Resolução de GA-Planos

QUESTO: Determine, se possvel, a equao geral do plano que contm o ponto A(1,2,1) e a reta interseo do plano com o plano yoz.

RESOLUO1) Atribuir outros pontos para este plano. Sendo assim temos: A(1, 2, 1), B(0, 0, 1) e C(0, 0, 5). Os pontos B e C, so pontos que pertencem ao plano y0z e x=0.2) Achar os vetores: AB = B-A = (-1, -2, 0) e AC= C-A = (-1, -2, 4)3) Verificar se so linearmente independentes: AB= a x AC (-1, -2, 0) = a x (-1, -2, 4). Neste caso, a = 1, a = 1 e a = 0. So linearmente independentes.4) Verificar a norma: AB x AC = det . No pode ser nulo, pois, so linearmente independentes. Logo AB x AC = -8i+4j+0K Norma (-8, 4, 0)5) Achar d: : -8x+4y+d = 0. Substituir o ponto A(1, 2, 1) na equao. -8.(1)+4.(2)+d=0. Sendo assim, d=0.6) Encontrar a equao geral do plano: : -8x+4y=0.

Algum pode me informar se estes procedimentos esto corretos? Como fao para achar a equao da reta interseo do plano com o plano yoz?Estabelecer a equao geral do plano paralelo ao plano Pi: 2x - 3y -z + 5 = 0 e que contem o pontoC=(4,-2,1).

a(x - x1) + b(y - y1) + c(z - z1) = 0

2(x - 4) + (-3)(y - (-2)) + (-1)(z - 1)=0

2x - 8 -3y - 6 +z +1 = 0

2x - 3y - z -8 -6 +1 = 0

2x -3y - z -13 =0

Isolando z= 2x - 3y 13Determine a equao geral do plano que passa pelo ponto mdio do segmento de extremos A (5,-1,4) e B(-1,-7,1), e seja perpendicular a ele.Ponto mdio de BA , Pm Pm= ((5-1)/2 , (-1-7)/2 , (4+1)/2) ou Pm=(2,-4, 5/2) Vetor na direao BA , v ou BA=v =( -1-5,-7+1,1-4)=(-6,-6,-3) Vetor pertencente ao plano BA v=(-6,-6,-3) ; ponto do plano perpendicular a Pn , Pv=(x.y,z) ; vetor u na direao do plano perpendicular ao primeiro plano passando por Pn u= (x-2,y+4,z-5/2); como u e v so perpendiculares ento , uv=0 (x-2,y+4,z-5/2)(6,6,3)=0 6x-12+6y+24+3z-15/2= 0 12x-24 +12y+48+6z-15=0 12x+12y+6z+9=0 4x+4y+2z+3=0Resp, 4x+4y+2z+3=0Dado o plano x+y+z-1=0 ache suas equaes vetorial e paramtricas.?Para achar as equaes vetoriais e paramtricas de um plano precisamos de dois vetores base do plano, ou seja, dois vetores paralelos ao plano e no paralelos entre si.Possuindo a equao do plano conseguimos encontrar os infinitos pontos do plano. Como fazemos isso? Arbritamos dois valores quaisquer para duas variveis (um para cada) encontramos o valor da outra varivel. Por exemplo:Ponto A:x = 0y = 0z = 1 - x -yz = 1 - 0 -0z = 1A (0,0,1)Ponto Bx = 0 z = 0y = 1 - x - zy = 1 - 0 - 0y = 1B(0,1,0)Ponto C:y = 0z= 0x = 1 - y - zx = 1 - 0 - 0C(1,0,0)Temos 3 pontos pertencentes ao plano ( pontos A,B e C) e com eles somos capazes de formar os dois vetores base do plano. Eles podem ser, por exemplo AB e AC (assim como poderiam ser AB e BC ou BA E CA):AB = (0,1,-1)AC - (1,0,-1)Conhecido um ponto pertencente ao plano e dois vetores base do plano somos capazes de encontrar as equaes vetorial e paramtrica do plano.Equao vetorial:(x,y,z) = ( 0,0,1) + h(0,1,-1) +t(1,0,-1)Onde :(0,0,1) corresponde ao ponto A (mas qualquer outro ponto pertencente ao plano poderia ter sido utilizado)(0,1,-1) e (1,0,-1) so vetores base do plano, nesse caso AB e ACh e t : so parmetros.Equao paramtrica:Resolvendo a equao vetorial e isolando x,y e z encontramos a equao paramtrica do plano:x = ty = hz = 1 - h tDada a equao geral do plano Pi: 3x -2y -z -6 = 0, determinar um sistema de equaes paramtricas de Pi.?ExemploDado o plano pi cuja equao geral 3x -2y - z - 6 = 0 , determine a equao paramtrica deste plano.Soluo: Primeiro isolamos uma das variveis em funo das outras duas. Para facilitar os clculos isolamos z :z = x - 2 y - 6 Portanto, isso significa que escolhemos x e y como variveis livres. Atribuindo a elas valores arbitrrios, digamos x = t e y = s , obtemos a equao paramtrica do plano pi :pi : x = t , y = s e z = t - 2y 6Sendox = 1 + h - 2ty = 1 - tz = 4 + 2h - 2t ; as equaes paramtricas de um plano (pi), obter uma equao geral do plano.eq(3)-2.eq(1):...z=4+2h-2t-2x=-2-2h+4t-------------------z-2x=2+2t........eq(4)Da eq(2), tiramos: t=1-y. Substituindo em eq(4), temos:z-2x=2+2-2y2x-2y-z=-42x-2y-z+4=0Resposta....2x-2y-z+4=0Seja o plano0 3x+y-z-4=0. O valor de K para que o Plani1: Kx-4y+4z-7=0, seja paralelo ao planno0 dado.planos paralelos apresentam uma mesma direo e as coordenadas indica dependncia linear entre os vetores k/3 =-4/1 = 4/-1 , logo k = -12Determinar valor de alfa para que os pontos A(,1,9) B(2,3,4) C(-4,-1,6) e D(0,2,4) sejam coplanaresV=B-C = (6,4,-2)U=D-C= (4,3,-2)N = i j k6 4 -2 = -2i +4j + 2k N(-2,4,2)4 3 2-2x + 4y +2z +d = 0substitui com o ponto d-2.0 +4.2 + 2.4 + d = 0d=-16-2x + 4y +2z -16 = 0substitui com o ponto a-2 +4.1 +2.9-16=0=3*Forme os vetores AB=(7-a , 2+1, 1-5) = (7-a, 3 , -4) AC=(-1-a , -3+1,-1-5) =(-1-a, -2,-6) AD=(1-a, +1,3-5) ...... =(1-a,1, -2 ) Se det M= 0 os pontos so coplanares, ento M= l 7-a 3 -4 l l-1-a -2 -6 l l1-a 1 -2 l Resolvendo pela primeira coluna detM=(7-a) .(4+6) -(-1-a) ( -6+4) +(1-a)(-18 -8) = (7-a) .(10) +(1+a) ( -2) +(1-a)(-26) = 70 -10a -2-2a-26+26a= 14a=-42 a= - 3 ... se a = -3 detM= 0 Resp a= - 3Determinar a equao geral pelo seguinte caso. O plano passa por A(2,0,-2) e paralelo aos vetores u=i-j+k e v=2i+3j.Mas, essa pergunta de matemtica e no de fsica ; w = u x v/..i....j....k..//.1...-1...1../ => 2j + 3k + 2k - 3i => (-3, 2, 5)/.2....3...0../Equao vetorial do plano:(x - 2, y, z + 2) . (-3, 2, 5) = 0-3x + 6 + 2y + 5z + 10 = 0-3x + 2y + 5z + 16 = 0; a nossa equao geral.

Escreva a equao geral do plano das retas paralelas: r: x-2/2=y-3/1-z-4/3 s: (x,y,z=(-1,3,2)+(4,2,6)?r: (x - 2)/2 = (y - 3)/1 = (z - 4)/3 s: (x,y,z) = (-1,3,2) + (4,2,6)

Podemos escrever s tambm na sua forma simtrica:

s: (x,y,z) = (-1,3,2) + (4,2,6)

s: (x,y,z) = (-1 + 4, 3 + 2, 2 + 6)

x = -1 + 4 = (x + 1)/4y = 3 + 2 = (y - 3)/2z = 2 + 6 = (z - 2)/6

Agora, podemos escrever as equaes de "r" e de "s" na forma simtrica:

r: (x - 2)/2 = (y - 3)/1 = (z - 4)/3 s : (x + 1)/4 = (y - 3)/2 = (z - 2)/6

Vamos comear a resolver o problema agora. Se arbitrarmos dois pontos, A e B, um em "r" e o outro em "s", o segmentos de reta AB, que unir as retas "r" e "s", pertencer ao plano formado pelas retas "r" e "s".

Arbitraremos uma das trs coordenadas do ponto A e do ponto B e deduziremos as outras duas. A escolha totalmente arbitrria, mas vamos escolher, sempre que possvel, valores "zero", para facilidade de clculo.

Escolha de um ponto A r

Escolhamos (x,y,z) = (0,y,z). Como Ar, vamos substituir esses valores nas equaes de r:

(0 - 2)/2 = (y - 3)/1 y = 2(2 - 3)/1 = (z - 4)/3 z = 1

A(0,2,1)

Escolha de um ponto B s

Escolhamos (x,y,z) = (0,y,z). Como Bs, vamos substituir esses valores nas equaes de s:

(0 + 1)/4 = (y - 3)/2 y = 7/2

(7/2 - 3)/2 = (z - 2)/6 z = 8

B(0,7/2,8)

Esto a dois pontos, A e B, com Ar e B s. Podemos achar um vetor AB diretor da reta que passa pelo segmento AB:

AB = B - A = (0-0, 7/2-2, 8-1) = (0, 1/2, 7)

Um vetor, u, tambm diretor da reta que passa pelo segmento de reta AB, :

u = 2AB = 2(0, 1/2, 7)

u = (0, 1, 14) (I)

Agora, tomemos um vetor diretor de uma das duas retas, "r" ou "s". Como a reta "s" j est escrita na forma paramtrica, a descoberta de um vetor diretor imediata: o vetor (4, 2, 6) um vetor diretor de "s". Claro que v = (2, 1, 3) tambm um vetor diretor de "s".

Portanto, temos dois vetores, u e v, paralelos ao plano cuja equao queremos encontrar. Sabe-se que o produto vetorial de u por v um vetor n, normal ao plano :

n = uv

......i......j.....kn = 0....1....14......2....1.....3

n = - 11i + 28j - 2k

n = (-11, 28, -2)

Sabe-se que, se um vetor n = (a, b, c) normal a um plano ,ento a equao desse plano ser:

: ax + by + cz + d = 0 (II)

Ou seja, se o vetor n = (-11, 28, -2) normal a um plano , a equao desse plano ser:

- 11x + 28y - 2z + d = 0 (III)

Falta achar d? Moleza!!! s substituir qualquer ponto que pertena ao plano (o ponto A, por exemplo) na equao (III):

A(0, 2, 1) , ento:

- 11(0) + 28(2) - 2(1) + d = 0

56 - 2 + d = 0

d = - 54

Substituindo d = - 54 na equao (III), temos, finalmente, a equao de :

: - 11x + 28y - 2z - 54 = 0

O plano contem os pontos A(1,-2,2) e B(-3,1,-2) e perpendicular ao plano 2x+y-z+8=0 como calculo isso?-Reta perpendicular ao plano que passa por A: (x-1)/2=(y+2)/1=(z-2)/(-1) x-y+z-5=0 -Reta perpendicular ao plano que passa por B: (x+3)/2=(y-1)/1=(z+2)/(-1) x-y+z+6=0 -Elegendo um ponto C pertencente a uma das retas perpendiculares ao plano, como, por exemplo, C(2,-2,1) que pertence a reta x-y+z-5=0, o plano que passa por A, B e C : | (x-2)......(y+2).......(z-1) | | (1-2)......(-2+2)......(2-1) | = 0 | (-3-2).....(1+2)......(-2-1) | 3x-6+3y+6+5y+10+3z-3=0 3x+8y+3z+7=0Resposta:...3x+8y+3z+7=0Sendo x=1+h-2t ; y=1-t ; z=4+2h-2t,equaes paramtrica de um plano, obter a equao geral?Isolando t na 2 equao: t=1-ySubstituindo t na 3 equao e isolando h:z=4+2h-2(1-y) => z=4+2h-2+2y => z=2+2h+2y => h=(z-2-2y)/2Substituindo t e h na 1 equao:x=1+(z-2-2y)/2 -2(1-y) multiplicando a equao em ambos os lados por 2:2x=2 + z-2-2y - 4(1-y)2x= z-2y -4 +4y2x= z +2y -42x-2y-z+4=0Obter a equao geral de um plano pelo seguinte caso. O plano passa pelos pontos A(2,1,2) B(1,-1,4) e perpendicular ao plano xOy.vamos lavetor diretor = B-A = (1,-2,2)plano alfa = (2,1,2)+t(1,-2,2) = x= 2+ty= 1-2tz= 2+2t com t E R okkkDeterminar a equao geral do plano que contm os pares de retas: r: x = z ;y = -3 e s: {x= -t ; y=1 ; z=2-t?Observe:

Soluo:

....{ x = zr : { ....{ y = - 3

e

.....{ x = 0 - 1.ts : { y = 1 + 0.t.....{ z = 2 - 1.t

Devemos encontrar um ponto de r e um ponto de s , pois sabemos que ambos pertencer ao plano, temos que:

A( 1 , - 3 , 1 ) r e

B( 0 , 1 , 2 ) s e

Por outro lado;

AB = B - A = ( 0 , 1 , 2 ) - ( 1 , - 3 , 1 )

AB = ( - 1 , 4 , 1 ) = ( a , b , c ) , vetor diretor do plano .

Podemos concluir que o vetor dirtor da reta s ( - 1 , 0 , - 1 ) = ( d , e , f ) , j que a mesma est contida nele.

Adotando o ponto B( 0 , 1 , 2 ) = B( x , y , z ), temos que:

x - x.....y - y.....z - z...a... ..... .b....... ....c... = 0...d.... ......e...... .....f....

x - 0.....y - 1....z - 2- 1... .... .0... ...- 1.. = 0- 1...... ...4... .....1..

...- 1....... ... .... ...1..x.. .....y - 1....z - 2- 1... .... .0... ...- 1.. = 0- 1...... ...4... .....1..... ..x.. ...... ....z - 2

- 4z + 8 + y - 1 + y - 1 + 4x = 0

4x + 2y - 4z + 6 = 0 : 2

R : 2x + y - 2z + 3 = 0**Determine a equao geral do plano que contm o ponto A e a reta interseo do planos pi1 e p2?A(2,0,1) pi1: 2x - 3y - 5z = 0 e pi2: x - y = 02x-3y-5z+A(x-y)=0 com 22-30-51 + A(2-0)=0 --> 4-5+2A=0 --> A=1/2 --> (2+1/2)x + (-3-1/2)y - 5z=0 --> 5/2x-7/2y-5z=0 --> Plano: 5x-7y-10z=0Determinar a equaao do plano? Mediador do segmento de extremos A ( 1,-2,6) e B( 3 ,0 ,0)O plano mediador de um segmento perpendicular ao mesmo, no seu ponto mdio .

Calculo do ponto mdio P do segmento

xm=(1+3)/2=4/2=2ym=(-2+0)/2=-2/2=-1zm=(6+0)/2=6/2=3

logo

P(2, -1,3)

vetor AB=u=(3-1,0+2,0-6)=(2,2,-6)

u=(2,2,-6)

Um vetor v do plano perpendicular a u , tome um x , y, z do plano e combine com as coordenadas de P, ou

v=(x-2,y+1,z-3)

O sabe-se que produto escalar u.v=0 ,fornece a equao do plano mediador

portanto

(2,2,-6).(x-2,y+1,z-3)=0

2x-4+2y+2-6z+18=02x+2y-6z+16=0

x+y-3z+8=0oux+y-3z=-8Resp: x+y-3z+8=0oux+y-3z=-8Prova, o ponto mdio Pertence ao plano encontrado ento suas coordenadas tem que satisfazer a equao do plano seno vejamosP(2, -1,3) aplicado em x+y-3z=-8; 2-1-3.3= 2-10=-8 , de acordoDeterminar a equao geral do plano paralelo ao plano 2x-3y-z+5=0 e que contm o ponto a(1,2,3)?Observe:

1 Maneira:

Como o plano a ser encontrado paralelo ao plano 2x - 3y - z + 5 = 0 , logo ele ter o mesmo vetor normal ao plano ( 2 ).x + ( - 3 ).y + ( - 1 ).z + 5 = 0 , j que o vetor normal ortogonal ao plano dado e ao plano a ser encontrado, da;

n = ( 2 , - 3 , - 1 )

Logo;

......... .....X AX . n = 0 . Ento , pondo X = ( x , y , z ) , vem;

X [ ( x , y , z ) - ( 1 , 2 , 3 ) ].( 2 , - 3 , - 1 ) = 0

( x - 1 , y - 2 , z - 3 ).( 2 , - 3 , - 1 ) = 0

2.( x - 1 ) - 3.( y - 2 ) - 1.( z - 3 ) = 0

2x - 2 - 3y + 6 - z + 3 = 0

2x - 3y - z + 7 = 0

Portanto;

R : 2x - 3y - z + 7 = 0

2 Maneira:

Como o plano a ser procurado possui vetor normal n = ( 2 , - 3 , - 1 ) , j que os planos so paralelos , ento a sua equao geral da forma : 2x - 3y - z = d. Como passa por A( 1 , 2 , 3 ), temos:

2x - 3y - z = d 2.1 - 3.2 - 1.3 = d d = 2 - 6 - 3 d = - 7

Da;

2x - 3y - z = - 7

Portanto;

R : 2x - 3y - z + 7 = 0Dado os pontos A (3,-1,2) e R dada x=t y=2-t z= 3+2t? Determinar a equao geral do plano que contm o ponto e a reta dados.Ola Passarei os principais pontos e voc faz os clculos; Dados: --> O ponto: A (3,-1,2) -->A reta r: x=t y=2-t z= 3+2t Determinar a equaao geral do plano contendo o ponto A e a reta r Soluao (passo 1) Escrevendo a equaao vetorial da reta r (obtenho isto a partir das informaoes dadas) B = (0,2,3) + t (1,-1,2) Dai temos o vetor diretor da reta r (primeiro vetor diretor) v=(1,-1,2) e o ponto de origem da reta r: P(0,2,3) (passo 2) Faa um desenho montrando a reta r e o ponto A, ponto A nao pertence a r; visualize tbem o veto v e o ponto P (passo 3) Vamos agora obter o segundo vetor diretor do plano: u = PA = A - P = (3,-1,2) - (0,2,3) = (3,-3,-1) (passo 4) A equaao vetorial do plano eh dada por: X = P + a u + b v com "a" e "b" sendo parametros reais. Dai (x,y,z) = (0,2,3) + a (3,-3,-1) + b (1,-1,2) Uma observaao a partir da equaao acima podemos escrever X - P = a u + b v ==> PX = a u + b v logo PX = X - P = (x-0, y-2,z-3) (passo 5) Os vetores u, v e PX sao Linearmente Dependentes (verifique isto), logo a equaao geral do plano calculada pelo seguinte determinante: det[PX, u, v] = 0 ***aqui neste editor impossivel representar uma matriz bem como o seu determinante, dai represente cada vetor numa linha; em seguida calcule o determinante (faa isto) det[ (x-0, y-2,z-3), (3,-3,-1) , (1,-1,2) ]=0 Obtenha equaao geral: x+y=0Dado o ponto P(5,2,3) e o plano pi: 2x+y+z-3=0, determinar:?a) Equaes Paramtricas da reta que passa por P e perpendicular a pi (Eu fiz)b)A projeo ortogonal de P sobre o plano pic)O ponto P' simtrico de P em relao a pid) A distncia de P ao plano pi.a) Vamos encontrar pontos que pertencem a pi: Sejam A(0,2,1), B(0,1,2) e C(2,-1,0). Todos satizfazem 2x+y+z-3=0 Logo podemos escrever dois vetores diretores LI de pi como sendo (B-A) = (0,-1,1) (C-A) = (2,-3,-1) Seja r a reta que passa por P e perpendicular a pi. Seja u = (a,b,c) um vetor diretor de r. Por perpendicularidade devemos ter: 1) u.(B-A) = 0 (a,b,c).(0,-1,1) = 0 b = c (i) 2) u.(C-A) = 0 (a,b,c).(2,-3,-1) = 0 2a - 3b - c = 0 2a = 3b + c = 4c a = 2c (ii) De (i) e (ii): (a,b,c) = (2c,c,c) Para c = 1 ficamos com u = (2,1,1) e a equao paramtrica fica: (x,y,z) = (5,2,3) + t(2,1,1) = (5+2t,2+t,3+t) x = 5 + 2t y = 2 + t z = 3 + t b) Para um ponto Q(a,b,c) pertencente ao plano, devemos ter (P-Q) perpendicular a (B-A) = (0,-1,1) e a (C-A) = (2,-3,-1). Dessa forma Q ser a projeo ortogonal de P sobre pi. (P-Q) = (5-a, 2-b, 3-c) Por perpendicularidade devemos ter: 1)(P-Q).(B-A) = 0 (5-a, 2-b, 3-c).(0,-1,1) = 0 b - 2 + 3 - c = 0 b = c - 1 (I) 2)(P-Q).(C-A) = 0 (5-a, 2-b, 3-c).(2,-3,-1) = 0 10 - 2a + 3b - 6 + c - 3 = 0 -2a + 3b + c = -1 -2a + 3c - 3 + c = -1 -2a = -4c + 2 a = 2c - 1 (II) De (I) e (II): Q = (a,b,c) = (2c-1,c-1,c) Mas Q pertence ao plano, logo, 2(2c-1) + (c-1) + c - 3 = 0 4c - 2 + c - 1 + c - 3 = 0 c = 1 Logo Q = (1,0,1) c) Temos que (P-Q) = (5,2,3) - (1,0,1) = (4,2,2) O ponto P' pode ser encontrado fazendo-se Q - (P-Q). Logo, P' = Q - (P-Q) = (1,0,1) - (4,2,2) = (-3,-2,-1) d)A distncia de P a pi a magnitude do vetor (P-Q) = (4,2,2). Logo, d = 4 + 2 + 2 d = 16 + 8 d = 24 d = 26Determine, se possvel, a equao geral do plano que contm o ponto A(1,2,1) e a reta interseo do plano com o plano yoz.RESOLUO1) Atribuir outros pontos para este plano. Sendo assim temos: A(1, 2, 1), B(0, 0, 1) e C(0, 0, 5). Os pontos B e C, so pontos que pertencem ao plano y0z e x=0.2) Achar os vetores: AB = B-A = (-1, -2, 0) e AC= C-A = (-1, -2, 4)3) Verificar se so linearmente independentes: AB= a x AC (-1, -2, 0) = a x (-1, -2, 4). Neste caso, a = 1, a = 1 e a = 0. So linearmente independentes.4) Verificar a norma: AB x AC = det . No pode ser nulo, pois, so linearmente independentes. Logo AB x AC = -8i+4j+0K Norma (-8, 4, 0)5) Achar d: : -8x+4y+d = 0. Substituir o ponto A(1, 2, 1) na equao. -8.(1)+4.(2)+d=0. Sendo assim, d=0.6) Encontrar a equao geral do plano: : -8x+4y=0.Algum pode me informar se estes procedimentos esto corretos? Como fao para achar a equao da reta interseo do plano com o plano yoz?Determinar a equao geral do plano que contm o ponto e a reta dados:?A(3,-2,-1) e r: x+2y+z-1=0; 2x+y-z+7=0Observe:

A( 3 , - 2 - 1 )

....{ x + 2y + z - 1 = 0r : {....{ 2x + y - z + 7 = 0

Soluo:

Devemos encontrar dois pontos pertencentes a reta "r" , pois sabemos que ambos pertencer ao plano, temos que:

Fazendo z = 0 , substituindo na reta r,vem;

{ x + 2y + 0 - 1 = 0{ 2x + y - 0 + 7 = 0

{ x + 2y = 1......x ( - 2 ){ 2x + y = - 7

{- 2x - 4y = - 2{ 2x + y = - 7......- 3y = - 9 y = 3

Substituindo y = 3 em x + 2y = 1, vem:

x + 2y = 1 x + 2.3 = 1 x = 1 - 6 x = - 5

Da, temos o ponto B( - 5 , 3 , 0 ) r e .

Obs. Para encontrar o outro ponto, basta fazer z = 1 seguindo o mesmo processo acima ficar como exerccio para voc, chegando ao ponto C( - 4 , 2 , 1 ) r e .

Por outro lado;

AB = B - A = ( - 5 , 3 , 0 ) - ( 3 , - 2 , - 1 )


AC = C - A = ( - 4 , 2 , 1 ) - ( 3 , - 2 , - 1 )

AC = ( - 7 , 4 , 2 ) = ( d , e , f ) , vetor diretor do plano .

Adotando o ponto B( - 5 , 3 , 0 ) = B( x , y , z ), temos que:

x - x.....y - y.....z - z...a... ..... .b....... ....c... = 0...d.... ......e...... .....f....

x - (-5).....y - 3....z - 0..- 8.... .... .5... .... 1.. = 0..- 7...... ....4... .....2..

....- 7....... ...........2x + 5.....y - 3.... ..z.- 8.... ... .5... .... 1 = 0.- 7..........4... .....2...x + 5...... .........z

- 8.4.z + ( x + 5 ).5.2 - 7.( y - 3 ).1 - [ - 8.( y - 3 ).2 - 7.5.z + ( x + 5 ).4.1 ] = 0

- 32z + 10x + 50 - 7y + 21 - ( - 16y + 48 - 35z + 4x + 20 ) =

10x - 4x + 16y - 7y + 35z - 32z + 50 + 21 - 48 - 20 = 0

6x + 9y + 3z + 3 = 0 : 3

Portanto;

R : 2x + 3y + z + 1 = 0DETERMINAR A EQUACAO GERAL DO PLANO QUE CONTEM O PONTO E A RETA DADOS: A(1,-2,1) E O EIXO DOS XObserve:

Soluo:

A( - 3 , 0 , 4 )

Ora, como o plano contm o eixo dos "x" , logo fornece dois pontos, so eles B( 1 , 0 , 0 ) e C( - 2 , 0 , 0 ), obviamente ambos contidos no plano.

Da;

AB = B - A = ( 1 , 0 , 0 ) - ( 1 , - 2 , 1 )

AB = ( 0 , 2 , - 1 ) = ( a , b , c ) , vetor diretor do plano .

e

AC = C - A = ( - 2 , 0 , 0 ) - ( 1 , - 2 , 1 )

AC = ( - 3 , 2 , - 1 ) = ( d , e , f ) , vetor diretor do plano .

Adotando o ponto B( 1 , 0 , 0 ) = B( x , y , z ), temos que:

x - x.....y - y.....z - z...a... ..... .b....... ....c... = 0...d.... ......e...... .....f....

x - 1....y + 0....z - 0..0... .... .2... ...- 1.. = 0- 3...... ...2... ...- 1..

.. .- 3... ......- 1x - 1.....y......z...0... . .2....- 1 = 0- 3........2....- 1..x - 1..... .....z

- 2x + 2 + 3y + 6z + 2x - 2 = 0

3y + 6z = 0 : 3

y + 2z = 0

R : y + 2z = 0Encontrar uma equao geral do plano determinado por esta retas?r1: 3x-y-z=0 8x-2y-3z+1=0

r2: x-3y+z+3=0 3x-y-z+5=0r1:

Da primeira equao tiramos que

z = 3x - y (i)

Substituindo (i) na segunda equao, temos:

8x - 2y - 3(3x - y) + 1 = 0x - y = 1 x = y + 1 (ii)

Assim:

(x,y,z) = (y + 1, y, 3(y+1) - y) = (y+1, y, 2y+3) = (1,0,3) + y(1,1,2)

Logo u = (1,1,2) um vetor diretor do plano e A(1,0,3) pertence ao plano

r2:

Da primeira equao:

z = -x + 3y - 3 (iii)

Substituindo (iii) na segunda equao:

3x - y - (-x + 3y - 3) + 5 = 04x - 4y = -8 x = y - 2 (iv)

Logo,

(x,y,z) = (y-2, y, -(y-2) + 3y - 3) = (y-2, y, 2y-1)(x,y,z) = (-2,0,-1) + y(1,1,2)

Portanto, B(-2,0,-1) pertence ao plano.

O vetor (A-B) ser, portanto, um vetor diretor do plano:

(A-B) = (1,0,3)-(-2,0,-1) = (3,0,4)

Como (A-B) e u so LI, podemos escrever a seguinte equao de plano:

(x,y,z) = (1,0,3) + (3,0,4) + (1,1,2) com , reais

para chegarmos equao geral do plano, basta notarmos que o produto vetorial de (A-B) e u deve ser perpendicular ao plano e, portanto (A-B)u deve ser perpendicular a (x-1,y,z-3), que um vetor do plano.

(A-B)u = | i j k||3 0 4| = -4i - 2j + 3k = (-4,-2,3)|1 1 2|

Mas (A-B)u deve ser ortogonal a (x-1,y,z-3), logo

[(A-B)u].(x-1,y,z-3) = 0(-4,-2,3).(x-1,y,z-3) = 0-4x + 4 - 2y + 3z - 9 = 0

4x + 2y - 3z + 5 = 0Determinar a equao geral do plano que contm o ponto e a reta dados:?(Questo 01) A(3,-1,2) e r: x = t y = 2 - t z = 3 + 2t

(Questo 02) A(1,-2,1) e o eixo dos zA = (3, - 1, 2) e a reta rx = ty = 2 - tz = 3 + 2tr passa por P = (0, 2, 3) P - A = u = (- 3, 3, 1) um vetor do planov = (1, - 1, 2) o vetor diretor da reta r uxv = n|i j k||-3 3 1| = 7i + 7j + 0k = (1, 1, 0)|1 -1 2| tomo esse n = (1, 1, 0) que proporcional (7,7,0)logo a eq. do plano ser:x + y + 0z + d = 0 substituindo A nessa eq.3 + (- 1) + 0 + d = 0 d = - 2x + y - 2 = 0

2) A = (1, - 2, 1) e o eixo dos zA origem (0, 0, 0) pertence reta z, eixo dos z,A - O = (1, - 2, 1) = u, vetor pertencente ao plano e v = (0, 0, 1) o vetor diretorda reta,eixo dos z uxv = n|i j k||1 -2 1| = - 2i - j + 0k = (2, 1, 0)|0 0 1|

2x + y + 0z + d = 00 + 0 + 0 + d =0 d = 0

2x + y = 0

obs: resposta dada est errada (x + y = 0) para verificar isso basta substituir A dado na equaoDeterminar a equao geral do plano que contem o ponto e a reta dados: A(3,-1,2) e r: x=t ; y=2-t; z=3+2tObserve:

Soluo:

....{ x = 0 + 1.tr : { y = 2 - 3.t....{ z = 3 + 2.t

A( 3 , - 1 , 2 ) e B( 0 , 2 , 3 ) r e a tambm, j que a reta est contida no plano.

Por outro lado;

AB = B - A = ( 0 , 2 , 3 ) - ( 3 , - 1 , 2 )


Como a reta est contida no plano, logo o seu vetor diretor ( 1 , - 3 , 2 ) = ( d , e , f ) .

Adotando o ponto A( 3 , - 1 , 2 ) = A( x , y , z ), temos que:

x - x.....y - y.....z - z...a... ..... .b....... ....c... = 0...d.... ......e...... .....f....

x - 3.....y + 1....z - 2.- 3... .... .3... .....1.. = 0.. 1... ...- 3... ......2..

... ...1.. ....... .......2x - 3.....y + 1....z - 2.- 3... .... .3... .....1.. = 0.. 1... ...- 3... ......2.....x - 3... ...... ...z - 2

9z - 18 + 6x - 18 + y + 1 - ( - 6y - 6 + 3z - 6 - 3x + 9 ) = 0

6x + 3x + y + 6y + 9z - 3z - 35 + 3 = 0

9x + 7y + 6z - 32 = 0

R : 9x + 7y + 6z - 32 = 0Determinar a equao geral do plano perpendicular a reta r{x=2y-3, z=-y+1} e que contem o ponto A(1,2,3);?Em

x=2y-3, z=-y+1

Encontre dois pontos da reta r ou

se x=1 ,,

1=2y-3, ,,,,,, 2y=4..... y= 2 z=-2+1,,,,,,, z= -1...................................... P1(1, 2, -1)

se x=3 ,,

3=2y-3, ,,,,,, 2y=6..... y= 3z=-3+1,,,,,,, z= -2...................................... P2(3, 3, -2)

logo um vetor v na direao da reta r

v=(2, 1, -1)

Um vetor u do plano , lembrando que A(1,2,3); pertence ao plano ,

u=(x-1,y-2,z-3)

como sao perpendiculares entao o produto escalar uv= 0 ..... entao (x-1,y-2,z-3) (2, 1, -1)=0

2x-2+y-2-z+3=0

2x+y-z-1=0

Resp

2x+y-z-1=0Como determinar a equao geral do plano perpendicular a reta r: x= 2+2t y= 1-3t z= 4t? E que tenha o ponto A(-1,2,3).A reta r tem como vetor diretor (2, -3, 4).

Um plano tem a equao:ax + by + cz + d = 0

a, b, e c so exatamente as coordenadas do vetor perpedicular ao plano, ento, valem 2, -3 e 4 respectivamente

Tendo a equao:2x -3y + 4z + d = 0e sabendo que o ponto (-1,2,-3) pertence a ele2*(-1) -3*2 +4*(-3) + d = 0-2 -6 -12 = -dd = -20

A equao :2x -3y + 4z -20 = 01)Determinar a equao geral do plano. Dados: R:{x= 2+t ; y=1-t ; z=3+2t ; e perpendicular ao plano: pi=2x+2y-3z=0 2)Determinar a equao geral do plano. Dados: R1{x=1+2t ; y=-2+3t ; z=3-t; R2{x=1-2t ; y=-2-y ; z=3+2t

1) determinar a equao geral do plano que contm a reta r; {x = 2 + t, y = 1 - t, z = 3 + 2t} e que perpendicular ao plano pi: 2x + 2y - 3z = 0 r pertence ao plano ser determinado v = (1, -1, 2) o vetor diretor da reta e n = (2, 2, - 3) normal pi tambm pertence ao plano vxn = n1 (normal ao plano) |i j k| |1 - 1 2 | = - i + 7j + 4k = (- 1, 7, 4) = n1 |2 2 -3| - x + 7y + 4z + d = 0; P = (2, 1, 3) - 2 + 7 + 12 + d = 0 d + 17 = 0 d = - 17 - x + 7y + 4z - 17 = 0 2)determinar o plano dados r1:{x = 1 + 2t, y = - 2 + 3t, z = 3 - t} P = (1, - 2, 3) e u = (2, 3, - 1) r2: {x = 1 - 2t, y = - 2 - t, z = 3 + 2t} Q = (1, - 2, 3) e v = (- 2, - 1, 2) As retas so concorrentes, pois tem um ponto em comum P = Q uxv = n |i j k| |2 3 -1| = 5i - 2j + 4k = (5, - 2, 4) = n |-2 -1 2| 5x - 2y + 4z + d = 0; P = (1, - 2, 3) 5 + 4 + 12 + d = 0 d + 21 = 0 d = - 21 5x - 2y + 4z - 21 = 0Determinar a equacao geral do plano que contem o ponto e a reta dados:?A( 1 2 1) e a reta interseo do plano pi = x-2y+z-3=0 com o plano y0zObserve: A( 1 , 2 , 1 ) e r : y0z. Soluo: y0z x = 0 , da; 0 - 2y + z - 3 = 0 - 2y + z = 3 Logo; ....{ - 2y + z = 3 r : { ....{ x = 0 Basta, encontrarmos dois pontos da reta "r", temos que : B( 0 , - 1 , 1 ) r C( 0 , 1 , 5 ) r Ento; AB = B - A = ( 0 , - 1 , 1 ) - ( 1 , 2 , 1 ) AB = ( - 1 , - 3 , 0 ) = ( d , e , f ) Ainda; AC = C - A = ( 0 , 1 , 5 ) - ( 1 , 2 , 1 ) AC = ( - 1 , - 1 , 4 ) = ( a , b , c )

Adotando o ponto A( 1 , 2 , 1 ) = A( x , y , z ), temos que: x - x.....y - y.....z - z ...a... ..... .b....... ....c... = 0 ...d.... ......e...... .....f....

x - 1.....y - 2.....z - 1 .- 1... ...- 1.... .....4.. = 0 .- 1... ...- 3... ......0..

.... ..- 1...... ...... .0 x - 1.....y - 2.....z - 1 .- 1... ...- 1.... .....4.. = 0 .- 1... ...- 3... ......0.. ... x - 1.. ....... .z - 1

3z - 3 - 4y + 8 - z + 1 + 12x - 12 = 0 12x - 4y + 2z - 6 = 0 : 2 R : 6x - 2y + z - 3 = 0

Determinar a equao geral do plano "Pi" onde as retas r e s esto contidas nesse plano:r: x = t y = 2t + 1 z = -3t - 2s: x = -1 +2ty = +4tz = 3 - 6tAchar 1 vetor em cada reta, que ser vetor do plano "Pi" produto vetorial destes 2 ser um vetor normal do plano.

Encontarando 2 pontos em r, faz t = ?, construindo um vetor com 2 pontos.para t = 0, A = (0, 1, -2)para t = 1, B = (1, 3, -5) ......... vetor AB = B - A = (1, 2, -3)

Encontarando 2 pontos em s, faz t = ?, construindo um vetor com 2 pontos.para t = 0, C = (-1, 0, 3)para t = 1, D = (1, 4, -3) ......... vetor CD = D - C = (2, 4, -6)

Os vetores so paralelos, ento retas paralelas, portanto temos que pegar um vetor formado por 1 ponto de cada reta para fazer o produto vetorial e achar um vetor normal.vetor CA = A - C = (1, 1, -5)

Produto vetorial entre os 2 vetores (NO MULTIPLOS), ser um vetor ortogonal a ambos, portanto normal a um plano que os contenham, AB ^ CA =i .. j .. k1 . 2 . -31 . 1 . -5 = -10i - 3j + k - 2k + 5j + 3i = (-7, 2, -1)

O vetor normal tem coodenadas a, b, c, ondeax + by + cz + d = 0, a equao do plano

d encontra-se substituindo um ponto qq do plano, como "Pi" contem as retas r e s, ter tb os pontos de r e s.

-7x + 2y - z + d = 0, substituindo o ponto C = (-1, 0, 3), pode ser qq ponto, teste!-7*(-1) + 2*0 - 3 + d = 0 ....... d = -4

Eq geral do plano-7x + 2y - z - 4 = 0 ou seus mltiplos, exemplo 7x - 2y + z + 4 = 0 Determine a equao geral do Plano pi que passa por A(-1,2,-1) e paralelo s retas r1 : y = x ... Z = 1 -3x . e Reta r2 = .. r2: 2x = y = 3zObserve:

Determine a equao geral do plano que passa por A( - 1 , 2 , - 1 ) e paralelo as retas

......{ y = xr: { ......{ z = 1 - 3x

e r: 2x = y = 3z

Soluo:

r: ( x , y , z ) = ( x , x , 1 - 3x ) = ( 0 , 0 , 1 ) + ( x , x , - 3x )

r: ( x , y , z ) = ( 0 , 0 , 1 ) + x.( 1 , 1 , - 3 )

Logo, o vetor diretor de rv = ( 1 , 1 , - 3 ) ( pois o mesmo paralelo a reta r).

Podemos escrever a reta r: 2x = y = 3z como :

r: x/( 1/2 ) = y/1 = z/( 1/3 )

Logo, o vetor diretor de ru = ( 1/2 , 1 , 1/3 ) ( pois o mesmo paralelo a reta r).

Da;

x - x.... y - y.....z - z...a.... ......b..... ......c.... = 0...d..... .....e...... .....f.....

Como passa por A( - 1 , 2 , - 1 ) = A( x , y , z ) ; u = ( 1/2 , 1 , 1/3 ) = ( a , b , c ) e v = ( 1 , 1 , - 3 ) = ( d , e ,f ) , vem :

x + 1.... y - 2.....z + 1.1/2.... .....1..... ..1/3.. = 0...1..... .....1...... .- 3..

.......1.... ........ ..- 3x + 1.... y - 2.....z + 1.1/2.... .....1..... ..1/3.. = 0...1..... .....1...... .- 3.......x + 1.... ......z + 1

(1/2).1.(z+1) + (x+1).1.(- 3) + 1.(y-2).(1/3) - [ (1/2).(y-2).(-3) + 1.1.(z+1) + (x+1).1.(1/3) ] = 0

[ (z + 1)/2 ] - 3x - 3 + [ ( y - 2 )/3 ] - { [ ( - 3y + 6 )/2 ] + z + 1 + [ ( x + 1 )/3 ] } = 0

[ ( - x - 1 + y - 2 )/3 ] + [ ( 3y - 6 + z + 1 )/2 ] - 3x - 3 - z - 1 = 0

[ ( - x + y - 3 )/3 ] + [ ( 3y + z - 5 )/2 ] - 3x - z - 4 = 0

( - 2x + 2y - 6 + 9y + 3z - 15 - 18x - 6z - 24 )/6 = 0

- 20x + 11y - 3z - 45 = 0 20x - 11y + 3z + 45 = 0

Portanto;

R : 20x - 11y + 3z + 45 = 0Determinar a equao geral do plano que contm os seguintes pares de retas

{x = -3+t{y = -t{z = 4

e

{ x+2/2 = y-1/-2; z = 0Observe:

Soluo:

....{ x = - 3 + 1.tr : { y = 0 - 1.t....{ z = 4 + 0.t

e

.....{ ( x + 2 )/2 = ( y - 1 )/- 2s : { .....{ z = 0

Devemos encontrar um ponto de r e um ponto de s , pois sabemos que ambos pertencer ao plano, j que as mesmas esto contidas no plano, vem;

A( - 3 , 0 , 4 ) r e

Ainda;

( x + 2 )/2 = ( y - 1 )/- 2 x + 2 = [ 2.( y - 1 ) ]/- 2 x + 2 = - ( y - 1 ) x + 2 = 1 - y

x = - 1 - y

Fazendo x = 0 , temos;

x = - 1 - y 0 = - 1 - y y = - 1

Como z = 0 , temos o seguinte ponto B( 0 , - 1 , 0 ) s e .

Por outro lado;

AB = B - A = ( 0 , - 1 , 0 ) - ( - 3 , 0 , 4 )

AB = ( 3 , - 1 , - 4 ) = ( a , b , c ) , vetor diretor do plano .

Podemos concluir que o vetor diretor da reta "r" ( 1 , - 1 , 0 ) = ( d , e , f ) tambm vetor diretor do plano , j que a mesma est contida nele.

Adotando o ponto B( 0 , - 1 , 0 ) = B( x , y , z ), temos que:

x - x.....y - y.....z - z...a... ..... .b....... ....c... = 0...d.... ......e...... .....f....

x - 0....y + 1....z - 0..3... ....- 1... ...- 4.. = 0..1...... .- 1... .....0..

... 1... ...... ......0x.......y + 1.......z3... ....- 1... ....- 4 = 01...... .- 1... ......0....x.... ..... .... .z

- 3z - 4y - 4 + z - 4x = 0

- 4x - 4y - 2z - 4 = 0 : ( - 2 )

2x + 2y + z + 2 = 0

R : 2x + 2y + z + 2 = 0Determinar uma equao geral para o plano que?Contm as retas:r:x= - 3+ty = -tz=4

e

s:x = -2 + 2ny = 1 - 2nz=0A(1,-1,0)g(-1,-1,4)

A^B=(-4,-4,-2)

-4x-4y-2z+D=08-4+D=0 ==>D=-4

-4x-4y-2z-4=0

2x + 2y + z + 2 = 0Determinar a equao geral do plano que contm o ponto A(4,1,0) e perpendicular aos planos alfa: 2x - y - 4z - 6 =0 e Beta: x + y + 2z - 3 = 0

Ora, como os planos e no so paralelos``, pois as suas normas no so mltiplas entre si, logo eles se cortam, ver figura:

http://img18.imageshack.us/img18/7239/pl

Resoluo:

: 2x - y - 4z = 6 e : x + y + 2z = 3

Vamos encontrar o vetor normal de e , respectivamente,temos:

n = (2 , - 1 , - 4)

N = (1 , 1 , 2)

Como o plano perpendicular aos planos e , logo os vetores normais de e so os vetores diretores( u e v )`` do plano , ento;

...u = n = ( a , b , c ) = (2 , - 1 , - 4)

...v = N = ( d , e , f ) = (1 , 1 , 2)

A = ( xo , yo , zo )w = ( x - xo , y - yo , z - zo ) = ( x - 4 , y - 1 , z - 0 )

...............Como u , v e w so linearmente dependentes, vem;

|x - 4....y - 1 ....z - 0||a...........b..........c..| = 0|d...........e..........f...|

.......1.............2|x - 4....y - 1....z ||2.........- 1......- 4| = 0|1...........1........2|..x - 4.............z

2.1.z + (x - 4).(-1).2 + 1(y-1).(-4) - [ 2.(y-1).2 + 1.(-1).z + (x-4).1.(-4)] = 0

2z - 2x + 8 - 4y + 4 - ( 4y - 4 - z - 4x + 16 ) = 0

- 2x + 4x - 4y - 4y + 2z + z + 12 - 12 = 0

2x - 8y + 3z = 0 equao geral do plano

R : 2x - 8y + 3z = 0

DETLHES:

Para provar , basta voc multiplicar as normas de e e igualar a zero e multiplicar as normas e e igualar a zero se zerar por que verdadeiro, certo?..m. n = 0 (2 , - 8, 3 ).(2 , - 1 , - 4) = 0 4 + 8 - 12 = 0 , ok!

..m. n = 0 (2 , - 8 , 3).(1 , 1 , 2) = 0 2 - 8 + 6 = 0 , ok

Se fosse para encontrar a equao paramtrica, teramos

{ x = xo + a + d{ y = yo + b + e{ z = zo + c + f

Obs. O plano no perpendicular ao plano , o desenho no ficou perfeito...Determinar a equao geral do plano que paralelo ao eixo dos z e que contm os pontos A (0,3,1) e B(2,0,-1).

Resposta: 3x+2y-6=0

2)Determinar a equao geral do plano que contm os seguintes pares de retas:

2) r: x = z ;y = -3e{x= -ts:{y= 1{z= 2 - t

Resposta: 2x + y - 2z + 3 = 01)A(0, 3, 1)B(2, 0, -1)

Como o plano paralelo ao eixo Z ento pode-se deduzir um outro ponto a partir do ponto A ou B.Como B(2, 0, -1) -> C(2, 0, z), onde z pode ser qualquer nmero. Para facilitar os clculos vamos fazer z=0

Assim C(2, 0, 0)

3 Pontos distintos suficiente para determinar um plano.

Equao geral do plano:ax + by + cz + d = 0

onde (a,b,c) um vetor normal ao planoe d= -(ax0 + by0 + cz0)

Clculo do vetor NormalVetor AB = B - A = (2, 0, -1) - (0, 3, 1) = (2, -3, -2)Vetor AC = C - A = (2, 0, 0) - (0, 3, 1) = (2, -3, -1)

N = Produto interno entre AB e ACAC x AB = (2, -3, -1) x (2, -3, -2) = (3, 2, 0)

Deste modo:a = 3b = 2c = 0

Clculo de 'd', sendo (x0, y0, x0) = C(2, 0, 0)d= -(ax0 + by0 + cz0)d= -(3.x0 + 2.y0 + 0.z0)d= -(3.2 + 2.0 + 0.0)d= -6

Assim:ax + by + cz + d = 03x + 2y + 0z - 6 = 03x + 2y - 6 = 0

Resp: A eq do plano : 3x + 2y - 6 = 0Que passa pelo ponto mdio do segmento de extremos A(5,-1,4) e B(-1,-7,1) e seja perpendicular a ele.ponto mdio de AB

Pm=((5-1)/2 , (-1-7)/2 , (4+1)/2 )

Pm=(2 , -4 , 5/2)

Um vetor PmB =v na direo AB

v=(-1-2 , -7+4 , 1-5/2)

v=( -3 , -3 , -3/2)

Um vetor u , que pertence ao plano que passa por Pm= (2 , -4 , 5/2) e P(x,y,z), logo

u=(x-2,y+4,z-5/2)

O produto escalar de dois vetores perpendiculares nulo.

Se u e v sao perpendiculares, entao o produto escalr uv= 0 #

logo

(x-2,y+4,z-5/2)=( -3 , -3 , -3/2)=0,,,

ou-3x+6-3y-12-3z/2+15/4=0,, multiplicando por -4 vem que

12x+12y+6z-24+48-15=0

12x+12y+6z+9=0,, dividindo por 3 fica

4x+4y+2z+3=0 ,,, que a equaao do plano procurado

Resp

4x+4y+2z+3=0

Prova

se passa por Pm=(2 , -4 , 5/2) entao substituindo teremos que ter 0

4.2+4 .-4+2 .5/2+3= 8 -16+5+3= -8 +8= 0 ,,, de acordoComo determinar a equaao geral do plano paralelo ao eixo do x e que contem os pontos A(0,3,1) e B(2,0,1)?Um plano paralelo ao eixo x, quando suas coordenadas so (x, 0, 0).

primeiro vamos calcular o vetor AB, que chamarei de v(AB);v(AB) = B - A = (2, -3, 0)

Calcular o ponto mdio PMPM = A+B/2 = (1, 3/2, 1)Agora s utilizar a expressox-x1/a = y-y1/b = z-z1/c

S que (x1, y1, z1) so as coordenadas do ponto PMS que (a, b, c) so as coordenadas do v(AB)

Paralelo ao eixo x, a =0

Como a coordenada c do vetor v(AB) nula isso significa q o plano tbm paralelo a eixo z.

Assim, a minha expresso fica simplicada:y-y1/b = 0(y - 3/2)/2 = 0y - 3/2 = 0y = 3/2ou2y - 3 =0podem ser a equao geral do plano

ou seja,

O plano perpendicular ao y porque o plano paralelo ao eixos x e z, x0z.

Dadas as retas r: x-2/2 = y/2 =z e s: x-2 = y=z obtenha uma equaao geral para o plano determinado por r e s?Para que tantos clculos para resolver essa questo,veja uma maneira bem simples e eficiente.

basta pegar (2, 0 ,0) da primeira reta ou (2 , 0 , 0) da segunda reta perceba que so os mesmos. e os valores (2, 2 ,1) reta r e (1 , 1 ,1) reta s( esses valores so os denominadores, da reta r e da reta s respectivamente,ok). montando o determinante(frmula). |x-2y-0z-0| |221| =0 |111|

|x-2yz| |221| =0 |111| 2z+2x-4+y-2y-2z-x+2=0 ---> x - y - 2 = 0---> x - y = 2 ( basta isso, no deu trabalho nenhum no mesmo)O plano contem os pontos A(1,-2,2) e B(-3,1,-2) e perpendicular ao plano 2x+y-z+8=0 como calculo isso?O problema pede uma equao geral do plano!r:x = 2 + ty = 1 - tz = 3 + 2t

(x, y, z) = (2, 1, 3) + t(1, -1, 2)

pi:2x + 2y - 3z = 0(2, 2, -3) . (x - 0, y - 0, z - 0) = 0

precisamos encontrar o vetor normal ao plano. temos que (1, -1, 2) aponta em alguma direo no plano e que (2, 2, -3) tambm. assim, o nosso vetor desejado simultaneamente perpendicular a ambos, basta fazer o produto vetorial:

/..i...j....k.//.1..-1...2./ = 3i + 4j + 2k + 2k - 4i + 3j => (-1, 7, 4)/.2...2..-3./

agora precisamos de um ponto pertencente ao plano, basta pegar um ponto da reta r ;) por exemplo: (2, 1, 3)

assim:(x - 2, y - 1, z - 3) . (-1, 7, 4) = 0-x + 2 + 7y - 7 + 4z - 12 = 0- x + 7y + 4z - 17 = 0

temos que a equao geral do plano :>>>>> [x - 7y - 4z + 17 = 0]

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Resolução de GA-Planos