir o que indica a Figura 3a.

Centro de gravidade da armadura

bw,disp+eh n1 = +eh

c

c

c

ev

eh eh t

t

t L

d’’

d’

N8

– 3

0

10

- 1

20

12

42

vibr vibr

30 cm

ev 2 cm

ev

0,5.Dmáx

a)

bdisp

b)

cg

2 cm

eh

1,2.dmáx

eh

bw

d2

ev

ys

bw,disp



Para obter a posição do centro de gravidade das armaduras longitudinais, na seção transversal, usa-se a expressão geral;

i

ii

A

yAy

.

Onde y é a altura do cg em relação a linha de referência, iy é a altura de cada

barra em relação à linha de referência e iA é a área de cada barra i. Se todas as

barras tem mesma bitola basta considerar a quantidade correspondente. Limitação para a consideração do cg da armadura como local da resultante conforme item 17.2.4.1 “Os esforços nas armaduras podem ser considerados como concentrados no centro de gravidade correspondente, se a distância deste centro ao ponto da seção de armadura mais afastada da linha neutra medida normalmente a

esta for menor que 10% de h.”

Assim, chamando a tal distância de ys = d2 – (c+t)] a condição é que: ys < 0,1.h

Figura 17 – Elementos para o detalhamento da seção transversal de uma viga

Disposição da armadura de flexão na seção transversal A Figura 17 mostra os elementos necessários a definição da posição das barras

longitudinais na seção transversal de uma viga para o caso de momento positivo.

bw

L L L c c

bdisp

c

L

ev

h

eh eh t t

t

ys



bw – largura da viga;

h - altura total da viga;

c – cobrimento da armadura;

dmáx - diâmetro máximo do agregado graúdo (brita);

L - bitola da armadura longitudinal;

t - bitola da armadura transversal (estribos);

eh - espaçamento horizontal entre as barras;

ev - espaçamento vertical entre as barras;

bdisp – largura disponível para alojar as barras longitudinais;

n = número total de barras longitudinais;

n1 – número de barras da primeira camada;

Definição da posição das barras e dos espaçamentos entre as barras

bw = 2.(c + t) + bdisp

).(2 twdisp cbb

disphL benn ).1(.1

hL

hdisp

e

ebn

1

dmáx - diâmetro máximo do agregado graúdo (brita)

Brita 1 Brita 2

dmáx [mm] 19 25

1,2 dmáx [mm] 22,8 30

eh [cm] 2,28 3,0

Espaçamento horizontal

eh [; 2 cm; 1,2 dmáx ]

Espaçamento vertical

ev [; 2 cm; 0,5 dmáx ]

Posição do centro de gravidade CG da armadura de flexão

Se for usada uma só camada de armadura o centro de gravidade estará localizado na altura d” da borda inferior da viga como mostra a Figura 18.

h d



Figura 18 – Posição do centro de gravidade CG da armadura em uma só camada Se houver uma segunda camada de armadura com o mesmo número de barras da

primeira camada a altura do CG estará no centro da distância ev como mostra a Figura 19.

Figura 19 - Posição do CG da armadura para duas camadas de barras

Quando uma das camadas não é igual a(s) outra(s) é necessário determinar a posição do CG, da maneira descrita a seguir. Para facilitar pode-se coincidir o eixo x com a borda inferior da viga e assim obter diretamente a distância d”. Como mostra

a Figura 20.

Figura 20 - Posição do cg da armadura para camadas de barras diferentes

A expressão que fornece a ordenada do centro de gravidade em relação a um eixo escolhido é

h d

d” d” = c + t + L+ev/2 t c

L

CG

ev L

y2

y3 y1

y

y

x



i

n

ii

A

yA

y 1

.

onde iA é área de cada barra e

iy a distância do CG da barra até o eixo de

referência.

Se todas as barras tiverem o mesmo diâmetro a expressão pode ser simplificada

n

yn

d

n

ii 1"

.

,ou seja, para três camadas de armadura: n

ynynynd 332211" ...

Se forem usadas barras de diâmetros diferentes as diferentes áreas devem ser consideradas.

Exemplo 5:

Para a seção transversal da viga detalhada abaixo. Com dimensões de 15 x 40 cm, concreto de brita 1 e cobrimento adotado de 2 cm. Usando armadura longitudinal

tracionada de 4 16 com estribos de bitola 5. Verificar a distribuição mais adequada

e determinar a posição do centro de gravidade da armadura para confirmar se pode ser considerada a resultante da tensão na armadura no centro de gravidade cg?

- Largura disponível para as barras longitudinais:

bw,disp = bw – 2.(c+t) = 15 – 2.(2+0,5) = 10 cm

- Espaçamentos horizontal eh e vertical ev

- Determinação do número de barras que podem ser dispostos em uma camada:

A disposição adotada é de 3 barras na primeira camada e uma na segunda como

mostra a Figura 21. Para determinar a posição do CG da armadura usa-se a expressão do centro de

massa:

bw,disp + eh 10 + 2,3

n1 = = = 3,15

+ eh 1,6 + 2,3

2 cm

eh = 1,6 cm

1,2.dmáx = 2,3 cm

ev = 2 cm



Figura 21 – Seção transversal e cálculo do CG da armadura

Condição do CG da armadura ys = d2 – (c+t) = 4,2–2,5=1,7 cm < 0,1.h=0,1.40 = 4 cm Atende e assim o CG pode representar o ponto de aplicação da resultante Rst.

Exemplo 6:

Para a seção transversal da viga detalhada abaixo (Fig. 22). Com dimensões de 15 x 40 cm, cobrimento adotado de 2 cm e usando armadura longitudinal tracionada de 2

20 + 3 16 com estribos de bitola 5. Verificar se a distribuição é adequada e

determinar a posição do centro de gravidade cg da armadura para confirmar se pode ser considerada a resultante no cg da armadura?

Condição do cg da armadura ys = d2–(c+t) = 4,7-2,5 =2,2 cm < 0,1.h = 0,1.40 = 4 cm

Figura 22 - Seção Transversal e cálculo da altura do cg da armadura

bw,disp

CG

eh

bw = 15 cm

d2 ys

y1

y2

d2

cg

y1 = 2 + 0,5 + 1,6/2 = 3,3 cm

y2 = 2 + 0,5 + 1,6 + 2 + 1,6/2 = 6,9 cm

Ai.yi 3.3,3 + 1.6,9

y = = = 4,2 cm

Ai 4

2 10 a20 = .2/4 = 3,15 cm2

a16 = .2/4 = 2,00 cm2

y1 = 2 + 0,5 + 2/1 = 3,5 cm y2 = 2 + 0,5 + 1,6/2 = 3,3 cm

y3 = 2 + 0,5 + 2 + 2 + 1,6/2 = 7,3 cm

Ai.yi

d2 =

Ai

2.a20.y1 + 1.a16.y2 + 2.a16.y3 d2 = 2.a20 + 1.a16 + 2.a16

d2 = 4,70 cm

d2

3 16

t = 5

c = 20

ev = 20

L = 20

d1

2 20



Exemplo 7 Para a viga de seção retangular com h = 55 cm, bw = 15 cm submetida a um

momento fletor de 88,10 kN.m determinar a armadura necessária quando são empregados concreto C20 e aço CA-50 Valores de cálculo dos materiais

Concreto fck = 20 MPa = 2 kN/cm2

fcd = fck/ γc = 2/1,4 = 1,428 kN/cm2

Aço: fyk = 500 MPa = 50 kN/cm2 fyd = fyk/γs = 50/1,15 = 43,48 kN/cm2

Estimativa de d” = 5 cm

d = h – d” = 55 – 5 = 50 cm

Momento de cálculo Md = γf.Mk = 1,4.8810= 12334 kN.cm Altura da linha neutra

x = 1,25.d.[ 1 – [1 – Md/(0,425.bw.d2.fcd]

1/2] x = 1,25.50.[1– [1– (12334/(0,425.15.502.1,428)]1/2]

x = 20,2 cm Domínio de deformação

x/d = 20,2/50 = 0,404 x23/d = 0,259 < x/d = 0,404 < x34/d = 0,628

Figura 23 – Seção transversal e diagrama das deformações

55 d = 50

x = 20,2

d - x

s

c = 3,5%o

D3



Domínio 3 ( concreto: εc = 3,5 %o ; εyd < εs < 10 %o ) Deformação do aço εs = 3,5.(d–x )/x = 3,5.(50–20,2)/20,2 = 5,163 %o

As = Md / fyd.(d–0,4.x) = 12334/(43,48.(50 – 0,4.20,2)) = 6,77 cm2

Armadura mínima As,min = 0,15% bw.h = 0,0015.15.55 = 1,24 cm2

Como As > Asmín, não é preciso calcular o valor de Mdmín = 0,6.W0.fctk,sup

Opções para a armadura Φ 10 as = 0,8 cm2 n = As/as = 6,77 / 0,8 = 8,46 9 Φ10 ( 7,2 cm2)

Φ 12,5 as = 1,25 cm2 n = As/as = 6,77 / 1,25 = 5,42 6 Φ12,5 ( 7,5 cm2)

Φ 16 as = 2,0 cm2 n = As/as = 6,77 / 2,0 = 3,39 4 Φ16 ( 8,0 cm2)

Disposição da armadura longitudinal na seção transversal

Cobrimento adotado: c = 2 cm Estribo: Φt = 5 mm = 0,5 cm

Largura disponível para a disposição da armadura bw,disp = bw – 2 (c + Φt) = 15 – 2.(2+0,5) = 10 cm

Espaçamento mínimo horizontal entre as barras eh = 1,2.1,9 = 2,28 cm Espaçamento mínimo vertical entre as barras ev = 2 cm

Detalhamento da primeira opção 6 Φ12,5 n1 = ( bw,disp + eh)/(Φ+eh) = 10 + 2,28 /(1,25+2,28) = 3,48 = 3 [3 + 3 ]

n = 6 = n1 = 3; n2 = 3 e n3 =0. y1 = c + Φt + Φ/2 = 2 + 0,5 + 0,625 = 3,125 cm

y2 = y1 + ev + Φ = 3,125 + 2 + 1,25 = 6,375 cm



d” = (n1.y1 + n2.y2)/ n

d” = (3.3,125 + 3.6,375) / 6 = 28,5/6 = 4,75 cm defe = h – d” = 55 – 4,75 = 50,25 cm

VIGA 15 x 55

Figura 24 – Elementos para a disposição das barras na seção

O valor efetivo da altura da linha neutra pode então ser calculado pela expressão: xefe = Asefe.fyd/0,68.bw.fcd

xefe = 7,5.43,48/0,68.15.1,428 = 326,1/14,566 = 22,39 cm

Assim, resulta no momento resistente da seção:

MRd=0,68.fcd.bw.xefe(defe-0,4xefe)=0,68.1,428.15.22,39(50,25-0,4.22,39)=13467 kN.cm Ou, pela armadura adotada:

MRd = Asefe.fyd.(defe- 0,4xefe) = 7,5.43,48.(50,25-0,4.22,39) = 13466 kN.cm O que resulta numa segurança adicional de 13466/12334=1,09 de 9%.

A relação x/d efetiva: x/d = 0,446 < 0,45.

x23/d = 0,259 < x/d = 0,446 < x34/d = 0,45

Domínio 3 ( concreto: εc = 3,5 %o ; εyd < εs < 10 %o )

6 O 12,5

bw=15

h = 55

2 O 5

1,25 1,25 1,25 2,0 2,0

3,1 3,1 0,5 0,5

2,0

1,25

1,25 2,0

4,75 3,125

3,25

2,0 1,25

3,25



Deformação do aço εs = 3,5.(d–x )/x = 3,5.(50,25–22,39)/22,39 = 4,355 %o e a Figura 25 mostra as deformações finais correspondentes.

Figura 25 – Seção transversal e diagrama das deformações

Detalhamento da segunda opção 4 Φ 16 n1 = ( bw,disp – eh)/(Φ+eh) = 10 + 2,28 (1,6+2,28) =3,16 = 3 [3 + 1]

y1 = c + Φt + Φ/2 = 2 + 0,5 + 0,8 = 3,3 cm y2 = y1 + ev + Φ = 3,3 + 2 + 1,6 = 6,9 cm

d” = (n1.y1 + n2.y2 )/ n

d” = (3.3,3 + 1.6,9 ) / 4 = 23,7/5 = 4,20 cm d = h – d” = 50 – 4,20 = 45,80 cm

Figura 26 – Elementos para a disposição das barras na seção na opção 2

3,3

3,6 4 O 16

bw=15

h = 50

2 O 5

1,6 1,6 1,6 2,0 2,0

2,6 2,6 0,5 0,5

2,0

1,6

1,6 2,0 4,2

55 d = 50,25 cm

x = 22,39

d - x

s = 4,36%o

c = 3,5%o

D3



Detalhamento da terceira opção 3 Φ 20

n1 = ( bw,disp – eh)/(Φ+eh) = 10 + 2,28 (2,0+2,28) = 2,86 = 2 [2+1] y1 = c + Φt + Φ/2 = 2 + 0,5 + 1,0 = 3,5 cm; y2 = y1+ev+Φ = 3,5 + 2 + 2 = 7,5 cm

d” = (2.y1 + 1.y2)/3 = 2.3,5+1.7,5)/3 = 4,83 e d = h – d” = 50 – 4,83 = 45,17 cm

Figura 27 – Elementos para a disposição das barras na seção na opção 3

O mesmo procedimento feito para a primeira opção pode mostrar os valores finais da linha neutra e respectivas deformações.

Exemplo 8

Dimensionar e detalhar a viga do exemplo anterior usando a mínima altura possível para a solução com armadura simples. Mostrando as deformações relativas ao ELU.

Dados: fck = 20 MPa = 2 kN/cm2 fyk = 500 MPa

= 50 kN/cm2 bw = 15 cm

Mk = 8810 kN.cm Figura 28 – Seção transversal

1) Momento Fletor de cálculo

Md = f.Mk = 1,4.8810 = 12334 kN.cm

2) Valor de cálculo da resistência à compressão do concreto

fcd = fck/c = 2/1,4 = 1,43 kN/cm2

3 O 16

2 2 2,0 2,0

0,5 0,5

2,0

2,0 4,83

6

15

h

d”



4) Estimativa da altura útil mínima d onde se pretende que x/d 0,45.

d lim = x/0,45. d lim = (Md/0,251.bw.fcd)

1/2

d lim = 12334/0,251.15.1,43 = 47,86 cm Adotando d = 48 cm

4) Altura da parte comprimida x

x = 1,25.d [ 1 – (1 - Md/0,425.bw.d2.fcd)1/2]

x = 1,25.48.[ 1- (1 - 12334/0,425.15.482.1,43)1/2

x =53,75. [1- (1- 0,732)1/2] = 21,49 cm

5) Definição do domínio Altura relativa: x/d = 21,49/48 = 0,448

Domínio 3: 0,259 < 0,448 < 0,628 6) Armadura necessária

As = Md/fyd.(d- 0,4.x) As = 12334/43,48.(48 - 0,4.21,49) = 7,2 cm2

7) Escolha da armadura

Opções: [área unitária = as = .2/4]

12,5 as12,5 =1,25 cm2 n = As/as12,5 = 7,2 /1,25=5,76 6 12,5 (7,5 cm2)

16 as16 = 2,00 cm2 n = As/as16 = 7,2 /2 = 3,6 4 16 (8,0 cm2)

20 as20 = 3,15 cm2 n = As/as20=7,2 /3,15 =2,29 3 20 (9,45 cm2)

8) Armadura adotada

6 12,5 (7,5 cm2)

9 ) Número de barras por camada

Largura disponível para as barras: bw,disp = 15 – 2(2,5 +0,5) = 9 cm

Diâmetro máximo do agregado brita 1 dmáx = 1,9 cm

eh = 1,2.dmáx = 1,2.1,9 = 2,28 cm,

n1 = (bw,disp + eh ) / ( + eh)

n1 = (9 + 2,28) / (1,25 + 2,28) = 3,11 = 3

n2 = 3 e n3 = 0



10) Altura do centro de gravidade CG da armadura

y1 = c + t + L/2 = 2,5 + 0,5 +1,25/2 = 3,625 cm

y2 = y1 + L + ev = 3,625 + 1,25 + 2 = 6,875 cm

y3 = y2 +L + ev = 6,875 + 1,25 + 2 = 10,125 cm

d” = (n1.y1+n2.y2+n3.y3)/n = (3.3,625+3.6,875+0.10,125)/7 = 5,95 cm

hnec = d + d” = 48 + 5,95 = 53,95 cm adotando h = 54 cm

defe = h – d” = 54 – 5,95 = 48,05 cm

Figura 29 – Detalhe da seção transversal e diagrama das deformações

11) Verificação da altura efetiva da linha neutra

x = As.fyd/0,68.bw.fcd

x = 7,5.43,48/0,68.15.1,43 = 22,35 cm

x/d = 22,35/48,05 = 0,465 > 0,45 ( +3,3 %) Domínio 3

O limite x/d = 0,45 não é atendido! Uma solução é adotar h = 55 cm.

defe = h – d” = 55 – 5,95 = 49,05 cm

x/d = 22,35/49,05 = 0,456 > 0,45 ( +1,2 %) Domínio 3

12) Deformação na armadura

s = c.(d-x)/x = 3,5.(49,05-22,35)/22,35 = 4,18 %o

13) Verificação da distância entre o CG da armadura e a

sua face mais tracionada

ys = d” – c + t = 5,95 – 2,5 – 0,5 = 2,95 cm < 0,1.h = 5 cm OK!

14) Armadura mínima As,min = 0,15% bw.h = 0,0015.15.50 = 1,13 cm2

15

55

5,95

6 12,5

(3+3)

d - x = 26,7

x = 22,35cm

c = 3,5 %o

s = 4,18 %o

D3



Detalhamento da segunda opção 4 Φ 16 n1 = ( bw,disp – eh)/(Φ+eh) = 10 + 2,28 (1,6+2,28) =3,16 = 3 [3 + 1]

y1 = c + Φt + Φ/2 = 2 + 0,5 + 0,8 = 3,3 cm y2 = y1 + ev + Φ = 3,3 + 2 + 1,6 = 6,9 cm

d” = (n1.y1 + n2.y2 )/ n d” = (3.3,3 + 1.6,9 ) / 4 = 16,8/4 = 4,2 cm

hnec = 48 + 4,2 = 52,2 cm Adotando h = 53 cm

d = h – d” = 53 – 4,2 = 48,8 cm

Figura 30 – Elementos para a disposição das barras na seção na opção 2 11) Verificação da altura da linha neutra

x = As.fyd/0,68.bw.fcd

x = 8.43,48/0,68.15.1,43 = 23,85 cm

x/d = 23,85/48,8 = 0,49 (+8,6%) Domínio 3 O limite x/d = 0,45 não é atendido!

Só mesmo adotando a altura h = 57 cm

x/d = 23,85/52,8 = 0,452 (+0,4%) Domínio 3 O limite x/d = 0,45 é atendido!

3,3

3,6 5 O 16

bw=15

h = 50

2 O 5

1,6 1,6 1,6 2,0 2,0

2,6 2,6 0,5 0,5

2,0

1,6

1,6 2,0 4,2



Exemplo 9

A mesma viga do exemplo anterior seguindo a determinação da NBR 6118/2014:

2) Estimativa da altura útil mínima d dlim = (Md/0,25.bw.fcd)

1/2

dlim = 12334/0,25.15.1,43 = 47,96 cm Adotando d = 49 cm

3) Valor de cálculo da resistência à compressão do concreto

fcd = fck/c = 2/1,4 = 1,43 kN/cm2

4) Altura da parte comprimida x x = 1,25.d [ 1 – (1 - Md/0,425.bw.d2.fcd)

1/2]

x = 1,25.49.[ 1- (1 - 12334/0,425.15.492.1,43)1/2 = 20,78 cm

5) Definição do domínio Altura relativa: x/d = 20,78/49 = 0,424

Domínio 3: 0,259 < 0,424 < 0,45 6) Armadura necessária

As = Md/fyd.(d- 0,4.x) As = 12334/43,48.(48 - 0,4.21,47) = 6,97 cm2

7) Escolha da armadura

Opções: [área unitária = as = .2/4]

12,5 as12,5 =1,25 cm2 n = As/as12,5 = 6,97 /1,25=5,58= 6 (7,5 cm2)

16 as16 = 2,00 cm2 n = As/as16 = 6,97 /2 = 3,49 = 4 (8,0 cm2)

20 as20 = 3,15 cm2 n = As/as20=6,97 /3,15 =2,2 = 3 (9,45 cm2)

8) Armadura adotada

6 12,5 (8,75 cm2)

9 ) Número de barras por camada

Largura disponível para as barras

bw,disp = 15 – 2(2,5 +0,5) = 9 cm

Diâmetro máximo do agregado brita 1 dmáx = 1,9 cm



eh = 1,2.dmáx = 1,2.1,9 = 2,28 cm,

n1 = (bw,disp + eh ) / ( + eh)

n1 = (9 + 2,28) / (1,25 + 2,28) = 3,11 = 3

n2 = 3

10) Altura do centro de gravidade CG da armadura

y1 = c + t + L/2 = 2,5 + 0,5 +1,25/2 = 3,625 cm

y2 = y1 + L + ev = 3,625 + 1,25 + 2 = 6,875 cm

d” = (n1.y1+n2.y2)/n = (3.3,625+3.6,875)/6 = 5,25 cm

hnec = 49 + 5,25 = 54,25 cm

Adotando h = 55 cm

defe = h – d” = 55 – 5,25 = 49,05 cm

Figura 31 – Detalhe da seção transversal e diagrama das deformações

11) Verificação da altura efetiva da linha neutra

x efe = As.fyd/0,68.bw.fcd

x efe = 7,5.43,48/0,68.15.1,429 = 22,37 cm

x/d = 22,37/49,05 = 0,456 > 0,45 ( +1,0 %) Domínio 3

xefe/defe = 0,45

Essa é a menor altura que se pode adotar. Se necessário adotar altura menor pode-se adotar armadura dupla ou seção T se

houver possibilidade de contar com a laje como mesa colaborante.

15

55

5,25

6 12,5

(3+3)

d - x = 26,68

x = 22,37cm

c = 3,5 %o

s = 4,27 %o

D3



f.3) Casos de simplificação do diagrama de tensões de compressão (seção

retangular): ( Sussekind pág. 103, vol I)

f.3.1 Caso em que %5,3máx

c o

Figura 32 - Distribuição das tensões: real e simplificada de cálculo

7

4.

3

2

7

3..85,021

xxbfRRR wcdcc

809,0...85,0 wcdcc bfR

cdwcc fxbR ..68,0

Em relação ao bordo mais comprimido:

14

.5

14

3.. 21

xxR

xRyRcc

ou seja

14

.9.

21

8

14

.3.

7

3

85,0...809,0

...85,0 xx

fxb

xbfy

cdw

wcd

xxy 4,0.41,0

O que mostra que a consideração do diagrama retangular em substituição ao

diagrama parábola-retângulo é uma diferença de apenas 2,5 %. Essa substituição facilita o dimensionamento no Estado Limite Último.

Quando as deformações são menores que 3,5%o duas situações distintas

acontecem a primeira quando omáx

c %5,3 e a segunda quando máx

c %2 o. Para

esses casos a substituição do diagrama necessita das correções propostas.

0,85.fcd

0,4.x

0,4.x

3.x / 7

4.x / 7

2 %o

3,5 %o

7

.4.

8

5 x

7

.3.

2

1 x

x

R1

R2

Rcc =0,68. bw.x.fcd



f.3.2 Caso em que omáx

c %5,3

a) 2%o omáx

c %5,3

Figura 33 - Distribuição real e distribuição simplificada de cálculo

xbfxbfxxxbfR wcdwcdwcdcc ..8,0..85,03

1..85,0.3

1.3

2.1..85,0

máx

c

.3

002,0125,1

3125,1

b) Caso em que máx

c %2 o

2

y002,0

1185,0 c

cdf

Figura 34 - Distribuição real e distribuição simplificada de cálculo

xdbfxbfR ywcd

c

wcdcc

máxc

..80,0...85,0002,0

11..80,0...85,00

2

22

0 002,03

1

002,0.

002,0

.11

máx

ccy

máx

cx

cc xdx

yR

Assim, para máx

c %2 o , tem-se

0,85..fcd

0,4.x

0,4.x

(1-).x

.x =0,002.x /cmáx

2 %o

cmáx

<3,5 %o

x

R1

R2

Rcc =0,68.. bw.x.fcd

0,85..fcd 0,85.fcd c =2%o

x c

y

(y)

cmáx

<2%o

0,8.x



002,0.

3

11

002,025,1

máx

c

máx

c

Então, resumindo as três situações:

1 se omáx

c %5,3

máx

c

.3

002,0125,1 quando 2%o c 3,5%o

002,0.

3

11

002,025,1

máx

c

máx

c quando c 2%o

Exemplo 10: Dimensionar a seção do meio do vão da viga esquematizada a seguir.

Figura 35 – Elementos para o dimensionamento

Dimensões: bw = 12 cm ; h = 45 cm Concreto C-20 fcd = 20 MPa = 2,0 kN/cm2 Aço CA-50 fyk = 500 MPa = 50 kN/cm2

M = pL2 / 8 = 14 . 4,22 / 8 = 30 ,87 kN.m

Md = f M = 1,4 . 30,87 = 43,22 kN.m = 4322 kN . cm Concreto: fyd = fyk / c = 2 / 1,4 = 1,43 kN/cm2


Limites: x23 = 0,0035 d /0,0135 = 0,259 d = 0,259 . 41 = 10,62 cm

x34 = 0,628 d = 0,628 . 41 = 25,75 cm


0,4x2 – d . x + Md / 0,68.b.fcd = 0 0,4x2 – 41.x + 4322 / 0,68 . 12 . 1,43 = 0

h

b c

s

As

x y

z

Mud Rcc

Rst



0,4x2 – 41 . x + 370,4 = 0

__________________

x = [- (-41 ) ± (-41)2 – 4.0,4 . 370,4 ] ] / 2 .0,4

= 41 ± 32,99 / 0,8 = 10,01 cm

Como x é menor que x23 = 10,62 cm, tem-se ELU no domínio 2 (peça subarmada)

Neste caso sd = fyd = 43,48 kN/cm2

Tem-se: As = Md / fyd(d - 0,4.x) = 4322 / 43,48.(41 - 0,4 . 10,01) = 2,69 cm2

No entanto quando se verifica a linha neutra x/d <0,259 vê-se que estando no

domínio 2, e nesse caso

%23,31000

226,3

100).41/101(

41/10

100)/1(

/

dx

dxmáx

c o

máx

c

.3

002,0125,1 quando 2%o c 3,5%o

000323,0.3

002,0125,1 = 0,992

E a tensão máxima no concreto será c = 0,85.. fcd

c = 0,85.0,992.1,43 = 1,206 kN/cm2

Rcd = c .bw.0,8.x = 1,206.12.0,8.10,01 = 115,89 kN

Rst = As.fyd = 2,69.43,48 = 116,96 kN

Mud = Rcc.z = 115,89.(41 - 0,4.10,01) = 4287 kN.cm

Obs.:

A Tabela II-2 para dimensionamento de seção retangular do livro do Prof. Sussekind

mostra que o erro cometido a favor da segurança é irrisório em termos práticos

Para tabelas prontas que não considerem pode-se usar as seguintes relações:

kx=x/d 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22 0,24

0,121 0,244 0,357 0,465 0,565 0,657 0,742 0,811 0,872 0,917 0,955 0,987



h) Seção retangular com armadura dupla

A seção retangular com armadura dupla é caracterizada pelas seguintes

condições:

- a parte comprimida da seção sujeita a flexão tem forma retangular e é adida de

uma área de aço comprimida;

- as barras que constituem a armadura estão agrupadas junto à borda

tracionada e podem ser imaginadas como concentradas no centro de

gravidade destas barras.

Figura 36 – Elementos para o dimensionamento à flexão de armadura dupla no ELU

h.1) Equações

Resultantes das tensões:

no concreto: Rcc = 0,85 . fcd . b . 0,8 . x = 0,68 . b . x . fcd

na armadura comprimida: Rs’= Rsc = As’ . sd’

Resultante de compressão: Rcd = Rcc + Rsc

na armadura tracionada: Rst1 = As1 . sd

Equações de equilíbrio:

de forca: = Rcd = Rsd ou 0,68 . b . x . fcd = As . sd (1)

de momento: Mu = Rcd . (d – 0,4 . x)

ou

Mu = Rsd . (d – 0,4 . x)

Substituindo os valores das resultantes de tensão, vem:

Mu = 0,68 . b . x . fcd . (d – 0,4 . x) (2)

ou

Mu = As . sd . (d – 0,4 . x) (3)

Rcc

Rsc

Rcc Rsc

Rst Rst1 Rst2

Ast

Asc

= + Md Md1 Md2

= +

(d-d’)



h.2 Caso de dimensionamento

Nos casos usuais de dimensionamento. tem-se b, fcd e faz-se Mu = Md (momento

fletor solicitante em valor de cálculo). Normalmente, pode-se adotar d 0,9 h. Dessa

forma, a equação (2) nos fornece o valor de x:

0,4x2 – d . x + Md / 0,68.bw.fcd = 0

ou

x2 - (2,5d)x + 2.5Md / 0,68.bw.fcd = 0

e ___________________

x = 1,25.d.[ 1 - 1 - Md / 0,425.bw.d2.fcd ]

Com o valor de x, tem-se o domínio de deformação correspondente, podendo

ocorrer as seguintes situações:

1) domínio 2, onde x x23 = 0.259 d; e sd = fyd

II) domínio 3, onde x23 x x34 = 0,0035 d /(0,0035 + yd)

III) domínio 4, se x x34; neste caso, a seção é superarmada e deve ser evitada:

pode ser utilizado um dos dois expedientes indicados a seguir:

aumentando-se a altura h porque, normalmente, b é fixo

(pois depende da espessura da parede onde a viga é embutida):

adotando-se armadura dupla.

h.3) Exemplo de armadura dupla:

Exemplo 11. Dimensionar a seção do meio do vão da viga dada a seguir.

bw = 15 cm

h = 40 cm ; d’ = 2,5 cm e d” = 4 cm

Viga pré-fabricada c = 1,3

Concreto C-20 fck = 20 MPa = 2,0 kN/cm2 Aço CA-50 fyk = 500 MPa = 50 kN/cm2

Mk = pL2 / 8 = 21,44 . 6,02 / 8 = 96 ,48 kN.m Md = f Mk = 1,4 . 96,48 = 135,1 kN.m = 13510 kN.cm Concreto: fcd = fck / c = 2,0 / 1,3 = 1,538 kN/cm2


x34 = 0,628 d = 0,628 . 36 = 22,6 cm


0,4x2 – d . x + Md / 0,68.b.fyd = 0

0,4x2 – 36 . x + 13510 / 0,68 . 15 . 1,538 = 0 0,4x2 – 36 . x + 861,19 = 0



__________________

x = - (-36 ) ± ((-36)2 – 4 . 0,4 . 861,19 ) / 2. 0,4

= 36 ± 9,05 / 0,8 = 33,69 cm

56,31 cm d = 36 cm (descartado)

Como x é maior que x34 = 22,6 cm, tem-se ELU no domínio 4 (peça

superarmada) e sd < 43,48 kN/cm2 . Portanto:

O máximo momento fletor absorvido pela parcela de armadura Rst1 será:

Md1 = 0,68.bw.x34.fcd (d - 0,4.x34)

Md1 = 0,68.15.22,6.1,923.(36 – 0,4.22,6) = 11690 kN.cm

A parcela de armadura correspondente a Md1 é :

As1= Md1/fyd.(d – 0,4.x34)

As1 = 11690 / 43,48. (36 – 0,4.22,6) = 10,09 cm2

A parcela de momento a ser absorvida pela armadura comprimida resulta em:

Md2 = Md = Md – Md1 = 13510 – 11690 = 1820 kN.cm

E a armadura comprimida correspondente fica sendo:

As2 = Asc = Md2/fyd (d - d’)

As2 = 1820 / 43,48. (36 – 2,5) = 1,25 cm2

Armadura comprimida adotada: 2 10 (Asc,adt = 1,6 cm2)

Armadura tracionada total:

Ast = Ast1 + Ast2 = 10,09 + 1,60 = 11,69 cm2

2 20 + 3 16 Ast,adt = 12,3 cm2

Figura 37 - Detalhamento da seção

d2

3 16

2 10

t = 5

c = 20

ev

L = 20

d1

2 20



h.4) Caso de verificação

Exemplo 12 - Determinar o momento resistente para a seção retangular indicada na figura 38.

Figura 38 - Seção transversal da viga do exemplo

Nos casos de verificação de uma seção com armadura dupla, não se sabe, a priori,

qual o domínio de deformação correspondente ao ELU1t. Assim, a solução pode ser obtida por tentativas: Admitindo-se inicialmente que as duas armaduras estejam em escoamento, isto é:

Hipótese 1 : sd = 43,48 kN/cm2 ;

Hipótese 1: ’sd = 43,48 kN/cm2

As resultantes de tensão valem:

Rcd = 0,68 bw.x.fcd = 0,68.12.x.1,07 = 8,73.x

Rsd = As sd = As fyd = 6.43,48 = 260,9 kN

R’sd = A’s ’sd = A’s fyd = 4.43,48 = 173,9 kN

Do equilíbrio de forças, vem:

Rsd = Rcd + R’sd

260,9 = 173,9 + 8,73.x

Então x = (260,9 - 173,9) / 8,73 = 9,97 cm < x23 = 11,66 (domínio 2).

Portanto, a Hipótese 1 está satisfeita.

Já para a Hipótese 2 no domínio 2, tem-se:

< yd = 0,00207

Portanto, ’sd < fyd e a Hipótese 2 não

é verificada.

Estes últimos resultados permitem orientar a adoção de um outro conjunto de

bw

As’ = 4 cm2

h

As’ = 6 cm2

d’

d’’

fck = 15 MPa; AÇO CA –50

Es = 21000 kN/cm2

bw = 12 cm ;

h = 50 cm; d = 45 cm

d’ = d1 = 5 cm;

d’’ = d2 = 5 cm

xddx

s

010,0

'

'

00142,0

97,945

597,9010,0'.010,0'

xd

dxs



hipóteses bem mais realista.

Por exemplo:

Hipótese 1 : sd = 43,48 kN/cm2 ;

Hipótese 2 : A’s sob a tensão ’sd < fyd

Tem-se:

x

x

x

x

xd

dxEE ssssd

45

1050.210010,0.

45

5.21000010,0...

'''

R’sd = A’s.’sd = x

x

x

x

45

4200.840

45

1050.210.4

Rsd = Rcd + R’sd

260,9 = 8,73.x+x

x

45

4200.840

8,73.x2 – 1493,8.x + 15941 = 0

43,1173,8.2

1,12948,1493

x cm ( 159,7 descartado)

Como x < x23 = 11,66 cm, tem-se domínio 2 de deformação ( Hipótese 1 satisfeita).

Também,

< yd = 0,00207

Portanto a Hipótese 2, também está satisfeita. Prosseguindo, tem-se a resultante: Rcd = 8,73.x = 8,73.11,43 = 99,8 kN

R’sd = 43,1145

420043,11.840

45

4200.840

x

x = 160,9 kN

E, do equilíbrio de momento, tem-se:

Mud = Rcd.(d - 0,4 x) + R’sd.(d-d’) = 99,8.(45-0,4.11,43)+160,9.(45-5) = 10471 kN.cm

00192,0

43,1145

543,11010,0'.010,0'

xd

dxs



i) Flexão Simples na Seção T

Exemplo 13

Considere-se a seção “T”, esquematizada a seguir na Figura 39. Se a altura comprimida (0,8 x) for menor ou igual à espessura da laje (hf ), tem-se uma seção

retangular com armadura simples, já vista. Quando x for maior do que h f, a forma da zona comprimida (sujeita à tensão 0,85fcd) tem a forma de um “T”.

Figura 39 - Elementos para a viga T [www.lmc.ep.usp.br]

Dados: bw = 20 cm ; bf = 100 cm ; hf = 7 cm ; d = 90 cm

fck = 20 MPa ; CA 50A ; M = 574 kN.m

Tem-se:

fcd = fck / c = 2,0 / 1,4 = 1,4286 kN/cm2

fyd = fyk / s = 50 / 1,15 = 43,48 kN/cm2

yd = fyd / Es = 43,48 / 21000 = 0,00207

x23 = 0,0035 d / (0,0035 + 0,010) = 0,259 d = 0,259 x 90 = 23,3 cm

x34 = 0,0035 d / (0,0035 + yd) = 0,0035 x 90 / (0,0035 + 0,00207) = 56,5 cm

Na hipótese de 0,8 x hf = 7 cm, b = bf = 100 cm. Logo

429,1.90.100.425,0

57400.4,11190.25,1

...425,011.25,1

22

cdf

d

fdb

Mdx

x = 9,60 cm



e, 0,8 x = 0,8 x 9,6 = 7,68 cm > hf = 7 cm (contrariando a hipótese admitida)

O problema pode ser equacionado subdividindo a zona comprimida em retângulos (1

e 2). As resultantes de tensão sobre as partes 1 e 2 valem:

Rcfd = 0,85 fcd (bf - bw) hf = 0,851,429(100 - 20) 7 = 680,2 kN

Rcwd = 0,85 fcd bw (0,8 x) = 0,68 bw x fcd =0,6820x1,429 = 19,43 x

A equação de equilíbrio de momento fornece:

Mu = Md = Mcfd + Mcwd = Rcfd (d - hf / 2) + Mcwd

1,457400 = 680,2(90 - 7/2) + Mcwd

ou Mcwd = 80360 – 58837,3 = 21522,7 kN.cm

Este momento deve ser resistido pela parte 2 que é uma seção retangular bw por d. Portanto a altura da linha neutra é:

429,1.90.20.425,0

7,215221190.25,1

...425,011.25,1

22

cdw

d

fdb

Mdx

x = 13,06 cm

com ELUlt. no domínio 2, pois x < x23 = 23,3 cm (ssd = fyd).

Portanto:

Rcwd = 19,43 x = 19,4313,06 = 253,82 kN.

A equação de equilíbrio de força permite escrever:

Rsd = Rcfd + Rcwd

As fyd = 680,2 + 253,82 = 934,02 kN

E, assim: As = 934,02 / 43,48 = 21,48 cm2 . (11 16 (22 cm2)

Armaduras de costura A viga calculada desse modo exige armaduras de costura que garantam a transferência de cisalhamento, tanto entre a alma e as abas (negativos da laje), como entre a alma e a mesa (estribos). Como mostra a Figura 40.



Figura 40 - Armaduras de costura para a viga T

14.6.2.2 Largura colaborante de vigas de seção T

Quando a estrutura for modelada sem a consideração automática da ação conjunta de lajes e vigas, esse efeito

pode ser considerado mediante a adoção de uma largura colaborante da laje associada à viga, compondo uma

seção transversal T.

A consideração da seção T pode ser feita para estabelecer as distribuições de esforços internos, tensões,

deformações e deslocamentos na estrutura, de uma forma mais realista.

A largura colaborante bf deve ser dada pela largura da viga bw acrescida de no máximo 10% da distância "a" entre pontos de momento fletor nulo, para cada lado da viga em que houver laje colaborante.

A distância "a" pode ser estimada, em função do comprimento do tramo considerado, como se apresenta a seguir:

- viga simplesmente apoiada..........................................................a = 1,00

- tramo com momento em uma só extremidade.............................a = 0,75

- tramo com momentos nas duas extremidades.............................a = 0,60

- tramo em balanço..........................................................................a = 2,00

Alternativamente o cômputo da distância "a" pode ser feito ou verificado mediante exame dos diagramas de momentos fletores na estrutura.

No caso de vigas contínuas, permite-se calculá-las com uma largura colaborante única para todas as seções,

inclusive nos apoios sob momentos negativos, desde que ela seja calculada a partir do trecho de momentos

positivos onde a largura resulte mínima.

Devem ser respeitados os limites b1 e b3 conforme indicado na figura 14.2.

As ≥ 1,5 cm2/m



Figura 41 (Figura 14.2 da Norma) - Largura de mesa colaborante.

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Flexao_2015