Formas Quadráticas e Cônicas

Stela Zumerle Soares1 Antônio Carlos Nogueira2 (stelazs@gmail.com) (anogueira@ufu.br)

Faculdade de Matemática, UFU, MG

1 Bolsista do PET -Matemática da Universidade Federal de Uberlândia 2 Docente da Faculdade de Matemática da Universidade Federal de Uberlândia

1. Resumo Nesse trabalho pretendemos apresentar alguns resultados da álgebra linear. Nosso objetivo é exibir os conceitos de formas bilineares e formas quadráticas. Além disso, faremos a classificação das cônicas no plano.

2 - Formas Bilineares Definição 2.1 - Seja V um espaço vetorial sobre o corpo . Uma forma bilinear sobre V é uma função

Ff , que associa a cada par ordenado de vetores ,α β em V , um escalar ( , )f α β

em , e que satisfaz F1 2 1 2

1 2 1 2

( , ) ( , ) ( ,( , ) ( , ) ( , )

f c cf ff c cf f

)α α β α β α βα β β α β α β

+ = ++ = +

.

A função nula de V é também uma forma bilinear. Além disso, toda combinação linear de formas bilineares sobre V é uma forma bilinear.

V×

Assim, o conjunto das formas bilineares sobre V é um subespaço vetorial do espaço das funções de V em . V× F Exemplo 2.1 – Seja V um espaço vetorial sobre o corpo e sejam e funcionais lineares sobre V . Definamos

F 1L 2Lf por

1 2( , ) ( ) ( )f L Lα β α β= .

Fixando β e considerando f como uma função de α , então temos simplesmente um múltiplo escalar do funcional linear . 1LCom α fixo, f é um múltiplo escalar de . 2LAssim, é evidente que f é uma forma bilinear sobre V . Definição 2.2 – Seja V um espaço vetorial de dimensão finita e seja 1{ , , }nβ α α= L uma base ordenada de V . Se f é uma forma bilinear sobre V , a matriz de f em relação à base

ordenada β é a matriz n n × A com elementos ( , )ij i jA f α α= . Às vezes indicaremos esta matriz por [ ]f β . Teorema 2.1 – Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sobre o corpo . Para cada base ordenada

Fβ de V , a função que associa a cada forma bilinear sobre V sua matriz em

relação à base ordenada β é um isomorfismo do espaço ( , , )L V V F no espaço das matrizes sobre o corpo . n n× F

Demonstração: Observamos anteriormente que [ ]f f

β→ é uma correspondência bijetora

entre os conjuntos das formas bilineares sobre V e o conjunto de todas as matrizes n n× sobre . E isso é uma transformação linear, pois F

( )( ) ( ) ( ), ,i j i j i jcf g cf g ,α α α α α+ = + α

Para todos e i j . Isto diz simplesmente que

[ ] [ ] [ ]cf g c f gβ β β

+ = + .■

Corolário – Se { }1, , nβ α α= L é uma base ordenada de V e { }*

1, , nL Lβ = L é a base dual

de , então as formas bilineares *V 2n

( ) ( ) ( ),ij i jf L Lα β α= β , 1 i n≤ ≤ , 1 j n≤ ≤

formam uma base do espaço ( , , )L V V F . Em particular, a dimensão de ( , , )L V V F é . 2n Demonstração: A base dual { }1, , nL LL é definida essencialmente pelo fato de que ( )iL α é a i-ésima coordenada de α em relação à base ordenada β (para todo α em V ). Ora, as funções

ijf definidas por

( ) ( ) ( ),ij i jf L Lα β α= β

são formas bilineares do tipo considerado no exemplo 1. Se

1 1 n nx xα α α= + +L e 1 1 n ny yβ α α= + +L , então

( ),ij i jf x yα β = .

Seja f uma forma arbitrária sobre V e seja A a matriz de f em relação à base ordenada β . Então

( ),

, ij i ji j

f A x yα β =∑

o que diz simplesmente que

( ),

,ij iji j

f A f α β=∑ .

Agora é evidente que as formas 2n ijf formam uma base de ( , , )L V V F .■ Outra maneira de demonstrar o corolário: A matriz da forma bilinear ijf em relação à base ordenada β é a matriz “unitária” ,

cujo único elemento não-nulo é um 1 na linha i e coluna

,i jE

j . Como estas matrizes constituem uma base do espaço das matrizes

,i jEn n× , as formas ijf constituem uma base do

espaço das formas bilineares. ■ Definição 2.3 – Uma forma bilinear f sobre um espaço vetorial V é dita não-degenerada (ou não-singular) se sua matriz em relação a alguma (toda) base ordenada de V é uma matriz não-singular, ou seja, se . ( )Posto f n= 2.1 - Formas Bilineares Simétricas e Formas Quadráticas Nesta seção descreveremos um tipo especial de forma bilinear, as chamadas formas bilineares simétricas. Definição 2.4 - Seja f uma forma bilinear sobre o espaço vetorial V . Dizemos que f é simétrica se ( , ) ( , )f fα β β α= , para quaisquer vetores α , β em V . Se V é de dimensão finita, a forma bilinear f é simétrica se, e somente se, sua matriz A em relação a alguma ou (toda) base ordenada é simétrica, isto é, tA A= . Para ver isto, perguntamos quando é que a forma bilinear

( ), tf X Y X AY= é simétrica. Isto acontece se, e somente se, t tX AY Y AX= para todas matrizes-colunas X e Y . Como tX AY é uma 1 matriz, temos 1× t t tX AY Y A X= . Assim, f é simétrica se, e somente se, t t tY A X Y AX= para todas . Evidentemente, isto significa apenas que

. Em particular, deve-se notar que se existir uma base ordenada de V em relação à qual

,X YtA A=f seja representada por uma matriz diagonal, então f é simétrica, pois qualquer matriz

diagonal é uma matriz simétrica.

Se f é uma forma bilinear simétrica, a forma quadrática associada a f é a função de em definida por

qV F

( ) ( , )q fα α α= .

Se é um subcorpo do corpo dos números complexos, a forma bilinear simétrica F f é completamente determinada por sua forma quadrática associada, de acordo com a seguinte identidade, conhecida por identidade de polarização:

1 1( , ) ( ) ( )4 4

f q qα β α β α β= + − − .

Demonstração: Temos que:

( )( , )( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , ) ( , )( , ) 2 ( , ) ( , )

qff ff f f ff f f

α βα β α βα β α α β βα α β α α β β βα α α β β β

+ =+ + =+ + + =

+ + ++ + =

=

( ) 2 ( , ) ( ).q f qα α β β+ + (1)

Temos também que:

( )( , )( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , ) ( , )( , ) 2 ( , ) ( , )

qff ff f f ff f f

α βα β α βα β α α β βα α β α α β β βα α α β β β

− =− − =− − − =

− − +− + =

=

( ) 2 ( , ) ( ).q f qα α β β− + (2)

Fazendo (1) – (2), obtemos:

( ) ( )( ) 2 ( , ) ( ) ( ) 2 ( , ) ( )

4 ( , )

q qq f q q f q

f

α β α βα α β β α α β βα β

+ − − =+ + − + − =

E então, 1( , ) ( ( ) ( ))4

f q qα β α β α= + − − β

1 1( , ) ( ) ( )).4 4

f q qα β α β α⇒ = + − − β

))

■ (3)

Observe que, fazendo (1)+(2), obtemos a identidade do paralelogramo

( ) ( ) 2( ( ) (q q q qα β α β α β+ + − = + . (4)

Uma classe importante de formas bilineares simétricas consiste dos produtos internos sobre espaços vetoriais reais. Se V é um espaço vetorial real, um produto interno sobre V é um a forma bilinear simétrica f sobre V que satisfaz

( , ) 0f α α > , se 0α ≠ . (5) Se f é uma forma bilinear dada pelo produto escalar, então a forma quadrática associada é

2 21 2 1 2( , , , )n nq x x x x x x2= + + +L L .

Em outras palavras, ( )q α é o quadrado do comprimento de α . Para a forma bilinear ( , ) t

Af X Y X AY= , a forma quadrática associada é

,( ) t

A ij i ji j

q X X AX A x x= =∑ .

Uma forma bilinear que satisfaz a equação (5) é dita positiva definida. Assim, um produto interno sobre um espaço vetorial real é uma forma bilinear simétrica positiva definida sobre aquele espaço. Note que, um produto interno é não degenerado. Dois vetores ,α β são ditos ortogonais em relação ao produto interno f se . A

forma quadrática ( ), 0f α β =

( ) ( ),q fα α α= toma apenas valores não-negativos e ( )q α é usualmente considerado como o quadrado do comprimento de α . Observe que se f é uma forma bilinear simétrica sobre um espaço vetorial V , é conveniente dizer que α e β são ortogonais em relação à f se ( ),f α β 0= . Mas não é aconselhável

considerar ( ),f α α como sendo o quadrado do comprimento de α . Por exemplo, se V é

um espaço vetorial complexo, podemos ter ( ), 1f iα α = − = , ou num espaço vetorial real

. ( ), 2f α α = − Teorema 2.2 – Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sobre um corpo de característica zero, e seja f uma forma bilinear simétrica sobre V . Então, existe uma base ordenada de V em relação à qual f é representada por uma matriz diagonal. Demonstração: O que precisamos encontrar é uma base ordenada

{ }1 2, , , nβ α α α= L

tal que ( ),i jf α α = 0 j

*

⎞⎟⎟⎟⎠

para , ou seja i ≠

11 0 * 0

0 0nn

f

f

⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜=⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

K K

M O M M O M

L L

Se ou , o teorema é verdadeiro, pois a matriz 10f = 1n = 1× é uma matriz diagonal. Assim, podemos supor e . Se 0f ≠ 1n > ( ),f α α 0= para todo α em V , a forma quadrática é identicamente 0 e a identidade de polarização mostra que , pois q 0f =

1 1( , ) ( ) ( )4 4

f q qα α α α α= + − −α .

Assim, existe um vetor α em V tal que ( ) ( ), 0f qα α α .= ≠ Seja W o subespaço unidimensional de V que é gerado por α e seja W ( W ortogonal) o conjunto de vetores

⊥

β em V tais que ( ),f α β 0= . Afirmamos agora, que V W W ⊥= ⊕ .

Certamente os subespaços W e W são independentes. Um vetor típico em W é ⊥ cα , onde c é um escalar. Se cα está, também, em W , então ⊥ ( ) ( )2, ,f c c c fα α α α 0= = .

Mas, , logo . Além disso, todo vetor em V é a soma de um vetor em W e um em W . De fato, seja

( ),f α α ≠ 0 0c =⊥ γ um vetor arbitrário em V e coloquemos:

( )( )

,,

ffγ α

β γ αα α

= − .

Então

( ) ( ) ( )( ) ( ),

, ,,

ff f f

fγ α

,α β α γ αα α

= − α

E como f é simétrica, , (pois ( ),f α β = 0 f é diagonal e α β≠ ). Portanto, β está no subespaço W . A expressão ⊥

( )( )

,,

ffγ α

γ α βα α

= +

nos mostra que V W . W ⊥= ⊕ A restrição de f a W ⊥ é uma forma bilinear simétrica sobre W ⊥ . Como W tem dimensão

(pois tem ), podemos supor, por indução, que W possua uma base

⊥

( 1n − ) W dim 1= ⊥

{ }2 , , nα αL tal que

( ),i jf α α 0= , ( )2, 2i j i j≠ ≥ ≥

Colocando 1α α= , obtemos uma base { }1, , nα αL de V tal que ( ),i jf α α = 0 j para i .■ ≠

Obs: Em termos das coordenadas dos vetores 1 1 2 2 n nx x xα α α α= + + +L e

1 1 2 2 n ny y yβ α α= + + +L α relativamente à base { }1, , nα αL do teorema 2.2 a forma

bilinear f se expressa como ( ), i i if x yα β λ= ∑ . Em particular, a forma quadrática associada a q f é dada por uma combinação linear de quadrados:

( ) 2 21 1 2 2 n nq x x 2xα λ λ λ= + + +L .

Os escalares 1 2, , , nλ λ L λ

⎟

⎟

são os autovalores da matriz da forma bilinear. 2.2 – Formas Quadráticas no plano De acordo com o teorema 1, uma forma quadrática no plano pode ser representada por uma

matriz simétrica . Isto é feito da seguinte maneira: a matriz simétrica real

associa ao vetor

a cA

c b⎛ ⎞

= ⎜⎝ ⎠

a cA

c b⎛ ⎞

= ⎜⎝ ⎠

2( , )sv x y R= ∈ , referido à base canônica ,

( e ), o polinômio que é um polinômio homogêneo do 2º grau em

1 2{ , }S e e=

1 (1,0)e = 2 (0,1)e = 2 2ax bxy cy+ + 2

x e y chamado forma quadrática no plano. Na forma matricial, este polinômio é representado por:

( )ts s

a c xv Av x y

c b y⎛ ⎞⎛

= ⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎝

⎞⎟⎠

,

sendo a matriz simétrica A a matriz da forma quadrática. Assim, a cada vetor sv corresponde um número real:

2 22p ax bxy cy= + + . 2.2.1 – Redução da Forma Quadrática à Forma Canônica. A forma quadrática no plano t

s sv Av pode ser reduzida através de mudanças de coordenadas à forma:

2 21 2' 'x yλ λ+

onde 1λ e 2λ são os autovalores da matriz A , e 'x e as componentes do vetor v na base

, isto é, 'y

1 2{ , }P u u= ( ', ')pv x y= , sendo e os autovetores associados a 1u 2u 1λ e 2λ . Demonstração: Temos que a matriz é a matriz mudança de base de para , pois: P P S

[ ] 1P

SI S P IP P−= = =

E, portanto:

s pv Pv=

logo,

( ) ( )tts s pv Av Pv A Pv= p

ou,

( )t t tS S P Pv Av v P AP v= .

Como diagonaliza P A ortogonalmente

1

2

00

tP AP Dλ

λ⎛ ⎞

= = ⎜ ⎟⎝ ⎠

;

conclui-se que,

t tS S P Pv Av v Dv= ,

ou,

( ) ( ) 1

2

0 '' '

0 'a c x x

x y x yc b y y

λλ

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠

⎞⎟⎠

2'

2'

ou ainda,

2 2 21 22 'ax bxy cy x yλ λ+ + = + . ■

A forma 2

1 2'x yλ λ+ é denominada forma canônica da forma quadrática no plano, ou também, forma quadrática diagonalizada. O que na verdade acabamos de fazer foi uma mudança de base ou uma mudança de referencial. Essa mudança de referencial corresponde a uma rotação de um ângulo θ do sistema xOy até o sistema ' 'x Oy . A matriz responsável por essa rotação é a matriz ortogonal , cujas colunas são os autovetores e de

P

1u 2u A . 3 – Cônicas. Chama-se cônica a todo conjunto de pontos M do plano cujas coordenadas x e , em relação à base canônica, satisfazem a equação do 2º grau:

y

2 22 0ax bxy cy dx ey f+ + + + + =

onde não são todos nulos. , ,a b c 3.1- Equação reduzida de uma Cônica. Dada a cônica C de equação

2 22 0ax bxy cy dx ey f+ + + + + = (6)

queremos, através de mudanças de coordenadas, reduzí-la a uma equação de uma forma mais simples, chamada equação reduzida da cônica. Para isto seguimos as seguintes etapas. 1ª etapa: Eliminação do termo em xy : 1º passo: escrever a equação na forma matricial

( ) ( ) 0a c x x

x y d e fc b y y⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(7)

ou, 0t

s s sv Av Nv f+ + = .

2º passo: calcular os autovalores 1λ e 2λ e os autovetores unitários e da matriz simétrica

1 11 12( , )u x x=

2 21 2( ,u x x= 2 ) A . 3º passo: substituir na equação (7) a forma quadrática:

pela forma canônica ( )ts s

a c xv Av x y

c b y⎛ ⎞⎛

= ⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎝

⎞⎟⎠

( ) 1

2

0 '' '

0 'tP P

xv Dv x y

yλ

λ⎛ ⎞⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

, e

s

xv

y⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

por 11 21

12 22

''P

x x xPv

x x y⎛ ⎞⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

tendo o cuidado para que de , a fim de que essa transformação seja uma rotação. t( ) 1P =Assim, a equação (7) se transforma em:

( ) ( )1 11 21

2 12 22

0 ' '' ' 0

0 ' 'x xx x

x y d e fx xy y

λλ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ou, 2 2

1 2' ' ' 'x y px qy fλ λ+ + + + = 0

'

(8)

que é a equação da cônica dada em (7), porém referida ao sistema 'x Oy , cujos eixos são determinados pela base . 1 2{ , }P u u=Observe que enquanto a equação (7) apresenta o termo misto xy , a equação (8) é desprovida dele.

Portanto da equação (7) para a (8) ocorreu uma simplificação. 2ª etapa: Translação de eixos: Conhecida a equação da cônica

2 21 2' ' ' 'x y px qy fλ λ+ + + + = 0

'

. (9)

Para se obter a equação reduzida efetua-se uma nova mudança de coordenadas, que consiste na translação do último referencial 'x Oy para o novo, o qual denominaremos 'xO y . A seguir é feita a análise das duas possibilidades: (I) Supondo 1λ e 2λ diferentes de zero, podemos escrever:

2 21 2

1 2

' ' ' 'p qx x y y fλ λλ λ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠0

2 2 2

2 21 22 2

1 1 2 2 1 2

' ' ' '4 4 4

p p q q p qx x y y fλ λλ λ λ λ λ λ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2

04

+ + + + + + − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2 2 2

1 21 2 1

' '2 2 4 4p q px y fλ λλ λ λ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2

0qλ

.

Fazendo:

2 2

1 24 4p qf Fλ λ

− − = −

e por meio das fórmulas de translação:

1

'2pX xλ

= + e 2

'2qY yλ

= +

vem,

2 21 2 0X Y Fλ λ+ − =

2 21 2 .X Y Fλ λ+ = (10)

A equação (10) é a equação reduzida de uma cônica de centro, e como se vê, o 1º membro é a forma canônica da forma quadrática do plano. (II) Se um dos autovalores for igual a zero, 1 0λ = , por exemplo, a equação (9) fica:

2

2 ' ' 'y px qy fλ 0+ + + =

ou seja,

22

2

' ' 'qy y px fλλ

⎛ ⎞0+ + + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 22

2 22 2 2

' ' '4 4

q q qy y px fλλ λ λ

⎛ ⎞+ + + + − =⎜ ⎟

⎝ ⎠0

2 2

22 2

' '2 4q f qy p x

p pλ

λ λ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

0= .

Fazendo, por meio de uma translação:

2

2

'4

f qX xp pλ

= + − e 2

'2qY yλ

= +

vem,

22 0Y pXλ + = . (11)

A equação (11) é a equação reduzida de uma cônica sem centro. Se 2 0λ = , a equação (9) fica:

21 ' ' 'x px qy fλ 0+ + + =

21

1

' ' 'px x qy fλλ

⎛ ⎞0+ + + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 22

1 21 1 1

' ' '4 4

p p px x qy fλλ λ λ

⎛ ⎞+ + + + − =⎜ ⎟

⎝ ⎠0

2 2

11 1

' '2 4p f px q y

q qλ

λ λ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

0= .

Fazendo por meio de uma translação:

2

1

'4

f pY yp qλ

= + − e 1

'2pX xλ

= +

vem,

2

1 0X qYλ + = . 3.2- Classificação das Cônicas. I) A equação reduzida de uma cônica de centro é:

2 21 2X Y Fλ λ+ = .

• Se 1λ e 2λ forem de mesmo sinal, a cônica será do gênero elipse. • Se 1λ e 2λ forem de sinais contrários, a cônica será do gênero hipérbole.

II) A equação de uma cônica sem centro é:

22 0Y pXλ + = ou 2

1 0X qYλ + = .

Uma cônica representada por qualquer uma dessas equações é do gênero parábola. É usada a mesma classificação para as formas quadráticas. Exemplo 3.1: a) Para a cônica de equação 2 22 2 2 7 2 5 2 10x y xy x y+ + + + + = 0

⎞⎟ 1

, a matriz A é dada

por e seus autovalores são 2 11 2

A ⎛= ⎜⎝ ⎠

1 23 eλ λ= = . Portanto, pela classificação de

cônicas, como os sinais dos autovalores são iguais, a cônica em questão é uma elipse.

b) Para a cônica de equação , a matriz A é dada por e

como um de seus autovalores é nulo, concluímos que esta cônica é uma parábola.

2 22 8 4x xy y x+ + − + = 01 11 1

A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

c) A equação 2 24 3 24 156 0x y xy− + − = , representa uma hipérbole, pois a matriz

apresenta autovalores de sinais opostos (4 12

12 3A

⎛= ⎜ −⎝ ⎠

⎞⎟ 1 212 13eλ λ= − = ).

3. Referências bibliográficas

[1] HOOFMAN, K. & KUNZE, R. Álgebra Linear. São Paulo: Polígono, Editora da Universidade de São Paulo,1971.

[2] GREUB, W. Linear Algebra. 4ª ed. Nova York: Springer-Verlag, 1974. [3] STEINBRUCH, A. & WINTERLE, P. Álgebra Linear. 2ª ed. São Paulo: Makron Books, 1987. [4] LIMA, E. L. Álgebra Linear. 2ª ed. Instituto de Matemática Pura e Aplicada, 1996 (Coleção Matemática Universitária).