1

Principais frmulas dadas durante a disciplina de Ecologia Fsica

II. Reviso de leis e relaes fundamentais para o estudo da disciplina.

ap p e= +

101.3exp8200

Ap = onde A a altitude, em metros. Tenso de saturao do vapor de gua (es):

17.27( 273.15)0.6108exp36s

TeT

= (es em kPa, T em K)

------Alternativa que d ligeiramente melhores resultados!-------- Tenso de saturao do vapor de gua (es):

( ) expsbTe T a

T c = +

onde T a temperatura (C), e a, b e c so coeficientes empricos. Para a gama de temperaturas usuais nos estudos biometeorolgicos a = 0.611 kPa, b = 17.502 and c = 240.97 C. Taxa de variao da tenso de saturao com a temperatura ():

2

5263 seT

= ( em kPa oC-1, es em kPa, T em K) Humidade relativa(h): h = e/es [ ] Dfice de saturao (D)

sD e e= [kPa] Humidade absoluta ():

2165 eT

= ( em g m-3, e em kPa, T em K) Humidade especfica (q):

( )vv sm e eq

m m p e e p = = = + + [ ]

Tenso real do vapor (equao psicromtrica) (e)

( ) ( )w a we e T T T= [e em kPa] Temperatura do ponto de orvalho (Td) atravs da tenso do vapor (e) sobre a gua

2

( )273

ln 0.61081

19.59

dT e

= (Td in K, e in kPa)

Temperatura virtual (Tv):

/{1 (1 ) / } (1 (1 ) / )vT T e p T e p= + com = 0.622, T em kelvins. Temperatura equivalente (Te):

eeT T = +

onde a constante psicromtrica ( 0.067 kPa K-1).

qhcE h = =

2897 m K

m T =

4B T=

nT = 4B T = =

2

1

5 5 2

22( , )exp 1 exp 1

ChcE Thc C

k T T

= = [W m-3]

Geralmente expressa-se em W m-2 m-1 .

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )S S S S = + +

2 2 2

1 1 1

2 2 2

1 1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

( ) ( ) ( )

S d S d S d

S d S d S d

+ + =

1 + + =

3

III. Ambiente radiante na biosfera

cos = sin sin + cos cos cos 0.2618(t to) sin = 0.39785 sin[4.869 + 0.0172 J + 0.03345 sin(6.224 + 0.0172 J)] to = 12 LC ET [h] ET = [-104.7 sin x + 596.2 sin 2x + 4.3 sin 3x 12.7 sin 4x 429.3 cos x 2.0 cos 2x + 19.3 cos 3x]/3600 onde x = (279.575 + 0.986 J)/180.

cos sin sinarccoscos coss

h =

onde hs metade da durao do dia em radianos. O nascer-do-Sol tr = to 3.82 hs e a durao do dia 7.64 hs. Sbo = 1360 ( d /d)

2 cos [W m-2] ( d /d)2 = 1 + 0.0334 cos(0.01721 J 0.0552) So = 117.5 ( d /d)

2 (hs sin sin + cos cos sin hs)/ [MJ m-2]

p p0mS S=

sint tmtS S

N =

0

2Nt t tm

NS S dt S= ---------------------------------------------------------------------------------------------------

4

( ) ( )41n n n t dR S L S L T= + = +

4 4(1 )u s s s d aL T L T = + [W m-2] 4

d a aL T = [W m-2] 4

1191.06aaT

=

11 0.034 exp(7.9 )

aac a

tT = + +

Rn = E + C + G [W m-2]

0/t tnT S S a bN

= = +

/d d tnF S S a bN

= = +

IV. Captura da radiao pelos objectos terrestres e seres vivos

Factores de forma Esfera

2

2 0.25sec4 coshA r

A r = =

(0.25sec ) 0.25b b pS S S= = [W m-2]

Elipside

2

2 0.52 2(1 )coth

aA bb

= + 1) Achatado (En: Oblate) com b>a:

22 1

21 1

12 1 ln2 1

aA bb

+= +

5

com 0.52

1 21ab

= 2) Alongado (En: Prolate) com a>b:

22

2

2 1 arcsinaA bb

= +

com 0.52

2 21ba

= Superfcie plana inclinada

h cos sin tan cosAA

= Cilindros verticais

2h

2

2 tan 12 tan2 2 2 2

xA rh rA rh r x

+ + = = + + com /x h r= . Cilindros horizontais

( )( )

( )

0.52 2 2h

2

0.51 2 2

2 sec 1 sin cos tan cos

2 2

sec 2 1 sin cos sin cos =

2 1

rh rAA rh r

x

x

+ = + +

+

No caso especial em que / 2 = temos

( )hsec

1A xA x

= + e

( )p

1A xA x

= + .

6

Cone ( )

( )0 0hcos sin tan sin

1 cosAA

+ = + onde ( )0 arccos cot cot = .

exp ( )KL = 2 tanbkK =

12cosbk

K = 2 2

0.733

tan1.774 ( 1.182)E

xK

x x

+= + +

2

( ) 02 ( )sin cosd bk bk d

=

1bk bkK K K = =

2

02 ( )sin cosd d

= ( )t t b d dS S S= +

( ) (1 ) ( )t d d dF F= + * *( ) exp( 2 )c c c s k L =

1c c c s c = + * * 2( )c c c s c =

-----------------------------

Balano da radiao da ovelha: ( )( ) ( )43 1 3 31 1 d etnR S L L T= + + +

7

V. Transferncia de momento, calor e massa

Quadro 1 Entidade transferida Equao Elementos da equao Designao

Momento linear

(quantidade de

movimento)

dudz

=

= fluxo de momento ou tenso de cisalhamento

(N . m-2)

= coeficiente de viscosidade dinmica (N

s m-2 )

dudz

=gradiente de

velocidade

Lei de Newton da

viscosidade

Calor sensvel

dTC kdz

=

C = fluxo de calor

sensvel (W m-2)

k = coeficiente de

condutividade trmica

(W m-1 K-1)

dTdz

= gradiente de

temperatura

Lei de Fourier da

transferncia de calor

Massa

j

j j

dF D

dz=

Fj = densidade do fluxo

da substncia transferida

j (g m-2 s-1)

Dj = coeficiente de

difuso molecular (m2 s-1)

Lei de Fick da difuso

8

1 H = M L2 T-2 e = temperatura absoluta

Quadro 2 Entidade

transferida

Equao Elementos da equao

Momento linear

( )d udz =

= fluxo de momento (N . m-2) DM = coeficiente de difuso do momento ou

coeficiente de viscosidade cinemtica (L2 T-1)

= densidade do fluido (M L-3) ( )d udz

=gradiente de concentrao de

momento

Calor sensvel

( )pd c TC

dz=

C = fluxo de calor sensvel (W m-2)

= difusividade trmica (=coeficiente de difuso do calor sensvel) (L2 T-1)

cp = calor especfico do ar (H M-1 -1)1 ( )pd c T

dz

= gradiente de concentrao do

calor sensvel

Vapor de gua

V

VdE Ddz=

E = densidade do fluxo de vapor de gua (g m-2

s-1)

DV = coeficiente de difuso molecular do vapor

de gua (L2 T-1)

Dixido de carbono

c

cdP Ddz=

P = densidade do fluxo de dixido de carbono

(g m-2 s-1)

Dc = coeficiente de difuso molecular do

dixido de carbono (L2 T-1)

9

Quadro 3 Entidade Equao integrada Elementos da equao

Momento linear

M

ur =

ua = velocidade da corrente livre

rM = resistncia transferncia

de momento junto superfcie

de um corpo

Calor sensvel s a

pH

T TC cr

=

Ts,,Ta = temperaturas junto

superfcie e no ar

rH = resistncia transferncia

de calor sensvel

Vapor de gua s a

v

Er

=

s,a = humidade absoluta junto superfcie e no ar

rv = resistncia transferncia

de vapor de gua

Dixido de carbono

(xignio, gs poluente, ou

outro qualquer)

, ,c s c a

c

Pr

=

c,s, c ,a = concentrao de dixido de carbono junto

superfcie e no ar

rC = resistncia transferncia

de dixido de carbono

10

Quadro 4

Grupos adimensionais para a transferncia de calor e de massa. Nome Equao Smbolos Explicao Nmero de Reynolds (Re) Re

ud=

u = velocidade do fluido = viscosidade cinemtica d = dimenso caracterstica

Razo entre as foras de inrcia e as foras de viscosidade

Nmero de Grashof (Gr)

3

2

( )Gr s aagd T T=

8 31.58 10 ( )s ad T T=

g = acelerao da gravidade (9.8 m s-2) a = coeficiente de expanso trmica do fluido (a=1/273 para o ar) Ts = temperatura da superfcie Ta = temperatura do fluido

Razo entre uma fora de impulso uma fora de inrcia e o quadrado de uma fora de viscosidade

Nmero de Nusselt (Nu) Nu ( )p s a

d C dc T T = =

C = densidade do fluxo de calor sensvel = densidade do fluido cp = calor especfico do fluido = difusividade trmica

Razo entre o fluxo de calor sensvel verificado e o que resultaria da mesma diferena de temperatura aplicada a uma camada estacionria de fluido com espessura

Nmero de Sherwood (Sh)

, ,

Sh( )

j

j j s j a

F ddD = =

Fj = densidade do fluxo de massa da substncia j Dj = coeficiente de difuso molecular da substncia j

,j s = concentrao (g m-3) superfcie da substncia j

,j a = concentrao (g m-3) no fluido no perturbado pela superfcie.

Razo entre o fluxo de massa verificado e o que resultaria da mesma concentrao aplicada a ar estacionrio de espessura

Nmero de Prandtl (Pr) Pr

=

Razo entre a viscosidade cinemtica e a difusividade trmica

Nmero de Lewis (Le) Le

jD= Razo entre a difusividade trmica

e a difusividade molecular

Nmero de Schmidt (Sc) Sc

jD= Razo entre a viscosidade

cinemtica e a difusividade molecular

NuH H

drD

= [s m-1]

11

Shj j

drD

= [s m-1]

1Le mV Cr r=

2

GrRe

VI. Desenvolvimento

1/ aD a bT= + [dia-1]

[ ]0

( )t

t R T t dt =

( ),1

n

T a i bi

T T t=

=

[ ]10

t

tt R T d =

VII. Crescimento

tW i S dt= [kg m-2] KW TD

=

X. Perfis do vento e resistncia aerodinmica em superfcies extensas e uniformes

( ) lno

u z du zk z = [m s-1] para 0z z d +

onde u velocidade de frico [m s

-1] z altura da medio do vento[m]

d altura de deslocamento do plano zero [m] k constante de von Karman (0.41) [] z0 coeficiente de rugosidade para o momento [m]

0

0.650.1

d hz h==

2

MuK uz = = [Pa] ( )

Hpc TC K

z =

12

vE K z=

ccP K

z=

2p

dTC c udu

= 2 dE u

du

= 2 CdP u

du

= 2

002 2

lnln( )

( )aM

z dz dzzu zr

u ku k u z

= = = [s m-1]

XI. Equao de Penman-Monteith

( ) /p aH

s av

aH

Rn G c D rE

r rr

+= + +

XII. Evapotranspirao de referncia

( ) /

1

p a

s

a

Rn G c D rE

rr

+= + +

0 02

ln ln hMM h

az

z dz dz z

rk u

= onde ra resistncia aerodinmica [s m-1] zM altura da medio do vento[m] zh altura da medio da humidade [m] d altura de deslocamento do plano zero [m] z0M coeficiente de rugosidade para a transferncia de vapor de gua [m] z0h coeficiente de rugosidade para a transferncia de calor e vapor de gua [m] k constante de von Karman (0.41) [] uz velocidade do vento [m s-1]

2

208ar u=

rs= 70 [s m-1]

13

2

2

70 0.34208s

a

r ur

u

= =

21 1 0.34sa

r ur

+ = +

Constantes Constante Nome da constante Valor Unidades Observaes c Vel. luz no vcuo 2.9979 108 m s-1 h Planck 6.6261 10-34 J s k Boltzmann 1.3805 10-23 J K-1 p0 Presso atmosfrica normal 1.01325 105 Pa N Avogadro 6.0221 1023 mol-1 R Molar dos gases ideais 8.3145 J mol-1 K-1 Stefan-Boltzmann 5.6697 10-8 W m-2 K-4

Propriedades do ar (tratadas como constante entre 5 e 45 C) cp Calor especfico 1.01 J g-1 K-1 Pr Nmero de Prandtl 0.70 - /

Propriedades do vapor de gua (tratadas como constante entre 5 e 45 C) cp Calor especfico 1.88 J g-1 K-1 Le Nmero de Lewis 0.89 / Dv Sc Nmero de Schmidt 0.63 / Dv

Propriedades do CO2 (tratadas como constante entre 5 e 45 C) cp Calor especfico 0.85 J g-1 K-1 Le Nmero de Lewis 1.48 / Dc Sc Nmero de Schmidt 1.04 / Dc