Gabarito EFOMM 2012 Matemática

8/12/2019 Gabarito EFOMM 2012 Matemtica

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PROVA: 02/09/12

MATEMTICA

Questo 1

O valor do2x 0

1 1lim

x x x

(A) 2.(B) 1.(C) O.(D) 1.(E) 2.

Gabarito: Letra D.

Veja que

21 1 1 1 x 1 1 1x x x x x(x 1) x (x 1) x 1.

Logo, o limite igual ax 0

1lim 1

x 1

Questo 2

O nmero de bactrias B, numa cultura, aps t horas, B = Boekt, onde k uma constante real. Sabendo-se

que o nmero inicial de bactrias 100 e que essa quantidade duplica emln2

t2

horas, ento o nmero N

de bactrias, aps 2 horas, satisfaz:

(A) 800


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Gabarito EFOMM

Questo 3

O grfico de f(x) = (x 3)2.ex, x tem uma assntota horizontal r. Se o grfico de f intercepta r no pontoP = (a, b) , ento a2+ b.esen

2a 4a igual a:

(A) 3.(B) 2.(C) 3.(D) 2.

(E)1

.2

Gabarito: Letra A.

Uma assntota horizontal ocorre para x + ou x . fcil ver quexlim f(x)

, logo, s pode

haver assntota para x . Veja que, trocando x por t, temos:

22 xttx x

( t 3)lim f(x) lim(x 3) e lime

Esse limite nulo, pois o denominador exponencial (base > 1) e o numerador polinomial.Ento, a assntota, para x , y = 0.

A interseo com assntota pode ser obtida fazendo f(x) = 0: (x 3)2ex= 0 x = 3, pois ex> 0 paratodo x.

Ento, P = (a, b) = (3,0).

a2+ b.esen2a 4a = 32 4 3 = 3.

Questo 4

Num quadrado de lado a, inscreve-se um crculo; nesse crculo se inscreve um novo quadrado e nele umnovo crculo. Repetindo a operao indefinidamente, tem-se que a soma dos raios de todos os crculos :

(A) 2

2 1 ;2

a

(B) 2( 2 1);a

(C)2

( 2 1);2

a

(D) 2 2 1 ;a

(E)

2 2 1 .a


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PROVA: 02/09/12

Gabarito: Letra C.

Sejam Lno lado do n-simo quadrado (L1= a) e Rno raio do n-simo crculo. Tem-se:

2n

n

LR

1 1

22 2

2 2n n

n n n

R LR L L

Assim: 11 2 2 2 2n n n

n

L L RR ( PG de razo

1

2q )

Temos ento uma soma de PG infinita, donde:

inf

1 22 2 111 212

PG

aR a

Sq

Questo 5

Se os nmeros reais x e y so solues da equao2

1 11

1i

ii x iy

, ento 5x + 15y igual a:

(A) 0.(B) 1.(C) 1.

(D) 2.(E) 2.


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Gabarito EFOMM

Gabarito: Letra B.

21 1 2 1

1 11 2

1 1 1 2 2 1

2 .2 2 2 5 5

i ii i

i x yi i x yi

i

i x yi ix yi i i i

Deste modo25

x e1

.5

y

Substituindo na expresso pedida: 5x + 15y = 2 3 = 1.

Questo 6

Um cone foi formado a partir de uma chapa de ao, no formato de um setor de 12 cm de raio e ngulo centralde 120. Ento, a altura do cone :

(A) 2 2.(B) 4 2.(C) 6 2.(D) 8 2.(E) 12 2.

Gabarito: Letra D.

Podemos igualar a rea do setor rea lateral do cone para determinar o raio da base:

Asetor = Alateral

2R .120.r.g

360

2123

= r. 12 r 4cm

Utilizando o teorema de pitgoras:g = h + r12 = h + 4h = 128 h 8 2 cm


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PROVA: 02/09/12

Questo 7

Constri-se um depsito, na forma de um slido V, dentro de uma semiesfera de raio Am. O depsito formado por uma semiesfg.a de raio 1m sobreposta a um cilindro circular, dispostos conforme a figura.Ento a rea da superfcie total de V, em m2, igual a:

(A) (20 14 2) .

(B) (17 4 10) .

(C) (8 4 7) .

(D) (21 7 6) .

(E) (15 6 7) .

Gabarito: Letra E.Considerando a vista frontal do slido, temos:

Seja 01 e 02 os centros das semiesferas e T o ponto de tangncia entre as semiesferas. temos que

1 1 2 2 1 20 T 0 0 0 T 0 0 4 1 3 m .

No tringulo retngulo 0102B, temos2 2 2

1 1 2 2 10 B 0 0 0 B 0 B 16 9 7 .

A rea da superficie :Ssemiesfera+ Slateral cilindro+ Sbase+ Scoroa=2 2 2 2 22 . 1 2 . 7. 3 . ( 7) ( 7) 1 (15 6 7 ) m

Questo 8

A empresa Alfa Tecidos dispe de 5 teares que funcionam 6 horas por dia, simultaneamente. Essa empresafabrica 1800 m de tecido, com 1,20 m de largura em 4 dias. Considerando que um dos teares parou defuncionar, em quantos dias, aproximadamente, a tecelagem fabricar 2000 m do mesmo tecido, com largurade 0,80m, e com cada uma de suas mquinas funcionando 8 horas por dia?

(A) 2 dias. (D) 5 dias.(B) 3 dias. (E) 6 dias.(C) 4 dias.


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Gabarito EFOMM

Gabarito: Letra B.

Vamos calcular a velocidade de produo de cada tear, em m2/h.

Temos que 5 teares fabricam 1800 1,20 = 2160 m2de tecido em 4 dias 6 horas/dias = 24 horas de

trabalho.

Portanto, 1 tear fabrica 22160

432m5

de tecido e, 24 horas de trabalho, tendo, portanto, uma velocidade

de 2432

18 m /h24

.

Queremos calcular quantos dias 4 teares levaram para produzir 2000 0,8 = 1600 m2de tecido trabalhando

8 horas/dia. Sendo x o nmero de dias, temos que1600 25

4 18 2,78 dias.8x 9

x

Questo 9

Se1cos x senx

detseny cosy 3

, ento o valor de 3 sen(x + y) + tg (x + y) sec (x + y), para2

x y

,

igual a:

(A) 0.

(B)

1

3 .(C) 2.

(D) 3.

(E)12

.

Gabarito: Letra D.

Dado que

1cos x senx

det seny cosy 3 , temos:

cos x cos y sen x sen y = 13

cos (x + y) = 13

.

Com isso, obtemos:

E = 3 sen (x + y) + tg (x + y) sec (x + y)

= 3 sen (x + y) +sen ( ) 1cos ( ) cos ( )

x y

x y x y

= 3 sen (x + y) +sen ( ) 1

3.1 13 3

x y


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PROVA: 02/09/12

Questo 10

O valor da integral x.cos .sen x dx:

(A) cosx+c. (D) +1/4 cosx+c.(B) 1/4 cos2x+c. (E) +1/2 cos2x+c.(C) 1/2 cosx+c.

Gabarito:Letra B.

I sen cos x x dx

Usando que sen2x=2senxcosx:sen2 1

I sen22 2

1 ( cos2 ) 1

cos2 .2 2 4

xdx = x dx =

x

c x c

Obs.: Poderamos tambm resolver o problema derivando as expresses em cada alternativa.

Questo 11

Um muro ser construdo para isolar a rea de uma escola que est situada a 2km de distncia da estaodo metr. Esse muro ser erguido ao longo de todos os pontos P, tais que a razo entre a distncia de P estao do metr e a distncia de P escola constante e igual a 2 .

Em razo disso, dois postes, com uma cmera cada, sero fixados nos pontos do muro que esto sobre areta que passa pela escola e perpendicular reta que passa pelo metr e pela escola. Ento, a distnciaentre os postes, em km, ser:

(A) 2. (D) 4.

(B) 2 2. (E) 2 5.

(C) 2 3.

Gabarito: Letra D.

P

E

Q

M

2

2

Sejam E a escola e M a estao de metr.Sejam P e Q os postes, como na figura.

Fazendo PE = , temos PM = 2 .Pelo teorema de Pitgoras no PEM,temos: ( 2 )2= 2+ 22

= 2 km

Como QE tambm igual a ,

temos: PQ = 2= 4 km

Obs.: O muro tem o formato de uma circunferncia (crculo de Apolnio).


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Gabarito EFOMM

Questo 12

O grfico da funo continua y = f(X), no plano xy, uma curva situada acima do eixo x para x > 0 e possuia seguinte propiedade:A rea da regio entre a curva y= f(X) e o eixo x no intervalo a x b (a>0) igual rea entre a curvae o eixo x no intervalo ka x kb (k>0).Se a rea da regio entre a curva y = f(X) e o eixo x para x no intervalo 1 x3 o nmero A ento a reaentre a curva y= f(X) e o eixo x no intervalo 9 x 243 vale:

(A) 2A(B) 3A(C) 4A(D) 5A(E) 6A

Gabarito: Letra B.

Considere a=1, b=3.

k=9, a rea A para 9 x 27.k=27, a rea A para 27 x 81.k=81, a rea A para 81 x 243.

portanto, para 9 x 243, a rea total 3A.

Questo 13

O cdigo Morse, desenvolvido por Samuel Morse, em 1835, um sistema de representao que utilizaletras, nmeros e sinais de pontuao atravs de um sinal codificado intermitentemente por pulsos eltricos,perturbaes sonoras, sinais visuais ou sinais de rdio. Sabendo-se que um cdigo semelhante ao cdigoMorse trabalha com duas letras pr-estabelecidas, ponto e trao, e codifica com palavras de 1 a 4 letras, onmero de palavras criadas :

(A) 10. (D) 25.

(B) 15. (E) 30.(C) 20.

Gabarito: Letra E.

Com uma letra: 2 palavras.Com duas letras: 2 . 2 = 4 palavrasCom trs letras: 2 . 2 . 2 = 8 palavras.Com quatro letras: 2 . 2 . 2 . 2 = 16 palavras.O total 2 + 4 + 8 + 16 = 30.


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PROVA: 02/09/12

Questo 14

Um ponto P = (x, y), no primeiro quadrante do plano xy, situa-se no grfico de y = x2. Se o ngulo deinclinao da reta que passa por P e pela origem, ento o valor da expresso 1 + y (onde y a ordenadade P) :

(A) cos . (D) tg2.(B) cos2. (E) sen2.(C) sec2.

Gabarito: Letra: C.

P = (x, x2)

Temos2xtan x

x (veja figura)

0

P

x2

x

Ento, 2 22

1 y 1 x 1 tansec

Questo 15

A matrizA= (aij) 3x3 =2 1 1

1 1 01 2 1

define em IR os vetores

Vi = a i1

i + ai2

j + ai3

k, 1 i 3.

Se

u e

v so dois vetores em IR satisfazendo:

u paralelo, e tem mesmo sentido de

v2 e u

=3;

v paralelo, e tem mesmo sentido de

v3 e u

=2.

Ento, o produto vetorial

u x

v dado por:

(A)

3 2

(i j ( 2 1) k )2

.

(B) 3 2(i j ( 2 1)k)

.


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Gabarito EFOMM

(C) 3( 2 i j ( 2 1)k)

.

(D) 2 2(i 2 j (1 2 )k )

.

(E) 3 2(i j ( 2 1) k)

.

Gabarito: Letra A.

A segunda informao deveria ser v

= 2 e no u

= 2.

Com esta correo, temos:

u= u

.2

2

v

v

e3

3

vv v .

v

Da matriz, temos

v2 = ( 1, 1, 0) e

v3 = (1, 2 , 1).

Assim,

u = 3.(1, 2,1) 3 2 3 2

, ,02 22

e

v = 2.(1, 2,1)

(1, 2 1).2

Fazendo

u x

v, temos:

i j k3 2 3 20

2 2 3 2 3 2i .1 0. 2 j .1 1.0

2 21 2 1

3 2 3 2 3 2k. . 2 .1 (i j ( 2 1) k )

2 2 2

Questo 16

Se3

tgx secx ,2

o valor de senx + cosx vale:

(A) 7 .13

(B) 5 .13

(C) 12 .13


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PROVA: 02/09/12

(D) 15 .13

(E) 17 .13

Gabarito: Letra E.

Como3

tgx secx ,2

temossenx 1 3

,cosx cosx 2

ento2

cosx (senx 1)3

(*)

Pela relao fundamental, temos 2 24

sen x (senx 1) 19

213sen x 8senx 5 0

5senx 1ou senx .

13

No podemos ter senx = 1, pois isso daria cosx=0 e tgx no existiria.

Em (*),5 2 5 12

senx cosx 1 cosx .13 3 13 13

Portanto,5 12 17

senx cosx .13 13 13

Questo 17

P(x) um polinmio de coeficientes reais e menor grau com as propriedades abaixo:

os nmeros r1= 1, r2= i e r3= 1 i so razes da equao P(x) = O; P(O) = 4.

Ento, P ( 1) igual a:

(A) 4.

(B) 2.(C) 10.

(D) 10.

(E) 40.

Gabarito: Letra E.

Pelo teorema das Razes Complexas, como P(x) tem coeficientes reais e i e 1 i so raizes, temos que i e

1 + i tambm so razes.Deste modo, P(x) tem pelo menos 5 razes complexas: 1, i, 1 i.


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Gabarito EFOMM

Uma vez que P(x) tem o menor grau possvel, P(x) deve ser um polinmio do 5o grau. Usando a formafatorada:

P(x) = a (x 1) (x i) (x + i) ( x 1 + i) (x 1 i) = = a (x 1) (x2+ 1) (x2 2x + 2)

Porm P(0) = 4, logo: P(0) = a ( 1) 1 2 = 4 a = 2.

Assim: P ( 1) = 2 ( 2) 2 5 = 40

Questo 18

Durante o Treinamento Fsico Militar na Marinha, o uniforme usado tnis branco, short azul e camiseta

branca. Sabe-se que um determinado militar comprou um par de tnis, dois shortes e trs camisetas porR$ 100,00. E depois, dois pares de tnis, cinco shortes e oito camisetas por R$ 235,00. Quanto, ento,custaria para o militar um par de tnis, um short e uma camiseta?

(A) R$50,00. (D) R$65,00.(B) R$55,00. (E) R$70,00.(C) R$60,00.

Gabarito: Letra D.Sendo:

x: preo do par de tnis (R$)y: preo do short (R$)z: preo da camiseta (R$)

Equacionando:

x 2y 3z 100 I

2x 5y 8z 235 II

Podemos observar que obtemos a expresso pedida fazendo 3 I II

x + y + z = 65

Obs.: A partir das duas equaes, conseguimos obter y = 35 2z e x = 30 + z, mostrando que de fatoexistem valores positivos de x, y e z que satisfazem as condies do problema.


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PROVA: 02/09/12

Questo 19

Dois observadores que esto em posies coincidentes com os pontos A e B, afastados 3km entre si,medem simultaneamente o ngulo de elevao de um balo, a partir do cho, como sendo 30 e 75,respectivamente. Se o balo est diretamente acima de um ponto no segmento de reta entre A e B, ento aaltura do balo, a partir do cho, em km, :

(A) 13

(D) 23

(B) 52

(E) 32

(C) 25

Gabarito: Letra E.A figura abaixo descreve a situao apresentada no problema. O segmento CH a altura do balo.

Podemos ver que ACB 75 ABC issceles AC = 3 km.No ACH, CH = AC . sen 30 1CH 3 .

2 km

3CH km

2 .

Questo 20

O litro da gasolina comum sofreu, h alguns dias, um aumento de 7,7% e passou a custar 2,799 reais. J

o litro do lcool sofreu um aumento de 15,8%, passando a custar 2,199. reais. Sabendo que o preo docombustvel sempre cotado em milsimos de real, pode-se afirmar, aproximadamente, que a diferena dese abastecer um carro com 10 litros de gasolina e 5 litros de lcool, antes e depois ao aumento, de:

(A) R$ 2,00.(B) R$ 2,50.(C) R$ 3,00.(D) R$ 3,50.(E) R$ 4,00.


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Gabarito EFOMM

Gabarito: Letra D.Definindo:x: preo do litro da gasolina antes do aumento (R$)y: preo do litro do lcool antes do aumento (R$)

7,7x x 2,799 1,077x 2,799 x 2,599

10015,8y y 2,199 1,158y 2,199 y 1,899

100

Fazendo a diferena dos preos:10 . 2,799 + 5 . 2,199 10 . 2,599 5 . 1,899=3,5.Ento, a diferena de R$ 3,50.

PROFESSORES

Daniel Fadel

Jordan Piva

Matheus Secco

Rodrigo Villard

Sandro Davison

Documents

Gabarito EFOMM 2012 Matemática