Gerência Financeira das Reservas Técnicas

Linhas de risco e retorno

Mas, o que determina a magnitude do prêmio por risco?

Isto é ...

Por que alguns ativos têm prêmio por risco mais elevado do que outros ativos?

Linha Característica

Carteira de mercado É a carteira que contém todo e qualquer ativo de risco do sistema econômico internacional, na proporção do seu valor de mercado em relação ao valor total dos outros ativos.

Linha Característica Suponha que estejamos interessados

em analisar uma ação J e a carteira de mercado. Os retornos obtidos nos últimos 5 meses foram:

Mês

1 2 3 4 5

Ação J 2%

3% 6%

-4%

8%

Carteira de mercado

4%

-2%

8%

-4%

4%

Linha Característica

A reta de mínimos quadrados que relaciona os retornos de uma ação com a carteira de mercado é conhecida como linha carcterística.

Esta linha descreve o retorno que você espera de uma particular ação dado um retorno para a carteira de mercado.

Linha CaracterísticaExemplo de linha característica

-5%

-3%

-1%

1%

3%

5%

7%

9%

-5% -3% -1% 1% 3% 5% 7% 9%

Taxas de retorno da carteira de mercado

Tax

as d

e re

torn

o d

a aç

ão J

Linha Característica Fator Beta

A inclinação da linha característica é conhecida como o fator beta () daquela ação.

Se A representa o intercepto, rJ os retornos da ação J e rM os retornos da ação de mercado, temos:

MJJJ

r

MJJ

rrA

rrCov

M

ˆˆ

),(ˆ2

Linha Característica Fator Beta

No caso do exemplo anterior, temos (confiram!!!):

O fator beta de uma ação representa um indicador do nível com o qual a ação responde a mudanças no retorno produzido pelo mercado. É um indicador do risco da ação em relação ao risco do mercado, ou seja, é uma medida do risco sistemático da ação.

0158,002,0708,003,0ˆ

708,00024,0

0017,0ˆ

J

J

A

Linha Característica Beta de carteiras

Se tivermos n ativos numa carteira, o beta da carteira será a soma dos produtos do beta de cada ativo por seu peso na carteira.

Por quê?

Linha do Mercado de Títulos Podemos agora verificar como o risco é

remunerado no mercado.

Considere que um ativo livre de risco possui beta igual a zero (por quê?).

Seja uma carteira formada pelo ativo livre de risco, cujo taxa de retorno (taxa livre de risco) é de 8%, e pelo ativo A, que tem um retorno esperado de 20% e um beta de 1,6. Suponha ainda que 25% do capital foi investido no ativo A.

Linha do Mercado de Títulos O retorno esperado e o beta da

carteira serão:

Outras alocações fornecem o seguinte quadro:

4,00)25,01(25,0

%1108,0)25,01(20,025,0)(

Ac

cRE

% do ativo A

E(Rc) c

0 8 0,0

25 11 0,4

50 14 0,8

75 17 1,2

100 20 1,6

125 23 2,0

150 26 2,4

Linha do Mercado de Títulos

Retornos esperados e betas de carteiras contendo o ativo A

1,6

0

5

10

15

20

25

30

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

Beta da carteira

Ret

orn

o e

sp

era

do

da

ca

rte

ira

Linha do Mercado de Títulos Note que todas as combinações situam-se

sobre uma linha reta. A inclinação dessa linha é dada por:

Isso nos diz que o ativo A oferece um quociente recompensa/risco (índice de Treynor) de 7,5%. Ou seja, o ativo A tem um prêmio por risco de 7,5% por unidade de risco sistemático.

%5,76,1

08,02,0

)(

A

fA RRE

Linha do Mercado de Títulos Considere agora um ativo B, que

possua beta igual a 1,2 e um retorno esperado de 16%.

Qual investimento escolher A ou B?

Para decidir, utilizaremos o mesmo procedimento realizado para o ativo A.

Linha do Mercado de Títulos

% do ativo B E(Rc) c

0 8 0,0

25 10 0,3

50 12 0,6

75 14 0,9

100 16 1,2

125 18 1,5

150 20 1,8

Assim, para diferentes alocações para o ativo B e o ativo livre de risco, temos:

Linha do Mercado de Títulos

Retornos esperados e betas de carteiras contendo os ativos A e B

1,6

1,5

0

5

10

15

20

25

30

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

Beta da carteira

Ret

orn

o e

sper

ado d

a ca

rtei

ra

Linha do Mercado de Títulos A linha que descreve as combinações para o

ativo A é mais alta do que a linha correspondente para o ativo B.

Isto significa que, para qualquer dado nível de risco sistemático, sempre há alguma combinação entre o ativo A e o ativo livre de risco que oferece retorno mais alto.

Logo, o ativo A deve ser preferido em relação ao ativo B.

Linha do Mercado de Títulos Observação importante:

Em um mercado eficiente, esta situação não pode perdurar por muito tempo.

Os investidores seriam atraídos para o ativo A e se afastariam de B. Em conseqüência, o preço de A subiria e o de B cairia.

Como os preços e as taxas de retorno variam em direções opostas, o retorno esperado de A cairia e o de B se elevaria num processo que prosseguiria até que os dois estivessem na mesma linha.

Logo:

O quociente entre recompensa e risco deve ser o mesmo para todos os ativos no mercado. Assim, todos os ativos devem estar situados na mesma linha, que é conhecida como linha de mercado de títulos (SML).

Linha de Combinação É a reta que relaciona o valor esperado

do retorno de uma carteira para as diferentes combinações de alocação de dois ativos a seus respectivos desvios-padrão.

Logo, a linha de combinação nos diz o quanto o retorno esperado e o risco de uma carteira de dois ativos muda quando mudamos a alocação (pesos) dos ativos na carteira.

Linha de Combinação Para o exemplo da aula anterior:

Aumente o número de combinações possíveis e calcule o retorno esperado e o risco para estas diferentes composições de carteiras.

Faça um gráfico (X,Y) que descreva a relação risco-retorno para todo o conjunto possível de combinações (linha de combinação).

Deduza a expressão da alocação do ativo A para o ponto que representa a carteira de ativos que apresenta o menor risco possível (carteira de variância mínima).

Calcule este valor para o exemplo.

**22

2* 1;

),(2

),(AB

BA

BA WW

BACov

BACovW

Prob. Retorno X Retorno Y R-Rx R-Ry p*(R-Rx)*(R-Ry)0,10 -0,05 0,02 -24,25% -10,45% 0,0025341250,35 0,10 0,10 -9,25% -2,45% 0,0007931880,45 0,25 0,15 5,75% 2,55% 0,0006598120,10 0,50 0,20 30,75% 7,55% 0,002321625

retorno esperado 19,25% 12,45% Cov. 0,00630875risco 14,08% 4,65% Corr. 0,963166378

% X % Y retorno de C risco de C-0,44 1,44 9,44% 1,82%0,00 1,00 12,45% 4,65%0,10 0,90 13,13% 5,56%0,15 0,85 13,47% 6,02%0,20 0,80 13,81% 6,48%0,25 0,75 14,15% 6,94%0,30 0,70 14,49% 7,41%0,45 0,55 15,51% 8,83%0,50 0,50 15,85% 9,30%0,75 0,25 17,55% 11,68%0,90 0,10 18,57% 13,12%1,00 0,00 19,25% 14,08%

carteira de var. min. -44,25% 144,25% 9,44% 1,82%

Linha de Combinações dos Ativos X e Y

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

16%

18%

20%

-1% 1% 3% 5% 7% 9% 11% 13% 15%

Risco

Ret

orn

o