Geometrías musicais e o mágico mundo do círculo das quintas

7/30/2019 Geometras musicais e o mgico mundo do crculo das quintas

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Turi Collura - [email protected]

PreldioDurante o encontro de hoje desejo apresentar a

vocs algumas coisas que andei descobrindo,sobre o argumento geometria musical, com refe-rncia ao crculo das quintas.

Confesso que, quando estudante de harmonia,no deixava de pesquisar o lado racional, cientfi-co-matemtico da msica. Fascinado por esselado, procurava achar frmulas, estruturas que se

repetissem, para desvendar os mistrios dessaarte. Obviamente eu tive altas referncias e ante-cessores, entre os quais meu dolo John Coltrane,o qual fazia verdadeiras viagens atravs de siste-mas planetrios; de fato ele, apaixonado pelosistema solar e pelas estrelas do universo, as quaisachava ligadas, de certa forma, espiritualidade,

andava pesquisando afinidades entre estes sistemas e as tonalidades.Falando em antecessores, cito brevemente os antigos Gregos, que costumavam dizer que ageometria "msica congelada". Para os Egipcios a geometria sagrada e a msica estavamindissoluvelmente ligadas, j que as leis geomtricas governam as relaes matemticas queformam as notas da escala e os intervalos.

A relao entre a geometria, a matemtica e a msica particularmente importante nosMandalas Budistas, cujas elaboradas geometrias so a manifestao fsica dos cantos (man-tras) usados para a meditao.Na cultura rabe, para citar outro exemplo, esta relao foi cuidadosamente guardada atravsdas decoraes dos azulejos utilizados para a construo de palcios e mesquitas.O homem ocidental, ao longo dos sculos, tentou descobrir se atrs do fenmeno musical noteria algo sobrenatural. Ao mesmo tempo, desde a antiguidade, resolveu brincar com as pro-pores geomtrico-numricas, para transform-las em msica.

Tema (misterioso ma non troppo)Apresento, agora, o sujeito principal de hoje: o crculo das quintas. O crculo foi inven-

tado por um estudioso alemo, Johann David Heinischen, o qual apresentou a idia em umescrito de 1711 (Musikalisher Crcul) e aprofundou o assunto em um escrito de 1728. Naquelapoca acabava de se estabelecer a afinao temperada, proposta por outro estudioso alemo,

Andr Werkmeister, em 1691. A proposta de Heinischen era a de representar, geometrica-mente, a relao de quintas que, atravs do novo sistema de afinao, compem a oitava tem-perada, formada por doze semitons de ugual distncia entre eles. Agora que a distncia entretodos os semitons igual, acontece que, pela primeira vez, cada tonalidade igual outra, a

no ser pela sua altura absoluta (graas a esta soluo Bach escrever, por volta deste perodo,os dois volumes do Cravo Bem Temperado, tendo, pela primeira vez, prpria disposio, 12tonalidades maiores e as relativas menores que soam da mesma forma). Naquela poca come-am os anos dourados do sistema tonal, assim como o conhecemos hoje.

AS GEOMETRIAS DO SISTEMA TONALE O MGICO MUNDO DO CRCULO DAS QUINTAS.

Palesta proferida pelo Professor Turi Collura durante a segunda Feira da Msica Capixaba,FAMES, Faculdade de Msica do Esprito Santo, Vitria, 22 de novembro de 2004.


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O Crculo das Quintas como ferramenta didtica.Acredito que a maioria de ns, hoje, conhece o crculo pela sua capacidade de nos ajudar

na computao/memorizao das tonalidades e de suas alteraes.Primeiramente convido vocs a observar como, os acidentes, sustenidos e bemis, se

adicionam, um a um, enquanto passeamos pela circunferncia, de um lado e de outro.Observem como tambm as alteraes esto, entre si, em relao de quintas (ascendentes dolado dos sustenidos e descendentes do lado dos bemis):

Do crculo representao linear das tonalidades.Tonalidades com os sustenidos:

(F#)

(F#, C#)

(F#, C#, G#)

(F#, C#, G#, D#)

(F#, ....)

(F#, ....)

(F#, ....)

(Bb)

(Bb, Eb)

(Bb, Eb, Ab)

(Bb, Eb, Ab, Db)

(Bb, ...)(Bb, ...) (Bb, ...)

7

7

7

7

7

7

7

3

3

3

3

3

3

6

6

6

6

6

2

2

2

2

5

5

5

1

1 4

G:

D:

A:

E:

B:

F#

C#

(F#)

(C# e F#)

(C#, F#, G#)

(F#, G#, C#, D#)

(C#, D#, F#, G#,A# )

(F#, G#, A#, C#, D#, E#)

(C#, D#, E#, F#, G#, A#, B#)


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A seqncia das alteraes que gradualmente aparecem nas tonalidades com os sustenidos :


Tonalidades com os bemis:

7 3 6 2 5 1 4

A seqncia das alteraes nas tonalidades com os bemis :

4 1 5 2 6 3 7

Uma comparao entre as duas seqncias apresentadas:

7 3 6 2 5 1 4

4 1 5 2 6 3 7

Tonalidades com #

Tonalidades com b

4F:

Bb:

Eb:

Ab:

Db:

Gb:

Cb:

1 4

51 4

2 51 4

62 51 4

3 62 51 4

73 62 51 4

(Bb)

(Bb, Eb)

(Eb, Ab, Bb)

(Ab, Bb, Db, Eb)

(Db, Eb, Gb, Ab, Bb )

(Gb, Ab, Bb, Cb, Db, Eb)

(Cb, Db, Eb, Fb, Gb, Ab, Bb)


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Observem como a linha que est dividindo o crculoem duas metades est indicando as notas das duas tona-

lidades: C Maior (notas: de F a B) e Gb Maior (de Cb a F).


Agora prestem ateno a esta seqncia:Trata-se do campo harmnico ordenado por quintas descendentes: (exemplo em D maior):

(F7M) Bm7(b5) Em7 Am7 Dm7 G7 C7M (F7M)

(IV) VII III VI II V I (IV)

Esta seqncia est, praticamente, base de toda a msica tonal. Vendo as coisas por este pontode vista, o crculo das quintas no mais um simples recurso para a memorizao das escalas.Ele representa, geometricamente, o sistema tonal.

O Crculo das Quintas como representao geomtrica da oitava.A diviso da oitava em duas partes iguais gera dois intervalos de trtono.

A de trtono resulta ser, em termos absolutos, a maior distncia entre dois acordes.J experimentou tocar uma seqncia composta por dois acordes cujas fundamentais distam ,entre si? Tocamos, por exemplo as duas triades de : C e Gb... Experimentamos a sonoridade.

C

Gb


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Dividindo o Crculo das Quintas em trs partes iguais.Ou seja, a representao geomtrica do acorde aumentado (e algo mais).

O tringulo representa um acorde aumentado. Geometricamente podemos constatar como, porexemplo, as notas do acorde de C aumentado so iguais s de E aumentado e de Ab aumentado(consideramos, onde for preciso, as notas enarmnicamente).

Agora eu quero o algo mais..

At agora vimos que o crculo das quintas :- Uma ferramenta didtica.- Uma representao geomtrica da escala e das tonalidades.

Mas o crculo das quintas pode-se tornar algo mais. Ele pode ser uma ferramenta para transcen-der a msica atravs da geometria. Este o caso do John Coltrane, por exemplo, que usou o cr-culo e suas geometrias, para superar as barreiras do sistema tonal caracterizado pela centralida-de da tnica e pelos acordes organizados por quintas descendentes.Em 1960 Coltrane alcana um raciocnio que marcar o, assim chamado, segundo perodo dasua carreira artstica. E este raciocnio alcanado atravs do uso do crculo das quintas.Coltrane escreve, naquele ano, uma msica: Giant Steps, ou seja, passos de gigante, nome querevela um passo maior, na sucesso de acordes do que na tpica progresso por quintasdescendentes. A msica no tem uma tonalidade, mas sim trs: B7M, G7M e Eb7M. Vale res-saltar que, por sua natureza simtrica, o acorde aumentado foi, no sculo XIX um recurso muitousado parafugir da tonalidade e modular. Claude Debussy usou muito este recurso meldica e

harmonicamente.


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A Progresso harmnica de Giant Steps (Coltrane):


Isso tudo se d apenas em dezesseis compassos. Na primeira parte da msica Coltrane colo-ca as trs tonalidades de forma descendente, alcanando cada uma delas atravs da prpriadominante (compassos 1-7). Na segunda parte da msica as trs tonalidades so ordenadasde forma ascendente, e cada uma delas alcanada atravs de um movimento cadencialIIm7-V7.

Esse caminho harmnico passou a ser chamado de Ciclo de Coltrane. A figura abaixo evi-dencia as trs tonalidades, ciclicamente em relao de tera maior, e as prprias dominantes.

No caso apresentado, mostramos como um recurso geomtrico ajudou a traar um caminhoharmnico. Antes de fechar o assunto sobre o Ciclo de Coltrane, vale ressaltar que esse autor,muitas vezes, marcou com a prpria personalidade as msicas tradicionais do repertrio jazz-stico, re-harmonizando-as, trocando os acordes originais com os do ciclo. Na pgina seguinte,por exemplo, um tradicional IIm7-V7-I turbinado com os acordes do Ciclo:


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Gran Finale com Tutti,ou seja: o que mais podemos dizer sobre o Crculo das Quintas?

Se at agora voc tinha olhado para o crculo das quintas e pensava que ele fosse somenteuma representao geomtrica das tonalidades, das alteraes das escalas maiores (e menores),e achou ele simples e incuo.. Se assim, agora o mgico crculo desvelar para voc uma mgi-ca. Vou afirmar que ele contm nada menos que ... as escalas modais (jnico, drico, frgio, etc..,para nos entendermos) derivadas pela escala maior. No acredita? Ento vamos ver:

Ldio #4JnicoMixoldio b7Drico b3, b7Elio b6, b3, b7Frgio b2, b6, b3, b7Lcrio b5, b2, b6, b3, b7

O mais claro

para

o mais escuro

Modos da Escala Maior


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As escalas modais no crculo (exemplo em d):

F# - (C Ldio)

C (Jnico)

Bb - (Mixoldio)

Bb, Eb - (Drico)

Bb, Eb, Ab - (Elio)

Bb, Eb, Ab, Db - (Frgio)

Bb, Eb, Ab, Db, Gb - (Lcrio)

Ldio #4 F#JnicoMixoldio b7 BbDrico b3, b7 Bb - EbElio b6, b3, b7 Bb - Eb - AbFrgio b2, b6, b3, b7 Bb - Eb - Ab - DbLcrio b5, b2, b6, b3, b7 Bb - Eb - Ab - Db - Gb


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Dividindo o Crculo das Quintas em quatro partes iguais.Ou seja, a representao geomtrica do acorde diminuto.

possivel inscrever trs quadrados, no crculo, cada um representando um acorde de stimadiminuta. Esse acorde , como no caso do acorde aumentado, tambm um acorde simtrico.Visualmente o crculo indica a simetria das seguintes relaes:

Coda

C = Eb = Gb = A (Bbb)

C# = E = G = Bb

D = F = Ab = B (Cb)


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Dividindo o Crculo das Quintas em seis partes iguais.Ou seja, a escala hexafonica.

possivel inscrever, no crculo, dois hexgonos, cada um representando uma escala hexagonal.Mais uma vez, geometricamente fica claro que s existem duas escalas hexafonicas.

Quando o concerto acaba, ou seja, as reflexes finais.

Chegamos ao fim dessa nossa viagem pelo mgico mundo do crculo das quintas. Maisalgumas coisas poderiam ser ditas. Para concluir, fao somente uma observao com relao sgeometrias do sistema tonal. Elas podem ser encontradas nas frases em contraponto de umafuga, ou nas composies de muitos autores (veja-se Skrjabin, por exemplo). Ainda, buscar geo-metrias no sistema tonal, significa encontrar outros mundos, mgicos tambm, na serialidade,assim como nas composies da cultura erudita de cada sculo (cada uma com as prpriascaractersticas), ou, ainda, nas msicas de outras culturas, assim como citado no comeo desteartigo.

Bom, espero ter despertado, em vocs, a curiosidade para procurar essas (e outras) geo-metras. Para cada uma vale parar para pensar o que nasceu antes: a geometria e, a partir dela,a msica, ou a msica, e a partir dela a sua representao geomtrica?


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Addendum, ou seja: a bandeira dos msicos pesquisadores.

Estava terminando de escrever este artigo quando um amigo, com o qual estava dividindoumas idias sobre o crculo, me mandou a imagem abaixo. A figura, em si, me surpreendeu muito,pela sua (pelo menos aparente) complexidade. Logo pensei que ela poderia ser, goliardicamente,o estandarte dos msicos pesquisadores, viajantes no espao sideral das tonalidades.

Ele representou o crculo de forma especular a mim, ou seja, colocando as tonalidades

com os sustenidos esquerda e as com os bemis direita. Tanto faz. A as palavras dele:

Todos os acordes dentro de um campo hormnico maior, exceto Dominante e o Meio-Diminuto, pertencem tambm a outros campos maiores. Am7, por exemplo, pode ser consideradocomo IIde G, IIIde F ou VIde C.

Claro que minhas tentativas deveriam passar pelo crculo das quartas - no seria possvel,numa combinao de ciclos, visualizar todos os acordes da mesma "famlia" (tom)?

Minha considerao inicial era a seguinte: como explicitar TODAS as relaes em um nicogrfico?

Coloquei, ento, no crculo mais externo, os acordes Maiores com Stima Maior. Depois osMenores e ento os Dominantes. Poderia ter colocado mais um crculo com os acordes do tipo Meio-Diminuto, mas no previ que talvez tivesse que fazer os crculos externos um pouco maiores. O ideal fazer 4 crculos concntricos com os acordes de cada categoria povoando cada um deles.

Cada um dos 12 pentgonos do diagrama resultante representa os acordes derivados dos 7modos de cada uma das 12 escala maiores (o campo de C est em amarelo para exemplificar). O

legal que com o jogo das intercesses s precisei citar cada acorde apenas uma vez. Que tal?.

Abdalan

Muito bem feito, Abdalan, viva a Geometria!

Turi Collura


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