GA-Resoluções de Hiperbole

7/25/2019 GA-Resolues de Hiperbole

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Q. 36. Determine a equao reduzida, o vrtice, o foco uma equao da diretriz euma equao do eixo da parbola?

2x - 12x - y + 14 = 02x - 12x = y - 142(x - 6x) = y - 142(x - 6x + 9) = y - 14 + 182(x - 3) = y + 4(x - 3) = 1/2(y + 4) ===> equao reduzida da par!o"a

#$r%i&e' #(x0 y0) = #(3 - 4)

o&o' (x0 y0 + p) = (3 - 31/8)

*ire%riz'y = y0 - py = - 4 - 1/8y = - 33/8

quao do eixo'x = 3

Determinar a equao reduzida, o vrtice, o foco, e uma equao da diretriz!"#x$%&'()%x)*?

,ro!"ea 31 da p.ia 13 do iro #e%ore e eoe%ria 5a"i%i&a ,au"o i%er"e7

epo%a'

#$r%i&e= #(4)o&o = (44)y=6

Determinar a equao reduzida, o centro, o+ vertice+ * e %, o+ foco+ e aexcentricidade da elip+e?

16x+9y-96x+2y+144=0

e!ro a o&e que e"ipe $ o "u.ar .eoe%ri&o do po%o &u:a a oa da di%;&ia a doi

po%o


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(x-3)/9 + (y+4)/16 = 1 &oparado &o (x - xo)/a + (y - yo)/! = 1e'2a = %aao do eixo aiorD a = 16 e%o a = 42! = %aao do eixo eor ! = 9 e%o ! = 32& = di%;&ia o&a"D a = ! + & => 16 = 9 + & => & = => &=#(xo yo) = &oordeada do &e%ro da e"ipe (3 -4)51 (30)D 52 (3-8)

ex&e%ri&adade = &/a = #/4di%;&ia o&a" = 2& = 2#o&o (3 4 - # ) e ( 3 + 4+#)?!7 ea ex&e%ri&idade o%ra o .rau de a&a%ae%o da


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dados:9rtice na ori%e" ()5o"o o 'rtice est na ori%e" a abcissa do foco 'ale zero.F( f)5o"o !" dos pontos da reta diretriz R(


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(H1)(H 61),e 'oc "ontar !" %rfico co" estes pontos 'ai notar #!e a conca'idade 'oltada para a direita.9oc de'er "!dar a f!no %enrica de I %ra!:ax@ A bx A c = y

para:ay@ A by A c = x+ntende! por#!e4+nto o se%!inte: Jote #!e 'oc te" 'alores de y para !" "es"o 'alor de x n!nca !" Knico 'alor de y'ai corresponder a 'alores de x o #!e si%nifica #!e ao in's de y ser f!no de x neste caso x !"af!no de y.Lsto e#!i'ale a 'oc %irar o siste"a de coordenadas e"6MI "antendo a parbola na "es"a posio e ento 'oc 'ai ter y na /orizontal e x na 'ertical. ,e fizerisso os ontos (xy) fica" a%ora (y x). or exe"plo (H1) indicar #!e y = H e x = 1 entende!4

&3N 9a"os pela e#!ao #!e "ais fcil:

ay@ A by A c = x

a b e c so coeficientes a deter"inar.():a@ A b A c = c =

(H1)a1@ A b1 A = HGa A 1b = H

(H61)

a.(61)@ A b.(61) A = HGa 6 1b = H

-o"ando o siste"a de e#!aes:Ga A 1b = HGa 6 1b = H,o"ando as d!as:H.a = 1a = 1CHa = 1CO

ara deter"inar b pe%!e #!al#!er !"a das e#!aes anteriores e s!bstit!a 0a0:G.1CO 6 1b = HH 6 1b = H

b =

+nto:a = 1CO

b = c = ,!bstit!indo e": ay@ A by A c = x

Resposta: x = y@ C O

Jote #!e o foco desta parbola est e" F(OC )


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o! F(1GO ; ). Di'idi por partindo da e#!ao %enrica obtida anterior"ente (y = 6 x@ C f) do o!troproble"a.Ga"&u"e a ! e & de odo que o $r%i&e da par!o"a repree%a%ia da uo (x)=ax+!x+&e:a (1 -16) e que -3 e:a u zero da uo7

Goidere o p"ao &ar%eiao x?y ua re%a d (dire%riz) e u po%o


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No"uo' Goo : a!eo que # = p/2 e 2 = p/2 R p = 47o.o (y - 0)2 = 274(x - 2)2 R y2 = 8(x-2) R y2 - 8x + 16 = 0 que $ a equao da par!o"a7

3 - Pua" a equao da par!o"a de o&o o po%o (63) e $r%i&e o po%o #(23)Q

No"uo' Goo # = p/2 e' 4 = p/2 R p = 87

*aL e' (y - 3)2 = 278(x - 2) R y2 - 6y + 9 = 16x - 32 R y2 - 6y - 16x + 41 = 0 que $ aequao pro&urada7

4 - Pua" a equao da par!o"a de o&o o po%o (04) e $r%i&e o po%o #(01)Q

No"uo' Goo # = p/2 e' 3 = p/2 R p = 67 o.o(x - 0)2 = 276(y - 1) R x2 = 12y - 12 R x2 - 12y + 12 = 0 que $ a equao pro&urada7

Q. * /omo calcular vertice da elip+e?

x2/2 + y2/9=1

quao .era" da "ipe --> (x-)/a + (y-)/! =1

Ge%ro da "ipe = G() &oo a ua a ua "ipe o %e e o &e%ro da "ipe $(00)7

x2/2 + y2/9=1

a=!+&

Gopare a equao .era" e a ua equao o&B er que a=2 e que !=9 "o.o (a = e-) e (! =3 e -3)

Ga"&u"ado o #er%i&e 51 52

?!ere --> o er%i&e 5 epre


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Ce%arei a:udar7,e"a eoe%ria 5a"i%i&a deduz-e 4 equaoe reduzida &oore a e&o"a da re%a dire%rizre"a%ia ao i%ea de &oordeada7 ,or ex e a dire%riz or para"e"a ao eixo ?x (&o eixo deie%ria ?y) %eo (aa u deeo)'=(0p) er' y=-p"o.o a equaao da para!o"a era (e:a "iU a o%e a!aixo)'

x = 4p y ou y = x /4p 77777777 (1)

dado o po%o 5(34) da para!o"a "o.o3 = 4p 4 ==> p = 9/16

Goo o o%o %a!e $ dado (00) "o.o o er%i&e da para!o"a era'#(0-p) ou e:a #(09/16)5i %eo o a"ore do er%i&e o repe&%io eixox=0 e y=-9/16

5 equaao .era" da para!o"a $ (para e%e &ao)'y=ax+!x+& 7777(2)

Oa equaao (2) deeo de%eriar a ! &(@) ,e"a eq (1) %eo que o &oe a=4/9

(@@) ,ara x=0 dai %eo que y=& e%ao&=-9/16

(@@@) para x=3 e y=44=a9+!3+& 7777(3),e"a ie%ria da para!o"a %eopara x=-3 e y=44=a9-!3+& 7777(4),e"a eq (3) e (4) o!%eo!=0

Go&"ui-e quey=(4/9)x-9/16

*e%a equaao podeo o!%er a raize ou e:a o a"ore de x quado y=0x=+- 9/8

aa o eo ra&io&iio para a ou%ra 3 poi!i"idadeD

Goo ao pra reo"er a equao reduzida da e"ipe pao a paoQ

*e%a"e 5di&ioai' &oo ao pra &e.ar a%$ a equao reduzida ou e:a a &o%a a%$&e.ar e x/a + y/! ou x/! + y/a

1P ) x @ C a @ A y @ C b @ = 1 a e#!ao da elipse#!ando o eixo "aior est contido no eixo x.


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P ) x @ C b @ = y @ C a @ = 1 a e#!ao da elipse

#!ando o eixo "aior est contido no eixo y.

+xe"plo:

16 Dada a e#!ao da elipse x@ A My@ = GH deter"ine:

a) as coordenadas dos 'rtices e dos focosb) o co"pri"ento do eixo "aior e "enorc) a excentricidade

a) Di'ide6se todos os ter"os por GH para transfor"ar e" e#!ao red!zida:

x@ C GH A My@ C GH = GH C GH

x@ C M A y@ C = 1 co"parando co" x@Ca@ A y@Cb@ =1.

'erifica"os #!e a Q b o eixo "aior da elipse est contida no eixo x.o%o: a@ = M ==Q a = 9M ===Q a = G

b@ = ==Q b = 9 ===Q b =

*s coordenadas do 'rtice so: *a ( 6 G ) *b ( G )*s coordenadas do fSco so:

a@ = b@ A c@ ===Q G@ = @ A c@ ===Q c = 9O

Fa ( 6 9O ) Fb ( 9O )

b) 5o"pri"entos dos eixos:

eixo "aior: a = .G = Heixo "enor: b = . =

c) +xcentricidade: e = c C a ===Q e = 9O C G

Fonte(s):

$ate"atica F!nda"ental +ditora F-D

?!%ea a equao da par!o"a de $r%i&e #(2-1)&o eixo de ie%ria para"e"o ao eixo do ype"o po%o ,(-2-3)7

(x) = ax + !x + &

,ara #(2 -1) => -1 = a(2) + (2)! + & = 4a+2!+& = -1 ==>(1),ara #(-2 -3) => -3 = a(-2) + (-2)! + & = 4a-2!+& = -3 ==>(2)

Nu!%raido (2) de (1) '4! = 2 => ! = 1/2

#x= -!/2a =2 => (-1/2)(1/2a) = 2 => a= -1/8

#y = -de"%a/4a = -1 => -1 = -V(1/2) -4(-1/8)&)W / 4(-1/8) =>


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& = -3/2

epo%a => (x) = -x/8 + x/2 - 3/2--------------------------------------X

-par!o"a y = (x - 2)Y(x - 6)

(x) = x - 8x + 12

er%i&e'#x = -!/2a = -(-8)/2 = 4#y = (4) = 16 - 32 + 12 = -4

po%o #(4-4)

di%a&ia a re%a y=(4/3)x +3y - 4x - 1 = 0

d = Z3(-4) - 4Y4 - 1Z/[(3 + 4)d = Z-12 - 16 - 1Z/ = 43/

*e%eriar a equaao da para!o"a (070) que paa pe"o po%o ,(-2) &o&aidade para&ia7

equao da par!o"a a>0 (&o&aidade p/ &ia)

y= ax + !x +&

$r%i&e x= -!/2a =0 "o.o !=0

y= ax +&

o po%o (00) 0= 0 +& &=0

y= ax

o po%o (-2)

=a7(-2)

a= /4

"o.o y=(/4)7x

quao da par!o"a &o = (00) e =(-11)Q

para de%eriar a equao da par!o"a pre&iao e&o%rar a re%a dire%riz7

? eixo da par!o"a paa por e #7

y = ax+!


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,ara #(00) %eo 0 = 0a+! \ ! = 0

,ara (-11) %eo 1 = -1a+! \ -a+0 =1 \ a = -1

Ceo o eixo y = -x

5 di%;&ia do o&o ao $r%i&e $ i.ua" a di%;&ia do $r%i&e a re%a dire%riz e a dire%riz $

perpedi&u"ar ao eixo e%o %eo'? ou%ro po%o do eixo que di%a [2 do $r%i&e $ a i%ereo do eixo &o a dire%riz e%o'

d(#) = [((-1-0)+(1-0)) = [(1+1) = [2*ua re%a o perpedi&u"are e o produ%o do &oe


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y = x - 2 \ x-y-2 =0

5 par!o"a $ o "u.ar .eo$%ri&o do po%o eq]idi%a%e do o&o e da re%a dire%riz e%opara u po%o ,(xy) %eo'

[((x+1)+(y-1)) = " (1Yx+(-1)y-2)/[(1+(-1)) "

[((x+1)+(y-1)) = " (x-y-2)/[2 "

"eado %udo ao quadrado %eo'

(x+1)+(y-1) = (x-y-2)/2

2((x+1)+(y-1)) = (x-y-2)

2(x+2x+1+y-2y+1) = x-xy-2x-xy+y+2y-2x+2y+4

2x+4x+2+2y-4y+2 = x-xy-2x-xy+y+2y-2x+2y+4

5rruado o %ero %eo'

2x+4x+2y-4y+4 = x-4x+y+4y+4-2xy

"iiado o %ero ee"a%e %eo'

x+8x+y-8y = -2xy

5pare%ee%e o pare&e &o ua par!o"a a "e!re que o eixo da par!o"a $ a re%ay=-x

?!%er a equao da par!o"a de o&o (0D2) e dire%riz x + 2y - 1 = 07

Ne:a ,(xy) u po%o .e$ri&o da par!o"a e (02) %eo'

[((x-0)^2 )+[((y-2)^2 )

5 equao .era" da re%a d $ x + 2y _ 1 = 0

( *i%;&ia e%re po%o e re%a d = (ax + !y +&) / ([((a-!)^2 ))/[2 )o.o

, = (x + 2y _ 1)/ [2

[(x^2+ y2-4y+4)=(x + 2y-1)/[2 ) e"eado %udo ao quadrado

x^2+ y2-4y+4 = x^2 + 4y^2 + 1 _ 4xy + 2x + 4y/2 %irado &

x^2 - 4y^2 + 4xy + 2x - 4y + = 0 equao da par!o"a

? exer&L&io pede para a&ar a equao da par!o"a que %e eixo de ie%ria er%i&a" e paape"o po%o 5(00) I(22) e G(-420)7


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Ne o eixo de ie%ria $ para"e"o ao eixo do `7%o a par!o"a $ o .r


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7( x - 2 )77 777367( y - 0 )77 7777736+=7777367777 77777 77777736777777 77777 736

7( x - 2 )77 777367( y - 0 )

+= 17777367777 77777 7777773677777777777777 7777777 77777777777 7777 777777736

7( x - 2 )77 777367( y - 0 )+= 17777367777 77777 7777771

?u

7( x - 2 )+ 367( y - 0 ) = 1quao &ai&a777736

Goparado &o a equao padro reduzida'

7( x - xb )77 77( y - yb )+= 17777a7777 77777 777777!

Ceo o &e%ro $'

G( 2 0 )

o&o $ dado por '

a = ! + &

a = 36

! = 1

36 = 1 + &

36 - 1 = &

& = 3

& = c [3


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( 2 - [3 0 ) e ( 2 + [3 0 )

Cra%a-e de ua e"ipe7

D!as dK'idas:1) e#!ao da elipse: x A y = 1

x A yC1C = 1

+nto a=1 ("etade do eixo "aior) b=1C ("etade do eixo "enor)

5 = TGC ("etade da dist2ncia focal)

,e o centro () F1 (6TGC ) e F (TGC )

* resposta do cara a= e b=1... U!e" t 'iaEando ele o! e!4

) -e'e !" o!tro #!e a e#!ao :

Mx A y A 1x V y A M =

* "in/a red!zida (xA1)C A (y6G)CM = 1. - certo4

*7 a elipse te" o eixo principal paralelo ao das ordenadas. +nto o certo no #!e

5 = (61G)

F1 (61ATO G)

F (616TO G)

$as se%!ndo o cara:

F1 (61 GATO)

F (61 G6TO)

&nde esto! errando416 9erdadeira. -odas as afir"aes so 'erdadeiras."a elipse co" centro na ori%e" te" e#!ao do tipo.x@Ca@ A y@Cb@ =1x A y = 1or co"parao

b = 1Ca = 15o"o aQb a elipse te" eixo "aior sobre o eixo x.

ara elipses desse tipo te"os a expresso.a@ = c@ A b@1 = 1C A c@c = 9GCc corresponde a dist2ncia de cada foco ao centro(ori%e")o%o.


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F1(69GC;) e F(9GC;).

6"a elipse co" centro fora da ori%e" te" e#!ao do tipo.(x6xc)@Ca@ A (y 6 yc)Cb@ = 1 (tirando ""c)

b@.(x6xc)@ A a@(y6yc)@ = a@b@xc e yc so as coordenadas do 'rtice.Mx A y A 1x V y A M = M(x@Ax) A (y@6Hy) A M =M(xA1)@ A (y6G)@ = GH5o"parando co" a e#!ao da elipse te"os a = e b = G.(xA1)@C@ A (y6G)@CG@ = 1ortanto esta elipse te" centro e" 5(61;G)5o"o aWb esta elipse te" eixo "aior paralelo ao eixo y.

Jeste tipo de elipse te"os:b@ = a@ A c@ (neste caso b corresponde ao eixo "aiorM = A c@c = 9O

+nto os focos esto 9O !nidades aci"a e abaixo do centro le"bre6se #!e o eixo "aior paralelo ao eixoyento as coordenadas da abscissa so as "es"as.F1(xc;ycA9O)F(xc;yc69O)F1(61;GA9O)F(61;G69O)

9c de'e estar se conf!ndindo na e#!ao da elipse a e b no necessria"ente representa" o eixo "aior e o"enor respecti'a"ente isso "!da de acordo co" o 'alor de cada !" se aQb isso 'erdade se aWb ocorreo contrrio le"brando #!e isso "!da ta"b" para onde o eixo "aior se orienta na posio 'ertical o!/orizontal.

*e%eriar a &oordeada do o&o da e"ipe de equao 2x+4y=100Q

?IN#'

*iidido a!o o e!ro da equao por 100 %eo'

2x777774y7777777100------ + ------ = -------10077771007777777100

x77777y-- + ---- = 1477772

,er&e!a que o deoiador o! TTyff $ aior do que o deoiador o! TTxff7 @o idi&aque a e"ipe %e o eixo aior er%i&a"7 5i

a = 2


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! = 4

a = ! + &

2 = 4 + &

& = 21

& = [21

,or%a%o a &oordeada do o&o o'

=====> 1( 0 [21 ) e 2( 0 - [21 )

*e%erie a equao da ip$r!o"e equi"%era a!edo que eu o&o o 1 ( 80) e 2 (-80)7

.eoe%ria aa"L%i&a777$ diL&i" eo u %e :ei%o&oo a"%a %eoria ou exp"i&ar u pou&o'

Gaa-e E@,gI? PF@HC5 a %oda ip$r!o"e &u:o ei-eixo de edida a e ! oi.uai7ou e:aD

a=!(eixo %raero = eixo &o:u.ado)

a.ora q & :a a!e ao reo"er'

a di%;&ia e%re o o&o a"e o do!ro da di%;&ia do $r%i&e a%$ o o&o e%o777

* = 16/2 = 8 (00) h--- di%;&ia dee po%o a%$ o o&o o i.uai

&oo o o&o e%o e x a equao reduzida da ip$r!o"e er

x/a - y/! = 1

pe"a re"ao .era" da ip$r!o"e'

= a + !&oo a = ! = 64 = 2aa = 32^1/2 = 4Y2^1/2 (4 raiz de 2)

u!%i%uido'

(x--y)/32 = 1

x - y = 32


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y = x - 32 h--- repo%a

o%aria de a!er o que o'

Y Eip$r!o"eY ,ar!o"a

Y "ipeEip$r!o"e- doi po%o 0 deoia-e ip$r!o"e J &ura p"aa &u:o Mdu"o da dierea da di%a&iade &ada u de eu po%o , J e%e po%o


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a x2!"# $ %2!100 & 1

Soluo:- O centro da elipse o ponto (0, 0). O semi-eixo maior b, tal que b2 !00 b !0.

"rtices: (0, # b) (0, # !0)O semi-eixo menor a, tal que a2 $% a %.

&este caso, a elipse tem eixo maior 'ertical, estando o oco sobre tal

eixo. dist*ncia ocal +c , dist*ncia de cada oco ao centro dadapor c2 b2 a2c2 !00 $% % c /.

xcentricidade e c1b /1!0 1.

'esposta( )rtices *0, $ 10+ ocos *0, $ -, Excentricidade !/.

b x2$ 2/%2& 2/Soluo:- 3ransormando a equao temos:4x212 # 25212 212 x21(214) # 521! !Semi-eixo maior a2 214 a 1$

Semi-eixo menor b2 ! b !

6omo a 7 b os ocos esto sobre o eixo maior que 8ori9ontal.ssim, c2 a2 b2 214 ! !%14 c 1$

xcentricidade: e c1a (1$)1(1$) 1'esposta( )rtices( *$ /!", 0+ ocos *$ !", 0+ Excentricidade( e & c!a & *!"!*/!" &!/.

02 Determinar a e3a4o da elipse 3e satisfa5 as condi6es dadas(

a7entro *0, 0, eixo menor ig3al a #, foco no eixo dos x e passa pelo ponto8*2/, 2.

Soluo:- eixo maior a 8ori9ontal pois os ocos esto no eixo dos x.O semi-eixo menor b %12 $. equao ter ento a orma x21a2# 521$2 !.6omo a elipse passa pelo ponto ;(-2, 2), de'emos ter:

(-2)

2

1a

2

# 2

2

1$

2

!

201a

2

# 14 !

!/0 # a

2

4a

2

a2 !/0 a2 $%.

;ortanto, a equao : x21$% # 5214 ! ou x2# 52 $% 0.'esposta(x2!"# $ %2! & 1

b)rtices A *0, $ # e passando por 8 *", 2.Soluo:- o eixo maior 'ertical, sendo ento b % o semi-eixo maior. 6omo os 'rticesso simtricos em relao < ori=em, o centro a ori=em (0, 0);ortanto, x21a2# 521%2 !. ;assando pelo ponto ($, 2), 41a2# 1$% ! a2 /!1/.

equao ento: x21(/!1/) # 521$% ! /x21/! # 521$% !.

'esposta( -x2!-1 $ %2!"# & 1.

c 7entro *2, 1, tangente aos eixos coordenados e eixos de simetria paralelos


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aos eixos coordenados.Soluo: ;ela i=ura nota-se que o semi-eixo maior, 8ori9ontal, 'ale 2 unidade e osemi-eixo menor 'ale ! unidade. equao ento:(x 2)2122# (5 # !)21!2 ! (x2 x # )1 # (52# 25 # !)! !

x2 x # # 52# /5 # ! x2# 52 x # /5 # > 0.

'esposta( x2$ %2 x $ -% $ 9 & 0.

0" Determinar o centro, os vrtices A1e A2, os focos e a excentricidade daselipses. Esboar os grficos.a) (x 2)21!% # (5 # $)214 !.Soluo:- 6entro (2, -$). Semi-eixos a !% e b 4 $.

?ist*ncia ocal: c2 a2 b2 !% 4 > c >

@ocos (2 # >, -$) e (2 - >, -$)

"rtices: (2 , -$) (-2, -$) e (2 # , -$) (%, - $).xcentricidade e c1a >1.

'esposta( )rtices *2, " e *#, "+ focos *2 $ 9, " e *2 9, "+

excentricidade 9!.

b 1#x2$ %2$ #x % $ /2 & 0Soluo:- 3ransormando para a orma redu9ida teremos:!%.(x2# x # ) # (52 5 # ) -2 # !%. # !%.(x # 2)2 # (5 2)2 !% (x # 2)21! # (5 2)21!% !.

?a equao tiramos: centro (-2, 2).Semi-eixo maior b !% e semi-eixo menor a ! !.

O eixo maior ento 'ertical.?ist*ncia ocal c2 b2 a2 !% ! c !.@ocos: (-2, 2 # !) , 'rtices (-2, 2 ) (-2, -2) e (-2, 2 # ) (-2, %).

xcentricidade: e c1b !1.

'esposta( )rtices *2, 2 e *2, #, focos *2, 2 $ 1/, excentricidade 1/!.


20/64

Encontre a equao da elipse que tem como eixo maior a distncia entre as razes da parbola deequao y = x ! "# e excentricidade e = $%#&

Resol'endo a e#!ao:

x@ 6 O =

x@ = O

x = X O

,abendo #!e a dist2ncia entre as ra7zes da e#!ao o eixo "aior da elipse pode"os concl!ir #!e esse eixoesta localizado no eixo x e #!e se! 'alor 1. *ssi":

d = a = 1

a = O

*d"itindo #!e e = GCO pode"os dizer #!e c = G

5o" os 'alores de c e a conse%!i"os encontrar b. Y #!e:

a@ = b@ A c@

O = b@ A M

b =

+nto a e#!ao da elipse :


21/64

x@CO A y@C1H = 1

Fa e"ipe %e o o&o o po%o 1(03) e 2 (0-3)7 Ne o &oprie%o do eixo eor dae"ipe $ 2 de%erie a equao dea e"ipe7

"ipe' x/! + y/a = 1

2a ' eixo aior

2! ' eixo eor2& ' di%;&ia e%re o&o! = & - a

llllllllllllllllllll

%o'2& = 6 \ & = 3

llllllllllllllllllll

2! = 2 \ ! = 1llllllllllllllllllll

! = a - & \ 1 = a - 3 \ a = 10llllllllllllllllllll

ia"e%e'x/! + y/a = 1 \

x + (y / 10) = 1

Deter"ine a e#!ao da elipse c!Eo centro4 Z 5(1 6) a #!al passa pelos pontos *( 6) e >(1 6)poss!indo os se!s eixos paralelos aos eixos cartesianos.

? o&o 1 e 2 da ua e"ipe e%o o!re o eixo er%i&a" (para"e"o ao eixo y)7 ? eixo aior dae"ipe $ %a!$ para"e"o ao eixo y7 Oo%e que o eixo eor para"e"o ao eixo x &o%$ u dopo%o da ua e"ipe' 5(2-2)75 &oordeada SxS do o&o o&B %a!$ poui : que o o&o e% o eixo aior ou e:apaado por x = 17 e%a de%eriar a &oordeada y do o&o7 Gaareo de SyS7Oo%e que a di%;&ia de 5 a%$ o o&o 1 $ i.ua" J di%;&ia de 5 a%$ o o&o 2 deido ao po%o5 e%ar o!re o eixo eor i$%ri&o ao o&o 1 e 27F%i"izarei a o%ao rzma"orn para raLz quadrada do que e%ier e%re &ae oUQo&o1 = 1(1y)o&o2 = 2(1-2+y)175 = 275

*ado' 5(2-2) D 1(1y) e 2(1-2+y)

%o u%i"izado a Mru"a da di%;&ia e%re doi po%o'rzm(2-1) + (-2-y)n = rzm(2-1) + V-2-(-2+y)Wne"eado a!o o %ero ao quadrado'(2-1) + (-2-y) = (2-1) + V-2-(-2+y)W1 + 4 + 4y + y = 1 + V-2+2-yW + 4y + y = 1 + y4y = 1 - y = -1o.o'1(1-1)

2(1-3)Na!eo que o po%o I(1-4) paa pe"o eixo aior7 %o a di%;&ia do &e%ro a%$ aordeada do po%o I &aareo de SaS ou e:a o Mdu"o de SaS $ i.ua" a 27o &oprie%o do eixo aior a"e e%o 2a75 equao .era" de%a e"ipe %oado u po%o qua"quer da e"ipe ,(xy) $ e%o'


22/64

,1 + ,2 = 2a*ado' 1(1-1) D 2(1-3) D ,(x y) D a = 2

%o u%i"izado a Mru"a da di%;&ia e%re doi po%o'rzm(x-1) + Vy-(-1)Wn + rzm(x-1) + Vy-(-3)Wn = 272rzm(x-1) + (y+1)n + rzm(x-1) + (y+3)n = 4rzm(x-1) + (y+1)n = 4 - rzm(x-1) + (y+3)n"eado a!o o %ero ao quadrado'

(x-1) + (y+1) = 16 - 87rzm(x-1) + (y+3)n + (x-1) + (y+3)

87rzm(x-1) + (y+3)n = 16 - (y+1) + (y+3)87rzm(x-1) + (y+3)n = 16 - (y + 2y + 1) + (y + 6y + 9)87rzm(x-1) + (y+3)n = 16 - y - 2y - 1 + y + 6y + 987rzm(x-1) + (y+3)n = 24 + 4y*iidido a!o o %ero por 4'27rzm(x-1) + (y+3)n = 6 + y

"eado a!o o %ero ao quadrado'47V(x-1) + (y+3)W = y + 12y + 36

47Vx - 2x + 1+ y + 6y + 9W = y + 12y + 364x - 8x +4y + 24y + 40 = y + 12y + 364y + 24y + 40 - y - 12y - 36 = 8x - 4x3y + 12y + 4 = 8x - 4x

epo%a' 4x - 8x + 3y + 12y + 4 = 0

-ncontrar a equao da elip+e que pa++a em #0,1( em 2#1,3( e +eu centro #1,1( .

g u pou&o ai &op"i&ado7

Feo a equao .era" da e"ipe'

5x^2 + 2Ixy + Gy^2 + 2*x + 2y + = 0

ode 5G-I^2 > 07

par%i&u"ar 5G>0 e por%a%o 5 e G %e o eo ia" e o a!o diere%e de zero7 Ne5h0 e Gh0 e%o podeo u"%ip"i&ar a equao por -1 e ai podeo upor e perda de.eera"idade que 5>0 e G>07

Goo o &e%ro da e"ipe $ (00) %eo que *==07 Goo e%a e"ipe o $ de.eerada h0e por%a%o paado para o e.udo e!ro da equao e diidido por - podeo

reduzir a equao J ora'

ax^2 + 2!xy + &y^2 = 1

ode a&-!^2>07

Fado o a%o que (0) e (03) o po%o da e"ipe %eo'

a=1/2 e &=1/9

&oo a&-!^2>0 %eo que -1/1 h ! h 1/1

o.o qua"quer e"ipe dada pe"a equao'

(x^2)/2 + (y^2)/9 + 2!xy = 1


23/64

ode -1/1 h ! h 1/1 $ ua e"ipe &o &e%ro e (00) e paado por (0) e (03)7

?!' 5 o"uo Oj? $ i&a poi o eixo da e"ipe o pre&ia e%ar a"iado &o aorizo%a" e er%i&a"7 ,or exep"o'

(x^2)/2 + (y^2)/9 + (xy)/0 = 1

$ %a!$ ua e"ipe &o &e%ro e (00) e paado por (0) e (03)7

N o eixo da e"ipe e%iere a"iado &o a orizo%a" e er%i&a" e%o !=0 e equao ereduz a '

(x^2)/2 + (y^2)/9 = 1

a o ada o eu&iado do pro!"ea que peri%a deduzir que o eixo da e"ipe e%oa"iado &o a orizo%a" e er%i&a"7

bter a equao da elip+e cu4o+ foco+ +o 5* #1,3( e 5% #1,)3( e cu4o o eixo o maiormede *1?

2a = 10a =

& = 3

= 3 + !! = 4

equao .era"(o o&o e%ao o eixo y77e%ao a ai Se!aixoS de y)

x/! + y/a =1

Nu!%i%uido%eo'x/16 + y/2 = 1

?u%ra ora de reo"uo

2&=6&=32a=10a=a=!+&2=!+92-9=!!=16x/2+y/9=1

/omo acar a equao eral da elip+e com 57#)*,0(, 58#)*,)3(, e"%&3??

*i%;&ia o&a"'

&=V-(-3)W/2=4

Nei-eixo aior'

e=&/!=2/37777!=6

Nei-eixo eor'


24/64

a=!-&=36-16=20

a=27raiz()

Ge%ro (xoyo)'

xo=(-1-1)/2=-1

yo=(-3)/2=1quao'

(x-xo)/a+(y-yo)/!=1

(x+1)/20+(y-1)/36=1

epo%a'777(x+1)/20+(y-1)/36=1

/omo acar a equao eral da elip+e com 57#)*,0(, 58#)*,)3(, e"%&3

*i%;&ia o&a"'

&=V-(-3)W/2=4

Nei-eixo aior'

e=&/!=2/37777!=6

Nei-eixo eor'

a=!-&=36-16=20

a=27raiz()

Ge%ro (xoyo)'

xo=(-1-1)/2=-1

yo=(-3)/2=1

quao'

(x-xo)/a+(y-yo)/!=1

(x+1)/20+(y-1)/36=1

epo%a'777(x+1)/20+(y-1)/36=1

Determinar a -quao da -lip+e de /entro /#1,1(, um foco 5#3&',1( e um vrtice#*,1(.?

Goo o $r%i&e 5 $ (10) "o.o a = 17 ? o&o e%aro o eixo : que u de eu o&o $(3/40) e & = 3/47o.o'a = ! + &


25/64

1 = ! + 9/16! = /16

5 equao da e"ipe $ repree%ada pe"a ora'x/a + y/! = 1

o.o'x + 16y/ = 1

Determinar a equao da elip+e com centro na oriem,que pa++a pelo ponto 9#*,*(e tem um foco 5#) : 6 &%,1(.?

No"uo'

Goo a e"ipe e% &e%rada a ori.e ou e:a G( 0 0 ) e ( - ([ 6 )/2 0 ) "o.o podeo&o&"uir que ( ([ 6 )/2 0 ) 7%oD

= 2& ( di%;&ia o&a" )

2& = [m V ([ 6 )/2 - ( - ([ 6 )/2 ) W + ( 0 - 0 ) n

2& = [m V ([ 6 )/2 + ([ 6 )/2 W n = [([ 6 )

2& = [6 & = ([6 )/2 ( eidi%;&ia o&a" )

?!7 Oe pre&iaa do &"&u"o ei%o a&ia poi o o&o e%e &ao o do %ipo ( c & 0 ) "o.o a eidi%;&ia o&a" $ & = ([6 )/2 7

,or ou%ro "adoD

,+ ,= 2a

[V ( x - x) + ( y - y) W + [V ( x - x) + ( y - y) W = 2a

[m V 1 - ( - ([6 )/2 ) W + ( 1 - 0 ) n + [m V 1 - ( ([6 )/2 ) W + ( 1 - 0 ) n = 2a

[m V ( 2 + [6 )/2 W + 1 n + [m V ( 2 - [6 )/2 W + 1 n = 2a

[m V ( 4 + 4[(6) + 6 )/4 W + 1 n + [m V ( 4 - 4[(6) + 6 )/4 W + 1 n = 2a

[V ( 4 + 4[(6) + 6 + 4 )/4 W + [V ( 4 - 4[(6) + 6 + 4 )/4 W = 2a

[V ( 14 + 4[(6) )/4 W + [V ( 14 - 4[(6) )/4 W = 2a

[V ( + 2[(6) )/2 W + [V ( - 2[(6) )/2 W = 2a

Goo ( + 2[(6) ) = ( 1 + [6 ) e ( - 2[6 ) = ( 1 - [6 ) eD

[V ( 1 + [6 )/2 W + [V ( 1 - [6 )/2 W = 2a

( 1 + [6 )/([2 ) + ( 1 - [6 )/([2 ) = 2a

( 1 + [(6) + 1 - [6 )/([2 ) = 2a


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2/[2 = 2a

a = 1/[2

a = ([2 )/2 a = 2/4 a = 1/2

Ceo aidaD

a = ! + &

1/2 = ! + V ([6 )/2 W

1/2 = ! + ( 6/4 )

( 1/2 ) - ( 3/2 ) = ! ? a"or de ! ( que o &ao $ a edida do ei-eixo eor ai dare.a%io e &oo a!eo o $ poLe" ss )

btena a equao reduzida da elip+e x8;

((x-4)/9)+((3y-6)/9=9/9((x-4)/3)+((3y-6)/3=1

,ro%io e% aL a equao reduzida da e"ipe7D) de !ride'((x-4)/3)+((3y-6)/=1 &oparado &o (x - xo)/a + (y - yo)/! = 1e'2a = %aao do eixo aiorD a = 3 e%o a = 32! = %aao do eixo eor ! = 3 e%o ! = 32& = di%;&ia o&a"D a = ! + & => 3 = 3 + & => & =0

(xo yo) = &oordeada do &e%ro da e"ipe (46)

car a+ equa>e+ da+ reta+ tanente+ elp+e x8;'!8"%1 perpendiculare+ a reta%x)%!)*%"1?

quao de re%a'

' y=x+

dee er perpedi&u"ar a e.ui%e re%a'2x-2y-12=0

2y=2x-12y=x-6

deer %er &oe


27/64

para er %a.e%e a e"ipe o dee i%er&ep%-"a e ai de u po%o7

y=(-x) => ao u!%i%uir a equao da e"ipe'

x+4(-x)=20x+4-8x+4x=20

x-8x+4-20=0

Ne o =0 aer raLze dup"a ou e:a apea u a"or para x que i%er&ep%a a e"ipe e&oeq]e%ee%e apea u po%o para i%er&ep%ar a e"ipe7

=(-8) - 477(4 - 20) = 0=64 - 80 + 400 = 0=-16 + 400 = 0 => =400/16=2

=- ou =7 E dua re%a que a%iaze a equao ua de &ada "ado da e"ipe7

===========================epo%ay=-x+6y=-x-6

car uma equao da elip+e cu4o+ foco+ +e encontram +obre o eixo da+ ab+ci++a+,di+po+to+ +imetricamente....? em relao @ oriem do +i+tema de coordernada+,e+abendo)+e que

a( +eu eixo maior 0 e o menor %.b( +eu eixo menor %' e a di+tancia focal *1.

a) eixo aior = a = eixo eor = ! = 2

equao' (x/a) + (y/!) = 1(x/) + (y/2) = 1por%a%o' (x/2) + (y/4) = 1

!) eixo eor = ! = 24di%;&ia o&a" = 2& = 10& =

a = ! + &a = 24 + a = 6 + 2a = 601

e%o %eo a equao'

(x/a) + (y/!) = 1(x/601) + (y/6) = 1

Goo e&o%rar a equao reduzida da e"ipe da equao .era" 9^x + 16^y + 2x - 6y + 36 =0Q


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9x + 16y + 2x - 6y + 36 = 0(9x+2x) + (16y-6y) + 36=0V(3x)+ 2v(3x)v1/2+ 1/4W + V(4y)- 2v(4y)v 3/4 + 9/16W - 1/4 - 9/16 + 36=0

(3x+1/2) + (4y-3/4) = -63/16 sss Oo $ ua e"ipe

Ne oe 9x + 16y + 2x - 6y - 36 = 0

V(3x)+ 2v(3x)v1/2+ 1/4W + V(4y)- 2v(4y)v 3/4 + 9/16W - 1/4 - 9/16 - 36=0(3x+1/2) + (4y-3/4) = 89/169v(x+1/6) + 16v(y-3/16) = 89/16

(x+1/6)/ (89/144) + (y- 3/16)/ (89/26) = 1 --> q7 reduzida da e"ipe7

Determinar a equao reduzida da elip+e +abendo que %b uma dAzia e aexcentricidade BC D- 0&'?

2! = 12! = 6

e = [(a-!) /a

[ /4 = [(a-6) /a e e"eado %udo ao quadrado

/16 = (a-36)/aa = 16(a-36)a = 16a - 6

11a = 6a = 6/11

5 equao $ por%a%o x/(6/11) + y/36 = 1

Oo%a ' ea equao $ para ua e"ipe de &e%ro a ori.e7Ne o &e%ro or ou%ro po%o qua"quer (x0y0) e%o a equao er(x-x0)/(6/11) + (y-y0)/36 = 1

,ar%i %a!$ do pri&Lpio que o eieixo aior era a7

Ne oe ! a ex&e%ri&idade : eria e = [(a-!) /!Eabendo que o centro #1,1(, o comprimento do eixo menor 6 e a di+tFncia focal *1, determine a equao eral e reduzida da elip+e.

Oa equao da "ipe o SaS


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5 di%;&ia o&a" $ 2& = 10 7777777 & =

g "ei a e"ipe a = ! + &a = 3 + a = 9 + 2a = 34 77777777777 a = [34

5 equao reduzida


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-o"e"os as se%!intes incS%nitas:a = eixo "aiorb = eixo "enorc = distancia focale = excentricidade

+#!ao da elipse :( x6x\ )@Ca@ A ( y6y\ )Cb@ = 1 (co" eixo "aior paralelo ao eixo x )

( x6x\ )@Cb@ A ( y6y\ )Ca@ = 1 (co" eixo "aior paralelo ao eixo y )

+" a"bas as e#!aes x\ e y\ sao as coordenadas do centro e" relao 8 ori%e".

ri"eiro precisa"os 0arr!"ar0 a e#!ao para 'is!alizar"os "el/or cada ponto da elipse:

Hx@ A My@ 6x 6Oy AO1 = ]]QHx@ 6x A A My@ 6Oy A 1 = O

H(x6)@ A M(y6G)@ = O ]]Q ^H(x6)@ A M(y6G)@_CO = 1 ]]Q(x6)@CM A (y6G)@CH = 1Dai tira"os a e#!ao de nossa elipse :

(x6)@CM A (y6G)@CH = 1

Dela pode"os concl!ir #!e o centro (5) esta nas coordenadas (xy) (G)

a@ = M ]]Q a = G

b@ = H ]]Q b = TH

5o" base nos 'alores encontrados pode"os encontrar a distancia focal e posterior"ente a excentricidade:

c = T(a@6b@) ]]Q c = T(M 6 H) ]]Q c = TG

e = cCa ]]Q e = (TG)CG

Resposta: e = (TG)CG 5(G) c = XTGDetermine a equao da elip+e com centro na oriem do +i+tema carte+iano e foco+no eixo 1x +abendo que...?

a( +ua di+tFncia focal *6 e a +ua excentricidade '&0.

b(o eixo menor mede *1 e a curva pa++a pelo ponto #=G3(.

Ne:a'

a = ei-eixo aior! = ei-eixo eor& = ei-di%;&ia o&a"e = ex&e%ri&idade

a-) Na!eo que'

e = &/a4/ = 8/a


31/64

a = 10

que'

! + & = a! = 10 - 8! = 36

! = 6

o.o'

' x/100 + y/36 = 1

!-) ' x/a + y/! = 1

Nu!%i%uido o po%o dado'

3/! + 8/a = 1

a ! = '

9/2 + 64/a = 19a + 64 7 2 = 2a16a =64 7 2

Cirado a raLz do doi "ado'

4a = 8 7 a = 10

o.o'

' x/100 + y/2 = 1

Ee po++ivel me re+ponda?

De acordo com o+ elemento+ dado+, determine a equao padro de cada cHnica a+euir

#a( 9arbola Diretriz ! " ', o+ ponto+ I#J=,J%( e B#',J%( +o a+ extremidade+ do+eu latu+ rectum.#b( 9arbola Krtice K#J*, 3(, -ixo focal paralelo ao eixo ! e 9#J3, %( um pontoda parbolaG#c( -lip+e -ixo focal paralelo ao eixo x, um do+ foco+ no ponto 5#J', 3( e uma da+extremidade+ do eixomenor no ponto 2#1, 1(.#d( Liprbole foco+ 5*#J', 0( e 5%#J',J0( e comprimento do eixo tran+ver+o M-NM "6u.c..

#d( Liprbole foco+ 5*#J', 0( e 5%#J',J0( e comprimento do eixo tran+ver+o M-NM "6u.c..

a( foco de uma parbola o ponto mdio do +eu latu+ rectum ,


32/64

5 " #I;B(&% " #)=,)%(;#',)%( &% " #)%,)%(

vrtice da parbola o ponto que Oca a meio camino entre o +eu foco e a +uadirectriz.Pe+te ca+o , o ponto mdio entre 5#)%,)%( e D#)%,'(# o ponto D camado p da perpendicular baixada do foco +obre a directriz(

K " #5;D(&% " #)%,*(

equao da parbola +er #x)x1(8 " )%p #!)!1(onde #x1,!1( +o a+ coordenada+ do vrtice , e p #parFmetro da parbola( adi+tFncia entre o foco e a directriz

Pe+te ca+o p " 6 e #x1,!1( " #)%,*( , loo a equao pedida

#x;%(8 " )*%#!)*(

Pota+ *( 9ode+ veriOcar que e+t certo,vendo que o+ ponto+ I e B veriOcam a equao.%( equao da forma x8 " )%p! porque tem uma directriz orizontal #da +er x8(e o foco e+t abaixo da directriz # da +er ) (3( parFmetro p pode +er calculado com p " M !#directriz( ) !#foco( M

b( Nambm e+ta parbola da forma #x)x1(8 " )%p #!)!1( , 4 que , +e o eixo focal paralelo ao eixo do+ ! , a directriz orizontal , e o ponto dado e+t abaixo dovrtice.

#x;*(8 " )%p #!)3( , e +ub+tituindo pela+ coordenada+ de 9#)3,%(

#)3;*(8 " )%p #%)3(' " %pp " %

loo a equao #x;*(8 " )'#!)3(

c( /omo o eixo focal paralelo ao eixo do+ x , a elip+e orizontal #a b( ,portantoo eixo menor e+t no eixo do+ !, e +e uma da+ extremidade+ do eixo menor #1,1( eum do+ foco+ #)',3( , o centro da elip+e #1,3( .

b " di+tFncia de #1,1( a #1,3( " 3c " di+tFncia de #)',3( a #1,3( " '

a8 " b8 ; c8 " 38 ; '8 " %0

e a equao da elip+e , #x)x1(8 & a8 ; #!)!1(8 & b8 " *onde #x1,!1( o centro , Oca

x8 & %0 ; #!)3(8 & < " *

d( + foco+ e+to +obre a recta vertical x " )' , loo a iprbole vertical , e temcentro no ponto #)',1( #ponto mdio do+ foco+(-nto a +ua equao +er


33/64

!8 & b8 ) #x;'(8 & a8 " *

eixo tran+ver+o " %b " 6 , loo b " 3c " +emidi+tFncia focal " 0 #di+tFncia de qualquer do+ foco+ ao centro(c8 " a8 ; b8%0 " a8 ; 2 = 9 + & ==> & = 16 ==> & = 4o.oe = 4/

-quao da elip+e com foco+ f*#)*,)3( e f%#)*,0( e excentricidade %&3?

*e


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1) ? eixo aior da e"ipe $ para"e"o eixo ?x7

Ne:a ( ) a &oordeada do &e%ro da e"ipe7

5qui a equao $ da ora' (x - )/a + (y - )/! = 1

Goo o &e%ro $ a ori.e = = 07

Ooa quao' x/a + y/! = 1

? eu&iado o diz que a e"ipe paa por ([6 1)'

([6)/a + 1/! = 1 h=>6/a + 1/! = 1

Ca!$ $ di%o que a = 3!'

6/(3!) + 1/! = 1 h=>

6/9! + 1/! = 1 h=>2/3! + 3/3! = 1 h=>/3! = 1 h=> ! = [1/3 => a = [1

5 equao 4/9! + 1/9! = 1 h=>/9! = 1 h=> ! = [/3 => a = [

5 equao


39/64

5i = ! + 3 D ! = 4

o.o x/16 + y/2 = 1

!) $r%i&e #1( -1) e #2(-3 -1) e ex&e%ri&idade e = D a di%;&ia 2a $ i.ua" a - (-3) = 8ou e:a a = 4 &oo e = &/a e%o & = 37

*aL 4 = ! + 3 D ! =

o.o x/16 + y/ = 1

Determine a equao da elip+e. b( centro#1,1(, foco+ no eixo do+ x, excentricidadee"%&3 e pa++a pelo ponto?

5 equao reduzida da e"ipe o eixo x $' x/a + y/! = 1 da ex&e%ri&idade' e= &/ae"ao a!&' a = ! + &

Go a ex&e%ri&idade 2/37 &=2 e a=3

3 = ! + 2 --> 9 = ! + 4 --> ! = 9 - 4 ! = [

%o a oru"a .era" $'

x/9 + y/ = 1

Dada a elip+e de equao %0x8 ;

Determinar o centro, o+ vrtice+ * e %, o+ foco+ e a excentricidade da elip+e%0x$%;*6!$%;01x;6'!)3**"1?


40/64

#o&B ai &op"e%ar quadrado $ o e.ui%e'

2x+16y+0x+64y-311=0 (or.aizado x e y)

2x + 0x + 16y + 64y - 311=0

2(x + 2x) + 16(y + 4y) = 311 ( o x e o y a"i No quadrado perei%o pore e% a"%ado

o u"%io a".ario que & %e que de&o!ri)

2(x + 2x+ ll ) + 16(y + 4y ll ) = 311 (qua" ero &op"e%a ee quadradoQ)

2(x + 2x+ l1l ) + 16(y + 4y l2l ) = 311 ( &o&orda &oi.o que eria 1 e 2 Q)

a e o&B adi&ioa ero de u "ado da equao %e que adi&ioar do ou%ro a"i o xo&B adi&ioou 1 = 1 a %a u"%ip"i&ado o 2 de ora ou e:a 27 Oo y adi&ioou 2=4u"%ip"i&ado por 16 que $ 647 %o deeo adi&ioa 2 e 64 do ou%ro "ado da equao


41/64

x/a + y/! =1 &o

Y 2&= 8 h--> &=4 &o a= !+& h--> a= ! + 16Y ,aa por ([1 -1) h--> 1/a + 1/! =1 h--> 1/(!+16) + 1/! = 1 h-->1! + (!+16) = !v(!+16) h--> 16! + 16 = !^4 + 16! h--> !^4= 16 h--> != 4 ea=20

==> "ipe' x/20+ y/4= 1

Determine a equao da elip+e com centro#%G)*(, eixo maior " 6 e o foco*#1G)*(?

Ge%ro (2 -1) o&o (0-1) --> eixo y=-1 2a=6 --> a=3&=d(Ge%ro o&o)= 2 --> !=a-&=9-4=

==> (x-2)/9 + (y+1)/=1

Qual a equao da elip+e que po++ui foco+ em 5*#3,=( e 5%#3,%( e cu4o comprimentodo eixo maior iual a *1?

Ge%ro= ,o%o $dio 1 e 2= (3) &o &= d(Ge%ro)= 3ixo aior x=3 e a=10/2=

==> !=a-&= -3=16

"ipe' (x-3)/16 + (y-)/2= 1

Ee4a a elip+e de equao *6x%;%0!%"'11. Determine?

Ee4a a elip+e de equao *6x%;%0!%"'11. Determinea(+ comprimento+ do+ eixo+Gb( + foco+ e a excentricidade.

16x + 2y = 400

(16x)/400 + (2y)/400 = 400/400

x/2 + y/16 = 1

aior deoiador' 27 o.o a = 2 e o eixo aior da e"ipe e% o!re o eixo do x porque2 $ deoiador de x7

%oa)

a = 2 => a = ! = 16 => ! = 4

a = ! + &


42/64

2 = 16 + & => & = 9 => & = 2

!)

o.o o o&o o l1(-20) e l2(20)

a ex&e%ri&idade e $'

e = &/a = 2/777777777777777777777777777777775COj?ss Gorri.ido7

& = 9 => & = 3

o.o o o&o o l1(-30) e l2(30)

a ex&e%ri&idade e $'

e = &/a = 3/77777777777777

o!'

a > 0! > 0& > 0

Qual a equao da elip+e cu4o+ foco+ +o 5* #*,1( e 5% #)*,1( que pa++a pelo ponto9#%,1(?

Goo o o&o o (10) e (-10) o eixo aior da e"ipe para"e"o ao eixo x "o.o %e equao'

x/a + y/(a-&) = 1

?de 2& = di%;&ia o&a"7(2& = )

2& = [((1-(-1))+(0-0))

2& = [4

2& = 2

& = 2/2

& = 1

2a = oa da di%;&ia do po%o ao o&o7

(2a = , + ,)

2a = [((2-1)+(0-0)) + [((2-(-1))+(0-0))


43/64

2a = [1 + [9

2a = 1 + 3

a = 4/2

a = 2

Nu!%i%uido a equao x/a + y/(a-&) = 1 %eo'

x/2 + y/(2-1) = 1

x/4 + y/3 = 1

Ee4a 9#0,=( um ponto de uma elip+e de foco+ 5*#%,'( e 5%#%,*%(...?

/alcule a+ medida+ da di+tancia focal, do diFmetro maior e menor e daexcentricidade de++a elip+e.

g "ei a e"ipe a = ! + && $ di%a&ia o&a" a ! di%a&ia do &e%ro ao $r%i&e

o&o epre e%o o eixo aior (diae%ro) e e:a que er er%i&a"7

? diae%ro aior $ 2a? diae%ro eor $ 2!5 di%;&ia o&a" 2& $ a di%a&ia do po%o 1 e 2

2& = 12 - 4 = 8 77777777777 epo%a

#e:a u de%a"e ipor%a%e7? &e%ro $ o eio do o&o G(o `o) = G(2 8)oi dado u po%o da e"ipe o eo a"iae%o de &e%ro7o.o e%e po%o M pode er u $%i&e do eixo eorpoi e%a orizo%a"e%e di%a%e 3 do &e%ro7 oi i%o que o eixo aior $ er%i&a"75 di%a&ia do er%i&e eor ao &e%ro $ S!S

o.o ! = 3 o eixo (diae%ro) eor 2! = 6 77777777777 epo%a

a = ! + &a = 3 + 4a = 9 + 16a = 2a = "o.o o eixo (diae%ro) aior 2a = 10 7777 epo%a

ex&e%ri&idade = &/a = 4/

--------------------------------------X @ ao %e%ar e e%ar &er%o

5 equao da "ipe $ &o SaS o deoiador do SyS poi o o&o $ er%i&a"7

( - o) 7 7(` - `o)----------- + ------------ = 1


44/64

7 7 ! 7 7 7 7 7 7 a

Nu%i%uido o po%o dado e o &e%ro o a"ore de a !(x - 2)/3 + (y - 8)/ = 1 e:a o o"raa"pa&"ique e Vproper%ieW do "ado da pa"ara e"ipe

equao


45/64

,e"a re"ao da ex&e%ri&idade %e-e que'

e = a/& = [2/2& = 2a/[2

pe"a &oe&ida re"ao e'

& = a + !(2a/[2) = a + 2a =

o.o a equao dea e"ipe $'

V(x - 3) / 2W + V(y + 6) / 2W = 1

/entro c#1,1( eixo menor mede 6, foco+ no+ eixo+ do+ x e pa++a pelo ponto p#)%raiz0,%(?

Representao %enrica (focos no eixo x):

(xCa)@ A (yCb)@ = 1

5o"o os focos esto no eixo das abscissas (x) ento pode"os afir"ar #!e b = G E #!e o eixo "enor H.5(;) e a elipse cont" o ponto (6 T(O) ; )

(xCa)@ A (yCG)@ = 1

,!bstit!indo o ponto:

(6T(O)Ca)@ A (CG)@ = 1

Ca@ A CM = 1

Ca@ = OCM

a@ = M .

a = H

*ssi" a elipse :(xCH)@ A (yCG)@ = 1

x@CGH A y@CM = 1 ` "!ltipli#!e t!do por GH

x@ A y@ = GH

*ssi":

x@ A y@ 6 GH =

-+crever a equao da elip+e cu4o +emi)eixo menor %:3 e pa++a pelo ponto #%,3( eo +emi eixo maior e+ta apoiado no eixo do+ V

Goo a e"ipe e% o!re o eixo x a>! a equao a!aixo'


46/64

x/a + y/! = 1x/a + y/(2[3) = 1x/a + y/12 = 1

Goo (23) per%e&e a e"ipe'

2/a + 3/12 = 1

4/a + 3/4 = 14/a = 1/4a/4 = 4a = 16

Nu!%i%uido a equao'

x/16 + y/12 = 1

Determine o eixo maior, o eixo menor, a di+tFncia focal, a excentricidade, e a+coordenada+ do+ foco+ da?

-lip+e de equao 'x8;

4x/36 + 9y/36 = 36/36

x/9 + y/4 = 1

5.ora


47/64

e = [/3 ( x&e%ri&idade )

O?C5 ' ? eixo aior e% o!re o ixo i%o que o a(aior deoiador) e% o!re o x aequao )

/omo pa++ar e++a equao 0x8 ;

ou%ro'

x + 9y - 10x - 31=0x - 10x + 9y = 31 ==> &o"o&areo e eidB&ia o %ero &ou o x(x - 2x) + 9y = 31 ==> adi&ioareo e a!o o "ado para orar u quadradoperei%o(x - 2x + 1) + 9y = 31 + (x - 1) + 9y = 36 ==> diidireo %udo por 36 para &e.aro J equao da e"ipe(x - 1)/36 + 9y/36 = 36/36(x - 1)/(36/) + y/4 = 1

(x - 1)/2 + y/4 = 1 ==> ea $ a equao .era" da e"ipe

Determinar a equao reduzida da elip+e 0x8 ;

/alcule a medida do+ eixo+ ,a excentricidade e a equao reduzida da elip+e

2x - 1x = 4a di%;&ia o&a" 2& = 4

e p per%e&e J e"ipe e%oa = d(p 1) + d(p 2)a $ a oa da di%;&ia do o&o a p! $ o!%ido pe"a Mru"aa^2 = !^2 + &^2

a ex&e%ri&idade a&redi%o que e:a a/!

a equao reduzida $'(x+1)^2/a^2 + (y-1)^2/!^2 = 1

Uma elip+e tem como equao x8;'!8)%x;*6!;*3"1, e+crever e++a equao +ob aforma reduzida e e+boce o rOco.?


48/64

x - 2x + 4y + 16y + 13 = 0(x - 2x) + (4y + 16y) = -13 (&o"o&ado e eide&ia &ada a%or &ou %eo)1(x - 2x + 777777) + 4(y + 4y + 77777) = -13 (deeo &op"e%ar o %rioio quadrado perei%oe &ada &ao para io !a%a diidir o e.udo %ero do %rioio e e"ear o reu"%ado aoquadrado)1(x - 2x + 1 - 1) + 4(y + 4y + 4 - 4) = - 131(x - 2x + 1) - 1 + 4(y + 4y + 4) - 16 = - 13

1(x - 2x + 1) + 4(y + 4y + 4) = - 13 + 1 + 161([x - 2x + [1) + 4([y + 4y + [4) = 41(x - 1) + 4(y + 2) = 41(x - 1)/4 + 4(y + 2)/4 = 4/41(x - 1)/4 + (y + 2)/1 = 1

* ) Qual a cHnica repre+entada pela equao


49/64

777777777777777x= V (1/2)y - (1/2) W -1/4 + /4777777777777777x= V (1/2)y - (1/2) W -177777 ( x -1 )= V (1/2)y - (1/2) W77777( x -1 )= V (1/2)(y - 1) W &e.a-e J equao ( x -1 ) = 1/4V y - 1 Wque repree%a ua par!o"a &o $r%i&e #(1 1 )e eixo para"e"o ao eixo do x (a!&ia)

o par;e%ro $ 2p=4 "o.o p=2 ( di%;&ia do o&o J dire%riz )($ ua par!o"a &o a &o&aidade para a direi%a)5 par!o"a ( x -1 ) = 1/4V y - 1 W %e o&o e (x+p/2y)e%o (1+2/21) reu"%a (21)a dire%riz d $ x=x-p/2 d' x=1-1=0 $ eixo da ordeada ?u

Ee4a a elp+e dada pela equao x$% ; %!$% ) 6x ; '! ; S " 1. como encontrar a+cordenada+ do centro?

e a+ do+ vertice+, e foco+?

Gop"e%ado o quadrado'x -6x +9 -9 +2y +4y +2 -2 + = 0(x -3) +2(y + 1) = 4 (diidido %udo por 4 e)

(x -3) / 4 + (y + 1) / 2 = 1 (5)

a = 2! = [2a = ! + & => & = [2

?!ere a equao (5) e aa ua &oparao &o a ora ip"i


50/64

(x-2)+9y/6-4y/6=-1/2+4(x-2)+9y/6-4y/6=-9/2 (Y6)6(x-2)+9y-4y=-2 (/9)6(x-2)/9+y-6y=-36(x-2)/9+(y-3)=-3+96(x-2)/9+(y-3)=6 (/6)(x-2)/9+(y-3)/6=1

a=3!=[6&=[3-6 = [9-6 = [3

o &e%ro e% a (23)a er ua e"ipe orizo%ao&o = ((2+[3)3) ((2-[3)3)ex&e%ri&idade e &/a = [3/3

Determine a equao reduzida da elip+e 0x$% ;

9rovar que o rOco de 'x8;


51/64

(2x + 2)^2 + (3y - 6)^2 = 36

((x+1)/3)^2 + ((y-2)/2)^2 = 1

Pue $ a equao de ua e"ipe &o &e%ro (-1 2) o ei-eixo da e"ipe o a = 3 e ! = 2

Dado+ o+ elemento+ de uma elip+e.. foco+#0,'(#)*,'( centro #%,'( *#)%,'(%#6,'(

acar a equao?ixo aior

2a = 8a= 4

*i%;&ia o&a"

= 3

Nedo ai'

ixo eor = !

a = & + !16 - 9 = !! = [

(x - 2)/16+(y - 4)/ = 1

Qual a equao da elip+e de foco+ f*"#%G'( e f%"#6G'( e eixo maior ou iual a 3?

*ee er eixo eor=32!=3!=12&=[(2-6)+(4-4)2&=4&=2a=22+4a=62a=[62a=2

Ge%ro(4D4)

o.o(x-4)/!+(y-4)/a=1(x-4)/22+(y-4)/62=1

22=22/100=(1/10)=(3/2)62=62/100=(2/10)=(/2)

(x-4)/22+(y-4)/62=1(x-4)/(3/2)+(y-4)/(/2)=1(x-4)/V9/4W+(y-4)/V/4W=1


52/64

-+creva a equao da +euinte elp+eo+ foco+ +o5*"#)*,%( e 5%"#3,%( e +ati+faz adi+t#9,5*(;di+t#9,5%("6?

a repo%a $'x+9y-10x-36y-4=0

Goo o o&o da e"ipe dada %B a ea ordeada o eixo aior da e"ipe $ para"e"o aoeixo x7 Oee &ao ua e"ipe de eixo edido 2a para"e"o ao eixo x &o eixo eor 2! edi%;&ia e%re o o&o 2& &u:o &e%ro $ o po%o (U) %e ua equao da e.ui%e ora'

(x - )/a + (y - U)/! = 1 (@)

1) *e%eroao do po%o (U)

,e"a &oordeada do o&o pode-e e&o%rar o po%o (U) que $ o po%o $dio doe.e%o 12'

= (x1 + x2)/2 = (- 1 + 3)/2 = 1U = (y1 + y2)/2 = (2 + 2)/2 = 2

,or%a%o o &e%ro da e"ipe $ o po%o (U) = (12) (@@)

2) *e%eriao de 2a o eixo aior da e"ipe7

Na!e-e que a e"ipe $ So "u.ar .eo$%ri&o do po%o , &u:a oa da di%;&ia a doipo%o


53/64

! = [ (#@)

Nu!%i%uido (@@) (@@@) e (#@) e (@) %eo'

(x - )/a + (y - U)/! = 1

(x - 1)/9 + (y - 2)/ = 1

(x - 1) + 9(y - 2) = 4

x - 10x + + 9y - 36y + 36 = 4

x - 10x + 9y - 36y - 4 = 0

*ada a equao 3x+4y+12x-32y+40=0 de%erie o que e pede'@- 5 equao reduzida@@- 5 &oordeada do &e%ro do $r%i&e e do o&o@@@- 5 ex&e%ri&idade e a edida de &ada "a%u re&%u@#- edida do eixo aior e eor#- quao do eixo aior e eor

3x + 4y + 12x - 32y + 40 = 0

3x + 12x + 4y - 32y + 40 = 0

3(x + 4x) + 4(y - 8y) + 40 = 0

3(x + 4x + 4) + 4(y - 8y + 16) = 3 Y 4 + 4Y 16 - 40

3(x + 2) + 4(y - 4) = 12 + 64 - 40

3(x + 2) + 4(y - 4) = 36

V(x + 2)W/12 + V(y - 4)W/9 = 1 h== q7 reduzida777777777777777777777777777777777777777Xe"ipe7777777777777777777777777777777712 > 9 e G(-2 4) o eixo aior $ para"e"o ao eixo x7

e.ue que'

a = 12 => a = 2[(3)

! = 9 => ! = 3

a = ! + & => 12 = 9 + & => & = 3 => & = [(3)

5i %eo'

l1 (xl0 + &l1yl0) => l1((-2 + [(3)4)

l2 (xl0 - &l1yl0) => l1((-2 - [(3) 4)


54/64

7777777777777777777777&oprie%o do eixo aior' 2Ya = 2Y2[(3) = 4[(3)

&oprie%o do eixo eor' 2Y! = 2Y3 = 67777777777777777777777$r%i&e' 5l1(-2 - 2[ (3)) 4) e 5l2(-2 + 2[(3)) 4))7777777777777777777777

x&e%ri&idade' e = &/a = [(3)/2[(3) = |

7onsidere a e3a4o representativa de 3ma elipse. Determine as3a e3a4o red35ida, as coordenadas dos focos e vrtices e o valor da s3a excentricidade.

'esol34o:

;ara obtermos a equao redu9ida, teremos de transormar a equao que deine a elipse do problemanuma equao equi'alente."em sucessi'amente:

que nos mostra que o centro da elipse o ponto .

6omo e , 'em e portanto , pois .

;ara uma elipse =eometricamente i=ual < dada mas com centro em (0,0), os ocos seriam os pontos

e . nto, para obter os ocos da elipse do problema necessrio adicionar o 'ector (-!,$), donde

@ocos:

;ara os 'rtices a9-se o mesmo raciocBnio, lo=o

"rtices:

xcentricidade: .


55/64

/om a 6x8 ;

Dado+ o+ elemento+ de uma elip+e.. foco+#0,'(#)*,'( centro #%,'( *#)%,'(%#6,'(acar a equao?

ixo aior

2a = 8a= 4

*i%;&ia o&a"

= 3

Nedo ai'

ixo eor = !

a = & + !16 - 9 = !! = [

(x - 2)/16+(y - 4)/ = 1

0x$% ; !% ) 01x ; *%! ; *'*"1 Qual a equao reduzida da elip+e?

E Mru"a pro%a que peri%e o!%er a equao reduzida7 a azer pao a pao o $diL&i" (e ei%a


56/64

7(x -10 x) + (y +12y) + 141 = 0

Gop"e%e o quadrado perei%o oado e u!%raido 7(2) e oado e u!%raido 36'

7(x -10 x + 2) + (y +12y + 36) + 141 - 7(2) -36 = 0

?u e:a

7(x - ) + (y + 6) - 20 = 0

?u e:a

7(x - ) + (y + 6) = 20

*iidido por 20 e a!o o e!ro'

(x - )/4 + (y + 6)/20 = 1

*e%erie a equao da e"ipe de eixo aior orizo%a" &e%ro G(-4-2) e ex&e%ri&idadee=2/3 edo u do $r%i&e (2-2)

d(G#)= ZZ(60)ZZ=6e=&/a --> 2/3= &/6 --> &= 4

!=a-&=36-16=20

==>""ipe' (x+4)/36 +(y+2)/20 =1Z-[-NBC Eabendo que a excentricidade da elip+e e " 3&0 e o+ foco+ 5%#)3, 1(,5*#3, 1(determine +ua equao?

Ge%ro= ,o%o ediolo&o= (00)D e eixo x&=d(Ge%ro)=3

e=&/a=3/ --> a=

!= a-&= 2-9=16

==> x/2 + y/16 =1 !)

Determine a equaao da elip+e dado+ 5* #)%,)*( 5% #*,%( eixo maior 6?

5 di%;&ia e%re o o&o d(12) $ i.ua" a 2&7,e"a Mru"a da di%;&ia e%re po%o'd(12) = [V(1+2) + (2+1)W = [18 = 3[2

2& = 3[2& = (3[2)/2Oa e"ipe %eo o e.ui%e'& = [(a-!)?de 2a $ o %aao do eixo aior e 2! do eixo eor7o.o'


57/64

a = 3a = 9

(3[2)/2 = [(3-!)e"eado o doi %ero ao quadrado'9Y2/4 = 9 - !! = 9 - 9/2 = 9/2 (parao o ! poi $ de"e que pre&iao)

? &e%ro %er &oo &oordeada a $dia ari%$%i&a do x e do y de 1 e 27x0 = (-2+1)/2 = -1/2y0 = (-1+2)/2 = 1/2

5i'(x - x0)/a + (y - y0)/! = 1 ===> (equao da e"ipe)

(x + 1/2)/9 + (y - 1/2)/(9/2) = 1

Determinar a equao da elip+e que +ati+faz a+ condi>e+ dada+ vrtice+ *#)*,%(,%#)S,%( e a medida do eixo menor iual a %.

equao da e"ipe \ x + 9y + 8x - 36y + 43 = 07 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7de%eriado o eixo da e"ipe'

#$r%i&e'51 = (- 1 2) = (x1 y1)52 = (- 2) = (x2 y2)

eixo eor (dado pe"o pro!"ea)' 2! = 2\ ! = 1

\ eixo aior (orizo%a")' 2a = Z x2 - x1 Z2a = Z - - ( - 1) Z2a = Z - + 1 Z2a = Z - 6 Z2a = 6\ a = 3

7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 Z eixo eor = 2!7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 ! Z7 7 52llllllllllZlllllllll 51 \ eixo aior = 2a7 7 7 7 7 7 7 a7 7 7 7 7 Z7 7 7 7 a7 7 7 77 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7! Z7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 Z

de%eriado o &e%ro da e"ipe (xo yo)'

xo = x1 - a = -1 - 3 = - 4

yo = y1 = y2 = 2

\ &e%ro = ( - 4 2)


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de%eriado a equao da e"ipe'

7 7 (x - xo) 7 7 (y - yo)7 7 ---------- + ----------- = 17 7 7 7 a 7 7 7 7 7 7 !

7 7 (x + 4)7 7 (y - 2)

7 7 ---------- + ---------- = 17 7 7 7 3 7 7 7 7 7 71

7 7 (x + 4) 7 7 (y - 2)7 7 ---------- + ---------- = 17 7 7 7 9 7 7 7 7 7 7 71

7 7 (x + 4) + 9Y(y - 2) = 97 7 (x + 8x + 16) + (9y - 36y + 36) = 97 7 x + 9y + 8x - 36y + 43 = 0

Determinar uma equao da elip+e que +ati+faa a+ condi>e+ dada+. vertice+ #;ou) *1( e excentricidade \

No"uo ===

? eu&iado e% errado' e"ipe o poui $r%i&e7

5 equao de ua e"ipe &o ei-eixo aior o eixo &ar%eiao $'

x/a + y/! = 1

&o } = [(1 - !/a) e = [(a-!)

eo"ereo e 2 &ao (&orreAe poLei para o eu&iado)'

-------------- -------------- -------------- -------------- --------------Gao 1) Nei-eixo aior de (-100) a (100) e } = 1/2

Oe%e &ao a=107 Ga"&u"eo a e !'a = 10 = 100

} = [ (1 - !/a) = 1/21 - !/100 = 1/4100 - ! = 2! =

=== epo%a Gao 1) ===5 equao e%o


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-------------- -------------- -------------- -------------- --------------Gao 2) o&o e (-100) e (100) e } = 1/2 = [(a-!) = 10} = [(1 - !/a) = 1/2[(a - !)/a = 1/2/a = 1/210/a = 1/2

a = 20a = 20 = 400 = [(a-!) = 10400-! = 100! = 300

=== epo%a Gao 2) ===5 equao e%o


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?!7 ea ex&e%ri&idade o%ra o .rau de a&a%ae%o da a=c2

!=1 ==>!=c1

a=!+&4=1+& ==>&=c[3

Ge%ro'(11)

#er%i&e'51=(1+a1)=(31)52=(1-a1)=(-11)

I1=(11+!)=(12)

I2=(11-!)=(10)

o&o'

1=(1+&1)=(1+[31)2=(1-&1)=(1-[31)

Determinar o centro, o+ vertice+ * e %, o+ foco+ e a excentricidade da elip+e%0x$%;*6!$%;01x;6'!)3**"1?

#o&B ai &op"e%ar quadrado $ o e.ui%e'

2x+16y+0x+64y-311=0 (or.aizado x e y)

2x + 0x + 16y + 64y - 311=0


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2(x + 2x) + 16(y + 4y) = 311 ( o x e o y a"i No quadrado perei%o pore e% a"%adoo u"%io a".ario que & %e que de&o!ri)

2(x + 2x+ ll ) + 16(y + 4y ll ) = 311 (qua" ero &op"e%a ee quadradoQ)

2(x + 2x+ l1l ) + 16(y + 4y l2l ) = 311 ( &o&orda &oi.o que eria 1 e 2 Q)

a e o&B adi&ioa ero de u "ado da equao %e que adi&ioar do ou%ro a"i o xo&B adi&ioou 1 = 1 a %a u"%ip"i&ado o 2 de ora ou e:a 27 Oo y adi&ioou 2=4u"%ip"i&ado por 16 que $ 647 %o deeo adi&ioa 2 e 64 do ou%ro "ado da equao


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(deee pra & %er ua !ae)& a!e que do er%i&e que e%a a or.ie a%$ o &e%ro %e 2 uidadee%ao o o&o que e%a e%re e"e ao %e &oo %er 3 uidade M o o&o do ou%ro "ado&o&"ui e que G = 1&o&"uio que a =2 pq a di%a&ia e%re o doi er%i&e = 2a

ao de&o!rir I por pi%a.ora

2 = 1 +!! = 3K (raiz de %re)&oo o o&o e%ao e &ia do eixo xa equao


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4) *e%eriao de 2! o eixo eor da e"ipe7

Goo a oa da di%;&ia de qua"quer po%o ao o&o $ i.ua" a 2a %oeo o po%o dae"ipe que


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epo%a'777(x+1)/20+(y-1)/36=1

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GA-Resoluções de Hiperbole