Universidade Federal do Paraná Setor de tecnologia Programa de Pós-Graduação em Métodos Numéricos em Engenharia

Gabarito Exame de Seleção PPGMNE/2015 Cálculo – Prof. Guilherme Augusto Pianezzer

Questões Questão 1. (15 pontos) Discuta a continuidade de

𝒇(𝒙) − 𝒇(𝟎)

𝒙 − 𝟎

Para 𝒇(𝒙) = {𝒙 𝐬𝐢𝐧

𝟏

𝒙, 𝒔𝒆 𝒙 ≠ 𝟎

𝟎, 𝒔𝒆 𝒙 = 𝟎

Sendo

𝑔(𝑥) =𝑓(𝑥) − 𝑓(0)

𝑥 − 0

Inicialmente verifica-se a continuidade da função em 𝑥 = 𝑎 ≠ 0. Neste caso,

𝑔(𝑎) =𝑓(𝑎) − 𝑓(0)

𝑥 − 0= sin

1

𝑎= lim

𝑥→𝑎𝑔(𝑥)

Mostrando que a função é contínua para estes casos. No caso em que 𝑥 = 0,

𝑔(0) =𝑓(0) − 𝑓(0)

0 − 0=

0

0

Indicando que a função não está definida em 𝑥 = 0, indicando descontinuidade para este caso. Além disso,

lim𝑥→0

𝑔(𝑥) = lim𝑥→0

𝑥 sin1𝑥

𝑥= lim

𝑥→0sin

1

𝑥= lim

𝑢→∞sin 𝑢

Que é indeterminado em [−1,1], mais uma evidência de descontinuidade da função em 𝑥 = 0.

Questão 2. (20 pontos) A tabela abaixo mostra o número de milhões de pessoas nos Estados Unidos que viviam abaixo da linha de pobreza, em anos selecionados entre 1960 e 1999.

Ano Milhões de pessoas

Ano Milhões de pessoas

1960 39,9 1990 33,6

1965 33,2 1993 39,3

1970 25,4 1996 36,5

1975 25,9 1997 35,6

1980 29,3 1998 34,5

1986 32,4 1999 32,3

Um estudo determinou que o PIB (Produto Interno Bruto) do país (𝑷) está relacionado com a quantidade de pessoas abaixo da linha da pobreza 𝑹 a partir da seguinte relação:

𝑷 =𝑷𝟎

𝒆𝒌𝑹

Onde 𝑷𝟎 e 𝑲 são constantes de proporcionalidade arbitrárias. Estime a taxa de variação do PIB em relação ao tempo para o ano de 1997 e 1998 em função das constantes e interprete os resultados.

Pede-se para estimar a variação do PIB em relação ao tempo para 2 anos específicos. Verifica-se pelo modelo apresentado que o PIB está relacionado com a quantidade de pessoas abaixo da linha da pobreza, que por sua vez está relacionado com o tempo. Por conta disto, pode-se utilizar a regra da cadeia para determinar a taxa de variação pedida.

𝑑𝑃

𝑑𝑡=

𝑑𝑃

𝑑𝑅

𝑑𝑅

𝑑𝑡

A partir da relação dada, 𝑃 =𝑃𝑜

𝑒𝑘𝑅, determina-se 𝑑𝑃

𝑑𝑡:

𝑑𝑃

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡(

𝑃𝑜

𝑒𝑘𝑟) = −𝐾𝑃0

𝑒𝑘𝑅 = −𝐾𝑃

Entretanto, a relação entre 𝑃 e 𝑡 está descrita a partir de uma tabela. Logo, não é possível calcular a taxa de variação instantânea, mas pode-se estima-la a partir da taxa de variação média. Uma das possíveis taxas de variação média para o ano de 1997 e 1998 pode ser escrita a partir de:

𝑑𝑅

𝑑𝑡(𝑡 = 1997) ≈

∆𝑅

∆𝑡=

𝑅(1998) − 𝑅(1996)

1998 − 1996=

34,5 − 36,5

2= −1

𝑑𝑅

𝑑𝑡(𝑡 = 1998) ≈

∆𝑅

∆𝑡=

𝑅(1999) − 𝑅(1997)

1999 − 1997=

32,3 − 35,6

2= −1,65

Logo,

𝑑𝑃

𝑑𝑡(𝑡 = 1997) ≈ 1,65𝐾𝑃

𝑑𝑃

𝑑𝑡(𝑡 = 1998) ≈ 𝐾𝑃

Isso indica que a medida que de 1997 a 1998, o PIB do país estava diminuindo (Se 𝐾 > 0) ou aumentando (𝑆𝑒 𝐾 >0).

Questão 3. Para um peixe nadando a uma velocidade 𝒗 em relação à água, a energia gasta por

unidade de tempo é proporcional a 𝒗𝟑. Acredita-se que os peixes migratórios tentam minimizar a energia total requerida para nadar uma distância fixa. Se o peixe estiver nadando contra uma corrente 𝒖 (𝒖 < 𝒗), então o tempo requerido para nadar a uma distância 𝑳 é 𝑳/(𝒗 − 𝒖) e a energia total 𝑬 requerida para nadar a uma distância é dada por

𝑬(𝒗) = 𝒂𝒗𝟑.𝑳

𝒗 − 𝒖

Onde 𝒂 é uma constante de proporcionalidade.

(15 pontos) Determine o valor de 𝒗 que minimiza 𝑬.

(10 pontos) Esboce o gráfico de 𝑬.

Para encontrar o valor de 𝑣 que minimiza𝐸(𝑣), deve-se encontrar tal valor que 𝑑𝐸(𝑣)

𝑣= 0 e

𝑑2𝐸(𝑣)

𝑣2 > 0. Para a 𝐸(𝑣)

dada, deriva-se utilizando a regra da divisão. Então,

𝑑𝐸(𝑣)

𝑑𝑣= 𝑎𝐿 (

3𝑣2(𝑣 − 𝑢) − 𝑣3

(𝑣 − 𝑢)2 ) = 0

Implica

3𝑣2(𝑣 − 𝑢) − 𝑣3 = 0

3(𝑣 − 𝑢) − 𝑣 = 0

2𝑣 = 3𝑢

𝑣 =3

2𝑢

Como um dos pontos críticos. Pela derivada segunda, mostra-se que este ponto é um ponto de mínimo.

Questão 4. (10 pontos) Um líquido leva um fármaco para um órgão de volume V 𝒄𝒎𝟑/𝒔 a

uma taxa de entrada no órgão de 𝒂 𝒄𝒎𝟑/𝒔 e deixa-o a uma taxa de 𝒃 𝒄𝒎𝟑/𝒔. A concentração do líquido entrando é de 𝒄 𝒈/𝒄𝒎³. Se a concentração do fármaco no órgão no instante 𝒕 está crescendo a uma taxa de

𝒓(𝒕) =𝟏

𝑽(𝒂𝒄 − 𝒃𝒙𝟎)𝒆−

𝒃𝒕𝑽

𝒈/𝒄𝒎³/𝒔 e a concentração inicial do fármaco é de 𝒙𝟎 𝒈/𝒄𝒎³, mostre, detalhadamente, que a concentração do fármaco no instante 𝒕 é de:

𝒙(𝒕) =𝒂𝒄

𝒃+ (𝒙𝟎 −

𝒂𝒄

𝒃) 𝒆−

𝒃𝒕𝑽

A relação entre 𝑟(𝑡) e 𝑥(𝑡) pode ser expressa como:

𝑑𝑥(𝑡)

𝑑𝑡= 𝑟(𝑡)

Ou ainda:

∫ 𝑟(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑥(𝑡)

Visto que uma grandeza representa a taxa de variação no tempo da outra. Neste caso, conhecemos 𝑟(𝑡) e pede-se 𝑥(𝑡) e para isso utiliza-se a forma integral desta relação.

𝑥(𝑡) = ∫ 𝑟(𝑡)𝑑𝑡 = ∫1

𝑉(𝑎𝑐 − 𝑏𝑥0)𝑒−

𝑏𝑡𝑉 𝑑𝑡 =

1

𝑉(𝑎𝑐 − 𝑏𝑥0) ∫ 𝑒−

𝑏𝑡𝑉 𝑑𝑡 =

1

𝑉(𝑎𝑐 − 𝑏𝑥0)𝑒−

𝑏𝑡𝑉 (−

𝑉

𝑏) + 𝐾

𝑥(𝑡) = (𝑥0 −𝑎𝑐

𝑏) 𝑒−

𝑏𝑡𝑉 + 𝐾

Indicando a solução particular do problema, onde K é uma constante arbitrária. Para determina-la, sabe-se que para 𝑡 = 0, 𝑥(𝑡) = 𝑥0. Portanto,

𝑥(0) = (𝑥0 −𝑎𝑐

𝑏) + 𝐾 = 𝑥0

E assim,

𝐾 =𝑎𝑐

𝑏

Mostrando que

𝑥(𝑡) =𝑎𝑐

𝑏+ (𝑥0 −

𝑎𝑐

𝑏) 𝑒−

𝑏𝑡𝑉

Representa a concentração de fármaco no instante 𝑡.

Questão 5. (15 pontos) Com o intuito de refrear o crescimento populacional em uma ilha do Sudeste Asiático, o governo local decidiu lançar uma campanha publicitária. Sem tal controle, o governo esperaria que a taxa de crescimento populacional fosse de

𝟔𝟎𝒆𝟎,𝟎𝟐𝒕

milhares de pessoas/ano daqui a 𝒕 anos, pelos próximos cinco anos. Entretanto, se a campanha publicitária for implementada com sucesso, o governo espera que isso resulte em uma taxa de crescimento populacional de

−𝒕 + 𝟔𝟎

milhares de pessoas/ano daqui a t anos, pelos próximos cinco anos. Assumindo que a campanha seja levada a efeito, quantas pessoas a menos haverá nesse país daqui a cinco anos do que haveria se nenhum controle populacional tivesse sido imposto?

Sendo 𝑄𝑠(𝑡) a taxa de crescimento populacional sem a campanha publicitária (Em milhares de pessoas/ano), 𝑄𝑐(𝑡)

a taxa de crescimento populacional com a campanha publicitária (Em milhares de pessoas/ano), 𝑁𝑠(𝑡) o número de

pessoas esperado sem a campanha publicitária(Em milhares de pessoas) e 𝑁𝑐(𝑡) o número de pessoas esperado

com a campanha publicitária, sabe-se que existe uma relação entre 𝑄𝑠(𝑡)𝑒 𝑁𝑠(𝑡) e entre 𝑄𝑐(𝑡) e 𝑁𝑐(𝑡) dadas por

𝑄𝑠(𝑡) =𝑑𝑁𝑠(𝑡)

𝑑𝑡

𝑄𝑐(𝑡) =𝑑𝑁𝑐(𝑡)

𝑑𝑡

Ou

𝑁𝑠(𝑡) = ∫ 𝑄𝑠(𝑡)𝑑𝑡

𝑁𝑐(𝑡) = ∫ 𝑄𝑐(𝑡)𝑑𝑡

A pergunta de quantas pessoas a menos haverá no país daqui a 5 anos pode ser expressa pela relação

𝑇(5) − 𝑇(0), 𝑜𝑛𝑑𝑒

𝑇(𝑡) = 𝑁𝑠(𝑡) − 𝑁𝑐(𝑡)

Como sabe-se informações sobre as taxas de variações, pode-se encontrar a solução através das formas integrais do

problema, de modo que:

𝑇(𝑡) = ∫ 𝑄𝑠(𝑡)𝑑𝑡 − ∫ 𝑄𝑐(𝑡)𝑑𝑡

𝑇(𝑡) = ∫(𝑄𝑠(𝑡) − 𝑄𝑐(𝑡))𝑑𝑡

𝑇(𝑡) = ∫(60𝑒0,02𝑡 − (−𝑡 + 60))𝑑𝑡

Logo,

𝑇(𝑡) = ∫(60𝑒0,02𝑡 + 𝑡 − 60)𝑑𝑡

Integrando, obtem-se: (Por mudança de variáveis e pelas regras de integração)

𝑇(𝑡) = 3000𝑒0,02𝑡 +𝑡2

2− 60𝑡 + 𝐶

Nesse caso, a constante não precisa ser determinada, pois devemos saber

𝑇(5) − 𝑇(0)

Que nos leva a um total de aproximadamente 28 milhares de pessoas a menos obtidas com a aplicação das medidas

de controle populacional.

Questão 6. (15 pontos) Tanto para o cálculo da carga térmica solar quanto para o estudo da iluminação natural do Museu Oscar Niemeyer, precisa-se conhecer a área da superfície envidraçada da fachada lateral. Tem-se conhecimento das dimensões principais da fachada e de que as curvas limitantes são parábolas do 2º grau. Encontre a área do “olho”.

Sendo 𝑦 = 𝑔(𝑥) a parábola superior e 𝑦 = 𝑓(𝑥) a parábola inferior, pode-se considerar que a área do

“olho” será dada por:

𝐴 = ∫ [𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)]𝑑𝑥 35

−35

Para encontrar a parábola 𝑦 = 𝑔(𝑥), sabe-se que, para um certo sistema de coordenadas:

𝑔(−35) = 0, 𝑔(0) = 13, 𝑔(35) = 0

Sendo 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐. Como 𝑔(0) = 13, então 𝑐 = 13. Como 𝑔(−35) = 0 = 𝑔(35), temos:

𝑔(35) = 𝑎(35)2 + 35𝑏 + 13 = 0

𝑔(−35) = 𝑎(−35)2 − 35𝑏 + 13 = 0

Logo, 70𝑏 = 0. Com isso, 𝑏 = 0 e 𝑎 = −13

352

Portanto,

𝑔(𝑥) = −13

352𝑥2 + 13.

De maneira análoga, chega-se que

𝑓(𝑥) =4

352𝑥² − 4

Para obter a área:

𝐴 = ∫ [−13

352𝑥2 + 13 −

4

352𝑥2 + 4] 𝑑𝑥

35

−35

𝐴 = ∫ [−17

352𝑥2 + 17] 𝑑𝑥

35

−35

𝐴 = [−17

352

𝑥3

3+ 17𝑥]

−35

35

𝐴 = −17

352

353

3+ 17𝑥35 − (−

17

352

(−35)3

3+ 17𝑥(−35))

𝐴 = −17𝑥35

3+ 17𝑥35 −

17𝑥35

3+ 17𝑥35

𝐴 =17𝑥35𝑥4

3= 793,33𝑚²