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"La cultura intenta cerrar lo que la naturaleza expande"

Sergio Aschero (2016)

A Mirta Karp que con su diapasón de amor logró poner en orden todas las frecuencias de mi vida.

(Esta obra se acompaña con la escritura y el audio armónicos de todos los ejemplos numerofónicos culturales)

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Introducción.

La naturaleza unitaria (y desafinada) de las escalas culturales, no puede describir la realidad compleja de un sonido armónico por más que se intente representarlo en un espacio equivocado y por medios que no lo definen. La armonía puede entenderse como el equilibrio y la proporción entre las partes de un todo. En la física, se entiende como armónica una componente sinusoidal de una onda periódica cuya frecuencia es múltiplo de la otra componente de onda denominada fundamental.

Tal como se ha visto, para obtener un resultado armónico, hay que partir de la propia naturaleza del sonido. Todas las bases musicales 7, 12, 24, 36, 48... (temperadas o no), pueden ser útiles instrumentalmente pero resultan absolutamente inarmónicas en mayor o menor grado. Sólo las bases en cuyas frecuencias no existen decimales y que responden a 2n como eje de su desarrollo serial (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512,...), pertenecen a la naturaleza y no son discrepantes. Mediante cualquiera de dichas bases y partiendo de la serie armónica, se demuestra que primero (1º) es el único grado que en todas sus frecuencias produce la "Ley de Aschero" que señala que el único grado que multiplicado por sí mismo es igual a sí mismo es primero (1º) con lo que se fundamenta su preponderancia frente a todos los demás grados de cualquier serie.

Las escalas culturales tienen "vacíos" entre sus frecuencias, cosa que no ocurre con la serie armónica natural.

El ADN de la superposición armónica se genera a partir de las frecuencias: 4, 5, 6 y 7 Hz., proyectándose desde los infrasonidos en todas sus infinitas variables a todo el cuerpo.

Así como la naturaleza del sonido es expansiva, cada serie tiene el doble de sonidos que la anterior, en su sentido inverso es contractiva, con lo cual todas las series (al igual que los grupos) tienen un límite frecuencial determinado por la cantidad de sonidos que los integra y por el índice acústico más grave que los contiene incluyendo a los infrasonidos.

Por el contrario, en el registro agudo, la expansión es ilimitada y también abarca a los ultrasonidos.

En realidad la cultura intenta limitar desde el punto de vista acústico (las escalas lo demuestran) lo que la naturaleza expande.

El modelo de la naturaleza es transcultural y contiene todas las variables utilizadas con independencia de la geografía proponiendo al mismo tiempo una realidad sonora (y gráfica en este caso) nunca experimentada.

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Comparemos estas imágenes:

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Y a partir de aquí se inicia el análisis de los dos modelos:

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El sonido.

Lo que entendemos por sonido es fruto de una compleja interacción entre un objeto vibrante, un medio transmisor (frecuentemente el aire), el oído, y el cerebro. Para que la vibración sea audible para un ser humano, este objeto debe oscilar aproximadamente entre 16 y 20.000 veces por segundo. Al oscilar, el objeto desplaza el aire que lo rodea, comprimiendo y descomprimiendo periódicamente las moléculas que lo integran, y modificando por consiguiente la presión del aire de forma periódica. Dado que las moléculas desplazadas van empujando a las contiguas, la variación periódica de la presión se propaga originando lo que recibe el nombre de ondas sonoras. Cuando las ondas llegan al oído, el cerebro interpreta estas variaciones de presión como sonido. Si la presión del aire que circunda el oído se mantiene constante, no oímos nada, u "oímos el silencio". Las ondas sonoras se propagan en el espacio, formando invisibles esferas centradas en el objeto que oscila. Conforme aumenta la distancia al origen y el radio de estas ondas, aumenta también el volumen y la masa de aire que éstas deben desplazar, por lo que las oscilaciones se hacen cada vez más débiles (la presión del aire varía cada vez menos, aunque siga haciéndolo con la misma frecuencia) hasta que, a una cierta distancia, se tornan imperceptibles.

Este principio es válido independientemente del objeto oscilador, que puede ser por ejemplo una cuerda (guitarras, violines, pianos, cuerdas vocales, etc.), una columna de aire semicerrada y excitada por una caña o una boquilla (saxofones, flautas, trompetas, órganos, etc.), una pieza de madera, metal, piel, piedra, etc. golpeada (percusiones), o un cono de papel (altavoces). En muchos casos, los objetos que entran en vibración son en realidad varios, como es el caso de la guitarra (o de la voz) donde lo que oímos es la suma de las vibraciones de las cuerdas y de la caja.

Asimismo, cuando estas ondas encuentran un obstáculo, parte de las moléculas que las componen son absorbidas por el material, mientras que las restantes son reflejadas. Este fenómeno origina que en la mayoría de los casos, lo que nos llega al oído sea una suma del sonido directo combinado con múltiples reflexiones de este sonido, ligeramente retardadas. El tiempo de estos retardos será proporcional a la distancia adicional recorrida, teniendo en cuenta que la velocidad del sonido en el aire, es de aproximadamente 344 m/s.

Para describir un sonido musical se utilizan cuatro términos: duración, altura, intensidad y timbre.

La altura está directamente relacionada con la frecuencia de la oscilación, pero ambos términos no son sinónimos. De hecho, muchos sonidos (como los percusivos) no tienen una altura definida. El motivo de esta aparente paradoja es que, mientras la frecuencia es una propiedad física indisociable de todo aquello que, como el sonido, vibra u oscila, la altura es una cualidad subjetiva que percibimos sólo en algunos sonidos. Si golpeamos, por ejemplo, un bombo o un platillo, podremos sin duda afirmar que el platillo suena más agudo que el bombo, pero no podremos decir si estos sonidos correspondían a un Do o a un La.

¿Qué es lo que hace que un sonido posea o no una altura clara? Básicamente, su

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periodicidad. Es necesario que un sonido sea aproximadamente periódico, es decir que su frecuencia de oscilación no varíe (o varíe poco) dentro de un determinado lapso de tiempo, para que lleguemos a percibir una altura. En una escala temporal mayor, la frecuencia sí que puede variar, y en este caso, lo que percibiremos son alturas variables en el tiempo.

En la figura anterior se muestra un sonido periódico, ya que la forma de la onda se repite claramente. La frecuencia de este sonido vendrá dada por el tiempo que dura este período, ya que ambas magnitudes son inversas. Si este período durase por ejemplo una centésima de segundo, su frecuencia sería de 100 Hz.

El Hz o hertzio es la magnitud física que mide la frecuencia, e indica el número de veces por segundo que se repite determinado fenómeno.

Un fenómeno muy importante relacionado con la apreciación de las alturas, es el de la octava. Si escuchamos dos sonidos cuyas frecuencias guardan una relación de 2:1 (por ejemplo 400 Hz y 200 Hz), nos sonarán muy cercanos. El motivo es que entre los dos dista exactamente una octava. Dado que cada vez que se dobla la frecuencia se sube una octava, un sonido de 880 Hz estará dos octavas por encima de uno de 220 Hz. Esta idea de octava se repite en casi todas las culturas, a lo largo de la historia. Lo que sí varía enormemente de una cultura a otra es el número de subdivisiones que se aplican a la octava.

En la música occidental, la octava se divide en doce alturas o semitonos, de las cuales siete tienen "nombre propio" y corresponden a las teclas blancas de un piano. Las cinco restantes (que corresponden a las teclas negras) pueden tomar el nombre de la inmediatamente anterior, en cuyo caso se les añade el símbolo # (sostenido), o de bien la posterior, en cuyo caso se les añade el símbolo b (bemol). De esta forma las doce notas de una octava pueden nombrarse de dos maneras diferentes ("do, do#, re, re#, mi, fa, fa#, sol, sol#, la, la# y si", o bien "do, reb, re, mib, mi, fa, solb, sol, lab, la, sib y si"). En la nomenclatura sajona las notas se designan mediante letras mayúsculas, de acuerdo con la siguiente equivalencia:

Do Re Mi Fa Sol La Si C D E F G A B

Como ya se señaló antes de J.S.Bach (siglo XVIII), la división de la octava se basaba en las teorías del filósofo griego Pitágoras, según la cual los intervalos formados por cada nota y la siguiente no eran siempre idénticos. Para simplificar la construcción de

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instrumentos, en el siglo XVIII se decidió dividir la octava en doce partes iguales, por lo que actualmente, la relación de frecuencias entre cualquier nota y la siguiente es siempre igual a 21/12 (1.05946). De esta forma, al avanzar doce semitonos (una octava), obtenemos un factor de (21/12)12 que es efectivamente casi igual a 2.

El timbre podría definirse como el "color" de un sonido, y es lo que nos ayuda a caracterizar y distinguir diferentes tipos de instrumentos, o a reconocer a las personas por su voz. Un La de 440 Hz en una clarinete suena diferente que el mismo La en un saxo; aunque ambos tienen la misma altura, sus timbres no son iguales. En la figura que sigue se muestra fragmentos de estos dos sonidos, junto con un tercer fragmento correspondiente a onda sinusoidal pura de la misma frecuencia, nos puede ayudar a comprender la naturaleza física del timbre. En los tres fragmentos, el período es el mismo (pues tienen la misma altura), pero sus formas son diferentes.

El motivo de esta diferencia de forma, es que las ondas de los sonidos habituales son más complejas porque vibran con varias frecuencias simultáneas. En la naturaleza armónica del sonido se encuentran sonidos puros con una sola frecuencia (sinusoidales), como el de la figura, y éstos sólo son obtenibles por medios electrónicos. En los sonidos conocidos, la frecuencia de vibración más grave es la que determina normalmente el período y la altura, y se denomina frecuencia base. Las restantes frecuencias, que suelen ser múltiplos de la frecuencia base se denominan armónicos, y cada tipo de instrumento tiene, por su construcción, una serie diferente de armónicos de amplitudes diferentes, que son los que definen su timbre y otorgan las "señas de identidad" al instrumento.

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Las matemáticas relacionadas con este concepto, fueron establecidas en el siglo XIX por el físico Jean-Baptiste Fourier, que descubrió que toda señal periódica, por compleja que esta sea, puede descomponerse como una suma de señales sinusoidales armónicas, es decir de frecuencias múltiplos de la original. En la figura próxima se muestra la descomposición de una onda periódica (d) en sus varias ondas sinusoidales simples armónicas, de amplitudes diferentes. Dicho de otro modo, la señal d es la resultante de sumar de las señales a, b y c.

Cuando el sonido no es periódico, su descomposición no puede llevarse a cabo mediante frecuencias múltiplos por lo que los factores dejan de ser números enteros. En estos casos tenemos sonidos inarmónicos, en los cuales se hace difícil apreciar una altura precisa.

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Si la altura viene determinada por el número de oscilaciones por unidad de tiempo, la intensidad depende del cuadrado de la amplitud de estas oscilaciones, o la diferencia entre las presiones máxima y mínima que la onda puede alcanzar. La percepción de la intensidad sonora es, en realidad, un fenómeno auditivo muy complejo, mucho más que el de la altura, y lo que sigue es una inevitable simplificación.

Las intensidades de diferentes sonidos pueden variar, aunque parezca increíble, en varios millones de órdenes de magnitud (es decir, el sonido más intenso que podamos oír, lo será varios millones de veces más, que el más tenue). Por ello, la intensidad se mide en una escala logarítmica, los decibelios (dB), de acuerdo con la siguiente fórmula

Nivel de intensidad en decibelios (dB) = 10 x log10 (amplitud2 / amplitud referencia2)

Esta expresión determina un nivel o diferencia de intensidad entre dos amplitudes. El origen (0 dB) corresponde al umbral de audición (mínimo sonido audible). Por debajo de este valor tenemos el auténtico silencio, aunque en el mundo en que vivimos la experimentación del silencio se hace francamente difícil, por lo que muchos de nosotros probablemente no lleguemos a conocer nunca el significado real de esta palabra. Por encima de los 130 dB se produce una sensación dolorosa. Valores superiores prolongados llegan a destrozar el tímpano. En la tabla siguiente se muestran algunos valores típicos.

He aquí algunas consideraciones adicionales:

· El oído no es normalmente capaz de distinguir diferencias inferiores a 3 dB. Este dato es muy importante para entender el Modelo Armónico de Aschero.

· La intensidad de un sonido decrece aproximadamente en 6 dB cada vez que se dobla la distancia.

La diferencia entre los valores mínimos y máximos en dB, que un sistema puede producir se denomina rango dinámico. Veamos algunos valores típicos:

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Veamos con una imagen la diferencia entre la grabación analógica y la digital:

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Queda claro entonces que el sonido es el resultado de una perturbación que se propaga en un medio elástico. Por ejemplo cuando en alguna región del aire se produce una perturbación de presión, por ejemplo en la forma de una compresión, dicha región tiende a expandirse hacia las regiones vecinas. Esto produce a su vez una compresión en dichas regiones, que volverán a expandirse creando una compresión más lejos todavía. Este proceso se desarrolla en forma continua haciendo que la perturbación original se propague a través del aire alcanzando en algún momento la posición que ocupa algún receptor (por ejemplo un micrófono o un oído). El exceso de presión característico de la perturbación descripta se denomina presión sonora.

Este tipo de movimiento en el cual no es el medio en si mismo sino alguna perturbación lo que se desplaza se denomina onda. Existen muchos otros tipos de ondas, tales como las ondas de radio, la luz, la radiación del calor, las ondas sobre la superficie de un lago, los tsunamis, los movimientos sísmicos, etc. Cuando la onda tiene lugar en un medio líquido o gaseoso se denomina onda acústica. Cuando resulta audible, se llama onda sonora.

Una cuestión importante relativa a las ondas es que en las mismas hay algunas características o cualidades que se mantienen prácticamente constantes a lo largo del camino de propagación de las mismas. Entre estas características se encuentra la forma de onda y la energía total (siempre y cuando el medio sea no disipativo).

Las ondas acústicas viajan habitualmente a velocidad constante, que depende del medio y de las condiciones ambientales tales como la temperatura. A temperatura ambiente la velocidad del sonido en el aire es

c = 345 m/s .

Esto significa que para recorrer una distancia de 345 m el sonido demora 1 s. En el agua el sonido viaja más de 4 veces más rápido que en el aire. Cuando hay gradientes de temperatura (variaciones de temperatura entre dos zonas), tal como sucede entre puntos distantes algunos cientos de metros, o que se encuentran a diferentes alturas, el camino que sigue el sonido es curvilíneo en lugar de recto. Esta es la razón por la cual nuestra percepción se confunde al intentar determinar auditivamente por dónde está pasando un avión.

Ondas periódicas.

Introdujimos el concepto de propagación de las ondas mediante una única perturbación en un medio. En realidad, la mayoría de las ondas son el resultado de muchas perturbaciones sucesivas del medio, y no sólo una. Cuando dichas perturbaciones se producen a intervalos regulares y son todas de la misma forma, estamos en presencia de una onda periódica, y el número de perturbaciones por segundo se denomina frecuencia de la onda. Se expresa en Hertz (Hz), es decir ciclos por segundo (un ciclo es todo lo que sucede durante una perturbación completa). En el caso de las ondas sonoras la frecuencia está entre 20 Hz y 20000 Hz. Las ondas acústicas de menos de 20 Hz se denominan infrasonidos, y los de más de 20000 Hz se llaman ultrasonidos. Por lo general, ni unos ni otros son audibles por el ser humano. Algunos animales (por ejemplo el perro) pueden escuchar sonidos de muy baja frecuencia, tales como los creados por las ondas sísmicas durante un terremoto. Por esta razón los animales se muestran inquietos en los instantes previos a los terremotos: pueden escuchar la señal de advertencia que resulta inaudible para

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el ser humano. En forma similar, algunos animales escuchan ultrasonidos. El murciélago es un caso notable, ya que escucha sonidos de más de 100000 Hz, que le permite orientarse por medio de señales acústicas según el principio del sonar (semejante al conocido radar).

Ondas aperiódicas.

Aun cuando muchos sonidos son aproximadamente periódicos, como los sonidos producidos por los instrumentos musicales de altura determinada (guitarra, flauta, piano), la vasta mayoría de los sonidos naturales son aperiódicos, es decir que las sucesivas perturbaciones no se producen a intervalos regulares y no mantienen constante su forma de onda. Esto es lo que técnicamente se denomina ruido. Las ondas aperiódicas en general no producen sensación de altura. Algunos ejemplos son el ruido urbano, las consonantes, el ruido del mar y del mar, y el sonido de muchos instrumentos de percusión tales como los tambores o los platillos.

Espectro.

El concepto de espectro es de importancia capital en Acústica. Cuando introdujimos el concepto de frecuencia, dijimos que las ondas periódicas tienen asociada una frecuencia. Sin embargo, esto es sólo parte de la verdad, ya que por lo general dichas ondas contienen varias frecuencias a la vez. Esto se debe a un notable teorema matemático denominado Teorema de Fourier (en honor a su descubridor, el matemático francés Fourier), que afirma que cualquier forma de onda periódica puede descomponerse en una serie de ondas de una forma particular denominada onda senoidal (o senoide, o sinusoide), cada una de las cuales tiene una frecuencia que es múltiplo de la frecuencia de la onda original (frecuencia fundamental). Así, cuando escuchamos un sonido de 100 Hz, realmente estamos escuchando ondas senoidales de frecuencias 100 Hz, 200 Hz, 300 Hz, 400 Hz, 500 Hz, etc. Estas ondas senoidales se denominan armónicos del sonido original, y en muchos instrumentos musicales (como la guitarra) son claramente audibles.

¿Qué sucede con un sonido original cuya forma de onda ya es senoidal? Cuando uno intenta aplicar el teorema de Fourier a una senoide, el resultado es que tiene un solo armónico, de la misma frecuencia que la senoide original, por supuesto. (Nótese que el Teorema de Fourier no dice que todas las formas de ondas deban tener varios armónicos, sino más bien que cualquier forma de onda puede obtenerse por superposición de cierta cantidad de senoides, cantidad que puede reducirse a una sola, que es lo que ocurre con las ondas senoidales.) El hecho de que cada onda senoidal tiene una única frecuencia ha llevado a llamar también tonos puros a las ondas senoidales.

La descripción de las ondas senoidales que componen un sonido dado se denomina espectro del sonido. El espectro es importante debido a varias razones. Primero porque permite una descripción de las ondas sonoras que está íntimamente vinculada con el efecto de diferentes dispositivos y modificadores físicos del sonido. En otras palabras, si se conoce el espectro de un sonido dado, es posible determinar cómo se verá afectado por las propiedades absorbentes de una alfombra, por ejemplo. No puede decirse lo mismo en el caso en que se conozca sólo la forma de onda.

En segundo lugar, el espectro es importante porque la percepción auditiva del sonido es de naturaleza predominantemente espectral. En efecto, antes de llevar a cabo ningún otro procesamiento de la señal acústica, el oído descompone el sonido recibido en sus componentes frecuenciales, es decir en las ondas senoidales que, según el

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teorema de Fourier, conforman ese sonido. Por ese motivo, con algo de práctica es posible por ejemplo reconocer los sonidos de un grupo.

¿Qué puede decirse del espectro de los sonidos aperiódicos? El teorema de Fourier puede extenderse al caso de sonidos aperiódicos. Éstos pueden ser tan simples como los sonidos de una campana o tan complejos como el así llamado ruido blanco (un ruido similar al que capta una emisora de FM en ausencia de señal o de portadora). En el primer caso, el espectro es discreto, vale decir un conjunto de frecuencias claramente diferenciadas, aunque no serán ya múltiplos de ninguna frecuencia. Podemos tener, por ejemplo, 100 Hz, 143,3 Hz, 227,1 Hz, 631,02 Hz. En el segundo caso, tenemos ¡todas las frecuencias! Esto es lo que se denomina un espectro continuo.

Intensidad sonora.

¿Por qué algunos sonidos son más intensos que otros? Hay muchas razones, pero la causa principal es atribuible a la amplitud. La amplitud de un sonido es el máximo exceso de presión (o presión sonora) en cada ciclo. En el caso del ruido o de los sonidos aperiódicos, la amplitud puede estar cambiando continuamente.

Infrasonido.

Un infrasonido es una onda acústica u onda sonora cuya frecuencia está por debajo del espectro audible del oído humano (aproximadamente 20 Hz).

El infrasonido es utilizado por animales grandes como el elefante para comunicarse en amplias distancias (sonidos de 100 dB SPL a unos pocos kilómetros a la redonda) sin problema alguno. La clave de que estos animales puedan oír a dichas distancias es la separación de sus oídos, ya que ésta es directamente proporcional a la frecuencia de onda que pueden captar (en diferencia con los animales de cabezas pequeñas). Recientemente, se ha demostrado que los elefantes registran el infrasonido no sólo con sus oídos, sino también al sentir las vibraciones producidas por ellos mismos mediante sus patas, ya que sus uñas actúan como sensores conductores de sonidos de baja frecuencia.

Los desastres naturales como erupciones volcánicas, terremotos y tornados producen sonidos de una intensidad comparable con el sonido que hace una bomba atómica en su explosión, con la diferencia de que, al estar por debajo de los 20 Hz, no son audibles al oído humano, lo que ha permitido iniciar investigaciones vulcanológicas y meteorológicas para evitar futuros desastres.

La principal aplicación de los infrasonidos es la detección de objetos. Esto se hace debido a la escasa absorción de estas ondas en el medio, a diferencia de los ultrasonidos, como veremos. Por ejemplo una onda plana de 10 Hz se absorbe cuatro veces menos que una onda de 1000 Hz en el agua. El inconveniente es que los objetos a detectar deben ser bastante grandes ya que, a tales frecuencias, la longitud de la onda es muy grande lo cual limita el mínimo diámetro del objeto. Como ejemplo diremos que un infrasonido de 10 Hz tiene una longitud de onda de 34 m en el aire, luego los objetos a detectar deben tener un tamaño mínimo del orden de 20 m en el aire y 100 m en el agua.

Por su parte depredadores como los tigres utilizarían estas frecuencias presentes en sus rugidos como un complemento de sus tácticas de caza, no para ubicar a sus posibles presas sino por el efecto paralizante que puede llegar a tener el infrasonido.

Los infrasonidos pueden alcanzar largas distancias atravesando obstáculos sólidos. Pueden ser oídos por algunos animales con el oído adaptado a percibir frecuencias

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distintas a las del humano. Por ejemplo, los elefantes pueden oír 15 Hz a 2 km de distancia, también tigres y ballenas usarían infrasonidos para comunicarse.

Los infrasonidos son también normalmente producidos por el cuerpo humano, por ejemplo los músculos al resbalar unos sobre otros para permitir movimientos pueden producir infrasonidos de 25 Hz, el corazón produce infrasonidos en torno a los 20 Hz, incluso las orejas provocan infrasonidos (emisión otacústica espontánea).

Se considera que los infrasonidos aunque no son conscientemente perceptibles pueden provocar estados de ansiedad, tristeza, temblores en ocasiones por imperceptibles desplazamientos de aire. Por ejemplo, ondas de elevado volumen pero comprendidas entre los 0,5 y 10 Hz, son suficientes para hacer vibrar al vestíbulo (parte del laberinto auricular, en el oído interno).

Los infrasonidos producidos por motores como los de ciertos acondicionadores de aire o aviones de reacción pueden provocar vértigos, náuseas y cefaleas al ser afectado el laberinto auricular.

En 1998, Vic Tandy, de la Universidad de Coventry, explicó cómo los infrasonidos pueden producir la impresión "concreta" de "sitios embrujados". Demostró que los infrasonidos provocaban una pseudopercepción de movimientos a los costados del campo visual. Esta falsa percepción podía está provocada por un ventilador, ya que este objeto produce una frecuencia de 18,98Hz. Incidentalmente la longitud de la sala en la cual Tandy notó esos fenómenos era una fracción unitaria de la longitud de onda que provocaba el ventilador, por lo que provocaría una onda estacionaria y tal onda ilusiones ópticas al resonar en los humores de los ojos humanos, tales ilusiones eran consideradas por algunos como "fantasmas". Armónico. En mecánica ondulatoria, un armónico es el resultado de una serie de variaciones adecuadamente acomodadas en un rango o frecuencia de emisión, denominado paquete de información o fundamental. Dichos paquetes configuran un ciclo que, adecuadamente recibido, suministra a su receptor la información de cómo su sistema puede ofrecer un orden capaz de dotar al medio en el cual expresa sus propiedades de una armonía. El armónico, por lo tanto es dependiente de una variación u onda portadora.

En acústica y telecomunicaciones, un armónico de una onda es un componente sinusoidal de una señal.

En sistemas eléctricos de corriente alterna los armónicos son frecuencias múltiplos de la frecuencia fundamental de trabajo del sistema y cuya amplitud va decreciendo conforme aumenta el múltiplo.

La energía se puede definir como la capacidad de realizar un trabajo. La mínima expresión de trabajo es el movimiento. Para que exista movimiento debe existir un sistema de referencia desde el cual se perciba el diferencial. Dicho diferencial es el resultado de la variación en el medio, que bien puede manifestarse en forma de entropía o neguentropía. Ambas formas portan una huella única, en la que porta información de: Tiempo en la cual se formó, paquetes capaces de provocar movimiento, coherencia en la transacción de cargas y otros datos afines al medio: Todo esto da forma al armónico.

En acústica y telecomunicaciones, un armónico de una onda es un componente sinusoidal de una señal. Su frecuencia es un múltiplo de la fundamental. La amplitud de los armónicos más altos es mucho menor que la amplitud de la onda fundamental y tiende a cero; por este motivo los armónicos por encima del quinto o sexto generalmente son inaudibles. El concepto y la existencia de armónicos tienen su fundamento matemático en la teoría de las series de Fourier. Una de las obras clave

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en el desarrollo de acústica es el libro del físico Helmholtz "Onthesensations of tone", obra en la que describe minuciosamente sus experimentos pioneros en la determinación de los armónicos basándose en su audición mediante el diseño de aparatos resonadores y otros instrumentos.

Los armónicos son uno de los parámetros que generan el timbre característico de una fuente de sonido (ya sea una voz humana, un instrumento musical, etc.). Son, junto con los formantes y la amplitud de la onda los que permiten diferenciar un tipo de instrumento de otro, o reconocer el timbre de la voz de una persona.

Los armónicos más altos son inaudibles, y lo que da diferentes timbres a diferentes instrumentos es la amplitud y la ubicación de los primeros armónicos y los parciales. Las diferentes trayectorias de las ondas sonoras de dos instrumentos tocando al unísono es lo que permite al oyente percibirlos como dos instrumentos separados.

Por ejemplo, si dos instrumentos diferentes ejecutaran el cromáfono 1º (a la cero) (la tecla blanca central de un piano), la onda fundamental de ambos poseería la misma frecuencia (en este ejemplo 261,625 Hz o ciclos por segundo). Sus timbres son diferentes porque cada uno produce una altura de armónicos diferentes.

Cuando se ejecuta un sonido en un instrumento musical, se genera una onda de presión de aire. Esta onda sonora está acompañada por una serie de armónicos, que le dan al instrumento su timbre particular. Cada armónico de ésta serie tiene una amplitud (volumen o fuerza del sonido) diferente. Por ejemplo, en el clarinete son más fuertes los armónicos impares (el 3º, el 5º, el 7º, etc.).

A partir del quinto armónico, todos los siguientes armónicos impares suenan ligeramente desafinados con respecto al temperamento justo (que es el sistema de afinación de uso estándar en la fabricación de instrumentos desde el siglo XVII).

Serie de los armónicos de 1º.

Tabla de armónicos en la guitarra eléctrica.

Los armónicos se han utilizado como base de los diferentes sistemas de afinación como el temperamento justo, o el temperamento pitagórico. Se usan para la

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afinación de todos los instrumentos musicales, tomando un cromáfono como referencia (dada por un diapasón, por ejemplo) a partir del cual, y con relación a la serie de armónicos, se pueden afinar las otras, siguiendo las proporciones del temperamento deseado.

Los armónicos cuyas frecuencias son múltiplos enteros se denominan "parciales". Las campanas se encuentran entre los instrumentos que poseen más parciales perceptibles.

Altura. La altura es el atributo que nos permite ordenar sonidos en series, de lo más grave a lo más agudo. Hay dos teorías que intentan explicar la percepción de altura: la teoría del lugar y la temporal. La teoría del lugar afirma que el oído interno realiza una especie de análisis espectral, correspondiendo la altura que se percibe al lugar en el cual se produce la mayor excitación de la membrana basilar. La teoría temporal relaciona la altura percibida con patrones de tipo temporal en el estímulo, en particular su período. La actividad neuronal se realizaría en una relación con dichos patrones temporales. La teoría del lugar, si bien ha sido bastante comprobada en su funcionamiento hasta ahora, no es del todo comprensible cuando se trata de sonidos complejos, dado que se excitan muchos puntos de la membrana basilar a la vez, y el punto de mayor excitación no tiene por qué corresponder a la frecuencia correspondiente a la altura que se percibe (la frecuencia fundamental de un sonido no tiene por qué ser el parcial con mayor amplitud - ni siquiera tiene que estar presente, como veremos más adelante). Altura de los sonidos.

Esencialmente podemos distinguir tres tipos de sonidos:

sonidos simples (senoidales, por tanto periódicos); sonidos complejos periódicos; sonidos complejos no periódicos.

Altura en sonidos senoidales.

Existe una relación directamente proporcional entre la frecuencia y la altura de un sonido. A mayor frecuencia, mayor altura. La teoría del lugar explica razonablemente este fenómeno. Dado que el período T es la inversa de la frecuencia f, también podemos decir que existe una relación inversamente proporcional entre el período T y la altura. La teoría temporal explica también razonablemente este fenómeno.

Altura en sonidos complejos periódicos.

Los sonidos complejos periódicos producen una sensación de altura definida. Los sonidos complejos periódicos son aquéllos cuya serie de parciales es una serie armónica. Una serie de parciales es armónica cuando entre las frecuencias de sus diferentes componentes (sonidos simples, senoidales) existe una relación sencilla de números enteros o, dicho de otra forma, cuando las frecuencias de sus componentes son múltiplos enteros de una frecuencia que es generadora de la serie y llamamos frecuencia fundamental.

Si la frecuencia fundamental (nótese que sólo se puede hablar del concepto de frecuencia fundamental en el caso de sonidos complejos periódicos) de un sonido es 100 Hz, las frecuencias de los demás parciales (llamados en este caso "armónicos")

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serán 200 Hz, 300 Hz, 400 Hz, 500 Hz, 600 Hz,... y sucesivamente. En el caso que la frecuencia fundamental fuera 200 Hz, las frecuencias de los armónicos serían 400 Hz, 600 Hz, 800 Hz, 1000 Hz,... y sucesivamente.

Es importante destacar que la frecuencia fundamental es la frecuencia "generadora" de la serie, y no simplemente la más baja que aparece. Por ejemplo, en la siguiente serie 200 Hz, 300 Hz, 400 Hz, 500 Hz, 600 Hz, 700 Hz,... la frecuencia más grave presente en la serie es 200 Hz, pero la frecuencia fundamental de la serie es 100 Hz.

Esto es tanto más importante, por cuanto la ausencia (física) de la frecuencia fundamental en una serie armónica no cambia la percepción de altura de ese sonido (altura residual).

Es fácil de comprobar que el período T de un sonido complejo periódico es igual al período de su frecuencia fundamental. De ahí que -más allá de las consideraciones que haremos más adelante- a grandes rasgos se pueda decir que la altura de un sonido complejo periódico es igual a la altura de su frecuencia fundamental. Así, cuando nos referimos a, por ejemplo, 10º (a la cero) 440 Hz, nos estamos refiriendo a la frecuencia fundamental de ese sonido complejo y periódico.

En el caso de los sonidos simples la teoría del lugar puede explicar la percepción de altura. En el caso de los sonidos complejos periódicos la presencia de varias alturas simultáneamente hace que la teoría del lugar no explique claramente la percepción de altura. Esto es tanto más evidente a la luz de lo afirmado anteriormente, de que la altura de un sonido complejo periódico no cambia si la frecuencia fundamental está o no presente.

La teoría temporal es más adecuada para explicar la percepción de altura en el caso de sonidos complejos periódicos, en tanto el período está relacionado con aspectos temporales del sonido. Nótese que, en rigor, la teoría temporal también explica la percepción de altura en sonidos simples, por cuanto la frecuencia f es la inversa del período T.

Altura en sonidos complejos no periódicos.

En general, podemos decir que los sonidos complejos no periódicos producen una sensación de altura no definida. Preferimos hablar de sonidos con altura no definida, que de sonidos sin altura, porque en muchos casos sonidos complejos no periódicos producen diferentes grados de sensación de altura.

Existe un continuo entre uno y otro extremo de indefinición, desde el ruido de banda ancha que tiene una altura totalmente indefinida, al caso -por ejemplo- de las campanas, en las cuales generalmente podemos distinguir dos y hasta tres alturas. (Nótese que no por eso el sonido de las campanas pasa a tener una altura definida.)

Si un sonido no periódico tiene una cantidad suficiente de energía concentrada en una pequeña banda de frecuencias, puede producir una sensación de altura definida. De esa manera, la concentración de energía en varias bandas de frecuencias puede llevar a la distinción de diferentes alturas, como en el caso de las campanas.

En la mayoría de los sonidos complejos no periódicos es posible distinguir alturas relativas. Ello tiene que ver con la concentración de energía en una parte u otra del espectro del sonido y/o del rango de frecuencias audibles.

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Un ruido de banda angosta de 100 - 200 Hz sonará más "grave" que otro de banda entre 1900 - 2000 Hz (aunque el ancho de banda sea el mismo).

Un ruido de banda limitada, por ejemplo 200 - 3000 Hz, podrá producir sensaciones de alturas relativas diferentes si, por ejemplo, más del 70% de su energía se concentra en la banda de 300 - 400 Hz (más grave), que si la misma se concentra en la banda de 2.6 - 2.7 kHz (más agudo).

En rigor, la sensación suele ser de más "brillante" o más "opaco", pero en relación con la altura produce las sensaciones de más "agudo" o más "grave".

En una cuerda de tambores (chico, repique, piano), por ejemplo, será posible reconocer las alturas relativas de los tambores, aunque quizás en ninguno de los casos particulares tengamos una percepción de altura definida.

En general se puede afirmar que existe una relación entre la frecuencia del sonido senoidal y la altura percibida, de manera tal que a mayor frecuencia aumenta la altura. La teoría del lugar explica razonablemente este fenómeno.

Para obtener una escala de alturas se comenzó estudiando la relación entre la percepción de alturas en sonidos senoidales. Al sujeto se le pedía establecer una frecuencia para la cual la altura era el doble o la mitad de la que producía un sonido de referencia.

Para frecuencias por debajo de 1 kHz puede establecerse claramente que la mitad (o el doble) de altura está establecida por una relación de frecuencias de 2:1, lo que musicalmente se conoce como intervalo de octava.

No obstante, si se le presenta al sujeto un sonido senoidal de 8 kHz y se le pide que establezca la frecuencia para la cual se produce la mitad de la altura, en general el sujeto escogerá una frecuencia de 1.3 kHz, y no una de 4 kHz como hubiera sido de esperar.

Si bien doblando o estableciendo la mitad de la altura pueden generarse escalas de relaciones de frecuencia, no es posible establecer por este método escalas absolutas de altura. Es necesario establecer un punto de referencia para la sensación "relación de alturas" como función de la frecuencia. Parece conveniente también establecer ese punto en un lugar en que existe una proporcionalidad entre las frecuencias y sus mitades o dobles.

Los experimentos han mostrado que la altura de los sonidos senoidales no depende sólo de la frecuencia, sino también del nivel de presión sonora de los mismos. No obstante, se ha establecido que no existe una relación lineal entre la variación de una y otra, sino que el desplazamiento de altura en función del nivel de presión sonora depende de la frecuencia del sonido senoidal.

También se han podido detectar desplazamientos en la altura de sonidos senoidales si existen además otros sonidos que producen un enmascaramiento parcial.

En líneas generales se ha establecido que si los sonidos que producen el enmascaramiento parcial tienen frecuencias inferiores al sonido senoidal de referencia, el desplazamiento de altura es hacia arriba, mientras que si los sonidos que producen el enmascaramiento parcial tienen frecuencias superiores al sonido senoidal de referencia, el desplazamiento de altura es hacia abajo.

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En este caso debe tenerse en cuenta la discriminación hecha anteriormente entre lo que llamamos sonidos complejos con serie armónica y sonidos complejos con serie no armónica.

La altura que se percibe en el caso de los sonidos complejos armónicos podría ser explicada mejor por la teoría temporal. Se ha comprobado que la actividad de las neuronas se sincroniza con los patrones temporales del estímulo, de manera tal que existe un "enganche de fase". Es decir, las neuronas no se disparan necesariamente de manera sincrónica con el período de un sonido complejo, pero sí con algún múltiplo del mismo. (En rigor, las neuronas tampoco se disparan de manera exactamente sincrónica.)

Este enganche de fase no sucede para frecuencias superiores a los 5 kHz, lo que explicaría nuestra pérdida de percepción de altura a partir de dicha frecuencia.

En lo esencial, para sonidos complejos con series armónicas la altura que se produce es prácticamente igual que la que produce un sonido senoidal con una frecuencia igual a la frecuencia fundamental del sonido complejo.

No obstante, si se estudia con más detenimiento, es posible establecer que existe una desviación ente la altura producida por un sonido complejo y un sonido senoidal.

Existe una diferencia entre la frecuencia de un sonido senoidal y la frecuencia fundamental de un sonido complejo que producen la misma altura. Para una frecuencia fundamental de 400 Hz la diferencia es de aproximadamente 1% (396 Hz en el sonido senoidal), mientras que para una frecuencia fundamental de 60 Hz la diferencia es del 3% (58.2 Hz en el sonido senoidal). Puede observarse también que a partir de 1 kHz las frecuencias coinciden.

Puede afirmarse entonces que sonidos senoidales con frecuencias menores a 1 kHz producen alturas más bajas que sonidos complejos con frecuencias fundamentales iguales.

También en los sonidos complejos armónicos la altura depende del nivel de presión sonora.

Si se retira la frecuencia fundamental de un estímulo sonoro complejo con serie armónica, la altura permanece prácticamente invariable.

Un sonido con componentes senoidales 200, 400, 600, 800, 1000, 1200... Hz produce una altura correspondiente a 200 Hz, es decir, la de su frecuencia fundamental (con las consideraciones hechas anteriormente). Si se filtra la frecuencia fundamental del sonido complejo, dejando la serie 400, 600, 800, 1000, 1200... Hz, la altura percibida seguirá siendo la misma, es decir, la correspondiente a 200 Hz. Esto ha llevado a la definición de la altura residual (o virtual).

Por ejemplo, un sonido complejo armónico con frecuencia fundamental (ausente) de 50 Hz produce una altura residual si la componente más baja presente es menor a 1 kHz. Puede observarse también que un sonido complejo armónico cuya componente más baja sea 5 kHz no producirá nunca una altura residual.

Obsérvese que la figura muestra que no es ni siquiera necesario que esté ausente sólo la frecuencia fundamental para producir una altura residual, sino que puede faltar

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toda una banda de frecuencias por debajo de cierta componente, que incluye la frecuencia fundamental, para que la altura residual se produzca.

Se ha sugerido que la altura residual siempre será un subarmónico de un parcial predominante en la serie, esto es, un parcial que pueda percibirse claramente en el contexto del sonido complejo. Estos se verán favorecido si los parciales predominantes se encuentran dentro de la banda de frecuencias de 500-1500 Hz. En el caso de sonidos complejos armónicos el subarmónico en el cual se dé la mayor cantidad de coincidencias entre los tres parciales es el que determina la altura percibida. Un sonido con sólo componentes de 1.0 - 1.2 - 1.4 kHz tendrá una altura residual igual a uno complejo con frecuencia fundamental de 200 Hz. En general, la altura de sonidos complejos armónicos incompletos es análoga a la de los sonidos complejos armónicos completos, de manera que las frecuencias de la frecuencia fundamental (ausente) muestran valores negativos con respecto a la frecuencia de los sonidos senoidales, pero éstas se multiplican por un factor dos con respecto a lo que sucedía en el caso de los sonidos complejos armónicos completos. Anteriormente hablamos de la altura residual de sonidos complejos armónicos a los cuales le faltaba la frecuencia fundamental o toda una parte (inferior) de su espectro. No obstante, la relación entre las frecuencias de las distintas componentes presentes seguía correspondiendo a la de una serie armónica. Partiendo del mismo ejemplo mencionado anteriormente, componentes espectrales de 1.0 - 1.2 - 1.4 kHz, podemos desplazar la frecuencia de las mismas 20 Hz a la derecha o 20 Hz a la izquierda, generando un sonido complejo no armónico (incompleto). En este caso, el subarmónico alrededor del cual se produzca mayor cantidad de coincidencias será el que determine mejor la altura a percibir.

Parecería ser como que el sistema auditivo central, en alguna etapa de procesamiento, tratara de interpretar la serie de componentes del sonido que recibe como una serie armónica, percibiendo la altura que más se ajuste a la serie armónica posible, de la cual las componentes percibidas pudieran formar parte. Hay

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experimentos que han presentado resultados que ni la teoría del lugar ni la temporal de percepción de altura pueden explicar. Ellos apuntarían a la conclusión que, de alguna manera, la altura también es el resultado de un procesamiento a nivel central del sistema auditivo. Sujetos pudieron percibir alturas residuales en el caso de estímulos enviados diferenciadamente a los dos oídos. Cada oído recibía un sonido senoidal correspondiente a un parcial (distinto y de orden consecutivo) de un sonido complejo. En tal caso ni la teoría del lugar ni la teoría temporal pueden explicar la percepción de altura.

Otros experimentos han mostrado incluso que, bajo circunstancias especiales (un cierto pre condicionamiento y la existencia de un ruido de fondo) un sujeto puede percibir una altura residual aún cuando el estímulo contenga un solo parcial de la serie (es decir, sea un sonido senoidal).

Un ruido de banda ancha (por ejemplo, ruido blanco) no produce sensación de altura. No obstante, si limitamos el ancho de banda de un ruido (por ejemplo, blanco), podemos obtener sensaciones de altura de diferente peso.

Si le aplicamos a un ruido un filtro pasa graves o pasa agudos con una pendiente de unos 120 dB/octava obtendremos una sensación de altura correspondiente aproximadamente a la frecuencia de corte del filtro. Mientras que los filtros pasa graves producen sensaciones relativamente fuertes de altura para todas las frecuencias, en el caso de los filtros pasa agudos la sensación de altura comienza a producirse a partir de aproximadamente una frecuencia de corte de 400 Hz.

Si limitamos la banda de un ruido mediante filtros pasa graves y pasa agudos (o un filtro pasa bandas con un ancho de banda convenientemente amplio) obtendremos, como era de esperar, dos sensaciones de altura distintas, correspondientes a las frecuencias de corte de los filtros. También se aplica lo observado anteriormente, para frecuencias de corte inferiores a los 400 Hz. Se han realizado experimentos con anchos de banda de 3 kHz y de 600 hasta 200 Hz. En esto últimos casos por momentos y en relación con la frecuencia central, la sensación de altura se desplaza a la frecuencia central del filtro.

Si le aplicamos a un ruido un filtro pasa bandas con un ancho de banda suficientemente estrecho (por ejemplo, hasta alrededor de los 30 Hz), la sensación de altura producida corresponde a la frecuencia central del filtro pasa bandas.

Estos diferentes niveles de claridad en la sensación de altura llevaron al desarrollo del concepto de pitch strength.

Subarmónicos.

Empecemos por definir el término sub-armónico, en palabras simples las frecuencias sub-armónicas son frecuencias que están por debajo de la frecuencia fundamental de un oscilador en un radio de 1/x. Por ejemplo, si la frecuencia fundamental de un oscilador son 440 Hz, los sub-armónicos corresponden a 220 Hz (1/2) y 110 Hz (1/4). El sonido de una campana es un buen ejemplo de lo que estamos hablando ya que estas pueden producirlo en forma natural. Por otro lado con un violín no es posible generar una nota más baja que su nota límite, la cual depende de la longitud de la cuerda. Pero en la práctica existe un truco para burlar este límite de la física. Artistas como

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Mari Kimura consigue con su violín notas que requieren una longitud de cuerda mayor de la que tiene el instrumento emitiendo notas propias del registro de un violonchelo o una viola. La forma de lograrlo es poniendo mucha presión al momento de deslizar su arco sobre las cuerdas logrando que estas vibren con un comportamiento "no lineal" donde las ondas se modulan y de-modulan con la resonancia de las cuerdas.

Un análisis necesario empieza por el modelo de afinación temperado. En realidad podríamos decir que todos los sonidos de la escala cromática temperada están ligeramente desafinados, excepto el que produce la nota (la 4) con sus 440 Hz. o 442 Hz. Do = 261,625 Hz. Do# (Reb) = 277,182 Hz. Re = 293,664 Hz. Re# (Mib) = 311,126 Hz. Mi = 329,627 Hz. Fa = 349,228 Hz. Fa# (Solb) = 369,994 Hz. Sol = 391,995 Hz. Sol# (Lab) = 415,304 Hz. La = 440,000 Hz. (diapasón) La# (Sib) = 466,163 Hz. Si = 493,883 Hz. Do’ = 523,250 Hz. En 1936 la American Standards Association (ANSI) recomendó que se utilizase esta frecuencia de 440 Hz. Posteriormente en 1955 la International Organization for Standardization (ISO) hizo lo propio. El problema de la controversia entre esas dos frecuencias es que ninguna de las dos es la mejor ya que de acuerdo a la "Ley de Aschero" sus armónicos y subarmónicos producen discrepancias. La armonía sólo admite frecuencias de números enteros, siendo los decimales el origen de la inarmonía. La única y curiosa excepción la constituye la naturalidad del diapasón (440Hz.) Una base matemáticamente incorrecta (12) y una escritura anacrónica no pueden contener la naturaleza expansiva de los armónicos. Tal como se ha visto, para obtener un resultado armónico, hay que partir de la propia naturaleza del sonido. Todas las bases musicales 7, 12, 24, 36, 48... (temperadas o no), pueden ser útiles instrumentalmente pero resultan absolutamente inarmónicas en mayor o menor grado. Sólo las bases en cuyas frecuencias no existen decimales y que responden a 2n como eje de su desarrollo serial (2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512,...), pertenecen a la naturaleza y no son discrepantes.

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También en el desarrollo de un embrión, el óvulo fecundado comienza a dividirse y el número de células empieza a crecer: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, etc. Éste es un crecimiento exponencial. Pero el feto sólo puede crecer hasta un tamaño que el útero pueda soportar; así, otros factores comienzan a disminuir el incremento del número de células, y la tasa de crecimiento disminuye. Después de un tiempo, el niño nace y continúa creciendo. Finalmente, el número de células se estabiliza y la estatura del individuo se hace constante. Se ha alcanzado la madurez, en la que el crecimiento se detiene. En el caso de los gemelos monocigóticos, en cambio, los dos tienen el mismo origen: un solo óvulo fecundado por un solo espermatozoide. Lo que sucede es que después de haberse fusionado el material genético de la madre con el del padre, la célula resultante (conocida como cigoto) se divide muy tempranamente en dos. Los dos cigotos resultantes quedan con la misma carga genética y por eso que los bebés terminan siendo idénticos. Mediante cualquiera de dichas bases y partiendo de la serie armónica, se demuestra que (primero) equivalente al (do físico) es el único grado que multiplicado por sí mismo es igual a sí mismo (siempre sigue siendo primero (do) con lo que se fundamenta su preponderancia frente a todos los demás grados de la serie. Cada nuevo número armónico "suena" siempre al doble de la frecuencia del anterior desde 1 Hz. hasta el infinito. Estos números en realidad son siempre un 1 fecundado (que alumbra un 2) y en su replicación binaria nunca pierde su identidad inicial. Con lo cual el Diapasón Numérofónico establece una afinación de 256 Hz. (1º a la cero en la Numerofonía) equivalente a (do 4). A continuación demostraré las diferencias: 1) Análisis de las frecuencias: 432 Hz., 440 Hz., 256 Hz. 432 Hz. (432:2 = 216 Hz.) (216:2 = 108 Hz.) (108:2 = 54 Hz.) (54:2 = 27 Hz.) El límite subarmónico es 27 Hz. 440 Hz. (440:2 = 220 Hz.) (220:2 = 110 Hz.) (110:2 = 55 Hz.) El límite subarmónico es 55 Hz. 256 Hz. (256:2 = 128 Hz.) (128:2 = 64 Hz.) (64:2 = 32 Hz.) (32:2 = 16 Hz.) (16:2 = 8 Hz.) (8:2 = 4 Hz.) (4:2 = 2Hz.) (2:2 = 1 Hz.) El límite subarmónico es 1 Hz. Evidentemente la mejor frecuencia es cuanto a los subarmónicos es 256 Hz. 432 Hz. (432 x 432 = 186624 Hz.) (432 x 2 = 864 x 2 = 1728 x 2 = 3456 x 2 = 6912 x 2 = 13824 x 2 = 27648 x 2 = 55296 x 2 = 110592 Hz.) Conclusión: "la" x "la" ≠ "la" (contradice la Ley de Aschero) 440 Hz. (440 x 440 = 193600 Hz.) (440 x 2 = 880 x 2 = 1760 x 2 = 3520 x 2 = 7040 x 2 = 14080 x 2 = 28160 x 2 = 56320 x 2 = 112640 Hz.) Conclusión: "la" x "la" ≠ "la" (contradice la Ley de Aschero)

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256 Hz. (256 x 256 = 65536 Hz.) (256 x 2 = 512 x 2 = 1024 x 2 = 2048 x 2 = 4096 x 2 = 8192 x 2 = 16384 x 2 = 32768 x 2 = 65536 Hz.) Conclusión: "do" x "do" = "do" 1º x 1º = 1º (certifica la Ley de Aschero) Historia. El sistema organizado de la armonía occidental, practicado desde el año 1650 al 1900 aproximadamente, evolucionó a partir de la música estrictamente melódica de la Edad Media que dio origen a la polifonía. La organización de la música medieval deriva de los conocimientos fragmentarios de la música griega antigua por parte de los teóricos medievales. La música de Grecia consistía en las melodías cantadas al unísono o a la octava, el término armonía lo encontramos frecuentemente en los escritos sobre música de la época. Los principales teóricos nos muestran una visión clara de un estilo musical que consiste en una elección amplia de "harmonías", y Platón y Aristóteles discuten el valor moral y ético de una "harmonía" sobre la otra. En la música griega una "harmonía" era la sucesión de sonidos dentro de una octava. El sistema griego clásico contemplaba siete "harmonías" o tipos de escala, distinguidos unos de otros por su orden de tonos y semitonos. Más tarde, estas "harmonías" fueron llamadas modos, un término más amplio que incluía la línea característica de una melodía, así como también la escala utilizada. Culturas, épocas y civilizaciones han determinado distintas maneras de afinar, de conseguir sonidos, lo que ha dado y da lugar a diferentes sistemas musicales. El conjunto de sonidos temperados se enmarca dentro de las siete octavas (más una tercera menor por debajo de la más grave) en registros consecutivos, en los que el más grave y el más agudo señalan los límites de la percepción humana. Es el nombre común del sistema temperado de doce notas. Se basa en el semitono temperado, igual a la doceava parte de la octava y de razón numérica igual a la raíz doceava de dos, con una amplitud interválica de 100 cents. La propiedad más notable del temperamento igual es la igualdad de altura entre las notas enarmónicas, que se deriva de la utilización de un solo tipo de semitono. El sistema temperado puede verse como una evolución del sistema de Pitágoras, en el que once de las quintas son puras de relación 3:2, y la número doce es la denominada quinta del lobo, igual a siete octavas menos once quintas puras. La diferencia entre la quinta del lobo pitagórica y las quintas puras es igual a la diferencia entre doce quintas puras y siete octavas; a esta diferencia se le llama comma o coma pitagórica. El temperamento igual posee una quinta del lobo, menor que las demás quintas en una coma pitagórica. La evolución desde Pitágoras al Temperamento se produce en el momento en que esta coma se reparte entre las doce quintas del círculo. Al hacer este reparto en fracciones iguales, cada una de las quintas del círculo pitagórico resultaría reducida en un doceavo de coma, un pequeño intervalo de 2 cents que recibe el nombre de schisma.

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Pitágoras (s. VI a. C.) enunció la ley relativa a las cuerdas al experimentar con el monocordio (instrumento de una sola cuerda). En el Harmonikon Enchidrion (alrededor del 100 a.C.) de Nicómaco se relata cómo Pitágoras descubrió las proporciones matemáticas de la música. En él se relata cómo Pitágoras tras pasar por una herrería se sintió atraído por la sonoridad emitida por los martillazos producidos por cuatro esclavos el golpear sobre un yunque al trabajar un trozo de metal, de forma que tres de ellos emitían sonidos consonantes (agradables al oído) y el último producía una disonancia. En un principio Pitágoras creyó que esta diferencia sonora se debía a la fuerza con que golpeaba cada esclavo con el martillo e hizo que se los intercambiasen al ver que no había cambio en el sonido producido por los martillos y que el sonido disonante provenía del mismo martillo concluyó que la sonoridad no dependía de la fuerza de golpeo sino de las características del martillo. Esto entra dentro de la leyenda y, aunque no se puede afirmar con absoluta certeza, lo más probable es que Pitágoras después de una serie de experimentos, con un monocordio comprobó que al dividir la cuerda por la mitad, al dividirla en tres partes iguales y al dividirla en cuatro partes, cuando se hacía sonar estas porciones de cuerda con la cuerda original se obtenían intervalos consonantes. De hecho, para los pitagóricos estos, la octava, la quinta y la cuarta, son, junto con el unísono, los únicos intervalos consonantes.

De su experimentación con la quinta natural dedujo la afinación de todas las notas. Según el sistema pitagórico, se obtienen todos los sonidos mediante un encadenamiento de quintas naturales y luego se le restan las octavas necesarias. Del cálculo de intervalos se obtiene un Tono (T) (9/8) y un Semitono Diatónico (Sd) (256/243). El cociente del Semitono Cromático (Sc) es 2187/2048. Cabe recordar que

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el cociente de un intervalo puede obtenerse multiplicando o dividiendo los cocientes de otros dos intervalos, dependiendo de si el intervalo incógnita puede formularse como suma de otros dos o como resta uno de otro, respectivamente.

Como se desprende de lo explicado anteriormente y se observa en la figura anterior el Sc es mayor que el Sd y dos notas enarmónicas sonarán diferente.

La diferencia existente entre el Sc y el Sd se define como Coma Pitagórica y se puede obtener restando siete octavas de la suma de doce quintas. En un tono caben 8,69 comas.

Cuando se representan 11 quintas consecutivas de la afinación pitagórica y al resto se le llama quinta del lobo se obtiene el círculo de quintas para el sistema pitagórico. De todo este método no se puede extraer cual es el número idóneo de notas por octava, aunque este número no es arbitrario y suele extraerse de la sucesión 7, 12, 53, 665…

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Generalizando, cada vez que "giramos la rueda del círculo de quintas" se introduce una coma de diferencia con la vuelta anterior, por lo que, respecto de la frecuencia fundamental, la diferencia acumulada en la vuelta n no es de n comas, sino de una coma elevada a la n. Es decir, la diferencia crece exponencialmente, crece más cuantas más vueltas demos en el círculo hasta hacerse eventualmente tan grande como se desee. Este fenómeno ya había sido descubierto en unos pocos estudios al respecto, donde se ve que la representación gráfica no da un círculo, ni tampoco una espiral homogénea, sino que da una espiral que se abre indefinidamente y la diferencia no se mantiene estable: sigue en aumento cada 12 quintas, y cada vuelta es más abierta que la anterior. Pero aquí está lo que se me ocurre llamar "la trampa de los músicos": se acostumbra a ver esto a partir de un "centro natural" (la escala de Do) desde donde parten dos proyecciones "alteradas" en sentidos contrarios, una hacia los sostenidos y otra hacia los bemoles. Usualmente el círculo de quintas no va más allá de las "enarmonías" (SI-DOb por un lado, y SI#-DO por otro lado) y ahí se detiene. Por esta razón es por lo que no se llega a ver la realidad de lo que sucede frecuencialmente. Ahora bien, cualquier músico atento ya habrá advertido que venimos manejando dos círculos (uno que cierra en SI-DOb, y otro en SI#-DO), cuando lo acostumbrado es presentar un solo círculo. Es que existen varios modelos del círculo – como el que se cierra en la enarmonía FA#-SOLb , otro que resuelve el problema cerrándose en el intervalo SOL#-MIb , que es enarmónico de la quinta LAb-MIb, otro más que propone una mitad del círculo en quintas para los sostenidos y la otra mitad en cuartas para los bemoles… – en fin, lo único que revelan todas esas complicaciones es que el razonamiento va dirigido mucho más hacia la escritura del sonido que a los cálculos, que es el inconveniente sobre el que hemos insistido repetidamente.

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Tratemos de entender este par de jeroglíficos. Los tetracordios los podemos identificar en las figuras observando que siempre hay grupos de cuatro notas que coinciden entre dos escalas, y donde el segundo de una escala se adopta como primero de la siguiente, si se va hacia los sostenidos, o a la inversa si se va hacia los bemoles, siempre partiendo de una escala supuestamente "natural". Pero veamos esto más claro calculando, por ejemplo, cómo resulta la proyección "inversa" de los sostenidos, o sea, la que "baja" por quintas hacia los bemoles, donde las comas no se suman, sino que se restan:

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¿Qué sucedería si comenzásemos a calcular quintas justas indefinidamente en dos sentidos: en uno, hacia los sostenidos, y en otro, hacia los bemoles? Cierto día, tras releer el antes citado artículo, Macluskey se hizo esta pregunta suponiendo una afinación (frecuencia) de 1.000 Hz para el DO (es una afinación ficticia, pues en realidad – como lo hiciéramos notar varias veces – ningún DO en ninguna afinación usual tiene exactamente esa frecuencia, pero un número redondo facilita comprender los ejemplos) y he aquí el resultado que obtuvo:

Este resultado no deja de ser tan sorprendente como inquietante, pues muestra nada menos que la imposibilidad de darle nombre a todas las notas a partir de cierto límite. Y, como si esto fuese poco, empiezan a sumarse más comas, sin explicación aparente, siendo que la predicción de Pitágoras era que al cabo de 7 octavas se sumaba sólo una coma. Y eso es un error. A medida que van sumándose las comas pueden desaparecer los nombres de algunas notas, en efecto, pero no desaparecen los sonidos. Para que no desaparezcan los nombres habría que usar nuevas "alteraciones" para los únicos 7 nombres existentes de las notas. Para eso existe el doble bemol (bb), el triple si hiciera falta (bbb), y así hasta que se quiera. También hay dobles sostenidos (el símbolo del doble sostenido es x), triples (x#), cuádruples (xx), quíntuples (xx#) y así en adelante. Así que habría que usar esos símbolos para que cada nota tuviese un nombre. Esto es, para empezar, una complicación de la escritura, pero además, como veremos en seguida, poco contribuye a una visión más clara de este asunto. Cuando se llega al FAb de 1231,785 Hz y se comprueba que no está la nota SI y aparecen 2 comas, lo que ha sucedido es que el LA que sigue en la proyección no es un LA sino un SIbb para poder formar la relación 3/2, a la que luego seguiría un MIbb, que no es lo mismo que RE, etc. O sea: caímos en el problema ya planteado en el

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análisis escalar tantas veces mencionado, es decir, LA# no es lo mismo que SIb y, en este caso, ahora ocurre que SIbb no es lo mismo que LA. Entonces, si recordamos que hay una diferencia de una coma entre LA# y SIb, ahora no podría ocurrir otra cosa que aparecer 2 comas, porque el bemol es "doble". Lo mismo seguirá ocurriendo de ahí en adelante: 2 comas de diferencia para cada nuevo sonido en relación 3/2. Y, si no hay otra forma de nombrar individualmente todas esas nuevas notas que van surgiendo, parecería que el problema estaría resuelto. Pero ¿lo estará realmente? Observemos ahora esto otro: la nota innombrada FA + 2 comas (1.369,964 Hz en el cuadro) debería ser MI#+2 comas – para poder contar 5 notas desde el LA# y decir que es una "quinta" – pero… aunque pongamos bien el nombre de la nota, después tendremos el problema de que en vez de DO habrá que indicar SI#+2 comas (en vez de DO+2 comas), FAx (doble sostenido)+2 comas en vez de SOL… etc. , con lo cual no habríamos adelantado mucho camino… y lo que es peor, sigue costando entender cómo funciona todo esto. Los músicos cortan por lo sano en estos casos: rarísima vez usan una triple alteración (DO x#, por ejemplo) y escriben directamente RE#, gracias al uso común que hoy se hace del temperamento igual. Y hacen lo mismo con los bemoles: en vez de RE bbb escriben SI, y listo. A lo sumo se usan alteraciones dobles, pero se puede evitar tener que escribirlas, porque sin duda la famosa raíz 12 de 2 tiene sus ventajas. Pero tampoco está todo solucionado de esta manera, y… ahora viene lo peor. Si al cabo de 12 quintas (en la 7ª octava) se produce una diferencia de una coma respecto al sonido original de base – tal como descubriera Pitágoras –, entonces al cabo de 24 quintas tendremos 2 comas de diferencia, luego 3 comas al cabo de otras 12 quintas, y así en adelante. ¿Será cierto?

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Habría una sospecha muy lógica: la idea del infinito es algo tan inaprensible que cuesta imaginar que al cabo de un número suficiente de quintas justas – o sea, de una cantidad suficiente de vueltas del círculo de quintas –, no se hallará finalmente alguna frecuencia que permitiese cerrar la proyección, siempre en base a la relación justa 3/2 definida por Pitágoras. Si esto ocurriera, querría decir que el número posible de tonalidades basadas en la quinta justa pitagórica 3/2 sería finito. ¿Será así?

O lo que es lo mismo:

donde o sea, una coma, y n es el exponente de la coma cada 7 octavas (o sea, al completarse cada nuevo ciclo de 12 quintas justas), la pregunta sería:

¿Llegará la parte decimal de para n tendiendo a infinito, a ser cero para algún n? O lo que es lo mismo:

¿Llegará para n tendiendo a infinito, a dar como resultado un número entero para algún n? Y la respuesta es no. La parte decimal del resultado de la división podrá eventualmente acercarse a cero tanto como se quiera, pero nunca será cero. Es decir, el resto de la división anterior nunca será cero. El motivo es que, para que fuese cero alguna vez, debería cumplirse que todos los factores primos de los divisores fueran iguales uno a uno a algunos de los de los dividendos, y eso no puede pasar nunca. En efecto, se puede demostrar por inducción para la primera iteración, será:

Para la segunda:

Para la tercera:

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Y en la iteración n será:

En una palabra, tenemos una repetición interminable del número 3 en el dividendo y otra del número 2 en el divisor. Como 3 y 2 son números primos entre sí, no hay nada más que hacer: aunque los multipliquemos hasta el infinito, el resultado de la división nunca será entero, o sea, el resto de la división, que genera la parte decimal del resultado, nunca será cero. Esto demuestra que la cantidad de tonalidades también tiende a infinito y que la escala de Do original jamás tendrá su enarmónica equivalente exacta. Nunca, jamás, en ninguna vuelta de los círculos llegará a aparecer la escala de DO nuevamente; llegaremos a estar muy próximos, pero, como la parte decimal nunca será cero, la enarmonía es imposible. A cada vuelta se generarán más y más tonalidades, infinitas tonalidades, de hecho, aunque sea imposible representarlas a todas con notas. Y, como corolario, ello no ocurrirá solamente con la escala de Do, sino con cualquier otra: absolutamente ninguna escala podrá tener una enarmónica exacta en el conjunto. ¿Y qué importa eso, si disponemos de la escala temperada? Como esto es imposible de razonar con notas, conviene hacer una puntualización acerca de lo que los músicos ya saben: Una alteración cualquiera, como el sostenido, por ejemplo, equivale a modificar la frecuencia (altura de la nota) en un "semitono". Si la alteración es "doble" (doble-sostenido, por ejemplo), la altura de la nota variará en 2 semitonos. Y, generalizando, n sostenidos equivaldrá a una cantidad n de semitonos. De ahí que escribir notas de esa manera no puede representar nunca la afinación justa de todos los sonidos deducibles por el cálculo, porque la relación de semitonos no expresa un valor exponencial, sino lineal. Por eso al principio dudábamos si estaría resuelto el problema de darle nombres a las notas "innombradas" mediante la escritura de dobles o triples alteraciones. Ahora vemos que no, que no puede ser. Así entonces, la pregunta que hacíamos recién acerca de cuál sería la tonalidad al cabo de "x" vueltas del círculo, importa desde otro punto de vista: siendo que el conjunto de escalas tiende a infinito, la demostración que terminamos de hacer viene también a confirmar, una vez más, que no existe sonido alguno ajeno a las tonalidades. Y esto, a su vez, demuestra la inviabilidad de la hipótesis del atonalismo (es decir, la posible ausencia de tonalidad) que se impondría en la música del siglo XX. La escala temperada y las 7 notas con sus respectivas alteraciones, que es la forma de escribirla por semitonos en el pentagrama, ha sido la base teórica para la abolición de la tonalidad, pero es una representación grosera de la realidad física si ésta es llevada hasta sus últimas consecuencias. Cuando Pitágoras hizo su célebre enunciado: "Cualquier intervalo puede expresarse como una combinación de un número mayor o menor de quintas justas" estableció el cimiento de toda la música Occidental durante los próximos 2500 años a partir de aquel momento y también se equivocó ya que quiso "cerrar" con su círculo lo que la naturaleza no cierra por ser una espiral. Pitágoras se equivocó para determinar la geometría del sonido.

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Si vamos hacia atrás en lugar de hacia adelante vemos que:

Las ocho colecciones escalares que configuraban el Sistema Modal, y que nacieron en el seno del Canto Gregoriano, habían atravesado los cinco siglos de polifonía, sufriendo modificaciones en el establecimiento de relaciones con respecto a la finalis (I) del modo y a la repercusio. Estos grados servían como punto de referencia en la composición modal, que tenía dos posibilidades de organizar sonidos y silencios alrededor de la nota denominada repercusio. Al ser la repercusio variable (en cada escala funcionaba una nota como repercusio), cada escala con una misma finalis podía ser "auténtica" o "plagal". Todo esto supone una base organizacional mucho más compleja que la del Sistema Tonal, en el que la Tónica es siempre el primer grado (I) y la Dominante el quinto (V). Por otro lado, en la Modalidad las distancias de tono y de semitono, que separan a un sonido de la escala con su contiguo, eran de dos tipos: grandes y pequeños y con una ubicación distinta en cada modo de los ocho de los que se disponía. Además, existían diferentes y diversas afinaciones y, por consiguiente, escalas que partiendo de la misma nota sonaban distintas, en función de la afinación de los sonidos que las constituían, de las variables de tono y semitono de las distancias que los separaban. La consecuencia filosófica fue que cada modo se relacionó con un afecto (ethos griego), según las diversas reflexiones de los pensadores, que especulaban sobre la interpretación y la funcionalidad de las melodías compuestas en tal o cual modo.

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A partir del siglo XV, se generaliza en la melodía el uso de la relación por semitono ascendente hacia la finalis, apareciendo regularmente en la cadencia perfecta (V-I) que cerraba la composición. Así, el semitono modal más pequeño, ubicado entre los grados 7 y 1 (en modo de DO: Si-Do), presentaba grandes dificultades de entonación, por lo que en la práctica se entonaba como el semitono grande, ubicado entre el 3 y el 4 (en modo de DO: Mi-Fa). El Temperamento Igual sustituyó las distintas afinaciones y la variedad de tamaño de los tonos y semitonos, estableciendo un principio de igualdad en las distancias y entre los sonidos enarmónicos. La octava, por este proceso, quedó dividida en doce semitonos iguales. El uso generalizado de la relación de sensible-tónica temperada (7-1) fue la placa giratoria que reorganizó los antiguos modos de Do y de La, los cuales, al no contar entre sus sonidos constitutivos ni con notas con sostenidos ni con bemoles, se convirtieron en el nuevo modelo que abría una era: el período Tonal. La Tonalidad encontraba su origen en la afinación temperada de la relación sensible-tónica, poderosa en función de la información que aporta con relación al punto de referencia principal: la tónica. No obstante, el sistema basado en la igualdad de distancias, sólo pudo generarse a través de la diferenciación. Las escalas tonales se ordenan por tonos y semitonos equidistantes entre sí. Las escalas tonales son denominadas mayor o menor según es el primer intervalo de tercera a partir de la tónica: tercera mayor o tercera menor. En el Sistema Tonal podemos considerar diferencias constitutivas a las cinco distancias de tono y dos de semitono que constituyen los dos tipos de escalas. Estas diferencias son igual en número en los dos modos, pero la distinta ubicación de las diferencias constitutivas añade cualidad a la cantidad a partir de las diferencias distintivas, es decir, de la distinta ubicación de los semitonos. Al estar situados los dos semitonos entre grados distintos, en el modo mayor que en el modo menor, se generan dos sucesiones con propiedades antagonistas, a la vez que complementarias y que se interrelacionan de forma concurrente, dando lugar a una base sistémica ordenada por alturas sonoras en situación de contigüidad. Hemos elegido como modelo las escalas de Do mayor, La Menor (relativo de Do) y Do menor (paralelo de Do). Los modos relativos están formados por los mismos sonidos (no aparecen ni bemoles ni sostenidos), pero como puede apreciarse, varia la situación de los tonos y semitonos. Toda escala mayor posee su relativo menor, que es aquella escala construida con los mismos sonidos, pero que parte de uno que se encuentra situado a distancia inferior de tercera menor. Relativos: Do mayor/La menor; Sol mayor/Mi menor; Re mayor/Si menor… Por otro lado, está el modo paralelo. Dos modos son paralelos cuando el sonido de inicio y de llegada es el mismo, es decir, tienen la misma tónica, pero una

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sucesión es de forma mayor y la otra de forma menor. Paralelos: Do mayor/Do menor; Sol mayor/Sol menor; Re mayor/Re menor… Toda escala mayor posee su relativo menor, que es aquella escala construida con los mismos sonidos, pero que parte de uno que se encuentra situado a distancia inferior de tercera menor. Relativos: Do mayor/La menor; Sol mayor/Mi menor; Re mayor/Si menor… Por otro lado, está el modo paralelo. Dos modos son paralelos cuando el sonido de inicio y de llegada es el mismo, es decir, tienen la misma tónica, pero una sucesión es de forma mayor y la otra de forma menor. Paralelos: Do mayor/Do menor; Sol mayor/Sol menor; Re mayor/Re menor… Podemos tomar cualquier sonido temperado, por ejemplo Sol, y utilizando los sonidos temperados convenientes, construir una escala mayor conservando el orden t-t-s-t-t-t-s, es decir: sol-la –si-do-re-mi-fa#-sol. Más ejemplos, la escala de Do menor: Do-re-mib-fa-sol-lab-sib-do.; o la de Fa# Mayor: fa#-sol#-la#-si-do#-re#-mi#-fa#. Por ejemplo, la escala de Do menor: Do-re-mib-fa-sol-lab-sib-do.; o la de Fa# Mayor: fa#-sol#-la#-si-do#-re#-mi#-fa#. Con tres terceras formamos quatríadas o acordes de séptima y con cuatro terceras, acordes de novena. Con cinco terceras obtenemos un acorde de trecena, pero nos vamos ya a Debussy, por tanto nos situamos a finales del siglo XIX, en plena transfiguración sistémica de la Tonalidad. Y aquí incorporo un pequeño listado de algunos términos musicales del lenguaje musical tradicional: Acorde.- Agrupación vertical de sonidos por terceras, resultado de la confluencia contrapuntística de las voces. Muestra la interacción del contrapunto y la armonía. Un acorde puede ser: consonante o disonante. Acorde gramatical/acorde significante.- Existe antagonismo y complementariedad entre "acorde gramatical y acorde significante". Un I, siempre será gramaticalmente un I, pero su significado variará dependiendo de la función que desempeñe en la organización de la obra. Así, tendrá función de Tónica si funciona como objetivo de la conducción de las voces o tendrá otra función, según su situación y a donde se dirijan sus sonidos. En el ámbito melódico sucede lo mismo. Un sonido 7 será siempre un 7, pero sólo funcionará como sensible si detrás viene el 1; si es otro grado el que aparece, realizará otra función (bordadura, nota de paso o embellecimiento). Hay que resaltar es importantísima esta consideración, puesto que un mismo grado podrá funcionar en un nivel como elemento organizativo y cambiar su funcionalidad en el siguiente; es decir, las funciones vienen realmente determinadas a través de la relación que se produce entre dos grados y su situación en una obra en particular. Agógicas.- Cambios de tempo. Terminología agógica: rápido-lento, Crescendo-decrescendo, Rubato,… Allegro de Sonata.- Es la forma más importante de las formas de sonata y la máxima expresión de la actividad organizacional de la tónica y la dominante, a través de las tensiones producidas por la o las funciones de subdominante. En el Allegro de Sonata se produce la repetición de la exposición, a través del indicativo de la doble barra da capo después de la última dominante de esta sección: Exposición :║ Desarrollo / Re exposición I - V :║ IV-VI-II - V – I

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Alteraciones.- En el ámbito de la música, las alteraciones son los signos que modifican la entonación (o altura) de los sonidos naturales y alterados. Las alteraciones más utilizadas son el sostenido, el doble sostenido, el bemol, el doble bemol y el becuadro. Las alteraciones propias son aquellas que se colocan al principio de cada pentagrama, después de la clave y antes del indicador del compás, y alteran todos los sonidos del mismo nombre que se hallan en una pieza de música definiendo así la tonalidad. A este grupo de alteraciones también se les llama armadura. Las alteraciones accidentales son aquellas que se colocan a la izquierda de una figura y alteran a todos los sonidos de igual nombre y entonación del compás en el cual se encuentra. Armadura.- Es un conjunto de sostenidos o bemoles (ordenados por quintas ascendentes o descendentes, respectivamente) que aparece situado en el pentagrama después del signo de clave. Indica la tonalidad o escala que sirve como base para la composición de la obra. La armadura se constituye cuando creamos una sucesión escalar t-t-s-t-t-t-s (modelo Do mayor) a partir de una nota que no es Do, pero conservando el orden modelo. En la constitución de escalas mayores, partiendo de cualquier otro sonido temperado, y para seguir el modelo, vamos necesitando notas con sostenidos o bemoles para conservar el orden de sucesión. A distancia de quinta ascendente, cada quinta nueva necesita un sostenido más. En el orden de quintas descendentes, cada quinta nueva necesita un bemol más (Do mayor: sonidos naturales; Sol mayor necesita Fa#; Re mayor necesita Fa# y Do #; La mayor necesita Fa#, Do# y Sol#...; Do mayor: sonidos naturales; Fa mayor, necesita Sib; Sib, necesita Sib y Mib; Mib mayor, necesita Sib, Mib y Lab…). Los modos menores relativos conservan la armadura de su relativo mayor. Armonía.- Desde el siglo XVIII, refiere a la relación (en la armonía tradicional se denomina encadenamiento) entre los acordes (encadenamientos, progresiones) en su dimensión vertical, por oposición a la dimensión horizontal del contrapunto. Para nosotros, contrapunto/armonía establecen relación dialógica. Asociación Motívica.- Aporta la idea hologramática y la de recursividad-retroactividad al establecer un vínculo informacional entre cualquier acontecimiento estructural de la obra y el conjunto mínimo de relaciones melódicas que abre la composición (primer compás) denominado "motivo". Bucle recursivo.- Noción esencial para concebir los procesos de autoorganización y de auto-producción. Constituye un circuito donde los efectos retro actúan sobre las causas, donde los productos son en sí mismos productores de lo que produce. Cadencia.- Serie de acordes o fórmula melódico-armónica que indica el fin de una sección en una obra. La cadencia perfecta corresponde al punto en la puntuación, la cadencia imperfecta al punto y coma y la cadencia rota a la coma. La cadencia I-V-I está constituida por los mismos acordes que la estructura subyacente a toda obra tonal. Círculo de quintas.- Ordenación del conjunto de escalas del Sistema Tonal. Viene dada por el incremento +1 de sostenidos o bemoles necesarios para la constitución de escalas mayores. Consonancia.- Relación interválica que corresponde con los siete primeros armónicos. Son consonancias perfectas la octava, la quinta y la cuarta, y semiconsonancias, la tercera y la sexta. Anatagonista, complementaria y concurrente de la disonancia.

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Computación. Del latín computatio, acción de operar simultáneamente, comparar, confrontar, comprender: "La computación es una actividad de carácter cognitivo, que opera sobre signos que separa y/o religa; comporta una instancia informacional, una instancia simbólica, una instancia de la memoria, una instancia logicial". La computación de los ordenadores puede asegurar funciones cognitivas como reconocer formas, diagnosticar, razonar, elaborar estrategias combinando cálculo lógico y método heurístico (por ejemplo, por ensayo y error). Incluso puede demostrar teoremas o hacer descubrimientos. Las operaciones lógicas dependen de las computaciones, las cuales dependen a su vez de las operaciones lógicas. Una actividad computante es inherente no sólo a la actividad cerebral, sino también a la autoorganización viviente, incluida la celular, pero dispone de cualidades y especificidades desconocidas en el ordenador. De este modo, el unicelular es, de forma indiferenciada, a la vez un ser, un existente, una máquina y un ordenador. Computa su propia organización vía los circuitos ADN-ARN-proteínas, transforma en información los estímulos exteriores, y practica cierto conocimiento de su entorno en virtud de principios y reglas específicas. Pero se trata de un cómputo, computación egocéntrica que se efectúa a partir de sí, en función de sí, para sí y sobre sí, y comporta una computación de su propia computación. El cómputo, generado y regenerado por la auto-organización de lo viviente, la genera y regenera sin cesar, y ejerce al mismo tiempo su actividad cognitiva sobre su mundo exterior. La noción de cómputo permite concebir los fundamentos biológicos del sujeto. Constreñimiento.- Restricción organizacional. Contrapunto.- Técnica de escritura que consiste en superponer varias melodías independientes generando su interdependencia en un tejido complejo. En el discurrir histórico, precede a la Armonía; contrapunto/armonía establecen relación dialógica. Especies.- Clasificación del contrapunto y la armonía tradicionales semejante a la clasificación botánica y a la zoológica. En el contrapunto de Fux, cada especie acoge un tipo de escritura que desenvuelve la contraposición de líneas melódicas, según el grado de encuentros consonantes y disonantes. Las especies del contrapunto son cinco: 1ª nota contra nota, 2ª dos notas contra una, 3ª cuatro contra una, 4ª síncopa y 5ª contrapunto florido (un tejido de todas). La armonía tradicional distribuyó en especies a los acordes, según su constitución por terceras. Contrapunto cromático.- Aparece en el Romanticismo con el uso hipercomplejo de relaciones de semitono que proporciona la escala cromática (escala por semitonos). Tejido de melodías compuestas a trasvés de la escala cromática. Desarrollo.- Sección central de una Fuga o un Allegro de Sonata, en la que aparecen los acontecimientos musicales que producen la tensión a gran escala en la composición. El desarrollo es un nivel recursivo de la estructura global del background I – V - I. Es, en cierto modo, análogo al nudo de la estructura literaria dramática. Desorden.- La noción de desorden comprende las agitaciones, las dispersiones, las turbulencias, las colisiones, las irregularidades, las inestabilidades, los accidentes, los alea, los ruidos, los errores en todos los dominios de la naturaleza y la sociedad. La dialógica del orden y el desorden produce la organización. De este modo, el desorden coopera en la generación del orden organizacional y simultáneamente amenaza sin cesar con desorganizarlo. Un mundo totalmente desordenado sería un mundo imposible, un mundo totalmente ordenado hace imposibles la innovación y la creación.

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Ruido.- Término tomado de la teoría de la comunicación. "Se llama ruido a toda perturbación aleatoria que intervenga en una comunicación de información y que, con ello, degrade el mensaje que deviene erróneo. El ruido es pues un desorden que, al organizar el mensaje, deviene fuente de errores". Una acumulación de ruidos puede suscitar la desorganización de un sistema que funciona por comunicación de información. Dialógica.- Unidad compleja entre dos lógicas, entidades o instancias complementarias, concurrentes y antagonistas que se alimentan la una a la otra, se complementan, pero también se oponen y combaten. A distinguir de la dialéctica hegeliana. En Hegel las contradicciones encuentran solución, se superan y suprimen en una unidad superior. En la dialógica, los antagonismos permanecen y son constitutivos de entidades o fenómenos complejos. Dinámica.- Es el matiz de intensidad con la que se ejecuta el conjunto sonoro (crescendo, diminuendo, f, ff, p, ppp…). Disminuciones Melódicas.- Una disminución es la expresión de la nota real del acorde, del objetivo temporal, a través de otras notas que la identifican como tal. Existen cuatro tipos de disminuciones melódicas: Nota de paso, Bordadura, Salto consonante y Arpegiación. En el caso de la disminución por bordadura la nota real es bordeada por un sonido a distancia de semitono o tono ascendente o descendente. Siempre volvemos a la nota de la que hemos partido (Do-Si-Do). En el caso de la disminución por nota de paso, partimos de un sonido de la tríada y vamos a otro a distancia de tercera. En este intervalo o distancia se inserta una nota que conduce a la tercera generando una de las relaciones del paradigma por tono o por semitono. Este conjunto de tres notas puede ser ascendente (Do-Re-Mi) o descendente (Mi-Re-Do). La nota de paso posee un carácter más dinámico. La bordadura es estática. El salto consonante (Sol-Do; Mi-Do) y la arpegiación (Do-Mi-Sol; Mi-Sol-Do) están formados por dos o tres notas de la tríada, respectivamente, en dirección ascendente o descendente. Mientras que los dos primeros tipos de disminución contienen una disonancia, los dos segundos, no. Los dos primeros expresan la dialógica consonancia-disonancia-consonancia. Disonancia.- Relación interválica que corresponde a la distancia de segunda o sus inversiones séptima u octava y a todos los intervalos aumentados o disminuidos (a partir de octavo armónico). Antagonista, complementaria y concurrente de la consonancia. Dominante.- Función de los acordes del V y del VII por su poder conductor hacia el I en función de Tónica. Tónica y Dominante son las funciones básicas de estos grados, son interdependientes e imprescindibles en la consecución de una obra tonal. Son las funciones que generan la base sistémica tonal que, al mismo tiempo, las genera en el proceso compositivo. Dominante Secundaria o aplicada.- Es el acorde de Dominante que aparece precediendo a un acorde de la escala: dominante del II; o del III; o del IV…. Al acorde que le sigue le otorga la jerarquía temporal de Tónica. Ecología de la acción.- Por el hecho de las múltiples interacciones y retroacciones en el medio donde se desarrolla, la acción, una vez desencadenada, escapa a menudo al control del actor, provoca efectos inesperados y en ocasiones incluso contrarios a los que se esperaba. 1er principio: la acción depende no sólo de las interacciones del actor, sino también de las condiciones propias del medio en el que se desarrolla.

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2º principio: los efectos a largo término de la acción son impredecibles. Emergencia.- Las emergencias son propiedades o cualidades surgidas de la organización de elementos o constituyentes diversos asociados en un todo, indeductibles a partir de las cualidades o propiedades de los constituyentes aislados, e irreductibles a estos constituyentes. Las emergencias no son ni epifenómenos, ni superestructuras, sino las cualidades superiores surgidas de la complejidad organizadora. Pueden retroactuar sobre los constituyentes confiriéndoles las cualidades del todo. Enarmonía.- Es el nombre que se aplica a la relación entre dos o más sonidos que, a pesar de poseer distintos nombres, son iguales en entonación o afinación. Escala.- Conjunto de sonidos dispuestos en sucesión horizontal. Estructura.- Conjunto de elementos relacionados de forma espacio-temporal que sustenta el edificio sonoro. A partir de la estructura invariable del background, se generan por transformación y transformándose las estructuras diversas del middleground y del foreground. Estudio.- Modelo de composición, generalmente a una parte (sin cesión estructural) cuyo fin es la práctica de una técnica interpretativa puntual. Exposición.- Primera gran sección de una obra musical donde aparecen todos los acontecimientos de la composición que darán lugar a la otras dos secciones: desarrollo y reexposición. La sustenta y la origina el I del background. Forma Musical.- Modelo compositivo. Frase.- Conjunto melódico que expone una idea musical completa, a partir del motivo. La frase inicial expande la primera progresión I - V - I. En el Clasicismo se estandariza la frase de ocho compases compuesta de antecedente y consecuente. Presenta conclusividad armónica. Fuga.- Composición contrapuntística donde el resultado armónico se ha justificado previamente por el devenir melódico de la primera frase, denominada aquí sujeto. Su eje y primer acontecimiento es esta línea melódica (sujeto), que aparece en la exposición tantas veces como voces o conductos melódicos tiene esa fuga en particular. Grado.- Número de orden de un sonido de una escala. Grados conjuntos.- Calificativo otorgado a la sucesión melódica por tono(s) o semitono(s). Holograma (principio hologramático).- Un holograma es una imagen en la que cada punto contiene la casi totalidad de la información sobre el objeto representado. El principio hologramático significa que no sólo la parte está en un todo, sino que el todo está inscrito en cierta forma en la parte. De este modo, la célula contiene en sí la totalidad de la información genética, lo que en principio permite la clonación; la sociedad en tanto que todo, por mediación de su cultura, está presente en la mente de cada individuo. Intervalo.- Distancia entre dos sonidos.

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Denominación.- Los intervalos se denominan en función de la cantidad de notas que separan la primera de la segunda, ambas inclusive, así, un intervalo do-re será de segunda; uno do-mi, de tercera; uno do-sol, de quinta… Matices.- Se llama matiz a cada uno de los distintos grados o niveles de intensidad o de ritmo en que se realizan uno o varios sonidos, piezas de música completas o pasajes determinados de una obra musical. Principalmente se distingue entre dos tipos de matices: los matices dinámicos o de intensidad y los matices agógicos o de tempo. Melodía.- Línea musical horizontal. Modulación.- Técnicamente es un cambio de tonalidad. Una modulación implica un nivel recursivo que se inserta en la estructura subyacente a gran escala. Es la prolongación o expansión espacio/temporal de otro acorde que no es el de tónica, prolongación que se expande a través de la utilización de relaciones (luego de sonidos) de la escala propia de ese grado que se prolonga. Motivo.- Célula melódica mínima que aparece al comienzo de la obra y que contiene las relaciones informacionales y las instrucciones que originan el proceso organizacional de la composición. Normalmente, está constituido por uno o dos bucles del Paradigma de Bucles Tonales. Octava.- Intervalo que abarca desde una nota a otra del mismo nombre (por ejemplo, de Do a Do) en un registro contiguo, ascendente o descendente. Orden.- Noción que reagrupa las regularidades, estabilidades, constancias, repeticiones, invarianzas; engloba el determinismo clásico y las determinaciones. En la perspectiva de un pensamiento complejo, hay que subrayar que el orden no es ni universal ni absoluto, que el universo comporta desorden (véase esa palabra) y que la dialógica del orden y el desorden produce la organización. Paradigma.- Término tomado de Thomas Khun (La estructura de las revoluciones científicas) desarrollado y redefinido en El Método. Un paradigma contiene, para todo discurso que se efectúe bajo su imperio, los conceptos fundamentales o las categorías maestras de la inteligibilidad (conjunción, disyunción, implicación u otras) entre estos conceptos o categorías (...) Esta definición del paradigma es de carácter a la vez semántico, lógico e ideológico. Semánticamente, el paradigma determina la inteligibilidad y da sentido. Lógicamente, determina las operaciones lógico-maestras. Ideo-lógicamente, es el principio primero de asociación, eliminación, selección que determina las condiciones de organización de las ideas. En virtud de este triple sentido generativo y organizacional el paradigma orienta, gobierna, controla la organización de los razonamientos individuales y de ideas que le obedecen. Período.- Parte de la obra soportada por una estructura, en la que los elementos constituyentes forman una progresión completa (a veces, supuesta). Queda insertada como parte dentro de una sección. Polifonía.- Etimológicamente, polifonía, viene del griego, polyphonía, que significa muchas voces. En la música se reconoce como un conjunto de melodías simultáneas, en que cada una expresa su idea musical, conservando su independencia, formando así con las demás un todo armónico. Dentro de la música occidental, el primer tratado que abordó las normas para componer obras polifónicas fue el Anónimo del siglo X Música Enchiriadis. La polifonía es antagonista, complementaria y concurrente de la monodia.

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El gregoriano, como en general toda la música profana medieval anterior al siglo XI, había sido esencialmente monódico, o sea en cualquier composición no existía más que una línea melódica única, y las voces humanas e instrumentales la interpretaban al unísono. Hacia el final del siglo IX, esta monodia empezó a dividirse en dos voces distintas. Esta subdivisión, aún muy tímida y sencilla, fue el inicio del importante movimiento musical europeo conocido con el nombre de polifonía, es decir, música compuesta por melodías diversas emitidas simultáneamente por voces diferentes. Al principio la polifonía fue en realidad una diafonía (dos voces), que se regía por la más estricta norma contrapuntística. A cada nata del canto, por lo común una melodía ya existente, correspondía una sola nota de la segunda voz, o sea punctum contra punctum (contrapunto). Por lo tanto, se trataba de la misma melodía cantada a distancia de cierto intervalo: octava, quinta o cuarta. El conjunto de los procedimientos contrapuntísticos y polifónicos se desarrolló al máximo durante todo el siglo XV y la primera mitad del XVI, el centro del arte polifónico fue la región que comprendía el norte de Francia y las actuales Bélgica y Holanda, en la cual apareció la escuela flamenca. Maravilla y sorprende la libertad, fantasía y plétora de las invenciones técnicas y expresivas, así como los extraordinarios esfuerzos puestos en obra para combinar sonidos, ritmos y voces cada vez en número mayor. Polimelodía.- Una línea melódica formada por un tejido de varias hebras melódicas. Su continuidad se observa a través del concepto schenkeriano de conducción de la voz. Conducción de la Voz.- La conducción de la voz hace referencia al fluir melódico, a la linealidad espacio-temporal, donde a un sonido le sigue otro estableciendo sus relaciones a partir de la relación principal con el sonido generador de la escala elegida para la organización de la obra. Preludio.- Modelo compositivo, generalmente a una parte, que precede a otros modelos (como la fuga, piezas de danza de una suite, o piezas del romanticismo tardío en las que el preludio tiene la misma función que la obertura). Este modelo es anterior al estudio y posee, especialmente en el caso de la pareja "preludio y fuga", la misma característica de función técnica que el estudio. Progresión.- Conjunto de elementos armónicos que exponen un acorde como objetivo central a través de su dominante o/y con alguna (o algunas) función de subdominante (ejemplo: I-V-I; I-IV-V-I; I-VI-IV-II-V-I). Prolongación.- Expansión de un acorde en un determinado número de tiempos de compás o de compases. Es el acontecimiento que se encuentra entre dos puntos estructurales. Quinta.- Intervalo armónico tonal por excelencia, en oposición al de segunda como propio del contrapunto (por ejemplo, de do a sol). Reexposición.- Tercera y última gran sección de una obra musical. Resuelve los conflictos presentados en la exposición y en el desarrollo. Es sustentada y generada por el último I del background. Ritmo.- Es la frecuencia de repetición (a intervalos regulares y en ciertas ocasiones irregulares de sonidos fuertes y débiles, largos y breves, altos y bajos) en una composición. El ritmo se define como la organización en el tiempo de pulsos y acentos que perciben los oyentes como una estructura.

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Sección.- Es la parte más grande que podemos observar del todo. En una obra tonal podemos encontrar tres secciones: exposición, desarrollo y reexposición. Semitono.- Distancia mínima entre dos sonidos temperados. Medio tono. Sensible.- Función del séptimo grado de la escala mayor cuando va a la tónica. Sonata Clásica.- Modelo compositivo por excelencia del período clásico. Habitualmente, consta de tres movimientos o cuatro movimientos (eventualmente dos). El primero suele ser un Allegro de Sonata; el segundo, de un tempo lento y el último, de un tempo rápido. De haber un tercer movimiento, este contiene un scherzo, minueto o alguna otra forma reminiscente del Barroco. Subdominante.- Función tensional que desempeñan los grados II, IV, VI en el modo mayor y IV, VI y III en el modo menor. Tema.- Es el primer período o prolongación más extensa de la primera frase del Allegro de Sonata, que contiene varias frases expandidas por sus correspondientes progresiones. El modelo compositivo del Allegro de Sonata indica que en la Exposición debe haber dos temas: el primero expande I y el segundo V. Esta sustentado y generado por los dos primeros elementos constitutivos y constituyentes del background. Tercera.- Intervalo semiconsonante, mayor o menor, que limita tres notas (por ejemplo, do-mi). Tonalidad.- Expresión de la escala de base: Una obra en la tonalidad de Do mayor, expresa la escala de Do mayor, a través de su organización. Tono.- Distancia entre dos grados conjuntos. Intervalo de segunda. Suma de dos semitonos. Tónica.- Función armónica que desempeña un grado cuando se expresa como objetivo. Tríada.- Acorde de tres sonidos a distancia de tercera (ejemplo: Sol Mi Do).

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Este es el camino de la tradición cultural que tiene como modelo el planteamiento inicial de Pitágoras con todos los aportes y errores teóricos posteriores. El objetivo de las siguientes líneas es analizar la valoración sobre el grado de arbitrariedad de las escalas musicales en general, y de la escala dodecafónica occidental en particular, utilizando como criterios principales la relación de dicha escala con la naturaleza acústica del sonido y la comparación con otras escalas correspondientes a zonas geográficas diferentes. Durante los siglos XVII al XIX, la comprensión progresiva del fundamento matemático del fenómeno físico-armónico proporcionó aparentemente una justificación de base física al sistema tonal empleado en occidente, por lo que se concluyó, en un alarde de etnocentrismo, que la música occidental era superior a la música de otras regiones y que (aplicando los conceptos evolutivos que provenían de la biología) constituía la culminación necesaria de cualquier desarrollo musical. Posteriormente, los estudios de antropología y etnomusicología han señalado el error general de comparar culturas distintas sin tener en cuenta que este tipo de juicios suele estar sesgado por los condicionantes de la cultura propia. Para solucionar este problema, es necesario realizar un esfuerzo de objetividad que, mediante el "relativismo cultural", permita cuestionar las valoraciones etnocéntricas previas. Como consecuencia acertada de esta revisión, se retiró a la música occidental de la posición suprema universal, y pasó a considerarse como una posibilidad entre otras de usar los sonidos con fines musicales (con toda la variabilidad cultural semántica del término "musical"). Sin embargo, la eliminación del etnocentrismo en la valoración de la música occidental se ha traducido en un rechazo demasiado generalizado (a mi juicio) a todos los razonamientos que la sustentaban, incluyendo argumentos como la relación del fenómeno físico-armónico con los sonidos de la escala y los intervalos que forman entre sí. De hecho, en algunos escritos recientes sobre esta materia, se observa una cierta aversión a analizar los posibles fundamentos físicos de la música occidental, por lo que dicha cuestión es descartada sin una argumentación suficientemente rigurosa. En los siguientes párrafos, se utilizará el fundamento físico-armónico del fenómeno acústico como herramienta conceptual esencial en la valoración sobre si las escalas musicales son completamente arbitrarias o tienen un cierto grado de soporte objetivo, de naturaleza físico-acústica. Por otra parte, la comprensión del fenómeno físico-armónico nos proporciona un posible criterio de aplicación presuntamente universal para analizar algunas escalas de otros sistemas musicales, ya que, como veremos, el grado de consonancia está fijado en la misma naturaleza del sonido. La aplicación de dicho criterio a las escalas principales de la música de Java, teniendo en cuenta los espectros no armónicos (este detalle se suele omitir) de los instrumentos de percusión utilizados, nos llevará a la conclusión de que las desviaciones en los intervalos de dichas escalas respecto a los intervalos de la escala occidental tienden a minimizar las disonancias entre los parciales inarmónicos combinados. Tradicionalmente, la descripción de los intervalos entre sonidos se realiza partiendo de los experimentos atribuidos a la escuela Pitagórica, consistentes en dividir una cuerda en fracciones diferentes, y observar los sonidos resultantes. Sabemos que, si la longitud de la cuerda se divide por la mitad, el sonido resultante es más agudo. Además, el intervalo entre dicho sonido y el correspondiente a toda la longitud de la cuerda, llamado convencionalmente "octava", es percibido por el oído humano como el intervalo más consonante posible, constituyendo este fenómeno una referencia universal a todas las culturas, que sirve de punto de partida en la elección de los sonidos que se utilizarán en la música. Como consecuencia, encontramos que, en casi todas las escalas, los sonidos separados entre sí por un número entero de octavas reciben el mismo nombre, por lo

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que el diseño de la escala, es decir, la elección de los sonidos que se utilizarán en la música, consiste en realizar una división particular del intervalo de la octava en partes más pequeñas. Llegados a este punto, y siguiendo con los experimentos de división de la cuerda, la explicación habitual defiende que las divisiones que siguen las fracciones más "sencillas" (es decir, las que guardan una relación numérica más simple entre el numerador y el denominador) producen intervalos más "consonantes": si dividimos la longitud en 2/3, 3/4 ó 4/5, los intervalos obtenidos serían candidatos para formar parte de la escala, siempre que consideremos un alto grado de consonancia como un valor deseable para los sonidos que formen parte de la escala. Sin embargo, la hipótesis de que las razones fraccionarias sencillas producen intervalos más consonantes, aun siendo razonable, y estando avalada por el resultado subjetivo percibido, queda a mi juicio insuficientemente explicada, provocando la sensación de que la arbitrariedad se podría estar deslizando sigilosamente en la construcción de la escala. Por esta razón, resulta conveniente recurrir a la naturaleza del fenómeno físico-armónico como soporte teórico sólido de los grados de consonancia correspondientes a los diferentes intervalos. La síntesis mediante sinusoidales (armónicos) puede emplearse de igual manera para reconstruir cualquier otra forma de variación, teniendo en cuenta que las frecuencias de los armónicos serán múltiplos enteros de la frecuencia de la forma que queremos reconstruir, y que las amplitudes de dichos armónicos se han de calcular de manera precisa siguiendo las fórmulas descubiertas por Fourier. Si repasamos lo expuesto hasta ahora, observamos que cualquier sonido de altura determinada corresponderá a una forma de onda periódica que puede ser descompuesta como la suma de sus armónicos, que son sonidos con forma de variación sinusoidal cuyas frecuencias son múltiplos de la frecuencia del sonido inicial.

La posibilidad de descomponer una onda de forma compleja en una suma de armónicos sinusoidales es equivalente a que dichos armónicos estén sonando simultáneamente y, mediante la percepción, se fusionen en un único sonido cuyo timbre queda caracterizado por las intensidades relativas de los armónicos que lo componen. Esta fusión de armónicos de frecuencias diferentes puede ser contemplada como el grado máximo de consonancia, puesto que ya no se trata de sonidos que se combinen de forma más o menos agradable (cualidad discutible), sino de sonidos que se funden hasta dejar de distinguirse por separado. Sin embargo, las relaciones entre las frecuencias de los armónicos que componen un sonido de altura determinada están determinadas por una necesidad matemática, por lo que quedan fuera del alcance de la influencia artificial arbitraria. Como sabemos, la serie de múltiplos de la frecuencia fundamental se traduce en notas musicales (siguiendo la notación occidental) siguiendo la "serie armónica". Si observamos los seis primeros armónicos (considerando la frecuencia fundamental como el primer armónico), podemos apreciar la aparición de los intervalos en orden decreciente de consonancia (según la valoración habitual de la música occidental): octava, quinta justa, cuarta justa, tercera mayor y tercera menor que, atendiendo a sus frecuencias, presentan unas relaciones de 2/1, 3/2, 4/3, 5/4 y 6/5 respectivamente.

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Por tanto, vemos que el grado de consonancia de los intervalos según la teoría musical occidental se corresponde con los intervalos entre los armónicos sucesivos que forman cualquier sonido de altura determinada, es decir, el grado de consonancia queda determinado por las características de un fenómeno físico, no manipulable arbitrariamente. Lo mismo pasa con una cuerda:

Esta imagen representa el modelo que la naturaleza impone en este caso aplicado a una cuerda. En consecuencia, podemos proponer la hipótesis de que el grado de consonancia de los intervalos tiene la misma validez general que el fenómeno físico con el que se corresponde. Por otra parte, si vamos ascendiendo por quintas justas (el intervalo más consonante después de la octava), la duodécima quinta queda muy cerca de la séptima octava (a la diferencia entre ambas se la llama “coma pitagórica”, y es de un 1.36% en términos relativos). Es decir, ascendiendo mediante el intervalo más consonante después de la octava, obtenemos en total doce sonidos diferentes antes de llegar al inicial (con el error de la coma pitagórica).

DO → SOL → RE → LA → MI → SI → FA# → DO# → SOL# → RE# → LA# → MI# → SI# (≈ DO)

A lo largo de la historia, se han realizado numerosos esfuerzos para reconciliar la coma pitagórica con los intervalos justos y con la posibilidad de modular libremente a cualquier tonalidad. La solución adoptada finalmente ha sido el temperamento igual, que divide la octava en doce partes iguales, por lo que la coma pitagórica queda repartida homogéneamente en el círculo de quintas, y todas las tonalidades se vuelven igualmente accesibles, al precio de que todos los intervalos, a excepción de la octava,

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están ligeramente desviados respecto a las referencias acústicas exactas proporcionadas por el fenómeno físico-armónico. Por todo lo expuesto, parece razonable aceptar que la escala dodecafónica occidental no es completamente arbitraria, ya que se asienta en parte sobre unos pilares de naturaleza física y, por tanto, objetiva: El grado de consonancia viene determinado por el fenómeno físico-armónico. El intervalo más consonante después de la octava, es decir, la quinta justa, genera los doce sonidos de la escala dodecafónica antes de "repetir" el primero. No obstante, puesto que la música es un proceso dirigido a la percepción auditiva, es perfectamente admisible que se elijan escalas con sonidos menos consonantes, y con más o menos de doce sonidos por octava, sin que dichas escalas deban ser calificadas como "mejores" o "peores" que la escala occidental. Sería un error de etnocentrismo occidental identificar los pilares "naturales" de la escala dodecafónica occidental con una presunta superioridad sobre las escalas de otros sistemas musicales. De hecho, la elección de intervalos consonantes para dividir la octava es, en sí misma, una opción arbitraria que, si bien ha permitido un desarrollo admirable de un tipo de música, no es la única posible. Sin embargo, el análisis de otras escalas muestra que la preferencia por la inclusión de algunos de los sonidos más consonantes en la división de la octava es una tendencia subyacente general, incluso en algunos casos en los que parece no cumplirse. Numerofonía Armónica. El nuevo modelo propuesto por mí tiene su punto de partida en una progresión armónica que en lugar de la circularidad de Pitágoras propone la espiralidad que nace de la propia naturaleza del sonido. El tema pasa que al no aceptar el modelo pitagórico la escritura musical convencional deja de tener sentido. Por eso la propuesta de Aschero (Numerofonía Armónica) establece un hito en la semiótica de la música, proponiendo la unificación por primera vez de todas las culturas musicales del mundo mediante una escala y una escritura única.

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Este es el ayer. El hoy se inicia con esta imagen:

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Volvamos a recapitular el tema del sonido para seguir avanzando en el tema de la nueva escritura propuesta.

Para estudiar el sonido en una dimensión, usaremos el trazado de una forma de onda sinusoidal simple. La figura A es una onda sinusoidal.

La primera propiedad de un sonido (y la única de un silencio) es el tiempo. Se mide en Segundos (s) y a nivel perceptual se denomina duración. La segunda propiedad es la frecuencia. Se mide en Hercios (Hertz, Hz) y nos permite saber a cuantos ciclos por segundo va esa onda. Un ciclo es cuando la onda sube hasta un punto máximo de amplitud, baja hasta atravesar la línea central y llega hasta el punto de amplitud máximo negativo y vuelve a subir hasta alcanzar la línea central. El tono o altura de un sonido depende de su frecuencia, es decir, del número de oscilaciones por segundo. El principio y el final de un ciclo se muestran por los números 1 y 2 de la figura A. Esta medida, que puede tener cualquier longitud, se conoce como longitud de onda y el número de veces que pasa esto en un segundo, se conoce como frecuencia de la onda. Cuanto mayor sea la frecuencia, más agudo será el sonido. Cuantos más ciclos por segundo, más elevado será el tono. Así, la frecuencia hace el tono. La altura de un sonido corresponde a nuestra percepción del mismo como más grave o más agudo. Esto puede comprobarse, por ejemplo, comparando el sonido obtenido al acercar un trozo de cartulina a una sierra de disco: cuanto mayor sea la velocidad de rotación del disco más alto será el sonido producido. La tercera propiedad que una onda de sonido ha de tener es la amplitud. Subjetivamente, la intensidad de un sonido corresponde a nuestra percepción del mismo como más o menos fuerte. Cuando elevamos el volumen de la cadena de música o del televisor, lo que hacemos es aumentar la intensidad del sonido. La amplitud es la distancia por encima y por debajo de la línea central de la onda de sonido. La línea central es la línea horizontal, llamada cero grados. La flecha vertical en la figura A denota la amplitud. La mayor distancia arriba y debajo de la línea central nos da el volumen del sonido. (Volumen es la palabra que se utiliza en los amplificadores de sonido) Si trabajáramos con estaciones o editores de audio digital, lo llamaríamos amplitud. Los displays de las estaciones de trabajo muestran el sonido grabado como una onda de sonido izquierda y derecha. Las ondas izquierda y derecha (denotan estéreo) se presentan en dos cajas o huecos rectangulares uno al lado de otro. Cuando se reproduce el sonido, el display se moverá y veremos el promedio del volumen de una compleja forma de onda. Si los puntos de luz o la aguja llegan al final

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de la escala, entonces habrá distorsión. Así, este display (en forma de aguja o de puntos luminosos) nos mostrará la amplitud de la onda y nos permitirá en todo momento saber cuándo nos excedemos del volumen o cuando es inaudible. El timbre es la cualidad del sonido que nos permite distinguir entre dos sonidos de la misma duración, intensidad y altura. Esto se debe a que todo sonido musical es un sonido complejo que puede ser considerado como una superposición de sonidos simples. De esos sonidos simples, el sonido fundamental de frecuencia n es el de mayor intensidad y va acompañado de otros sonidos de intensidad menor y de frecuencia 2n, 3n, 4n, etc. Los sonidos que acompañan al fundamental constituyen sus armónicos y de sus intensidades relativas depende el timbre. La velocidad es la propiedad más simple y precisa del sonido. La velocidad del sonido en un medio puede medirse con gran precisión. Se comprueba que dicha velocidad es independiente de la frecuencia y la intensidad del sonido, dependiendo únicamente de la densidad y la elasticidad del medio. Así, es mayor en los sólidos que en los líquidos y en éstos mayor que en los gases. En el aire, y en condiciones normales, es de 330,7 m/s. El sonido es un movimiento ondulatorio que se propaga a través de un medio elástico, por ejemplo el aire. Su origen es un movimiento vibratorio, tal como la vibración de una membrana, y cuando llega a nuestro oído hace que el tímpano adquiera un movimiento vibratorio similar al de la fuente de la que proviene. Para visualizar la propagación por ondas puede pensarse, por ejemplo, en el movimiento que se origina cuando se sacude una alfombra aguantándola verticalmente: el movimiento se origina a la altura de las manos pero las ondulaciones se van repitiendo a lo largo de toda la alfombra. Asimismo, si se arroja una piedra en la superficie de un estanque de aguas tranquilas, se observa que en el punto en que ha caído la piedra se origina un movimiento ondulatorio que se propaga en todas direcciones, es decir, en forma de círculos concéntricos, de manera que dos puntos cualesquiera que se encuentran a la misma distancia del punto en que cayó la piedra (foco del movimiento ondulatorio) entran en vibración al mismo tiempo y vibran con la misma amplitud. Una onda es una perturbación física que se propaga en un determinado medio. Dicha perturbación consiste en la variación local de una magnitud escalar o vectorial determinada. El conjunto de fenómenos físicos que constituyen movimientos ondulatorios es muy amplio, ya que, aparte del sonido, son ondas la luz, los movimientos sísmicos, las ondas hertzianas, etcétera. Los movimientos ondulatorios pueden ser transversales o longitudinales. En una onda transversal la perturbación es perpendicular a la dirección de propagación de la onda, mientras que en una onda longitudinal la perturbación tiene la misma dirección que la propagación. Son ondas transversales las que recorren una cuerda tensa cuando la pulsamos o las que se propagan por una alfombra cuando la sacudimos. Los puntos de la cuerda pulsada tienen un movimiento de vaivén pero no se desplazan. La onda transporta energía, no materia, y la perturbación que provoca en la cuerda es perpendicular a la dirección en que avanza el movimiento ondulatorio. La onda que se forma cuando arrojamos una piedra en un estanque es una onda superficial de tipo transversal: si observamos un corcho flotando en el agua vemos que, al llegar la onda hasta él, el corcho sube y baja sin moverse de sitio. Para visualizar las ondas longitudinales podemos realizar el siguiente experimento. Tomamos un muelle largo y lo sujetamos por ambos extremos; comprimimos un grupo de espiras abatiéndolas con una cuerda; las demás espiras estarán entonces más separadas de lo que estaban antes. Se dice que el grupo de espiras ab forman una

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compresión, mientras las restantes forman una dilatación. Si quemamos la cuerda, las espiras comprimidas se expansionarán, moviéndose hacia la derecha y obligando a comprimirse a las espiras vecinas. Ocurre así que donde antes había una compresión ahora hay una dilatación, y donde había una dilatación ahora hay una compresión. La compresión se va moviendo hacia la derecha hasta alcanzar el extremo derecho del muelle y después vuelve en sentido contrario. Al mismo tiempo, las espiras del grupo ab que inicialmente habíamos comprimido, después de haberse expansionado hacia la derecha se vuelven a comprimir hacia la izquierda, con lo que en el extremo izquierdo del muelle vuelve a existir una compresión, y esta compresión volverá a propagarse hacia la derecha, como ocurrió con la compresión inicial Así, al poco tiempo todo el muelle se halla recorrido por una sucesión continua de compresiones y dilataciones. En este movimiento ondulatorio, la perturbación (la compresión) y la propagación tienen la misma dirección. Estamos pues ante un movimiento ondulatorio longitudinal. El sonido es un movimiento ondulatorio de este tipo: la perturbación es en este caso la presión del aire. Podemos considerar el aire como formado por distintas capas de moléculas yuxtapuestas. Cada una de estas capas vendría a ser el equivalente de una espira del muelle de nuestro ejemplo. El aire constituye un medio elástico de manera que las variaciones de la presión se transmiten por él como las compresiones y dilataciones lo hacen por el muelle. En los sólidos se pueden propagar indistintamente las vibraciones longitudinales y transversales, pero en los fluidos perfectos, donde el deslizamiento de una capa de fluido en la dirección de su superficie no engendra ninguna fuerza que tienda a desplazar los planos próximos, la propagación de las ondas transversales es imposible, por lo que sólo pueden propagarse las ondas longitudinales. Para un movimiento ondulatorio con foco en un punto P, todos los puntos del medio por el que se propaga que disten de P una longitud de onda se encontrarán en concordancia de fase y lo mismo ocurrirá con los puntos cuya distancia al foco P sea de 2, 3, 4,..., longitudes de onda. Cada uno de estos conjuntos de puntos constituye así una superficie de onda. Si el medio es homogéneo e isótropo, estas superficies de onda son esferas concéntricas con centro en P, siendo la distancia entre dos de ellas consecutivas igual a la longitud de onda.

De acuerdo con esta representación, cuanta más pequeña sea la longitud de onda más próxima se hallarán las superficies de onda, es decir, las esferas concéntricas (o las circunferencias concéntricas si el movimiento ondulatorio se propaga por un medio plano). Para determinar la forma como se propaga un movimiento ondulatorio es preciso establecer: -amplitud de la vibración que tiene un punto en función de su distancia al foco emisor; -estado de vibración en que se encuentra, en cada instante, un punto cualquiera del medio que ha sido alcanzado por la onda.

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Recordemos que la luz es una onda electromagnética que no requiere medio material para su propagación (la luz del Sol llega a la Tierra después de recorrer una gran distancia en el vacío). La luz consiste en una forma de energía, emitida por los cuerpos y que nos permite percibirlos mediante la vista. La velocidad de propagación de la luz depende del medio. En el vacío (o en el aire) es de 300000 km/s; en cualquier otro medio su valor es menor. La dispersión de la luz consiste en la separación de la luz en sus colores componentes por efecto de la refracción. Los colores son la forma en que nuestro cerebro interpreta las luces de las distintas frecuencias y el sonido es la interpretación que hace el cerebro de las vibraciones del aire. El color luz es producido por las radiaciones luminosas. La mezcla de dos colores luz proporciona un color más luminoso, por lo que se le denomina mezcla aditiva. Los tres colores primarios luz son: rojo anaranjado, verde y violeta. Combinando dos a dos de los colores primarios surgen de los secundarios. Rojo + Verde: Amarillo Violeta + Verde: Azul Rojo + Violeta: Magenta Dos luces coloreadas se llaman complementarias cuando, mezcladas en una cierta proporción, igualan la luz blanca. Son siempre una luz primaria y una secundaria: Rojo + Verde: Luz blanca Violeta + Verde: Luz blanca Rojo + Violeta: Luz blanca Tono: es el matiz del color, es decir el color en sí mismo, supone su cualidad cromática, es –simplemente- un sinónimo del color. Es la cualidad que define la mezcla de un color con blanco y negro. Está relacionado con la longitud de una onda en función de su radiación. Brillo: tiene que ver con la intensidad o el nivel de energía. Es la luminosidad de un color (la capacidad de reflejar el blanco), es decir, el brillo. Alude a la claridad u

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oscuridad de un tono. Es una condición variable, que puede alterar fundamentalmente la apariencia de un color. La luminosidad puede variar añadiendo negro o blanco a un tono. Saturación: es la intensidad de un matiz específico. Se basa en la pureza del color; un color muy saturado tiene un color vivo e intenso, mientras que un color menos saturado parece más descolorido y gris. Sin saturación, un color se convierte en un tono de gris. La saturación de un color está determinada por una combinación de su intensidad luminosa y la distribución de sus diferentes longitudes de onda en el espectro de colores. El color más puro se consigue usando una sola longitud de onda a una intensidad muy alta, como con un láser. Si la intensidad luminosa disminuye, la saturación también. Síntesis Aditiva: La síntesis aditiva se crea cuando proyectamos y superponemos tres haces de luz de los colores primarios, o sea, rojo, verde y violeta. Los colores son percibidos por los conos en la retina del ojo. Cuando la luz blanca pasa a través de un prisma de vidrio la luz se separa en sus componentes. Es el espectro del arco iris. Cada segmento del arco iris representa la luz de una determinada longitud de onda. La luz de longitud de onda más corta estimula solamente lo que se llaman los conos azules. Pero al final del arco iris no es azul; es violeta. Esto significa que la salida de los llamados conos azules es de color violeta. Tales conos deben ser llamados conos violetas. Si se observa un espectro creado por un prisma, está claro que las bandas para el rojo, verde y violeta son significativamente más amplias que las del amarillo y el azul, aproximadamente dos veces. Esto es simplemente el efecto del funcionamiento de los conos del ojo que no están relacionados con la distribución física de las longitudes de onda de la luz. La respuesta es que el modelo de color adecuado en base a los conos del ojo es un modelo RGV (rojo-verde-violeta) que debe completarse con el B (azul) para funcionar con las mezclas de luz habituales y con la luz violeta como límite espectral. Ese es el modelo que toma la Numerofonía Armónica Natural de Aschero.

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El tipo de onda que el modelo utiliza es la sinusoidal.

Y ahora iniciemos el recorrido propuesto desde las imágenes y los sonidos:

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Incorporando la duración veamos la Escritura Armónica y Cultural (base 12) de varias obras:

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En las todas las culturas la Escritura Armónica Natural tiene la misma eficacia.

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Y ¿qué sucede con la superposición de los sonidos?

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Frecuencias de Series y Grupos Armónicos Naturales

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Leonardo da Vinci

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Modo Menor (base 12).

El Tratado de Armonía reducida a sus principios naturales ("Traité de l'harmonie réduite à ses principes naturels") es el primer tratado de teoría musical escrito por Jean-Philippe Rameau y publicado en 1722. Es obra fundamental en el desarrollo de la música clásica occidental, ya que con ella Rameau funda la teoría de la armonía basada en un pensamiento vertical y tuvo una enorme influencia en teóricos de generaciones posteriores.

Esta obra sintetiza los esfuerzos del autor por hacer de la música una ciencia, que siempre había sido considerada un arte. Rameau refleja la práctica del bajo continuo y recoge las teorías de sus predecesores, especialmente de Gioseffo Zarlino y René Descartes (Compendium Musicæ) para ordenar las nociones dispersas que ya se habían sacado antes que él y hacer de la armonía una ciencia deductiva como las matemáticas. Para Rameau es "la naturaleza" misma quien establece esta teoría y le permite afirmar que la armonía es la quintaesencia de la música, la melodía proviene de la armonía. Enuncia el principio de las equivalencias de las octavas, la noción de la nota fundamental y de la inversión de los acordes, la supremacía del acorde perfecto mayor y, a costa de una contracción intelectual (una de las debilidades de la teoría), del perfecto menor. Asienta las bases de la armonía clásica y de la tonalidad de forma ya no empírica.

"La necesidad de comprender —tan rara en la obra de los artistas— es innata en la obra de Rameau. No es sino para satisfacerla por lo que escribió un tratado de armonía, en el que pretende restaurar los derechos de la razón y quiere hacer reinar en la música el orden y la claridad de la geometría... no duda ni un instante de la veracidad del viejo dogma de los pitagóricos... la música entera debe ser reducida a una combinación de números; ella es la aritmética del sonido, como la óptica es la geometría de la luz. Se ve que reproduce los términos, pero traza el camino por el que pasará toda armonía moderna; y él mismo".

Claude Debussy

"Conducido desde mi más tierna juventud por un instinto matemático en el estudio de un Arte para el que me encontraba destinado, y que toda mi vida me ha ocupado exclusivamente, he querido conocer el verdadero principio, como lo único capaz de guiarme con certeza, sin consideración por los hábitos ni las reglas recibidas."

Estas palabras de Rameau podrían ser mías ya que siento lo mismo, lo que las diferencia es el resultado.

En realidad, la naturaleza del sonido es, por decirlo de alguna manera mayor. Lo menor no puede justificarse sin alterar el código.

Así como Pitágoras se equivocó al tratar de cerrar lo que no cierra, Rameau se equivocó al tratar de justificar el modo menor. Dos visiones erróneas que han conducido al modelo cultural de base 12 a ser un híbrido descentrado desde el punto de vista acústico.

A continuación veremos la escritura armónica y cultural de los modos Mayor y Menor sucesivamente y simultáneamente:

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Historia de la Música.

La Historia de la Música estudia la evolución de la estética musical a través del espacio y el tiempo. Con ello vemos los distintos conceptos musicales de los diferentes pueblos y la evolución histórica de los mismos. Esta evolución estética a través de los siglos ha influenciado la programación de la música, especialmente en su presentación frente al público en los llamados conciertos. Hasta el siglo XIX no existió la música llamada de repertorio. En los conciertos se interpretaba la música actual. Los compositores debían siempre estar componiendo obras nuevas.

Nos preguntamos cómo es posible que los compositores barrocos tuvieran catálogos tan extensos. Scarlatti compuso 600 cantatas, Vivaldi 500 conciertos, Bach 250 cantatas, etc.

Si esto se contempla desde la estética de la época romántica, nos preguntaremos si esta extensa obra es fruto de artesanos o de genios. Examinemos las características de cada época para encontrar diversas razones que nos pueden llevar a apasionantes polémicas. En la época barroca los compositores no eran libres, escribían casi siempre por encargo. Los artistas eran empleados, a veces criados de la corte, recordemos a Haydn con librea, de un mecenas o de una institución. Como empleados estaban obligados entre otras cosas a componer para sus amos. Así Bach tenía que componer una cantata cada semana para la Iglesia de Santo Tomás de Leipzig.

En los conciertos no se acostumbraba a programar obras antiguas. Por ello el compositor siempre debía estrenar obras nuevas. Uno de los trucos empleados era el de modificar obras antiguas. Así Bach transforma los conciertos de Vivaldi, Haendel emplea arias de sus óperas en sus oratorios.

En el Romanticismo se buscaba la originalidad en sus obras, como algo único e irrepetible. En el Barroco el compositor más que un creador era un manipulador de unos materiales musicales empleando unas determinadas herramientas contrapuntísticas. Con unos pocos elementos básicos formaban una gran obra. Por ello la composición podía ser muy rápida. En el fondo eran unos artesanos, con un gran genio artístico.

En el Clasicismo hay una revolución contra este modo de componer que tildaban de matemático. Introdujeron los sentimientos. El periodo preclásico se inicia con el estilo rococó o de música galante, dando más importancia a la melodía, con estructuras armónicas más sencillas. La música de Bach se olvida.

En Alemania triunfan Telemann y los hijos de Bach. Empieza la sensibilidad llamada Sturm und Drang (Tormenta y Pasión). Llega el clasicismo con Haydn, Mozart y Beethoven. La música aumenta su complejidad. Así podemos comparar las obras de Haydn y Mozart con las de Beethoven. Haydn compone 104 sinfonías y Mozart más de 40, la mayoría obras de juventud. Beethoven da el paso hacia el Romanticismo y solo compone nueve sinfonías.

Bach es de nuevo recuperado en los conciertos durante el siglo XIX, por medio de Mendelssohn, al que le llegan sus partituras. Carl P.E. Bach había conservado gran parte de las obras de su padre, que ya no se interpretaban y que pasaron a Sara Ley, una dama del círculo intelectual en el que se movía el hijo de Bach. Esta dama era la tía abuela de Mendelssohn. Telemann cae en el olvido. El Romanticismo será tildado de estética subjetiva durante el siglo XX y compositores como Stravinski y Hindemith vuelven a valorar la práctica compositiva barroca.

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En la actualidad se valoran todos los estilos. Es una era de tolerancia en la música. Se renuevan formas musicales que parecían acabadas, pasadas de moda. Schönberg y Schnittke en el fondo actúan como Bach, adaptando formas antiguas. Se recuperan los compositores galantes, continúan valorándose los barrocos y los clásicos y románticos llenan los programas. La diferencia con el pasado, es la poca valoración de las obras contemporáneas. El público rechaza los estrenos y prefieren escuchar una y otra vez a los compositores del pasado. Podemos preguntarnos si esto es debido a la poca formación del público o por haberse distanciado del espectador actual, empleando procedimientos compositivos complicados, fuera del modelo de la naturaleza del sonido y con la completa destrucción de la melodía y el ritmo.

Si creemos que la causa es la formación, debemos pensar que el público en el pasado no tenía ninguna formación musical en general. Pero siempre ha preferido la música cantable, aquella que al salir del concierto podía recordar o tararear. Debido a que en un principio, la música era vocal, esto fue la causa que llevó al triunfo a la ópera italiana.

Pero lo que no podemos olvidar, es que la música es un arte y como tal se debe renovar continuamente. La última ruptura ha sido demasiado brusca para ser asimilada. De un romanticismo exaltado, se pasa a la total ruptura de los esquemas tonales. Se podrá decir que no se podía seguir avanzando con el anterior sistema. Wagner y Mahler lo habían llevado a los límites de la tonalidad.

Observamos que la música posee períodos cíclicos. La música antigua no seguía las leyes de la armonía por su desconocimiento. El renacimiento impone sus leyes y se llega al triunfo del contrapunto en el barroco. El clasicismo impone la melodía, que exalta el romanticismo, hasta llegar al dodecafonismo, donde la música pierde la tonalidad pero recupera el contrapunto del barroco. Como antes, los compositores postseriales intentan romper los estrechos moldes del serialismo contrapuntístico, añadiéndole el sentimentalismo. Lo podemos comparar con el movimiento galante, que recupera la libertad perdida por la época barroca. Se llega a un nuevo período clásico, pero con unas técnicas más libres. Esperemos que los descubrimientos sonoros experimentados durante el pasado siglo y el avance que supone el modelo de Aschero, ayuden a los compositores futuros para la composición de nuevas y significativas obras.

Lógica y Ciencia.

Hemos comprobado que el objeto, finalidad y utilidad de la lógica consiste en garantizar la corrección del razonamiento. Ahora bien, alguien podría alegar -y no estaría equivocado- que no es necesario haber estudiado lógica para razonar correctamente. Esta apreciación nos obliga a distinguir entre los conceptos de "lógica natural" y "lógica científica": Existe una lógica natural o espontánea, previa a toda cultura, que podríamos denominar sentido común y que es suficiente para la vida cotidiana e incluso para el desarrollo de las diferentes disciplinas. Así, ni el abogado, ni el periodista, ni el empresario, ni el médico, ni el economista, ni el físico, suelen iniciar sus estudios por el de la lógica, pues confían en el "buen funcionamiento natural" de la razón. Sin embargo, está claro que una cultura completa implica la exigencia de no contentarse con el juego espontáneo de la razón y de su lógica natural, exige además la elaboración de una lógica científica a base de reflexión. En el orden teórico, esta lógica científica permite eliminar una laguna en nuestros conocimientos al conocer el porqué de las reglas que nuestra razón sigue espontáneamente. Por otra parte, en el orden práctico nos proporciona el máximo rigor en nuestra actividad intelectual. Para distinguirla de la lógica natural y espontánea, la lógica reflexiva debería llamarse lógica

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artificial, y, de hecho, así era designada en los tratados antiguos. Pero, por haber adquirido este término un sentido peyorativo en el lenguaje corriente, se ha adoptado la expresión "lógica científica": Es importante aclarar que la lógica científica no substituye a la lógica natural, no usurpa el papel del sentido común, pero sí lo cultiva o desarrolla. Por una parte, la lógica científica permite efectuar rápida y perfectamente razonamientos largos y complicados, demasiado difíciles o complejos para el simple sentido común. Por otra parte, permite desenmascarar y definir las deficiencias de razonamiento, las falacias o sofismas que el sentido común puede sospechar o presentir, pero que se ve incapaz de rechazar ni rectificar.

La lógica científica, en cuanto estudio de las normas y leyes del pensamiento, se extrae de la lógica natural; es decir, lo que hace es reflexionar acerca del proceder de la lógica natural y extrae una serie de conclusiones o reglas que ordena y sistematiza. De este modo aparece la idea de una lógica científica que comienza por ser una técnica, sistemáticamente elaborada, del uso de la razón.

El raciocinio es una operación discursiva por medio de la cual obtenemos un conocimiento nuevo (inferido) que parte de un conocimiento previo. Existen dos tipos generales de raciocinios, a saber:

Raciocinio inductivo:

Se refiere a un conocimiento de los objetos sensibles, es un tipo de razonamiento que parte de ciertas comprobaciones de la experiencia (observación) para llegar a un punto de validez general. De ahí que se pueda decir que es un tipo de conocimiento que parte de un caso singular para llegar al conocimiento universal. Este es el tipo de raciocinio utilizado para elaborar leyes universales en las ciencias.

Raciocinio deductivo:

Recibe su validez de los principios lógicos; en el intervienen varias relaciones lógicas, por lo mismo generalmente se expresa mediante silogismos. Es un razonamiento que parte de un conocimiento universal para aplicarlo en casos singulares.

Proposición:

Las proposiciones son pensamientos en los que se afirma algo, y que se expresan mediante enunciados u oraciones declarativas, con dos posibles y únicas respuestas; verdadero o falso. Las proposiciones siempre son declarativas; los enunciados exclamativos, interrogativos o imperativos no pueden ser proposiciones, la razón es porque dichos enunciados no pueden ser respondidos mediante verdadero o falso, como ocurre con las oraciones declarativas.

Existen proposiciones simples (elementales) donde solamente se maneja una sola proposición, y proposiciones compuestas (moleculares) que manejan dos o más proposiciones encadenadas mediante conectivas lógicas ("no", "y", "o", etc.)

La lógica proposicional es la encargada de estudiar las formas en que se relacionan unas proposiciones con otras y, sobre todo, la relación que se da entre las proposiciones que componen un razonamiento. Es la parte más elemental de la lógica matemática y dispone de métodos específicos para el análisis de las inferencias; como el lenguaje simbólico, en el cual las proposiciones se simplifican a través de diversos símbolos que abrevian el mensaje, para centrarse específicamente en la estructura lógica de las proposiciones y con ello determinar si son correctas o incorrectas.

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Ciencia:

La ciencia (del latín conocimiento) es el conjunto ordenado de conocimientos estructurados sistemáticamente. La ciencia es el conocimiento que se obtiene mediante la observación de patrones regulares, de razonamientos y de experimentación en ámbitos específicos, a partir de los cuales se generan preguntas, se construyen hipótesis, se deducen principios y se elaboran leyes generales y sistemas organizados por medio de un método científico. La ciencia considera y tiene como fundamento distintos hechos, que deben ser objetivos y observables. Estos hechos observados se organizan por medio de diferentes métodos y técnicas, (modelos y teorías) con el fin de generar nuevos conocimientos. Para ello hay que establecer previamente unos criterios de verdad y asegurar la corrección permanente de las observaciones y resultados, estableciendo un método de investigación. La aplicación de esos métodos y conocimientos conduce a la generación de nuevos conocimientos objetivos en forma de predicciones concretas, cuantitativas y comprobables referidas a hechos observables pasados, presentes y futuros. Con frecuencia esas predicciones pueden formularse mediante razonamientos y estructurarse como reglas o leyes generales, que dan cuenta del comportamiento de un sistema y predicen cómo actuará dicho sistema en determinadas circunstancias.

Caracterización de las ciencias según el esquema de Bunge

FORMALES FÁCTICAS

OBJETO DE ESTUDIO

- Estudian entes formales, ideales o conceptuales - Dichos entes son postulados hipotéticamente (construidos, propuestos,

- Estudia el mundo de los hechos (Desde las galaxias a las partículas subatómicas). - Tales hechos se asumen que tienen existencia con independencia de los científicos y de las comunidades que los estudian, aunque puedan tener interacciones con ellos.

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presupuestos o definidos) por los científicos que los estudian.

MODO DE VALIDACIÓN

- Parten de axiomas o postulados y a partir de ellos demuestran teoremas - Los axiomas son relativos al contexto en el cual se opera. - No requieren de cotejo empírico o experimentación. - Sus conclusiones adquieren grado de certeza.

- Se trabaja a partir de las consecuencias observacionales que se derivan de las conjeturas o hipótesis propuestas. - Juzgan sobre su adecuación al trozo de realidad que pretenden describir o explicar. - El resultado favorable es provisional sujeto a corrección y revisión.

OBJETIVO QUE PERSIGUE

- Buscan la coherencia interna. - Busca la verdad lógica y necesaria.

- Procura describir y explicar hechos y realidades ajenas a ellas mismas. - Persiguen la verdad material o contingente.

En toda reflexión acerca del lenguaje científico subyace una concepción sobre la naturaleza y valor cognoscitivo del conocimiento científico. Resulta, pues, que es imprescindible para analizar los rasgos genéricos de los diversos lenguajes en los que se formula, explicitar las características comunes a todas las ciencias. Independientemente del ámbito conceptual en el que se centra la investigación de cada ciencia concreta, independientemente de la especialidad de los instrumentos conceptuales o empíricos que utiliza, existe un denominador común de todas las ciencias, un paradigma que puede ser utilizado para demarcar la ciencia de la no ciencia, un criterio que se puede precisar en dos puntos: a) el procedimiento de investigación: método científico. b) el alcance y valor cognoscitivo del resultado de la investigación, el conocimiento científico. a) La investigación científica utiliza el método hipotético-deductivo que se resume en cuatro fases: 1a . Descripción.- Limitándose a un sistema real o conceptual concreto, se procede a la descripción, análisis y sistematización de sus elementos: objetos, propiedades, relaciones, estados, sucesos y procesos.

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2a. Problematización.- Preguntándose acerca de estos elementos, su estructura, sus correlaciones, sus invariancias y conservaciones, las operaciones definidas sobre ellos, se formula un problema o un conjunto de ellos. 3a. Conjetura.- Con racionalidad e inventiva se establece una conjetura, hipótesis acerca de las variables y relaciones relevantes, conocidas o supuestas. Se formula un modelo, sistema hipotético, conceptual o material, que simula de forma "parcial" y simplificada, la anatomía y fisiología del sistema. El modelo no es una reproducción esquemática o fotográfica, es una "representación" imaginada de la realidad, basada en limitaciones y simplificaciones cuyo valor se mide por su capacidad de dar respuesta al problema que lo originó, relativo al nivel de aproximación del análisis que se hizo del sistema. 4a. Contrastación.- Mediante recursos lógico-matemáticos se deducen consecuencias (explicaciones y/o predicciones) en forma de proposiciones inferidas que se comparan con proposiciones observacionales-protocolos que describen hechos del sistema. Los resultados de esta comparación nos sugerirán la confirmación o negación del "modelo" supuesto. En su fase inicial de desarrollo, toda ciencia, o más exactamente protociencia, es un conjunto no sistematizado de datos, regularidades empíricas, modelos parciales inconexos, que de común solo tienen su referente. En una fase posterior de maduración, toda ciencia se reconstruye lógicamente, se constituye como una "teoría". Las teorías son el componente básico de la Ciencia. Las observaciones, mediciones y experiencias se realizan con instrumentos y técnicas basados en teorías, y los datos se recogen como respuesta a interrogantes planteados en el seno de teorías y frecuentemente con la finalidad de contrastar una teoría. La reconstrucción lógica de la ciencia implica convenir la existencia de premisas y reglas de inferencia, no definidas ni demostradas. Ciertos conceptos, propiedades y relaciones de la teoría se seleccionan, o se inventan si aún no se conocen, se postula su existencia, sin demostración: son los supuestos o no definidos propios de la teoría. Los restantes conceptos se obtienen mediante reglas de formación y son denominadas fórmulas bien formadas y están lógicamente ordenadas por una relación de deducibilidad. b) En cuanto a la evaluación del alcance y su valor cognoscitivo se ha de partir de que las ciencias desisten de investigar el conocimiento de "las cosas en sí", de sus "esencias". La tarea investigadora del científico se centra en "cómo transcurren los fenómenos de las cosas", especialmente en sus aspectos matematizables-estructurales y/o cuantitativos. La ciencia renuncia, pues, a un saber absoluto (completo e indubitable) y, consciente de las limitaciones de sus modelos y fines, se contenta con que el conocimiento sea "objetivo", lo que se caracteriza como sigue: 1°. Es un conocimiento de hechos genéricos y repetibles. Referido a clases de objetos, y no a ejemplares únicos, preferentemente cuantitativo e instrumental, obtenido utilizando instrumentos de medida. El sistema estudiado, u otro de su clase, en las mismas condiciones puede repetir los fenómenos. 2°. Es comunicable e inteligible por los miembros de la comunidad de científicos

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especializados en el tema. Está formulado en un lenguaje que debe ser independiente de las condiciones subjetivas del emisor y del intérprete, y que puede superar las barreras lingüísticas de los idiomas nacionales. 3º. Debe ser contrastable mediante el uso de las técnicas experimentales o conceptuales que se poseen en el momento actual. Por consiguiente, los resultados de la contrastación, afirmaciones o falsaciones, son relativos al horizonte científico y técnico contemporáneos. Claramente se infiere que !a objetividad del conocimiento no es inherente a los objetos investigados, y en consecuencia, dependiente del sujeto. "La objetividad científica" se basa en la unidad de resultados obtenidos por todos los científicos que operan en las mismas circunstancias y con iguales o equivalentes técnicas. El ininterrumpido perfeccionamiento de los instrumentos experimentales y conceptuales, y la fecunda creatividad de la especie humana, transforma continuamente el conocimiento científico, unas veces en forma acumulativa, en extensión y profundidad, es el crecer de la "ciencia normal"; otras veces mediante cambios radicales de las representaciones del mundo; son las llamadas "revoluciones científicas", y posiblemente, sin perjuicio con claridad estamos sumergidos en una de ellas, tal y como se indicó en un principio. Este estado de constante dinamismo innovador, y la pretensión de verdad objetiva del conocimiento, y no de verdad indubitable, son los dos rasgos más característicos de la ciencia, que la distinguen de otros sectores de la cultura, en los que privan las ideologías y los enfoques subjetivos.

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Conclusión. Uno de los principales problemas que nos enfrentamos a la hora de hacer real y práctica la nueva escala natural que propongo desde una nueva escritura, es por donde empezar a trabajar ya que el campo de experimentación es muy amplio, tanto por la magnitud ilimitada de nuevos sonidos que se pueden incorporar, como por la dificultad práctica y creativa de generalizar esta nueva escala . Por lo tanto es imprescindible poner un marco de desarrollo orgánico sobre la materia que nos permita dentro de estos límites llevar a la realidad operativa el nuevo modelo. Estos límites se deben crear a partir de lo que yo llamo "planteamientos" que no son otra cosa que herramientas que nos ayuden a ordenar nuestra investigación. Evidentemente la Numerofonía Armónica Natural de Aschero propone un revolucionario modelo teórico y práctico indiscutible, nacido en la naturaleza, que se constituye en el unificador de todas las culturas y que sin lugar a dudas cambiará la historia de la escritura musical. Los únicos instrumentos existentes capaces de producir las frecuencias de la naturaleza son los computarizados, ya que los acústicos (de cualquier tipo) están "infectados" por sus procedencias multiculturales. Y esto también supone el enfrentamiento con el poder de los que ejercen la inercia de la "costumbre" en lugar de proponerse la "aventura de lo mejor", aunque esto implique, por supuesto, la soledad y la incomprensión de la mayoría. Pero esto se llama costo y yo estoy dispuesto a pagarlo con todo lo que eso supone. Y además, con alegría…

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Indice: Introducción. Pág. 2 El sonido. Pág. 5 Ondas periódicas. Pág. 11 Ondas aperiódicas. Pág. 12 Espectro. Pág. 12 Intensidad sonora. Pág. 13 Infrasonido. Pág. 13 Armónico. Pág. 14 Altura. Pág. 14 Altura de los sonidos. Pág. 16 Altura en sonidos senoidales. Pág. 16 Altura en sonidos complejos periódicos. Pág. 16 Altura en sonidos complejos no periódicos. Pág. 17 Subarmónicos. Pág. 21 Historia. Pág. 24 Numerofonía Armónica. Pág. 47 Modo Menor (base 12). Pág. 81 Historia de la Música. Pág. 83 Lógica y Ciencia. Pág. 84 Conclusión. Pág. 90 Indice: Pág. 91

sergioaschero@gmail.com

PhD in Musicology

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Provincia de Buenos Aires (ARGENTINA)