GEOGEBRA, UMA OPÇÃO PARA O ENSINO DE TEOREMAS PERTENCENTES

À GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA

André Luiz Ferreira Melo

Resumo

Acontecimento primordial aliado às mudanças de situações políticas e

econômicas de um determinado país é a mudança de paradigmas na educação, e levando

isto em consideração é impossível se pensar atualmente em uma sala de aula sem o

auxílio de ferramentas tecnológicas, principalmente nas aulas de matemática, onde os

problemas atuais quase sempre não podem ser resolvidos com o uso de lápis e papel.

Nesse cenário, o uso de softwares torna–se indispensável, por isso este trabalho tem a

intenção de expor algumas vantagens do uso do software Geogebra em tópicos de

geometria euclidiana plana.

Palavras–Chave: Informática e Ensino, Ensino de Matemática, Geogebra.

Introdução

É notório o fato de que, com o desenvolvimento geopolítico ocorrido até os dias

de hoje, o uso de tecnologias vem ganhando espaço em todos os setores da sociedade,

em especial nas instituições de ensino, visto sua grande importância na vida do

educando.

O uso de computadores está sendo cada vez mais vinculado à prática pedagógica

fato que gera metas a serem superadas. Prova disso é que “a chegada da Internet está

trazendo novos desafios para a sala de aula, tanto tecnológicos, quanto pedagógicos”

Moran (2004, p.14), sem falar que segundo Penteado (1999. p.309), “o trabalho com o

computador provoca mudanças na dinâmica da aula, exigindo por parte do professor

novos conhecimentos e ações”, principalmente do ponto de vista pedagógico.

No ensino de matemática, destacam–se a utilização de softwares e de ambientes

virtuais como ferramentas de auxílio ao entendimento desta ciência por parte dos

alunos. Em especial este trabalho, vem expor algumas ferramentas do software

Geogebra, um aplicativo que permite verificar algumas propriedades de geometria e

álgebra, em especial este artigo trás algumas propriedades de geometria euclidiana

plana.

O uso de informática no ensino de Matemática

Nos dias atuais tem–se o computador como um dispositivo que, dentro do

contexto escolar serve tanto como elemento de apoio ao ensino, quanto como

ferramenta no desenvolvimento de habilidades do aluno, ensinando-o a perceber seus

erros e fazendo com que o mesmo troque informações com seus semelhantes.

O computador pode ser usado como elemento de apoio

para o ensino (banco de dados, elementos visuais), mas

também como fonte de aprendizagem e como ferramenta

para o desenvolvimento de habilidades. O trabalho com

computador pode ensinar o aluno a aprender com seus

erros e a aprender junto com seus colegas, trocando suas

produções e comparando-as. (FANTI, 2004, P.1)

Segundo Miskulin (2003, P.221), “as novas tecnologias geram o maior uso da

informática e da automação nos meios de produção e serviços, implicando em novas

atitudes dos seres humanos, conseqüentemente, a função da educação e da escola deve

mudar, proporcionando formação integral do sujeito, crítica, consciente e voltada à

liberdade.”. Sendo importante a compreensão e a orientação da inserção desta

tecnologia dentro do contexto escolar, principalmente “no sentido de proporcionar aos

indivíduos o desenvolvimento de uma inteligência crítica, mais livre e criadora.”

(MISKULIN, 2003, P.219)

É fato também que a informática cada vez mais toma conta do ambiente de sala

de aula por isso “o uso do computador no ensino de Matemática é uma necessidade

atual e deve, cada vez mais, ligar-se à rotina didática dos professores e à escola em

geral.” (HENDRES, 2005, p.26).

Segundo Hendres (2005, p.26) a inclusão da informática na educação tem

ocorrido de modo muito acentuado através de softwares educativos. Com relação ao

tipo de aplicativos, o mesmo autor acrescenta que “os softwares que vêm sendo

incluídos na sala de aula possuem características as quais situam em dois paradigmas,

[...] o paradigma algoritmo-instrucionista e o heurístico-construcionista.” (HENDRES,

2005, p.26).

Variados são os tipos de softwares de ensino, alguns são comercializados, como

é o caso do Cabri-Geométri, o Poly e o Matlab, e outros são distribuídos gratuitamente,

sendo exemplos destes o Wingeon, o Winrar, o Winplot e o Geogebra o que

proporciona uma possibilidade mais realista das escolas utilizarem tais recursos.

O Geogebra

Criado por Markus Hohenwarter, o GeoGebra é um software gratuito de

matemática dinâmica que reúne recursos de geometria, álgebra e cálculo.

O GeoGebra possui todas as ferramentas tradicionais de um software de

geometria dinâmica: pontos, segmentos, retas e seções cônicas. E nele encontramos,

também, equações e coordenadas que podem ser inseridas diretamente.

O software, com relação à forma de abordagem, pode ser classificado como

instrucionista ou contrucionista.

Instrucionista quando o professor o utiliza como ferramenta de apoio na

transmissão do conhecimento e construcionista quando o aluno pode manipular o

software, internalizando alguns conhecimentos.

A utilização do Geogebra na averiguação de alguns teoremas da Geometria

Euclidiana.

Antes da exposição dos exemplos enunciaremos de modo sucinto os teoremas

citados anteriormente.

Pelo primeiro teorema, diz–se que as três alturas relativas de um triangulo

qualquer se interceptam em um único ponto, que recebe o nome de ortocentro.

Uma forma de verificar o ortocentro no Geogebra é seguindo os seguintes

passos:

1– Construir um triângulo através da ferramenta polígonos.

2– Construir as alturas, através da ferramenta reta perpendicular.

3– Marcar o ponto de intersecção das três alturas, utilizando a ferramenta

interseção de dois pontos.

Após isso o usuário fica livre para variar as posições dos vértices do triangulo e

perceber que sempre as alturas se intersectam em um ponto.

Figura 1– Um triangulo com seu ortocentro e as retas suportes às suas alturas relativas

Pelo segundo, as três medianas relativas de um triangulo qualquer interceptam–

se em um único ponto, denominado baricentro. O baricentro divide as medianas em

duas partes, onde a que contem o vértice é o dobro da outra.

Um modo de se verificar o teorema do baricentro pelo Geogebra é seguindo esta

seqüência:

1– Construir o triângulo, conforme o primeiro teorema.

2– Marcar os pontos médios dos lados do triangulo utilizando a ferramenta

Ponto Médio ou Centro.

3– Traçar os seguimentos de reta unido um vértice ao ponto médio do lado

oposto a ele.

4– Marcar o ponto de intersecção das medianas utilizando a ferramenta

interseção de dois pontos.

Em seguida o usuário pode alterar as posições dos vértices do triangulo e

perceber que sempre as medianas se intersectam em um ponto.

Figura 2– Um triangulo com seu baricentro e suas medianas relativas

Pelo terceiro teorema diz–se que as três bissetrizes relativas de um triangulo

qualquer se interceptam em um único ponto, o incentro, este é o centro da

circunferência inscrita no triangulo dado, por isso encontra–se à mesma distancia dos

três lados do triangulo.

Uma maneira de perceber o teorema do incento com o uso do Geogebra é

seguindo esta seqüência:

1– Construir o triangulo, conforme o primeiro teorema.

2– Construir as bissetrizes dos ângulos do triangulo com a ferramenta Bissetriz.

3– Marcar o ponto de intersecção das bissetrizes utilizando a ferramenta

interseção de dois pontos.

Em seguida o usuário alterna o posicionamento dos vértices do triangulo para

perceber que sempre as bissetrizes se intersectam em um ponto.

Figura 3– Um triangulo com seu incentro e suas bissetrizes relativas

Pelo quarto teorema enuncia–se que as três mediatrizes relativas de um triangulo

qualquer interceptam–se em um único ponto, a tal ponto dar-se o nome de circuncentro,

este é o centro da circunferência circunscrita no triangulo dado, por isso encontra–se

eqüidistante aos três vértices do triangulo.

Um modo aceitável de perceber o teorema do circuncento com o uso do

Geogebra é seguindo esta seqüência:

1– Construir o triangulo, conforme o primeiro teorema.

2– Construir as mediatrizes dos lados do triangulo com a ferramenta Mediatriz.

3– Marcar o ponto de intersecção das bissetrizes utilizando a ferramenta

interseção de dois pontos.

Em seguida o usuário pode alternar a posição dos vértices do triangulo e

perceber que sempre as mediatrizes se intersectam em um ponto.

Figura 4– Um triangulo com seu circuncentro e as mediatrizes relativas ao seus lados

O quinto teorema diz que existe uma reta que passa pelo circuncentro, ortocentro

e baricentro, a tal reta dar–se o nome de reta de Euler, sendo distancia entre o ortocentro

e o baricentro a metade da distancia ente o baricentro e o circuncentro.

Uma maneira de se construir a reta de Euler com o uso do Geogebra é seguindo

esta seqüência:

1– Construir o circuncentro, ortocentro e baricentro.

2– Construir a reta que passa por tais pontos com a ferramenta Reta definida por

dois pontos.

Em seguida o usuário pode alterar a posição dos vértices do triangulo e perceber

que sempre o circuncentro, ortocentro e baricentro pertencem a um reta.

Figura5– Um triangulo com seu ortocentro, baricentro e circuncentro, tendo destaque

também a reta de Euler.

Considerações Finais

Observa–se que as tecnologias estão cada vez mais presentes no cotidiano das

pessoas, e como tal, não poderia ser diferente no ambiente escolar. Neste contexto

enfatizamos a importância do uso de Informática no Ensino, em particular do software

Geogebra no Ensino de Matemática, principalmente no ensino de Geometria Euclidiana

Plana.

E importante salientar que o uso do software em si, não prova nenhum dos

teoremas, pois, a matemática, enquanto ciência utiliza–se do método dedutivo, no

entanto tal prática é de grande valia, pois, quando bem utilizada, facilita a internalização

do conhecimento exposto por parte do educando.

Concluímos que a utilização da informática, em particular de softwares, não é a

solução para o ensino de matemática, porém deve ser visto com bom olhos, pois de fato

é uma importante ferramenta em oposição à prática da aula tradicional.

Referencias

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Janeiro–RJ, SBM, 2006.

DOUCE, Osvaldo; POMPEL, José Nicolau. Fundamentos de Matemática Elementar

9: Geometria Plana. 7. ed. São Paulo–SP. Atual, 1997.

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Cabri–Geométre. 21. ed. Maringá–PR. Eduem, 2007.

HENDRES, Cláudia Assis. KAIBER, Carmen Teresa. A utilização da informática como

recurso didático nas aulas de Matemática. Acta Sientiae Revista de Ciências Naturais.

Vol. 7, n. 1, p. 25–38, Jan.Jul./2005.

MISKULIN, Rosana Giaretta Sguerra. As possibilidades didático-pedagógicas de

ambientes computacionais na formação colaborativa de professores de

Matemática. In FIORENTINI, Dário. Formação de Professores de Matemática.

Campinas–SP. Mercado de Letras, 2003, cap. 7. Pag. 217–248.

MORAN, José Manuel. Os novos espaços de atuação do professor com as tecnologias. Revista Diálogo Educacional. V. 4, n. 12, p. 13–21, Mai.Ago./2004.

PENTEADO, Miriam Godoy. Novos Atores, Novos Cenários: Discutindo a Inserção

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Pesquisa em Educação Matemática: Concepções e Perspectivas. São Paulo–SP, Editora

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