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Considere dois planos paralelos, um carregado com carga +q e outro com carga −qde densidades constantes. Determine o módulo do campo elétrico para pontos entre os doisplanos e para pontos fora dos planos.

Dados do problema

carga do plano 1: +q ; carga do plano 2: −q .

Esquema do problema

As cargas positivasgeram um campo elétrico deafastamento da placa ( E+ ) nadireção vertical e com sentidopara cima na face superior daplaca e com sentido para baixona face inferior, as cargasnegativas geram um campoelétrico de aproximação daplaca ( E - ) na direção vertical ecom sentido para baixo na facesuperior da placa e com sentidopara cima na face inferior (figura1-A).

Vamos adotar umsistema de referência com ovetor unitário k para “fora” daplaca, no mesmo sentido docampo elétrico para a placacarregada positivamente e comsentido contrário ao campo paraa placa carregadanegativamente (figura 1-B).

Solução

Para a placa carregada positivamente vamos adotar uma superfície Gaussianaformada por um cilindro que atravessa o centro da placa, com as linhas do campo elétricoatravessando a superfície para fora (figura 2-A).

Seja um vetor unitário n perpendicular às faces superior, inferior e lateral do cilindro( AS , A I e AL ), conforme figuras 2-B e 2-C.

A Lei de Gauss no diz que

1

figura 1

figura 2

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∮A

E .d A =q0

onde a integral é a soma das integrais sobre cada uma das áreas da superfície do cilindro

∫A S

E + .dA S+∫A I

E + .dA I+∫A L

E +. dA L =qϵ0

As áreas superior e inferior são iguais a área de um círculo ( AS = A I = AC ), entãopodemos escrever

∫AC

E + .dA C+∫AC

E+ .d AC+∫A L

E+ .d A L =qϵ0

2∫A C

E + .dA C+∫AL

E+ .d A L =qϵ0

(I)

O vetor campo elétrico só possui componente na direção k, pode ser escrito como

E+ = E + k (II)

O vetor elemento de área pode ser escrito como

dA = d A n (III)

substituindo as expressões (II) e (III) em (I), obtemos

2∫A C

E + k .d A C n+∫AL

E+ k .d ALn=qϵ0

2∫A C

E + d A C k .n⏟1

+∫AL

E+ d A L k .n⏟0

=qϵ0

Observação: como k e n são vetores unitário seus módulos são iguais a 1 e como ambosestão na mesma direção e sentido nas faces superior e inferior o ângulo entre eles é nulo( θ= 0 ), assim k .n=∣k ∣∣n ∣ cos0 = 1.1 .1 = 1 . Para a face lateral do cilindro k é

perpendicular a n θ=π2 o produto escalar será k .n=∣k ∣∣n ∣ cos

π2

= 1.1.0 = 0 .

2∫A C

E + d A C =qϵ0 (IV)

A densidade superficial de cargas é dada por

=qA

q = A (V)

onde A representa a área onde as cargas estão distribuídas internamente à superfícieGaussiana (não toda a área da placa), e colocando o campo elétrico para fora da integral,substituindo a expressão (V) em (IV), temos

2 E +∫AC

d A C

⏟A

=σ Aϵ0

2

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a integral da área do círculo é igual a área A da placa, interna à superficial Gaussiana, ondeestão distribuídas as cargas, assim

2 E + A =σ Aϵ0

E+ = σ2 ϵ0

(VI)

Analogamente para a placa carregada negativamente temos a mesma superfícieGaussiana com a diferença de que as linhas do campo elétrico atravessam a superfície paradentro (figura 3-A).

O vetor unitário n tem a mesma orientação do caso anterior figuras 3-B e 3-C.Usando a Lei de Gauss novamente temos a mesma situação com a carga negativa da

placa

∫A S

E - .d AS+∫A I

E - .d A I+∫AL

E - . dA L =−qϵ0

As áreas superior e inferior são igual a área de um círculo ( AS = A I = AC ), entãopodemos escrever

∫AC

E - .d AC+∫AC

E - .dA C+∫AL

E - .d A L =−qϵ0

2∫AC

E - .d A C+∫AL

E - .d A L= −qϵ0

(VII)

O vetor campo elétrico só possui componente na direção −k com sentido contrário àorientação, é escrito como

E - =−E - k (VIII)

substituindo as expressões (III) e (VIII) em (VII), obtemos

2∫A C

−E - k .d A C n+∫A L

−E - k .d ALn= −qϵ0

−2∫AC

E - d AC k .n⏟1

−∫AL

E - d AL k .n⏟0

= −qϵ0

−2∫AC

E - d AC =−qϵ0

ϵ0

3

figura 3

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2∫A C

E - d A C =qϵ0 (IX)

substituindo a expressão (V) em (IX), temos

2 E -∫AC

d AC

⏟A

=σ Aϵ0

esta é a mesma integral calculada acima, o que nos leva ao mesmo resultado encontrado naexpressão (VI)

E - =σ

2 ϵ0(X)

Entre as placas os campos elétricos devido as placascarregadas positivamente e negativamente têm a mesma direção e omesmo sentido, assim o módulo do campo elétrico resultante (E) serádada pela soma das expressões (VI) e (X)

E = E++E -

E = σ2 ϵ0

+ σ2 ϵ0

E = 2 σ2 ϵ0

E - =σϵ0

Na região fora das placas os campos elétricos têm sentidosopostos, assim o módulo do campo elétrico resultante será dada pela diferença das expressões(VI) e (X)

E = E+−E -

E = σ2 ϵ0

− σ2 ϵ0

E - = 0

Observação: esta solução vale para pontos longe das bordas dasplacas e pequena distância de separação entre elas, onde ocampo elétrico é uniforme, região em destaque na figura 5.Próximo às bordas das placas o campo elétrico não é constantedevido ao encurvamento das linhas do campo elétrico, este é ochamado Efeito de Borda.

4

figura 4

figura 5