Geometria Projetiva

Definições e Transformações Projetivas

Computação Gráfica

Espaço Projetivo

Transformação Afim: T(p)=M(p-c)+T(c)Formulação mais comum: A(x)=M(x)+vDe qualquer forma: T.A.’s mantêm

invariantes relações de paralelismo.Do ponto de vista de visualização: não

deformam objetos para retratar projeção em perspectiva.

Busca-se uma forma de unificar as notações.

Modelo do Espaço Projetivo

O espaço projetivo real de dimensão n, RPn é o conjunto de todas as retas em Rn+1 que passam pela origem, excluindo a origem. Um ponto projetivo é uma classe de equivalência

nRPp

0),,...,,( 121 nxxxp

pxxxp n ),...,,( 121

ou seja:

Modelo do Espaço Projetivo

Podemos associar o com o espaço euclidiano de dimensão n+1:

nRP

)}0,...,0,0{(: 1 nn RRP

Modelo do Espaço Projetivo

O espaço projetivo pode ser decomposto em dois conjuntos: o hiperplano de Rn+1 onde xn+1=1 e o hiperplano em que xn+1=0. Em outras palavras:

)}0,,...,{(}0),,,...,{(: 1111 nnnnn xxxxxxRP

menos a origem.

Modelo do Espaço Projetivo

Modelo do Espaço Projetivo

Pontos afins:

Pontos ideais:

111

1,0),1,,...,(

nnna x

xxxp

1,0),0,,...,( 11 nni xxxp

Modelo do Espaço Projetivo

Pontos euclidianos podem ser identificados com os pontos afins. Mas, no caso geral deve-se trabalhar com as coordenadas homogêneas, da forma: , sem fazer distinção entre pontos afins e ideais.

),,...,( 11 nn xxx

Transformações Projetivas em RP3

Uma transformação projetiva T em RP3 é um operador linear em R4:

T é, portanto, dada por uma matriz M, 4 por 4. A transformação projetiva pode ser calculada como T(p)=Mp. Note que

44: RRT

0),()( pTpT

Transformações Projetivas em RP3

A interpretação desta relação é uma diferença fundamental entre as transformações Projetiva e Euclidiana.

Estrutura da matriz associada:

A-Bloco Linear (3 por 3); T-Bloco de Translação (3 por 1); P-Bloco de Perspectiva (1 por 3); S-Bloco de escalamento (1 por 1).

SP

TAM

Transformações Projetivas em RP3

Os blocos A e T correspondem a transformações afins do R3 deixando o espaço euclidiano mergulhado invariante.

O bloco P mapeia pontos afins em pontos ideais (e vice-versa), e, conseqüentemente, não deixa o espaço mergulhado invariante.

O bloco S é redundante, pois, se s é não nulo, pode-se fazer s=1.

Transformações Projetivas em RP3

Assim, além das transformações afins que já conhecemos no R3, incluindo translações, que passam a ter uma representação matricial,agora permite-se representar a projeção perspectiva para visualização: T(x,y,z)=(x,y,z,gx+hy+iz). Ela leva pontos afins em ideais e vice-versa. Um ponto ideal é mapeado num ponto afim chamado de ponto de fuga.

Transformações Projetivas em RP3

Composições de Transformações

Composição de Transformações: equivale ao produto das matrizes correspondentes.

Pode-se representar a transformação resultante de uma seqüência arbitrária de transformações como uma única matriz.

Lembre-se que a comutação de matrizes não é permitida.

A inversa de uma seqüência de transformações é dada pela concatenação das inversas das matrizes na ordem inversa.

Transformações de Objetos Geométricos

O elemento básico a ser transformado é um ponto p=(x,y,z) do espaço mergulhado. Assim, para as transformações que preservam o espaço mergulhado, pode-se utilizar a representação normalizada: p=(x,y,z,1) .

No geral, se a transformação não preservar o espaço mergulhado, pode-se sempre re-normalizá-lo, fazendo-se a “divisão homogênea”, das coordenadas pelo componente w.

Transformações de Objetos Geométricos

Esta operação corresponde a uma projeção do vetor homogêneo no espaço afim mergulhado.

p’=1/w’(x’,y’,z’,w’)=(x”,y”,z”,1)Transformações de Pontos: pode-se fazer o

produto da matriz pelo ponto através de produto escalar (3).

Transformação de Raios: aplica-se ao ponto e ao vetor diretor.

Transformações de Objetos Geométricos

Transformando Plano Tangente:

n=(a,b,c,d) é o vetor normal ao plano.

}0

1|),,,{( 4

dwczbyax

wRwzyxp

}0|)1,,,{( 4 dczbyaxRzyxp

}0),,,(),,,,(|)1,,,{( 4 wzyxdcbaRzyxp

Transformações de Objetos Geométricos

Matricialmente falando, a condição acima equivale a:

<nT,p>=0Se aplicarmos uma transformação dada pela

matriz M ao plano em questão, a condição do ponto transformado pertencer ao plano transformado corresponde a:

<nTM-1,Mp>=0

Transformações de Objetos Geométricos

Ou seja, o ponto transformado Mp está sobre o plano transformado cujo vetor normal é: nTM-1

Assim, na notação de vetor coluna:

n’=(M-1)T nNote que, no caso de matrizes ortogonais,

como no caso das rotações e reflexões:

M=(M-1)T

Transformações de Objetos Geométricos

Interpretação Dual de Transformações: Transformação de vetores Mudança entre Sistemas de Coordenadas

Transformações de Objetos Geométricos