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Formulário TC FTP
1
Mecanismos de transferência de calor Condução
Potência calor:
!Qcond
= kAT1! T
2
! x
k: condutibilidde térmica; A: área de transferência
∆x: espessura ao longo da condução T1! T
2: diferença de temperatura
Lei de Fourier da condução
1D:
!Qcond = !kAdT
dx
3D: !q = -k!T
Difusividade térmica: ! =k
"Cp
! : massa volúmica
cp - calor específico a pressão constante
cv - calor específico a volume constante
Calor específico dh = CpdT du = C
vdT
h: entalpia u: energia interna Materiais incompressíveis: Cp ! Cv ! C
Número de Prandtl: Pr = !
"=Cpµ
k
! : viscosidade cinemática ou difusividade de quantidade
de movimento µ : viscosidade dinâmica
Número de Péclet: Pe = RePr = VL!
Re: número de Reynolds
V: velocidade característica do escoamento
L: dimensão característica do escoamento
Convecção Potência calor:
!Qconvecção = hAs Ts !T"( )
h: coeficiente de transferência de calor por convecção As: área de transferência
Ts: temperatura da superfície
T!
: temperatura do fluido longe da superfície
Radiação de corpo negro
Potência calor máxima: Lei de Stefan- Boltzmann para
radiação de um corpo negro
!Qrad ,max = !AsTs4
! : constante de Stefan- Boltzmann = 5.67 !10"8
W/(m2K
4)
As: área da superfície
Ts
: temperatura absoluta da superfície [K]
Lei de Kirchhof: ! T ,"( ) = # T ,"( )
! : coeficiente de absorção
! : coeficiente de emissão
! : comprimento de onda da radiação
Radiação de um corpo real
!Qrad = !"AsTs4
! : emissividade
Resistencias térmicas Resistência térmica de condução: Rconducção =
L
kA Resistência térmica de convecção: R
conv=1
hAs
Resistência térmica de radiação: Rrad
=1
hradAs
hrad =!Qradiação
As Ts !Tenvol( )= "#As Ts
2+Tenvol
2( ) Ts +Tenvol( )
Fluxo de calor:
!Q =T1!T
2
R
R: resistência térmica
Lei de Kirchoff para resistências em série R
total= R
i
i
! Lei de Kirchoff para resistências em paralelo
1
Rtotal
=1
Rii
!
Formulário TC FTP
2
Resistência de condução em camada cilíndrica
Rcil=ln r
2r1( )
2!Lk
r1
: raio interior; r2
: raio exterior L: comprimento do cilindro k: condutibilidade térmica
Resistência de condução em camada esférica
Resf =r2! r
1
4"r1r2k
r1
: raio interior; r2
: raio exterior k: condutibilidade térmica
Raio crítico de isolamento (num cilindro):
rcr ,cil
=k
h
k: condutibilidade térmica
h: coeficiente de convecção
Raio crítico de isolamento (numa esfera):
rcr ,esf =2k
h
k: condutibilidade térmica
h: coeficiente de convecção
Resistência térmica de contacto Condutância térmica de contacto (h
c)
hc =!Q A
!Tinterface
Resistência térmica de contacto (Rc
)
Rc =1
hc=!T
interface
!Q A
Condutância térmica de contacto de diversas superfícies metálicas em ar Material Condição da
superfície Rugosidade [µm] Temperatura
[°C] Pressão [MPa]
hc
[W/m2.°C]
Pares metálicos iguais Aço inox 416 Aço inox 304 Alumínio Cobre Cobre Cobre Cobre (vácuo)
Polido Polido Polido Polido
Maquinado Maquinado
2.54 1.14 2.54 1.27 3.81 0.25
90-200
20 150 20 20 30
0.17-2.5
4-7 1.2-2.5 1.2-20
1-5 0.17-7
3800 1900 11400
143000 55500 11400
Pares de materiais diferentes Aço inóx- alumínio
20-30
20
10 20
2900 3600
Aço inox- aluminio 1.0-2.0
20
10 20
16400 20800
Aço Ct 30-Alumínio polido
1.4-2.0
20
10 15-35
50000 59000
Aço Ct 30-Alumínio maquinado
4.5-7.2
20
10 30
4800 8300
Alumínio- cobre polido
1.17-1.4
20
5 15
42000 56000
Alumínio- cobre maquinado
4.4-4.5
20
10 20-35
12000 22000
Condutância térmica de contacto para placas de alumínio com diferentes fluidos na interface.
Rugosidade de 10 µm e pressão na atmosfera de 1 atm Fluido na interface Condutância térmica, [W/m2.°C]
Ar
Hélio
Hidrogénio
Ólea de silicone
Glicerina
3640
9520
13900
19000
37700
Formulário TC FTP
3
Convecção forçada
Número de Nusselt: Nu =hL
c
k L
c: comprimento característico
Escoamento sobre placa paralela com temperatura da superfície Ts Laminar: Nusselt local
Nux=hxx
k= 0.332Re
x
0.5Pr
1/3 Pr > 0.60
Turbulento: Nusselt local
Nux=hxx
k= 0.0296Re
x
0.8Pr
1/3 0.6≤Pr≤60
5x105 ≤ Re ≤ 107 Laminar: Nusselt médio
Nu =hL
k= 0.664Re
L
0.5Pr
1/3 ReL< 5 !10
5
Turbulento: Nusselt médio
Nu =hL
k= 0.037Re
L
0.8Pr
1/3 0.6≤Pr≤60
5x105 ≤ Re ≤ 107 Turbulento: Nusselt médio corrigido para zona inicial
laminar
Nu =hL
k= 0.037Re
L
0.8! 871( )Pr1/3 0.6≤Pr≤60
5x105 ≤ Re ≤ 107
Válido para metais líquidos: Nux= 0.565 Re
xPr( )
1/2
Pr< 0.05
Equação geral para qualquer fluido (equação de Churchill e Ozoe): Nux=hxx
h=
0.3387Pr1/3Re
x
1/2
1+ 0.0468 Pr( )2 /3!
"#$
1/4
Escoamento sobre placa paralela com fluxo de calor constante na parede Laminar: Nusselt local Nu
x= 0.453Re
x
0.5Pr
1/3 Turbulento: Nusselt local Nu
x= 0.0308Re
x
0.8Pr
1/3 Laminar: Nusselt médio Nu
L= 0.906Re
L
0.5Pr
1/3 Turbulento: Nusselt médio Nu
L= 0.0385Re
L
0.8Pr
1/3 Placa plana com comprimento inicial (! ) não aquecido (início de camada limite térmica em
x = ! )- Temperatura da parede constante (Ts na zona aquecida) ou Fluxo de calor constante
Laminar: Nusselt local
Nux=
Nux (para !=0)
1- ! x( )3/4"
#$%
1/3
Turbulento: Nusselt local
Nux=
Nux (para !=0)
1- ! x( )9 /10"
#$%
1/9
Laminar: médio em toda a placa
h =2 1! " x( )
3/4#$
%&
1!" Lhx=L
Turbulento: médio em toda a placa (placa 100% turbulenta)
h =5 1! " x( )
9 /10#$
%&
4 1!" L( )hx=L
Escoamento em torno de cilindros e esferas 1) Escoamento cruzado em torno de um cilindro de secção circular com paredes lisas
Nucil=hD
k= 0.3+
0.62Re1/2Pr
1/3
1+ 0.4
Pr( )2 /3!
"#$1/4
1+Re
282000
%&'
()*5 /8!
"++
#
$,,
4 /5
para RePr > 0.2 e propriedades do
fluido à temperatura do filme, Tf =T!+Ts
2.
Formulário TC FTP
4
2) Escoamento em torno de uma esfera de paredes lisas
Nu =hD
k= 2 + 0.4Re
1/2+ 0.06Re
2/3!" #$Pr0.4 µ%
µs
&
'(
)
*+1/4
para 3.5≤ Re ≤ 80000 e 0.7 ≤ Pr ≤ 380
Propriedades do fluido à temperatura T!
, excepto para µs calculado a T
s.
3) Escoamento cruzado em torno de cilindros com várias secções e propriedades à temperatura do filme
Nu =hD
k= CRe
mPr
1/3
Secção transversal do cilindro Fluido Gama de Re Parâmetros C e m
Circular
Gás ou líquido 0.4-4
4-40
40-4000
4000-40000
40000-400000
C= 0.989; m= 0.330
C= 0.911; m= 0.385
C= 0.683; m= 0.466
C= 0.193; m= 0.618
C= 0.027; m= 0.805 Quadrado
Gás 5000- 100000 C= 0.102; m= 0.675
Quadrado (rodado 45°)
Gás 5000- 100000 C= 0.246; m= 0.588
Hexágono
Gás 5000-100000 C= 0.153; m= 0.638
Hexágono (rodado 45°)
Gás 5000- 19500
19500- 100000
C= 0.160; m= 0.638
C= 0.0385; m= 0.782
Placa vertical
Gás 4000-15000 C= 0.228; m= 0.731
Elipse
Gás 2500- 15000 C= 0.248; m= 0.612
D
D
D
D
D
D
D
Formulário TC FTP
5
Escoamentos em condutas
Regime laminar 2300Re <==!µ
" vDvD (*)
Zona de desenvolvimento térmico:
Le
D! 0.06RePr
Regime turbulento: 2300Re >==!µ
" vDvD (*)
Zona de desenvolvimento: Le
D! 4.4Re
1/6
(*) – valor de referência; na prática a transição ocorre para valores de Re entre 2000 e 4000. Fluxo de calor constante na parede
!T
!x=dTs
dx=dT
dx=!qsP
!mcp= constante
Temperatura constante na parede (Tparede ) Variação longitudinal de temperatura
Tsaida = Tparede ! Tparede !Tentrada( )exp !hAparede
!mcp
"
#$$
%
&''
Nº de unidades de transferência:
NTU =hAparede
!mcp
Fluxo de calor
!Q = hAparede !Tln
Diferença de temperatura média logarítmica (!Tln
)
!Tln=
Tentrada !Tsaidaln Tparede !Tsaida( ) Tparede !Tentrada( )"# $%
=!T
saida! !T
entrada
ln !Tsaida
!Tentrada( )
Escoamento laminar em condutas Fluxo de calor constante na parede (conduta circular)
Nu =hD
k= 4.36
Temperatura constante na parede (conduta circular)
Nu =hD
k= 3.66
Escoamento numa conduta anelar com uma superfície isotérmica e outra adiabática
Nuin=hinDh
k; Nu
ext=hextDh
k
Dint
Dext
Nuint
Nuext
0
0.05
0.10
0.25
0.50
1.00
-
17.46
11.56
7.37
5.74
4.86
3.66
4.06
4.11
4.23
4.43
4.86
Formulário TC FTP
6
Escoamento laminar em condutas de secção não-circular: Nu = hDh
k; D
h=4A
P
Geometria da conduta a/b ou ! Nu Tparede = Const. Nu !qparede = Const.
Circular
- 3.66 4.36
Rectangular
a/b
1
2
3
4
6
8
!
2.98
3.39
3.96
4.44
5.14
5.60
7.54
3.61
4.12
4.79
5.33
6.05
6.49
8.24
Elíptica
a/b
1
2
4
8
16
3.66
3.74
3.79
3.72
3.65
4.36
4.56
4.88
5.09
5.18
Triangular
!
10°
30°
60°
90°
120°
1.61
2.26
2.47
2.34
2.00
2.45
2.91
3.11
2.98
2.68
Escoamento laminar na região de entrada (temperatura constante na parede) Conduta de secção circular
Nu = 3.66 +0.065 D L( )RePr
1+ 0.04 D L( )RePr!" #$2 /3
Escoamento entre 2 placas paralelas
Nu = 7.54 +0.03 D
hL( )RePr
1+ 0.016 DhL( )RePr!" #$
2 /3
(para Re ≤ 2800)
a
b
b
a
D
θ
Formulário TC FTP
7
Escoamento turbulento em condutas Condutas de secção circular lisas — Equação de Dittus- Boelter (temperatura e fluxo de calor na parede)
Nu = 0.023Re0.8Pr
n com n= 0.4 para aquecimento do fluido; n= 0.3 para arrefecimento do fluido
(0.7 ≤ Pr ≤ 160 e Re > 4000 e propriedades à temperatura média do fluido
Segunda equação de Petukhov (para condutas lisas e rugosas) (analogia de Chilton- Colburn)
Nu =
f
8Re!1000( )Pr
1+12.7f
8
"#$
%&'0.5
Pr2/3!1( )
(0.5 ≤ Pr ≤ 2000 e 3 x 103 < Re < 5 x 106)
Metais líquidos (0.004 < Pr < 0.01 e 104 < Re < 106)
Nu = 4.8 + 0.0156Re0.85Prparede
0.93 (para Tparede = Const. )
Nu = 6.3+ 0.0167Re0.85Prparede
0.93 (para !qparede = Const. )
Condutas de secção não-circular
Usar Dh
nas equações para condutas de secção circular
Condutas de secção anelar (uma parede adiabática)
Nu = NuDh! F
correctiva F
correctiva F
int= 0.86
Dint
Dext
!
"#
$
%&'0.16
(parede exterior adiabática)
Fext
= 0.86Dint
Dext
!
"#
$
%&'0.16
(parede interior adiabática)
Convecção natural Número de Grashof
GrL =g! Tparede "T#( )Lc
3
$ 2
g: aceleração da gravidade ! : coeficiente de expansão volumétrico
(! =1 T para gases perfeitos) Número de Rayleigh: Ra =Gr
LPr
Convecção natural sobre superfícies
Para superfícies verticais com !qs= constante :
Nu =hL
k=
!qsL
k TL /2 !T"( )
Geometria
Comprimento característico, L
c
Gama de Ra Nu
Placa vertical L 104- 109 109-1012
Toda a gama
Nu = 0.59RaL
1/4 Nu = 0.1Ra
L
1/3
Nu = 0.825 +0.387Ra
L
1/6
1+ 0.492 Pr( )9 /16!
"#$8 /27
%
&'
('
)
*'
+'
2
L
Ts
Formulário TC FTP
8
Placa inclinada L Utilizar equações de placas verticais para a superfície superior de uma placa fria e para a superfície inferior de uma placa quente Substituir g por gcos! para Ra <109
Placa horizontal A- área da superfície p- perímetro (a) Superfície superior de placa quente (b) Superfície inferior de placa fria
A p
104-107 107-1011 105-1011
Nu = 0.54RaL
1/4 Nu = 0.15Ra
L
1/3 Nu = 0.27Ra
L
1/4
Cilindro vertical
L
Um cilindro vertical pode ser tratado como uma placa vertical quando
D !35L
GrL
1/4
Cilindro horizontal
D
RaD!10
12 Nu = 0.6 +
0.387RaD
1/6
1+ 0.559 Pr( )9 /16!
"#$8 /27
%
&'
('
)
*'
+'
2
Esferas
D
RaD!10
11 (Pr ≥ 0.7)
Nu = 2 +0.589Ra
D
1/4
1+ 0.469 Pr( )9 /16!
"#$
4 /9
D
L
Superfície quente
θ
L
Ts
Ts Superfície quente
Ts
Ts
D
Ts
Formulário TC FTP
9
Convecção natural de superfícies alhetadas (Ts= constante) e circuitos impressos (
!qs= constante)
Arrefecimento por convecção natural de superfícies alhetadas (Ts= constante)
Nu =hS
k=
576
RaSS L( )
2+
2.873
RaSS L( )
0.5
!
"##
$
%&&
'0.5
onde S é o espaçamento entre as alhetas Espaçamento óptimo para alhetas finas (T
s= constante)
Sopt = 2.714S3L
RaS
!
"#
$
%&0.25
= 2.714L
RaL0.25
Arrefecimento por convecção natural de circuitos integrados/ Superfícies alhetadas (
!qs= constante)
RaS*=g! !qsS
4
k" 2Pr
Nº de Nusselt no ponto mais quente (borda superior):
NuL=hLS
k=
48
RaS
*S L
+2.51
RaS
*S L( )
0.4
!
"
##
$
%
&&
'0.5
Espaçamento óptimo para placas finas ( !qs= constante):
Sopt = 2.12S4L
RaS*
!
"#
$
%&0.2
Temperatura crítica nas placas (borda superior): !qs = hL TL !T"( )
Convecção natural no interior de espaços confinados Comprimento característico L
c= distância entre placas fria e quante
Geometria Gama Nu Espaço confinado rectangular horizontal
Gases:0.5 < Pr < 2 10
4< Ra
L< 4 !10
5 4 !10
5< Ra
L<10
7 Líquidos aquecidos por baixo 3!10
5< Ra
L< 7 !10
9 Líquidos com Pr moderados e Ra
L<10
5 e gases com Ra
L<10
8
Nu = 0.195Ra
L
1/4 Nu = 0.068Ra
L
1/3 Nu = 0.069Ra
L
1/3Pr
0.074
Nu =1+1.44 1!1708
RaL
"
#$
%
&'
+
+Ra
L
1/3
18!1
"
#$
%
&'
+
Formulário TC FTP
10
Espaço confinado rectangular inclinado
H/L !
cr
1 25° 3 53° 6 60° 12 67°
> 12 70°
H/L≥12 Ra
L<10
5
0 <! < 70° H/L<12 e 0 <! <!
cr
!cr<! < 90°
90° <! <180° , qualquer H/L
Nu =1+1.44 1!1708
RaLcos"
#
$%
&
'(+
1!1708 sin1.8"( )
1.6
RaLcos"
)
*++
,
-..
+Ra
Lcos"( )
1/3
18!1
#
$%%
&
'((
+
Nu = Nu!=0Nu!=90
Nu!=0
"
#$
%
&'! !
cr
sin!cr( )
! 4!cr( )
Nu = Nu
!=90° sin!( )1/4
Nu =1+ Nu
!=90° "1( )sin!
Espaços rectangulares verticais
1< H L < 2 qualquer Pr Ra
LPr 0.2 + Pr( ) >103
2 < H L <10 qualquer Pr Ra
L<10
10 10 < H L < 40
1< Pr < 2 !104
104< Ra
L<10
10 1< H L < 40
1< Pr < 20 10
6< Ra
L<10
9
Nu = 0.18Pr
0.2 + PrRa
L
!"#
$%&0.29
Nu = 0.22Pr
0.2 + PrRa
L
!"#
$%&0.28
H
L
!"#
$%&'1/4
Nu = 0.42RaL
1/4Pr
0.012 H
L
!"#
$%&'0.3
Nu = 0.46Ra
L
1/3
Convecção natural combinada com convecção forçada Gr Re
2< 0.1 - convecção natural é desprezável; Gr Re2 >10 convecção forçada é desprezável
0.1<Gr Re2<10 -deve considerar-se o efeito combinado das convecções forçada e natural
Nucombinada = Nu forçada
n± Nunatural
n!" #$1/n
com n= 3 a 4. n= 3 para superfícies verticais, n= 4 para
superfícies horizontais