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Gráficos de MU e MUV

1. (Ufpr 2013) No gráfico abaixo, cada ponto indica o módulo da velocidade instantânea de um atleta medida ao final de cada quilômetro percorrido em uma maratona de 10 km. Com base nas informações contidas nesse gráfico e considerando que o atleta partiu do repouso, analise as seguintes afirmativas: 1. O movimento do atleta é uniformemente acelerado nos primeiros 3 km. 2. Entre os quilômetros 4 e 5, o atleta pode ter se deslocado com velocidade constante. 3. As informações são insuficientes para calcular o tempo que o atleta levou para percorrer os

10 km.

Assinale a alternativa correta. a) Somente a afirmativa 1 é

verdadeira. b) Somente a afirmativa 2 é

verdadeira. c) Somente a afirmativa 3 é

verdadeira. d) Somente as afirmativas 1 e 2

são verdadeiras. e) Somente as afirmativas 2 e 3

são verdadeiras.

2. (Enem 2012) Para melhorar a mobilidade urbana na rede metroviária é necessário minimizar o tempo entre estações. Para isso a administração do metrô de uma grande cidade adotou o seguinte procedimento entre duas estações: a locomotiva parte do repouso em aceleração constante por um terço do tempo de percurso, mantém a velocidade constante por outro terço e reduz sua velocidade com desaceleração constante no trecho final, até parar. Qual é o gráfico de posição (eixo vertical) em função do tempo (eixo horizontal) que representa o movimento desse trem?

a) b) c)

d) e)


3. (G1 - ifpe 2012) Toda manhã, um ciclista com sua bicicleta pedala na orla de Boa Viagem

durante 2 horas. Curioso para saber sua velocidade média, ele esboçou o gráfico velocidade escalar em função do tempo, conforme a figura abaixo. A velocidade média, em km/h, entre o intervalo de tempo de 0 a 2 h, vale:

a) 3 b) 4 c) 6 d) 8 e) 9 4. (G1 - cftmg 2012) Um corpo tem seu movimento representado pelo gráfico abaixo.

Ao final de duas horas de movimento, seu deslocamento, em km, será igual a a) 0. b) 20. c) 40. d) 80. 5. (Espcex (Aman) 2012) O gráfico abaixo representa a velocidade(v) de uma partícula que se

desloca sobre uma reta em função do tempo(t). O deslocamento da partícula, no intervalo de

0 s a 8 s, foi de:

a) –32 m

b) –16 m

c) 0 m d) 16 m e) 32 m


6. (Epcar (Afa) 2012) Considere um móvel deslocando-se numa trajetória horizontal e

descrevendo um movimento retilíneo uniformemente acelerado e retrógrado. A alternativa que contém o gráfico que melhor representa o movimento descrito pelo móvel é

a)

b)

c)

d) TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: O Quadro que segue mostra a idade(t) e a altura(h) de uma árvore.

t (anos) m (metros)

0 0

10 2

30 10,9

50 20,3

70 26,3

90 30,5

7. (Feevale 2012) O esboço do gráfico da altura da árvore (h) em função da idade(t) que melhor representa os dados indicados no quadro é:

a) b) c)

d) e)


8. (Uel 2011) No circuito automobilístico de Spa Francorchamps, na Bélgica, um carro de

Fórmula 1 sai da curva Raidillion e, depois de uma longa reta, chega à curva Les Combes.

A telemetria da velocidade versus tempo do carro foi registrada e é apresentada no gráfico a seguir.

Qual das alternativas a seguir contém o gráfico que melhor representa a aceleração do carro de F-1 em função deste mesmo intervalo de tempo?

a) b)

c) d)

e)


9. (Ufsm 2011) Um carro se desloca com velocidade constante num referencial fixo no solo. O

motorista percebe que o sinal está vermelho e faz o carro parar. O tempo de reação do motorista é de frações de segundo. Tempo de reação é o tempo decorrido entre o instante em que o motorista vê o sinal vermelho e o instante em que ele aplica os freios. Está associado ao tempo que o cérebro leva para processar as informações e ao tempo que levam os impulsos nervosos para percorrer as células nervosas que conectam o cérebro aos membros do corpo. Considere que o carro adquire uma aceleração negativa constante até parar. O gráfico que pode representar o módulo da velocidade do carro (v) em função do tempo (t), desde o instante em que o motorista percebe que o sinal está vermelho até o instante em que o carro atinge o repouso, é

a) b) c)

d) e) 10. (Epcar (Afa) 2011) Duas partículas, A e B, que executam movimentos retilíneos uniformemente variados, se encontram em t = 0 na mesma posição. Suas velocidades, a partir desse instante, são representadas pelo gráfico abaixo.

As acelerações experimentadas por A e B têm o mesmo módulo de 20,2m s . Com base

nesses dados, é correto afirmar que essas partículas se encontrarão novamente no instante a) 10 s b) 50 s c) 100 s d) 500 s 11. (Eewb 2011) O gráfico abaixo representa a velocidade em função do tempo de um objeto

em movimento retilíneo. Calcule a velocidade média entre os instantes t = 0 e t = 5h.

a) 5,0 m/s b) 5,5 m/s c) 6,0 m/s d) 6,5 m/s


12. (G1 - ifsc 2011) O gráfico a seguir apresenta o movimento de um carro.

Em relação ao tipo de movimento nos trechos I, II e III, assinale a alternativa correta. a) I – acelerado; II – repouso; III – MRUv. b) I – retardado; II – repouso; III – retrógrado. c) I – acelerado; II – MRU; III – retrógrado. d) I – acelerado; II – repouso; III – progressivo. e) I – acelerado; II – repouso; III – retrógrado. 13. (Espcex (Aman) 2011) O gráfico abaixo indica a posição (S) em função do tempo (t) para

um automóvel em movimento num trecho horizontal e retilíneo de uma rodovia.

Da análise do gráfico, pode-se afirmar que o automóvel a) está em repouso, no instante 1 min. b) possui velocidade escalar nula, entre os instantes 3 min e 8 min. c) sofreu deslocamento de 4 km, entre os instantes 0 min e 3 min. d) descreve movimento progressivo, entre os instantes 1 min e 10 min. e) tem a sua posição inicial coincidente com a origem da trajetória. 14. (Unesp 2011) No gráfico a seguir são apresentados os valores da velocidade V, em m/s, alcançada por um dos pilotos em uma corrida em um circuito horizontal e fechado, nos primeiros 14 segundos do seu movimento. Sabe-se que de 8 a 10 segundos a trajetória era retilínea. Considere g = 10 m/s

2 e que para completar uma volta o piloto deve percorrer uma

distância igual a 400 m.

A partir da análise do gráfico, são feitas as afirmações:


I. O piloto completou uma volta nos primeiros 8 segundos de movimento. II. O piloto demorou 9 segundos para completar uma volta. III. A força resultante que agiu sobre o piloto, entre os instantes 8 e 10 segundos, tem módulo

igual a zero. IV. Entre os instantes 10 e 12 segundos, agiu sobre o piloto uma força resultante, cuja

componente na direção do movimento é equivalente a três vezes o seu peso. São verdadeiras apenas as afirmações a) I e III. b) II e IV. c) III e IV. d) I, III e IV. e) II, III e IV. TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Um objeto que não pode ser considerado uma partícula é solto de uma dada altura sobre um lago. O gráfico ao lado apresenta a velocidade desse objeto em função do tempo. No tempo t = 1, 0s, o objeto toca a superfície da água. Despreze somente a resistência no ar.

15. (Uel 2011) Qual a profundidade do lago? a) 1 m b) 5 m c) 7 m d) 100 m e) 1000 m 16. (Ufpe 2010) Um motorista dirige um carro com velocidade constante de 80 km/h, em linha

reta, quando percebe uma “lombada” eletrônica indicando a velocidade máxima permitida de

40 km/h. O motorista aciona os freios, imprimindo uma desaceleração constante, para

obedecer à sinalização e passar pela “lombada” com a velocidade máxima permitida.

Observando-se a velocidade do carro em função do tempo, desde o instante em que os freios

foram acionados até o instante de passagem pela “lombada”, podemos traçar o gráfico a

seguir.

Determine a distância percorrida entre o instante t = 0, em que os freios foram acionados, e o

instante t = 3,0 s, em que o carro ultrapassa a “lombada”. Dê sua resposta em metros.


17. (Unemat 2010) O gráfico em função do tempo mostra dois carros A e B em movimento

retilíneo. Em t = 0 s os carros estão na mesma posição.

Com base na análise do gráfico, é correto afirmar. a) Os carros vão estar na mesma posição nos instantes t = 0 s e t = 4,0 b) Os carros não vão se encontrar após t = 0, porque a velocidade de A é maior que a do carro

B c) Os carros vão se encontrar novamente na posição S = 10 m d) Os carros não vão se encontrar, porque estão em sentidos contrários. e) Os instantes em que os carros vão estar na mesma posição é t = 0 s e t = 8,0 s 18. (Mackenzie 2010) Dois automóveis A e B se movimentam sobre uma mesma trajetória

retilínea, com suas velocidades variando com o tempo de acordo com o gráfico a seguir. Sabe-

se que esses móveis se encontram no instante 10 s. A distância entre eles, no instante inicial (t

= 0 s), era de

a) 575 m b) 425 m c) 375 m d) 275 m e) 200 m


19. (Uerj 2010) Um trem de brinquedo, com velocidade inicial de 2 cm/s, é acelerado durante

16 s.

O comportamento da aceleração nesse intervalo de tempo é mostrado no gráfico a seguir.

Calcule, em cm/s, a velocidade do corpo imediatamente após esses 16 s.

20. (Ufc 2010) O gráfico da velocidade em função do tempo (em unidades arbitrárias),

associado ao movimento de um ponto material ao longo do eixo x, é mostrado na figura abaixo.

Assinale a alternativa que contém o gráfico que representa a aceleração em função do tempo correspondente ao movimento do ponto material.

a) b)

c) d)

e)


21. (Unemat 2010) Um corpo possui movimento retilíneo, com velocidade variando no decorrer

do tempo, conforme o gráfico abaixo.

Assinale a alternativa correta. a) A aceleração do corpo é nula no intervalo de tempo IV. b) A aceleração do corpo é constante no intervalo de tempo IV. c) A aceleração do corpo é nula no intervalo de tempo I. d) A aceleração do corpo é maior no intervalo de tempo III do que no intervalo de tempo I. e) A aceleração do corpo é variável nos intervalos de tempo II e IV. 22. (Pucpr 2010) Um motociclista dirige uma motocicleta ao longo de uma estrada reta como mostrado no diagrama velocidade x tempo.

A respeito dessa situação, assinale a alternativa correta: a) Entre os instantes t = 3 s e t = 5 s o movimento é acelerado. b) A aceleração no intervalo de tempo entre t = 5 s e t = 7 s vale – 4 m/s

2.

c) O deslocamento do motociclista entre os instantes t = 3 s e t = 5 s foi de 20 m. d) A aceleração no intervalo de tempo entre t = 5 s e t = 7 s vale 2 m/s

2 .

e) A aceleração no intervalo de tempo entre t = 0 e t = 3 s é nula. 23. (Udesc 2009) O movimento de uma bola sobre uma trajetória retilínea é descrito de acordo

com a seguinte equação: x = 5 + 16t - 2t2, em que x é medido em metros e t em segundos.

a) Faça o esboço do gráfico da posição em função do tempo.

b) Calcule a velocidade da bola em t = 4,0 s.

c) Calcule a distância percorrida pela bola e o seu deslocamento em t = 5,0 s.


24. (Ufpe 2008) A figura a seguir representa a velocidade de uma partícula em movimento

retilíneo, em função do tempo. Determine qual gráfico a seguir pode representar corretamente

a correspondente posição da partícula em função do tempo.

25. (Pucmg 2007) O gráfico mostra a velocidade como função do tempo de dois objetos em

movimento retilíneo, que partem da mesma posição.

O instante em que os móveis A e B novamente se encontram será aproximadamente:

a) t = 10 s b) t = 0,4 s c) t = 4,8 s d) t = 2,5 s


Gabarito: Resposta da questão 1:

[E] 1. Incorreta. Não podemos afirmar sobre o movimento nos primeiros 3 km, pois só temos informações pontuais. Resposta da questão 2: [C] 1º Trecho: movimento acelerado (a > 0) o gráfico da posição em função do tempo é uma

curva de concavidade para cima. 2º Trecho: movimento uniforme (a = 0) o gráfico da posição em função do tempo é um

segmento de reta crescente. 3º Trecho: movimento desacelerado (a < 0) o gráfico da posição em função do tempo é

uma curva de concavidade para baixo. Resposta da questão 3: [D]

A “área” no diagrama vt é numericamente igual ao espaço percorrido (d). Dividimos a figura em 2 partes e calculamos a “área” da seguinte forma:

1 2d A trapézio A retângulo 10 2 1/2 1 0 1 6 10 16 km.

Mas o tempo total gasto é t = 2 h. Então a velocidade média é:

mv d/t 16/2 8 km/h.

Resposta da questão 4: [A] No gráfico da velocidade em função do tempo, a “área” (A) entre a linha do gráfico e o eixo t dá

o deslocamento escalar.

0 1 1 2

1 40 1 40S S S 20 20

2 2

S 0.

Δ Δ Δ

Δ

Resposta da questão 5: [C] As áreas da figura abaixo representam o deslocamento. Como uma é positiva e a outra negativa de mesmo módulo, o deslocamento total é nulo.


Resposta da questão 6:

[D] O enunciado nos informa que o movimento é uniformemente acelerado e retrógrado. Com isso, podemos concluir que: – sua velocidade possui um sinal negativo por estar se deslocando contra a orientação da

trajetória (movimento retrógrado); – sua aceleração é constante com sinal igual ao da velocidade, ou seja, negativo (movimento

uniformemente acelerado). [A] Falsa. Aparentemente temos uma parábola em um gráfico de espaço (S) por tempo (t),

voltada para cima, ou seja, é um gráfico de movimento uniformemente variado (parábola em Sxt) com aceleração positiva (voltada para cima).

[B] Falsa. Temos uma reta em um gráfico de espaço por tempo, o que representa um movimento uniforme, ou seja, com velocidade constante e aceleração igual a zero.

[C] Falsa. Temos uma reta em um gráfico de velocidade por tempo, o que representa um movimento uniformemente variado, porém com uma inclinação que representa uma aceleração positiva.

[D] Verdadeira. Temos uma reta em um gráfico de aceleração por tempo, que nos informa que a aceleração é constante e negativa, conforme o enunciado. Resposta da questão 7: [A] Construindo o gráfico:

Resposta da questão 8: [D] Observe o gráfico abaixo



[B] Até a acionar os freios a velocidade permanece constante. Como a aceleração é constante, a velocidade decresce linearmente com o tempo. Resposta da questão 10:

[D] Dados: v0A = 50 m/s; v0B = -50 m/s; aA = -0,2 m/s

2 (reta decrescente); aB = 0,2 m/s

2 (reta

crescente). Adotando origem no ponto de partida e lembrando que a equação horária do espaço no MUV é

2

0 0

1S S v t at

2 , temos:

2

A

2

B

S 50 t 0,1 t

S 50 t 0,1 t

No encontro, SA = SB:

2 2 250 t 0,1 t 50 t 0,1 t 100 t 0,2 t 0 t 100 0,2 t 0

t 0 (não convém)

100t t 500 s.

0,2


[D] A área da figura sombreada é numericamente igual ao deslocamento.

S 30 60 27 117kmΔ . S 117 117

Vm km / h m / s 6,5m / st 5 5x3,6

Δ

Δ .

Resposta da questão 12: [E] No trecho I, a declividade da curva espaço-tempo está aumentando, portanto o módulo da velocidade está aumentando, logo o movimento é acelerado. No trecho II, o espaço é constante, portanto o móvel está em repouso. No trecho III, o espaço diminui linearmente com o tempo, tratando-se de um movimento uniforme retrógrado.



[B] Note que entre 3 e 8 min a posição não varia. Portanto, o carro está parado. Resposta da questão 14: [E] Analisando cada uma das afirmativas: I. Falsa. O espaço percorrido pelo piloto de 0 a 8 segundos é dado pela “área” do triângulo

abaixo da linha do gráfico, correspondente a esse intervalo de tempo.

0,8

8 80S 320

2

m. Como a volta tem 400 m, ele ainda não completou uma volta.

II. Verdadeira. Fazendo a “área” de 0 a 9 segundos:

0,9

9 1S 80 400

2

m. O piloto completou uma volta.

III. Verdadeira. Entre 8 s e 10 s o movimento é retilíneo e uniforme, portanto a resultante das

forças atuantes sobre o piloto é nula. IV. Verdadeira. Calculando o módulo da desaceleração no intervalo de 10 s a 12 s:

|a| =| v | | 20 80 | 60

t 12 10 2

|a| = 30 m/s

2.

Sendo M a massa do piloto, a intensidade da resultante na direção do movimento é:

R = m |a| R = M (30).

O peso do piloto é: P = M g P = M (10).

Fazendo a razão entre essas forças: R M(30)

R 3 P.P M(10)

Resposta da questão 15: [C] Pela leitura do gráfico, conclui-se que o objeto atinge a superfície do lago no instante t = 1 s, com velocidade de 10 m/s, pois a partir desse instante sua velocidade começa a diminuir, chegando ao fundo do lago no instante t = 3,5 s, quando a velocidade se anula. A profundidade do lago (h2) pode ser calculada pela “área” (A2) da figura abaixo da linha do gráfico entre t = 1 s a t = 3,5 s.

2 2

2

1 9h " A " 3,5 1 1 4,5 2,5

2

h 7 m.



50 metros Resolução:

Dados: 0v = 80 km/h; v = 40 km/h; tΔ = 3 s = (3/3.600) h.

Entre os instantes 0 e 3 segundos, o motorista desacelera uniformemente o carro, tal que a área hachurada do trapézio sob a reta entre esses instantes deve ser igual ao espaço

percorrido ( SΔ ), desde o instante em que o motorista aciona os freios até chegar à lombada

eletrônica.

1 3 180(80 40) 0,05 km

2 3.600 3.600 = 0,05Km = 50 metros.


[A] De acordo com o enunciado, no instante t = 0, os dois móveis estão na mesma posição, portanto essa é um instante de encontro. Adotando essa posição como origem (S0 = 0), montemos as funções horárias dos espaços para os dois movimentos: Móvel A: descreve movimento uniforme (MU) com velocidade de 10 m/s. Então:

SA = S0 + v t SA = 10 t. Móvel B: descreve movimento uniformemente variado (MUV) a partir do repouso (v0 = 0). A

aceleração escalar é:

a =

v

t=

105

2m/s

2.

Então:

SB = S0 + v0 t + 2a

t2

SB = 25

t2

.

Igualando as funções horárias:

SB = SA 2 25

t 10t t 4 t 02

t(t – 4) = 0

t = 0 ou t = 4 s.



[A]

Calculemos a aceleração escalar de cada móvel, lembrando que:

va

t.

a1 =

245 301,5 m/s

10 0 e a2 =

230 ( 10)2 m/s

10 0.

Sendo S = S0 + v0t + 1

2at

2, a função horária do espaço para um MUV, temos:

SA = S0A + 30t + 0,75t2 e SB = S0B – 10t – t

2. Igualando as funções para t = 10 s, e fazendo S0A

= 0, temos:

30(10) + 0,75(10)2 = S0B – 10(10) – (10)

2 375 = S0B – 200 S0B = 575 m, que é a distância

inicial entre os móveis, pois supusemos o móvel A partindo da origem.

Uma solução mais simples é usar a propriedade da “área” no gráfico vt, calculando os

espaços percorridos de 0 a 10 s para cada móvel.

A

(45 30)10S 375 m

2 e

B

( 10 30)10S 200 m

2. A distância entre eles é, então: d

= 375 + 200 = 575 m. Resposta da questão 19:

Lembrando que no gráfico da aceleração escalar em função do tempo a variação da

velocidade é numericamente igual a área entre a linha do gráfico e o eixo dos tempos, como

destacado na figura, temos:

v = v1 + v2 + v3 = v = (6 4) – (4 3) + (6 4) = 24 –12 + 24 = 36 cm/s.

Mas v = v – v0. Então: v – 2 = 36 v = 38 cm/s.

Resposta da questão 20: [A] Nos intervalos de tempo em que a velocidade escalar é constante (1 s a 2 s; 3 s a 4 s e 5 s a 6 s) a aceleração escalar é nula. Nos intervalos 0 a 1 s; 2 s a 3 s; 4 s a 5 s e 6 s a 7 s, a velocidade varia linearmente com o tempo, sendo, então, a aceleração escalar constante.

Podemos, então, fazer

va

t. Assim:

De 0 a 1 s: a =

21 01 m/ s ;

1 0

De 2 s a 3 s: a =

4 13

3 2m/s

2;

De 4 s a 5 s: a =

1 45

5 4m/s

2;

De 6 s a 7 s: a =

0 ( 1)1

7 6m/s

2.



[B] Como o movimento é retilíneo, a aceleração tem módulo igual ao módulo da aceleração escalar, dado por:

| v || a |

t

. Assim:

aI = aII (constante) 0; aIII = 0; aIV 0 (constante) Resposta da questão 22: [B] Analisemos cada intervalo: – De 0 a 3 s: o movimento é uniformemente acelerado; a aceleração escalar é

a1 = 1

1

v 82,7

t 3

m/s

2.

O espaço percorrido é calculado pela “área” de 0 a 3 s

1

3 8S 12

2

m.

– De 3 s a 5 s: o movimento é uniforme, com velocidade escalar v2 = 8 m/s.

O espaço percorrido é:

S2 = v2 t2 8 2 = 16 m. – De 5 s s 7 s: o movimento é uniformemente retardado; a aceleração escalar é:

a3 = 3

3

v 0 8 84

t 7 5 2

m/s

2.

O espaço percorrido é:

3

2 8S 8

2

m.


O gráfico solicitado entre t = 0 e t = 10 s.


Se x = 5 + 16.t – 2.t2 então v = 16 – 4.t v = 16 – 4.4 = 16 – 16 = 0 m/s

Em t = 0 s S = 5 m e em t = 5 s S = 5 + 16.5 – 2.(5)2 = 5 + 80 – 50 = 35 m.

Desta forma como a partícula avança até a posição máxima em t = 4 s S = 5 + 16.4

– 2.(4)2 = 5 + 64 – 32 = 37 m, a distância percorrida é (37 – 5) + (37 – 35) = 32 + 2 = 34

m. O deslocamento é 35 – 5 = 30 m.

Resposta da questão 24: [C] Resposta da questão 25: [A]

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