7/27/2019 GA_cap_05

1/11

49

CLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALTICA

CAPTULO 5

RETA

Definio: Seja (r) uma reta que contm um ponto A e tem a direo de um vetor

v

, com 0v

. Para que um ponto X do 3 pertena reta (r) deve ocorrer que os

vetores AX e v

sejam paralelos. Assim, existe um escalar t tal que: vtAX

=

= vtAX

vtAX

++++==== . Esta expresso chamada de equao vetorialda reta.

Observe que, para escrevermos a equao vetorial de uma reta vtAX:)r(

+= ,

sempre necessitamos conhecer um ponto A de (r) e um vetor v

paralelo a ela. O

vetor v

chamado de vetor diretor da reta (r) e t chamado de parmetro.

Por um axioma importante da geometria plana, dois pontos distintos, A e B,

determinam uma reta. Logo, podemos escrever a equao vetorial da reta quando se

conhece dois pontos pertencentes a ela, da seguinte forma: podemos considerar o

vetor diretor da reta (r) como sendo o vetor BAouAB , pois ambos so paralelos a

reta (r), assim como podemos escolher qualquer um dos pontos A ou B e escrever

que ABtAX:)r( += ou BAtAX:)r( += ou ABtBX:)r( += ou ainda

BAtBX:)r( += .

A(r)

y

x

z

AX

v

X

A(r)

AB B

A(r)

AB B

7/27/2019 GA_cap_05

2/11

50

Por exemplo: considere a reta (r) determinada pelos pontos A(1,3,0) e B(-1,2,1).

Ento podemos escrever que ABtAX:)r( += , t )11,2(t)0,3,1(X:)r( +=

que a equao vetorial da reta (r). Assim, para cada valor real do parmetro t

substitudo na equao vetorial da reta vamos obter seus infinitos pontos, ou seja:

para 0t1 = )11,2(0)0,3,1(X1 += )r()0,3,1(X1 = ;

para 1t2 = )11,2(1)0,3,1(X2 += )r()1,4,1(X2 = ;

para 4t3 = )11,2()4()0,3,1(X3 += )r()4,7,9(X3 = ;

Assim por diante.

5.1 Equaes da Reta

Equaes Paramtricas da Reta

Sejam )z,y,x(Ae)z,y,x(X ooo onde, A o ponto conhecido da reta e X

representa qualquer ponto da reta, para algum valor de t . Seja )z,y,x(v 111=

o

vetor diretor da reta (r). Assim, sua equao vetorial vtAX:)r(

+= . Substituindo as

coordenadas de cada elemento da reta teremos:

+= t)z,y,x()z,y,x()z,y,x( 111ooo

++++====

++++====

++++====

tzzz

tyyytxxx

:)r(

1o

1o

1o

, t . Esta forma de

escrever chamada de equaes paramtricas da reta (r).

Equaes Simtricas da Reta

Das equaes paramtricas

+=

+=

+=

tzzztyyytxxx

:)r(

1o

1o

1o

, podemos escrever:

=

=

=

1

o1

o1

o

z

zzt

yyy

t

xxx

t

.

Ento:1

o

1

o

1

oz

zzy

yyx

xx:)r(

=

=

para 0ze0y,0x 111 . Esta forma de

escrever a equao da reta chamada de equaes simtricas.

5.2 Condio de alinhamento de trs pontos

Sejam )z,y,x(Pe)z,y,x(P),z,y,x(P 333322221111 trs pontos colineares, ou seja,

alinhados. Logo, eles pertencem mesma reta (r). Seja (r) a reta determinada pelos

7/27/2019 GA_cap_05

3/11

51

pontos P1 e P2. Ento 211 PPtPX:)r( += . Na forma simtrica

12

1

12

1

12

1zzzz

yyyy

xxxx

:)r(

=

=

. Como P3 pertence reta (r), ele satisfaz a equao de

(r), ou seja: 1213

12

13

12

13

zz

zz

yy

yy

xx

xx

=

=

. Esta relao chamada de condio de

alinhamento de trs pontos, desde que 0xx 12 , 0yy 12 e 0zz 12 .

Exemplo (1): Dadas as retas na forma simtrica, destacar o ponto e o vetor diretor

de cada uma.

a)2

5z1y

32x

:)r(+

==

b)2

z31y

3

2x2:)s(

==

c) 4ye5z22

31

x:)m( ==

Soluo: Lembre que, uma reta est na forma simtrica quando sua equao

escrita como1

o

1

o

1

oz

zzy

yyx

xx:)r(

=

=

para 0ze0y,0x 111 , ou seja,

quando os coeficientes das variveis x, y e z so todos iguais a 1. Neste caso, as

coordenadas )z,y,x( ooo , que aparecem no numerador destas propores so as

coordenadas do ponto A da reta e as coordenadas )z,y,x( 111 so as coordenadas do

vetor diretor.

a)

=

+=

=

)2,1,3(v)5,1,2(A

25z

11y

32x

:)r(

b) A reta (s) no est adequadamente escrita na forma simtrica. Fazendo:

12

1z

13

11

11

1y

23

22

2x2

:)s(

=

=

. Agora, na forma simtrica, vem:

=

=

+=

2,1,23

v

)3,1,1(A

23z

11y

23

1x:)s(

c) Neste caso em que temos um termo 4y = , escrevendo a equao na forma

paramtrica, vem: 4ye5z22

31

x:)m( ==

7/27/2019 GA_cap_05

4/11

52

=

+=

+=

+=

+==

+==

+==

21

,0,2v

25

,4,31

A

t21

25

z

t04y

t231

x

:)m(

21

25

zt5z2

t04y4y

t231

xt2

31

x

Exemplo (2): Dada a reta )1,3,2(t)3,1,1(X:)r( += , verificar se os pontos P(5,7,-1)

e Q(-5,-8,-2) pertencem reta.

Soluo: Se um ponto pertence a uma reta, ele deve satisfazer a equao simtrica

da reta.

1

3z

3

1y

2

1x

:)r(

+

=

=

1

31

3

17

2

15 +

=

=

)r(P222

==

13z

31y

21x

:)r(+

=

=

1

323

182

15 +=

=

)r(Q133 =

5.3 Condio de coplanaridade entre duas retas

Dizemos que duas retas so coplanares se elas esto contidas no mesmo plano.

Caso no exista um plano que as contm dizemos que elas no so coplanares. Por

exemplo: as retas r2 e r3 so coplanares, pois esto contidas no mesmo plano . Asretas r1 e r2 no so coplanares, pois esto contidas em planos distintos. O mesmo

ocorre entre as retas r1 e r3, so retas no coplanares.

Sejam 2222211111 vtAX:)r(evtAX:)r(

+=+= duas retas coplanares com

)c,b,a(A 1111 , )c,b,a(A 2222 , )z,y,x(v 1111 =

e )z,y,x(v 2222 =

. Note que, se as retas

so coplanares, ento os vetores 2121 AAev,v

so coplanares.

(r2)1A

2A

21AA

2v

1v

(r1)

r2

r1

r3

7/27/2019 GA_cap_05

5/11

53

Logo, a condio de coplanaridade entre as retas a mesma condio de

coplanaridade entre os vetores 2121 AAev,v

. Portanto:

0zyxzyx

ccbbaa

]v,v,AA[

222

111

121212

2121 =

=

5.4 Posies Relativas entre duas retas

As posies relativas entre duas retas (r1) e (r2) so divididas em dois casos:

I- Retas coplanares. Se (r1) e (r2) so retas coplanares ento suas posies relativas

so: paralelas ou concorrentes;

II- Retas no coplanares. Se (r1) e (r2) so retas no coplanares a nica posio

relativa entre elas reversas.

Existem alguns casos particulares como:

Retas coincidentes um caso particular quando as retas so paralelas. Retas perpendiculares um caso particular quando as retas so concorrentes. Retas ortogonais um caso particular quando as retas so reversas.

Para uma melhor discusso das posies relativas entre duas retas e, de umaforma fcil e rpida distinguir um caso do outro, vamos analisar cada posio relativa

entre duas retas (r1) e (r2).

Considere duas retas 11111 vtAX:)r(

+= e 22222 vtAX:)r(

+= .

I - Retas coplanares: Se as retas (r1) e (r2) so coplanares ento 0]v,v,AA[ 2121 =

.

1) Retas Paralelas: So retas coplanares, no se interceptam e o ngulo entre elas

o0= . Analisando a dependncia linear entre os vetores podemos concluir:

}v,v{ 21

LD (paralelos)

}AA,v{ 211

LI (no paralelos)

}2A1A,2v{

LI (no paralelos)

Usaremos a notao )r( 1 )r( 2 para indicar retas paralelas.

2A

1A 2A1A

2v

1v

)r( 1

)r( 2

7/27/2019 GA_cap_05

6/11

54

2) Retas Coincidentes: So retas coplanares, uma est posicionada inteiramente

sobre a outra, a interseo entre elas uma delas e o ngulo entre elas o0= .

Analisando a dependncia linear entre os vetores podemos concluir:

}v,v{ 21

LD (paralelos)

}AA,v{ 211

LD (paralelos)

}2A1A,2v{

LD (paralelos)

Usaremos a notao )r()r( 21 para indicar retas coincidentes.

3) Retas Concorrentes: So retas coplanares, se interceptam num ponto P e o

ngulo entre elas o90 . Analisando a dependncia linear e o produto escalar

entre os vetores podemos concluir:

}v,v{ 21

LI (no paralelos)

0vv 21

4) Retas Perpendiculares: So retas coplanares, se interceptam num ponto P e o

ngulo entre elas o90= . Analisando a dependncia linear e o produto escalar

entre os vetores podemos concluir:

}v,v{ 21

LI (no paralelos)0vv 21 =

Usaremos a notao )r()r( 21 para indicar retas perpendiculares.

II - Retas no coplanares: Se as retas (r1) e (r2) no so coplanares ento

0]v,v,AA[ 2121

.

1) Retas Reversas: So retas no coplanares, no se interceptam e o ngulo entre

elas o90 . Analisando a dependncia linear e o produto escalar entre os vetores

podemos concluir:

}v,v{ 21

LI (no paralelos)

0vv 21

)r()r( 21

21AA

2v

1v

1v

2v

)r( 1 )r( 2 P

)r( 1

)r( 2

1v

2v

1v

)r( 1

2v

1v

)r( 2

P

7/27/2019 GA_cap_05

7/11

55

2) Retas Ortogonais: So retas no coplanares, no se interceptam e o ngulo

entre elas o90= . Analisando a dependncia linear e o produto escalar entre os

vetores podemos concluir:

}v,v{ 21

LI (no paralelos)

0vv 21 =

Com base a anlise feita acima, sugerimos o seguinte resumo para

distinguirmos as posies relativas entre duas retas (r1) e (r2).

Resumo: Sejam 2222211111 vtAX:)r(evtAX:)r(

+=+= .

I - Retas Coplanares 0]v,v,AA[ 2121 =

1) Retas Paralelas: }v,v{ 21

LD (paralelos) e }AA,v{ 211

LI (no paralelos).

2) Retas Coincidentes: }v,v{ 21

LD (paralelos) e }AA,v{ 211

LD (paralelos).

3) Retas Concorrentes: }v,v{ 21

LI (no paralelos) e 0vv 21

.

4) Retas Perpendiculares: }v,v{ 21

LI (no paralelos) e 0vv 21 =

.

II - Retas no Coplanares 0]v,v,AA[ 2121

1) Retas Reversas: 0vv 21

2) Retas Ortogonais: 0vv 21 =

Exemplo (3): Dadas as retas35z

2y2

1x:)r(

==

+e

41z

24y

23x

:)s(+

=

=

,

verificar a posio relativa entre elas e determinar a interseo se houver.

Soluo: Para a reta (r) temos:

=

)3,1,2(v)5,2,1(A

1

1 e para (s) temos:

=

)4,2,2(v)1,4,3(A

2

2 .

Vamos determinar ]v,v,AA[ 2121

para sabermos se as retas so ou no coplanares.

Ento: 0422312624

]v,v,AA[ 2121 =

=

. Logo as retas so coplanares. Como }v,v{ 21

LI (no paralelos) e 014vv 21 =

, as retas so concorrentes e existe a interseo

entre elas que um ponto P(x,y,z). Para determinar a interseo devemos igualar as

equaes das retas (r) e (s). Assim, das retas (r) e (s) podemos escrever:

)r( 1

)r( 2

1v

2v

1v

7/27/2019 GA_cap_05

8/11

56

(r):

+==

==+

11y3z2y35z

5y2x2y2

1x

e (s):

=

=+

+=

=

9y2z2

4y4

1z

7yx2

4y23x

4y9y211y3e4y7y5y2 ==+=+= . Voltando a equao de (r) ou (s)

e fazendo y = 4, teremos, x = 3 e z = -1. Portanto, a interseo de (r) com (s) o

ponto P(3,4,-1).

Exemplo (4): Determine os pontos de furos da reta 4z4

4y3

x:)r( =

=

.

Soluo:Pontos de furo de uma reta, so os pontos P1, P2 e P3, interseo da reta

com os planos coordenados yz, xz e xy, respectivamente. Para determinar o ponto

onde a reta "fura" o plano yz, basta fazer a coordenada x = 0 na equao da reta e

determinar as outras coordenadas y e z. Analogamente para y = 0 e z = 0, para

determinar os pontos de furo sobre os planos xz e xy. Assim:

==

==

= )4,4,0(P4z

30

4z

4y30

44y

0x 1

)3,0,3(P3z

440

4z

3x4

403

x

0y 2

=

=

=

==

)0,12,12(P12y40

44y

12x403

x

0z 3

==

===

Vamos representar estes pontos no 3 e tambm a reta (r).

Exemplo (5): Determine a equao da reta (s) que perpendicular reta

)1,1,3(t)0,0,2(X:)r( += e passa pelo ponto M(2,1,-1).

(r)

P3

P2

P1

y

z

4

4

3

3

-12

12

7/27/2019 GA_cap_05

9/11

57

Soluo: Vamos determinar o ponto Q(x,y,z) que a interseo das retas (r) e (s) e

escrever a equao da (s) que passa pelos pontos M e Q da seguinte forma

QMtMX:)s( += . Pela figura podemos notar que o vetor QA paralelo ao vetor v

,

e ortogonal ao vetor QM. Ento:

= vQAv//QA

)1,1,3()z,y,x2( =

Q:

==

==

+==

zzyy

23x3x2

0vQMvQM =

08zyx30)1,1,3()z1,y1,x2( =++=

11

2

08)()23(3 ==+++

Determinando o ponto Q:

=

=

+

=

112

z

112

y

2112

3x

112

,112

,1128

Q . Assim o vetor

=

+=

119

,119

,116

112

1,112

1,1128

2QM . Com QM o vetor diretor da reta (s),

podemos tomar qualquer vetor paralelo a ele para ser o vetor diretor da reta (s). Em

particular seja )3,3,2(QM311

u ==

. Portanto a reta (s) ser escrita como

utMX

+= , ou seja, )3,3,2(t)1,1,2(X:)s( += . Na forma simtrica

31z

31y

22x

:)s(+

=

=

.

Exerccios Propostos1) Verificar a posio relativa entre as retas e determinar a interseo quando

houver:

a)214z

21y

23x

:)s(e3

1z21y

2x:)r(

+=

=

+=

+=

Resp:a) Retas perpendiculares e (r)(s)=P(-1,5,-10)

b)32z

1y21x

:)s(e3

2z4

1y3

2x:)r(

+==

=

+=

Resp:a) Retas reversas e no existe (r)(s)

Q

QM

QA v

(s)

(r)

M

A

7/27/2019 GA_cap_05

10/11

58

2) Determine a equao da reta suporte da altura relativa ao lado BC do tringulo de

vrtices A(2,2,5), B(3,0,0) e C(0,6,0). Resp: )5,0,0(t)5,2,2(X:)r( +=

3) Os pontos mdios dos lados de um tringulo so os pontos M(2,1,3), N(5,3,-1) e

P(3,-4,0). Determine a equao da reta suporte do lado deste tringulo que contm o

ponto M. Resp: X=(2,1,3)+t(2,7,-1)

4) Escreva a equaes simtricas da reta que passa pelo ponto A(5,-3,2) e paralela

ao eixo Oz. Resp: t2ze03y5x ==+=

5) Determine os valores de k para que as retas sejam coplanares:

22z

13y

k1x

:)r(

=

=

+e

31z

2ky

2x:)s(

=

= . Resp:

31

kou4k ==

COMENTRIOS IMPORTANTES

1) muito comum e at natural que se introduza o estudo da reta quando ela

definida primeiramente no 2. Muitas vezes, a reta apresentada ao aluno como o

grfico da funo linear baxy)x(f +== , sempre representada no 2 (no plano) e no

de uma forma geomtrica ou vetorial. Os cuidados que se deve tomar, neste captulo,

so: a) Ns estamos trabalhando sempre no 3 (as definies so diferentes quando

trabalhamos com o 2); b) A reta aqui definida (no 3), tem uma definio vetorial e

uma interpretao geomtrica (no apenas o grfico da funo linear).

2) Quando estamos no 2 a funo linear baxy)x(f +== , como a prpria

representao diz, temos y como funo de x, ou seja: )x(fy = . Assim, a equao de

uma reta , por exemplo: 5x2y += . No 3 a funo linear expressa na forma

baxy += e dcxz += , tanto y com z so funes de x. Logo, a equao da reta ,

por exemplo: 5x2y += e 3xz = . Note que esta forma de escrever a equao da

reta vem da forma simtrica, pois: 5x2y += 2

5yx

= e 3xz = 3zx += .

Logo 3z2

5yx +=

= .

3) muito importante o aluno saber destacar da equao simtrica da reta o seu

ponto e seu vetor diretor. Portanto, olhe o exemplo (1) e pratique um pouco.

4) Ateno s posies relativas entre retas. muito comum o aluno afirmar que as

retas so ortogonais (pertencem a planos diferentes) e achar a interseo. Ora, como

isso possvel? Na verdade no possvel.

5) Outro erro muito comum dizer que as retas so perpendiculares ou concorrentes

e no so coplanares. Ora, isso no possvel. Reveja estes conceitos novamente e

pense antes de afirmar alguma coisa.

7/27/2019 GA_cap_05

11/11

59

6) Deve-se notar que uma reta constituda de pontos. Como estamos introduzindo

os conceitos vetoriais para definirmos e trabalhamos com as retas, muito comum,

quando utilizamos as equaes da reta, confundir o que so pontos da reta e o que

so vetores paralelos ou contidos na reta. Por exemplo: Considere a reta de equao

simtrica (r):3z

13y

21x =

+= . Como comum representar um vetor expressando

somente suas coordenadas por )z,y,x(v =

, isso pode causar confuso com as

coordenadas x, y e z dos pontos da reta, ou seja, as coordenadas x, y e z que

aparecem na equao simtrica (bem como nas outras equaes)3z

13y

21x

=

+=

,

so as coordenadas dos pontos da reta e no de um vetor paralelo ou contido nela.

Um vetor s ser paralelo ou estar contido na reta se for mltiplo (ou seja, paralelo)

ao vetor diretor da reta. No entanto, para que um ponto pertena reta necessrioque ele satisfaa a equao da reta. Note que o ponto )r()3,4,3(P , pois:

33

134

213

=

+=

111 == , mas o vetor )3,4,3(v =

no paralelo reta, pois o

vetor diretor da reta )3,1,2(u =

que no mltiplo do vetor )3,4,3(v =

. J o vetor

)6,2,4(w =

paralelo reta, pois mltiplo do vetor diretor, ou seja, u2w

= , mas

o ponto de coordenadas )r()6,2,4(Q , pois:36

132

214

=

+=

21

23

.