Universidade Federal do Paran Licenciatura em Fsica lgebra
Linear Prof. Guilherme Augusto Pianezzer Gabarito Primeira
Prova
Questes Questo 1. Seja , a matriz identidade de ordem , de
maneira que a matriz definida como:
Mostre que simtrica.
Uma matriz simtrica tal que . Para o caso dado,
Mostre que
Dizemos que a inversa de , se Para o caso dado,
Questo 2. Determine para que o sistema abaixo admita soluo.
{
Neste caso, a matriz equivalente do sistema dada por:
[
]
Que pode ser transformada a partir de operaes elementares da
seguinte maneira:
[
]
[
]
[
]
[
]
E para que o sistema admita soluo necessrio que na e
portanto
Questo 3. O determinante de uma matriz triangular igual ao
produto dos elementos de sua diagonal. Mostre esta propriedade no
caso em que uma matriz triangular superior , utilizando o
desenvolvimento
de Laplace.
Sendo uma matriz triangular superior , pode-se usar o
desenvolvimento de Laplace para calcular o
determinante. Escolhendo, por exemplo, a ltima linha obtemos
que:
Entretanto, como a matriz triangular superior, . E assim,
Onde o cofator do elemento , que tambm envolve uma matriz
triangular superior. Neste caso,
Questo 4. Encontre onde
[
]
Essa questo envolveu muitos clculos e portanto teve nota
integral aquele que desenvolveu pelo menos uma
parte.
Questo 5. Prove que, dada duas matrizes de tamanho adequado,
ento
Dadas duas matrizes e , a multiplicao possvel e dada por , onde
cada
elemento obtido por . A matriz transposta
tem elementos
Onde
so os elementos de e , organizados na forma da definio da
multiplicao de matrizes.
Questo 6. Defina, formalmente, o produto de duas matrizes.
Dadas duas matrizes e , a multiplicao possvel e dada por , onde
cada
elemento obtido por .
Questo 7. Dadas as matrizes [
], [
], calcule .
Neste caso,
[
] [
] [
]
[
] [
] [
] [
] [
] [
]
[
] [
] [
]
Questo 8. Seja uma matriz quadrada de ordem 10, os quais seus
elementos so dados por:
{
Seja uma matriz com 10 linhas e 5 colunas, os quais seus
elementos so dados por:
{
Seja com elementos . Encontre . Encontre
Sendo a multiplicao possvel e uma matriz . Para encontrar o
elemento , pela definio
de multiplicao fazemos:
Repare que s assume um valor quando e portanto,
De maneira anloga,
Repare que s assume valor quando e portanto,
